控制系统的数学模型 概述：1. 数学模型 ------描述系统变量之间关系的数学表达式 2. 建模的基本方法: (1) 机理建模法(解析法) (2) 实验辩识法 3. 控制系统数学模型的主要形式: 外部描述法: 输入--输出描述 内部描述法: 状态变量描述 在控制系统的分析中,线性定常系统的分析有特别重要的意义。 本章内容: 两种形式数学模型的建立,控制系统的图解表示法 §2-1线性系统的微分方程 线性系统微分方程的建立 步骤：1. 确定系统的输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控 制量, 也称为系统的响应) 列写系统各部分的微分方程 消去中间变量, 求出系统的微分方程 R、L、C串联电路的微分方程 L R ui(t) uo(t) i(t) C 解: (1) 定输入输出量: ui(t) ----输入量, uo(t) ----输出量 (2) 列写微分方程 由基尔霍夫定律 UR+UL+UC = ui 又 UR = R · i(t) UL = L R · i(t)+L+UC = ui (3)消去中间变量 考虑 UC = uo i(t) = C = C LC + RC + uo(t) = ui (t) 令: T1 = L/R, T2 = RC, 则 T1 T2  + T2 + uo(t) = ui (t) 例2-2 弹簧 – 质量 – 阻尼器组成的机械位移系统的微分方程 k F m x f 解: (1) 定输入输出量: 外作用力F ----输入量, 位移 x ----输出量 (2) 列写微分方程 根据牛顿定律: F + F弹 +F阻 = m·a 又 F弹 = -kx F阻 = -f F – kx - f = m·a (3)消去中间变量 考虑 a =  ,则得 F – kx - f = m 即 m + f + kx = F 例2－3 他励直流电动机电枢控制的微分方程 + ia La mC ua m 负载 ω Ra + _ 解: (1) 定输入输出量: 输入量: 给定输入----电枢电压ua 扰动输入----负载转矩mC 输出量: 电动机转速ω (2) 列写微分方程 设ea 为电动机的反电动势, 有 ea + ia Ra + La  = ua (3)消去中间变量 考虑 ea = Ce · ω m = Cm ·ia J = m - mC TaTm + Tm + ω= Ku·ua- Km(Ta +mC) 其中: Ta = , Tm =  ----时间常数 Ku = ， Km = ----传递系数讨论： 一般系统输入输出关系微分方程的一般形式 a0 + a1 +……+ an-1 + an·c（t）= b0+ b1 +……+ bm-1 +bm·r(t) 微分方程的增量化表示 例2-3中，各导数项为0时，有 ω= Ku·ua- Km·mC ----静态数学模型 若 ua = 0，mC = 0，则 ω= 0 ----零状态 在非零平衡状态附近时 ua = ua0 + ⊿ua mC = mC0 + ⊿mC ω=ω0 +⊿ω 代入 Ta Tm + Tm + ω= Ku·ua- Km(Ta +mC) 并考虑 ω0= Ku·ua0- Km·mC0 ，得 Ta Tm + Tm + ⊿ω= Ku·⊿ua- Km(Ta +⊿mC) 相似系统和相似量 相似系统：具有相同数学模型的系统 如：例2-1与例2-2 T1 T2  + T2 + uo(t) = ui (t) m + f + kx = F 相似量：相似系统中占据相应位置的物理量 如：例2-1以q(t)作输出量时为 L + R + q(t) = ui (t) ∴ q x ，R f ,L m 复杂控制系统微分方程的建立 例2－4 电机转速控制系统 解: (1) 定输入输出量: 输入量: 给定输入ug 扰动输入mC 输出量: 电动机转速ω (2)列写各部分的微分方程 u1 = K1(ug-uf) = K1ue u2 = K2(+ u1) ua = K3u2 Ta Tm + Tm + ω= Ku·ua- Km(Ta +mC) uf = Kf·ω (3)消去中间变量uf 、u1、u2、ua ，得  +  + ω= (+ ug) – (Ta +mC) 其中, K = KuK1K2K3 K 0= K·Kf = KuK1K2K3Kf 讨论: (1) ug为常数, mC变化时  +  + ω= -(Ta +mC) (2) mC为常数, ug变化时  +  + ω= (+ ug) 结论: 线性系统可利用叠加原理讨论 注意: (1) 信号传递的单向性 (2) 负载效应 R1 R1 u1 u1 u2 R2 R2 RL u2 =  =     负载效应 消除方法: 加隔离放大器 线性系统微分方程解的组成 例2-4中,令 a2 = , a1 = , a0 = 1 b1 =, b0 = 则 a2 + a1 + a0ω= b1+ b0ug 由拉氏变换法 a2[s2(s) – sω(0)- ]+a1[s(s) – ω(0)]+a0(s) = b1[sUg(s) – ug(0)]+b0Ug(s) 整理， 得 (s) = 1(s) + 2(s) =Ug(s)+ ∴ ω(t) = ω1(t) + ω2(t) 零状态解 零输入解（自由响应） 由经典解法 ω(t) = ωp(t) + ωh(t) 特解 通解 还可分为 ω(t) = ω∞(t) + ωt(t) 稳态解 暂态解