第四章 多项式 §4.1一元多项式的定义和运算 1．设和是实数域上的多项式．证明：若是 (6) ， 那么 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和 3．证明：  §4.2 多项式的整除性 1．求被除所得的商式和余式： ( i )  (ii)  2．证明：必要且只要 3．令都是数域F上的多项式，其中且证明： 4．实数满足什么条件时多项式能够整除多项式 5．设F是一个数域，证明：整除 6．考虑有理数域上多项式  这里和都是非负整数．证明：  7．证明：整除必要且只要整除 §4.3 多项式的最大公因式 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i )  (ii)  设 证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式． 令与是的多项式，而是中的数，并且  证明：  4． 证明： （i）是和的最大公因式； （ii） 此处等都是的多项式。 5． 设都是有理数域Q上的多项式。求使得  6． 设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有 7． 设证明：  8． 证明：对于任意正整数都有 9． 证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。 10． 决定，使与的最大公因式是一次的。 11． 证明：如果那么对于任意正整数，  12． 设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式： 且；  如果∈F[x]且，那么  证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。  设 都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明  13． 设并且证明： 14． 设证明：    互素的充要条件是存在多项式使得  15． 设令  比照定理1.4.2，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．] §4.4 多项式的分解 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：    分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积. 证明：当且仅当  求 在内的典型分解式；  求在内的典型分解式 5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得 6．设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约. §4.5 重因式 证明下列关于多项式的导数的公式：     设是的导数的重因式.证明：  未必是的重因式；  是的重因式的充分且必要条件是 3. 证明有理系数多项式  没有重因式. 4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？     5. 证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是 ， 这里的是F中的数 §4.6 多项式函数 多项式的根 1．设,求. 2．数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式  的根.如果是的话,是几重根? 3．设 求[提示:应用综合除法．] 4．将下列多项式表成的多项式. ; . 5．求一个次数小于4的多项式,使  6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值. 7．令是两个多项式,并且可以被整除. 证明  8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令  证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里. 在中不可约. 如果,求上述的 [提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.] 9．设中多项式且,是一个大于1的整数. 证明:的根只能是零或单位根. [提示:如果是的根,那么都是的根.] §4.7 　复数和实数域上多项式 1．设次多项式的根是.求 以为根的多项式,这里是一个数; 以(假定都不等于零)为根的多项式. 2．设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: 若是g,那么; 若是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式). 3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4．在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积. 5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §4.8 有理数域上多项式 1．证明以下多项式在有理数域上不可约: ;  ; . 2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数. 3．设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根. 4．求以下多项式的有理根: ; ; . §4.9多元多项式 1．写出一个数域F上三元三次多项式的一般形式. 2．设是一个次齐次多项式.是任意数.证明 . 3．设是数域F上一个元齐次多项式,证明:如果,则也是元齐次多项式. 4．把多项式写成两个多项式的乘积. 5．设F是一个数域.是F上元多项式.如果存在使得,那么就说是的一个因式.或者说整除. 证明,每一多项式都可以被零次多项式和整除,. 说是不可约的,如果除了中那两种类型的因式外,没有其它的因式.证明,在里,多项式都不可约. 举一反例证明,当时,类拟于一元多项式的带余除法不成立. 说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公共因式.证明是互素的多项式.能否找到使得? §4.10 对称多项式 1．写出某一数环R上三元三次对称多项式的一般形式. 2．令是数环上元多项式环,是由一切元对称多项式所组成的的子集.证明:存在到的一个双射.[提示：利用对称多项式的基本定理，建立到S的一个双射] 3．把下列元对称多项式表成初等对称多项式的多项式： ；；． 4．证明：如果一个三次多项式的一个根的平方等于其余两个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：  5．设是某一数域Ｆ上多项式  在复数域内的全部根。证明：的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于的多项式。(提示：只需证明的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于的多项式即可。)