习题十四 随机变量的协方差与相关系数
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1．填空题
（1）设X ~ N(1, 22)，Y = 2 X+1，则(XY = 。
（2）已知D(X )=0.54，D(Y )=0.25，cov(X, Y )= (0.03，则D(X+Y )= 。
（3）随机变量X与Y相互独立的充分必要条件为 ；
X与Y不相关的充分必要条件为 ；
事件A与B互不相容的充分必要条件为 ；
事件A与B互为对立事件的充分必要条件为 。
2．设（X，Y）的密度函数为
求E(X )，E(Y )，E(XY )，cov(X, Y )，(XY ，D(X+Y )。
3．已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1, 32 )和N(0, 42 )，且X与Y的相关系数为，设。
（1）求Z的数学期望E(Z )和方差D(Z )；
（2）求X与Z的相关系数；
（3）问X与Z是否相互独立？为什么？
4．假设二维随机变量（X，Y ）在矩形G = {(x, y ) ( 0 ( x ( 2, 0 ( y ( 1 }上服从均匀分布，记，。
（1）求U和V的联合分布；（2）求U和V的相关系数。
5*．现将一颗骰子抛掷n次，以X表示1点的次数，以Y表示出现6点的次数，求cov(X, Y )。
课余练习（十四）
1．证明：若(a、b为常数，b ( 0)，则。
2．设A和B是某随机试验的两个事件，且P (A ) > 0，P (B ) > 0，并定义随机变量X、Y如下：
，
证明：若，则X与Y必定相互独立。
3．设三维随机变量（X，Y，Z）的协方差矩阵为：
而，，。求（U，V，W）的协方差矩阵。
4．设X是取值于(a，b)的连续型随机变量。证明不等式，。
