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第 3章 线性方程组
3.1 消元法
3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法
3.3 线性方程组的公式解
3.4 结式和判别式
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伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都
把理论和应用视为同等重要而紧密相关。
——克莱因（ Klein F,1849－ 1925）
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3.1 消元法
1.内容分布
3.1.1 线性方程组的初等变换
3.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵
3.1.3 线性方程组有解的判别
2.教学目的,
会用消元法解线性方程组
3.重点难点,
线性方程组的消元解法
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前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种
方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系
数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性
方程组：
在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是 消元法,
（ 1）
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例 1 解线性方程组：
从第一和第三个方程分别减去第二个方程的 1/2倍和 2
倍，来消去这两个方程中的未知量
.25
3
4
2
,33
3
5
,1
3
1
2
1
321
321
321
???
???
???
xxx
xxx
xxx
（ 2）
)( 11 的系数化为零即把 xx
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得到：
42
33
3
5
2
1
2
1
2
1
32
321
31
????
???
????
xx
xxx
xx
.42
1
,33
3
5
32
31
321
????
??
???
xx
xx
xxx
为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二
个方程交换，得：
2x
把第二个方程的 2倍加到第三个方程，消去后一方程
中的未知量,得到
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.2
1
33
3
5
3
32
321
??
??
???
x
xx
xxx
2
3
9
3
5
3
2
21
??
?
??
x
x
xx
2
3
4
3
2
1
??
?
?
x
x
x
现在很容易求出方程组（ 2）的解, 从第一个方程
减去第三个方程的 3倍，再从第二个方程减去第三
个方程，得
再从第一个方程减去第二个方程的 5/3倍，得：
这样我们就求出方程组的解,
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① 交换两个方程的位置；
②用一个不等于零的数某一个方程；
③ 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程,
3.1.1 线性方程组的初等变换
线性方程的初等变换：
对方程组施行下面三种变换：
这三种变换叫作线性方程组的初等变换,
定理 3.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与
它同解的线性方程组
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线性方程组的（ 1）的系数可以排成下面的一个表：
而利用（ 1）的系数和常数项又可以排成下表：
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?
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?
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?
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?
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?
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
（ 3）
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?
?
?
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mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
?
?????
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?
21
222221
111211
（ 4）
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3.1.2矩阵的初等变换
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?
?
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?
?
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?
stss
t
t
ccc
ccc
acc
?
????
?
?
21
22221
11211
ijc
定义 1 由 st个数 排成一个 s行 t 列的表
叫做一个 s行 t列（或 s× t）的矩阵，
ijc
叫做这个矩阵的元素,
注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全
不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一
个矩阵仅仅是一个表,
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矩阵（ 3）和（ 4）分别叫作线性方程组（ 1）的系
数矩阵和增广矩阵, 一个线性方程组的增广矩阵显
然完全代表这个方程组,
定义 2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵
施行的下列变换：
3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行
（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一
个元素后加到另一行（列）的对应元素上,
1) 交换矩阵的两行（列）
2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即
用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一
个元素；
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显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于
对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简
线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵,
因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,
下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵
来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出,
在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的
目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简,
因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个
线性方程组的系数矩阵的问题, 在此，为了叙述的方
便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即
允许施行第一种列初等变换, 后一种初等变换相当于
交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研
究,
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在例 1中，我们曾把方程组（ 2）的系数矩阵
?
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5
3
4
2
3
3
5
1
1
3
1
2
1
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100
110
3
3
5
1
先化为
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?
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?
100
010
001
然后，进一步化为
定理 3.1.2 设 A是一个
m行 n列的矩阵：
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?
?
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?
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?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
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????
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21
22221
11211
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通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A化为
以下形式：
?
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?
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00
0
00
**1000
****10
*****1
??????
???????
??????
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????????
??
??
行r
(5)
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这里,,,nrmror ??? * 表示矩阵的元素，但
不同位置上的 * 表示的元素未必相同,
ija
证 若是矩阵 A的元素 都等于零，那么 A
已有（ 5）的形式
进而化为以下形式，
?
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00
00
1000
0010
0001
1,
21,2
11,1
??????
????????
??????
??
????????
??
??
rnrr
nr
nr
cc
cc
cc
（ 6）
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ija
1 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适
当倍数，矩阵 A化为
ija
设某一 不等于零，必要时交换矩阵的行和
列，可以使这个元素位在矩阵的左上角,
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?
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?
?
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**0
**0
**1
?
????
?
?
B
若 B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，
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那么 B 已有（ 5）的形式, 设 B 的后 m – 1 行中有
一个元素 b 不为零，把 b 换到第二行第二列的
交点位置，然后用上面同样的方法，可把 B 化为
?
?
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**00
**00
**10
***1
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?????
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如此继续下去，最后可以得出一个形如（ 5）的矩阵,
形如（ 5）的矩阵可以进一步化为形如（ 6）的矩阵是
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显然的, 只要把由第一，第二,…,第 r – 1 行
分别减去第 r 行的适当倍数，再由第一，第二,…,
第 r – 2行分别减去第 r – 1行的适当倍数，等等,
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3.1.3用消元法解线性方程组
考察方程组（ 1）的增广矩阵（ 4）, 由定理 4.1.2，
我们可以对（ 1）的系数矩阵（ 3）施行一些初等变
换而把它化为矩阵（ 6）, 对增广矩阵（ 4）施行同
样的初等变换，那么（ 4）化为以下形式的矩阵：
?
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?
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m
r
rrnrr
nr
nr
d
d
dcc
dcc
dcc
00
00
100
010
001
1
1,
221,2
111,1
?????
????????
?????
??
????????
??
??
(7)
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与（ 7）相当的线性方程组是
m
r
rirnirri
iniri
iniri
d
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
nrr
nr
nr
?
?
????
????
????
?
?
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?
?
?
?
0
0
1
1,
221,2
111,1
1
12
11
??????????????
?
??????????????
?
?
（ 8）
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由于方程组（ 8）可以由方程组（ 1）通过方程组的初
等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理
4.1.1，方程组（ 8）与方程组（ 1）同解, 因此，要
解方程组（ 1），只需解方程组（ 8）, 但方程组（ 8）
是否有解以及有怎样的解都容易看出,
niii,,,21 ?
这里 是 1,2,…, n 的一个全排列,
情形 1，
mr ddmr,,,1 ??? 而
这时方程组（ 8）无解，因为它的后 m – r 个方程中
至少有一个无解, 因此方程组（ 1）也无解,
不全为零，
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情形 2，
当 r = n 时，方程组（ 9）有唯一解，就是
ntdx ti t,,2,1,???
这也是方程组（ 1）的唯一解,
mr ddmrmr,,1 ???? 而或
全为零，这时方程组（ 8）方程组
rirnirri
iniri
iniri
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
nrr
nr
nr
????
????
????
?
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?
?
?
?
?
????????????
?
?
1
12
11
1,
221,2
111,1
同解,
(9)
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当 r < n 时，方程组（ 9）可以改写成
nrr
nr
nr
irnirrri
iniri
iniri
xcxcdx
xcxcdx
xcxcdx
????
????
????
?
?
?
?
?
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????????????
?
?
1
12
11
1,
21,22
11,11
(10)
nr ii xx,,1 ??
1,,rniikk?
于是，给予未知量 以任意一组数值
，就得到（ 9）的一个解：
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nn
rr
nrr
nr
ii
ii
irnirrri
iniri
kx
kx
xckcdx
kckcdx
?
?
????
????
??
?
?
?
?
???
?
????????????
?
11
1
11
1,
11,11
nr ii kk,,1 ??
nr ii xx,,1 ??
这也是（ 1）的一个解, 由于
可以任意选取，用这一方法可以得到（ 1）的无穷
多解, 另一方面，由于（ 9）的任一解都必须满足
（ 10），所以（ 9）的全部解，亦即（ 1）的全部解
都可以用以上方法得出, 我们把未知量
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叫做自由未知量，而把（ 10）叫做方程组（ 1）的
一般解,
0563
1242
725
4321
4321
4321
????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
例 2 解线性方程组
这样，线性方程组（ 1）有没有解，以及有怎样的解，
都可以从矩阵（ 7）看出, 因此，我们完全可以就方
程组（ 9）的增广矩阵来解这个方程组,
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?
?
?
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??
?
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05631
12412
71215
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1121670
72432140
05631
施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含
的系数矩阵先化为（ 5），再化为（ 6）的形式, 由
第一和第二行分别减去第三行的 5 倍和 2 倍，然后
把第三行换到第一行的位置，得
解,对增广矩阵
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由第二行减去第三行的 2倍，得
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
??
1121670
50000
05631
虽然我们还没有把增广矩阵化成（ 5）的形式，但已
可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程
是
0 = 5
所以原方程无解,
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?
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?
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?
?
?
?
?
???
??
??
215921
82321
31042
51321
21592
8232
342
532
4321
4321
421
4321
?????
?????
????
????
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
例 3 解线性方程组
解,这里的增广矩阵是
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?
?
?
?
?
?
?
???
???
2661200
133600
133600
51321
继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
00000
00000
6
13
2
1
100
51321
这个矩阵本质上已有（ 5）的形式，这一点只要交换
矩阵的第二和第三两列就可以看出, 进一步由第一
行减去第二行的三倍，得出相当于（ 6）型的矩阵
把第一行的适当倍数加到其它各行，得
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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? ??
00000
00000
6
13
2
1
100
2
3
2
1
021
6
13
2
1
2
3
2
1
2
43
421
??
????
xx
xxx对应的线性方程组是
42,xx
43
421
2
1
6
13
2
1
2
2
3
xx
xxx
??
????
把 移到右边，作为自由未知数，得原方程组
的一般解：
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3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法
1.内容分布
3.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩
阵的秩
3.2.2 线性方程组可解的判别法
2.教学目的,
1)理解矩阵秩的定义
2)会用初等变换求矩阵的秩
3)会用消元法解线性方程组
3.重点难点,
矩阵秩的定义 线性方程组的可解的判别法
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3.2.1 k阶子式,矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩
在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组：
.
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
????
????
????
?
???????????
?
?
(1)
这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还
有几个问题没解决。
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简化为以下形式一个矩阵
（甲） 利用初等变换把方程组（ 1）的系数矩阵
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
（ 2）
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?
?
?
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00
00
1000
0010
0001
1,
21,2
11,1
??????
????????
??????
??
????????
??
??
rnrr
nr
nr
cc
cc
cc
（ 3）
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并且看到，在矩阵（ 3）中出现的整数 r在讨论中占有
重要的地位, 但是我们对这个整数还没有什么了解, r
和系数矩阵（ 2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵
（ 2）所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因
为我们可以用不同的初等变换，把系数矩阵（ 2）化为
形如（ 3）的矩阵,
（乙） 方程组（ 1）有解时，它的系数应该满足什
么条件？
（丙） 我们没有得出，用方程组的系数和常数项
来表示解的公式，而解的公式在理论上有重要的
意义,
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100
010
001
?
????
?
?
矩阵的秩
利用一个矩阵的元素可以构成一系列的行列式,
,位于这些行列交点处的元素（不改变元素相对的位
置）所构成的 k 阶行列式叫作这个矩阵的一个 k阶子
式, 我们看一看，在矩阵（ 3）中出现的整数 r和这个
矩阵的子式之间有些什么关系, 假定 r>0, 这时，矩
阵（ 3）含有一个 r 阶的子式：
),( tksk ??定义 1 在一个 s行 t列的矩阵中，任取 k行 k列
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定义 2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这
个矩阵的秩, 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认
为这个矩阵的秩是零,
按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的
行的个数，也不能超过它的列的个数, 一个矩阵 A的
秩用秩 A来表示,
显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩
阵的秩才能是零,
这个子式不等于零, 但矩阵（ 3）不含阶数高于 r的不
等于零的子式, 这是因为；在 r = m 或 r = n 时，矩
阵（ 3）根本不含阶数高于 r的子式；而当 r < m,
r < n 时，矩阵（ 3）的任何一个阶数高于 r的了式都
至少含有一个元素全为零的行，因而必然等于零, 这
样,r等于矩阵（ 3）中的不等于零的子式的最大阶数,
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证明 我们先说明以下事实：若是对一个矩阵 A施行
某一行或列的初等变换而等到矩阵 B，那么对 B施行
同一种初等变换又可以得到 A,事实上，若是交换 A
的第 i行与第 j行而得到 B，那么交换 B 的第 i行与第
j列就得到 A；若是把 A的第 i行乘以一不等于零的数
a而得到 B，那么将 B的第 i行乘以 1/a就又可以得到 A；
若是把 A的第 j行乘以数 k加到第 i行得到 B，那么 B的
第 j行乘以 – k加到第 i行就得到 A,列的初等变换
的情形显然完全一样,
现在我们就用第三种行初等变换来证明定理,
定理 3.2.1 初等变换不改变矩阵的秩,
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jnj
jninji
jnj
ini
aa
kaakaa
B
aa
aa
A
1
11
1
1
,
并且 A 的秩是 r, 我们证明,B 的秩也 是 r, 先证明，
B 的秩不超过 r, 设矩阵 B 有 s 阶子式 D，而 s >
r, 那么有三种可能的情形,
① D不含第 i 行的元素，这时 D也是矩阵 A的一个 s阶
子式，而 s大于 A的秩 r,因此 D= 0.
设把一矩阵的第 j 行乘以 k加到第 i行而得到矩阵 B：
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?????
?
?????
?
?????
?????
?
?????
?
?????
s
s
s
jtjt
itit
jtjt
jtitjtit
aa
aa
aa
kaakaa
D
1
11
1
111
?
??
?
因为后一行列式是矩阵 A的一个 s阶子式,
② D含第 i行的元素，也含第 j行的元素, 这时，由
命题 3.3.10
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21111
kDDkaakaaD
sjtitjtit
?????
?????
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?????
?????
?
?????
?????
?
?????
sjtjtitit
aaDaaD
111 21
??
这里
1D 2D由于 是矩阵 A的一个 s阶的子式，而 与 A的 一个 s
阶子式最多差一个符号，所以这两个行列式都等于零，
从而 D = 0,
③ D含第 i行的元素，但不含第 j行的元素，这时
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BA 秩秩 ?
但我们也可以对矩阵 B 施行第三种行初等变换而得到
矩阵 A,因此，也有
AB 秩秩 ?
因此，在矩阵 B有阶数大于 r的子式的情形,B 的任何
这样的子式都等于零，而 B的秩也不超过 r,
这样，在任何情形，都有
这样，我们也就证明了，秩 A = 秩 B,即第三种行初
等变换不改变矩阵的秩, 对于其它的初等变换来说，
我们可以完全类似地证明定理成立,
这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）,
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定理 3.2.1给了一种方法，不必计算一个矩阵 A的
子式就能求出 A的秩来, 我们只需利用初等变换
把 A化成 4.1中（ 5）型的矩阵，然后数一数，在
化得的矩阵有几个含有非零的元素的行, 这样，
问题（乙）也就容易解决,
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3.2.2 线性方程组可解的判别法
A 表示方程组（ 1）的增广矩阵：证
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
?
?????
?
?
21
222221
111211
定理 3.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组
（ 1）有解的充分且必要条件是,它的系数矩阵与增广
矩阵有相同的秩,
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
r
rrnrr
nr
nr
d
d
dcc
dcc
dcc
B
00
00
100
010
001
1
1,
221,2
111,1
?????
????????
?????
??
????????
??
??
A
那么 的前 n 列作成的矩阵 A 就是（ 1）的系数矩阵,
利用定理 3.1.2所指出的那种初等变换把 化为
A
并且用 B表示 的前 n列作成的矩阵, 那么由定理 3.2.1
得：
B
BArBA 秩秩秩秩 ???,（ 4）
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故定理得证,
01 ???? mr dd ?
rB ? AA 秩秩 ?
现在设线性方程组（ 1）有解, 那么或者 r = m，或者
r < m,而,这两种情形都有
秩,于是由（ 4）得,,
AA 秩秩 ?
01 ???? mr dd ?
反过来，设,那么由（ 4）得，的秩也是 r,
由此得，或者 r = m,或者 r< m 而,
因而方程组（ 1）有解,
定理 3.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相
同的秩，那么当 r 等于方程组所含的未知量的个数 n
时，方程组有唯一解；当 r < n 时，方程组有无穷多
解,
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1.内容分布
3.3.1 线性方程组的公式解
3.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念
3.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件
2.教学目的
1)会用公式解法解线性方程组
2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件
3.重点难点
齐次线性方程组有非零解的充要条件
3.3 线性方程组的公式解
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3.3.1 线性方程组的公式解
例 1 考察线性方程组
.
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
????
???????????
????
????
?
?
?
(1)
.74
,332
,22
321
321
321
???
???
???
xxx
xxx
xxx
(2)
考虑线性方程组
321,,GGG
我们把这三个方程依次用 来表示，
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那么在这三个方程间有以下关系：
.2 213 GGG ??
这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此
由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程
组和由它的前两个方程所组成的方程组
332
22
321
321
???
???
xxx
xxx 同解。
mGGG,,,21 ?
iG
tiii GGG,,,21 ?
tkkk,,,21 ?
来表示。若是在这 m个方程中，某一个方程
t个方程
,使关系式
同样，把方程组（ 1）的 m个方程依次用
是其它
的结果，也就是说，若是存在
t个数
titiii GkGkGkG ???? ?21 21成立,那么我们可以在方程组（ 1）中舍去方程
iG
而把方程组（ 1）化简。
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A
定理 3.3.1 设方程组（ 1）有解，它的系数矩阵 A和增
广矩阵 的共同秩是 0?r,那么可以在（ 1）的 m
个方程中选出 r 个方程，使得剩下的 m –r 个方程中的
每一个都是这 r 个方程的结果，因而解方程组（ 1）
可以归结为解由这 r个方程所组成的线性方程组。
0?D
证 由于方程组（ 1）的系数矩阵 A的秩是 r，所以 A至
少含有一个 r阶子式 。
为了叙述方便,不妨假定 D位在 A的左上角，因而也位
在增广矩阵,A 的左上角：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
mmnrmmrm
rnrrrrrr
rrnrrrrr
nrr
baaaa
baaaa
baaaa
D
baaaa
A
??
???????
??
??
??????
??
1,1
1,11,1,11,1
1,1
111,1111
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现在我们证明，方程组（ 1）的后 m -r 个方程中的每
一个都是（ 1）的前 r 个方程
.
,
,
11,11
2211,22121
1111,11111
rnrnrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
??????
???????????
??????
??????
??
??
??
??
??
??
(3)
的结果,
看（ 1）的后 m -r 个方程中的任一个，例如第
)( miri ?? 个方程
1 1 1 1i i r r i r r i n n ia x a x a x a x b??? ? ? ? ? ?
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我们需要证明，存在 r 个数
rkkk,,,21 ?
，使得
rri GkGkGkG ???? ?2211
亦即使
irr
inrrnnn
irrrrr
irrrrrr
irr
bkbkbkb
akakaka
akakaka
akakaka
akakaka
????
????
????????????????
????
????
??????????????
????
???
?
?
?
?
?
2211
2211
11,21,211,1
2211
11221111
(4)
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为此我们先把 rkkk,,,21 ? 看作是未知量，而来 证明线
性方程组（ 4）有解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
ir
inrnnn
rirrrr
irrrrr
ir
bbbb
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
?
?
?????
?
?
?????
?
21
21
1,1,1,21,1
21
112111
方程组（ 4）的增广矩阵是
而 的前 r列作成（ 4）的系数矩阵 B，我们要计算矩
阵 B和 的秩。注意,的列刚好是方程组（ 1）的
增广矩阵 的某些行。 这样，矩阵 的左上角的 r
阶子
B
B B
A B
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0
1
111
??? D
aa
aa
rrr
r
?
???
?
式刚好是 子式 D 的转置行列式，因而不等于零：A
由
于
也
是
矩
阵 B
的
D? BB 1?rD
ABBA A1?rD
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假定方程组（ 1）满足定理 3.3.1的条件，于是由
定理 3.3.1，解方程组（ 1），只需解方程组（ 3）。我
们分别看 的情形。nrnr ?? 和
方程组（ 1）的公式解：
若是,那么 (3)就是方程个数等于未知量个
数的一个线性方程组，并且它的系数行列式,所
以 (3)有唯一解，这个解可由克拉默规则给出，这个解
也是方程组 (1)的唯一解。
nr ?
0?D
rn?现在设,这时方程组 (3)的前 r个未知量的
系数所构成的行列式,在方程组（ 3）中把含未
知量 的项移到右边，
0?D
nrr xxx,,,21 ???
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方程组（ 3）可以写成：
.
,
,
11,11
211,222121
111,111111
nrnrrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xaxabxaxa
xaxabxaxa
xaxabxaxa
??????
???????????
??????
??????
??
??
??
??
??
??
(3’)
nrr xxx,,,21 ???
rxxx,,,21 ?
rxxx,,,21 ?
暂时假定 是数，那么（ 3’）变成 r
个未知量 的 r 个方程。用克拉默规则解
出 得
,,,,2211 DDxDDxDDx rr ??? ?(5)
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这里
rrnrnrrrrr
rnnrr
rnnrr
j
axaxaba
axaxaba
axaxaba
D
???
?????
???
???
???
???
???
?
??
??
??
11,1
2211,2221
1111,1111
把（ 5）中的行列式展开，（ 5）可以写成
.
,
,
11,
211,222
111,111
nrnrrrrr
nnrr
nnrr
xcxcdx
xcxcdx
xcxcdx
????
????
????
??
??
??
?
?????????????
?
?
(6)
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klk cd 和
nrr xxx,,,21 ???
rxxx,,,21 ?
这里 都是可以由方程组（ 1）的系数和常数项
表示的数。现仍旧把（ 6）中 看成未
知量，那么（ 6）是一个线性方程组，从以上的讨论
容易看出，方程组（ 6）与方程组（ 3’）同解，因而
和方程组（ 1）同解。正如用消元法解线性方程组的
情形一样，方程组（ 6）给出方程组（ 1）的一般解，
而 是自由未知量，要求方程组（ 1）
的一个解，只需给予自由未知量
任意一组数值，然后由（ 6）算出未知量
的对应值，并且（ 1）的所有解都可以这样得到。
nrr xxx,,,21 ???
nrr xxx,,,21 ???
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由于（ 6）的系数和常数项都可以由方程组（ 1）的
系数和常数项表出，所以（ 6）或它的前身（ 5）都
给出求方程组（ 1）的解的公式。
例 2 已知线性方程组
的系数矩阵和增广矩阵的秩都是 2，并且行列式
1434333232131
2424323222121
1414313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
????
????
????
(7)
.0
2321
1311 ??
aa
aa
D
求解这个方程组的公式，并求出一个解。
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由定理 3.3.1，解方程组（ 7）只需解前两个方程，把
42,xx 作为自由未知量，移到右边，得
4242222323121
4142121313111
xaxabxaxa
xaxabxaxa
????
????
31,xx
用克拉默规则解出 得
D
axaxab
axaxab
x 234242222
134142121
1
??
??
?
D
xaxaba
xaxaba
x 424222221
414212111
3
??
??
?
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4142324132231213222131231 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????
4241114212221112211212113 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????
即：
1,0 42 ?? xx令,我们就得到方程组的一个解：
,0),(1)(1 2142324132131231 ????? xaaaaDbabaDx
.1),(1)(1 4241114211212113 ????? xaaaaDbabaDx
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用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，
因为需要计算许多行列式。因此在实际求线性方
程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数
学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求
出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种
情况下，我们有时要用到（ 5）式或（ 6）式。
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3.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念
定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么
这个方程组叫做一个 齐次线性方程组,
我们来看一个齐次线性方程组
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
????
???????????
????
????
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
?
?
(8)
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这个方程组永远有解：显然
0,,0,0 21 ??? nxxx ?
就是方程组（ 8）的一个解，这个解叫做 零解 。如
果方程组（ 8）还有其它解，那么这些解就叫作 非
零解 。
齐次线性方程组永远有解,
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3.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件
定理 3.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充分且
必要条件是：它的系数矩阵的秩 r小于它的未知量的
个数 n。
nr ?
nr ?
证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。
当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解
外，必然还有非零解。
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推论 3.3.3 含有 n个未知量 n个方程的齐次线性方程
组有非零解的充分且必要条件是,方程组的系数行列
式等于零 。
因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就
是说，方程组的系数矩阵的秩小于 n.
推论 3.3.4 若在一个齐次线性方程组中，方程的
个数 m小于未知量的个数 n，那么这个方程组一定有
解。
因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩 r不
能超过 m，因而一定小于 n,
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1.内容分布
3.4.1结式与多项式的公根
3.4.2多项式的判别式
2.教学目的,
了解多项式有公根的判别
了解多项式的判别式的定义
3.重点难点,
多项式有公根的判别
3.4 结式和判别式
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,0)( 110 ????? ? mmm aaaaaf ??
.0)( 110 ????? ? nnn bababg ??
3.4.1结式与多项式的公根
)()( xgxf 与,?假设 在 C 内有公根
1,,,21 ??? ??? nn 1,,,21 ??? ??? mm
nm ?
依次用 乘第一个等式,用
乘第二个等式,我们得到以下 个等式,
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,0
,0
,0
,0
,0
,0
1
1
10
21
1
2
0
12
1
1
0
1
2
1
1
0
21
1
2
0
12
1
1
0
?????
????
????
?????
????
????
?
?
??
?
??
?????
?
??
??
?
??
?????
nn
nn
m
n
m
n
nm
m
m
mnnm
mm
mm
n
m
n
m
nm
n
m
mnnm
bababab
ababab
ababab
aaaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
?
???????????????
?
?
?
???????????????
?
?
1,,,21 ??? ????? nmnm nm?
nm?
这就表明,是一个含有 个未
知量,个方程的齐次线性方程组的非零解,因此
系数行列式,
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n
n
n
m
m
m
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
D
?
??
?
?
?
??
?
?
10
10
10
10
10
10
0
0
0
0
?
必须等于零,
行列式 D叫做多项式 的结式,并且用符号
来表示,
结式 不但 有公根时等于零,而且
当 时显然也等于零,于是就得到
)()( xgxf 与),( gfR
),( gfR
)()( xgxf 与
000 ?? ba
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定理 3.4.1 如果多项式
1
01
1
01
( ) ( 0 ),
( ) ( 0 )
mm
m
nn
n
f x a x a x a m
g x b x b x b n
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
定理 3.4.2 设
,00 ?a )(,,,21 xfCm 是???? ?(i) 如果 而 的全部根,那么
).()()(),( 210 mn gggagfR ??? ??(1)
000 ?? ba有公根,或者,那么它们的结式等于零,
),( gfR是复数域 C上多项式, 是它们的结式,
)0()(
)0()(
1
10
1
10
?????
?????
?
?
nbxbxbxg
maxaxaxf
n
nn
m
mm
?
?
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(ii) 如果,而 的全部根,那
么 00 ?b
)(,,,21 xgCn 是???? ?
).()()()1(),( 210 nmmn fffbgfR ??? ???(2)
证 我们对 m 作数学归纳法来证明公式 (1)。先看 m=1的
情形，这时
.0,)( 010 ??? aaxaxf
)(xf 的根是 01 / aa??? 。而
nn
bbbb
aa
aa
aa
gfR
110
10
10
10
),(
?
?
?
??
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把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第
二列乘以 加到第三列上,…,最后，把新的第 n列
乘以 加到第 n+1列上，这时行列式中元素 都被
消去，而最后一行的元素依次等于
?
?
?
1?
)(
,,,,,
1
10
1
2
1
1
021
2
0100
???
?????
gbbb
bbbbbbbbb
n
nn
n
nn
????
??????
?
?
??
?
??
因此
).(
)(
),(
0
100
0
0
0
?
??
ga
gbbb
a
a
a
gfR
n
?
?
?
??
?
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1110)( ?? ????? kkkk axaxaxaxf ?
),()())(()( 110 xfxcxcxaxxf kkk ?? ??????? ? ?
1?? km 1?? km假设当 时公式（ 1）成立。我们看
的情形，这时
)(,,,10 xfCk 是?? ???? ?令 的全部根。那么
这里 是一个 k次多项式，
它的根是 比较 的系数，我们有
][)( 110 xCcxcxaxf kkk ????? ? ?
.,,,10 k??? ? )(xf
,,,,,11122011 ???? kkkkk caccaccaaca ???????? ???
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因此
n
n
n
kkk
kkk
kkk
bbb
bbb
bbb
cccaca
cccaca
cccaca
gfR
??
?????
??
??
??
?????
??
??
10
10
10
1010
1010
1010
),(
???
???
???
???
???
???
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
行
行
1
)(
)()()(
)()()()(
),(
100
12
100
1
100
210
210
210
k
n
gbbb
gggbbb
ggggbbb
ccca
ccca
ccca
gfR
kk
kk
k
k
k
??
??????
????????
??
??????
??
??
?
?????
?
?
把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列
乘以 加到第三列上,……,最后,把第 n+k列乘以 加到
第 n+k+1列上，并且注到
?
? ?
)(110 ??? gbbb nnn ???? ? ?
我们得到
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)(
0
),(
100
10
10
10
10
10
?? gbbb
bbb
bbb
cca
cca
cca
gfR
n
n
k
k
k
??
??
?????
??
?
?????
?
?
?
?
1)(),( DggfR ??把这个行列式依最后一列展开，我们有
再依次把第 n+2行乘以 加到第 n+1行，把第 n+3行
乘以 加到第 n+2行,…… 最后，把第 n+k+1行乘以
加到第 n+k行，于是
??
??
??
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这里 是位于最后的行列式左上角的 n+k阶行列式，它
恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设，
1D
)()( xgxf 与
)()( 101 kn ggaD ?? ??
)()()(),( 10 kn gggagfR ??? ??于是
公式（ 1）被证明。
容易看出，通过适当对调行列式 D的行，可以得到
),()1(),( fgRgfR mn??（ 3）
因此，如果 而 是 的全部根，那么
由（ 1）可得（ 2）。
00 ?b n???,,,21 ? )(xg
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定理 3.4.3 如果多项式 的结式等于零，
那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个
多项式有公根。
)()( xgxf 与
证 设,如果,那么由（ 1），一定
有某一,从而 是 的一个公根，
如果 那么由（ 2）也可以推出 有公根。
0),( ?gfR 00 ?a
ia )()( xgxf 与
00 ?b
0)( ?ig ?
)()( xgxf 与
例 1 多项式
21202120 )(,)( bxbxbxgaxaxaxf ??????
的结式是
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210
210
210
210
0
0
0
0
),(
bbb
bbb
aaa
aaa
gfR ?
))(()(),( 1221011020220 babababababagfR ?????
000 ??ba
如果 。以 乘第一行加到第三行，然后按第
一列展开，得
00 ?a
0
0
a
b?
如果,同样的计算也可以得到上面的等式。当
时，上面的展开式的右端等于零，不论在任
何情形，上面的展开式都成立。
00 ?b
000 ?? ba
例如,没有公根，
因为这时 。
如果,那么
，从而 有公根。实际上,5是
这两个多项式的公根。
1)(22)( 22 ?????? xxxgxxxf 与
1),( ?gfR
107)(,54)( 22 ?????? xxxgxxxf
0),( ?gfR )()( xgxf 与
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)()( xgxf 与与
现在利用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题。
设 是两个复系数二元多项式，我们按 x
的降幂写出这两个多项式：
),(),( yxgyxf 与
)()()(),( 110 yaxyaxyayxf sss ???? ? ?
)()()(),( 110 ybxybxybyxg ttt ???? ? ?
把 分别看成 f 中
和 g中 的系数，然后求出 f 和 g 的结式，记作
,是 y 的一个多项式：
,,,1,0;,,2,1),()( tjsiybya ji ?? ??和 tsx ?
jtx ? ),( gfRx
),( gfR x
)(),( ygfR x ??
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如果多项式 有公共零点,那
么以 代替 中的文字 y，所得到的一元
多项式 有公根，由定理 4.4.1，它们的结
式,这就是说,是多项式
的一个根。反过来，如果结式 有根,那么以
代替多项式 中的文字 y，我们得到 x
的多项式
),(),( yxgyxf 与 ?? ?? yx,
? ),(),( yxgyxf 与
),(),( ?? xgxf
0)( ??? ? ),()( gfRy x??
),( gfR x ?
? ),(),( yxgyxf 与
)()()(),( 110 ???? sss axaxaxf ???? ? ?
101(,) ( ) ( ) ( )tt tg x b x b x b? ? ? ??? ? ? ?
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的结式,因而由定理 4.4.3，或者
或者 有公根。
这样，求两个未知量两个方程
0)( ??? 0)()( 00 ?? ?? ba
),(),( ?? xgxf 与
0),(0),( ?? yxgyxf 和
的公共解可以归结为求一个未知量的一个方程
0)( ?y?
的根，也就是说，可以用从两个方程中消去一个未知
量，所以这个过程通常叫做未知量的消去法。
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例 2 求方程组
?
?
?
?????
?????
03222),(
0323),( 2
yxxyyxg
yxyyxyxf（ 4）
的解。
我们要消去未知量 x，先把多项式 f 与 g 写成以下
形式：
解：
)32()3(),( 2 ???? yxyyxyxf
)32()22(),( ???? yxyyxg
求出 f 与 g 的结式
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12112
32220
03222
323
),( 2 ???
??
??
?
? yy
yy
yy
yyy
gfR x
5124)4,( 2 ????? xxf
这个结式有根 。以 代替
中的文字 y，所得的关于 x 的多项式的最高次项系数都不
等于零，所以对于每一,都可以得出方程组
（ 4）的解。实际上，以 代替 y，我们得到
2
3,4
21 ???? ??
21 ?? 和 ),(),( yxgyxf 与
)2,1( ?ii?
41 ???
510)4,( ???? xxg
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这两个多项式有公根,所以
是方程组（ 4）的一个解，另一方面，以 代
替 y，所得的多项式有公根,所以
也是方程组（ 4）的一个解，因此，方程组（ 4）有
两个解：
2
1
1 ??? 4,2
1
11 ???? ??
2
3
2 ???
02 ?? 23,0 22 ??? ??
4,21 11 ???? ?? 23,0 22 ??? ??;
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nnn axaxaxf ???? ? ?110)(
3.4.2多项式的判别式
最后，我们介绍一下多项式的判别式的概念，并且指
出判别式与结式之间的关系。设
21213212220 )()()( ?????? ???? ? nnaD ?
22223 )()( ???? ??? n?
21 )( ??? nn ??
? ?? ?
ji
ji
na
?
222
0 )( ??
……………………………
是复数域 C上一个 n（ n>1） 次多项式，
令 的全部根（重根按重数计
算）。乘积
)(,,,21 xfCn 是?? ???? ?
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叫做多项式 的判别式（这里 Π表示求积的符号）。)(xf
由判别式的定义很容易看出，多项式 有重
根的充分且必要条件是它的判别式等于零。
)(xf
由定理 2.5.2容易推出，多项式 有重根必要且只
要 与它的导数 有公根，因为,
所以由定理 3.4.1和 3.4.3,有重根必要且只要
与 的结式,由此可见,的判别式与
结式
之间有密切的关系，下面我们将导出这个关
系，根据定理 4.4.2，公式（ 1），我们有
)(xf
)(xf )(xf? 00 ?a
)(xf )(xf )(xf?
0),( ??ffR )(xf
(,)R f f ?
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).()()(),( 2110 nn fffaffR ??? ????? ? ?
)())(()( 210 nxxxaxf ??? ???? ?
?
?
?? ??????
n
i
nii xxxxaxf
1
1110 ).())(()()( ???? ??
在 C[x]里，
求导数，我们有
所以
).())(()()( 1110 niiiiiii aaaaaaf ???? ?????? ?? ??
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这样，
).()()(),( 2110 nn fffaffR ??? ????? ? ?
)())(( 13121120 nn aaaa ??? ???? ? ?
)())(( 23212 naaa ??? ???? ?
)())(( 121 ????? nnnn aaa ??? ?
………………………………
在这个乘积里，对于任意 i 和 j（ i>j） 都出现两个因式：
和,它们的乘积等于,由于满足
条件 的指标 i 和 j 一共有 对，所以
ji ?? ? ij ?? ? 2)( ji ?? ??
1??? jin 2 )1( ?nn
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DaaffR
nnnn
jin
ji
n
0
1
212
0
2
)1(
2
)1(
)1()()1(),(
??
?????? ?
???
? ??
D是多项式 的判别式)(xf
从表示 的行列式的第一列显然可以提出因
子,因此多项式 的判别式 D可以表成由系数
所组成的一个行列式，因而是
的多项式。
),( ffR ?
0a )(xf
naaa,,,10 ? naaa,,,10 ?
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)4(
20
02),( 2 acba
ba
ba
cba
ffR ?????
于是
.4),(),(1)1( 22
12
acbffaRffRaD ????????
?
所以判别式是
cbxaxxf ??? 2)(例 3 求二次多项式 的判别式。
baxxf ??? 2)(
先求出解,
第 3章 线性方程组
3.1 消元法
3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法
3.3 线性方程组的公式解
3.4 结式和判别式
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伟大的数学家，诸如阿基米得、牛顿和高斯等，都
把理论和应用视为同等重要而紧密相关。
——克莱因（ Klein F,1849－ 1925）
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3.1 消元法
1.内容分布
3.1.1 线性方程组的初等变换
3.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵
3.1.3 线性方程组有解的判别
2.教学目的,
会用消元法解线性方程组
3.重点难点,
线性方程组的消元解法
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前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种
方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系
数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性
方程组：
在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是 消元法,
（ 1）
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例 1 解线性方程组：
从第一和第三个方程分别减去第二个方程的 1/2倍和 2
倍，来消去这两个方程中的未知量
.25
3
4
2
,33
3
5
,1
3
1
2
1
321
321
321
???
???
???
xxx
xxx
xxx
（ 2）
)( 11 的系数化为零即把 xx
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得到：
42
33
3
5
2
1
2
1
2
1
32
321
31
????
???
????
xx
xxx
xx
.42
1
,33
3
5
32
31
321
????
??
???
xx
xx
xxx
为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二
个方程交换，得：
2x
把第二个方程的 2倍加到第三个方程，消去后一方程
中的未知量,得到
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.2
1
33
3
5
3
32
321
??
??
???
x
xx
xxx
2
3
9
3
5
3
2
21
??
?
??
x
x
xx
2
3
4
3
2
1
??
?
?
x
x
x
现在很容易求出方程组（ 2）的解, 从第一个方程
减去第三个方程的 3倍，再从第二个方程减去第三
个方程，得
再从第一个方程减去第二个方程的 5/3倍，得：
这样我们就求出方程组的解,
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① 交换两个方程的位置；
②用一个不等于零的数某一个方程；
③ 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程,
3.1.1 线性方程组的初等变换
线性方程的初等变换：
对方程组施行下面三种变换：
这三种变换叫作线性方程组的初等变换,
定理 3.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与
它同解的线性方程组
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线性方程组的（ 1）的系数可以排成下面的一个表：
而利用（ 1）的系数和常数项又可以排成下表：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
（ 3）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
?
?????
?
?
21
222221
111211
（ 4）
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3.1.2矩阵的初等变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
stss
t
t
ccc
ccc
acc
?
????
?
?
21
22221
11211
ijc
定义 1 由 st个数 排成一个 s行 t 列的表
叫做一个 s行 t列（或 s× t）的矩阵，
ijc
叫做这个矩阵的元素,
注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全
不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一
个矩阵仅仅是一个表,
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矩阵（ 3）和（ 4）分别叫作线性方程组（ 1）的系
数矩阵和增广矩阵, 一个线性方程组的增广矩阵显
然完全代表这个方程组,
定义 2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵
施行的下列变换：
3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行
（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一
个元素后加到另一行（列）的对应元素上,
1) 交换矩阵的两行（列）
2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即
用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一
个元素；
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显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于
对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简
线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵,
因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,
下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵
来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出,
在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的
目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简,
因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个
线性方程组的系数矩阵的问题, 在此，为了叙述的方
便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即
允许施行第一种列初等变换, 后一种初等变换相当于
交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研
究,
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在例 1中，我们曾把方程组（ 2）的系数矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
3
4
2
3
3
5
1
1
3
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
110
3
3
5
1
先化为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
然后，进一步化为
定理 3.1.2 设 A是一个
m行 n列的矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
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通过行初等变换和第一种列初等变换能把 A化为
以下形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
0
00
**1000
****10
*****1
??????
???????
??????
?
????????
??
??
行r
(5)
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这里,,,nrmror ??? * 表示矩阵的元素，但
不同位置上的 * 表示的元素未必相同,
ija
证 若是矩阵 A的元素 都等于零，那么 A
已有（ 5）的形式
进而化为以下形式，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
1000
0010
0001
1,
21,2
11,1
??????
????????
??????
??
????????
??
??
rnrr
nr
nr
cc
cc
cc
（ 6）
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ija
1 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适
当倍数，矩阵 A化为
ija
设某一 不等于零，必要时交换矩阵的行和
列，可以使这个元素位在矩阵的左上角,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**0
**0
**1
?
????
?
?
B
若 B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，
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那么 B 已有（ 5）的形式, 设 B 的后 m – 1 行中有
一个元素 b 不为零，把 b 换到第二行第二列的
交点位置，然后用上面同样的方法，可把 B 化为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
**00
**00
**10
***1
?
?????
?
?
?
如此继续下去，最后可以得出一个形如（ 5）的矩阵,
形如（ 5）的矩阵可以进一步化为形如（ 6）的矩阵是
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显然的, 只要把由第一，第二,…,第 r – 1 行
分别减去第 r 行的适当倍数，再由第一，第二,…,
第 r – 2行分别减去第 r – 1行的适当倍数，等等,
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3.1.3用消元法解线性方程组
考察方程组（ 1）的增广矩阵（ 4）, 由定理 4.1.2，
我们可以对（ 1）的系数矩阵（ 3）施行一些初等变
换而把它化为矩阵（ 6）, 对增广矩阵（ 4）施行同
样的初等变换，那么（ 4）化为以下形式的矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
r
rrnrr
nr
nr
d
d
dcc
dcc
dcc
00
00
100
010
001
1
1,
221,2
111,1
?????
????????
?????
??
????????
??
??
(7)
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与（ 7）相当的线性方程组是
m
r
rirnirri
iniri
iniri
d
d
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
nrr
nr
nr
?
?
????
????
????
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1,
221,2
111,1
1
12
11
??????????????
?
??????????????
?
?
（ 8）
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由于方程组（ 8）可以由方程组（ 1）通过方程组的初
等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理
4.1.1，方程组（ 8）与方程组（ 1）同解, 因此，要
解方程组（ 1），只需解方程组（ 8）, 但方程组（ 8）
是否有解以及有怎样的解都容易看出,
niii,,,21 ?
这里 是 1,2,…, n 的一个全排列,
情形 1，
mr ddmr,,,1 ??? 而
这时方程组（ 8）无解，因为它的后 m – r 个方程中
至少有一个无解, 因此方程组（ 1）也无解,
不全为零，
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情形 2，
当 r = n 时，方程组（ 9）有唯一解，就是
ntdx ti t,,2,1,???
这也是方程组（ 1）的唯一解,
mr ddmrmr,,1 ???? 而或
全为零，这时方程组（ 8）方程组
rirnirri
iniri
iniri
dxcxcx
dxcxcx
dxcxcx
nrr
nr
nr
????
????
????
?
?
?
?
?
?
?
????????????
?
?
1
12
11
1,
221,2
111,1
同解,
(9)
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当 r < n 时，方程组（ 9）可以改写成
nrr
nr
nr
irnirrri
iniri
iniri
xcxcdx
xcxcdx
xcxcdx
????
????
????
?
?
?
?
?
?
?
????????????
?
?
1
12
11
1,
21,22
11,11
(10)
nr ii xx,,1 ??
1,,rniikk?
于是，给予未知量 以任意一组数值
，就得到（ 9）的一个解：
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nn
rr
nrr
nr
ii
ii
irnirrri
iniri
kx
kx
xckcdx
kckcdx
?
?
????
????
??
?
?
?
?
???
?
????????????
?
11
1
11
1,
11,11
nr ii kk,,1 ??
nr ii xx,,1 ??
这也是（ 1）的一个解, 由于
可以任意选取，用这一方法可以得到（ 1）的无穷
多解, 另一方面，由于（ 9）的任一解都必须满足
（ 10），所以（ 9）的全部解，亦即（ 1）的全部解
都可以用以上方法得出, 我们把未知量
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叫做自由未知量，而把（ 10）叫做方程组（ 1）的
一般解,
0563
1242
725
4321
4321
4321
????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
例 2 解线性方程组
这样，线性方程组（ 1）有没有解，以及有怎样的解，
都可以从矩阵（ 7）看出, 因此，我们完全可以就方
程组（ 9）的增广矩阵来解这个方程组,
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
05631
12412
71215
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1121670
72432140
05631
施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含
的系数矩阵先化为（ 5），再化为（ 6）的形式, 由
第一和第二行分别减去第三行的 5 倍和 2 倍，然后
把第三行换到第一行的位置，得
解,对增广矩阵
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由第二行减去第三行的 2倍，得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1121670
50000
05631
虽然我们还没有把增广矩阵化成（ 5）的形式，但已
可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程
是
0 = 5
所以原方程无解,
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
215921
82321
31042
51321
21592
8232
342
532
4321
4321
421
4321
?????
?????
????
????
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
例 3 解线性方程组
解,这里的增广矩阵是
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
2661200
133600
133600
51321
继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
00000
6
13
2
1
100
51321
这个矩阵本质上已有（ 5）的形式，这一点只要交换
矩阵的第二和第三两列就可以看出, 进一步由第一
行减去第二行的三倍，得出相当于（ 6）型的矩阵
把第一行的适当倍数加到其它各行，得
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
00000
00000
6
13
2
1
100
2
3
2
1
021
6
13
2
1
2
3
2
1
2
43
421
??
????
xx
xxx对应的线性方程组是
42,xx
43
421
2
1
6
13
2
1
2
2
3
xx
xxx
??
????
把 移到右边，作为自由未知数，得原方程组
的一般解：
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3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法
1.内容分布
3.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩
阵的秩
3.2.2 线性方程组可解的判别法
2.教学目的,
1)理解矩阵秩的定义
2)会用初等变换求矩阵的秩
3)会用消元法解线性方程组
3.重点难点,
矩阵秩的定义 线性方程组的可解的判别法
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3.2.1 k阶子式,矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩
在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组：
.
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
????
????
????
?
???????????
?
?
(1)
这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还
有几个问题没解决。
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简化为以下形式一个矩阵
（甲） 利用初等变换把方程组（ 1）的系数矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
（ 2）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00
00
1000
0010
0001
1,
21,2
11,1
??????
????????
??????
??
????????
??
??
rnrr
nr
nr
cc
cc
cc
（ 3）
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并且看到，在矩阵（ 3）中出现的整数 r在讨论中占有
重要的地位, 但是我们对这个整数还没有什么了解, r
和系数矩阵（ 2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵
（ 2）所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因
为我们可以用不同的初等变换，把系数矩阵（ 2）化为
形如（ 3）的矩阵,
（乙） 方程组（ 1）有解时，它的系数应该满足什
么条件？
（丙） 我们没有得出，用方程组的系数和常数项
来表示解的公式，而解的公式在理论上有重要的
意义,
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100
010
001
?
????
?
?
矩阵的秩
利用一个矩阵的元素可以构成一系列的行列式,
,位于这些行列交点处的元素（不改变元素相对的位
置）所构成的 k 阶行列式叫作这个矩阵的一个 k阶子
式, 我们看一看，在矩阵（ 3）中出现的整数 r和这个
矩阵的子式之间有些什么关系, 假定 r>0, 这时，矩
阵（ 3）含有一个 r 阶的子式：
),( tksk ??定义 1 在一个 s行 t列的矩阵中，任取 k行 k列
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定义 2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这
个矩阵的秩, 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认
为这个矩阵的秩是零,
按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的
行的个数，也不能超过它的列的个数, 一个矩阵 A的
秩用秩 A来表示,
显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩
阵的秩才能是零,
这个子式不等于零, 但矩阵（ 3）不含阶数高于 r的不
等于零的子式, 这是因为；在 r = m 或 r = n 时，矩
阵（ 3）根本不含阶数高于 r的子式；而当 r < m,
r < n 时，矩阵（ 3）的任何一个阶数高于 r的了式都
至少含有一个元素全为零的行，因而必然等于零, 这
样,r等于矩阵（ 3）中的不等于零的子式的最大阶数,
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证明 我们先说明以下事实：若是对一个矩阵 A施行
某一行或列的初等变换而等到矩阵 B，那么对 B施行
同一种初等变换又可以得到 A,事实上，若是交换 A
的第 i行与第 j行而得到 B，那么交换 B 的第 i行与第
j列就得到 A；若是把 A的第 i行乘以一不等于零的数
a而得到 B，那么将 B的第 i行乘以 1/a就又可以得到 A；
若是把 A的第 j行乘以数 k加到第 i行得到 B，那么 B的
第 j行乘以 – k加到第 i行就得到 A,列的初等变换
的情形显然完全一样,
现在我们就用第三种行初等变换来证明定理,
定理 3.2.1 初等变换不改变矩阵的秩,
上页 下页 铃结束返回38 首页
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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?????
?
?????
?
?????
?????
?
?????
?
?????
jnj
jninji
jnj
ini
aa
kaakaa
B
aa
aa
A
1
11
1
1
,
并且 A 的秩是 r, 我们证明,B 的秩也 是 r, 先证明，
B 的秩不超过 r, 设矩阵 B 有 s 阶子式 D，而 s >
r, 那么有三种可能的情形,
① D不含第 i 行的元素，这时 D也是矩阵 A的一个 s阶
子式，而 s大于 A的秩 r,因此 D= 0.
设把一矩阵的第 j 行乘以 k加到第 i行而得到矩阵 B：
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?????
?
?????
?
?????
?????
?
?????
?
?????
s
s
s
jtjt
itit
jtjt
jtitjtit
aa
aa
aa
kaakaa
D
1
11
1
111
?
??
?
因为后一行列式是矩阵 A的一个 s阶子式,
② D含第 i行的元素，也含第 j行的元素, 这时，由
命题 3.3.10
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21111
kDDkaakaaD
sjtitjtit
?????
?????
?
?????
?????
?
?????
?????
?
?????
sjtjtitit
aaDaaD
111 21
??
这里
1D 2D由于 是矩阵 A的一个 s阶的子式，而 与 A的 一个 s
阶子式最多差一个符号，所以这两个行列式都等于零，
从而 D = 0,
③ D含第 i行的元素，但不含第 j行的元素，这时
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BA 秩秩 ?
但我们也可以对矩阵 B 施行第三种行初等变换而得到
矩阵 A,因此，也有
AB 秩秩 ?
因此，在矩阵 B有阶数大于 r的子式的情形,B 的任何
这样的子式都等于零，而 B的秩也不超过 r,
这样，在任何情形，都有
这样，我们也就证明了，秩 A = 秩 B,即第三种行初
等变换不改变矩阵的秩, 对于其它的初等变换来说，
我们可以完全类似地证明定理成立,
这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）,
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定理 3.2.1给了一种方法，不必计算一个矩阵 A的
子式就能求出 A的秩来, 我们只需利用初等变换
把 A化成 4.1中（ 5）型的矩阵，然后数一数，在
化得的矩阵有几个含有非零的元素的行, 这样，
问题（乙）也就容易解决,
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3.2.2 线性方程组可解的判别法
A 表示方程组（ 1）的增广矩阵：证
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
?
?????
?
?
21
222221
111211
定理 3.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组
（ 1）有解的充分且必要条件是,它的系数矩阵与增广
矩阵有相同的秩,
上页 下页 铃结束返回44 首页
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
r
rrnrr
nr
nr
d
d
dcc
dcc
dcc
B
00
00
100
010
001
1
1,
221,2
111,1
?????
????????
?????
??
????????
??
??
A
那么 的前 n 列作成的矩阵 A 就是（ 1）的系数矩阵,
利用定理 3.1.2所指出的那种初等变换把 化为
A
并且用 B表示 的前 n列作成的矩阵, 那么由定理 3.2.1
得：
B
BArBA 秩秩秩秩 ???,（ 4）
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故定理得证,
01 ???? mr dd ?
rB ? AA 秩秩 ?
现在设线性方程组（ 1）有解, 那么或者 r = m，或者
r < m,而,这两种情形都有
秩,于是由（ 4）得,,
AA 秩秩 ?
01 ???? mr dd ?
反过来，设,那么由（ 4）得，的秩也是 r,
由此得，或者 r = m,或者 r< m 而,
因而方程组（ 1）有解,
定理 3.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相
同的秩，那么当 r 等于方程组所含的未知量的个数 n
时，方程组有唯一解；当 r < n 时，方程组有无穷多
解,
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1.内容分布
3.3.1 线性方程组的公式解
3.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念
3.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件
2.教学目的
1)会用公式解法解线性方程组
2)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件
3.重点难点
齐次线性方程组有非零解的充要条件
3.3 线性方程组的公式解
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3.3.1 线性方程组的公式解
例 1 考察线性方程组
.
,
,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
????
???????????
????
????
?
?
?
(1)
.74
,332
,22
321
321
321
???
???
???
xxx
xxx
xxx
(2)
考虑线性方程组
321,,GGG
我们把这三个方程依次用 来表示，
上页 下页 铃结束返回48 首页
那么在这三个方程间有以下关系：
.2 213 GGG ??
这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此
由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程
组和由它的前两个方程所组成的方程组
332
22
321
321
???
???
xxx
xxx 同解。
mGGG,,,21 ?
iG
tiii GGG,,,21 ?
tkkk,,,21 ?
来表示。若是在这 m个方程中，某一个方程
t个方程
,使关系式
同样，把方程组（ 1）的 m个方程依次用
是其它
的结果，也就是说，若是存在
t个数
titiii GkGkGkG ???? ?21 21成立,那么我们可以在方程组（ 1）中舍去方程
iG
而把方程组（ 1）化简。
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A
定理 3.3.1 设方程组（ 1）有解，它的系数矩阵 A和增
广矩阵 的共同秩是 0?r,那么可以在（ 1）的 m
个方程中选出 r 个方程，使得剩下的 m –r 个方程中的
每一个都是这 r 个方程的结果，因而解方程组（ 1）
可以归结为解由这 r个方程所组成的线性方程组。
0?D
证 由于方程组（ 1）的系数矩阵 A的秩是 r，所以 A至
少含有一个 r阶子式 。
为了叙述方便,不妨假定 D位在 A的左上角，因而也位
在增广矩阵,A 的左上角：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
mmnrmmrm
rnrrrrrr
rrnrrrrr
nrr
baaaa
baaaa
baaaa
D
baaaa
A
??
???????
??
??
??????
??
1,1
1,11,1,11,1
1,1
111,1111
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现在我们证明，方程组（ 1）的后 m -r 个方程中的每
一个都是（ 1）的前 r 个方程
.
,
,
11,11
2211,22121
1111,11111
rnrnrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
??????
???????????
??????
??????
??
??
??
??
??
??
(3)
的结果,
看（ 1）的后 m -r 个方程中的任一个，例如第
)( miri ?? 个方程
1 1 1 1i i r r i r r i n n ia x a x a x a x b??? ? ? ? ? ?
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我们需要证明，存在 r 个数
rkkk,,,21 ?
，使得
rri GkGkGkG ???? ?2211
亦即使
irr
inrrnnn
irrrrr
irrrrrr
irr
bkbkbkb
akakaka
akakaka
akakaka
akakaka
????
????
????????????????
????
????
??????????????
????
???
?
?
?
?
?
2211
2211
11,21,211,1
2211
11221111
(4)
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为此我们先把 rkkk,,,21 ? 看作是未知量，而来 证明线
性方程组（ 4）有解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
ir
inrnnn
rirrrr
irrrrr
ir
bbbb
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
?
?
?????
?
?
?????
?
21
21
1,1,1,21,1
21
112111
方程组（ 4）的增广矩阵是
而 的前 r列作成（ 4）的系数矩阵 B，我们要计算矩
阵 B和 的秩。注意,的列刚好是方程组（ 1）的
增广矩阵 的某些行。 这样，矩阵 的左上角的 r
阶子
B
B B
A B
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0
1
111
??? D
aa
aa
rrr
r
?
???
?
式刚好是 子式 D 的转置行列式，因而不等于零：A
由
于
也
是
矩
阵 B
的
D? BB 1?rD
ABBA A1?rD
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假定方程组（ 1）满足定理 3.3.1的条件，于是由
定理 3.3.1，解方程组（ 1），只需解方程组（ 3）。我
们分别看 的情形。nrnr ?? 和
方程组（ 1）的公式解：
若是,那么 (3)就是方程个数等于未知量个
数的一个线性方程组，并且它的系数行列式,所
以 (3)有唯一解，这个解可由克拉默规则给出，这个解
也是方程组 (1)的唯一解。
nr ?
0?D
rn?现在设,这时方程组 (3)的前 r个未知量的
系数所构成的行列式,在方程组（ 3）中把含未
知量 的项移到右边，
0?D
nrr xxx,,,21 ???
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方程组（ 3）可以写成：
.
,
,
11,11
211,222121
111,111111
nrnrrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xaxabxaxa
xaxabxaxa
xaxabxaxa
??????
???????????
??????
??????
??
??
??
??
??
??
(3’)
nrr xxx,,,21 ???
rxxx,,,21 ?
rxxx,,,21 ?
暂时假定 是数，那么（ 3’）变成 r
个未知量 的 r 个方程。用克拉默规则解
出 得
,,,,2211 DDxDDxDDx rr ??? ?(5)
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这里
rrnrnrrrrr
rnnrr
rnnrr
j
axaxaba
axaxaba
axaxaba
D
???
?????
???
???
???
???
???
?
??
??
??
11,1
2211,2221
1111,1111
把（ 5）中的行列式展开，（ 5）可以写成
.
,
,
11,
211,222
111,111
nrnrrrrr
nnrr
nnrr
xcxcdx
xcxcdx
xcxcdx
????
????
????
??
??
??
?
?????????????
?
?
(6)
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klk cd 和
nrr xxx,,,21 ???
rxxx,,,21 ?
这里 都是可以由方程组（ 1）的系数和常数项
表示的数。现仍旧把（ 6）中 看成未
知量，那么（ 6）是一个线性方程组，从以上的讨论
容易看出，方程组（ 6）与方程组（ 3’）同解，因而
和方程组（ 1）同解。正如用消元法解线性方程组的
情形一样，方程组（ 6）给出方程组（ 1）的一般解，
而 是自由未知量，要求方程组（ 1）
的一个解，只需给予自由未知量
任意一组数值，然后由（ 6）算出未知量
的对应值，并且（ 1）的所有解都可以这样得到。
nrr xxx,,,21 ???
nrr xxx,,,21 ???
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由于（ 6）的系数和常数项都可以由方程组（ 1）的
系数和常数项表出，所以（ 6）或它的前身（ 5）都
给出求方程组（ 1）的解的公式。
例 2 已知线性方程组
的系数矩阵和增广矩阵的秩都是 2，并且行列式
1434333232131
2424323222121
1414313212111
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
????
????
????
(7)
.0
2321
1311 ??
aa
aa
D
求解这个方程组的公式，并求出一个解。
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由定理 3.3.1，解方程组（ 7）只需解前两个方程，把
42,xx 作为自由未知量，移到右边，得
4242222323121
4142121313111
xaxabxaxa
xaxabxaxa
????
????
31,xx
用克拉默规则解出 得
D
axaxab
axaxab
x 234242222
134142121
1
??
??
?
D
xaxaba
xaxaba
x 424222221
414212111
3
??
??
?
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4142324132231213222131231 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????
4241114212221112211212113 )(
1)(1)(1 xaaaa
DxaaaaDbabaDx ??????
即：
1,0 42 ?? xx令,我们就得到方程组的一个解：
,0),(1)(1 2142324132131231 ????? xaaaaDbabaDx
.1),(1)(1 4241114211212113 ????? xaaaaDbabaDx
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用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，
因为需要计算许多行列式。因此在实际求线性方
程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数
学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求
出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种
情况下，我们有时要用到（ 5）式或（ 6）式。
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3.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念
定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么
这个方程组叫做一个 齐次线性方程组,
我们来看一个齐次线性方程组
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
????
???????????
????
????
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
?
?
(8)
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这个方程组永远有解：显然
0,,0,0 21 ??? nxxx ?
就是方程组（ 8）的一个解，这个解叫做 零解 。如
果方程组（ 8）还有其它解，那么这些解就叫作 非
零解 。
齐次线性方程组永远有解,
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3.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件
定理 3.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充分且
必要条件是：它的系数矩阵的秩 r小于它的未知量的
个数 n。
nr ?
nr ?
证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。
当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解
外，必然还有非零解。
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推论 3.3.3 含有 n个未知量 n个方程的齐次线性方程
组有非零解的充分且必要条件是,方程组的系数行列
式等于零 。
因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就
是说，方程组的系数矩阵的秩小于 n.
推论 3.3.4 若在一个齐次线性方程组中，方程的
个数 m小于未知量的个数 n，那么这个方程组一定有
解。
因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩 r不
能超过 m，因而一定小于 n,
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1.内容分布
3.4.1结式与多项式的公根
3.4.2多项式的判别式
2.教学目的,
了解多项式有公根的判别
了解多项式的判别式的定义
3.重点难点,
多项式有公根的判别
3.4 结式和判别式
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,0)( 110 ????? ? mmm aaaaaf ??
.0)( 110 ????? ? nnn bababg ??
3.4.1结式与多项式的公根
)()( xgxf 与,?假设 在 C 内有公根
1,,,21 ??? ??? nn 1,,,21 ??? ??? mm
nm ?
依次用 乘第一个等式,用
乘第二个等式,我们得到以下 个等式,
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,0
,0
,0
,0
,0
,0
1
1
10
21
1
2
0
12
1
1
0
1
2
1
1
0
21
1
2
0
12
1
1
0
?????
????
????
?????
????
????
?
?
??
?
??
?????
?
??
??
?
??
?????
nn
nn
m
n
m
n
nm
m
m
mnnm
mm
mm
n
m
n
m
nm
n
m
mnnm
bababab
ababab
ababab
aaaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
?
???????????????
?
?
?
???????????????
?
?
1,,,21 ??? ????? nmnm nm?
nm?
这就表明,是一个含有 个未
知量,个方程的齐次线性方程组的非零解,因此
系数行列式,
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n
n
n
m
m
m
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
D
?
??
?
?
?
??
?
?
10
10
10
10
10
10
0
0
0
0
?
必须等于零,
行列式 D叫做多项式 的结式,并且用符号
来表示,
结式 不但 有公根时等于零,而且
当 时显然也等于零,于是就得到
)()( xgxf 与),( gfR
),( gfR
)()( xgxf 与
000 ?? ba
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定理 3.4.1 如果多项式
1
01
1
01
( ) ( 0 ),
( ) ( 0 )
mm
m
nn
n
f x a x a x a m
g x b x b x b n
?
?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
定理 3.4.2 设
,00 ?a )(,,,21 xfCm 是???? ?(i) 如果 而 的全部根,那么
).()()(),( 210 mn gggagfR ??? ??(1)
000 ?? ba有公根,或者,那么它们的结式等于零,
),( gfR是复数域 C上多项式, 是它们的结式,
)0()(
)0()(
1
10
1
10
?????
?????
?
?
nbxbxbxg
maxaxaxf
n
nn
m
mm
?
?
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(ii) 如果,而 的全部根,那
么 00 ?b
)(,,,21 xgCn 是???? ?
).()()()1(),( 210 nmmn fffbgfR ??? ???(2)
证 我们对 m 作数学归纳法来证明公式 (1)。先看 m=1的
情形，这时
.0,)( 010 ??? aaxaxf
)(xf 的根是 01 / aa??? 。而
nn
bbbb
aa
aa
aa
gfR
110
10
10
10
),(
?
?
?
??
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把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第
二列乘以 加到第三列上,…,最后，把新的第 n列
乘以 加到第 n+1列上，这时行列式中元素 都被
消去，而最后一行的元素依次等于
?
?
?
1?
)(
,,,,,
1
10
1
2
1
1
021
2
0100
???
?????
gbbb
bbbbbbbbb
n
nn
n
nn
????
??????
?
?
??
?
??
因此
).(
)(
),(
0
100
0
0
0
?
??
ga
gbbb
a
a
a
gfR
n
?
?
?
??
?
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1110)( ?? ????? kkkk axaxaxaxf ?
),()())(()( 110 xfxcxcxaxxf kkk ?? ??????? ? ?
1?? km 1?? km假设当 时公式（ 1）成立。我们看
的情形，这时
)(,,,10 xfCk 是?? ???? ?令 的全部根。那么
这里 是一个 k次多项式，
它的根是 比较 的系数，我们有
][)( 110 xCcxcxaxf kkk ????? ? ?
.,,,10 k??? ? )(xf
,,,,,11122011 ???? kkkkk caccaccaaca ???????? ???
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因此
n
n
n
kkk
kkk
kkk
bbb
bbb
bbb
cccaca
cccaca
cccaca
gfR
??
?????
??
??
??
?????
??
??
10
10
10
1010
1010
1010
),(
???
???
???
???
???
???
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
行
行
1
)(
)()()(
)()()()(
),(
100
12
100
1
100
210
210
210
k
n
gbbb
gggbbb
ggggbbb
ccca
ccca
ccca
gfR
kk
kk
k
k
k
??
??????
????????
??
??????
??
??
?
?????
?
?
把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列
乘以 加到第三列上,……,最后,把第 n+k列乘以 加到
第 n+k+1列上，并且注到
?
? ?
)(110 ??? gbbb nnn ???? ? ?
我们得到
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)(
0
),(
100
10
10
10
10
10
?? gbbb
bbb
bbb
cca
cca
cca
gfR
n
n
k
k
k
??
??
?????
??
?
?????
?
?
?
?
1)(),( DggfR ??把这个行列式依最后一列展开，我们有
再依次把第 n+2行乘以 加到第 n+1行，把第 n+3行
乘以 加到第 n+2行,…… 最后，把第 n+k+1行乘以
加到第 n+k行，于是
??
??
??
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这里 是位于最后的行列式左上角的 n+k阶行列式，它
恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设，
1D
)()( xgxf 与
)()( 101 kn ggaD ?? ??
)()()(),( 10 kn gggagfR ??? ??于是
公式（ 1）被证明。
容易看出，通过适当对调行列式 D的行，可以得到
),()1(),( fgRgfR mn??（ 3）
因此，如果 而 是 的全部根，那么
由（ 1）可得（ 2）。
00 ?b n???,,,21 ? )(xg
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定理 3.4.3 如果多项式 的结式等于零，
那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个
多项式有公根。
)()( xgxf 与
证 设,如果,那么由（ 1），一定
有某一,从而 是 的一个公根，
如果 那么由（ 2）也可以推出 有公根。
0),( ?gfR 00 ?a
ia )()( xgxf 与
00 ?b
0)( ?ig ?
)()( xgxf 与
例 1 多项式
21202120 )(,)( bxbxbxgaxaxaxf ??????
的结式是
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210
210
210
210
0
0
0
0
),(
bbb
bbb
aaa
aaa
gfR ?
))(()(),( 1221011020220 babababababagfR ?????
000 ??ba
如果 。以 乘第一行加到第三行，然后按第
一列展开，得
00 ?a
0
0
a
b?
如果,同样的计算也可以得到上面的等式。当
时，上面的展开式的右端等于零，不论在任
何情形，上面的展开式都成立。
00 ?b
000 ?? ba
例如,没有公根，
因为这时 。
如果,那么
，从而 有公根。实际上,5是
这两个多项式的公根。
1)(22)( 22 ?????? xxxgxxxf 与
1),( ?gfR
107)(,54)( 22 ?????? xxxgxxxf
0),( ?gfR )()( xgxf 与
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)()( xgxf 与与
现在利用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题。
设 是两个复系数二元多项式，我们按 x
的降幂写出这两个多项式：
),(),( yxgyxf 与
)()()(),( 110 yaxyaxyayxf sss ???? ? ?
)()()(),( 110 ybxybxybyxg ttt ???? ? ?
把 分别看成 f 中
和 g中 的系数，然后求出 f 和 g 的结式，记作
,是 y 的一个多项式：
,,,1,0;,,2,1),()( tjsiybya ji ?? ??和 tsx ?
jtx ? ),( gfRx
),( gfR x
)(),( ygfR x ??
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如果多项式 有公共零点,那
么以 代替 中的文字 y，所得到的一元
多项式 有公根，由定理 4.4.1，它们的结
式,这就是说,是多项式
的一个根。反过来，如果结式 有根,那么以
代替多项式 中的文字 y，我们得到 x
的多项式
),(),( yxgyxf 与 ?? ?? yx,
? ),(),( yxgyxf 与
),(),( ?? xgxf
0)( ??? ? ),()( gfRy x??
),( gfR x ?
? ),(),( yxgyxf 与
)()()(),( 110 ???? sss axaxaxf ???? ? ?
101(,) ( ) ( ) ( )tt tg x b x b x b? ? ? ??? ? ? ?
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的结式,因而由定理 4.4.3，或者
或者 有公根。
这样，求两个未知量两个方程
0)( ??? 0)()( 00 ?? ?? ba
),(),( ?? xgxf 与
0),(0),( ?? yxgyxf 和
的公共解可以归结为求一个未知量的一个方程
0)( ?y?
的根，也就是说，可以用从两个方程中消去一个未知
量，所以这个过程通常叫做未知量的消去法。
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例 2 求方程组
?
?
?
?????
?????
03222),(
0323),( 2
yxxyyxg
yxyyxyxf（ 4）
的解。
我们要消去未知量 x，先把多项式 f 与 g 写成以下
形式：
解：
)32()3(),( 2 ???? yxyyxyxf
)32()22(),( ???? yxyyxg
求出 f 与 g 的结式
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12112
32220
03222
323
),( 2 ???
??
??
?
? yy
yy
yy
yyy
gfR x
5124)4,( 2 ????? xxf
这个结式有根 。以 代替
中的文字 y，所得的关于 x 的多项式的最高次项系数都不
等于零，所以对于每一,都可以得出方程组
（ 4）的解。实际上，以 代替 y，我们得到
2
3,4
21 ???? ??
21 ?? 和 ),(),( yxgyxf 与
)2,1( ?ii?
41 ???
510)4,( ???? xxg
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这两个多项式有公根,所以
是方程组（ 4）的一个解，另一方面，以 代
替 y，所得的多项式有公根,所以
也是方程组（ 4）的一个解，因此，方程组（ 4）有
两个解：
2
1
1 ??? 4,2
1
11 ???? ??
2
3
2 ???
02 ?? 23,0 22 ??? ??
4,21 11 ???? ?? 23,0 22 ??? ??;
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nnn axaxaxf ???? ? ?110)(
3.4.2多项式的判别式
最后，我们介绍一下多项式的判别式的概念，并且指
出判别式与结式之间的关系。设
21213212220 )()()( ?????? ???? ? nnaD ?
22223 )()( ???? ??? n?
21 )( ??? nn ??
? ?? ?
ji
ji
na
?
222
0 )( ??
……………………………
是复数域 C上一个 n（ n>1） 次多项式，
令 的全部根（重根按重数计
算）。乘积
)(,,,21 xfCn 是?? ???? ?
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叫做多项式 的判别式（这里 Π表示求积的符号）。)(xf
由判别式的定义很容易看出，多项式 有重
根的充分且必要条件是它的判别式等于零。
)(xf
由定理 2.5.2容易推出，多项式 有重根必要且只
要 与它的导数 有公根，因为,
所以由定理 3.4.1和 3.4.3,有重根必要且只要
与 的结式,由此可见,的判别式与
结式
之间有密切的关系，下面我们将导出这个关
系，根据定理 4.4.2，公式（ 1），我们有
)(xf
)(xf )(xf? 00 ?a
)(xf )(xf )(xf?
0),( ??ffR )(xf
(,)R f f ?
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).()()(),( 2110 nn fffaffR ??? ????? ? ?
)())(()( 210 nxxxaxf ??? ???? ?
?
?
?? ??????
n
i
nii xxxxaxf
1
1110 ).())(()()( ???? ??
在 C[x]里，
求导数，我们有
所以
).())(()()( 1110 niiiiiii aaaaaaf ???? ?????? ?? ??
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这样，
).()()(),( 2110 nn fffaffR ??? ????? ? ?
)())(( 13121120 nn aaaa ??? ???? ? ?
)())(( 23212 naaa ??? ???? ?
)())(( 121 ????? nnnn aaa ??? ?
………………………………
在这个乘积里，对于任意 i 和 j（ i>j） 都出现两个因式：
和,它们的乘积等于,由于满足
条件 的指标 i 和 j 一共有 对，所以
ji ?? ? ij ?? ? 2)( ji ?? ??
1??? jin 2 )1( ?nn
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DaaffR
nnnn
jin
ji
n
0
1
212
0
2
)1(
2
)1(
)1()()1(),(
??
?????? ?
???
? ??
D是多项式 的判别式)(xf
从表示 的行列式的第一列显然可以提出因
子,因此多项式 的判别式 D可以表成由系数
所组成的一个行列式，因而是
的多项式。
),( ffR ?
0a )(xf
naaa,,,10 ? naaa,,,10 ?
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)4(
20
02),( 2 acba
ba
ba
cba
ffR ?????
于是
.4),(),(1)1( 22
12
acbffaRffRaD ????????
?
所以判别式是
cbxaxxf ??? 2)(例 3 求二次多项式 的判别式。
baxxf ??? 2)(
先求出解,
