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第 2章 矩阵
2.1 矩阵的运算
2.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
2.3 矩阵的分块
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宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧
、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不
用数学。
—— 华罗庚
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2.1 矩阵的运算
一、内容分布
2.1.1 认识矩阵
2.1.2 矩阵的运算
2.1.3 矩阵的运算性质
2.1.4 方阵的多项式
2.1.5 矩阵的转置
二、教学目的
1,掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性
质，并能熟练地对矩阵进行运算。
2,掌握转置矩阵及其运算性质。
3,掌握方阵的幂、方阵的多项式。
三、重点、难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
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2.1.1 认识矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
????
称为 F上 nm? 矩阵,简写,
)()( ijnmij aAaA ?? ? 或
矩阵的产生有丰富的背景, 线形方程组的系数矩
阵 …..,矩阵的应用非常广泛,
设 F是数域,用 F的元素 排成的 m行 n列的数表
ija
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2.1.2 矩阵的运算
定义 1 (矩阵的数乘 ) 给定数域 F中的一个数 k与矩阵 A
的乘积定义为
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
nn
m m m n m m m n
a a a k a k a k a
a a a k a k a k a
k A k
a a a k a k a k a
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
定义 2（矩阵的加法） 给定两个 mn? 矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
????
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
b b b
b b b
B
b b b
??
??
?
??
????
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A和 B加法定义为,
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
AB
a b a b a b
? ? ???
??? ? ?
??
??
? ? ???
定义 3（矩阵的乘法）给定一个 mn? 矩阵和一个 nl?
矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
11 12 1
21 22 2
12
l
l
n n nl
b b b
b b b
B
b b b
??
??
?
??
??
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A和 B的乘法定义为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
???
???
n
i
ilmi
n
i
imi
n
i
imi
n
i
ili
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ili
n
i
ii
n
i
ii
bababa
bababa
bababa
AB
11
2
1
1
1
2
1
22
1
12
1
1
1
21
1
11
?
???
?
?
注意, 相加的两个矩阵必须同型,结果也同型 ; 相乘的两
个矩阵必须,第一个的列数等于第二个的行数,试问, 结果
的形状?
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2.1.3 矩阵的运算性质
矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中 A，
B,C 均为 F上的矩阵,k,l为数域 F中的数）
(1) 加法交换律 ABBA ???
(2) 加法结合律 )()( CBACBA ?????
(3) 零矩阵 AA ?? 0
(4) 负矩阵 0)( ??? AA
(5) 数乘结合律 AkllAk )()( ?
(6) 数乘分配律 kBkABAk ??? )(
lAkAAlk ??? )(
(7) 乘法结合律 )()( BCACAB ?
)()()( kBABkAABk ??
(8) 乘法分配律 BCABCBA ??? )(
CABAACB ??? )(
注意, 矩阵的乘法不满足交换律,
消去律, CBACABA ????,0 也不满足,
满足, BAAB ? 的两个矩阵称为可交换的,
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例 1 已知
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0521
1035
1234
,
2304
1230
1321
BA,求,23 BA ?
例 2 已知,
6123
7915
4257
,
8642
9751
0213
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? BA
且,2 BXA ?? 求,X
例 3 若,
012
321
,
13
21
32
???
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? BA 求,AB
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例 5 求与矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
1000
0100
0010
A 可交换的一切矩阵,
例 6 证明, 如果,,BCCBACCA ?? 则有
).()(
);()(
ABCCAB
BACCBA
?
???
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2.1.4 方阵的多项式
单位矩阵,主对角线上全是 1,其余元素全是 0的方阵称为单位矩
阵,记为
nI 或 I
1
1
0
0
nn?
??
??
??
??
单位矩阵也可以记为 EEn或,它有如下性质,
,mnmnn AAI ?? ? mnmmn AIA ?? ?
方阵 A的方幂, kAAAA ??,,,,,, 规定, IA ?0
设多项式 0111,,,,,,)( axaxaxaxf nnnn ????? ??那么,
IaAaAaAaAf nnnn 0111,.....)( ????? ??
在多项式的等式中,用 A代 x可以作出形式相同的矩阵等式,
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2.1.5 矩阵的转置
设
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
把矩阵 A 的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A 的 转置矩阵,
记为 'A 或,TA
转置有下面的性质,
AA ?)''((9)
'')'( BABA ???(10)
? ? ''' ABAB ?(11)
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2.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式
一、内容分布
2,2,1 可逆矩阵的定义
2,2,2 可逆矩阵的性质
2,2,3 初等矩阵的定义、性质
2,2,4 矩阵可逆的判别
2,2,5 逆矩阵的求法
2,2,6 矩阵乘积的行列式
二、教学目的
1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别
2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变
换求逆矩阵。
3 了解初等矩阵与初等变换的关系
三、重点、难点
逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别
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2.2.1 可逆矩阵的定义
定义 1 A为 F上 n 阶方阵，若存在 n阶方阵 B，使
AB = BA = I
称 A为可逆矩阵（非奇异矩阵）,B称 为 A的逆矩阵,
例：
BA
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
10
01
31
52
21
53
21
53
31
52
A与 B互为逆矩阵,
注 1 有零行或零列的矩阵不可逆,
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2.2.2 可逆矩阵的性质
① A可逆，则 A的逆矩阵唯一。
证 设 B,C均为 A的逆矩阵,则
AB = BA =I,AC = CA =I
B = BI = BAC =（ BA） C = IC = C
证 注意到 即得, IAAAA ?? ?? 11 )(
证 注意到 即得, IABABABAB ?? ???? )()( 1111
④ A可逆，则 )()(,11 ???? ?? AAA 且可逆
② A可逆，则 可逆，且1?A AA ??? 11 )(
由
有,
IAAAA ?? ?? 11
IAAAA ?????? ?? )()( 11
证
③ A,B可逆，则 AB也可逆，且, 111)( ??? ? ABAB
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2.2.3 初等矩阵的定义、性质
定义 2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为
初等矩阵,
n = 4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0001
0100
0010
1000
14P
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?
?
?
?
?
1000
0100
010
0001
)(
1000
000
0010
0001
)( 243
k
kT
k
kD
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定理 1 对 A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左
乘 A; 对 A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘
A。如
1、交换 A的 i, j 行相当于用,
ijPA左 乘
1 1 1 2 1 3 3 1 3 1 3 3
[ 1,3 ]
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3
3 1 3 2 3 3 1 1 1 2 1 3
a a a a a a
a a a a a a P A
a a a a a a
? ? ? ?
? ? ? ????? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
如
2、把 A的第 i 行乘以数 k 相当于用,()
iD k A左 乘
3、把 A的第 j 行乘以 k后加到第 i 行相当于用,()
ijT k A左 乘
即,,A A E A A E??? ? ?行 为 相 应 的 初 等 矩 阵
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定理 2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵,且
)()()1()( 111 kTkTkDkDPP ijijiiijij ???? ???
引理 1,则, （初等变换
不改变可逆性）,
AA??? 行 可逆可逆 AA ?
定理 3 任一 m× n矩阵 A总可以通过初等变换化为
???
?
???
?
?
???
?
rnrmrrm
rnrr
OO
OI
A
,,
,
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证 由定理 2.1.2,A可通过行及列变换化为
( *)
00
00
100
010
001
1,
21,2
11,1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
??
???????
??
??
rnrr
nr
nr
CC
CC
CC
对（ *）作第三种列变换即可化为 A
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2.2.4 矩阵可逆的判别
n 阶矩阵 A可逆 A I A? ??? ? 可 写 成 初 等 矩 阵 的 乘 积
0|| ???? AnA秩
证明：
AOO
oI
A
rnrnrrn
rnrr ?
???
?
???
??
???
?
,,
,① A可逆,
则 可逆,无零行，即,
反之，若 A→I,由 I可逆知 A可逆,
A A IA ?
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② A→I,即 I→A
即存在初等矩阵 使
tss EEEE,,,,,11 ?? ?
AEIEEEE tss ?? ?? 112
注 A可逆,则 A可经初等行变换化为 I.
③ 由① A→I, nIA
n ?? 秩秩
0??? AnA秩④
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2.2.5 逆矩阵的求法
① 行初等变换法
A可逆，由,即存在初等矩阵,
使
IA ? ?? 行 sEE,,1 ?
1
12
12
??
?
AIEEE
IAEEE
s
s
?
?
从而
即 ? ? ? ?
1||A I I A ???? 行
例 1 1,
814
312
201
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? AA 求
解：
?
?
?
?
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?
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?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
? ?
116
104
2211
,
116
104
2211
)|( 1AIIA 即
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② 公式法
设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
*
21
22212
12111
A
AAA
AAA
AAA
nnnn
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
令 称,* 的伴随矩阵为 AA
则由行列式的依行依列展开公式
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??
?
?
?????
ji
jiAaAaAa
njinjiji 0
|A|
2211 ?
，有
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
?
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??
??
???
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nnnnnn
nn
nn
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AaAa
AaAa
AaAaAa
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
??
????
??
??
?
????
?
?
?
????
?
?
11
222121
1112121111
21
22212
12111
21
22221
11211
*
00
00
00
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即 IA
A
A
A
AAAA ||
||00
0||0
000||
** ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
????
?
若 A可逆，则 |A|≠0，从而
IAAAAA ?? )1()1( **
即 *1 1
AAA ??
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例 2：
???
?
???
??
???
?
???
??
2212
2111*,
11
12
AA
AAAA
1||,2,1,1,1 22211211 ??????? AAAAA
???
?
???
?
?
???
21
111A故
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例 3,求矩阵 的逆矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
021
112
111
A
解法一 利用公式,11 ?? ? A
AA
因为
,04
021
112
111
????A
计算每个元素 的代数余子式
ija,ijA
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,1
01
12,2
02
11
1211 ?????
?? AA
,2
02
11,5
21
12
2113 ????
?? AA
,1
21
11
,1
01
11
2322 ??????? AA
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,1
12
11
,2
11
11
3231 ?????? AA
.3
12
11
33 ????A
所以,
.
315
111
222
4
11
4
3
4
1
4
5
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
1
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?? ?? A
A
A
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解法二 行初等变换法,
? ?
? ?
? ?
? ?
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?
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????? ??
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?
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??
??
??
101
315
102
110
400
201
101
012
001
110
130
111
100
010
001
021
112
111
)(
)3(32
)1(31
)1(13
)1(12
IA ?
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? ?
? ?
? ?
,
100
010
001
010
100
001
101
102
110
100
201
4
3
4
1
4
5
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
3,2
4
1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
5
2
1
2
1
2
1
)1(23
)2(21
4
3
4
1
4
5
4
1
2
?
?
?
?
?
?
?
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?? ??
?
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?
??? ??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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所以
.
4
3
4
1
4
5
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??A
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例 4 解矩阵方程 其中,BAX ?
.
31
52
41
,
100
210
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? BA
解 显然 A是可逆的,先求出
.
100
210
121
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??A
再在原方程两边左乘 得,1?A
.11 BAAXA ?? ?
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所以
.
31
110
94
31
52
41
100
210
121
1
?
?
?
?
?
?
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??
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?
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?
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?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?? ? BAX
注：当 n > 3时，求 的计算量较大，因此公式
（ *）常用于理论的证明,
*A
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2.2.6 矩阵乘积的行列式
引理 2.2.6,n阶矩阵 A总可以通过第三种行和列的初等
变换化为对角矩阵
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
nd
d
d
A
0
0
2
1
|||| 21 AdddA n ?? ?且
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① 若 A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使 A
的左上角的元素不为零,
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2
1
1
12
00
0
0
n
n
n n n n
a a a d
a a a
B
A
a a a
?? ??
?? ??
??
?? ??
????
② 若 A的第一行，第一列元素全为零，则已具有
的形式，同理，可以把 化为
1B
1B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
000
000
2
2
1
A
d
d
??
?
?
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继续作第三种初等变换，则可将 A化为对角形矩阵，
且
ndddAA ?21|||| ??
定理,设 A,B为 n 阶矩阵，则
|AB| = |A| |B|
证
① 若 A为对角矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nd
d
d
A
?
2
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnnnnn
n
n
adadad
adadad
adadad
AB
?
????
?
?
21
22222212
11121111
则
|||||||| 21 BABdddAB n ?? ?
tss TTATTTA ?? 121 ??
② 对一般情形，由引理 5.2.6,A可通过第三种变换化
为对角矩阵,即存在初等矩阵 使A
sTT,,1 ?
|||| 121 BTTATTTAB tss ?? ??从而
上页 下页 铃结束返回39 首页
||||
||||
||)(
1
1121
BA
BTTA
BTTABTTATTT
ts
tstss
?
?
?
?
??
?
???
推广 ||||||||
2121 mm AAAAAA ?? ?
相当于对 作第三种行
初等变换, 故
BTTA ts ?1? )( 121 BTTATTT tss ?? ?
定理 A,B为 m× n及 n× p阶矩阵，则秩（ AB） ≤秩 A，
秩（ AB） ≤秩 B,特别当 A可逆时，秩（ AB） = 秩 B,
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推论,),,m i n ()(
2121 mm AAAAAA 秩秩秩秩 ?? ?
例 5 A可逆，则存在 n 阶可逆矩阵 P,Q，使
PAQ = I
证,A可逆，则
11
11
,
,
p p q
p p q
AI
E E A E E I
P E E Q E E
?
?
???
?
??令,易 知 P,Q 可 逆,
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一、内容分布
2.3.1 分块矩阵的概念
2.3.2 分块矩阵的运算
2.3.3 特殊的分块矩阵
二、教学目的
1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算
2 掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分
块矩阵及相关公式
三、重点、难点
利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用 分块矩阵解题
2.3 分块矩阵
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在行列式 中任意取定了 行,由这 行元素所组
成的一切 级子式与它们的 代数余子式 的乘积的和等
于行列式,D
k
k kD
ssss
s
rrrr
r
sssssrss
sr
rrrr
r
b bb
b bb
a aa
a aa
b bb c c c
b b b c c c
a aa
a aa
?
???
?
?
???
?
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??????
??
??
??????
??
21
11211
21
11211
2121
1121111211
21
11211
0 0 0
0 0 0
??
复习,拉普拉斯 (Laplace)定理
上页 下页 铃结束返回43 首页
一、分块矩阵的概念
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A ??
?
?
???
??
2221
1211
AA
AA
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
???
?
???
??
232221
131211
AAA
AAA
定义 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块
称为矩阵的子块 (或子阵 ),以子块为元素形成的矩阵称为
分块矩阵。
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1,线性运算 （加法与数乘）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
srss
r
r
mn
BBB
BBB
BBB
B
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????
?
?
21
22221
11211
二, 分块矩阵的运算
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
r
r
nm
srss
A A A
A A A
A
A A A
?
??
??
??
??
??
?
11 12 1
21 22 2
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
r
r
nm
s s s r
r
r
nm
srss
B B A
B B B
B
B B B
A A A
A A A
A
A A A
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??? ? ?
??
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??
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1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
r
r
nm
srss
k A k A k A
k A k A k A
kA
k A k A k A
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??
??
??
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2,乘法运算
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sr
r
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mn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A 2
1
2
22
12
1
21
11
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rrtrr
t
t
pm
BBB
BBB
BBB
B
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21
22221
11211
符合乘法的要求
?
?
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r
k
kjikij
ij
BAC
CAB
1
,)(
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例 1 设
1 0 0 0
0 1 0 0
,
1 2 1 0
1 1 0 1
A
??
??
?
???
??
1 0 3 2
1 2 0 1
,
1 0 4 1
1 1 2 0
B
??
??
?
?
??
????
为了求乘积 AB，我们可以对 A,B如下地分块
1 0 0 0
0 1 0 0
1 2 1 0
1 1 0 1
A
??
??
???
???
??
??
1
IO
AI
???
??
??
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这里 I 是二阶单位矩阵,O 是二阶零矩阵,
1 0 3 2
1 2 0 1
1 0 4 1
1 1 2 0
B
??
??
?
?
??
????
12
34
BB
BB
???
??
??
按照分块矩阵的乘法，我们有
12
1 1 3 1 2 4
BB
AB
A B B A B B
???
????
??
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这里
1 1 3
1 2 1 0 1 0 2 4,
1 1 1 2 1 1 1 1A B B
??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 4
1 2 3 2 4 1 1 1,
1 1 0 1 2 0 5 3A B B
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
1 0 3 2
1 2 0 1
2 4 1 1
1 1 5 3
AB
??
??
?
???
???
??
???
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T
T
AAA
AAAA ?
?
??
?
??
232221
131211
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
TT
TT
TT
AA
AA
AA
2313
2212
2111
3,转置运算
上页 下页 铃结束返回50 首页
1,准对角阵
?
?
?
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?
?
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sA
A
A
A
?
2
1
),,2,1( siA i ??为方阵，
?
?
?
?
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?
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sB
B
B
B
?
2
1
),,2,1,( siBA ii ??为同阶方阵，
则
三, 特殊的分块阵
上页 下页 铃结束返回51 首页;21 sAAAA ??;
11
??
?
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??
?
?
?
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??
ss BA
BA
BA ? ;
1
??
?
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skA
kA
kA ?;
11
??
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ss BA
BA
BA ? ;
1
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T
s
T
T
A
A
A ?;
1
??
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?
??
?
?
?
?
m
s
m
m
A
A
A ?
,可逆可逆 iA?
.
1
1
1
1
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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sA
A
A ?且
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,
3100
3200
0010
0021
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A 求 A的行列式及逆。
解 将矩阵分块
???
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???
??
2
1
A
AA
21 AAA ??
3?
???
?
???
?
? ?
?
?
1
2
1
11
A
AA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
3
1
00
1100
0010
0021
例 2
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OXA ?2122
???????
22
1211
AO
AAA,)2,1( ?iA ii 为方阵，
2211 AAA ?
.)2,1( ?
?
i
AA ii 可逆可逆
???
?
???
? ?
? ?
???
?
1
22
1
2212
1
11
1
111
AO
AAAAA
2,分块三角阵
????????
2221
12111
XX
XXA设证明, ?
?
??
?
???
22
12111
AO
AAAA ?
?
??
?
?
2221
1211
XX
XX
???
?
???
? ???
22222122
2212121121121111
XAXA
XAXAXAXA
???
?
???
??
IO
OI
IXA ?2222 12222 ??? AX 122122 ?? AA OX ?? 21
IXAXA ?? 21121111 11111 ??? AX
OXAXA ?? 22121211 1221211112 ????? AAAX
上页 下页 铃结束返回54 首页
的逆阵求
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2000
1200
3120
4312
A
解,将矩阵分块
,
22
1211
???
?
???
??
AO
AAA 122111
2
10
4
1
2
1
?? ?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
? ?
? AA
???
?
???
? ?
? ?
???
?
1
22
1
2212
1
11
1
111
AO
AAAAA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
2/1000
4/12/100
8/54/12/10
16/58/54/12/1
例 3
???
?
???
??
2221
11
AA
OAA
???
?
???
?
?
? ???
?
?
1
22
1
1121
1
22
1
111
AAAA
OAA
上页 下页 铃结束返回55 首页
???
?
???
??
OB
AOM 可逆可逆 BAM,?
???
?
???
??
?
?
?
OA
BOM
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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0030
0021
2100
5300
M求矩阵的逆
解,将矩阵分块
???
?
???
??
OB
AOM
???
?
???
??
?
?
?
OA
BOM
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
0031
0052
3/1000
3/2100
例 3
3,分块次对角阵
上页 下页 铃结束返回56 首页
小结,
一,分块矩阵的概念
将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每
一小块称为矩阵的子块 (或子阵 ),以子块为元
素形成的矩阵称为分块矩阵。
注意,分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且
子块也是矩阵。
作用,①简化高阶矩阵运算
②简化运算的表达形式
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二,分块矩阵的运算,
1,线性运算
2,乘法运算
① 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算
的要求
② 相应的子块间也应符合运算的要求
3,转置运算,
注意,大块小块一起转
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三, 特殊的分块矩阵
1,准对角,
2,分块三角阵
3,分块次对角
4,一些重要公式
第 2章 矩阵
2.1 矩阵的运算
2.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式
2.3 矩阵的分块
上页 下页 铃结束返回2 首页
宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧
、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不
用数学。
—— 华罗庚
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2.1 矩阵的运算
一、内容分布
2.1.1 认识矩阵
2.1.2 矩阵的运算
2.1.3 矩阵的运算性质
2.1.4 方阵的多项式
2.1.5 矩阵的转置
二、教学目的
1,掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性
质，并能熟练地对矩阵进行运算。
2,掌握转置矩阵及其运算性质。
3,掌握方阵的幂、方阵的多项式。
三、重点、难点
矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。
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2.1.1 认识矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
????
称为 F上 nm? 矩阵,简写,
)()( ijnmij aAaA ?? ? 或
矩阵的产生有丰富的背景, 线形方程组的系数矩
阵 …..,矩阵的应用非常广泛,
设 F是数域,用 F的元素 排成的 m行 n列的数表
ija
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2.1.2 矩阵的运算
定义 1 (矩阵的数乘 ) 给定数域 F中的一个数 k与矩阵 A
的乘积定义为
1 1 1 2 1 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
1 2 1 2
nn
m m m n m m m n
a a a k a k a k a
a a a k a k a k a
k A k
a a a k a k a k a
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
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? ? ? ?
定义 2（矩阵的加法） 给定两个 mn? 矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
????
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
b b b
b b b
B
b b b
??
??
?
??
????
上页 下页 铃结束返回6 首页
A和 B加法定义为,
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
AB
a b a b a b
? ? ???
??? ? ?
??
??
? ? ???
定义 3（矩阵的乘法）给定一个 mn? 矩阵和一个 nl?
矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
11 12 1
21 22 2
12
l
l
n n nl
b b b
b b b
B
b b b
??
??
?
??
??
上页 下页 铃结束返回7 首页
A和 B的乘法定义为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
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n
i
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n
i
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n
i
imi
n
i
ili
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ili
n
i
ii
n
i
ii
bababa
bababa
bababa
AB
11
2
1
1
1
2
1
22
1
12
1
1
1
21
1
11
?
???
?
?
注意, 相加的两个矩阵必须同型,结果也同型 ; 相乘的两
个矩阵必须,第一个的列数等于第二个的行数,试问, 结果
的形状?
上页 下页 铃结束返回8 首页
2.1.3 矩阵的运算性质
矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中 A，
B,C 均为 F上的矩阵,k,l为数域 F中的数）
(1) 加法交换律 ABBA ???
(2) 加法结合律 )()( CBACBA ?????
(3) 零矩阵 AA ?? 0
(4) 负矩阵 0)( ??? AA
(5) 数乘结合律 AkllAk )()( ?
(6) 数乘分配律 kBkABAk ??? )(
lAkAAlk ??? )(
(7) 乘法结合律 )()( BCACAB ?
)()()( kBABkAABk ??
(8) 乘法分配律 BCABCBA ??? )(
CABAACB ??? )(
注意, 矩阵的乘法不满足交换律,
消去律, CBACABA ????,0 也不满足,
满足, BAAB ? 的两个矩阵称为可交换的,
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例 1 已知
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0521
1035
1234
,
2304
1230
1321
BA,求,23 BA ?
例 2 已知,
6123
7915
4257
,
8642
9751
0213
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? BA
且,2 BXA ?? 求,X
例 3 若,
012
321
,
13
21
32
???
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? BA 求,AB
上页 下页 铃结束返回10 首页
例 5 求与矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
1000
0100
0010
A 可交换的一切矩阵,
例 6 证明, 如果,,BCCBACCA ?? 则有
).()(
);()(
ABCCAB
BACCBA
?
???
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2.1.4 方阵的多项式
单位矩阵,主对角线上全是 1,其余元素全是 0的方阵称为单位矩
阵,记为
nI 或 I
1
1
0
0
nn?
??
??
??
??
单位矩阵也可以记为 EEn或,它有如下性质,
,mnmnn AAI ?? ? mnmmn AIA ?? ?
方阵 A的方幂, kAAAA ??,,,,,, 规定, IA ?0
设多项式 0111,,,,,,)( axaxaxaxf nnnn ????? ??那么,
IaAaAaAaAf nnnn 0111,.....)( ????? ??
在多项式的等式中,用 A代 x可以作出形式相同的矩阵等式,
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2.1.5 矩阵的转置
设
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
把矩阵 A 的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A 的 转置矩阵,
记为 'A 或,TA
转置有下面的性质,
AA ?)''((9)
'')'( BABA ???(10)
? ? ''' ABAB ?(11)
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2.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式
一、内容分布
2,2,1 可逆矩阵的定义
2,2,2 可逆矩阵的性质
2,2,3 初等矩阵的定义、性质
2,2,4 矩阵可逆的判别
2,2,5 逆矩阵的求法
2,2,6 矩阵乘积的行列式
二、教学目的
1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别
2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变
换求逆矩阵。
3 了解初等矩阵与初等变换的关系
三、重点、难点
逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别
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2.2.1 可逆矩阵的定义
定义 1 A为 F上 n 阶方阵，若存在 n阶方阵 B，使
AB = BA = I
称 A为可逆矩阵（非奇异矩阵）,B称 为 A的逆矩阵,
例：
BA
??
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??
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???
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???
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??
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??
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??
?
?
10
01
31
52
21
53
21
53
31
52
A与 B互为逆矩阵,
注 1 有零行或零列的矩阵不可逆,
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2.2.2 可逆矩阵的性质
① A可逆，则 A的逆矩阵唯一。
证 设 B,C均为 A的逆矩阵,则
AB = BA =I,AC = CA =I
B = BI = BAC =（ BA） C = IC = C
证 注意到 即得, IAAAA ?? ?? 11 )(
证 注意到 即得, IABABABAB ?? ???? )()( 1111
④ A可逆，则 )()(,11 ???? ?? AAA 且可逆
② A可逆，则 可逆，且1?A AA ??? 11 )(
由
有,
IAAAA ?? ?? 11
IAAAA ?????? ?? )()( 11
证
③ A,B可逆，则 AB也可逆，且, 111)( ??? ? ABAB
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2.2.3 初等矩阵的定义、性质
定义 2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为
初等矩阵,
n = 4
?
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0001
0100
0010
1000
14P
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1000
0100
010
0001
)(
1000
000
0010
0001
)( 243
k
kT
k
kD
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定理 1 对 A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左
乘 A; 对 A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘
A。如
1、交换 A的 i, j 行相当于用,
ijPA左 乘
1 1 1 2 1 3 3 1 3 1 3 3
[ 1,3 ]
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3
3 1 3 2 3 3 1 1 1 2 1 3
a a a a a a
a a a a a a P A
a a a a a a
? ? ? ?
? ? ? ????? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
如
2、把 A的第 i 行乘以数 k 相当于用,()
iD k A左 乘
3、把 A的第 j 行乘以 k后加到第 i 行相当于用,()
ijT k A左 乘
即,,A A E A A E??? ? ?行 为 相 应 的 初 等 矩 阵
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定理 2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵,且
)()()1()( 111 kTkTkDkDPP ijijiiijij ???? ???
引理 1,则, （初等变换
不改变可逆性）,
AA??? 行 可逆可逆 AA ?
定理 3 任一 m× n矩阵 A总可以通过初等变换化为
???
?
???
?
?
???
?
rnrmrrm
rnrr
OO
OI
A
,,
,
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证 由定理 2.1.2,A可通过行及列变换化为
( *)
00
00
100
010
001
1,
21,2
11,1
?
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?
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?????
?????
??
???????
??
??
rnrr
nr
nr
CC
CC
CC
对（ *）作第三种列变换即可化为 A
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2.2.4 矩阵可逆的判别
n 阶矩阵 A可逆 A I A? ??? ? 可 写 成 初 等 矩 阵 的 乘 积
0|| ???? AnA秩
证明：
AOO
oI
A
rnrnrrn
rnrr ?
???
?
???
??
???
?
,,
,① A可逆,
则 可逆,无零行，即,
反之，若 A→I,由 I可逆知 A可逆,
A A IA ?
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② A→I,即 I→A
即存在初等矩阵 使
tss EEEE,,,,,11 ?? ?
AEIEEEE tss ?? ?? 112
注 A可逆,则 A可经初等行变换化为 I.
③ 由① A→I, nIA
n ?? 秩秩
0??? AnA秩④
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2.2.5 逆矩阵的求法
① 行初等变换法
A可逆，由,即存在初等矩阵,
使
IA ? ?? 行 sEE,,1 ?
1
12
12
??
?
AIEEE
IAEEE
s
s
?
?
从而
即 ? ? ? ?
1||A I I A ???? 行
例 1 1,
814
312
201
?
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?? AA 求
解：
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??
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116
104
2211
,
116
104
2211
)|( 1AIIA 即
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② 公式法
设
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?
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nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
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????
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21
22221
11211
*
21
22212
12111
A
AAA
AAA
AAA
nnnn
n
n
?
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????
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令 称,* 的伴随矩阵为 AA
则由行列式的依行依列展开公式
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?????
ji
jiAaAaAa
njinjiji 0
|A|
2211 ?
，有
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???
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nnnnnn
nn
nn
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AaAa
AaAa
AaAaAa
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
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????
??
??
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????
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????
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11
222121
1112121111
21
22212
12111
21
22221
11211
*
00
00
00
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即 IA
A
A
A
AAAA ||
||00
0||0
000||
** ?
??
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??
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?
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??
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????
?
若 A可逆，则 |A|≠0，从而
IAAAAA ?? )1()1( **
即 *1 1
AAA ??
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例 2：
???
?
???
??
???
?
???
??
2212
2111*,
11
12
AA
AAAA
1||,2,1,1,1 22211211 ??????? AAAAA
???
?
???
?
?
???
21
111A故
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例 3,求矩阵 的逆矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
021
112
111
A
解法一 利用公式,11 ?? ? A
AA
因为
,04
021
112
111
????A
计算每个元素 的代数余子式
ija,ijA
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,1
01
12,2
02
11
1211 ?????
?? AA
,2
02
11,5
21
12
2113 ????
?? AA
,1
21
11
,1
01
11
2322 ??????? AA
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,1
12
11
,2
11
11
3231 ?????? AA
.3
12
11
33 ????A
所以,
.
315
111
222
4
11
4
3
4
1
4
5
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
1
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?? ?? A
A
A
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解法二 行初等变换法,
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101
315
102
110
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201
101
012
001
110
130
111
100
010
001
021
112
111
)(
)3(32
)1(31
)1(13
)1(12
IA ?
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,
100
010
001
010
100
001
101
102
110
100
201
4
3
4
1
4
5
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
3,2
4
1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
5
2
1
2
1
2
1
)1(23
)2(21
4
3
4
1
4
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4
1
2
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所以
.
4
3
4
1
4
5
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
1
?
?
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?
?
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??
?
?
??A
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例 4 解矩阵方程 其中,BAX ?
.
31
52
41
,
100
210
321
?
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?
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?
?
?
?
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?
? BA
解 显然 A是可逆的,先求出
.
100
210
121
1
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??A
再在原方程两边左乘 得,1?A
.11 BAAXA ?? ?
上页 下页 铃结束返回34 首页
所以
.
31
110
94
31
52
41
100
210
121
1
?
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?
?
?
?? ? BAX
注：当 n > 3时，求 的计算量较大，因此公式
（ *）常用于理论的证明,
*A
上页 下页 铃结束返回35 首页
2.2.6 矩阵乘积的行列式
引理 2.2.6,n阶矩阵 A总可以通过第三种行和列的初等
变换化为对角矩阵
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
nd
d
d
A
0
0
2
1
|||| 21 AdddA n ?? ?且
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① 若 A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使 A
的左上角的元素不为零,
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2
1
1
12
00
0
0
n
n
n n n n
a a a d
a a a
B
A
a a a
?? ??
?? ??
??
?? ??
????
② 若 A的第一行，第一列元素全为零，则已具有
的形式，同理，可以把 化为
1B
1B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
000
000
2
2
1
A
d
d
??
?
?
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继续作第三种初等变换，则可将 A化为对角形矩阵，
且
ndddAA ?21|||| ??
定理,设 A,B为 n 阶矩阵，则
|AB| = |A| |B|
证
① 若 A为对角矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
nd
d
d
A
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2
1
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnnnnn
n
n
adadad
adadad
adadad
AB
?
????
?
?
21
22222212
11121111
则
|||||||| 21 BABdddAB n ?? ?
tss TTATTTA ?? 121 ??
② 对一般情形，由引理 5.2.6,A可通过第三种变换化
为对角矩阵,即存在初等矩阵 使A
sTT,,1 ?
|||| 121 BTTATTTAB tss ?? ??从而
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||||
||||
||)(
1
1121
BA
BTTA
BTTABTTATTT
ts
tstss
?
?
?
?
??
?
???
推广 ||||||||
2121 mm AAAAAA ?? ?
相当于对 作第三种行
初等变换, 故
BTTA ts ?1? )( 121 BTTATTT tss ?? ?
定理 A,B为 m× n及 n× p阶矩阵，则秩（ AB） ≤秩 A，
秩（ AB） ≤秩 B,特别当 A可逆时，秩（ AB） = 秩 B,
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推论,),,m i n ()(
2121 mm AAAAAA 秩秩秩秩 ?? ?
例 5 A可逆，则存在 n 阶可逆矩阵 P,Q，使
PAQ = I
证,A可逆，则
11
11
,
,
p p q
p p q
AI
E E A E E I
P E E Q E E
?
?
???
?
??令,易 知 P,Q 可 逆,
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一、内容分布
2.3.1 分块矩阵的概念
2.3.2 分块矩阵的运算
2.3.3 特殊的分块矩阵
二、教学目的
1 掌握分块矩阵的概念及分块矩阵的运算
2 掌握分块准对角,分块三角阵,分块次对角等特殊的分
块矩阵及相关公式
三、重点、难点
利用矩阵的分块作乘法运算及如何利用 分块矩阵解题
2.3 分块矩阵
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在行列式 中任意取定了 行,由这 行元素所组
成的一切 级子式与它们的 代数余子式 的乘积的和等
于行列式,D
k
k kD
ssss
s
rrrr
r
sssssrss
sr
rrrr
r
b bb
b bb
a aa
a aa
b bb c c c
b b b c c c
a aa
a aa
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???
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?
???
?
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??????
??
??
??????
??
21
11211
21
11211
2121
1121111211
21
11211
0 0 0
0 0 0
??
复习,拉普拉斯 (Laplace)定理
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一、分块矩阵的概念
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A ??
?
?
???
??
2221
1211
AA
AA
?
?
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?
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?
?
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A
???
?
???
??
232221
131211
AAA
AAA
定义 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块
称为矩阵的子块 (或子阵 ),以子块为元素形成的矩阵称为
分块矩阵。
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1,线性运算 （加法与数乘）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
srss
r
r
mn
BBB
BBB
BBB
B
?
????
?
?
21
22221
11211
二, 分块矩阵的运算
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
r
r
nm
srss
A A A
A A A
A
A A A
?
??
??
??
??
??
?
11 12 1
21 22 2
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
r
r
nm
s s s r
r
r
nm
srss
B B A
B B B
B
B B B
A A A
A A A
A
A A A
??
??? ? ?
??
? ? ?
?
??
? ? ?
??
?
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1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
r
r
nm
srss
k A k A k A
k A k A k A
kA
k A k A k A
?
??
??
??
??
??
?
2,乘法运算
?
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???
sr
r
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ss
mn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A 2
1
2
22
12
1
21
11
?
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?
?
?
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?
?
?
?
rrtrr
t
t
pm
BBB
BBB
BBB
B
?
????
?
?
21
22221
11211
符合乘法的要求
?
?
?
?
r
k
kjikij
ij
BAC
CAB
1
,)(
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例 1 设
1 0 0 0
0 1 0 0
,
1 2 1 0
1 1 0 1
A
??
??
?
???
??
1 0 3 2
1 2 0 1
,
1 0 4 1
1 1 2 0
B
??
??
?
?
??
????
为了求乘积 AB，我们可以对 A,B如下地分块
1 0 0 0
0 1 0 0
1 2 1 0
1 1 0 1
A
??
??
???
???
??
??
1
IO
AI
???
??
??
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这里 I 是二阶单位矩阵,O 是二阶零矩阵,
1 0 3 2
1 2 0 1
1 0 4 1
1 1 2 0
B
??
??
?
?
??
????
12
34
BB
BB
???
??
??
按照分块矩阵的乘法，我们有
12
1 1 3 1 2 4
BB
AB
A B B A B B
???
????
??
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这里
1 1 3
1 2 1 0 1 0 2 4,
1 1 1 2 1 1 1 1A B B
??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 4
1 2 3 2 4 1 1 1,
1 1 0 1 2 0 5 3A B B
?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
1 0 3 2
1 2 0 1
2 4 1 1
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3,转置运算
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1,准对角阵
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三, 特殊的分块阵
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例 2
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OXAXA ?? 22121211 1221211112 ????? AAAX
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的逆阵求
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解,将矩阵分块
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例 3
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解,将矩阵分块
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0031
0052
3/1000
3/2100
例 3
3,分块次对角阵
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小结,
一,分块矩阵的概念
将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每
一小块称为矩阵的子块 (或子阵 ),以子块为元
素形成的矩阵称为分块矩阵。
注意,分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且
子块也是矩阵。
作用,①简化高阶矩阵运算
②简化运算的表达形式
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二,分块矩阵的运算,
1,线性运算
2,乘法运算
① 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算
的要求
② 相应的子块间也应符合运算的要求
3,转置运算,
注意,大块小块一起转
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三, 特殊的分块矩阵
1,准对角,
2,分块三角阵
3,分块次对角
4,一些重要公式
