§4-4 系统稳定性分析 判断系统稳定性的图解法判据 Nyquist稳定判据的基本原理 利用开环Nyquist图判断闭环稳定性 映射原理 设复变函数 1. s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系 s平面 F(s)平面 F(s)的零点 原点 F(s)的极点 无限远点 s平面上的其他点 原点外的有限点 当动点s1在s平面的封闭曲线C 上沿顺时针方向绕行取值时,在F(s)平面上将映射出一条绕原点的闭合轨迹 Г. 2. 讨论 s平面与F(s)平面的映射关系 围线C中只含零点时 围线C中只含极点时 围线C中既含零点, 也含极点时 设C中含Z个零点, P个极点, 则Г围线逆时针包围原点的次数N=P-Z ----映射原理 特征函数F(s)与G(s)H(s)的关系 设开环传递函数为G(s)H(s)=, 则闭环传递函数为 , 系统特征方程为F(s)=1+G(s)H(s)=0= ∴ F(s)的零点为φ(s)的极点，F(s)的极点为G(s)H(s)的极点 ∵ G(s)H(s)=F(s)-1 ∴曲线绕F(s)平面的原点运动相当于绕G(s)H(s)平面的(-1,j0)点运动 Nyquist轨线 由虚轴和右半s平面上半径为无穷大的半圆构成的闭合曲线. 保卫整个右半s平面 Nyquist稳定判据 第一种情况 G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时,Nyquist稳定判据为: P=0时,若ω从-∞→∞的Nyquist曲线不包围(-1,j0)点,即N=0,则Z=0,闭环系统稳定, 否则不稳定 P≠0时,若ω从-∞→∞的Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点N次,则Z=N+P=0系统稳定, 否则不稳定 Nyquist曲线通过(-1,j0)点时,临界稳定 第二种情况 当G(s)H(s)在s平面的虚轴或原点处有极点时，需修正Nyquist轨线 无限小半圆上的动点s可表示为： s=εеjθ（ε→0，-90°<θ<90°） 映射到G(s)H(s)平面上,则为 G(s)H(s)= 讨论: 1型系统 G(s)H(s)=∞ 2型系统 G(s)H(s)=∞ 虚轴上有开环极点时,可仿此处理 Nyquist稳定判据二: 当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时,系统G(jω)H(jω)Nyquist曲线在ω从-∞→+∞变化时逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于开环右极点数P,则闭环系统稳定,否则不稳定。 （三）条件稳定系统 系统稳定性随某一K值的变化而变化，在某一K值范围内稳定 （四）采用逆极坐标的Nyquist稳定判据 ω从-∞→+∞变化时，1/G(jω)H(jω)的Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点N次。N为位于右半s平面的1/G(s)H(s)的极点数，即G(s)H(s)的零点数。 注意： Nyquist稳定判据不适用于含延迟环节的系统。 三．控制系统的相对稳定性分析 相对稳定性的表述 Nyquist曲线接近（-1，j0）点的程度可反映系统相对稳定的裕度。 相角裕量γ和幅值裕量Kg的定义 相角裕量γ |G(jω)H(jω)|=1  ω=ωc 幅值交界频率 γ= 180°+ φ（ωc） γ>0，系统稳定 γ<0，系统不稳定 幅值裕量Kg ∠G(jω)H(jω) = -180°  ω=ωg 相位交界频率 Kg =  或 Kg（db）= 20lgKg = -20lg|G(jωg)H(jωg)| Kg >1 或 Kg（db）>0 , 系统稳定 Kg <1 或 Kg（db）<0 , 系统不稳定 工程上要求: γ= 30°- 60°, Kg>6db 。也可只对γ提要求。 系统的Nyquist图和Bode图的对应关系 Nyquist图 Bode图 单位圆 0db线 实轴负方向 -180°线 四．Bode的稳定性分析 Bode图上稳定裕量的分析 ωg >ωc ，γ>0 , Kg>0 , 稳定 Bode定理及应用 线性最小相位系统的幅频特性与相频特性是一一对应的. 某一频率上的相位移,主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率, 大致为: ±n·20db/dec对应±n·90°相位移。 应用: 为使γ合适, 应使ωc 处斜率为-20db/dec , 且在ωc 到2ωc 范围内保 持不变。