海南风光
第 3讲
直流电路习题课
第 3章 正弦交流电路
3.1正弦量的特征值及表示方法
3.1.1正弦量的特征值
3.1.2正弦量的表示方法
3.2正弦交流电路的分析与计算
3.2.1 单一参数的正弦交流电路
直流电路习题课
例 1,
有源
网络 V
UO
如图所示有源二端网络，用内阻为 50k?的
电压表测出开路电压值是 30V，换用内阻为
100k ?的电压表测得开路电压为 50V，求该
网络的戴维南等效电路。
解,
US =（ 30/50） RS +30
US =（ 50/100） RS +50
UO
US
RS
R
RS =200 k?
US =150V
+ -
U3
U1
U2
R1
R R R
I1 I2
I3
I4
I5
I6
以下电路用什么方法求解最方便？
？
R=3?
R1=2?
8V
6V
12V
I4=(18-6)/3=4A
I5=(6-0)/3=2A
+6V
+18V
I6=（ 0-18） /3= -6A
I1=（ 8-18） /2= -5A
I2=（ -5） +（ -6） -4= -15A
I3=（ -15） +4 -2= -13A
例 2,
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
已知,
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求,
US =0 V,IS=10A 时,Uo=?
US
线性无
源网络 UO
IS
设 解,
SSO IKUKU 21 ??
（ 1）和（ 2）联立求解得,1.01.0
21 ??? KK
V1??OU
当 US =1V,IS=1A 时,
)1(......011 21 ????? KKU O当 U
S =10 v,IS=0A 时,
)2(......1010 21 ????? KKU O
用叠加原理
例 3,
例 4：求 I1, I2之值。
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
使所有恒流源不起作用
I1 ′ = I2 ′= 0 A
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理
使所有恒压源不起作用
A,D
B,C
1?
I1? I2?
1A 1A 1?
I1?=1A I2?= – 1A
I1 ′ = I2 ′= 0 A
I1?=1A,I2?= – 1A
I1=1A,I2= – 1A
第 3章 正弦交流电路
3.1正弦量的特征值及表示方法
3.1.1正弦量的特征值
3.1.2正弦量的表示方法
3.2正弦交流电路的分析与计算
3.2.1 单一参数的正弦交流电路
交流电的概念
如果电流或电压每经过一定时间 （ T ） 就重复变
化一次，则此种电流,电压称为周期性交流电流或
电压 。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做,u(t) = u(t + T )
第 3章 正弦交流电路
T
u
t
u
T
t
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按
正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向
也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电路
t
i
正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向
交流电路进行计算时，首先要规定物理量
的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
实际方向和假设方向一致
实际方向和假设方向相反
t
i
正弦交流电的正方向
i
u R
用小写字母表示
交流瞬时值
3.1.1 正弦波的特征量
? ??? ?? tIi m s i n
? t ?
i
mI
, 电流幅值（最大值）
, 角频率（弧度 /秒）
, 初相角
mI
?
?
特征量,
3.1正弦量的特征量及表示方法
? ??? ?? tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
正弦波特征量之一
-- 幅度
在工程应用中常用 有效值 表示幅度。 常用交流电
表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
值。标准电压 220V,也是指供电电压的有效值。
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。
如,Um,Im
则有
??
T
dti
T
I
0
21
（均方根值）
可得
2
mII ?当
时,? ?
?? ?? tIi m s i n
dtRi
T 2
0?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当
有效值电量必须大写，如,U,I
有
效
值
概
念
交流电流 i通过电阻 R在
一个周期 T内产生的热量
与一直流电流 I通过同一
电阻在同一时间 T内产生
的热量相等，则称 I的数
值为 i的有效值
可得
2
mII ?当 时,
? ??? ?? tIi m s i n
i=? 2 I sin(?t+?) i可写为,
同理, u= Um sin(?t+?)
2
m U U ?
u=? 2 U sin(?t+?) u可写为,
问题与讨论
电器 ~ 220V 最高耐压
=300V
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值,所
以 不能用 。
?2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V = 311V
电源电压
描述变化周期的几种方法
1,周期 T,变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒,,
T
f 1? fT ?
?? 22 ??
正弦波
特征量之二
-- 角频率
3,角频率 ω,每秒变化的弧度 单位：弧度 /秒
2,频率 f,每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹,.,
i
t ?
T
? ??? ?? tIi s i n2
正弦波
特征量之三
-- 初相位
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。 ?
说明,给出了观察正弦波的起点或参考点,
?
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
i
?
t ?
）（ ?? ?t
：正弦波的相位角或相位
? ? ? ? 2 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? t t
两个 同频率 正弦量间的相位差 ( 初相差 )
? ?
? ?222
111
s i n
s i n
??
??
??
??
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i1i
? t
>0
=0
<0
两种正弦信号的相位关系
同
相
位
1i
1?
2?
21 ?? ?
t
2i
021 ???? ???
落后于
2i1i2i
t
1?
相
位
落
后
2?
1i
领先于
1i 2i
2i相
位
领
先
1i
1? 2?
021 ???? ???
t
相位差为 0
1i 2i
与 同相位
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu如,
结论,
因角频率（ ?）不变，所以以下 讨论 同频率正弦波
时,? 可不考虑，主要研究 幅度与初相位的变化。
? ? ? ?
? ???
????
??
????
??
tU
tUtU
uuu
s i n2
s i n2 s i n2
2211
21
幅度、相位变化
频率不变
例
幅度,
A7 0 7.0
2
1
A 1 ??? II m
? ???? 301 0 0 0s i n ti
已知,
Hz159
2
1000
2
r a d / s 1000
???
?
??
?
?
f
频率,
?? 30 ?
初相位,
A
2 1 ? ? ?? ? ?90? ?（ ?90? ） ? 180? ?
1i 2i
t
? ?
? ? 2 2 1 1 sin
sin
?
90? ?
? ?
? ?
t I i
t I i
m
m
90?
如果相位差为 +180 ?或 ?180 ?,称为 两波形反相
例,
3.1.2 正弦波的表示方法
? 瞬时值表达式
? ???? 301 0 0 0s i n ti
? 相量
必须
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
? 波形图
i
t ?
正弦波的表示方法,
重点
概念, 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
正弦波的相量表示法
矢量长度 =
mU
?
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω 矢量以角速度 按逆时针方向旋转
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
?
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若 其
幅度用最大值表示,则用符号,
最大值 相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号,
m U m I
U I
3,相量符号 U,I 包含幅度与相位信息。
m U U 或
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
正弦波的相量表示法举例
例 1：将 u1,u2 用相量表示
相位,
幅度：相量大小
12 UU ?
12 ?? ?
设,1?
2?
U1
U2
相位哪一个领先？
哪一个落后？
U2 U1 领先于
?
同频率正弦波的
相量画在一起,
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 -- 平行四边形法则
2?
U2
1?
U1
U
u= u1 +u2 =
? ? 2 2 2
1
sin 2 ? ? ? ?
?
t U u
? ? 1 1 sin 2 ? ? ? t U u
? ? sin 2 ? ? ? t U
2 1 U U U ? ?
?
2?
U2
1?
U1
U
2? 1?
– ?=
?=180o – ?
用余弦定理求 U,
U2=U12+U22 –2U1U2cos ?
U2
U1
U
?
?
?
用正弦定理求 ?角,
sin ?
U U2
sin ? =
?
= ? 1+ ?
? ? sin 2 ? ? ? t U u=
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以。
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上,
不同频率不行。
新问题 提出,
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算
相量的复数表示
a
b
tg
baU
1
22
?
?
??
?
将相量 放到复平面上，可如下表示,U
a
b U
?
j
+1
U
? ? sin cos jU U jb a U ? ? ? ?
a,b分别为 U在实轴
和虚轴上的投影
j
ee
ee
jj
jj
2
s i n
2
c o s
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?欧
拉
公
式
? ? ? U
? ? e U j
代数式
指数式
极坐标形式
? ? ? ?
? ?
j U
jb a U
) sin (cos
a
b U
?
j
+1
U
设 a,b为正实数
? j e U jb a U ? ? ?
?
在第一象限
?
在第四象限 ? j e U jb a U ? ? ?
? j e U jb a U ? ? ? ?
?
在第二象限
? j e U jb a U ? ? ? ?
?
在第三象限
? 在一、二象限，一般 ?取值,180° ? ? ? 0 °
? 在三、四象限，一般 ?取值,0° ? ? ? -180 °
j
+1
U1
?1=60°
?2=120°
U2
U3
?3= -120°
计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如,
)9126s i n (25 ???? tu ?4 3 j U ? ? ?
)9126s i n (25 ???? tu ?4 3 j U ? ? ?
4 3 j U ? ? )153s i n (25 ???? tu ?
)153s i n (25 ???? tu ?4 3 j U ? ?
例,
相量的复数运算
1,复数 加, 减运算
2 2 2
1 1 1
jb a U
jb a U
? ?
? ? 设,
? j Ue
b b j a a
U U U
?
± ? ± ?
± ?
) ( ) ( 2 1 2 1
2 1
则,
2,复数 乘、除 法 运算
) (
2 1
2 1
2 1 ? ? ? ?
?
j e A A
A A A 乘法,
2
1
2 2
1 1
?
?
j
j
e A A
e A A
?
? 设,
? ? 2 1
2
1
2
1 ? ? ? ? j e
A
A
A
A 除法,
± j称为 90° 旋转因子
乘以 +j使相量逆时针转 90°
乘以 -j使相量顺时针转 90°
说明,
设：任一相量 A
则, ? ±
? 90 e A j A ) ( j ±
jje j ???????? 90s i n90c o s90
复数符号法应用举例
例 1,已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
314s in1.311
A
6
314s in4.141
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
tu
ti 求,
i, u 的相量
解,
A 50 6, 86 30 100 30 2 4, 141 j I ? ? ? ? ? ? ? ?
V 5, 190 110 60 220 60 2 1, 311 j U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
求,
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
?
?
??
??
ti
ti
解,
6 2 8 01 0 0 022 ???? ??? f srad
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为,
A 10
A 60 100
30
2
1
?
?
j e I
I
?
? ? ?
波形图
瞬时值
相量图
复数
符号法
小结：正弦波的四种表示法
? ??? ?? tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
? ? ? ? ? ? ? U e U jb a U j
U I
符号说明
瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.” U
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
t u ? sin 100 ?？
瞬时值 复数
U ?
正误判断
？
瞬时值 复数
) 15 sin( 2 50 50 15 ? ? ? ? ° t e U j ?
一, 电阻电路
u i R 根据 欧姆定律
iRu ?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
? 设
则
3.2.1 单一参数的正弦交流电路
3.2正弦交流电路的分析与计算
t I t R U R u i
t U u
? ?
?
sin 2 sin 2
sin 2
? ? ?
?
1,频率相同
2,相位相同
3,有效值关系,
IRU ?
电阻电路中电流、电压的关系
4,相量关系
? 0 ? ? U U
R I U ?
U I
5.相量图
? 0 ? ? I I
? 0 ? ? U U ? 0 ? ? IR R I ?
电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
?
?
?
?
RuiRiup /22 ????
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写 =2UIsin2? t
2,（耗能元件）
0?p
结论,
1,随时间变化
p
ω t u
i
p
ω t
电阻的瞬时功率波形图
p=2UIsin2? t
?? ???
TT
dtiu
T
dtp
T
P
00
11
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIdttUI
T
dttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
)2c o s1(
1
s in2
1
?
?
大写
u
i
R
P=UI
U=IR
=I2R=U2/R
二,电感电路
dt
diLu ? 基本 关系式,
tIi ?si n2?设
cos 2 ? ? t L I dt di L u ? ? 则
i
u L
) 90 sin( 2 ? ? ? t U ?
) 90 sin( 2 ? ? ? t I ? XL
电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90 ° ）
) 90 sin( 2 ? ? ? t U u ?
tIi ?s i n2?
i
u
t?
?90
设,其中,
U=IXL, XL= ?L
3,有效值
感抗 （ Ω ） LX
L ??
定义,
LXIU ?
4,相量关系
)90s i n (2 ??? tUu ?
tIi ?s i n2?
? 0 ? ? I I 设,
? ? 90 90 ? ? ? ? I U U X
L ?
? 0
= I j XL 或 I=U/ j XL
5,相量图
? 0 ? ? I I
? 90 ? ? U U
U= I j XL
I=U/ j XL
复数符号,LXIU ?有效值,
I=U/ XL
U
I
电感电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
Liu ??？
u,i 相位不一致 ！
? ? L X j I U ?
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
LL XIU ?
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
u
+
_ L
R
直流
U + _
R
电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
???
?
tUu
tIi
?
?
tUI
ttUIuip
?
??
2s i n
c o ss i n2
?
???
1,瞬时功率 p,
i
u L
储存
能量
P <0
释放
能量
+
P >0
P <0
可逆的
能量转换
过程
tUIuip ?2s i n???
u
i
u
i
u
i
u
i
+
P
P >0 t?
u i
t?
i
u L
电压电流
实际方向
p为正弦波，频率加倍
2,平均功率 P （有功功率）
0)2(s in
1
1
0
0
??
?
?
?
dttIU
T
dtp
T
P
T
T
?
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量
交换（能量的吞吐）
tUIuip ?2s i n???
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22 ???
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip ?2s i n???
基本关系式,
dt
du
Ci ?
设, tUu ?s i n2?
三、电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
?
???
??
tCU
tUC
dt
du
Ci
??
??
则,
1,频率相同
2,相位相差 90° （ i 领先 u 90° ）
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
电容电路中电流、电压的关系
i u
t?
?90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或 CUI ??? I
C
U
?
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
?
1?定义,
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
I
CXIU ?
则,
CX
U
I ?
4,相量关系
设,
?? 0?? UU
?? 90?? II
I?
U?
)90s i n (2 ??? tIi ?
tUu ?s i n2?
?????? 00 CIXUU ?
则,
IjXU C ?? ??
IjX
IXIX
C
CC
?
?
??
???????????? 9090900
CXIU ?
IjXU C ?? ??
电容电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I? I?
领先 ！
E
+
- ω
C
X c
?
1?
e
+
-
关于容抗的讨论
直流
是频率的函数,表示电容
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
波有效 。
容抗
）（
C
X C
?
1?
ω＝ 0 时
??cX
电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
?
??
?
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n????
1,瞬时功率 p
tIUuip ?2s i n????
充电
p 放电 放电
P < 0
释放
能量
充电
P > 0
储存
能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
?
?
???
?
T
T
tIU
T
dtP
T
P
0
0
02s in
1
1
?
2,平均功率 P
tIUuip ?2s i n????
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ ??
tUIp ?2s i n??
单位,var，乏
例
u
i
C
解,
????? ? 318010314 11 6CX C ?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
???
CX
U
I
求电容电路中的电流
已知,C ＝ 1μF
)
6
314s i n (27.70
?
?? tu
求,I, i
V
mA)
3
3 1 4s i n (2.222
)
26
3 1 4s i n (2.222
?
??
???
????
t
ti
瞬时值 i 领先于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70 ???
CX
UI
U?
I?
6??
3?
1,单一参数电路中的基本关系
电路参数
LjjX L ??
dt
diLu ?
基本关系
复阻抗
L U?
I?
C
jjX C
?
1
???
复阻抗
电路参数
dt
duCi ?
基本关系 C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu ?
复阻抗 R U?
I?
小 结
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示,
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相
似。
IU ??、
CL jXCjXLRR ????,,
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律
电阻电路
RIU ?? ? )( LXjIU ?? ?
电感电路
)( CXjIU ?? ??
电容电路
复数形式的欧姆定律
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数
电路图
（正方向）
复数
阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功率
有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设
则
tUu ?s in2?
tIi ?s in2?
IRU? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
Lj
jXL
??
cj
C
j
jXC
?
?
1
1
?
??
?
设
则
tIi ?sin2?
)90s i n (
2
??
?
t
LIu
?
?
设
则
tUu ?s in2?
)90s i n (
12
??
?
t
C
Ui
?
?
LX
IXU
L
L???
CX
IXU
C
C
?1?
?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
? ?LjXIU ?? ?
? ?CjXIU ?? ??
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
?
基本
关系
第 3讲
直流电路习题课
第 3章 正弦交流电路
3.1正弦量的特征值及表示方法
3.1.1正弦量的特征值
3.1.2正弦量的表示方法
3.2正弦交流电路的分析与计算
3.2.1 单一参数的正弦交流电路
直流电路习题课
例 1,
有源
网络 V
UO
如图所示有源二端网络，用内阻为 50k?的
电压表测出开路电压值是 30V，换用内阻为
100k ?的电压表测得开路电压为 50V，求该
网络的戴维南等效电路。
解,
US =（ 30/50） RS +30
US =（ 50/100） RS +50
UO
US
RS
R
RS =200 k?
US =150V
+ -
U3
U1
U2
R1
R R R
I1 I2
I3
I4
I5
I6
以下电路用什么方法求解最方便？
？
R=3?
R1=2?
8V
6V
12V
I4=(18-6)/3=4A
I5=(6-0)/3=2A
+6V
+18V
I6=（ 0-18） /3= -6A
I1=（ 8-18） /2= -5A
I2=（ -5） +（ -6） -4= -15A
I3=（ -15） +4 -2= -13A
例 2,
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
已知,
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求,
US =0 V,IS=10A 时,Uo=?
US
线性无
源网络 UO
IS
设 解,
SSO IKUKU 21 ??
（ 1）和（ 2）联立求解得,1.01.0
21 ??? KK
V1??OU
当 US =1V,IS=1A 时,
)1(......011 21 ????? KKU O当 U
S =10 v,IS=0A 时,
)2(......1010 21 ????? KKU O
用叠加原理
例 3,
例 4：求 I1, I2之值。
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
使所有恒流源不起作用
I1 ′ = I2 ′= 0 A
1A
1A
1?
1?
+
+ -
-
1V
1V
I2
I1
A
B
C D
采用叠加原理
使所有恒压源不起作用
A,D
B,C
1?
I1? I2?
1A 1A 1?
I1?=1A I2?= – 1A
I1 ′ = I2 ′= 0 A
I1?=1A,I2?= – 1A
I1=1A,I2= – 1A
第 3章 正弦交流电路
3.1正弦量的特征值及表示方法
3.1.1正弦量的特征值
3.1.2正弦量的表示方法
3.2正弦交流电路的分析与计算
3.2.1 单一参数的正弦交流电路
交流电的概念
如果电流或电压每经过一定时间 （ T ） 就重复变
化一次，则此种电流,电压称为周期性交流电流或
电压 。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。
记做,u(t) = u(t + T )
第 3章 正弦交流电路
T
u
t
u
T
t
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按
正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向
也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电路
t
i
正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向
交流电路进行计算时，首先要规定物理量
的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
实际方向和假设方向一致
实际方向和假设方向相反
t
i
正弦交流电的正方向
i
u R
用小写字母表示
交流瞬时值
3.1.1 正弦波的特征量
? ??? ?? tIi m s i n
? t ?
i
mI
, 电流幅值（最大值）
, 角频率（弧度 /秒）
, 初相角
mI
?
?
特征量,
3.1正弦量的特征量及表示方法
? ??? ?? tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
正弦波特征量之一
-- 幅度
在工程应用中常用 有效值 表示幅度。 常用交流电
表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
值。标准电压 220V,也是指供电电压的有效值。
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。
如,Um,Im
则有
??
T
dti
T
I
0
21
（均方根值）
可得
2
mII ?当
时,? ?
?? ?? tIi m s i n
dtRi
T 2
0?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当
有效值电量必须大写，如,U,I
有
效
值
概
念
交流电流 i通过电阻 R在
一个周期 T内产生的热量
与一直流电流 I通过同一
电阻在同一时间 T内产生
的热量相等，则称 I的数
值为 i的有效值
可得
2
mII ?当 时,
? ??? ?? tIi m s i n
i=? 2 I sin(?t+?) i可写为,
同理, u= Um sin(?t+?)
2
m U U ?
u=? 2 U sin(?t+?) u可写为,
问题与讨论
电器 ~ 220V 最高耐压
=300V
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于
220V 的线路上?
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值,所
以 不能用 。
?2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V = 311V
电源电压
描述变化周期的几种方法
1,周期 T,变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒,,
T
f 1? fT ?
?? 22 ??
正弦波
特征量之二
-- 角频率
3,角频率 ω,每秒变化的弧度 单位：弧度 /秒
2,频率 f,每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹,.,
i
t ?
T
? ??? ?? tIi s i n2
正弦波
特征量之三
-- 初相位
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。 ?
说明,给出了观察正弦波的起点或参考点,
?
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
i
?
t ?
）（ ?? ?t
：正弦波的相位角或相位
? ? ? ? 2 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? t t
两个 同频率 正弦量间的相位差 ( 初相差 )
? ?
? ?222
111
s i n
s i n
??
??
??
??
tIi
tIi
m
m
1?
2?
2i1i
? t
>0
=0
<0
两种正弦信号的相位关系
同
相
位
1i
1?
2?
21 ?? ?
t
2i
021 ???? ???
落后于
2i1i2i
t
1?
相
位
落
后
2?
1i
领先于
1i 2i
2i相
位
领
先
1i
1? 2?
021 ???? ???
t
相位差为 0
1i 2i
与 同相位
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu如,
结论,
因角频率（ ?）不变，所以以下 讨论 同频率正弦波
时,? 可不考虑，主要研究 幅度与初相位的变化。
? ? ? ?
? ???
????
??
????
??
tU
tUtU
uuu
s i n2
s i n2 s i n2
2211
21
幅度、相位变化
频率不变
例
幅度,
A7 0 7.0
2
1
A 1 ??? II m
? ???? 301 0 0 0s i n ti
已知,
Hz159
2
1000
2
r a d / s 1000
???
?
??
?
?
f
频率,
?? 30 ?
初相位,
A
2 1 ? ? ?? ? ?90? ?（ ?90? ） ? 180? ?
1i 2i
t
? ?
? ? 2 2 1 1 sin
sin
?
90? ?
? ?
? ?
t I i
t I i
m
m
90?
如果相位差为 +180 ?或 ?180 ?,称为 两波形反相
例,
3.1.2 正弦波的表示方法
? 瞬时值表达式
? ???? 301 0 0 0s i n ti
? 相量
必须
小写
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
? 波形图
i
t ?
正弦波的表示方法,
重点
概念, 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
正弦波的相量表示法
矢量长度 =
mU
?
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω 矢量以角速度 按逆时针方向旋转
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
?
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若 其
幅度用最大值表示,则用符号,
最大值 相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号,
m U m I
U I
3,相量符号 U,I 包含幅度与相位信息。
m U U 或
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
正弦波的相量表示法举例
例 1：将 u1,u2 用相量表示
相位,
幅度：相量大小
12 UU ?
12 ?? ?
设,1?
2?
U1
U2
相位哪一个领先？
哪一个落后？
U2 U1 领先于
?
同频率正弦波的
相量画在一起,
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 -- 平行四边形法则
2?
U2
1?
U1
U
u= u1 +u2 =
? ? 2 2 2
1
sin 2 ? ? ? ?
?
t U u
? ? 1 1 sin 2 ? ? ? t U u
? ? sin 2 ? ? ? t U
2 1 U U U ? ?
?
2?
U2
1?
U1
U
2? 1?
– ?=
?=180o – ?
用余弦定理求 U,
U2=U12+U22 –2U1U2cos ?
U2
U1
U
?
?
?
用正弦定理求 ?角,
sin ?
U U2
sin ? =
?
= ? 1+ ?
? ? sin 2 ? ? ? t U u=
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以。
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上,
不同频率不行。
新问题 提出,
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算
相量的复数表示
a
b
tg
baU
1
22
?
?
??
?
将相量 放到复平面上，可如下表示,U
a
b U
?
j
+1
U
? ? sin cos jU U jb a U ? ? ? ?
a,b分别为 U在实轴
和虚轴上的投影
j
ee
ee
jj
jj
2
s i n
2
c o s
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?欧
拉
公
式
? ? ? U
? ? e U j
代数式
指数式
极坐标形式
? ? ? ?
? ?
j U
jb a U
) sin (cos
a
b U
?
j
+1
U
设 a,b为正实数
? j e U jb a U ? ? ?
?
在第一象限
?
在第四象限 ? j e U jb a U ? ? ?
? j e U jb a U ? ? ? ?
?
在第二象限
? j e U jb a U ? ? ? ?
?
在第三象限
? 在一、二象限，一般 ?取值,180° ? ? ? 0 °
? 在三、四象限，一般 ?取值,0° ? ? ? -180 °
j
+1
U1
?1=60°
?2=120°
U2
U3
?3= -120°
计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如,
)9126s i n (25 ???? tu ?4 3 j U ? ? ?
)9126s i n (25 ???? tu ?4 3 j U ? ? ?
4 3 j U ? ? )153s i n (25 ???? tu ?
)153s i n (25 ???? tu ?4 3 j U ? ?
例,
相量的复数运算
1,复数 加, 减运算
2 2 2
1 1 1
jb a U
jb a U
? ?
? ? 设,
? j Ue
b b j a a
U U U
?
± ? ± ?
± ?
) ( ) ( 2 1 2 1
2 1
则,
2,复数 乘、除 法 运算
) (
2 1
2 1
2 1 ? ? ? ?
?
j e A A
A A A 乘法,
2
1
2 2
1 1
?
?
j
j
e A A
e A A
?
? 设,
? ? 2 1
2
1
2
1 ? ? ? ? j e
A
A
A
A 除法,
± j称为 90° 旋转因子
乘以 +j使相量逆时针转 90°
乘以 -j使相量顺时针转 90°
说明,
设：任一相量 A
则, ? ±
? 90 e A j A ) ( j ±
jje j ???????? 90s i n90c o s90
复数符号法应用举例
例 1,已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
314s in1.311
A
6
314s in4.141
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
tu
ti 求,
i, u 的相量
解,
A 50 6, 86 30 100 30 2 4, 141 j I ? ? ? ? ? ? ? ?
V 5, 190 110 60 220 60 2 1, 311 j U ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
求,
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
?
?
??
??
ti
ti
解,
6 2 8 01 0 0 022 ???? ??? f srad
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为,
A 10
A 60 100
30
2
1
?
?
j e I
I
?
? ? ?
波形图
瞬时值
相量图
复数
符号法
小结：正弦波的四种表示法
? ??? ?? tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
? ? ? ? ? ? ? U e U jb a U j
U I
符号说明
瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.” U
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
t u ? sin 100 ?？
瞬时值 复数
U ?
正误判断
？
瞬时值 复数
) 15 sin( 2 50 50 15 ? ? ? ? ° t e U j ?
一, 电阻电路
u i R 根据 欧姆定律
iRu ?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
? 设
则
3.2.1 单一参数的正弦交流电路
3.2正弦交流电路的分析与计算
t I t R U R u i
t U u
? ?
?
sin 2 sin 2
sin 2
? ? ?
?
1,频率相同
2,相位相同
3,有效值关系,
IRU ?
电阻电路中电流、电压的关系
4,相量关系
? 0 ? ? U U
R I U ?
U I
5.相量图
? 0 ? ? I I
? 0 ? ? U U ? 0 ? ? IR R I ?
电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
?
?
?
?
RuiRiup /22 ????
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写 =2UIsin2? t
2,（耗能元件）
0?p
结论,
1,随时间变化
p
ω t u
i
p
ω t
电阻的瞬时功率波形图
p=2UIsin2? t
?? ???
TT
dtiu
T
dtp
T
P
00
11
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIdttUI
T
dttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
)2c o s1(
1
s in2
1
?
?
大写
u
i
R
P=UI
U=IR
=I2R=U2/R
二,电感电路
dt
diLu ? 基本 关系式,
tIi ?si n2?设
cos 2 ? ? t L I dt di L u ? ? 则
i
u L
) 90 sin( 2 ? ? ? t U ?
) 90 sin( 2 ? ? ? t I ? XL
电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90 ° ）
) 90 sin( 2 ? ? ? t U u ?
tIi ?s i n2?
i
u
t?
?90
设,其中,
U=IXL, XL= ?L
3,有效值
感抗 （ Ω ） LX
L ??
定义,
LXIU ?
4,相量关系
)90s i n (2 ??? tUu ?
tIi ?s i n2?
? 0 ? ? I I 设,
? ? 90 90 ? ? ? ? I U U X
L ?
? 0
= I j XL 或 I=U/ j XL
5,相量图
? 0 ? ? I I
? 90 ? ? U U
U= I j XL
I=U/ j XL
复数符号,LXIU ?有效值,
I=U/ XL
U
I
电感电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
Liu ??？
u,i 相位不一致 ！
? ? L X j I U ?
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
LL XIU ?
ω = 0 时
XL = 0
关于感抗的讨论
u
+
_ L
R
直流
U + _
R
电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
???
?
tUu
tIi
?
?
tUI
ttUIuip
?
??
2s i n
c o ss i n2
?
???
1,瞬时功率 p,
i
u L
储存
能量
P <0
释放
能量
+
P >0
P <0
可逆的
能量转换
过程
tUIuip ?2s i n???
u
i
u
i
u
i
u
i
+
P
P >0 t?
u i
t?
i
u L
电压电流
实际方向
p为正弦波，频率加倍
2,平均功率 P （有功功率）
0)2(s in
1
1
0
0
??
?
?
?
dttIU
T
dtp
T
P
T
T
?
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量
交换（能量的吞吐）
tUIuip ?2s i n???
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22 ???
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip ?2s i n???
基本关系式,
dt
du
Ci ?
设, tUu ?s i n2?
三、电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
?
???
??
tCU
tUC
dt
du
Ci
??
??
则,
1,频率相同
2,相位相差 90° （ i 领先 u 90° ）
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
电容电路中电流、电压的关系
i u
t?
?90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或 CUI ??? I
C
U
?
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
?
1?定义,
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
I
CXIU ?
则,
CX
U
I ?
4,相量关系
设,
?? 0?? UU
?? 90?? II
I?
U?
)90s i n (2 ??? tIi ?
tUu ?s i n2?
?????? 00 CIXUU ?
则,
IjXU C ?? ??
IjX
IXIX
C
CC
?
?
??
???????????? 9090900
CXIU ?
IjXU C ?? ??
电容电路中复数形式的
欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I? I?
领先 ！
E
+
- ω
C
X c
?
1?
e
+
-
关于容抗的讨论
直流
是频率的函数,表示电容
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
波有效 。
容抗
）（
C
X C
?
1?
ω＝ 0 时
??cX
电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
?
??
?
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n????
1,瞬时功率 p
tIUuip ?2s i n????
充电
p 放电 放电
P < 0
释放
能量
充电
P > 0
储存
能量
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1
1
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2,平均功率 P
tIUuip ?2s i n????
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ ??
tUIp ?2s i n??
单位,var，乏
例
u
i
C
解,
????? ? 318010314 11 6CX C ?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
???
CX
U
I
求电容电路中的电流
已知,C ＝ 1μF
)
6
314s i n (27.70
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求,I, i
V
mA)
3
3 1 4s i n (2.222
)
26
3 1 4s i n (2.222
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???
????
t
ti
瞬时值 i 领先于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70 ???
CX
UI
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3?
1,单一参数电路中的基本关系
电路参数
LjjX L ??
dt
diLu ?
基本关系
复阻抗
L U?
I?
C
jjX C
?
1
???
复阻抗
电路参数
dt
duCi ?
基本关系 C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu ?
复阻抗 R U?
I?
小 结
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示,
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相
似。
IU ??、
CL jXCjXLRR ????,,
2,单一参数电路中复数形式的欧姆定律
电阻电路
RIU ?? ? )( LXjIU ?? ?
电感电路
)( CXjIU ?? ??
电容电路
复数形式的欧姆定律
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数
电路图
（正方向）
复数
阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功率
有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设
则
tUu ?s in2?
tIi ?s in2?
IRU? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
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C
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cj
C
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则
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设
则
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)90s i n (
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IXU
C
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I?
u领先 i 90°
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u落后 i 90°
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0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
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基本
关系
