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第 4章 多项式
4.1 一元多项式的定义和运算
4.2 多项式的整除性
4.3 多项式的最大公因式
4.4 多项式的分解
4.5 重因式
4.6 多项式函数 多项式的根
4.7 复数和实数域上多项式
4.8 有理数域上多项式
4.9 多元多项式
4.10 对称多项式
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代数是搞清楚世界上数量关系的工具。
―― 怀特黑德（ 1961－ 1947）
当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的
风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。
- -柯普宁 (前苏联哲学家 )
快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。
―― 匿名者
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4.1 一元多项式的定义和运算
一、内容分布
4.1.4 多项式的运算
二、教学目的
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质,
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
4.1.1 认识多项式
4.1.2 相等多项式
4.1.3 多项式的次数
4.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
4.1.6 多项式的运算性质
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4.1.1 认识多项式
多项式
令 R是一个含有数 1的数环,R上一个文字 x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式
nn xaxaxaa ???? ?2210
这里 n是非负整数而 ? ?nia
i,,1,0 ??
都是 R中的数,
一元多项式常用符号 ? ? ? ? ?,,xgxf 来表示,
注
1：在多项式 (1)中,
0a
叫做零次项或常数项,i
ixa
叫做 i 次项,
ia
叫做 i 次项的系数,
2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个 i次项的系数是 1, 那
么这个系数可以省略不写。
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4.1.2 相等多项式
定义
若是数环 R上两个一元多项式,f (x) 和 g (x)有完全
相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f (x) 和
g (x)就说是相等,
f (x) = g (x)
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4.1.3 多项式的次数
叫做多项式nnxa nn xaxaxaa ???? ?2210 ? ?0?na
的最高次项,非负整数 n叫做多项式
nn xaxaxaa ???? ?2210 ? ?0?na 的次数, 记作
? ?? ?xf0?
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做
零多项式，记为 0,
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4.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环 R上两个多项式
? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210
? ? mm xbxbxbbxg ????? ?2210
且 m ≤ n,f (x) 和 g (x) 的加法定义为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nnn xbaxbaxbabaxgxf ?????????? ?2221100
这里当 m < n 时,0
1 ???? nm bb ?
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多项式的乘法
给定数环 R上两个多项式
? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210
? ? mm xbxbxbbxg ????? ?2210
f (x) 和 g (x) 的乘法定义为
? ? ? ? mnnn xcxcxccxgxf ??????? ?2210
mnkbabababac kkkkk ??????? ??,,2,1,0,011110 ??
这里
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多项式的减法
? ? ? ? ? ? ? ?? ?xgxfxgxf ????
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4.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（ 1）加法交换律, ? ? ? ? ? ? ? ?xfxgxgxf ???
（ 2）加法结合律, ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxfxhxgxf ?????
（ 3）乘法交换律, ? ? ? ? ? ? ? ?xfxgxgxf ?
（ 4）乘法结合律, ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxfxhxgxf ?
（ 5）乘法对加法的分配律, ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xhxfxgxfxhxgxf ???
注意, 要把一个多项式按“降幂”书写
0111 axaxaxa nnnn ???? ?? ?
当 0?na 时,nnxa 叫做多项式的首项,
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4.1.6 多项式的运算性质
定理 ? ? )( xgxf 和设 是数环 R上两个多项式,并且
? ? ? ? 0,0 ?? xgxf,那么
（ i）当 ? ? ? ? 0 ?? xgxf 时,
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?xgxfxgxf 000,m a x ?????
（ ii） ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxgxf 000 ?????
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证, ? ?? ? ? ?? ? mxgnxf ???? 00,设
? ? 0,2210 ?????? nnn axaxaxaaxf ?
? ? 0,2210 ?????? mmm bxbxbxbbxg ?
且 nm ? 那么
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nnn xbaxbaxbabaxgxf ?????????? ?2221100（ 1）
? ? ? ? ? ? mnmn xbaxbababaxgxf ?????? ?011000 （ 2）
由（ 1）,? ? ? ?xgxf ? 的次数显然不超过 n，另一方面，
00,0 ??? mnmn baba 得由,所以由 (2)得 ? ? ? ?xgxf
的次数是 n + m,
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推论 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xhxgxfxhxfxgxf ???? 0,
证 由 ? ? ? ? ? ? ? ?xhxfxgxf ? 得 ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxf ? 。但 ? ? 0?xf
所以由推论 1必有 ? ? ? ? 0?? xhxg,即
? ? ? ?xhxg ?
证 若是 ? ? )( xgxf 和 中有一个是零多项式，那么由多项
? ? ? ? 0?xgxf, 若是 ? ? 0)(0 ?? xgxf 且
那么由上面定理的证明得 ? ? ? ? 0?xgxf
式乘法定义得
? ? ? ? ? ? 00 ??? xfxgxf 或 ? ? 0?xg推论 1
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当 cba,,是什么数时，多项式
? ? ? ?2323 xxbcbxaxxf ?????
（ 1）是零多项式？
（ 2）是零次多项式？
例
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4.2 多项式的整除性
一、内容分布
4.2.1 多项式的整除概念
4.2.2 多项式整除性的一些基本性质
4.2.3 多项式的带余除法定理
4.2.4 系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。
2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
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4.2.1 多项式的整除概念
设 F是一个数域, F [x]是 F上一元多项式环,
定义 1
? ? ? ? ][,xFxgxf ?设,如果存在 ? ? ][ xFxh ?,使得
? ? ? ? ? ?xhxgxf ?,则称 整除,记为
? ? ? ?xfxg |,此时称 ? ?xg 是 ? ?xf 的因式，否则称
? ?xg 不能整除,记为? ?xf
? ?xg ? ?xf
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4.2.2 多项式整除性的一些基本性质
（ 1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xfxhxfxgxgxh ||,| ?
（ 2） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xgxfxhxgxhxfxh ?? ||,|
（ 3） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxfxhxFxgxfxh |][,| ???
（ 4） ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
kkii gfgfxhkixgkixfxh ?????? ??? 11|,,2,1,,,2,1|
（ 5） ? ? ? ?xfcxFxfFc |][,0 ??????
（ 6） ? ? ? ? ? ?xfxcfxFxfFc |][,0 ??????
（ 7） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?Fcxcgxfxfxgxgxf ???? 0|,|
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4.2.3 多项式的带余除法定理
定理 ? ? ? ? ][F,xxgxf ?设,且 ? ? 0?xg,则存在
? ? ? ? ],[F,xxrxq ? 使得 ? ? ? ? ? ? ? ?xrxqxgxf ??
这里 ? ? 0?xr,或者 ? ?? ? ? ?? ?.00 xgxr ???
并且满足上述条件的 ? ? )( xrxq 和 只有一对。
注 1,? ? ? ?xrxq,分别称为 ? ? )( xfxg 除 所得的商式和
余式
注 2,? ? ? ? ? ? ? ?,0|,0 ??? xrxfxgxg
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证,先证定理的前一部分,
（ i）若 ? ? 0?xf,或 ? ?? ? ? ?? ?xgxf 00 ???, 则可以取
? ? ? ? ? ?xfxrxq ??,0
（ ii）若 ? ? 0?xf,且 ? ?? ? ? ?? ?.00 xgxf ??? ? ? )( xgxf 和把
按降幂书写,
? ? nnnn axaxaxaxf ????? ?? 1110 ?
? ? mmmm bxbxbxbxg ????? ?? 1110 ?
这里 0,0
00 ?? ba
,并且 mn ?
? ? mnmn xbaxq ??? 11令,并记 ? ? ? ? ? ? ? ?,11 xgxqxfxf ??
? ?xf1则 有以下性质：
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或者 ? ? ? ?? ? ? ?? ?xfxfxf 0101 0 ???? 或
若是 ? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxf 0101 0 ???? 且, 则对 ? ?xf1
重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：
? ? ? ? ? ? ??,,,,21 xfxfxf k ? ? ? ? ? ? ??,,,,
21 xqxqxq k及
使得 ? ? ? ? ? ? ? ?xgxqxfxf
kkk 11 ?? ??
而 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxf 0
100 ?????? ?
由于多项式 ? ? ? ? ?,,21 xfxf 的次数是递降的,故存在 k使
? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxf kk 000 ???? 或,于是
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xfxrxqxqxq kk ???? 及?1
便给出了所说的表示。
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现在证明定理的后一部分．假设 f (x)有两种符合定
理中要求的表示法：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xrxqxgxrxqxgxf 2211 ????
那么 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?xrxrxgxqxq
1221 ???
上式右边或者为零，或者次数小于 ? ?? ? ;0 xg?
而左边或者是零，或者次数不小于 ? ?? ? ;0 xg?
因此必须两边均为零，从而
? ? ? ? ? ? ? ?xrxrxqxq 2121 ?? 及
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4.2.4 系数所在范围对整除性的影响
FF 和设 是两个数域，并且 FF?,那么多项式环 ][Fx
含有多项式环 F [x]．因此 Ｆ 上的一个多项式 ? ?xf 也是
F 上的一个多项式．
? ? ? ? ][F,xxgxf ?，则如果在 F [x]里 ? ?xg 不能整除 ? ?xf
，那么在 ][Fx 里 ? ?xg 也不能整除 ? ?,xf
事实上，若 ? ? 0?xg,那么由于在 F [x]里 ? ?xg
不能整除 ? ?,xf ? ?xf 不能等于 0．因此在 ][Fx 里 ? ?xg
显然仍不能整除 ? ?,xf
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假定 ? ? 0?xg,那么在 Ｆ [x]里，以下等式成立：
? ? ? ? ? ? ? ?xrxqxgxf ??
并且 ? ? 0?xr,但是 F [x]的多项式 ? ? )( xrxq 和 都是
][Fx 的多项式，因而在 ][Fx 里，这一等式仍然成立．
于是由 ? ?xr 的唯一性得出，在 ][Fx 里 ? ?xg 也不能整除
? ?,xf
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例 1 确定 m,使 ? ?,1|1 252 ???? mxmxxx
例 2 设 ? ? ? ? 1,23 ?????? mxxxgqpxxxf qpm,,
适合什么条件时,? ?xg 整除 ? ??xf
。问
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4.3 多项式的最大公因式
一, 内容分布
4.3.1 多项式公因式,最大公因式,互素概念
4.3.2 用辗转相除法求最大公因式,
二,教学目的
1.掌握最大公因式,互素概念,
2.熟练掌握辗转相除法
3.会应用互素的性质证明整除问题
三,重点,难点
辗转相除法求最大公因式, 证明整除问题
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? ?xf
令 和 是 F [x]的两个多项式，若是 F [x]的一
个多项式 同时整除 和,那么 叫做
与 的一个公因式,
? ?xf ? ?xg
? ?xh ? ?xg ? ?xh
? ?xf ? ?xg
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式,若是
能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做
与 的一个最大公因式,
? ?xd ? ?xf ? ?xg ? ?xd
? ?xf ? ?xg ? ?xd
? ?xf ? ?xg
定义 1
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的任意两个多项式 与 一定有最大公因
式,除一个零次因式外,与 的最大公因式是
唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个
最大公因式，那么数域 F的任何一个不为零的数 c
与 的乘积,而且当 与 不全为零多
项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因
式,
? ?xF ? ?xf ? ?xg
? ?xf ? ?xg
? ?xd ? ?xf ? ?xg
? ?xd ? ?xcd ? ?xf ? ?xg
? ?xf ? ?xg
定理 4.3.1
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解,对 施行辗转相除法,为了避免分数
系数，在做除法时，可以用 F的一个不等于零的数
乘被除式或除式,而且不仅在每一次除法开始时可
以这样做，就是在进行除法的过程中也可以这样做,
这样商式自然会受到影响，但每次求得的余式与正
确的余式只能差一个零次因式,这对求最大公因式
来说是没有什么关系的,
? ? ? ?xgxf 与
令 F是有理数域,求 F [x] 的多项式
? ?
? ? 3452
,3442
23
234
????
?????
xxxxg
xxxxxf
的最大公因式,
例 1
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把 先乘以 2，再用 来除：? ?xf ? ?xg
654
1
3452
3452
68842
23
23
234
234
???
?
???
???
????
xxx
x
xxx
xxxx
xxxx
乘以 2
15143
3452
121082
2
23
23
???
???
???
xx
xxx
xxx
这样，得到第一余式
? ? 15143 21 ???? xxxr
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把 g (x)乘以 3，再用 ? ?xr1 来除：
94231
132
15143
30286
912156
2
2
23
23
??
??
???
??
???
xx
x
xx
xxx
xxx
乘以 3
16865
19518239
2712639
2
2
?
??
??
x
xx
xx
约去公因子 56后，得出第二余式
? ? 32 ?? xxr
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再以 ? ?xr
2
除 ? ?xr
1,计算结果
被 整除? ?xr
1 ? ?xr2
? ?? ?53315143 2 ??????? xxxx
所以 就是 与 的最大公因式：? ?xr2 ? ?xf ? ?xg
? ? ? ?? ? 3,?? xxgxf
定理 4.3.2
若 是 的多项式 与 的最大公因
式，那么在 里可以求得多项式 与,
使以下等式成立,
? ?xd ][xF ? ?xf ? ?xg
][xF ? ?xu ? ?xv
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xdxvxgxuxf ??
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例 2 令 F是有理数域,求出 ? ?xF 的多项式
? ? ? ? 452,951624 23234 ????????? xxxxgxxxxxf
的最大公因式 ? ?xd 以及满足等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xdxvxgxuxf ??
的多项式 ? ?xu 与 ? ?xv
.
对 与 施行辗转相除法,但是现在不允许用一
个零次多项式乘被除式或除式,因为在求多项式
与 时，不仅要用到余式，同时也要用到商式,施
行除法的结果，我们得到以下一串等式：
? ?xf ? ?xg
? ?xu
? ?xv
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ?.961936
,1
3
1
3
1
936
,9362
2
2
2
???????
???
?
?
?
?
?
??????
??????
xxxx
xxxxxg
xxxxgxf
由此得出,1?x 是 ? ?xf 与 ? ?xg 的最大公因式，而
? ? ? ? ? ? ? ?32231,131 2 ?????? xxxvxxu
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定理 4.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条
件是：在 中可以求得多项式 与,使
? ?xF ? ?xf ? ?xg
? ?xF ? ?xu ? ?xv
? ? ? ? ? ? ? ? 1?? xvxgxuxf
如果 的两个多项式除零次多项式外不再有其它
的公因式，我们就说，这两个多项式互素,
? ?xF
定义 3
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从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下
重要事实,
1.若多项式 ? ?xf 和 ? ?xg 都与多项式 ? ?xh 互素，
? ? ? ?xgxf 也与 ? ?xh 互素,那么乘积
2.若多项式 ? ?xh 整除多项式 ? ?xf 与 ? ?xg 的乘积，而
? ?xh 与 ? ?xf 互素, 那么 ? ?xh 一定整除 ? ?xg
3.若多项式 ? ?xg 与 ? ?xh 都整除多项式 ? ?xf,而
? ?xg 与 ? ?xh 互素, 那么乘积 ? ? ? ?xhxg 也整除 ? ?xf
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4.4 多项式的分解
一,内容分布
4.4.1 不可约多项式的概念及性质
4.4.2 唯一因式分解定理
二,教学目的
1.掌握不可约多项式及性质
2.掌握唯一因式分解定理,会用两个多项式的典型分解
求出最大公因式
3.掌握求典型分解式
三,重点,难点
唯一因式分解定理,用典型分解求出最大公因式
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定义
? ?xf令 是 的一个次数大于零的多项式,若是
在 中只有平凡因式,就说是在数域 F上（或
在 中）不可约,若 除平凡因式外，在 中
还有其它因式,就说是在 F上（或在 中）可
约,
? ?xf ? ?xF
? ?xF ? ?xf
? ?xF ? ?xf ? ?xF
? ?xf ? ?xF
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式
而,那么 与 的次数显然都
小于 的次数,反之，若 能写成两个这样的多
项式的乘积，那么 有非平凡因式,因此我们可
以说：
??xF ? ?xg
? ? ? ? ? ?xhxgxf ? ? ?xg ? ?xh
? ?xf ? ?xf
? ?xf
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如果 的一个 次多项能够分解成 中两
个次数都小于 n的多项式 与 的积：
??xF ? ?0?nn ??xF
? ?xg ? ?xh
（ 1） ? ? ? ? ? ?xhxgxf ?
那么 ? ?xf 在 F上可约,
若 是在 中的任一个形如（ 1）的分解式总含
有一个零次因式，那么 在 F上不可约,
? ?xf ? ?xF
? ?xf
（ a）如果多项式 不可约，那么 F中任一不为零的元素
c与 的乘积 也不可约,
? ?xp
? ?xp ? ?xcp
（ b）设 p (x)是一个不可约多项式而 f (x)是一个任意多项
式，那么 p (x)或者与 f (x)互素，或者 p (x)整除 f (x),
（ c）如果多项式 f (x)与 g (x)的乘积能被不可约多项式 p (x)
整除，那么至少有一个因式被 p (x)整除,
性质（ c）很容易推广到任意 s（ s≥2)个多项式的乘积的情
形,我们有
（ ）如果多项式 的乘积能被不可约
多项式 p (x) 整除，那么至少有一个因式被 p (x)整除,
? ? ? ?? ?2,,1 ?sxfxf s?c?
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此处 是 F的不为零的元素, 即，如果不计零次因
式的差异，多项式 f (x)分解成不可约因式乘积的
分解式是唯一的,
ic
F [x] 的每一个 n (n>0)次多项式 f (x)都可以分解成 F
[x]的不可约多项式的乘积,
定理 4.4.1
令 f (x)是 F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,2121 xqxqxqxpxpxpxf sr ?? ??
此处 ? ? ),,2,1,,,2,1()( sjrixqxp
ji ?? ??与
定理 4.4.2
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例 在有理数域上分解多项式
为不可约因式的乘积,容易看出
? ? 2223 ???? xxxxf
（ 2） ? ?? ?2122 223 ?????? xxxxx
一次因式 x + 1自然在有理数域上不可约,我们证明，
二次因式 也在有理数域上不可约,不然的话,
将能写成有理数域上两个次数小于 2的因式
的乘积，因此将能写成
22 ?x
22 ?x
（ 3） ? ?? ?bxaxx ???? 22
的形式，这里 a和 b是有理数,把等式（ 3）的右端乘开，
并且比较两端的系数，将得 a + b = 0,ab = - b，由此
将得,这与 a是有理数的假定矛盾,这样，（ 2）
给出多项式的一个不可约因式分解,
2??a
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我们还可以如下证明 在有理数域上不可约,如
果（ 3）式成立，那么它也给出 的实数域上
的一个不可约因式分解,但在实数域上
22 ?x
22 ?x
? ?? ?2222 ???? xxx
因此由唯一分解定理就得出 2??a 的矛盾,
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4.5 重因式
一,内容分布
4.5.1重因式概念
4.5.2 没有重因式的判断
二,教学目的
1.掌握重因式概念,多项式的 K阶导数概念,
2.掌握有无重因式判断的充要条件,
三,重点难点
重因式概念及用一阶导数判断多项式有无重因式,
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根据以上定义不难直接验证，关于和与积的导数公
式仍然成立：
（ 1） ? ? ? ?? ? ? ? ? ?,xgxfxgxf ??????
（ 2） ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxfxgxfxgxf ?????
（ 3） ? ?? ? ? ? ? ?xfxkfxf kk ??? ? 1
F [x]的多项式 ? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210 的导数或
一阶导数指的是 F [x]的多项式
? ? 121' 2 ????? nn xnaxaaxf ?
? ?xf ??
一阶导数 的导数叫做 的二阶导数，记
作, 的导数叫做 的三阶导数，记
作,等等, 的 k阶导数也记作,
? ?xf? ? ?xf
? ?xf ?? ? ?xf
? ?xf ??? ? ?xf ? ?xf k )(
定义
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设 p (x)是多项式 f (x)的一个 k (k≥1)重因式, 那么 p
(x)是 f (x)的导数的一个 k - 1重因式,
定理 4.5.1
多项式 f (x)没有重因式的充分且必要条件是 f (x)与
它的导数 互素,? ?xf '
定理 4.5.2
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4.6 多项式函数 多项式的根
一, 内容分布
4.6.1 多项式的根概念
4.6.2 综合除法
二, 教学目的
1.掌握多项式函数 多项式的根的概念
2.掌握余式定理及运用综合除法
3.熟悉理解拉格朗日插值公式
三, 重点、难点
综合除法，拉格朗日插值公式
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设给定 R [x]的一个多项式
nn xaxaaxf ???? ?10)(
和一个数 c ∈ R.那么在的表示式里,把 x用 c来代替,
就得到 R的一个数
.10 nn cacaa ??? ?
这个数叫当 x = c 时 f (x)的值,并且用 f (c)来表示,
这样,对于 R的每一个数 c,就有 R中唯一确定的数
f (c)与它对应, 于是就得到 R到 R的一个映射, 这个
映射是由多项式 f (x)所确定的,叫做 R上一个多项式
函数,
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综合除法
nnnnn axaxaxaxaxf ?????? ??? 122110)( ?设
,并且设
(1),)()()( rxqcxxf ???
其中 bxbxq nn 11
0,,,,)( ?
? ???
比较等式 (1)中两端同次项的系数,我们得到
设 用 x – c 除 f (x)所得的余式等于
当 x = c时 f (x)的值 f (c),
,],[)( RcxRxf ??
定理 4.6.1
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.
,
,
,
,
1
211
122
011
00
?
???
??
??
??
??
?
nn
nnn
cbra
cbba
cbba
cbba
ba
????
由此得出
.
,
,
,
,
1
121
212
101
00
nn
nnn
acbr
acbb
acbb
acbb
ab
??
??
??
??
?
?
???
????
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这样,欲求系数,只要把前一系数 乘以 c再加
上对应系数,而余式的 r 也可以按照类似的规律
求出, 因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续
求出商式的系数和余式,
kb 1?kb
ka
rbbbb
cbcbcbcb
aaaaac
rn
nn
nn
?
??
?
?
?
?
?
210
1210
1210
|
表中的加号通常略去不写,
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例 1 用 x + 3除 94)( 24 ???? xxxxf
作综合除法,
69261031
783093
94101|3
??
??
??
所以商式是
,26103)( 23 ???? xxxxg
而余式是
.69)3( ??? fr
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定理 4.6.2
数 c是多项式 f (x)的根的充分且必要条件是 f (x)能
x – c 能整除,
定理 4.6.3
设 f (x)是 R [x]中一个 n≥0次多项式, 那么 f (x)在 R中
至多有 n个不同的根,
令 f (x)是 R [x]的一个多项式而 c的 R的一个数, 若是
当 x = c时 f (x)的值 f (c) = 0,那么 c 叫做 f (x)在数环 R
中的一个根,
定义
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证
如果 f (x)是零次多项式,那么 f (x)是 R中一个不等于
零的数,所以没有根, 因此定理对于 n = 0成立,于是
我们可以对 n作数学归纳法来证明这一定理,设
c∈ R是 f (x)的一个根,那么
f (x) = (x – c) g (x)
这里 g (x) ∈ R [x]是一个 n – 1次多项式,如果 d∈ R
是 f (x)另一个根,d≠c那么
0 = f (d) = (d – c) g (d)
因为 d – c≠0,所以 g (d) = 0,因为 g (x)的次数是 n
– 1,由归纳法假设,g (x)在 R内至多有 n – 1个不同
的根,因此 f (x)在 R中至多有 n个不同的根,
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令
u (x) = f (x) – g (x)
若 f (x)≠g (x),换一句话说,u (x) ≠0,那么 u (x)是一个
次数不超过 n的多项式,并且 R中有 n + 1个或更多的
根, 这与定理 4.6.3矛盾,
证
设 f (x)与 g (x)是 R [x]的两个多项式,它们的次数都
不大于 n.若是以 R中 n + 1个或更多的不同的数来代
替 x时,每次所得 f (x)与 g (x)的值都相等,那么
f (x) = g (x),
定理 4.6.4
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证 设 f (x) = g (x) 那么它们有完全相同的项,因而对
R的任何 c都有 f (c) = g (c)这就是说,f (x) 和 g (x)所
确定的函数相等,
反过来设 f (x) 和 g (x)所确定的函数相等,令
u (x) = f (x) – g (x)
那么对 R的任何 c都有 u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是
说,R中的每一个数都是多项式 u (x)的根, 但 R有无
穷多个数,因此 u (x)有无穷多个根,根据定理 2.6.3只
有零多项式才有这个性质,因此有
u (x) = f (x) – g (x) = 0,f (x) = g (x),
R [x]的两个多项式 f (x)与 g (x)相等,当且仅当它们
所定义的 R上的多项式函数相等,
定理 4.6.5
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.
)())(()(
)())(()()( 1
1 1111
1111?
?
? ???
???
????
????? n
i niiiiii
niii
aaaaaaaa
axaxaxaxbxf
??
??
这个公式叫做拉格朗日 (Lagrange)插值公式,
给了一个数环 R里 n + 1个互不相同的数
以及任意 n + 1个不全为 0的数 后,至多存在
R [x]的一个次数不超过 n的多项式 f (x)能使
如果 R还是一个数域,那么这
样一个多项式是存在的,因为容易看出,由以下公式
给出的多项式 f (x)就具有上述性质,
121,,?naaa ?
121,,?nbbb ?
.1,2,1,)( ??? nibaf ii ?
?
?
?
拉格朗日 (Lagrange)插值公式
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由拉格朗日插值公式得
.1)12)(12( )1)(1(3)21)(11( )2)(1(3)21)(11( )2)(1()( 2 ????? ??????? ????? ??? xxxxxxxxxf
求次数小于 3的多项式 f (x) 使
.3)2(,3)1(,1)1( ???? fff
例 2
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4.7 复数和实数域上多项式
一,内容分布
4.7.1 代数基本定理
4.7.2 实系数多项式分解定理
二,教学目的
1.理解代数基本定理、重根
2.掌握实系数多项式的性质
三,重点、难点
代数基本定理,根与系数关系,实系数多项式性质,
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证 设 f (x)是一个次多项式,那么由定理 4.7.1,它在复
数域 C中有一个根 因此在 C [x]中,
1?
),()()( 11 xfxxf ???
这里 是 C上的一个 n – 1 次多项式,若 n – 1 > 0,那
么在 C中有一个根 因而在 C [x]中
)(1 xf
,2?
).())(()( 221 xfxxxf ?? ???
任何 n (n > 0)次多项式在复数域中至少有一个根,
定理 4.7.1 (代数基本定理 )
任何 n (n > 0)次多项式在复数域中有 n个根 (重根按
重数计算 ),
定理 4.7.2
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这样继续下去,最后 f (x)在 C [x]中完全分解成 n个一
次因式的乘积,而在 f (x) C中有 n个根,
复数域 C上任一 n (n > 0)次多项式可以在 C [x]里分
解为一次因式的乘积,复数域上任一次数大于 1的多
项式都是可约的,
定理 4.7.3
若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根,那么
的共轭数 也是 f (x)的根,并且 与 有同一重数,
换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对,
? ?
? ? ?
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证,)(
110 nnn axaxaxf ???? ? ?令 由假设
.0110 ???? ? nnn axaxa ?
把等式两端都换成它们的共轭数,得
.0110 ???? ? nnn axaxa ?
根据共轭数的性质,并且注意到
naaa,,,10 ?
和 0都是实数,有
,0110 ???? ? nnn aaaaa ?
即 ? 也是 f (x)的一个根,
因此多项式 f (x)能被多项式
?????? ??????? xxxxxg )())(()( 2
整除,由共轭复数的性质知道 g (x)的系数都是实数,故
),()()( xhxgxf ? 此处 h (x) 也是一个实系数多项式,
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若是 是 f (x)的重根,那么它一定是 h (x)的根,因而根
据方才所证明的,也是 h (x)的一个根,这样也是的
重根,重复应用这个推理方法,容易看出,的重数
相同,
?
?
??与
定理 4.7.4
实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非
实共轭复数根的二次多项式,
定理 4.7.5
每一个次数大于 0的实系数多项式都可以分解为实系
数的一次和二次不可约因式的乘积,
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4.8 有理数域上多项式
一,内容分布
4.8.1 本原多项式及高斯引理
4.8.2 艾森斯坦差别法
4.8.3 求整系数多项式在理根
二,教学目的
1.掌握本原多项式概念及高斯引理
2.熟悉运用艾森斯坦差别法
3.掌握求整系数多项式的有理根
三,重点、难点
艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法,
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引理 4.8.1
两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式,
证 设给了两个本原多项式
,)( 10 mmii xaxaxaaxf ?????? ??
,)( 10 nnjj xbxbxbbxg ?????? ??
并且设,)()(
10 mnmnjiji xcxcxccxgxf ???? ?????? ??
)()( xgxf如果 不是本原多项式,那么一定存在一个
素数 p,它能整除所有系数,,,
10 nmccc ??
若是一个整系数多项式 f (x)的系数互素,那么 f (x)叫
作一个本原多项式,
定义
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由于 f (x)和 g (x)都是本原多项式,所以 p不能整除 f (x)
的所有系数,也不能整除 g (x)的所有系数,令 各
是 f (x)和 g (x)的第一个不能被 p 整除的系数,
考察 f (x)g (x)的系数 有
ji ba 和
.jic ?
.011110 bababababac jijijijijiji ??????? ??????? ??
这个等式的左端 p整除,根据选择 的条件,所有
系数 都被 p整除,因此乘积 也
须被 p整除,但 p是一个素数,所以 p必须整除,
这与假设矛盾,
ji ba 和
0110,,,bbaa ji ?? ?? 以及 jiba
ji ba 和
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证 设
),()()( 21 xgxgxf ?
这里 都是有理数域上的次数小于 n的多
项式,
)()( 21 xgxg 和
若是一个整系数 n (n > 0)次多项式 f (x)在有理数域上
可约,那么 f (x)总可以分解成次数都小于 n的两个整
系数多项式的乘积,
定理 4.8.2
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令 的系数的最大公因数是 那么)(xh,
1a
),()( 1
1
1
1 xfb
axg ?
这里 是一个有理数而 是一个本原多项式,
同理,
1
1
b
a
)(1 xf
),()( 2
2
2
2 xfb
axg ?
这里 是一个有理数而 是一个本原多项式,
于是,
2
2
b
a )(
2 xf
),()()()()( 2121
21
21 xfxf
s
rxfxf
bb
aaxf ??
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其中 r与 s是互素的整数,并且 s > 0, 由于 f (x)是一整
系数多项式,所以多项式 的每一系数与 r的
乘积都必须被 s整除, 但 r与 s互素,所以 的
每一个系数必须被 s整除,这就是说,s是多项式
的系数的一个公因数, 但 是一个
本原多项式,因此
)()( 21 xfxf
)()( 21 xfxf
)()( 21 xfxf )()( 21 xfxf
).()]([)(,1 21 xfxrfxgs ?? 而
显然各与 有相同的次数,
这样,f (x)可以分解成次数都小于 n的两个整系数多
项式的乘积,
)()( 21 xfxrf 和 )()( 21 xgxg 和
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定理 4.8.3 (Eisenstein判断法 )
是一个整系数多项式, 若
是能够找到一个素数 p,使
nn xaxaaxf ???? ?10)(设
(i) 最高次项系数 不能被 p整除,
na
(ii) 其余各项的系数都能被 p整除,
(iii)常数项 不通被 整除,
0a
2p
那么多项式 f (x)在有理数域上不可约,
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证 若是多项式 f (x)在有理数域上可约,那么由定理
4.8.2,f (x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式
的乘积,
)()()( xhxgxf ?
这里
,)(
,)(
10
10
l
l
k
k
xcxccxh
xbxbbxg
????
????
?
?
并且 k < n,l < n,k + l = n,由此得到
.000 cba ?
因为 被 p整除,而 p是一个素数,所以 整除,
但 不能被 整除,所以 不能同时被 p整除,
0a pcb 被或 00
0a 2p 00 cb 与
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0c
不妨假定 整除而 不被 p整除, g (x)的系数
不能全被 p整除,否则 f (x) = g (x)h (x)的系数 将被 p
整除,这与假定矛盾, 令 g (x)中第一个不能被 p整除的
系数是, 考察等式
pb 被0
0a
sb
.0110 ssss cbcbcba ???? ? ?
由于在这个等式中 都被 p整除,所以
也必须被 p整除, 但 p是一个素数,所以 中至少
有一个被 p整除, 这是一个矛盾,
01,,,bba ss ?? 0cbs
0cbs与
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设 p是一个素数, 多项式
1)( 21 ????? ?? xxxxf pp ?
叫做一个分圆多项式,
(i) 的最高次项系数 而 的常
数项
)( xfu 整除,0a )( xfu 整除;na
(ii) 这里 q (x)是一个整系数多项式,),()()( xq
v
uxxf ??
设
nnn axaxaxf ???? ? ?110)(
是一个整系数多项式, 若是有理数 是 f (x)的一个根,
这里 u和 v是互素的整数,那么 v
u
定理 4.8.4
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证 由于 是 f (x)的一个根,所以vu
(2)
),()()( xqvuxxf ??
这里 q (x)的一个有理系数多项式, 我们有
),(1)( uvxvvux ???
这里 vx – u 是一个本原多项式,因为 u和 v互素,另一
方面,q (x)可以写成
),()( 1 xfbaxq ?
这里 是一个有理数 而是一个本原多项式, 这
样
b
a )(
1 xf
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),()()( 1 xfuvxsrxf ??
这里 r和 s是互素的整数并且 s > 0,而 vx – u 和
都是本原多项式,由此,和定理 4.8.2的证明一样,可以
推得 s = 1 而
)(1 xf
(3) ),()()(
1 xquvxxf ??
这里 是一个整系数多项式, 令)()( 11 xrfxq ?
.)( 121101 ??? ???? nnn bxbxbxq ?
那么由 (3)得 ).)(( 1100 ?? ?????? nnnn bxbuvxaxa ??
比较系数,得 这就是说,,100 ???? nn ubavba
.0 nauav 整除而整除 另一方面,比较 (2)和 (3),
得 所以 q (x)也是一个整系数多项式,),()( 1 xvqxq ?
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这个多项式的最高次项系数 3的因数 是常数项
– 2的因数 是所以可能的有理根是
我们算出 所以 1与 – 1都不是 f (x)
的根,另一方面,由于
,3,1 ??
.2,1 ??,32,31,2,1 ????
.8)1(,12)1( ???? ff
3
2
1
12
,
3
2
1
8
,
21
8
??
?
?
?
都是整数,所以有理数 在试验之列,
3
1,2 ??
求多项式
2553)( 234 ????? xxxxxf
的有理根,
例
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容易看出,－２不是的根,所以它不是的重根,
应用综合除法,
– ２ |３ 5 1 5 – ２
– ６ 2 – 6 2
3 – 1 3 – １ 0
所以 – 2 是 f (x) 的一个根, 同时我们得到
).133)(2()( 23 ????? xxxxxf
－ 1 3 －１
－ 1 32
3
23
3|31?
3 － 2
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至此已经看到,商式不是整系数多项式,因此不必再除
下去就知道,的根,所以它也不是 f (x)的
根, 再作综合除法,
)(31 xg不是?
－ 1 3 －１
－ 1 0 1
3|31
3 0 3 0
所以 的一个根,因而它也是 f (x)的一个根,
容易看出,的重根,这样,f (x)的有理根
是
)(31 xg是
)(31 xf不是
.312和?
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4.9 多元多项式
一,内容分布
4.9.1 基本概念
4.9.2 n元多项式的字典排列法
4.9.3 多项式函数
二,教学目的
1.掌握多元多项式的基本概念,单项式,多项式,系
数,同类项,次数,单项式等及 n元多项式环
2.掌握多元多项式的运算,加法,乘法
3.掌握多项式的字典排列法,多项式函数,
三,重点、难点
n元多项式的一般形式,多项式的字典排列法
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令
nxxx,,,21 ?
是 n个文字,形式如
nknkk xxax ?21 21
的表示式，其中 是非负整数，叫做
数环 R上 的一个单项式, 数 a 叫做这个单
项式的系数,如果某一,那么 可以不写，
约定
nkkkRa,,,,21 ??
nxxx,,,21 ?
0?ik ikix
niinii knkikikknkiikik xxxaxxxxxax ???? 111111 1111011 ???? ???? ?
因此,m (m < n)个文字的单项式总可以看成 n个文
字的单项式, 特别，当 时，我们
有
021 ???? nkkk ?
Raxxax n ??00201 ?
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（ 1）
我们还约定，
Rxxx nknkk ?? 00 21 21 ?
.
一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一
个形式表达式
Raxxxaxxxaxxxa iknkksknkknnkk snssn ????,21222211211 212121211 ????
是非负整数,叫做 R上 n个
文字 的一个多项式，或简称 R上一个 n元
多项式,在不致发生混淆的情况下，也可以简称为多
项式,
ijk
? ?njsi,,2,1;,,2,1 ?? ??
nxxx,,,21 ?
nxxx,,,21 ?
我们常用符号 等来表示
R上 n个文字 的多项式,
? ? ? ?nn xxxgxxxf,,,,,,,2121 ??
nxxx,,,21 ?
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在一个 n元多项式（ 1）里，组成这个多项式的单项
式叫做这个多项式的项,各项的系数也叫做这个多项
式的系数,
R上两个单项式 和 叫做同
类项，如果, 两个单项式说是相等，
如果它们是同类项并且系数相等,
nknkk xxax ?21 21 nlnll xxbx ?21 21
nilk ii,,2,1,???
现在定义 R上 n元多项式的运算,
R上两个 n元多项式
的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的
同类项的系数相加所得到的 n元多项式，记作 f + g,
? ? ? ?nn xxxgxxxf,,,,,,2121 ?? 与
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例如
? ?
? ? 332323221331321
3
3
2
3232
2
1
3
2
2
1
3
1321
52,,
23,,
xxxxxxxxxxg
xxxxxxxxxxxxf
????
?????
的和是
? ? ? ? 2323221322131331321321 4222,,,,xxxxxxxxxxxxxgxxxf ??????
为了定义两个多项式的乘积，先定义两个单项式的
乘积,R上两个 n元单项式 与
的积指的是单项式
nknkk xxax ?21 21 nlnll xxbx ?21 21
nn lknlklk xxa b x ??? ?2211 21
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现在设 f与 g都是 R上 n个文字的 多项式,
把 f的每一项与 g的每一项相乘，然后把这些乘积相
加（合并同类项）而得到的一个 n元多项式叫做 f
与 g的积，记作 fg,例如，多项式
nxxx,,,21 ?
? ?
? ? 3223212313,21
32
2
2132
2
13,21
3,
2,
xxxxxxxxxg
xxxxxxxxxxf
???
???
的乘积是
23322322134213223132412332212324132251 32262 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfg ????????
这样定义的多项式的加法和乘法就是中学代数里熟
知的多项式的运算，并且容易看出,n元多项式的
运算满足下列条件：
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设 f,g,h都是某一数环 R上 n个文字
的多项式，那么 n
xxx,,,21 ?
1） ? ? ? ?hgfhgf ????? （加法的结合律）
2) fggf ??? （加法的交换律）
3) ? ? ? ?ghfhfg ? （乘法的结合律）
4） gffg ? （乘法的交换律）
5） ? ? ghfhhgf ??? （分配律）
我们把一个数环 R上一切 n个文字的多项式
所成的集合，连同如上定义的加法和乘法叫做 R上
n个文字 的多项式环，简称上元多项式
环，记作,,
nxxx,,,21 ?
nxxx,,,21 ?
? ?nxxxR,,,21 ?
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设 是数环 R上一个不等于零的 n元多项
式, 设
? ?nxxxf,,,21 ?
（ 2）,nk
nkk xxax ?21 21 ? ?0?a
（ 3）
nlnll xxbx ?21 21 ? ?0?b
是 的两个不同的项，那么在这两项对
应的幂指数的差 中，至少有一个不
等于零,如果在这些差中，第一个不等于零的数是一
个正数，换句话说，如果存在这样一个 i,
使得
? ?nxxxf,,,21 ?
? ?nilk ii ??? 1
ni ??1
iiii lklklk ??? ?? 但,,,1111 ?
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那么就说，项（ 2）大于项（ 3），或者说，项（ 3）
小于项（ 2）,对于 的任意两个不同
的项，总有一个大于另一个，并且若项（ 2）大于
项（ 3），而项（ 3）又大于另外一项
? ?nxxxf,,,21 ?
（ 4） ? ?0
21 21 ?cxxcx nmnmm ?
那么项（ 2）也大于项（ 4）,这样，只要把两项中较
大的一项排在前面，多项式 的各项
就有了完全确定的次序,这种排列多项式的项的方法
很象字典里字的排列法，所以通常把这种排列法叫
做多项式的字典排列法,例如
? ?nxxxf,,,21 ?
? ? 23,,,42324322133221414321 ????? xxxxxxxxxxxxxf
就是按字典排列法书写的一个四元多项式,
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数环 R上两个 n元多项式 与
的乘积的首项等于这两个多项式首项
的乘积, 特别，两个非零多项式的乘积也不等于零,
? ?nxxxf,,,21 ?
? ?nxxxg,,,21 ?
定理 4.9.1
数环 R上两个不等于零的 n元多项式的乘积的次数等
于这两个多项式次的和,
定理 4.9.2
设 是数环 R上一个 n元多项式,如果对
于任意 都有,那
么,
? ?nxxxf,,,21 ?
? ? nn Rccc ?,,,21 ? ? ? 0,,,21 ?ncccf ?
? ? 0,,,21 ?nxxxf ?
定理 4.9.3
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设 与 是数环 R上 n元多
项式,如果对于任意 都有
? ?nxxxf,,,21 ? ? ?nxxxg,,,21 ?
? ? nn Rccc ?,,,21 ?
? ? ? ?nn cccgcccf,,,,,,2121 ?? ?
那么, 换句话说，
如果由 与 的确定的多
项式函数 f与 g相等，那么这两个多项式相等,
? ? ? ?nn xxxgxxxf,,,,,,2121 ?? ?
? ?nxxxf,,,21 ? ? ?nxxxg,,,21 ?
推论 4.9.4
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4.10 对称多项式
一,内容分布
4.10.1 对称多项式基本定理
4.10.2 用初等对称多项式表成对称多项式
二,教学目的
1.掌握理解 n元对称多项式,n元初等对称多项式
概念
2.掌握对称多项式的基本定理
3.熟练用初等对称多项式的多项式, 0
三,重点、难点
对称多项式表成初等对称多项式的多项式
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例如，
? ? 2222121,,,nn xxxxxxf ???? ??
是整数环上一个 n元对称多项式,
? ? 232322231221321221321,,xxxxxxxxxxxxxxxf ??????
是整数环上一个三元对称多项式,
设 是数环 R上一个 n元多项式,如果对
于这 n个文字 的指标 集施行任
意一个置换后,都不改变，那么就称
是 R上一个 n元对称多项式,
? ?nxxxf,,,21 ?
nxxx,,,21 ? ? ?n,,2,1 ?
? ?nxxxf,,,21 ?
? ?nxxxf,,,21 ?
定义 1
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看以下的 n个 n元多项式：
（ 1）
,
,
,
,
21
322211211
131212
211
nn
nnnnn
nn
n
xxx
xxxxxxxxxx
xxxxxx
xxx
?
???
???????
?
?
?
???
????
????
???
?
?
?
?
?
这里 表示 中每次取 k个所作的一切
可能乘积的和，这样的 n个多项式显然都是 n元对
称多项式,我们称这 n个多项式 为 n元
初等对称多项式,
k? nxxx,,,21 ?
n???,,,21 ?
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对称多项式的基本定理
引理 4.10.1
设 是数环 R上
一个 n元多项式, 以 代替,,得到
关于 的一个多项式
? ? nn iniiiiin xxxaxxxf ?? ?? ? 2121 2121,,,
i? ix
ni ??1
n???,,,21 ?
? ? nn iniiiiin af ?? ?????? ?? ? 2121 2121,,,
如果,那么一切系数? ? 0,,,
21 ?nf ??? ?
021 ?niiia ?
即
? ? 0,,,21 ?nxxxf ?
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例 1 用初等对称多项式表示 n元对称多项式
22221 nxxxf ???? ?
f 的首项 是, 所以取2
1x
210020211 ???? ?? ? ng ?
于是 ? ? 2
212222111 nn xxxxxxgff ?????????? ??
? ?213121 2)2 ???????? ? nn xxxxxx ?
所以
22111 2 ?? ???? fgf
数环 R上每一 n元对称多项式 都可
以表成初等对称多项式 的系数在 R中
的多项式，并且这种表示法是唯一的,
? ?nxxxf,,,21 ?
n???,,,21 ?
定理 4.10.2
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例 2 用初等对称多项式表示 n元对称多项式
?? 2221 xxf
ig
由定理 4.10.2的证明知道，所求的表示式的各项
完全决定于相应的对称多项式 的首项,这
些首项必须满足以下条件：
?,,1ff
1.每一 的首项都小于 f 的首项，并且如果 i > j,
那么的 首项小于 的首项；
if
if jf
2.每一首项的指数组 满足不等式
nkkk,,,21 ?
nkkk ??? ?213.每一首项的次数都等于 4（因为 f是一个四次齐式，
所以每一个 也是四次齐式）
if
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自 f 的首项的指数组开始，写出满足上述条件的一
切可能的指数组，以及对应的 的幂的
乘积, 列表如下：
n???,,,21 ?
对应的 的幂的乘积指数组
i?
?
?
?
11110
21100
22000
4
01
4
11
3
11
2
11
1
31
01
3
11
2
12
1
2
2
02
2
22
1
?????
?????
???
?
?
?
????
???
??
这样，多项式 f 可以写成以下形式
43122 ???? baf ???
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为了决定系数 a,b,取 的值代入上面
的等式,例如，可以先取,
对于这一组数,f 的值等于 3，而 的值
依次是 3,3,1,0,所以
nxxx,,,21 ?
0,1 4321 ?????? nxxxxx ?
4321,,,????
01393 ?????? ba
由此得 a = - 2,再取,
对于这一组数,f的值等于 6,的值依
次是 4,6,4,1.所以
0,1 54321 ??????? nxxxxxx ?
4321,,,????
1442366 ?????? b
由此得 b = 2, 于是
43122 22 ???? ???f
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设 f (x)是数域 F上一个一元 n次多项式，它的最高次
项系数是 1.令 是 f (x)在复数域内的全部
根（重根按重数计算）,那么 的每一个系
数取自 F的对称多项式都是 f (x)的系数的多项式（它
的系数在 F内），因而是 F的一个数,
n???,,,21 ?
n???,,,21 ?
推论 4.10.3
第 4章 多项式
4.1 一元多项式的定义和运算
4.2 多项式的整除性
4.3 多项式的最大公因式
4.4 多项式的分解
4.5 重因式
4.6 多项式函数 多项式的根
4.7 复数和实数域上多项式
4.8 有理数域上多项式
4.9 多元多项式
4.10 对称多项式
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代数是搞清楚世界上数量关系的工具。
―― 怀特黑德（ 1961－ 1947）
当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的
风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。
- -柯普宁 (前苏联哲学家 )
快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。
―― 匿名者
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4.1 一元多项式的定义和运算
一、内容分布
4.1.4 多项式的运算
二、教学目的
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质,
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
4.1.1 认识多项式
4.1.2 相等多项式
4.1.3 多项式的次数
4.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
4.1.6 多项式的运算性质
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4.1.1 认识多项式
多项式
令 R是一个含有数 1的数环,R上一个文字 x的多项式或
一元多项式指的是形式表达式
nn xaxaxaa ???? ?2210
这里 n是非负整数而 ? ?nia
i,,1,0 ??
都是 R中的数,
一元多项式常用符号 ? ? ? ? ?,,xgxf 来表示,
注
1：在多项式 (1)中,
0a
叫做零次项或常数项,i
ixa
叫做 i 次项,
ia
叫做 i 次项的系数,
2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个 i次项的系数是 1, 那
么这个系数可以省略不写。
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4.1.2 相等多项式
定义
若是数环 R上两个一元多项式,f (x) 和 g (x)有完全
相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f (x) 和
g (x)就说是相等,
f (x) = g (x)
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4.1.3 多项式的次数
叫做多项式nnxa nn xaxaxaa ???? ?2210 ? ?0?na
的最高次项,非负整数 n叫做多项式
nn xaxaxaa ???? ?2210 ? ?0?na 的次数, 记作
? ?? ?xf0?
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做
零多项式，记为 0,
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4.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环 R上两个多项式
? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210
? ? mm xbxbxbbxg ????? ?2210
且 m ≤ n,f (x) 和 g (x) 的加法定义为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nnn xbaxbaxbabaxgxf ?????????? ?2221100
这里当 m < n 时,0
1 ???? nm bb ?
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多项式的乘法
给定数环 R上两个多项式
? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210
? ? mm xbxbxbbxg ????? ?2210
f (x) 和 g (x) 的乘法定义为
? ? ? ? mnnn xcxcxccxgxf ??????? ?2210
mnkbabababac kkkkk ??????? ??,,2,1,0,011110 ??
这里
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多项式的减法
? ? ? ? ? ? ? ?? ?xgxfxgxf ????
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4.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（ 1）加法交换律, ? ? ? ? ? ? ? ?xfxgxgxf ???
（ 2）加法结合律, ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxfxhxgxf ?????
（ 3）乘法交换律, ? ? ? ? ? ? ? ?xfxgxgxf ?
（ 4）乘法结合律, ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxfxhxgxf ?
（ 5）乘法对加法的分配律, ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xhxfxgxfxhxgxf ???
注意, 要把一个多项式按“降幂”书写
0111 axaxaxa nnnn ???? ?? ?
当 0?na 时,nnxa 叫做多项式的首项,
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4.1.6 多项式的运算性质
定理 ? ? )( xgxf 和设 是数环 R上两个多项式,并且
? ? ? ? 0,0 ?? xgxf,那么
（ i）当 ? ? ? ? 0 ?? xgxf 时,
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?xgxfxgxf 000,m a x ?????
（ ii） ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxgxf 000 ?????
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证, ? ?? ? ? ?? ? mxgnxf ???? 00,设
? ? 0,2210 ?????? nnn axaxaxaaxf ?
? ? 0,2210 ?????? mmm bxbxbxbbxg ?
且 nm ? 那么
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? nnn xbaxbaxbabaxgxf ?????????? ?2221100（ 1）
? ? ? ? ? ? mnmn xbaxbababaxgxf ?????? ?011000 （ 2）
由（ 1）,? ? ? ?xgxf ? 的次数显然不超过 n，另一方面，
00,0 ??? mnmn baba 得由,所以由 (2)得 ? ? ? ?xgxf
的次数是 n + m,
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推论 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xhxgxfxhxfxgxf ???? 0,
证 由 ? ? ? ? ? ? ? ?xhxfxgxf ? 得 ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxf ? 。但 ? ? 0?xf
所以由推论 1必有 ? ? ? ? 0?? xhxg,即
? ? ? ?xhxg ?
证 若是 ? ? )( xgxf 和 中有一个是零多项式，那么由多项
? ? ? ? 0?xgxf, 若是 ? ? 0)(0 ?? xgxf 且
那么由上面定理的证明得 ? ? ? ? 0?xgxf
式乘法定义得
? ? ? ? ? ? 00 ??? xfxgxf 或 ? ? 0?xg推论 1
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当 cba,,是什么数时，多项式
? ? ? ?2323 xxbcbxaxxf ?????
（ 1）是零多项式？
（ 2）是零次多项式？
例
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4.2 多项式的整除性
一、内容分布
4.2.1 多项式的整除概念
4.2.2 多项式整除性的一些基本性质
4.2.3 多项式的带余除法定理
4.2.4 系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。
2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
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4.2.1 多项式的整除概念
设 F是一个数域, F [x]是 F上一元多项式环,
定义 1
? ? ? ? ][,xFxgxf ?设,如果存在 ? ? ][ xFxh ?,使得
? ? ? ? ? ?xhxgxf ?,则称 整除,记为
? ? ? ?xfxg |,此时称 ? ?xg 是 ? ?xf 的因式，否则称
? ?xg 不能整除,记为? ?xf
? ?xg ? ?xf
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4.2.2 多项式整除性的一些基本性质
（ 1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xfxhxfxgxgxh ||,| ?
（ 2） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xgxfxhxgxhxfxh ?? ||,|
（ 3） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxfxhxFxgxfxh |][,| ???
（ 4） ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
kkii gfgfxhkixgkixfxh ?????? ??? 11|,,2,1,,,2,1|
（ 5） ? ? ? ?xfcxFxfFc |][,0 ??????
（ 6） ? ? ? ? ? ?xfxcfxFxfFc |][,0 ??????
（ 7） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?Fcxcgxfxfxgxgxf ???? 0|,|
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4.2.3 多项式的带余除法定理
定理 ? ? ? ? ][F,xxgxf ?设,且 ? ? 0?xg,则存在
? ? ? ? ],[F,xxrxq ? 使得 ? ? ? ? ? ? ? ?xrxqxgxf ??
这里 ? ? 0?xr,或者 ? ?? ? ? ?? ?.00 xgxr ???
并且满足上述条件的 ? ? )( xrxq 和 只有一对。
注 1,? ? ? ?xrxq,分别称为 ? ? )( xfxg 除 所得的商式和
余式
注 2,? ? ? ? ? ? ? ?,0|,0 ??? xrxfxgxg
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证,先证定理的前一部分,
（ i）若 ? ? 0?xf,或 ? ?? ? ? ?? ?xgxf 00 ???, 则可以取
? ? ? ? ? ?xfxrxq ??,0
（ ii）若 ? ? 0?xf,且 ? ?? ? ? ?? ?.00 xgxf ??? ? ? )( xgxf 和把
按降幂书写,
? ? nnnn axaxaxaxf ????? ?? 1110 ?
? ? mmmm bxbxbxbxg ????? ?? 1110 ?
这里 0,0
00 ?? ba
,并且 mn ?
? ? mnmn xbaxq ??? 11令,并记 ? ? ? ? ? ? ? ?,11 xgxqxfxf ??
? ?xf1则 有以下性质：
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或者 ? ? ? ?? ? ? ?? ?xfxfxf 0101 0 ???? 或
若是 ? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxf 0101 0 ???? 且, 则对 ? ?xf1
重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：
? ? ? ? ? ? ??,,,,21 xfxfxf k ? ? ? ? ? ? ??,,,,
21 xqxqxq k及
使得 ? ? ? ? ? ? ? ?xgxqxfxf
kkk 11 ?? ??
而 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxf 0
100 ?????? ?
由于多项式 ? ? ? ? ?,,21 xfxf 的次数是递降的,故存在 k使
? ? ? ?? ? ? ?? ?xgxfxf kk 000 ???? 或,于是
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xfxrxqxqxq kk ???? 及?1
便给出了所说的表示。
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现在证明定理的后一部分．假设 f (x)有两种符合定
理中要求的表示法：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xrxqxgxrxqxgxf 2211 ????
那么 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?xrxrxgxqxq
1221 ???
上式右边或者为零，或者次数小于 ? ?? ? ;0 xg?
而左边或者是零，或者次数不小于 ? ?? ? ;0 xg?
因此必须两边均为零，从而
? ? ? ? ? ? ? ?xrxrxqxq 2121 ?? 及
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4.2.4 系数所在范围对整除性的影响
FF 和设 是两个数域，并且 FF?,那么多项式环 ][Fx
含有多项式环 F [x]．因此 Ｆ 上的一个多项式 ? ?xf 也是
F 上的一个多项式．
? ? ? ? ][F,xxgxf ?，则如果在 F [x]里 ? ?xg 不能整除 ? ?xf
，那么在 ][Fx 里 ? ?xg 也不能整除 ? ?,xf
事实上，若 ? ? 0?xg,那么由于在 F [x]里 ? ?xg
不能整除 ? ?,xf ? ?xf 不能等于 0．因此在 ][Fx 里 ? ?xg
显然仍不能整除 ? ?,xf
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假定 ? ? 0?xg,那么在 Ｆ [x]里，以下等式成立：
? ? ? ? ? ? ? ?xrxqxgxf ??
并且 ? ? 0?xr,但是 F [x]的多项式 ? ? )( xrxq 和 都是
][Fx 的多项式，因而在 ][Fx 里，这一等式仍然成立．
于是由 ? ?xr 的唯一性得出，在 ][Fx 里 ? ?xg 也不能整除
? ?,xf
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例 1 确定 m,使 ? ?,1|1 252 ???? mxmxxx
例 2 设 ? ? ? ? 1,23 ?????? mxxxgqpxxxf qpm,,
适合什么条件时,? ?xg 整除 ? ??xf
。问
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4.3 多项式的最大公因式
一, 内容分布
4.3.1 多项式公因式,最大公因式,互素概念
4.3.2 用辗转相除法求最大公因式,
二,教学目的
1.掌握最大公因式,互素概念,
2.熟练掌握辗转相除法
3.会应用互素的性质证明整除问题
三,重点,难点
辗转相除法求最大公因式, 证明整除问题
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? ?xf
令 和 是 F [x]的两个多项式，若是 F [x]的一
个多项式 同时整除 和,那么 叫做
与 的一个公因式,
? ?xf ? ?xg
? ?xh ? ?xg ? ?xh
? ?xf ? ?xg
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式,若是
能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做
与 的一个最大公因式,
? ?xd ? ?xf ? ?xg ? ?xd
? ?xf ? ?xg ? ?xd
? ?xf ? ?xg
定义 1
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的任意两个多项式 与 一定有最大公因
式,除一个零次因式外,与 的最大公因式是
唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个
最大公因式，那么数域 F的任何一个不为零的数 c
与 的乘积,而且当 与 不全为零多
项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因
式,
? ?xF ? ?xf ? ?xg
? ?xf ? ?xg
? ?xd ? ?xf ? ?xg
? ?xd ? ?xcd ? ?xf ? ?xg
? ?xf ? ?xg
定理 4.3.1
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解,对 施行辗转相除法,为了避免分数
系数，在做除法时，可以用 F的一个不等于零的数
乘被除式或除式,而且不仅在每一次除法开始时可
以这样做，就是在进行除法的过程中也可以这样做,
这样商式自然会受到影响，但每次求得的余式与正
确的余式只能差一个零次因式,这对求最大公因式
来说是没有什么关系的,
? ? ? ?xgxf 与
令 F是有理数域,求 F [x] 的多项式
? ?
? ? 3452
,3442
23
234
????
?????
xxxxg
xxxxxf
的最大公因式,
例 1
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把 先乘以 2，再用 来除：? ?xf ? ?xg
654
1
3452
3452
68842
23
23
234
234
???
?
???
???
????
xxx
x
xxx
xxxx
xxxx
乘以 2
15143
3452
121082
2
23
23
???
???
???
xx
xxx
xxx
这样，得到第一余式
? ? 15143 21 ???? xxxr
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把 g (x)乘以 3，再用 ? ?xr1 来除：
94231
132
15143
30286
912156
2
2
23
23
??
??
???
??
???
xx
x
xx
xxx
xxx
乘以 3
16865
19518239
2712639
2
2
?
??
??
x
xx
xx
约去公因子 56后，得出第二余式
? ? 32 ?? xxr
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再以 ? ?xr
2
除 ? ?xr
1,计算结果
被 整除? ?xr
1 ? ?xr2
? ?? ?53315143 2 ??????? xxxx
所以 就是 与 的最大公因式：? ?xr2 ? ?xf ? ?xg
? ? ? ?? ? 3,?? xxgxf
定理 4.3.2
若 是 的多项式 与 的最大公因
式，那么在 里可以求得多项式 与,
使以下等式成立,
? ?xd ][xF ? ?xf ? ?xg
][xF ? ?xu ? ?xv
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xdxvxgxuxf ??
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例 2 令 F是有理数域,求出 ? ?xF 的多项式
? ? ? ? 452,951624 23234 ????????? xxxxgxxxxxf
的最大公因式 ? ?xd 以及满足等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xdxvxgxuxf ??
的多项式 ? ?xu 与 ? ?xv
.
对 与 施行辗转相除法,但是现在不允许用一
个零次多项式乘被除式或除式,因为在求多项式
与 时，不仅要用到余式，同时也要用到商式,施
行除法的结果，我们得到以下一串等式：
? ?xf ? ?xg
? ?xu
? ?xv
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ?.961936
,1
3
1
3
1
936
,9362
2
2
2
???????
???
?
?
?
?
?
??????
??????
xxxx
xxxxxg
xxxxgxf
由此得出,1?x 是 ? ?xf 与 ? ?xg 的最大公因式，而
? ? ? ? ? ? ? ?32231,131 2 ?????? xxxvxxu
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定理 4.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条
件是：在 中可以求得多项式 与,使
? ?xF ? ?xf ? ?xg
? ?xF ? ?xu ? ?xv
? ? ? ? ? ? ? ? 1?? xvxgxuxf
如果 的两个多项式除零次多项式外不再有其它
的公因式，我们就说，这两个多项式互素,
? ?xF
定义 3
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从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下
重要事实,
1.若多项式 ? ?xf 和 ? ?xg 都与多项式 ? ?xh 互素，
? ? ? ?xgxf 也与 ? ?xh 互素,那么乘积
2.若多项式 ? ?xh 整除多项式 ? ?xf 与 ? ?xg 的乘积，而
? ?xh 与 ? ?xf 互素, 那么 ? ?xh 一定整除 ? ?xg
3.若多项式 ? ?xg 与 ? ?xh 都整除多项式 ? ?xf,而
? ?xg 与 ? ?xh 互素, 那么乘积 ? ? ? ?xhxg 也整除 ? ?xf
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4.4 多项式的分解
一,内容分布
4.4.1 不可约多项式的概念及性质
4.4.2 唯一因式分解定理
二,教学目的
1.掌握不可约多项式及性质
2.掌握唯一因式分解定理,会用两个多项式的典型分解
求出最大公因式
3.掌握求典型分解式
三,重点,难点
唯一因式分解定理,用典型分解求出最大公因式
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定义
? ?xf令 是 的一个次数大于零的多项式,若是
在 中只有平凡因式,就说是在数域 F上（或
在 中）不可约,若 除平凡因式外，在 中
还有其它因式,就说是在 F上（或在 中）可
约,
? ?xf ? ?xF
? ?xF ? ?xf
? ?xF ? ?xf ? ?xF
? ?xf ? ?xF
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式
而,那么 与 的次数显然都
小于 的次数,反之，若 能写成两个这样的多
项式的乘积，那么 有非平凡因式,因此我们可
以说：
??xF ? ?xg
? ? ? ? ? ?xhxgxf ? ? ?xg ? ?xh
? ?xf ? ?xf
? ?xf
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如果 的一个 次多项能够分解成 中两
个次数都小于 n的多项式 与 的积：
??xF ? ?0?nn ??xF
? ?xg ? ?xh
（ 1） ? ? ? ? ? ?xhxgxf ?
那么 ? ?xf 在 F上可约,
若 是在 中的任一个形如（ 1）的分解式总含
有一个零次因式，那么 在 F上不可约,
? ?xf ? ?xF
? ?xf
（ a）如果多项式 不可约，那么 F中任一不为零的元素
c与 的乘积 也不可约,
? ?xp
? ?xp ? ?xcp
（ b）设 p (x)是一个不可约多项式而 f (x)是一个任意多项
式，那么 p (x)或者与 f (x)互素，或者 p (x)整除 f (x),
（ c）如果多项式 f (x)与 g (x)的乘积能被不可约多项式 p (x)
整除，那么至少有一个因式被 p (x)整除,
性质（ c）很容易推广到任意 s（ s≥2)个多项式的乘积的情
形,我们有
（ ）如果多项式 的乘积能被不可约
多项式 p (x) 整除，那么至少有一个因式被 p (x)整除,
? ? ? ?? ?2,,1 ?sxfxf s?c?
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此处 是 F的不为零的元素, 即，如果不计零次因
式的差异，多项式 f (x)分解成不可约因式乘积的
分解式是唯一的,
ic
F [x] 的每一个 n (n>0)次多项式 f (x)都可以分解成 F
[x]的不可约多项式的乘积,
定理 4.4.1
令 f (x)是 F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,2121 xqxqxqxpxpxpxf sr ?? ??
此处 ? ? ),,2,1,,,2,1()( sjrixqxp
ji ?? ??与
定理 4.4.2
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例 在有理数域上分解多项式
为不可约因式的乘积,容易看出
? ? 2223 ???? xxxxf
（ 2） ? ?? ?2122 223 ?????? xxxxx
一次因式 x + 1自然在有理数域上不可约,我们证明，
二次因式 也在有理数域上不可约,不然的话,
将能写成有理数域上两个次数小于 2的因式
的乘积，因此将能写成
22 ?x
22 ?x
（ 3） ? ?? ?bxaxx ???? 22
的形式，这里 a和 b是有理数,把等式（ 3）的右端乘开，
并且比较两端的系数，将得 a + b = 0,ab = - b，由此
将得,这与 a是有理数的假定矛盾,这样，（ 2）
给出多项式的一个不可约因式分解,
2??a
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我们还可以如下证明 在有理数域上不可约,如
果（ 3）式成立，那么它也给出 的实数域上
的一个不可约因式分解,但在实数域上
22 ?x
22 ?x
? ?? ?2222 ???? xxx
因此由唯一分解定理就得出 2??a 的矛盾,
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4.5 重因式
一,内容分布
4.5.1重因式概念
4.5.2 没有重因式的判断
二,教学目的
1.掌握重因式概念,多项式的 K阶导数概念,
2.掌握有无重因式判断的充要条件,
三,重点难点
重因式概念及用一阶导数判断多项式有无重因式,
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根据以上定义不难直接验证，关于和与积的导数公
式仍然成立：
（ 1） ? ? ? ?? ? ? ? ? ?,xgxfxgxf ??????
（ 2） ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxfxgxfxgxf ?????
（ 3） ? ?? ? ? ? ? ?xfxkfxf kk ??? ? 1
F [x]的多项式 ? ? nn xaxaxaaxf ????? ?2210 的导数或
一阶导数指的是 F [x]的多项式
? ? 121' 2 ????? nn xnaxaaxf ?
? ?xf ??
一阶导数 的导数叫做 的二阶导数，记
作, 的导数叫做 的三阶导数，记
作,等等, 的 k阶导数也记作,
? ?xf? ? ?xf
? ?xf ?? ? ?xf
? ?xf ??? ? ?xf ? ?xf k )(
定义
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设 p (x)是多项式 f (x)的一个 k (k≥1)重因式, 那么 p
(x)是 f (x)的导数的一个 k - 1重因式,
定理 4.5.1
多项式 f (x)没有重因式的充分且必要条件是 f (x)与
它的导数 互素,? ?xf '
定理 4.5.2
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4.6 多项式函数 多项式的根
一, 内容分布
4.6.1 多项式的根概念
4.6.2 综合除法
二, 教学目的
1.掌握多项式函数 多项式的根的概念
2.掌握余式定理及运用综合除法
3.熟悉理解拉格朗日插值公式
三, 重点、难点
综合除法，拉格朗日插值公式
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设给定 R [x]的一个多项式
nn xaxaaxf ???? ?10)(
和一个数 c ∈ R.那么在的表示式里,把 x用 c来代替,
就得到 R的一个数
.10 nn cacaa ??? ?
这个数叫当 x = c 时 f (x)的值,并且用 f (c)来表示,
这样,对于 R的每一个数 c,就有 R中唯一确定的数
f (c)与它对应, 于是就得到 R到 R的一个映射, 这个
映射是由多项式 f (x)所确定的,叫做 R上一个多项式
函数,
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综合除法
nnnnn axaxaxaxaxf ?????? ??? 122110)( ?设
,并且设
(1),)()()( rxqcxxf ???
其中 bxbxq nn 11
0,,,,)( ?
? ???
比较等式 (1)中两端同次项的系数,我们得到
设 用 x – c 除 f (x)所得的余式等于
当 x = c时 f (x)的值 f (c),
,],[)( RcxRxf ??
定理 4.6.1
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.
,
,
,
,
1
211
122
011
00
?
???
??
??
??
??
?
nn
nnn
cbra
cbba
cbba
cbba
ba
????
由此得出
.
,
,
,
,
1
121
212
101
00
nn
nnn
acbr
acbb
acbb
acbb
ab
??
??
??
??
?
?
???
????
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这样,欲求系数,只要把前一系数 乘以 c再加
上对应系数,而余式的 r 也可以按照类似的规律
求出, 因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续
求出商式的系数和余式,
kb 1?kb
ka
rbbbb
cbcbcbcb
aaaaac
rn
nn
nn
?
??
?
?
?
?
?
210
1210
1210
|
表中的加号通常略去不写,
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例 1 用 x + 3除 94)( 24 ???? xxxxf
作综合除法,
69261031
783093
94101|3
??
??
??
所以商式是
,26103)( 23 ???? xxxxg
而余式是
.69)3( ??? fr
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定理 4.6.2
数 c是多项式 f (x)的根的充分且必要条件是 f (x)能
x – c 能整除,
定理 4.6.3
设 f (x)是 R [x]中一个 n≥0次多项式, 那么 f (x)在 R中
至多有 n个不同的根,
令 f (x)是 R [x]的一个多项式而 c的 R的一个数, 若是
当 x = c时 f (x)的值 f (c) = 0,那么 c 叫做 f (x)在数环 R
中的一个根,
定义
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证
如果 f (x)是零次多项式,那么 f (x)是 R中一个不等于
零的数,所以没有根, 因此定理对于 n = 0成立,于是
我们可以对 n作数学归纳法来证明这一定理,设
c∈ R是 f (x)的一个根,那么
f (x) = (x – c) g (x)
这里 g (x) ∈ R [x]是一个 n – 1次多项式,如果 d∈ R
是 f (x)另一个根,d≠c那么
0 = f (d) = (d – c) g (d)
因为 d – c≠0,所以 g (d) = 0,因为 g (x)的次数是 n
– 1,由归纳法假设,g (x)在 R内至多有 n – 1个不同
的根,因此 f (x)在 R中至多有 n个不同的根,
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令
u (x) = f (x) – g (x)
若 f (x)≠g (x),换一句话说,u (x) ≠0,那么 u (x)是一个
次数不超过 n的多项式,并且 R中有 n + 1个或更多的
根, 这与定理 4.6.3矛盾,
证
设 f (x)与 g (x)是 R [x]的两个多项式,它们的次数都
不大于 n.若是以 R中 n + 1个或更多的不同的数来代
替 x时,每次所得 f (x)与 g (x)的值都相等,那么
f (x) = g (x),
定理 4.6.4
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证 设 f (x) = g (x) 那么它们有完全相同的项,因而对
R的任何 c都有 f (c) = g (c)这就是说,f (x) 和 g (x)所
确定的函数相等,
反过来设 f (x) 和 g (x)所确定的函数相等,令
u (x) = f (x) – g (x)
那么对 R的任何 c都有 u (c) = f (c) – g (c) = 0这就是
说,R中的每一个数都是多项式 u (x)的根, 但 R有无
穷多个数,因此 u (x)有无穷多个根,根据定理 2.6.3只
有零多项式才有这个性质,因此有
u (x) = f (x) – g (x) = 0,f (x) = g (x),
R [x]的两个多项式 f (x)与 g (x)相等,当且仅当它们
所定义的 R上的多项式函数相等,
定理 4.6.5
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.
)())(()(
)())(()()( 1
1 1111
1111?
?
? ???
???
????
????? n
i niiiiii
niii
aaaaaaaa
axaxaxaxbxf
??
??
这个公式叫做拉格朗日 (Lagrange)插值公式,
给了一个数环 R里 n + 1个互不相同的数
以及任意 n + 1个不全为 0的数 后,至多存在
R [x]的一个次数不超过 n的多项式 f (x)能使
如果 R还是一个数域,那么这
样一个多项式是存在的,因为容易看出,由以下公式
给出的多项式 f (x)就具有上述性质,
121,,?naaa ?
121,,?nbbb ?
.1,2,1,)( ??? nibaf ii ?
?
?
?
拉格朗日 (Lagrange)插值公式
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由拉格朗日插值公式得
.1)12)(12( )1)(1(3)21)(11( )2)(1(3)21)(11( )2)(1()( 2 ????? ??????? ????? ??? xxxxxxxxxf
求次数小于 3的多项式 f (x) 使
.3)2(,3)1(,1)1( ???? fff
例 2
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4.7 复数和实数域上多项式
一,内容分布
4.7.1 代数基本定理
4.7.2 实系数多项式分解定理
二,教学目的
1.理解代数基本定理、重根
2.掌握实系数多项式的性质
三,重点、难点
代数基本定理,根与系数关系,实系数多项式性质,
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证 设 f (x)是一个次多项式,那么由定理 4.7.1,它在复
数域 C中有一个根 因此在 C [x]中,
1?
),()()( 11 xfxxf ???
这里 是 C上的一个 n – 1 次多项式,若 n – 1 > 0,那
么在 C中有一个根 因而在 C [x]中
)(1 xf
,2?
).())(()( 221 xfxxxf ?? ???
任何 n (n > 0)次多项式在复数域中至少有一个根,
定理 4.7.1 (代数基本定理 )
任何 n (n > 0)次多项式在复数域中有 n个根 (重根按
重数计算 ),
定理 4.7.2
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这样继续下去,最后 f (x)在 C [x]中完全分解成 n个一
次因式的乘积,而在 f (x) C中有 n个根,
复数域 C上任一 n (n > 0)次多项式可以在 C [x]里分
解为一次因式的乘积,复数域上任一次数大于 1的多
项式都是可约的,
定理 4.7.3
若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根,那么
的共轭数 也是 f (x)的根,并且 与 有同一重数,
换句话说,实系数多项式的非实的复数根两两成对,
? ?
? ? ?
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证,)(
110 nnn axaxaxf ???? ? ?令 由假设
.0110 ???? ? nnn axaxa ?
把等式两端都换成它们的共轭数,得
.0110 ???? ? nnn axaxa ?
根据共轭数的性质,并且注意到
naaa,,,10 ?
和 0都是实数,有
,0110 ???? ? nnn aaaaa ?
即 ? 也是 f (x)的一个根,
因此多项式 f (x)能被多项式
?????? ??????? xxxxxg )())(()( 2
整除,由共轭复数的性质知道 g (x)的系数都是实数,故
),()()( xhxgxf ? 此处 h (x) 也是一个实系数多项式,
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若是 是 f (x)的重根,那么它一定是 h (x)的根,因而根
据方才所证明的,也是 h (x)的一个根,这样也是的
重根,重复应用这个推理方法,容易看出,的重数
相同,
?
?
??与
定理 4.7.4
实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非
实共轭复数根的二次多项式,
定理 4.7.5
每一个次数大于 0的实系数多项式都可以分解为实系
数的一次和二次不可约因式的乘积,
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4.8 有理数域上多项式
一,内容分布
4.8.1 本原多项式及高斯引理
4.8.2 艾森斯坦差别法
4.8.3 求整系数多项式在理根
二,教学目的
1.掌握本原多项式概念及高斯引理
2.熟悉运用艾森斯坦差别法
3.掌握求整系数多项式的有理根
三,重点、难点
艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法,
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引理 4.8.1
两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式,
证 设给了两个本原多项式
,)( 10 mmii xaxaxaaxf ?????? ??
,)( 10 nnjj xbxbxbbxg ?????? ??
并且设,)()(
10 mnmnjiji xcxcxccxgxf ???? ?????? ??
)()( xgxf如果 不是本原多项式,那么一定存在一个
素数 p,它能整除所有系数,,,
10 nmccc ??
若是一个整系数多项式 f (x)的系数互素,那么 f (x)叫
作一个本原多项式,
定义
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由于 f (x)和 g (x)都是本原多项式,所以 p不能整除 f (x)
的所有系数,也不能整除 g (x)的所有系数,令 各
是 f (x)和 g (x)的第一个不能被 p 整除的系数,
考察 f (x)g (x)的系数 有
ji ba 和
.jic ?
.011110 bababababac jijijijijiji ??????? ??????? ??
这个等式的左端 p整除,根据选择 的条件,所有
系数 都被 p整除,因此乘积 也
须被 p整除,但 p是一个素数,所以 p必须整除,
这与假设矛盾,
ji ba 和
0110,,,bbaa ji ?? ?? 以及 jiba
ji ba 和
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证 设
),()()( 21 xgxgxf ?
这里 都是有理数域上的次数小于 n的多
项式,
)()( 21 xgxg 和
若是一个整系数 n (n > 0)次多项式 f (x)在有理数域上
可约,那么 f (x)总可以分解成次数都小于 n的两个整
系数多项式的乘积,
定理 4.8.2
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令 的系数的最大公因数是 那么)(xh,
1a
),()( 1
1
1
1 xfb
axg ?
这里 是一个有理数而 是一个本原多项式,
同理,
1
1
b
a
)(1 xf
),()( 2
2
2
2 xfb
axg ?
这里 是一个有理数而 是一个本原多项式,
于是,
2
2
b
a )(
2 xf
),()()()()( 2121
21
21 xfxf
s
rxfxf
bb
aaxf ??
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其中 r与 s是互素的整数,并且 s > 0, 由于 f (x)是一整
系数多项式,所以多项式 的每一系数与 r的
乘积都必须被 s整除, 但 r与 s互素,所以 的
每一个系数必须被 s整除,这就是说,s是多项式
的系数的一个公因数, 但 是一个
本原多项式,因此
)()( 21 xfxf
)()( 21 xfxf
)()( 21 xfxf )()( 21 xfxf
).()]([)(,1 21 xfxrfxgs ?? 而
显然各与 有相同的次数,
这样,f (x)可以分解成次数都小于 n的两个整系数多
项式的乘积,
)()( 21 xfxrf 和 )()( 21 xgxg 和
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定理 4.8.3 (Eisenstein判断法 )
是一个整系数多项式, 若
是能够找到一个素数 p,使
nn xaxaaxf ???? ?10)(设
(i) 最高次项系数 不能被 p整除,
na
(ii) 其余各项的系数都能被 p整除,
(iii)常数项 不通被 整除,
0a
2p
那么多项式 f (x)在有理数域上不可约,
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证 若是多项式 f (x)在有理数域上可约,那么由定理
4.8.2,f (x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式
的乘积,
)()()( xhxgxf ?
这里
,)(
,)(
10
10
l
l
k
k
xcxccxh
xbxbbxg
????
????
?
?
并且 k < n,l < n,k + l = n,由此得到
.000 cba ?
因为 被 p整除,而 p是一个素数,所以 整除,
但 不能被 整除,所以 不能同时被 p整除,
0a pcb 被或 00
0a 2p 00 cb 与
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0c
不妨假定 整除而 不被 p整除, g (x)的系数
不能全被 p整除,否则 f (x) = g (x)h (x)的系数 将被 p
整除,这与假定矛盾, 令 g (x)中第一个不能被 p整除的
系数是, 考察等式
pb 被0
0a
sb
.0110 ssss cbcbcba ???? ? ?
由于在这个等式中 都被 p整除,所以
也必须被 p整除, 但 p是一个素数,所以 中至少
有一个被 p整除, 这是一个矛盾,
01,,,bba ss ?? 0cbs
0cbs与
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设 p是一个素数, 多项式
1)( 21 ????? ?? xxxxf pp ?
叫做一个分圆多项式,
(i) 的最高次项系数 而 的常
数项
)( xfu 整除,0a )( xfu 整除;na
(ii) 这里 q (x)是一个整系数多项式,),()()( xq
v
uxxf ??
设
nnn axaxaxf ???? ? ?110)(
是一个整系数多项式, 若是有理数 是 f (x)的一个根,
这里 u和 v是互素的整数,那么 v
u
定理 4.8.4
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证 由于 是 f (x)的一个根,所以vu
(2)
),()()( xqvuxxf ??
这里 q (x)的一个有理系数多项式, 我们有
),(1)( uvxvvux ???
这里 vx – u 是一个本原多项式,因为 u和 v互素,另一
方面,q (x)可以写成
),()( 1 xfbaxq ?
这里 是一个有理数 而是一个本原多项式, 这
样
b
a )(
1 xf
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),()()( 1 xfuvxsrxf ??
这里 r和 s是互素的整数并且 s > 0,而 vx – u 和
都是本原多项式,由此,和定理 4.8.2的证明一样,可以
推得 s = 1 而
)(1 xf
(3) ),()()(
1 xquvxxf ??
这里 是一个整系数多项式, 令)()( 11 xrfxq ?
.)( 121101 ??? ???? nnn bxbxbxq ?
那么由 (3)得 ).)(( 1100 ?? ?????? nnnn bxbuvxaxa ??
比较系数,得 这就是说,,100 ???? nn ubavba
.0 nauav 整除而整除 另一方面,比较 (2)和 (3),
得 所以 q (x)也是一个整系数多项式,),()( 1 xvqxq ?
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这个多项式的最高次项系数 3的因数 是常数项
– 2的因数 是所以可能的有理根是
我们算出 所以 1与 – 1都不是 f (x)
的根,另一方面,由于
,3,1 ??
.2,1 ??,32,31,2,1 ????
.8)1(,12)1( ???? ff
3
2
1
12
,
3
2
1
8
,
21
8
??
?
?
?
都是整数,所以有理数 在试验之列,
3
1,2 ??
求多项式
2553)( 234 ????? xxxxxf
的有理根,
例
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容易看出,－２不是的根,所以它不是的重根,
应用综合除法,
– ２ |３ 5 1 5 – ２
– ６ 2 – 6 2
3 – 1 3 – １ 0
所以 – 2 是 f (x) 的一个根, 同时我们得到
).133)(2()( 23 ????? xxxxxf
－ 1 3 －１
－ 1 32
3
23
3|31?
3 － 2
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至此已经看到,商式不是整系数多项式,因此不必再除
下去就知道,的根,所以它也不是 f (x)的
根, 再作综合除法,
)(31 xg不是?
－ 1 3 －１
－ 1 0 1
3|31
3 0 3 0
所以 的一个根,因而它也是 f (x)的一个根,
容易看出,的重根,这样,f (x)的有理根
是
)(31 xg是
)(31 xf不是
.312和?
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4.9 多元多项式
一,内容分布
4.9.1 基本概念
4.9.2 n元多项式的字典排列法
4.9.3 多项式函数
二,教学目的
1.掌握多元多项式的基本概念,单项式,多项式,系
数,同类项,次数,单项式等及 n元多项式环
2.掌握多元多项式的运算,加法,乘法
3.掌握多项式的字典排列法,多项式函数,
三,重点、难点
n元多项式的一般形式,多项式的字典排列法
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令
nxxx,,,21 ?
是 n个文字,形式如
nknkk xxax ?21 21
的表示式，其中 是非负整数，叫做
数环 R上 的一个单项式, 数 a 叫做这个单
项式的系数,如果某一,那么 可以不写，
约定
nkkkRa,,,,21 ??
nxxx,,,21 ?
0?ik ikix
niinii knkikikknkiikik xxxaxxxxxax ???? 111111 1111011 ???? ???? ?
因此,m (m < n)个文字的单项式总可以看成 n个文
字的单项式, 特别，当 时，我们
有
021 ???? nkkk ?
Raxxax n ??00201 ?
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（ 1）
我们还约定，
Rxxx nknkk ?? 00 21 21 ?
.
一些（有限个）单项式用加号联结起来而得到的一
个形式表达式
Raxxxaxxxaxxxa iknkksknkknnkk snssn ????,21222211211 212121211 ????
是非负整数,叫做 R上 n个
文字 的一个多项式，或简称 R上一个 n元
多项式,在不致发生混淆的情况下，也可以简称为多
项式,
ijk
? ?njsi,,2,1;,,2,1 ?? ??
nxxx,,,21 ?
nxxx,,,21 ?
我们常用符号 等来表示
R上 n个文字 的多项式,
? ? ? ?nn xxxgxxxf,,,,,,,2121 ??
nxxx,,,21 ?
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在一个 n元多项式（ 1）里，组成这个多项式的单项
式叫做这个多项式的项,各项的系数也叫做这个多项
式的系数,
R上两个单项式 和 叫做同
类项，如果, 两个单项式说是相等，
如果它们是同类项并且系数相等,
nknkk xxax ?21 21 nlnll xxbx ?21 21
nilk ii,,2,1,???
现在定义 R上 n元多项式的运算,
R上两个 n元多项式
的和指的是把分别出现在这两个多项式中对应的
同类项的系数相加所得到的 n元多项式，记作 f + g,
? ? ? ?nn xxxgxxxf,,,,,,2121 ?? 与
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例如
? ?
? ? 332323221331321
3
3
2
3232
2
1
3
2
2
1
3
1321
52,,
23,,
xxxxxxxxxxg
xxxxxxxxxxxxf
????
?????
的和是
? ? ? ? 2323221322131331321321 4222,,,,xxxxxxxxxxxxxgxxxf ??????
为了定义两个多项式的乘积，先定义两个单项式的
乘积,R上两个 n元单项式 与
的积指的是单项式
nknkk xxax ?21 21 nlnll xxbx ?21 21
nn lknlklk xxa b x ??? ?2211 21
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现在设 f与 g都是 R上 n个文字的 多项式,
把 f的每一项与 g的每一项相乘，然后把这些乘积相
加（合并同类项）而得到的一个 n元多项式叫做 f
与 g的积，记作 fg,例如，多项式
nxxx,,,21 ?
? ?
? ? 3223212313,21
32
2
2132
2
13,21
3,
2,
xxxxxxxxxg
xxxxxxxxxxf
???
???
的乘积是
23322322134213223132412332212324132251 32262 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfg ????????
这样定义的多项式的加法和乘法就是中学代数里熟
知的多项式的运算，并且容易看出,n元多项式的
运算满足下列条件：
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设 f,g,h都是某一数环 R上 n个文字
的多项式，那么 n
xxx,,,21 ?
1） ? ? ? ?hgfhgf ????? （加法的结合律）
2) fggf ??? （加法的交换律）
3) ? ? ? ?ghfhfg ? （乘法的结合律）
4） gffg ? （乘法的交换律）
5） ? ? ghfhhgf ??? （分配律）
我们把一个数环 R上一切 n个文字的多项式
所成的集合，连同如上定义的加法和乘法叫做 R上
n个文字 的多项式环，简称上元多项式
环，记作,,
nxxx,,,21 ?
nxxx,,,21 ?
? ?nxxxR,,,21 ?
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设 是数环 R上一个不等于零的 n元多项
式, 设
? ?nxxxf,,,21 ?
（ 2）,nk
nkk xxax ?21 21 ? ?0?a
（ 3）
nlnll xxbx ?21 21 ? ?0?b
是 的两个不同的项，那么在这两项对
应的幂指数的差 中，至少有一个不
等于零,如果在这些差中，第一个不等于零的数是一
个正数，换句话说，如果存在这样一个 i,
使得
? ?nxxxf,,,21 ?
? ?nilk ii ??? 1
ni ??1
iiii lklklk ??? ?? 但,,,1111 ?
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那么就说，项（ 2）大于项（ 3），或者说，项（ 3）
小于项（ 2）,对于 的任意两个不同
的项，总有一个大于另一个，并且若项（ 2）大于
项（ 3），而项（ 3）又大于另外一项
? ?nxxxf,,,21 ?
（ 4） ? ?0
21 21 ?cxxcx nmnmm ?
那么项（ 2）也大于项（ 4）,这样，只要把两项中较
大的一项排在前面，多项式 的各项
就有了完全确定的次序,这种排列多项式的项的方法
很象字典里字的排列法，所以通常把这种排列法叫
做多项式的字典排列法,例如
? ?nxxxf,,,21 ?
? ? 23,,,42324322133221414321 ????? xxxxxxxxxxxxxf
就是按字典排列法书写的一个四元多项式,
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数环 R上两个 n元多项式 与
的乘积的首项等于这两个多项式首项
的乘积, 特别，两个非零多项式的乘积也不等于零,
? ?nxxxf,,,21 ?
? ?nxxxg,,,21 ?
定理 4.9.1
数环 R上两个不等于零的 n元多项式的乘积的次数等
于这两个多项式次的和,
定理 4.9.2
设 是数环 R上一个 n元多项式,如果对
于任意 都有,那
么,
? ?nxxxf,,,21 ?
? ? nn Rccc ?,,,21 ? ? ? 0,,,21 ?ncccf ?
? ? 0,,,21 ?nxxxf ?
定理 4.9.3
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设 与 是数环 R上 n元多
项式,如果对于任意 都有
? ?nxxxf,,,21 ? ? ?nxxxg,,,21 ?
? ? nn Rccc ?,,,21 ?
? ? ? ?nn cccgcccf,,,,,,2121 ?? ?
那么, 换句话说，
如果由 与 的确定的多
项式函数 f与 g相等，那么这两个多项式相等,
? ? ? ?nn xxxgxxxf,,,,,,2121 ?? ?
? ?nxxxf,,,21 ? ? ?nxxxg,,,21 ?
推论 4.9.4
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4.10 对称多项式
一,内容分布
4.10.1 对称多项式基本定理
4.10.2 用初等对称多项式表成对称多项式
二,教学目的
1.掌握理解 n元对称多项式,n元初等对称多项式
概念
2.掌握对称多项式的基本定理
3.熟练用初等对称多项式的多项式, 0
三,重点、难点
对称多项式表成初等对称多项式的多项式
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例如，
? ? 2222121,,,nn xxxxxxf ???? ??
是整数环上一个 n元对称多项式,
? ? 232322231221321221321,,xxxxxxxxxxxxxxxf ??????
是整数环上一个三元对称多项式,
设 是数环 R上一个 n元多项式,如果对
于这 n个文字 的指标 集施行任
意一个置换后,都不改变，那么就称
是 R上一个 n元对称多项式,
? ?nxxxf,,,21 ?
nxxx,,,21 ? ? ?n,,2,1 ?
? ?nxxxf,,,21 ?
? ?nxxxf,,,21 ?
定义 1
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看以下的 n个 n元多项式：
（ 1）
,
,
,
,
21
322211211
131212
211
nn
nnnnn
nn
n
xxx
xxxxxxxxxx
xxxxxx
xxx
?
???
???????
?
?
?
???
????
????
???
?
?
?
?
?
这里 表示 中每次取 k个所作的一切
可能乘积的和，这样的 n个多项式显然都是 n元对
称多项式,我们称这 n个多项式 为 n元
初等对称多项式,
k? nxxx,,,21 ?
n???,,,21 ?
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对称多项式的基本定理
引理 4.10.1
设 是数环 R上
一个 n元多项式, 以 代替,,得到
关于 的一个多项式
? ? nn iniiiiin xxxaxxxf ?? ?? ? 2121 2121,,,
i? ix
ni ??1
n???,,,21 ?
? ? nn iniiiiin af ?? ?????? ?? ? 2121 2121,,,
如果,那么一切系数? ? 0,,,
21 ?nf ??? ?
021 ?niiia ?
即
? ? 0,,,21 ?nxxxf ?
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例 1 用初等对称多项式表示 n元对称多项式
22221 nxxxf ???? ?
f 的首项 是, 所以取2
1x
210020211 ???? ?? ? ng ?
于是 ? ? 2
212222111 nn xxxxxxgff ?????????? ??
? ?213121 2)2 ???????? ? nn xxxxxx ?
所以
22111 2 ?? ???? fgf
数环 R上每一 n元对称多项式 都可
以表成初等对称多项式 的系数在 R中
的多项式，并且这种表示法是唯一的,
? ?nxxxf,,,21 ?
n???,,,21 ?
定理 4.10.2
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例 2 用初等对称多项式表示 n元对称多项式
?? 2221 xxf
ig
由定理 4.10.2的证明知道，所求的表示式的各项
完全决定于相应的对称多项式 的首项,这
些首项必须满足以下条件：
?,,1ff
1.每一 的首项都小于 f 的首项，并且如果 i > j,
那么的 首项小于 的首项；
if
if jf
2.每一首项的指数组 满足不等式
nkkk,,,21 ?
nkkk ??? ?213.每一首项的次数都等于 4（因为 f是一个四次齐式，
所以每一个 也是四次齐式）
if
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自 f 的首项的指数组开始，写出满足上述条件的一
切可能的指数组，以及对应的 的幂的
乘积, 列表如下：
n???,,,21 ?
对应的 的幂的乘积指数组
i?
?
?
?
11110
21100
22000
4
01
4
11
3
11
2
11
1
31
01
3
11
2
12
1
2
2
02
2
22
1
?????
?????
???
?
?
?
????
???
??
这样，多项式 f 可以写成以下形式
43122 ???? baf ???
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为了决定系数 a,b,取 的值代入上面
的等式,例如，可以先取,
对于这一组数,f 的值等于 3，而 的值
依次是 3,3,1,0,所以
nxxx,,,21 ?
0,1 4321 ?????? nxxxxx ?
4321,,,????
01393 ?????? ba
由此得 a = - 2,再取,
对于这一组数,f的值等于 6,的值依
次是 4,6,4,1.所以
0,1 54321 ??????? nxxxxxx ?
4321,,,????
1442366 ?????? b
由此得 b = 2, 于是
43122 22 ???? ???f
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设 f (x)是数域 F上一个一元 n次多项式，它的最高次
项系数是 1.令 是 f (x)在复数域内的全部
根（重根按重数计算）,那么 的每一个系
数取自 F的对称多项式都是 f (x)的系数的多项式（它
的系数在 F内），因而是 F的一个数,
n???,,,21 ?
n???,,,21 ?
推论 4.10.3
