第5章 线性空间 5.1 定义和例子 1．令F是一个数域，在F3里计算 （i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1，，2）+（1，-3，1）． 2．证明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么a = b = c = 0． 3．找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得 a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）． 4．令1 = （1，0，0），2 = （0，1，0），3 =（0，0，1）．证明，R3中每一个向量 可以唯一地表示为  = a11 + a22 + a33 形式，这里a1，a2，a3  R． 5．证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立： （i）a () = a- a； (ii) (a- b) = a- b, 这里a，b F ，,V． 6．证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量． 7．证明，对于任意正整数n 和任意向量，都有 n=+…+． 8．证明，向量空间定义中条件3o，8）不能由其余条件推出． 9．验证本节最后的等式： （1，…，n）(AB) =（（1，…，n）A）B． 5.2　子空间 1．判断R n中下列子集哪些是子空间： {（a1，0，…，0，an）| a1，an R}； {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai =0}； {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai =1}； {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai  Z ，i = 1，…，n}. 2．Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令 S={ AMn (F) |A′= A}， T={ AMn (F) |A′= –A}． 证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S  T={0}． 3．设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2 ，那么它一定包W1 +W2 ．在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间． 4．设V是一个向量空间，且V{0}．证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集． 5．设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1W2且WW1=WW2， W + W1=W + W2 .证明：W1=W2． 6．设W1，W 2是数域F上向量空间V的两个子空间，,是V的两个向量，其中 W2，但 W1，又 W2，证明： 对于任意kF, +kW2 ； 至多有一个kF，使得+kW1 ． 7．设W1，W2 ，…，Wr 是向量空间V的子空间，且Wi V，i=1，…，r. 证明：存在一个向量V，使得Wi， ?i=1，…，r． [提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果．] 5.3 向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关: (i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）； (ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）； (iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）． 2．证明，在一个向量组{}里，如果有两个向量与成比例，即=k，，那么{}线性相关． 3．令。证明线性相关必要且只要行列式  = 0． 4．设，线性无关．对每一个任意添上p个数，得到的m个向量． 证明{1 ，2 ，…，m}也线性无关 5．设线性无关，证明也线性无关． 6．设向量组{} (线性无关，任取．证明，向量组线性无关． 7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： (i) 如果当，那么线性无关． (ii) 如果线性无关，而不能由线性表示，那么，也线性无关． (iii) 如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合． (iv) 如果线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合． 8．设向量可以由表示，但不能由线性表示．证明，向量组{}与向量组{，}等价． 9．设向量组中并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合．证明线性无关． 10．设向量线性无关，而，，线性相关，证明，或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组{，}与{，}等价． 5.4 基和维数 1．令Fn [x]表示数域F上一切次数n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 [x]的基：  (i){x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2}； (ii){x-1，1-x2，x2+2x-2，x3}. 2．求下列子空间的维数： （i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）)R3 (ii) L(x-1，1-x2，x2-x) F[x]； (iii) L(ex，e2x，e3x) C [a，b]. 3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为R4的一个基． 4．令S是数域F上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数． 5．证明，复数域C作为实数域R上向量空间，维数是2．如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？ 6．证明定理6.4.2的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量  的线性组合，那么dimV = n. 7．设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，…，an）来说，要么a1 = a2= … = an = 0，要么每一个ai 都不等于零，证明dimW = 1． 8．设W是n维向量空间V的一个子空间，且0< dimW < n．证明：W在V中有不只一个余子空间． 9．证明本书最后的论断． 5.5　坐标 1．设{1 ，2 ，…，n}是V的一个基．求由这个基到{2 ，…，n ，1}的过渡矩阵． 2．证明，{x3，x3+x，x2+1，x+1}是F3 [x]（数域F上一切次数3的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标： （i）x2+2x+3；（ii）x3； （iii）4；（iv）x2-x． 3．设1 =(2，1，-1，1)，2=（0，3，1，0），3=（5，3，2，1）4=（6，6，1，3）．证明{1 ，2 ，3，4 } 作成R4的一个基．在R4中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同． 4．设 1 =(1，2，-1)，2=（0，-1，3），3=（1，-1，0）； 1=（2，1，5），2=（-2，3，1），3=（1，3，2）． 证明{1 ，2 ，3 }和{1 ，2 ，3}都是R3的基．求前者到后者的过渡矩阵． 5．设{1 ，2 ，…，n}是F上n维向量空间V的一个基．A是F上一个ns矩阵．令 (1 ，2 ，…，s)=(1 ，2 ，…，n)A ． 证明 dimL(1 ，2 ，…，s)=秩A． 5.6 向量空间的同构 1．证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构． 2．设是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明是W的一个子空间． 3．证明:向量空间可以与它的一个真子空间同构． 5.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关． 2．证明，秩（A+B）秩A+秩B． 3．设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B．证明，秩Br+s – m． 4．设A是一个mn矩阵，秩A=r．从A中任意划去m–s行与n–t列，其余元素按原来位置排成一个st矩阵C，证明，秩Cr+s+t–m–n． 5．求齐次线性方程组 x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0， 3x1 +2x2 + x3 +x4 –3x5 =0， 5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4–x5 =0， x2 + 2x3 + 2x4 + x5 =0 的一个基础解系． 6．证明定理6.7.3的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线生方程组的解空间． 7．证明，Fn的任意一个≠Fn的子空间都是若干n–1维子空间的交．