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第 5章 向量空间
5.1 向量空间的定义和例子
5.2 子空间
5.3 向量的线性相关
5.4 基和维数
5.5 坐 标
5.6 向量空间的同构
5.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
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数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这
种研究中去发现各种结构之间的未知关系。
---皮尔斯 (S,Peirce,1838－ 1914)
不懂几何者勿入内 (指,柏拉图学园 )
---柏拉图 (Plato，约公元前 427年－前 347年 )
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门
---匿名者
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向量空间（ Vector Spaces）又称线性空间（ Linear
Spaces）,本章的特点及要求：
? 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，
是进一步学习数学必备的内容,
? 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包
括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解
的结构,
? 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统, 所谓代数
系统，就是带有运算的集合,通过本章的学习，初步熟悉
用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法,
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§ 5.1 向量空间的定义和例子
1.引例 ――― 定义产生的背景,
2.向量空间的定义 ―――― 抽象出的数学本质,
3.进一步的例子 ――― 加深对定义的理解,
4.一些简单性质,
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1,引例 ――― 定义产生的背景
例 1 设 F 是一个数域,mnF ? 表示上 m× n矩阵的集合，
回忆一下 mnF ? 上所能够施行的运算（教材 P182）：只有
加法和数乘两种，并且满足 (教材 P183)：
1.A+B=B+A
2.(A+B)+C= A+( B+C)
3.O＋ A=A
4.A+(-A)=O
5.a(A+B)= aA+Ab
6.(a+b)B=a B +Bb
7.(ab)A=a(b)A
还有一个显而易见的：
8,1A＝ A
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例 2 设 R是实数域,V3表示空间向量的集合,两个向量可
以作加法（平行四边形法则），可以用 R中的一个数乘一个
向量，加法和数乘满足同样的 8条性质, 按照解析几何的
方法，向量可以用的坐标（ x,y,z）来表达，加法和数乘都
有表达式,……
类似的问题许多,……,有必要总结它们的共性：
I,涉及两个集合（其中一个集合 …… ）,
II,涉及两种运算（什么样的运算？）,
III,满足 8条运算性质,
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2,向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义 1 设 F是一个数域,V是一个非空集合,我们把 V中的
元素称为向量,V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性：
(c1) V上有 (闭合的 )加法运算，即：对任意 u,v属于 V,一定有 u+v属于
V.
(c2) F上的数对 V上的向量有 (闭合的 )数乘运算，即：对任意 F中数
和 V中元素 v,一定有,v属于 V.
加法的性质：
(a1) u+v= v +u，对所有 u和 v属于 V.
(a2) u+(v+w)= (u+v)+w,对所有 u,v和 w属于 V.
(a3) V中存在一个向量，记作 o,它满足,v+o= v 对所有 V中的 v.
(a4) 给定 V中每一个向量 v,V中存在一个向量 u满足：
u+v= 0,这样的 u称为 v的负向量,
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乘法的性质：
(m1),)()( FbabVaVab ???,，
(m2),)( aVaUVUa ???
(m3),) bUaUUba ???（
(m4) 1u= u 对所有 u属于 V,
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3,进一步的例子 ―― 加深定义的理解
例 3 按照定义 1,mnF ? 是数域 F上的向量空间，称为矩阵
空间,
（ 1） 11,nnFF?? 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 nF 表示,
（ 2） nR 是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类, ……
例 4 数域 F上一元多项式集合 F[x]按照通常的加法与数乘
构成 F上的向量空间，称为多项式空间,
证明,根据多项式加法和数乘的定义，
(c1) f(x)+g(x) ? F[x],任给 f(x),g(x) ? F[x],
(c2) a f(x) ? F[x],任给 a ? F,f(x) ? F[x],
(a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x),任给 f(x),g(x) ? F[x],
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(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给 f(x),g(x),h(x) ? F[x].
(a3) 0向量就是零多项式,
(a4) f(x)的负向量为（ - f(x)）,
(m1) ()ab f(x)= (ab f(x)).
(m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x).
(m3) ()ab? f(x)=a f(x)+ b f(x).
(m4) 1 ? f(x)= f(x).
注 1：刚开始，步骤要完整,
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例 5 C[a,b]表示区间 [a,b]上连续实函数按照通常的加法
与数乘构成实数域 R的向量空间，称为函数空间,
证明,比照例 3，给出完整步骤,
例 6 （ 1）数域 F是 F上的向量空间, （ 2） R是 Q上的向量
空间,R是否为 C上的向量空间？
注 2：这个例子说明向量空间与 F有关,
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例 7 设数域取 R,集合为 R+(实数 )，加法和数乘定义为：
,,,,ka b a b k a a a b R k R?? ? ? ? ? ?
?R证明 关于给定的运算构成 R上的向量空间,
证明,……
注 3：运算可以是通常的，可以重新定义的, 如何理解
运算？ ……
注 4：取数乘为通常的乘法如何？ ……,向量空间与运算
有关,
注 5：证明向量空间需要 10条性质，其中,8条是验证,2
条需要解方程求出零向量与负向量,
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例 8 在 2R 上定义加法和数乘：
2
(,) (,) (,)
( 1 )(,) (,)
2
a b c d a c b d a c
kkk a b k a k b a
? ? ? ? ?
???
证明 2R 关于给定运算构成 R上的向量空间,
证明,留作课外练习,
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4,简单性质
（ 1） 零向量 0是唯一的,
（ 2） 一个向量 v的负向量是唯一的，用（ - v）表示,
（ 3） 0v＝ 0,a 0＝ 0,
（ 4） a (-v)= ? ?a? )( aVV ??
.000 ???? VaaV,或（ 5）
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5.2 子空间
一、内容分布
5.2.1 子空间的概念
5.2.2子空间的交与和,
二、教学目的
1．理解并掌握子空间的概念,
2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的
子空间,
3．掌握子空间的交与和的概念,
三、重点、难点
子空间的判别，子空间的交与和．
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5.2.1 子空间的概念
设 V是数域 F上一个向量空间, W是 V 的一个非空子集,
对于 W 中任意两个向量 α, β,它们的和 α+β 是 V
中一个向量, 一般说来,α+β 不一定在 W 内,如果 W
中任意两个向量的和仍在 W内，那么就说,W对于 V
的加法是封闭的, 同样，如果对于 W中任意向量 α 和
数域 F中任意数 a,aα仍在 W内，那么就说,W 对于
标量与向量的乘法是封闭的,
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定理 5.2.1
设 W是数域 F上向量空间 V的一个非空子集,如果 W 对
于 V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本
身也作成上一个向量空间,
定义 1
令 W是数域 F上向量空间 V的一个非空子集,如果 W 对
于 V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，
那么就 称 W是 V 的一个子空间,
由定理 5.2.1,V的一个子空间也是 F上一个向量空间，
并且一定含有 V的零向量。
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例 1
向量空间 V总是它自身的一个子空间。另一方面，单
独一个零向量所成的集合 {0}显然对于 V的加法和标
量与向量的乘法是封闭，因而也是 V的一个子空间，
称为零空间。
一个向量空间 V本身和零空间叫做 V的平凡子空间。
V的非平凡子空间叫做 V的 真子空间 。
例 2
是不是 的
子空间？
是不是 的子空间？
},0|)()({ 时jiaFMaAU ijnij ????? )(FM n
}0||)({ ??? AFMAW n )(FM n
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解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然 U为向量空间
的非空子集。又中 的运算是矩阵的加
法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一
个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘
积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义, U
是 的 一个子空间。
)(FM n )(FM n
)(FM n
不是 的子空间，因
为 n阶单位矩阵 I及 – I ∈ W，但
}0|||)({ ??? AFMAW n )(FM n
WOII ???? )(
在空间 V2里，平行于一条固定直线的一切
向量空间作成 V2的一个子空间。在间间 V3里，平
行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别
作成 V3的子空间 (6.1,例 1)。
例 3
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例 4
nF 中一切形如
Fin ?? ???? ),0,,,,( 121 ?
的向量作成 的一个子空间。nF
例 5
F [x]中次数不超过一个给定的整数 n的多项式全体连
同零多项式一起作成 F [x]的一个子空间。
例 6
闭区间 [a,b]上一切可微分函数作成 C [a,b]的一个子空间。
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例 7
设 FaaA
ijijnm ??? ),(
(1) 把满足 AX = 0的解 X表示为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X
?
2
1
显然 。并记 AX = 0的解集为nFX ? }0|{
0,??? AXFXV nA
证明 是向量空间 的一个子空间。
0,AV
nF
(2) 记 AX = β的解集为 是
否也是 的一个字空间？这里
?? ?,,},|{ AnA VAXFXV ???
nF 0,?? ?? nF
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证明 （ 1）首先，
n
F?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
?,且 A0 = 0，所以,。??0,AV
其次，如果
那么
所以,对于任何
。故 对于 的两种
运算封闭,是向量空间 的一个子空间。
,,,,210,21 nA FXXVXX ?? 即
,0,0 21 ?? AXAX且,0)( 2121 ???? AXAXXXA
0,21 AVXX ??,,0,AVXFa ??
0,),()( AVaXAXaaXA ?? 即有 0,AV nF
0,AV nF
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定理 5.2.2
向量空间 W的一个非空子集 W是 V的一个子空间，要
且只要对于任意 a,b∈ F和任意 α,β ∈ W，都有
aα+bβ∈ W
（ 2）可以知道，在 β≠0 的时候,不一定是 的
子空间。因为对任何,都有 A (X + Y) = AX
+AY =β+β≠β，故 对 的加法不封闭。
?,AV nF
?,,AVYX ?
?,AV
nF
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5.2.2子空间的交与和
设 W1,W2是向量空间 V的二个子空间，那么它们的
交 W1∩W2也是 V的一个子空间,
一般，设 {Wi }是向量空间 V的一组子空间（个数可以
有限，也可以无限）,令 表示这些子空间的交。
如同上面一样可以证明，也是 V的一个子空间,
ii W?
作为子集的二个子空间 W1与 W2 的并集，一般说来
不是子空间，现在考虑 V的子集。
},|{ 22112121 WWWW ????? ????
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由于 0∈ W1,0∈ W2，所以 0=0+0∈ W1+W2，因此
W1+W2≠ф。设 a,b∈ F,α,β ∈ W1+W2,那么,
因为
W1,W2都是子空间,所以,
,于是
2221112121,,,,,WW ?????? ??????????
111 Wba ?? ??
222 Wba ?? ??
212211
2121
)()(
)()(
WWbaba
baba
??????
?????
????
??????
这就证明了 W1+W2是 V的子空间,这个子空间叫做
W1与 W2 的和,
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y
z
x
l
o y
z
x
o
α β
α+β
1l
z
x
π
o y
图 6-2-1 图 6-2-2 图 6-2-3
x
y
o
αβ
γ
1l
2l
图 6-2-4
例 8 在 中，终点位于过原点的同一条直线 l上的所
有向量作成 的子空间 W。为叙述简便，也说 W就
是过原点的直线 l，直线 l 是 的子空间（图 6-2-
1）。这样,中过原点的直线都是 的子空间。
同理,中以过原点的平面 π上的点为终点的所有
向量作成 的子空间。这样，过原点的平面都是
的子空间（图 6-2-2）。
3V
3V
3V
3V
3V
3V
3V
3V
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两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子
空间的情形,设 W1,W2,…, Wn是 V 的子空间,容易证
明,一切形如 的向量作为 V 的一个子空间,
这个子空间称为子空间 W1,W2,…, Wn的和,并且用符
号 W1+W2+…+ Wn来表示,
?
?
?
n
i
Wiii
1
,??
不过原点的直线不能作成 的子空间，如图 6-2-3
所示,为不过原点的直线，以 上两点 A,B为终
点的向量 α,β的和 α+β 按平行四边形法则,其终
点 C不在 上，因此 不能作成 的子空间。同
样，不过原点的平面也不能作成 的子空间。
3V
1l 1l
1l 1l 3V
3V
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5.3向量的线性相关
一、内容分布
5.3.1 线性组合与线性表示
5.3.2 线性相关与线性无关
5.3.3 向量组等价
5.3.4 向量组的极大线性无关组
二、教学目的
1．准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别．
2．理解向量组的等价及极大无关组的概念．
3．掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法．
三、重点、难点
线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概
念，替换定理的证明．
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5.3.1 线性组合与线性表示
定义 1
设 是向量空间 V的 r个向量，
是数域 F中任意 r个数, 我们把和
r???,,,21 ? 12,,,ra a a
rraaa ??? ??? ?2211
叫做向量 的一个向量组合,r???,,,21 ?
如果 V 中某一向量 ?可以表示成向量 的
线性组合，我们也说 ?可以由 线性表示,
r???,,,21 ?
r???,,,21 ?
零向量显然可以由任意一组向量 线性
表示，因为
r???,,,21 ?
r??? 0000 21 ???? ?
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5.3.2 线性相关与线性无关
定义 2
设 是向量空间 V的 r个向量。如果存在 F
中不全为零的数 使得
r???,,,21 ?
raaa,,,21 ?
（ 1） 02211 ???? rraaa ??? ?
那么就说 线性相关,r???,,,21 ?
如果不存在 F中不全为零的数 使得等式
（ 1）成立，换句话说，等式（ 1）仅当
时才成立，那么就说，向量
线性无关,
raaa,,,21 ?
021 ???? raaa ?
r???,,,21 ?
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例 1
令 F是任意一个数域。 中向量3F
?1=（ 1,2,3）,?2=（ 2,4,6）,?3=（ 3,5,-4）线性
相关。
例 2
判断 的向量3F
?1=（ 1,-2,3）,?2=（ 2,1,0）,?3=（ 1,-7,9）是否
线性相关。
例 3
在向量空间 F [x]里，对于任意非负整数 n,
,,,,1 nxx ? 线性无关。
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命题 5.3.1
向量组 中每一个向量 都可以由这
一组向量线性表示,
},,,{ 21 r??? ? i?
命题 5.3.2
如果向量 ?可以由 线性表示，而每一个
又都可以由 线性表示，那么 ?可以由
线性表示,
r???,,,21 ? i?
s???,,,21 ?
s???,,,21 ?
命题 5.3.3
如果向量组 线性无关,那么它的任意
一部分也线性无关,一个等价的提法是,如果向量组
有一部分向量线性相关,那么整个向
量组 也线性相关,
},,,{ 21 r??? ?
},,,{ 21 r??? ?
},,,{ 21 r??? ?
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命题 5.3.4
设向量组 线性无关,而
线性相关,那么 β一定可以由 线性表示,
},,,{ 21 r??? ? },,,,{ 21 ???? r?
r???,,,21 ?
定理 5.3.5
向量 线性相关,必要且只要其中
某一个向量是其余向量的线性组合,
)2(,,,21 ?rr??? ?
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5.3.3 向量组等价
定义 3
设 和 是向量空间 V的两个
向量组,如果每一个 都可以由 线性表示,
而每一 也可以由 线性表示,那么就说
这两个向量组等价,
},,,{ 21 r??? ? },.,,,,{ 21 n???
i? n???,...,,21
i? r???,,,21 ?
例 4
向量组 ?1=(1,2,3),?2=(1,0,2)
与向量组 β1=(3,4,8),β2=(2,2,5),β3=(0,2,1)
等价,
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等价的概念显然具有传递性,如果 与
等价,而后者又与 等价,那
么 与 等价,
},,,{ 21 s??? ?
},.,,,,{ 21 n??? },.,,,,,,{ 21 i???
},,,{ 21 s??? ? },.,,,,,,{ 21 i???
定理 5.3.6 (替换定理）
设向量组 线性无关,并且每一 都
可以由向量组
},,,{ 21 r??? ? r?
},.,,,,{ 21 n???
线性表示,那么 r≤s,并且必要时可以对 中
向量重新编号,使得用 替换
后所得的向量 与
等价,
r???,,,21 ? n???,...,,21
},,,,,,{ 121 srr ????? ?? ?
},.,,,,{ 21 n???
},.,,,,{ 21 n???
推论 5.3.7
两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。
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5.3.4 向量组的极大线性无关组
(1) 线性无关； },....,,{ 21 inii ???
定义 4
向量组 的一部分向量组
叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），
如果
},,{ 21 n,??? ? },....,,{ 21 inii ???
(2) 每一, j = 1,…,n,都可以由
线性表示。 j?
},....,,{ 21 inii ???
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例 5
看 F3的向量组
)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1( 321 ??? ???
在这里 线性无关，而,所以
是一个极大无关组。另一方面，容易看
出，, 也是向量组 的极
大无关组。
},{ 21 ?? 213 ??? ??
},{ 21 ??
},{ 31 ?? },{ 32 ?? },,{ 321 ???
推论 5.3.8
等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量,
特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同
个数的向量。
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5.4 基和维数
一、内容分布
5.4.1 子空间的生成元
5.4.2向量空间的基与维数
5.4.3 维数定理
5.4.4余子空间与子空间的直和
二、教学目的
1．掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法．
2．理解基在向量空间理论中所起的作用．
三、重点、难点
基和维数的概念及求法、维数定理．
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5.4.1 子空间的生成元
设 V是数域 F上的一个向量空间, 考虑
的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，
因为零向量属于这个集合,其次,设
n???,,,21 ?
nnnn bbbaaa ???????? ???????? ?? 22112211,
那么对于任意 Fba ?,
? ? ? ? ? ? nnn bbaabbaabbaaba ????? ???????? ?222111
仍是 的一个线性组合,因此,的一切线
性组合作成 V的一个子间,n
???,,,21 ?这子空间叫做由 所生成的子空间,并且
用符号 表示,向量 叫
做这个子空间的一组生成元,
n???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ? n???,,,21 ?
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例 1
看 如下的 n个向量,nF
? ?,,,2,1,0,,0,1,0,,0 nii ??? ???
这里除 第 i 位置是 1外,其余位置的元素都是零, 令
i?
? ?naaa,,,21 ???
是 中任意一个向量。我们有nF
.2211 nnaaa ???? ???? ?
因此,,而 是 的一
组生成元,
? ?nLF n ???,,,21 ?? n??? ?,,21 nF
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例 2
F [X]在里,由多项式 所生成的子空间是nxx,,,1 ?
? ? ? ?.|,,,1 10 FaxaxaaxxL innn ????? ??
就是 F上一切次数 n不超过的多项式连同零多项式所
生成的子空间,
设 是向量组 的一个极大
无关组,由命题 6.3.2,子空间 的每
一个向量都可以由 线性表示,另一方
面,的任意一个线性组合自然是
中的向量,
riii ???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
? ?nL ???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
? ?nL ???,,,21 ?
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定理 5.4.1
设 是向量空间 V 的一组不全为零的向
量,而 是它的一个极大无关组,那么
? ?n??? ?,,21
? ?niii ??? ?,,21
? ? ? ?riiin LL ??????,,,,,,2121 ?? ?
根据这个定理,如果子空间 不等于零
子空间,那么它总可以由一个线性无关的生成元生
成,
? ?nL ???,,,21 ?
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5.4.2 向量空间的基
定义 1
设 V是数域 F上一个向量空间,V中满足下列两个条件
的向量组 叫做 V的一个基,? ?
n???,,,21 ?
（ 1） 线性无关；n???,,,21 ?
（ 2） V的每一个向量都可以由 线性
表示,
n???,,,21 ?
根据这个定义，向量空间 V的一个基就是 V的一个组
线性无关的生成元。
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例 3
由例 1可得,中向量组 是 的一组
生成元。显然这组向量是线性无关的，因此
是 的一个基。这个基叫做的标准
基。
nFnF ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ? nF
例 4
在空间 里，任意两个不共的向量 都构成
一个基；在 里，任意三个不共面的向量
都构成一个基。
2V 21,??
3V 321,,???
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定义２
一个向量空间Ｖ的基所含向量的个数叫做Ｖ的维数．
零空间的维数定义为０．
空间 Ｖ 的维数记作 dimＶ,
这样，空间 Ｖ ?的维数是２； Ｖ ?的维数３； Ｆ n的维
数是 n； Ｆ 上一切 m?n矩阵所成的向量空间是维数是
mn．
如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它
自然也不能由有限个线性无关的向量生成．在这一
情况，就说这个向量空间是无限维的．
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定理 5.４,２
例 5
Ｆ ［ x］作为 Ｆ 上向量空间，不是有限生成的，因
而是无限维的,
设 是向量空间 Ｖ 的一个基．那么 Ｖ 的
每一个向量可以唯一地被表成基向量
的线性组合．
},,,{ 21 n??? ?
naaa,,,21 ?
定理 5.４,3
n维向量空间中任意多于 n个向量一定线性相关．
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定理 5.４,４
设 是 n维向量空间 Ｖ 中一组线性无关的
向量．那么总可以添加 n – r 个向量,使
得 作为 Ｖ 的一个基．特别,n
维向量空间中任意 n个线性无关的向量都可以取作
基．
iaaa,,,21 ?
nr aa,,1 ??
},,,,,{ 11 nrr ???? ?? ?
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5.4.3 维数定理
定理 5.４,５
设 Ｗ ?和 Ｗ ?都是数域 Ｆ 上向量空间 Ｖ 的有限维子空
间．那么 Ｗ ?＋ Ｗ ?也是有限维的，并且
dim（ Ｗ ?＋ Ｗ ?）
＝ dimＷ ?＋ dimＷ ?－ dim（ Ｗ ?∩Ｗ ?）
5.4.4 余子空间与子空间的直和
定理 5.４, 6
设向量空间 V是子空间 W与 W′的直和, 那么 V中每
一向量 ? 可以唯一地表成
?????′??? W ????W′
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定理 5.4.7
n 维向量空间 V的任意一个子空间 W都有余子空间,
如果 W′是 W的一个余子空间,那么
dimV = dimW + dimW′.
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5.5 坐 标
一、内容分布
5.5.1 坐标的概念及其意义
5.5.2 过渡矩阵
5.5.3坐标变换公式
二、教学目的
1.理解向量空间中坐标的概念及其意义,
2.掌握坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质,
三、重点、难点
坐标变换公式，过渡矩阵．
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5.5.1 坐标的概念及其意义
定义 1
设, 是 V的一个基? ?n?d im V F,,V ? ?
n???,,,21 ?
nnnn xxxxxx ????? ?? ???????? 221121,F),,,( V
则 称为 关于基
的坐标,
nnxxx F),,,( 21 ?? ? ? ?n???,,,21 ?
? ?
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????
n
nnn
x
x
x
xxx
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??
2
1
212211
,,,???????
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例 1
的向量 关于标准基的坐标就是
nF ? ?
naaa,,,21 ???
例 2
的向量 关于标准
基 的坐标是, 关于
基 的坐标是
? ?xn?F ? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210
? ?nxxx,,,,1 2 ? ? ?naaaa,,,,210 ? ? ?xf
? ? ? ?? ?ncxcxcx ???,,,,1 2 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
???
?
!,,!2,,
2
1
n
cfcfcfcf n?，这里 c ∈ F,
例 3
的向量 关于标准基
的坐标是,
32F ? ??
?
?
???
??
222
111
cba
cbaA
? ?23222113,1211,,,,EEEEEE ? ?222111,,,,,cbacba
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),,,( 2211 nn yxyxyx ??? ?
（ i） 关于基 的坐标是；??? ? ?
n???,,,21 ?
（ ii ） 关于基 的坐标是；?a ? ?
n???,,,21 ?
),,,( 21 naxaxax ?,这里 a ∈ F,
注：向量的坐标依赖于基的选择，即同一向量关
于不同基的坐标一般是不同的,
设 关于基 的坐标分别是
和,则
? ?n???,,,21 ? ),,,( 21 nxxx ?
),,,( 21 nyyy ?
??,
定理 5,5,1
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5.5.2 过渡矩阵
定义 2
设,, 是 V
的两个基，若关于基 的坐标
是,则矩阵
? ?n?d im V F,,V ? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
? ? nkaaa nkkk,,2,1,,,,21 ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
叫做基 到基 的过渡矩阵．? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
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1．基 到基 的过渡矩阵
是 T，则基 到基 的过渡
矩阵是
? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
-1T
设,
，则
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
? ? ? ? H,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
2．基 到基 的过渡矩阵
是，即
? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
，即 。1TH ??
，
，所以
? ? ? ? HT,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
? ? ? ?TH,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
ITHHT ??
基 到基 的过渡矩阵是，
即 ? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?? ? ? ? H,,,,,,
2121 nn ?????? ?? ?
? ? ? ?TH,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?? ?n???,,,21 ?
则 。所以基
到基 的过渡矩阵是 TH
? ? ? ?TH,,,,,,2121 nn ?????? ?? ? ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
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例 4 考虑中 以下两组向量：3R
? ? ? ? ? ?? ?1,3,2,1,1,1,2,1,3 321 ??????? ???
? ? ? ? ? ?? ?1,0,2,3,2,1,1,1,1 321 ??? ???
证明,和 都是的基．求出由
基 到基 的过渡矩阵。
? ?321,,??? ? ?321,,???
? ?321,,??? ? ?321,,???
证明,易知,
，这里 是 的标准基。所以
。因此，由基
到 的过渡矩阵是
? ? ? ?A,,,,321321 ?????? ? ? ? ? ?B,,,,321321 ?????? ?
? ?321,,??? 3R
? ? ? ? BA,,,,-1321321 ?????? ? ? ?321,,???
? ?321,,???
?
?
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??
???
???
?
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?
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?
?
??
??
??
??
072
14213
1196
131
021
211
211
1175
532
1 BA
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5.5.3 坐标变换公式
定理 5,5,2
设 关于基 的坐标是,即? ? ?
n???,,,21 ? ),,,( 21 nxxx ?
关于基 的坐标是,即? ? ?
n???,,,21 ? ),,,( 21 nyyy ?
? ?
?
?
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????
n
nnn
x
x
x
xxx
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??
2
1
212211
,,,??????? (1)
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????
n
nnn
y
y
y
yyy
?
??
2
1
212211,,,??????? (2)
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基 到基 的过渡矩阵是 T，即? ?
n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ? (3)
由（ 2）和（ 3）得 ? ?
?
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?
?
?
n
n
y
y
y
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2
1
21
T,,,???? (4)
比较（ 1）和（ 4）得
?
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nn
y
y
y
x
x
x
??
2
1
2
1
T
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例 5
取 的两个彼此正交的单位向量,它们作成
的一个基．令分别是由旋转角 ?所得的向量．那么
也是 的一个基,到 的过渡矩阵
是
2V 2V21,??
21,?? ?? 2V },{ 21 ?? },{ 21 ?? ??
??
??
c o ss in
s inc o s
212
211
xxx
xxx
????
????
这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公式．
例 6
考虑 的向量3R ? ? ? ? ? ?1,5,2,1,0,1,3,1,2
321 ???????? ???
证明,构成 的一个基，并且求出向量
?＝ (4,12,6)关于这个基的坐标．
? ?321,,??? 3R
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易知 ? ?,
6
12
4
,,6124 321321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ???????
? ? ? ?A,,,,321321 ?????? ?，这里
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1- 1 3
5- 0 1
2- 1- 2
A
所以,向量 ?＝ (4,12,6)关于这个
基 的坐标是
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
6
12
4
A,,1321 ????
? ?321,,???
?
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?
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?
?
?
?
6
12
4
A 1
证明：
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5.6向量空间的同构
一、内容分布
5.6.1 同构映射
5.6.2 同构映射的性质
5.6.3向量空间的同构
二、教学目的
1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义,
2.掌握有限维向量空间同构的充要条件,
三、重点、难点
向量空间同构的概念，同构的判别,
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5.6.1 同构映射
定义 1
设, 是两个向量空间。 V 到 W的一个映射
f 叫做一个同构映射，如果
? ?F,V ? ?F,W
（ i） f 是 V到 W的双射；
（ ii） ； ? ? ? ? ? ??????? fff ?????? V,
（ iii）, ? ? ? ???? afafa ????? V,F
5.6.2 同构映射的性质
1,设 f 是 V 到 W 的同构映射，则 是 W 到 V 的同构
映射。
1?f
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（ i） ? ? 00 ?f
（ ii） ? ? ? ???? ff ?????? V
（ iii） ? ? ? ? ? ??????? bfafbafba ??????? V,,F,
（ iv）
n???,,,21 ?
线性相关 )(,),(),(
21 nfff ??? ??
线性相关,
3,设, 是两个向量空间,是 V
的基,f 是 V到 W的同构映射，则
是 W的基,
? ?F,V ? ?F,W n???,,,21 ?
)(,),(),( 21 nfff ??? ?
2,设 f 是 V到 W的同构映射，则
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5.6.3 向量 空间的同构
如果两个向量空间 与 之间可以建立一个
同构映射,那么就说 与 同构,记作
.
? ?F,V ? ?F,W
? ?F,V ? ?F,W
? ? ? ?F W,F V,?
定理 1
设,则 。? ?n?d im V F,,V nFV ?
定理 2
向量空间的同构是一个等价关系,
定理 3
? ? ? ? mnmn ????? d i m W F,,Wd i m V F,,V
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5,7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
一、内容分布
5.7.1矩阵的行空间与列空间
5.7.2线性方程组的解的结构
二、教学目的
1．掌握矩阵的秩和它的行空间、列空间维数之间的关
系．
2．准确地确定齐次线性方程组解空间维数．
3．熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性
方程式组的任意解．
三、重点、难点
齐次线性方程组的基础解系，次线性方程组的基础解
系与全部解的关系,
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5.7.1 矩阵的行空间与列空间
设给了数域 F上一个 m× n矩阵
?
?
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?
?
?
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?
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?
A
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
1．矩阵 A的每一行可以看成 的一个向量，叫做 A
的行向量．令 表示 A的行向量，这里，
由 A的 n个列向量
所生成的 的子空间
叫做矩阵 A的行空间．
nF
nF
m???,,,21 ?
? ? miaaa iniii,,2,1,,,,21 ?? ???
m???,,,21 ? ),,,(L 21 m??? ?
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mmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
?
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?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
A
2．矩阵 A的每一列可以看成 的一个向量，叫做 A
的列向量。令 表示 A的列向量，这里，
由 A的 n个列向量所生
成的 的子空间 叫做 A的列空间．
mF
n???,,,21 ?
? ? niaaa mjjjj,,2,1,,,,21 ?? ???
mF ),,,(L
21 n??? ?
? ?n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
???,,,
A 21
21
22221
11211
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
注,当 m≠n时，矩阵 A的行空间和列空间是不同
的向量空间的子空间．
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3．设,且,则 nnmmnm ??? ??? FQ,FP,FA 0||,0|| ?? QP
（ i） PA与 A有相同的行空间．
（ ii） AQ与 A有相同的列空间．
证：
?
?
?
?
?
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mmmmm
m
m
mnmm
n
n
mmmm
m
m
ppp
ppp
ppp
aaa
aaa
aaa
ppp
ppp
ppp
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????
?
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????
?
?
?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
0
PA 1
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???
???
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mmmmmm
mm
mm
ppp
ppp
ppp
?
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???
???
???
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????
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2
1
2211
2222121
1212111
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mmmmm
m
m
eee
eee
eee
?
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????
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?
2
1
21
22221
11211
1- 0
PAPA2
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???
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mm
mm
eee
eee
eeee
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???
???
??
?
?
????
?
?
2
1
2211
2222121
1212111
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，所以它们生成
的同一子空间。
},,,{},,,{ 2121 mm ?????? ?? ? nF
4,一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等
于这个矩阵的秩．
给定,秩 A = r,不妨设nm ?? FA
0
1
111
?
rrr
r
aa
aa
?
???
?
，则存在
0||,0||,FQ,FP ???? ?? QPnnmm,使得
???
?
???
??
0 0
0 IPA Q r 1-
Q
0 0
0 IPA
???
?
???
?? r
???
?
???
??
0 0
0 I
PAQ 1- r
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由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它的行
向量组的极大无关组所含向量的个数；也定义为它的
列向量组极大无关组所含向里的个数。
数域 F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵
与增广矩阵有相同的秩。
5.7.2线性方程组的解的结构
1,齐次线性方程组的解空间
给定数域 F上一个齐次线性方程组
0AX
0
0
0
0
0
0
2
1
21
22221
11211
2211
2222121
1212111
??
?
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????
????
????
??
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????
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?
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????
?
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nmnmm
n
n
nmnmm
nn
nn
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
（ 1）
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令,易知它是 的一个子空间，这
个子空间称为齐次线性方程组（ 1）的解空间。
? ?0AX|XW ?? nF
2,若秩 A = r,则解空间 的维数为
n – r,
? ?0AX|XW ??
通过行初等变换（必要时交换列），可以将系数矩
阵 A化为以下形式的一个矩阵：
???
?
???
? ?
0 0
I,rnrr c （ 2）
与矩阵（ 2）相对应的齐次线性方程组是
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?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
??
??
??
0
0
0
11
21122
11111
nrnrrrr
nnrr
nnrr
ycycy
ycycy
ycycy
?
?
?
?
（ 3）
则令,
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
2
1
2
2 2
2 1
2
1
1 2
1 1
1
?
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nr
n
n
n
rr
r
r
r
rr
r
r
r
c
c
c
c
c
c
c
c
c
???
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是（ 3）的解空间的一个基，重新排
列每一解向量 中坐标的次序，就得到齐次线性方
程组（ 1）的解空间的一个基。
? ?nrr ???,,,21 ???
k?
3,齐次线性方程组的基础解系
一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方
程组的一个基础解系。
例 1 求齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
0793
083
032
05
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
的一个基础解系。
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对行施行初等变换化简系数矩阵,得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
2
2
7
10
1
2
3
01
与这个矩阵相对应的齐次方程组是
?
?
?
??
?
?
???
???
0
2
7
0
2
3
431
431
xxx
xxx
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取 作为自由未知量,依次令 和
得出方程的两个解
43,xx 0,1 43 ?? xx 1,0 43 ?? xx
).1,0,2,1( ),0,1,27,23( 21 ????? ??
它们作成所给的方程组的一个基础解系,方程组的任
意一个解都有形式
),,,,227,23( 2121212211 kkkkkkkk ????? ??
这里 是所给数域中任意数,方程组的解空间由一
切形如 的解向量组成,
21,kk
2211 ?? kk ?
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4,给定数域 F上一个线性方程组
BAX
2
1
2
1
21
22221
11211
2211
22222121
11212111
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
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?
?
????
????
????
mnmnmm
n
n
mnmnmm
nn
nn
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
??
?
????
?
?
?
????
?
?
（ 4）
齐次线性方程组 AX = 0 称为线性方程组 AX = B的导
出齐次方程组。
如果线性方程组（ 4）有解，则（ 4）的任意两个解
的差是它的导出齐次方程组的一个解。
第 5章 向量空间
5.1 向量空间的定义和例子
5.2 子空间
5.3 向量的线性相关
5.4 基和维数
5.5 坐 标
5.6 向量空间的同构
5.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
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数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这
种研究中去发现各种结构之间的未知关系。
---皮尔斯 (S,Peirce,1838－ 1914)
不懂几何者勿入内 (指,柏拉图学园 )
---柏拉图 (Plato，约公元前 427年－前 347年 )
不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门
---匿名者
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向量空间（ Vector Spaces）又称线性空间（ Linear
Spaces）,本章的特点及要求：
? 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，
是进一步学习数学必备的内容,
? 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包
括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解
的结构,
? 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统, 所谓代数
系统，就是带有运算的集合,通过本章的学习，初步熟悉
用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法,
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§ 5.1 向量空间的定义和例子
1.引例 ――― 定义产生的背景,
2.向量空间的定义 ―――― 抽象出的数学本质,
3.进一步的例子 ――― 加深对定义的理解,
4.一些简单性质,
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1,引例 ――― 定义产生的背景
例 1 设 F 是一个数域,mnF ? 表示上 m× n矩阵的集合，
回忆一下 mnF ? 上所能够施行的运算（教材 P182）：只有
加法和数乘两种，并且满足 (教材 P183)：
1.A+B=B+A
2.(A+B)+C= A+( B+C)
3.O＋ A=A
4.A+(-A)=O
5.a(A+B)= aA+Ab
6.(a+b)B=a B +Bb
7.(ab)A=a(b)A
还有一个显而易见的：
8,1A＝ A
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例 2 设 R是实数域,V3表示空间向量的集合,两个向量可
以作加法（平行四边形法则），可以用 R中的一个数乘一个
向量，加法和数乘满足同样的 8条性质, 按照解析几何的
方法，向量可以用的坐标（ x,y,z）来表达，加法和数乘都
有表达式,……
类似的问题许多,……,有必要总结它们的共性：
I,涉及两个集合（其中一个集合 …… ）,
II,涉及两种运算（什么样的运算？）,
III,满足 8条运算性质,
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2,向量空间的定义－抽象出的数学本质
定义 1 设 F是一个数域,V是一个非空集合,我们把 V中的
元素称为向量,V称为向量空间，如果下列条件成立：
闭合性：
(c1) V上有 (闭合的 )加法运算，即：对任意 u,v属于 V,一定有 u+v属于
V.
(c2) F上的数对 V上的向量有 (闭合的 )数乘运算，即：对任意 F中数
和 V中元素 v,一定有,v属于 V.
加法的性质：
(a1) u+v= v +u，对所有 u和 v属于 V.
(a2) u+(v+w)= (u+v)+w,对所有 u,v和 w属于 V.
(a3) V中存在一个向量，记作 o,它满足,v+o= v 对所有 V中的 v.
(a4) 给定 V中每一个向量 v,V中存在一个向量 u满足：
u+v= 0,这样的 u称为 v的负向量,
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乘法的性质：
(m1),)()( FbabVaVab ???,，
(m2),)( aVaUVUa ???
(m3),) bUaUUba ???（
(m4) 1u= u 对所有 u属于 V,
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3,进一步的例子 ―― 加深定义的理解
例 3 按照定义 1,mnF ? 是数域 F上的向量空间，称为矩阵
空间,
（ 1） 11,nnFF?? 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 nF 表示,
（ 2） nR 是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常
用的一类, ……
例 4 数域 F上一元多项式集合 F[x]按照通常的加法与数乘
构成 F上的向量空间，称为多项式空间,
证明,根据多项式加法和数乘的定义，
(c1) f(x)+g(x) ? F[x],任给 f(x),g(x) ? F[x],
(c2) a f(x) ? F[x],任给 a ? F,f(x) ? F[x],
(a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x),任给 f(x),g(x) ? F[x],
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(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ],
任给 f(x),g(x),h(x) ? F[x].
(a3) 0向量就是零多项式,
(a4) f(x)的负向量为（ - f(x)）,
(m1) ()ab f(x)= (ab f(x)).
(m2) a [f(x)+g(x)]= a f(x)+ a g(x).
(m3) ()ab? f(x)=a f(x)+ b f(x).
(m4) 1 ? f(x)= f(x).
注 1：刚开始，步骤要完整,
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例 5 C[a,b]表示区间 [a,b]上连续实函数按照通常的加法
与数乘构成实数域 R的向量空间，称为函数空间,
证明,比照例 3，给出完整步骤,
例 6 （ 1）数域 F是 F上的向量空间, （ 2） R是 Q上的向量
空间,R是否为 C上的向量空间？
注 2：这个例子说明向量空间与 F有关,
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例 7 设数域取 R,集合为 R+(实数 )，加法和数乘定义为：
,,,,ka b a b k a a a b R k R?? ? ? ? ? ?
?R证明 关于给定的运算构成 R上的向量空间,
证明,……
注 3：运算可以是通常的，可以重新定义的, 如何理解
运算？ ……
注 4：取数乘为通常的乘法如何？ ……,向量空间与运算
有关,
注 5：证明向量空间需要 10条性质，其中,8条是验证,2
条需要解方程求出零向量与负向量,
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例 8 在 2R 上定义加法和数乘：
2
(,) (,) (,)
( 1 )(,) (,)
2
a b c d a c b d a c
kkk a b k a k b a
? ? ? ? ?
???
证明 2R 关于给定运算构成 R上的向量空间,
证明,留作课外练习,
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4,简单性质
（ 1） 零向量 0是唯一的,
（ 2） 一个向量 v的负向量是唯一的，用（ - v）表示,
（ 3） 0v＝ 0,a 0＝ 0,
（ 4） a (-v)= ? ?a? )( aVV ??
.000 ???? VaaV,或（ 5）
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5.2 子空间
一、内容分布
5.2.1 子空间的概念
5.2.2子空间的交与和,
二、教学目的
1．理解并掌握子空间的概念,
2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的
子空间,
3．掌握子空间的交与和的概念,
三、重点、难点
子空间的判别，子空间的交与和．
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5.2.1 子空间的概念
设 V是数域 F上一个向量空间, W是 V 的一个非空子集,
对于 W 中任意两个向量 α, β,它们的和 α+β 是 V
中一个向量, 一般说来,α+β 不一定在 W 内,如果 W
中任意两个向量的和仍在 W内，那么就说,W对于 V
的加法是封闭的, 同样，如果对于 W中任意向量 α 和
数域 F中任意数 a,aα仍在 W内，那么就说,W 对于
标量与向量的乘法是封闭的,
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定理 5.2.1
设 W是数域 F上向量空间 V的一个非空子集,如果 W 对
于 V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本
身也作成上一个向量空间,
定义 1
令 W是数域 F上向量空间 V的一个非空子集,如果 W 对
于 V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，
那么就 称 W是 V 的一个子空间,
由定理 5.2.1,V的一个子空间也是 F上一个向量空间，
并且一定含有 V的零向量。
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例 1
向量空间 V总是它自身的一个子空间。另一方面，单
独一个零向量所成的集合 {0}显然对于 V的加法和标
量与向量的乘法是封闭，因而也是 V的一个子空间，
称为零空间。
一个向量空间 V本身和零空间叫做 V的平凡子空间。
V的非平凡子空间叫做 V的 真子空间 。
例 2
是不是 的
子空间？
是不是 的子空间？
},0|)()({ 时jiaFMaAU ijnij ????? )(FM n
}0||)({ ??? AFMAW n )(FM n
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解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然 U为向量空间
的非空子集。又中 的运算是矩阵的加
法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一
个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘
积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义, U
是 的 一个子空间。
)(FM n )(FM n
)(FM n
不是 的子空间，因
为 n阶单位矩阵 I及 – I ∈ W，但
}0|||)({ ??? AFMAW n )(FM n
WOII ???? )(
在空间 V2里，平行于一条固定直线的一切
向量空间作成 V2的一个子空间。在间间 V3里，平
行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别
作成 V3的子空间 (6.1,例 1)。
例 3
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例 4
nF 中一切形如
Fin ?? ???? ),0,,,,( 121 ?
的向量作成 的一个子空间。nF
例 5
F [x]中次数不超过一个给定的整数 n的多项式全体连
同零多项式一起作成 F [x]的一个子空间。
例 6
闭区间 [a,b]上一切可微分函数作成 C [a,b]的一个子空间。
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例 7
设 FaaA
ijijnm ??? ),(
(1) 把满足 AX = 0的解 X表示为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X
?
2
1
显然 。并记 AX = 0的解集为nFX ? }0|{
0,??? AXFXV nA
证明 是向量空间 的一个子空间。
0,AV
nF
(2) 记 AX = β的解集为 是
否也是 的一个字空间？这里
?? ?,,},|{ AnA VAXFXV ???
nF 0,?? ?? nF
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证明 （ 1）首先，
n
F?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
0
?,且 A0 = 0，所以,。??0,AV
其次，如果
那么
所以,对于任何
。故 对于 的两种
运算封闭,是向量空间 的一个子空间。
,,,,210,21 nA FXXVXX ?? 即
,0,0 21 ?? AXAX且,0)( 2121 ???? AXAXXXA
0,21 AVXX ??,,0,AVXFa ??
0,),()( AVaXAXaaXA ?? 即有 0,AV nF
0,AV nF
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定理 5.2.2
向量空间 W的一个非空子集 W是 V的一个子空间，要
且只要对于任意 a,b∈ F和任意 α,β ∈ W，都有
aα+bβ∈ W
（ 2）可以知道，在 β≠0 的时候,不一定是 的
子空间。因为对任何,都有 A (X + Y) = AX
+AY =β+β≠β，故 对 的加法不封闭。
?,AV nF
?,,AVYX ?
?,AV
nF
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5.2.2子空间的交与和
设 W1,W2是向量空间 V的二个子空间，那么它们的
交 W1∩W2也是 V的一个子空间,
一般，设 {Wi }是向量空间 V的一组子空间（个数可以
有限，也可以无限）,令 表示这些子空间的交。
如同上面一样可以证明，也是 V的一个子空间,
ii W?
作为子集的二个子空间 W1与 W2 的并集，一般说来
不是子空间，现在考虑 V的子集。
},|{ 22112121 WWWW ????? ????
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由于 0∈ W1,0∈ W2，所以 0=0+0∈ W1+W2，因此
W1+W2≠ф。设 a,b∈ F,α,β ∈ W1+W2,那么,
因为
W1,W2都是子空间,所以,
,于是
2221112121,,,,,WW ?????? ??????????
111 Wba ?? ??
222 Wba ?? ??
212211
2121
)()(
)()(
WWbaba
baba
??????
?????
????
??????
这就证明了 W1+W2是 V的子空间,这个子空间叫做
W1与 W2 的和,
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y
z
x
l
o y
z
x
o
α β
α+β
1l
z
x
π
o y
图 6-2-1 图 6-2-2 图 6-2-3
x
y
o
αβ
γ
1l
2l
图 6-2-4
例 8 在 中，终点位于过原点的同一条直线 l上的所
有向量作成 的子空间 W。为叙述简便，也说 W就
是过原点的直线 l，直线 l 是 的子空间（图 6-2-
1）。这样,中过原点的直线都是 的子空间。
同理,中以过原点的平面 π上的点为终点的所有
向量作成 的子空间。这样，过原点的平面都是
的子空间（图 6-2-2）。
3V
3V
3V
3V
3V
3V
3V
3V
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两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子
空间的情形,设 W1,W2,…, Wn是 V 的子空间,容易证
明,一切形如 的向量作为 V 的一个子空间,
这个子空间称为子空间 W1,W2,…, Wn的和,并且用符
号 W1+W2+…+ Wn来表示,
?
?
?
n
i
Wiii
1
,??
不过原点的直线不能作成 的子空间，如图 6-2-3
所示,为不过原点的直线，以 上两点 A,B为终
点的向量 α,β的和 α+β 按平行四边形法则,其终
点 C不在 上，因此 不能作成 的子空间。同
样，不过原点的平面也不能作成 的子空间。
3V
1l 1l
1l 1l 3V
3V
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5.3向量的线性相关
一、内容分布
5.3.1 线性组合与线性表示
5.3.2 线性相关与线性无关
5.3.3 向量组等价
5.3.4 向量组的极大线性无关组
二、教学目的
1．准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别．
2．理解向量组的等价及极大无关组的概念．
3．掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法．
三、重点、难点
线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概
念，替换定理的证明．
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5.3.1 线性组合与线性表示
定义 1
设 是向量空间 V的 r个向量，
是数域 F中任意 r个数, 我们把和
r???,,,21 ? 12,,,ra a a
rraaa ??? ??? ?2211
叫做向量 的一个向量组合,r???,,,21 ?
如果 V 中某一向量 ?可以表示成向量 的
线性组合，我们也说 ?可以由 线性表示,
r???,,,21 ?
r???,,,21 ?
零向量显然可以由任意一组向量 线性
表示，因为
r???,,,21 ?
r??? 0000 21 ???? ?
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5.3.2 线性相关与线性无关
定义 2
设 是向量空间 V的 r个向量。如果存在 F
中不全为零的数 使得
r???,,,21 ?
raaa,,,21 ?
（ 1） 02211 ???? rraaa ??? ?
那么就说 线性相关,r???,,,21 ?
如果不存在 F中不全为零的数 使得等式
（ 1）成立，换句话说，等式（ 1）仅当
时才成立，那么就说，向量
线性无关,
raaa,,,21 ?
021 ???? raaa ?
r???,,,21 ?
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例 1
令 F是任意一个数域。 中向量3F
?1=（ 1,2,3）,?2=（ 2,4,6）,?3=（ 3,5,-4）线性
相关。
例 2
判断 的向量3F
?1=（ 1,-2,3）,?2=（ 2,1,0）,?3=（ 1,-7,9）是否
线性相关。
例 3
在向量空间 F [x]里，对于任意非负整数 n,
,,,,1 nxx ? 线性无关。
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命题 5.3.1
向量组 中每一个向量 都可以由这
一组向量线性表示,
},,,{ 21 r??? ? i?
命题 5.3.2
如果向量 ?可以由 线性表示，而每一个
又都可以由 线性表示，那么 ?可以由
线性表示,
r???,,,21 ? i?
s???,,,21 ?
s???,,,21 ?
命题 5.3.3
如果向量组 线性无关,那么它的任意
一部分也线性无关,一个等价的提法是,如果向量组
有一部分向量线性相关,那么整个向
量组 也线性相关,
},,,{ 21 r??? ?
},,,{ 21 r??? ?
},,,{ 21 r??? ?
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命题 5.3.4
设向量组 线性无关,而
线性相关,那么 β一定可以由 线性表示,
},,,{ 21 r??? ? },,,,{ 21 ???? r?
r???,,,21 ?
定理 5.3.5
向量 线性相关,必要且只要其中
某一个向量是其余向量的线性组合,
)2(,,,21 ?rr??? ?
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5.3.3 向量组等价
定义 3
设 和 是向量空间 V的两个
向量组,如果每一个 都可以由 线性表示,
而每一 也可以由 线性表示,那么就说
这两个向量组等价,
},,,{ 21 r??? ? },.,,,,{ 21 n???
i? n???,...,,21
i? r???,,,21 ?
例 4
向量组 ?1=(1,2,3),?2=(1,0,2)
与向量组 β1=(3,4,8),β2=(2,2,5),β3=(0,2,1)
等价,
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等价的概念显然具有传递性,如果 与
等价,而后者又与 等价,那
么 与 等价,
},,,{ 21 s??? ?
},.,,,,{ 21 n??? },.,,,,,,{ 21 i???
},,,{ 21 s??? ? },.,,,,,,{ 21 i???
定理 5.3.6 (替换定理）
设向量组 线性无关,并且每一 都
可以由向量组
},,,{ 21 r??? ? r?
},.,,,,{ 21 n???
线性表示,那么 r≤s,并且必要时可以对 中
向量重新编号,使得用 替换
后所得的向量 与
等价,
r???,,,21 ? n???,...,,21
},,,,,,{ 121 srr ????? ?? ?
},.,,,,{ 21 n???
},.,,,,{ 21 n???
推论 5.3.7
两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。
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5.3.4 向量组的极大线性无关组
(1) 线性无关； },....,,{ 21 inii ???
定义 4
向量组 的一部分向量组
叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），
如果
},,{ 21 n,??? ? },....,,{ 21 inii ???
(2) 每一, j = 1,…,n,都可以由
线性表示。 j?
},....,,{ 21 inii ???
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例 5
看 F3的向量组
)0,1,1(),0,1,0(),0,0,1( 321 ??? ???
在这里 线性无关，而,所以
是一个极大无关组。另一方面，容易看
出，, 也是向量组 的极
大无关组。
},{ 21 ?? 213 ??? ??
},{ 21 ??
},{ 31 ?? },{ 32 ?? },,{ 321 ???
推论 5.3.8
等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量,
特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同
个数的向量。
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5.4 基和维数
一、内容分布
5.4.1 子空间的生成元
5.4.2向量空间的基与维数
5.4.3 维数定理
5.4.4余子空间与子空间的直和
二、教学目的
1．掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法．
2．理解基在向量空间理论中所起的作用．
三、重点、难点
基和维数的概念及求法、维数定理．
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5.4.1 子空间的生成元
设 V是数域 F上的一个向量空间, 考虑
的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，
因为零向量属于这个集合,其次,设
n???,,,21 ?
nnnn bbbaaa ???????? ???????? ?? 22112211,
那么对于任意 Fba ?,
? ? ? ? ? ? nnn bbaabbaabbaaba ????? ???????? ?222111
仍是 的一个线性组合,因此,的一切线
性组合作成 V的一个子间,n
???,,,21 ?这子空间叫做由 所生成的子空间,并且
用符号 表示,向量 叫
做这个子空间的一组生成元,
n???,,,21 ?
),,,( 21 nL ??? ? n???,,,21 ?
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例 1
看 如下的 n个向量,nF
? ?,,,2,1,0,,0,1,0,,0 nii ??? ???
这里除 第 i 位置是 1外,其余位置的元素都是零, 令
i?
? ?naaa,,,21 ???
是 中任意一个向量。我们有nF
.2211 nnaaa ???? ???? ?
因此,,而 是 的一
组生成元,
? ?nLF n ???,,,21 ?? n??? ?,,21 nF
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例 2
F [X]在里,由多项式 所生成的子空间是nxx,,,1 ?
? ? ? ?.|,,,1 10 FaxaxaaxxL innn ????? ??
就是 F上一切次数 n不超过的多项式连同零多项式所
生成的子空间,
设 是向量组 的一个极大
无关组,由命题 6.3.2,子空间 的每
一个向量都可以由 线性表示,另一方
面,的任意一个线性组合自然是
中的向量,
riii ???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
? ?nL ???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
riii ???,,,21 ?
? ?nL ???,,,21 ?
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定理 5.4.1
设 是向量空间 V 的一组不全为零的向
量,而 是它的一个极大无关组,那么
? ?n??? ?,,21
? ?niii ??? ?,,21
? ? ? ?riiin LL ??????,,,,,,2121 ?? ?
根据这个定理,如果子空间 不等于零
子空间,那么它总可以由一个线性无关的生成元生
成,
? ?nL ???,,,21 ?
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5.4.2 向量空间的基
定义 1
设 V是数域 F上一个向量空间,V中满足下列两个条件
的向量组 叫做 V的一个基,? ?
n???,,,21 ?
（ 1） 线性无关；n???,,,21 ?
（ 2） V的每一个向量都可以由 线性
表示,
n???,,,21 ?
根据这个定义，向量空间 V的一个基就是 V的一个组
线性无关的生成元。
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例 3
由例 1可得,中向量组 是 的一组
生成元。显然这组向量是线性无关的，因此
是 的一个基。这个基叫做的标准
基。
nFnF ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ? nF
例 4
在空间 里，任意两个不共的向量 都构成
一个基；在 里，任意三个不共面的向量
都构成一个基。
2V 21,??
3V 321,,???
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定义２
一个向量空间Ｖ的基所含向量的个数叫做Ｖ的维数．
零空间的维数定义为０．
空间 Ｖ 的维数记作 dimＶ,
这样，空间 Ｖ ?的维数是２； Ｖ ?的维数３； Ｆ n的维
数是 n； Ｆ 上一切 m?n矩阵所成的向量空间是维数是
mn．
如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它
自然也不能由有限个线性无关的向量生成．在这一
情况，就说这个向量空间是无限维的．
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定理 5.４,２
例 5
Ｆ ［ x］作为 Ｆ 上向量空间，不是有限生成的，因
而是无限维的,
设 是向量空间 Ｖ 的一个基．那么 Ｖ 的
每一个向量可以唯一地被表成基向量
的线性组合．
},,,{ 21 n??? ?
naaa,,,21 ?
定理 5.４,3
n维向量空间中任意多于 n个向量一定线性相关．
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定理 5.４,４
设 是 n维向量空间 Ｖ 中一组线性无关的
向量．那么总可以添加 n – r 个向量,使
得 作为 Ｖ 的一个基．特别,n
维向量空间中任意 n个线性无关的向量都可以取作
基．
iaaa,,,21 ?
nr aa,,1 ??
},,,,,{ 11 nrr ???? ?? ?
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5.4.3 维数定理
定理 5.４,５
设 Ｗ ?和 Ｗ ?都是数域 Ｆ 上向量空间 Ｖ 的有限维子空
间．那么 Ｗ ?＋ Ｗ ?也是有限维的，并且
dim（ Ｗ ?＋ Ｗ ?）
＝ dimＷ ?＋ dimＷ ?－ dim（ Ｗ ?∩Ｗ ?）
5.4.4 余子空间与子空间的直和
定理 5.４, 6
设向量空间 V是子空间 W与 W′的直和, 那么 V中每
一向量 ? 可以唯一地表成
?????′??? W ????W′
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定理 5.4.7
n 维向量空间 V的任意一个子空间 W都有余子空间,
如果 W′是 W的一个余子空间,那么
dimV = dimW + dimW′.
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5.5 坐 标
一、内容分布
5.5.1 坐标的概念及其意义
5.5.2 过渡矩阵
5.5.3坐标变换公式
二、教学目的
1.理解向量空间中坐标的概念及其意义,
2.掌握坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质,
三、重点、难点
坐标变换公式，过渡矩阵．
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5.5.1 坐标的概念及其意义
定义 1
设, 是 V的一个基? ?n?d im V F,,V ? ?
n???,,,21 ?
nnnn xxxxxx ????? ?? ???????? 221121,F),,,( V
则 称为 关于基
的坐标,
nnxxx F),,,( 21 ?? ? ? ?n???,,,21 ?
? ?
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????
n
nnn
x
x
x
xxx
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??
2
1
212211
,,,???????
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例 1
的向量 关于标准基的坐标就是
nF ? ?
naaa,,,21 ???
例 2
的向量 关于标准
基 的坐标是, 关于
基 的坐标是
? ?xn?F ? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210
? ?nxxx,,,,1 2 ? ? ?naaaa,,,,210 ? ? ?xf
? ? ? ?? ?ncxcxcx ???,,,,1 2 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
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???
?
!,,!2,,
2
1
n
cfcfcfcf n?，这里 c ∈ F,
例 3
的向量 关于标准基
的坐标是,
32F ? ??
?
?
???
??
222
111
cba
cbaA
? ?23222113,1211,,,,EEEEEE ? ?222111,,,,,cbacba
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),,,( 2211 nn yxyxyx ??? ?
（ i） 关于基 的坐标是；??? ? ?
n???,,,21 ?
（ ii ） 关于基 的坐标是；?a ? ?
n???,,,21 ?
),,,( 21 naxaxax ?,这里 a ∈ F,
注：向量的坐标依赖于基的选择，即同一向量关
于不同基的坐标一般是不同的,
设 关于基 的坐标分别是
和,则
? ?n???,,,21 ? ),,,( 21 nxxx ?
),,,( 21 nyyy ?
??,
定理 5,5,1
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5.5.2 过渡矩阵
定义 2
设,, 是 V
的两个基，若关于基 的坐标
是,则矩阵
? ?n?d im V F,,V ? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
? ? nkaaa nkkk,,2,1,,,,21 ?? ?
?
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?
?
???????
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
叫做基 到基 的过渡矩阵．? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
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1．基 到基 的过渡矩阵
是 T，则基 到基 的过渡
矩阵是
? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
-1T
设,
，则
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
? ? ? ? H,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
2．基 到基 的过渡矩阵
是，即
? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
，即 。1TH ??
，
，所以
? ? ? ? HT,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
? ? ? ?TH,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?
ITHHT ??
基 到基 的过渡矩阵是，
即 ? ?n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?? ? ? ? H,,,,,,
2121 nn ?????? ?? ?
? ? ? ?TH,,,,,,2121 nn ?????? ?? ?? ?n???,,,21 ?
则 。所以基
到基 的过渡矩阵是 TH
? ? ? ?TH,,,,,,2121 nn ?????? ?? ? ? ?n???,,,21 ?
? ?n???,,,21 ?
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例 4 考虑中 以下两组向量：3R
? ? ? ? ? ?? ?1,3,2,1,1,1,2,1,3 321 ??????? ???
? ? ? ? ? ?? ?1,0,2,3,2,1,1,1,1 321 ??? ???
证明,和 都是的基．求出由
基 到基 的过渡矩阵。
? ?321,,??? ? ?321,,???
? ?321,,??? ? ?321,,???
证明,易知,
，这里 是 的标准基。所以
。因此，由基
到 的过渡矩阵是
? ? ? ?A,,,,321321 ?????? ? ? ? ? ?B,,,,321321 ?????? ?
? ?321,,??? 3R
? ? ? ? BA,,,,-1321321 ?????? ? ? ?321,,???
? ?321,,???
?
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???
???
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??
??
??
??
072
14213
1196
131
021
211
211
1175
532
1 BA
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5.5.3 坐标变换公式
定理 5,5,2
设 关于基 的坐标是,即? ? ?
n???,,,21 ? ),,,( 21 nxxx ?
关于基 的坐标是,即? ? ?
n???,,,21 ? ),,,( 21 nyyy ?
? ?
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????
n
nnn
x
x
x
xxx
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2
1
212211
,,,??????? (1)
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????
n
nnn
y
y
y
yyy
?
??
2
1
212211,,,??????? (2)
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基 到基 的过渡矩阵是 T，即? ?
n???,,,21 ? ? ?n???,,,21 ?
? ? ? ?T,,,,,,2121 nn ?????? ?? ? (3)
由（ 2）和（ 3）得 ? ?
?
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n
n
y
y
y
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2
1
21
T,,,???? (4)
比较（ 1）和（ 4）得
?
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nn
y
y
y
x
x
x
??
2
1
2
1
T
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例 5
取 的两个彼此正交的单位向量,它们作成
的一个基．令分别是由旋转角 ?所得的向量．那么
也是 的一个基,到 的过渡矩阵
是
2V 2V21,??
21,?? ?? 2V },{ 21 ?? },{ 21 ?? ??
??
??
c o ss in
s inc o s
212
211
xxx
xxx
????
????
这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公式．
例 6
考虑 的向量3R ? ? ? ? ? ?1,5,2,1,0,1,3,1,2
321 ???????? ???
证明,构成 的一个基，并且求出向量
?＝ (4,12,6)关于这个基的坐标．
? ?321,,??? 3R
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易知 ? ?,
6
12
4
,,6124 321321
?
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?
???? ???????
? ? ? ?A,,,,321321 ?????? ?，这里
?
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?
?
? ?
?
1- 1 3
5- 0 1
2- 1- 2
A
所以,向量 ?＝ (4,12,6)关于这个
基 的坐标是
? ?
?
?
?
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? ?
6
12
4
A,,1321 ????
? ?321,,???
?
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?
?
6
12
4
A 1
证明：
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5.6向量空间的同构
一、内容分布
5.6.1 同构映射
5.6.2 同构映射的性质
5.6.3向量空间的同构
二、教学目的
1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义,
2.掌握有限维向量空间同构的充要条件,
三、重点、难点
向量空间同构的概念，同构的判别,
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5.6.1 同构映射
定义 1
设, 是两个向量空间。 V 到 W的一个映射
f 叫做一个同构映射，如果
? ?F,V ? ?F,W
（ i） f 是 V到 W的双射；
（ ii） ； ? ? ? ? ? ??????? fff ?????? V,
（ iii）, ? ? ? ???? afafa ????? V,F
5.6.2 同构映射的性质
1,设 f 是 V 到 W 的同构映射，则 是 W 到 V 的同构
映射。
1?f
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（ i） ? ? 00 ?f
（ ii） ? ? ? ???? ff ?????? V
（ iii） ? ? ? ? ? ??????? bfafbafba ??????? V,,F,
（ iv）
n???,,,21 ?
线性相关 )(,),(),(
21 nfff ??? ??
线性相关,
3,设, 是两个向量空间,是 V
的基,f 是 V到 W的同构映射，则
是 W的基,
? ?F,V ? ?F,W n???,,,21 ?
)(,),(),( 21 nfff ??? ?
2,设 f 是 V到 W的同构映射，则
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5.6.3 向量 空间的同构
如果两个向量空间 与 之间可以建立一个
同构映射,那么就说 与 同构,记作
.
? ?F,V ? ?F,W
? ?F,V ? ?F,W
? ? ? ?F W,F V,?
定理 1
设,则 。? ?n?d im V F,,V nFV ?
定理 2
向量空间的同构是一个等价关系,
定理 3
? ? ? ? mnmn ????? d i m W F,,Wd i m V F,,V
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5,7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
一、内容分布
5.7.1矩阵的行空间与列空间
5.7.2线性方程组的解的结构
二、教学目的
1．掌握矩阵的秩和它的行空间、列空间维数之间的关
系．
2．准确地确定齐次线性方程组解空间维数．
3．熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性
方程式组的任意解．
三、重点、难点
齐次线性方程组的基础解系，次线性方程组的基础解
系与全部解的关系,
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5.7.1 矩阵的行空间与列空间
设给了数域 F上一个 m× n矩阵
?
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?
A
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
1．矩阵 A的每一行可以看成 的一个向量，叫做 A
的行向量．令 表示 A的行向量，这里，
由 A的 n个列向量
所生成的 的子空间
叫做矩阵 A的行空间．
nF
nF
m???,,,21 ?
? ? miaaa iniii,,2,1,,,,21 ?? ???
m???,,,21 ? ),,,(L 21 m??? ?
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mmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
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????
?
?
2
1
21
22221
11211
A
2．矩阵 A的每一列可以看成 的一个向量，叫做 A
的列向量。令 表示 A的列向量，这里，
由 A的 n个列向量所生
成的 的子空间 叫做 A的列空间．
mF
n???,,,21 ?
? ? niaaa mjjjj,,2,1,,,,21 ?? ???
mF ),,,(L
21 n??? ?
? ?n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
???,,,
A 21
21
22221
11211
?
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????
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
注,当 m≠n时，矩阵 A的行空间和列空间是不同
的向量空间的子空间．
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3．设,且,则 nnmmnm ??? ??? FQ,FP,FA 0||,0|| ?? QP
（ i） PA与 A有相同的行空间．
（ ii） AQ与 A有相同的列空间．
证：
?
?
?
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mmmmm
m
m
mnmm
n
n
mmmm
m
m
ppp
ppp
ppp
aaa
aaa
aaa
ppp
ppp
ppp
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????
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????
?
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????
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2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
0
PA 1
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???
???
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mmmmmm
mm
mm
ppp
ppp
ppp
?
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???
???
???
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????
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2
1
2211
2222121
1212111
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mmmmm
m
m
eee
eee
eee
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????
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2
1
21
22221
11211
1- 0
PAPA2
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mm
mm
eee
eee
eeee
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???
???
??
?
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????
?
?
2
1
2211
2222121
1212111
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，所以它们生成
的同一子空间。
},,,{},,,{ 2121 mm ?????? ?? ? nF
4,一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等
于这个矩阵的秩．
给定,秩 A = r,不妨设nm ?? FA
0
1
111
?
rrr
r
aa
aa
?
???
?
，则存在
0||,0||,FQ,FP ???? ?? QPnnmm,使得
???
?
???
??
0 0
0 IPA Q r 1-
Q
0 0
0 IPA
???
?
???
?? r
???
?
???
??
0 0
0 I
PAQ 1- r
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由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它的行
向量组的极大无关组所含向量的个数；也定义为它的
列向量组极大无关组所含向里的个数。
数域 F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵
与增广矩阵有相同的秩。
5.7.2线性方程组的解的结构
1,齐次线性方程组的解空间
给定数域 F上一个齐次线性方程组
0AX
0
0
0
0
0
0
2
1
21
22221
11211
2211
2222121
1212111
??
?
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????
????
??
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????
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????
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nmnmm
n
n
nmnmm
nn
nn
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
（ 1）
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令,易知它是 的一个子空间，这
个子空间称为齐次线性方程组（ 1）的解空间。
? ?0AX|XW ?? nF
2,若秩 A = r,则解空间 的维数为
n – r,
? ?0AX|XW ??
通过行初等变换（必要时交换列），可以将系数矩
阵 A化为以下形式的一个矩阵：
???
?
???
? ?
0 0
I,rnrr c （ 2）
与矩阵（ 2）相对应的齐次线性方程组是
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?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
??
??
??
0
0
0
11
21122
11111
nrnrrrr
nnrr
nnrr
ycycy
ycycy
ycycy
?
?
?
?
（ 3）
则令,
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
2
1
2
2 2
2 1
2
1
1 2
1 1
1
?
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nr
n
n
n
rr
r
r
r
rr
r
r
r
c
c
c
c
c
c
c
c
c
???
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是（ 3）的解空间的一个基，重新排
列每一解向量 中坐标的次序，就得到齐次线性方
程组（ 1）的解空间的一个基。
? ?nrr ???,,,21 ???
k?
3,齐次线性方程组的基础解系
一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方
程组的一个基础解系。
例 1 求齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
0793
083
032
05
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
的一个基础解系。
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对行施行初等变换化简系数矩阵,得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
2
2
7
10
1
2
3
01
与这个矩阵相对应的齐次方程组是
?
?
?
??
?
?
???
???
0
2
7
0
2
3
431
431
xxx
xxx
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取 作为自由未知量,依次令 和
得出方程的两个解
43,xx 0,1 43 ?? xx 1,0 43 ?? xx
).1,0,2,1( ),0,1,27,23( 21 ????? ??
它们作成所给的方程组的一个基础解系,方程组的任
意一个解都有形式
),,,,227,23( 2121212211 kkkkkkkk ????? ??
这里 是所给数域中任意数,方程组的解空间由一
切形如 的解向量组成,
21,kk
2211 ?? kk ?
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4,给定数域 F上一个线性方程组
BAX
2
1
2
1
21
22221
11211
2211
22222121
11212111
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
n
n
mnmnmm
nn
nn
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
??
?
????
?
?
?
????
?
?
（ 4）
齐次线性方程组 AX = 0 称为线性方程组 AX = B的导
出齐次方程组。
如果线性方程组（ 4）有解，则（ 4）的任意两个解
的差是它的导出齐次方程组的一个解。
