海南风光
第 9讲
第 6章
电路的暂态分析
第 6章 电路的暂态分析
(电路的过渡过程 )
§ 6.1 概述
§ 6.2 换路定理
§ 6.3 一阶电路过渡过程的分析
§ 6.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 6.5 含有多个储能元件的一阶电路
旧稳态 新稳态
过渡过程,
C
电路处于旧稳态
K R
U
+
_ Cu
§ 6.1 概述
电路处于新稳态
R
U + _
Cu
“稳态,与, 暂态,的概念,
?
产生过渡过程的电路及原因?
无过渡过程
I
?
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化,
不存在过渡过程。
U
t
Cu
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量,其
大小为,
电容电路
2
0 2
1
cui d tuW
t
C ?? ?
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电
容的电路存在过渡过程。
U
K R
+
_ C
uC
电感电路
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，
其大小为,
2
0 2
1
LidtuiW
t
L ?? ?
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电
感的电路存在过渡过程。
K R
U
+
_
t=0
iL
t
Li
R
U
6.2.1 换路定理
换路, 电路状态的改变。如,
§ 6.2 换路定理
1, 电路接通、断开电源
2, 电路中电源的升高或降低
3, 电路中元件参数的改变
………….,
换路定理, 在换路瞬间，电容上的电压、
电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路 ?0
?0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
则,
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突
变的原因解释如下,
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或
释放需要一定的时间。所以
*
电感 L 储存的磁场能量
）（ 2
2
1
LL LiW ?
LW
不能突变
Li
不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变
电容 C存储的电场能量
）（ 2
2
1
CuWc ?
*
若
cu
发生突变,
???
dt
du c
??i
不可能 ！
一般电路
则
所以电容电压
不能突变
从电路关系分析
K R
U
+
_ C
i
uC
C
C
C udt
duRCuiRU ????
K 闭合后，列回路电压方程,
)(
dt
duCi C?
6.2.2 初始值的确定
求解要点,换路定理
1,
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
LL
CC
ii
uu
2,根据电路的基本定律和换路后的等效
电路，确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时
的大小。
例 1,
V0)0()0( ?? ?? Cc uu
则根据换路定理,
设,
V0)0( ??cu
R
U
R
u
i R ??
?
? )0()0(
?? )0(Ru UuU C ?? ? )0(
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)(
)(
??
??
i
u C
U
0
在 t=0+时，电容
相当于短路
在 t=?时，电容
相当于断路
例 2,
K R1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=2k?
R2=4k?
C=1?F
?? )0(cu
V8
42
4
12
21
2 ?
?
??
? RR
R
U
根据换路定理,
V8)0()0( ?? ?? cc uu
?? )0(Ci mA2
4
8)0(
2
?????
?
R
u C 0)(
0)(
??
??
C
C
i
u
在 t=0+时，
电容相当
于一个恒
压源
例 3
换路时电压方程,
)0()0(
)0()0(
??
??
??
??
LL
LR
uRi
uuU
根据换路定理
A 0)0()0( ?? ?? LL ii
解,
V20020
)0()0(
???
?? ?? RiUu LL
?
求,
)0(
),0(
?
?
L
L
u
i
已知, R=1kΩ,
L=1H,U=20 V,
A 0?Li
设 时开关闭合 0?t
开关闭合前
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
)( ??Li?)( ??Lu
已知,
电压表内阻
H1k1V20 ???? LRU,、
?? k5 0 0VR
设开关 K 在 t = 0 时打开。
求, K打开的瞬间,电压表两端
的电压。
换路前
mA20
1
20)0( ????
R
Ui
L
(大小,方向都不变 )
换路瞬间
mA20)0()0( ?? ?? LL ii
例 4
K
,
U
L
V
R
iL
mA20)0()0( ?? ?? LL ii
VLV Riu ???
?? )0()0(
V1 0 0 0 0
105 0 01020 33
??
????? ?
注意,实际使用中要加保护措施
K
U
L
V
R
iL
uV
小结
1,换路瞬间,
LC iu,
不能突变。其它电量均可
能突变，变不变由计算结果决定；
0)0( 0 ??? IiL
电感相当于恒流源
3,换路瞬间,
0)0( ??Li,电感相当于断路；
2,换路瞬间，若,0)0( ??
Cu
电容相当于短路；
，0)0( 0 ??? Uu C 电容相当于恒压源 若
C
C
C udt
du
RCuRiU ????
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若
微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路
§ 6.3 一阶电路过渡过程的分析
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
6.3.1 一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法, 用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法, 求 初始值
稳态值
时间常数
……………..,
?
? 本节重点
一,经典法
Uu
dt
duRC
C
C ??
一阶常系数
线性微分方程
由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成,
方程的特解
?Cu'
对应齐次方程的通解
?Cu"
即,
CCC uutu "')( ??
1,一阶 R-C电路的充电过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
Uutu' CC ??? )()(
)(?Cu
作特解，故此特解也称为 稳态分量 或 强
在电路中,通常取换路后的新稳态值
制分量 。所以该电路的特解为,
1,求特解 ——
Cu'
Uu
dt
duRC
C
C ??
将此特解代入方程，成立
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Cu"
2,求齐次方程的通解 ——
0?? CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
Cu"
随时间变化，故通常称为 自由分量 或
暂态分量 。
其形式为指数。设,
RC
t
C Aeu
?
?"
A为积分常数 其中,
求 A,?
RC
t
CCC AeUu"u'tu
?
????)(
UA ??
所以
代入该电路的起始条件
0)0( ??Cu
0)0( 0 ?????? AUAeUu C
得,
)1()( / RCtRC
t
C eUUeUtu
?? ????
时间常数 ?
)1(
)1()(
?
t
RC
t
C
eU
eUtu
?
?
??
??
RC??
时间常数
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
002.63)( ?? Uu C ?
??t当 时,
Cu
t
U
?
t 0 ? ?2 ?3 ?4 ?5 ?6
Cu
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
)1()( ?
t
C eUtu
???
过渡过程曲线
2 ?
?/)()( tR e
R
U
R
tuti ???
?/)()( t
CR UetuUtu
????
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)1()( / ?? t
t
C eUUeUtu
?? ????
t
U
R
U
uC
uR i
过渡过程曲线
t
U
0.632U
1? 2? 3?
? 越大,过渡过程曲线变化越慢,uC达到
稳态所需要的时间越长。
结论,
?t
C UeUtu
???)(
1?
2?
3?
321 ??? ??
2,一阶 R-L电路的过渡过程
（“充电”过程）
Uuu LR ??
UuRi LL ??
dt
diLu L
L ?
U
dt
diLRi L
L ??
)1( / ?tL e
R
Ui ???
R
L??
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
?/t
L Ueu
??
0)0()0( ?? ?? LL ii
R
Ui
L ?? )(
iL U
0 t
RU u
L
uR
3,一阶 R-C电路的放电过程
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uuu CC ?? ?? )0()0(
0)( ??Cu
0?? CR uu
dt
du
CiuRi CC ???,0
0?? CC u
dt
duRC
?/t
C Ueu
??
?/t
CR
Ue
uu
???
??
RC??
?/tR e
R
U
R
ui ????
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
?/t
C Ueu
??
?/t
R Ueu
???
RC??
?/te
R
U
i ???
一阶 R-C电路的
放电过程曲线
R
U?
U?
U
Cu
Ru
i t 0
放电
4,一阶 R-L电路的过渡过程（“放电”过程）
1
)0()0(
R
Uii
LL ??
??
0)( ??Li
02 ??
dt
diLRi L
L
+
-
U
R1
L uL
iL
t=0
R2
2Ru
?/
1
t
L eR
U
i ??
2R
L??
?/
2
1
t
L eRR
U
u ???
21 RR
U?
1R
U
Li
Lu
t 0
3,非 0起始态的 R-C电路的过渡过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C ?
?
0)0( Uu C ?
?
根据换路定理
Uu C ?? )(
叠加方法
状态为 0，即 U0=0
?t
C UeUu
???
1
输入为 0，即 U=0
?/
02
t
C eUu
??
?/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
??????
时间常数
0)0( Uu C ?
?
Uu C ?? )(
?/
0 )(
t
C eUUUu
????
? ? ?/)()0()( tCCC euuu ?? ?????
初始值 稳态值 稳态值
一般形式,
? ? ?/)()0()()( teffftf ?? ?????
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
二、分析一阶电路
过渡过程的三要素
法
?teffftf ?? ????? )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式,
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
其中三要素为,
)(?f稳态值 ---- 初始值 ---- )0( ?f
时间常数 ---- ?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。 式中
三要素法求解过渡过程要点,
)0()]0()([6 3 2.0 ?? ??? fff
?
终点 )(?f
起点
)0( ?f
t
分别求初始值、稳态值、时间常数
将以上结果代入过渡过程通用表达式
画出过渡过程曲线（ 由初始值 ?稳态值 ） ?
?
?
例 1
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
?? ?? )0()0( CC uu V6
32
310
21
2 ?
?
??
? RR
RU
V10)( ??? Uu C
S102101102 3631 ?? ??????? CR?
? ? ?/)()0()( tCCCC euuuu ?? ?????
? ? V41010610 500102/ 3 tt ee ??? ????? ?
“三要素法”例题
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
V410 5 0 0 tC eu ???
4V
6V
10V
0 t
uC
V4 5 0 01 tCR euUu ????
uR1
mA2
2
4 5 0 05 0 0
1
1 t
t
R
C e
e
R
ui ?? ??? 2mA
iC
例 2 t=0
R1=
5k? R2=
5k? I=2mA
Cu
C=1?F
?? ?? )0()0( CC uu V10521 ???IR
V5)5//5(2)//()( 21 ????? RRIu C
S105.2)//( 321 ????? CRRRC?
RC??, R为去掉 C后的有源二端网络的等效电阻
? ? ?/)()0()( tCCCC euuuu ?? ?????
V55)510(5 400t-105.2 3 ee
t
????? ??
?
uC
5
10
0 t
求, 电感电压
)(tu L
例 3 已知,K 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
t=0 3A
L
Lu
K R
2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
第一步,求起始值 )0( ?
Lu
A23
21
2
)0()0( ??
?
?? ?? LL ii
t=0 3A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t =0ˉ时等效电路
3A L
Li
?2 ?1
?2
V4
]//)[0()0( 321
??
??? ?? RRRiu LL
t=0+时等效电路，电
感相当于一个 2A的
恒流源
2A Lu
R1
R2
R3
t=0 3A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t=0+时的等效电路
第二步,求稳态值
)(?Lu
t=?时等效电路
V0)( ??Lu
t=0 3A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H Lu
R1
R2
R3
第三步,求时间常数 ?
s)(5.0
2
1 ???
R
L?
321 || RRRR ??
t=0 3A
L L
uK
R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H L R2
R3 R1
L R
第四步, 将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0( ???Lu
0)( ??Lu
s5.0??
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
?
?
?
?
??
????
?????
?
第五步, 画过渡过程曲线（由初始值 ?稳态值）
V4)( 2 tL etu ???
起始值 -4V
t
Lu
稳态值
0V
已知：开关 K 原在,3”位置，电容未充电。
当 t ＝ 0 时,K合向,1”
t ＝ 20 ms 时,K再 从,1”合向,2”
求,? ? ? ?titu
C,
例 4
3
+
_
U1
3V
K
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ
Cu
i
+
_
U2
5V
1k
2
R3
0)0( ??Cu
解, 第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms,K,3?1）
? ? ? ? V000 ?? ?? CC uu ? ? mA30
1
1 ???
R
U
i
R1
+
_ U1 3V R2
i
Cu
初始值
K
+
_ U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
0)0( ??Cu
稳态值 第一阶段（ K,3?1）
? ? V21
21
2 ??
?
?? U
RR
Ru
C
? ?
mA1
21
1
?
?
??
RR
U
i
R1
+
_ U
1
3V R
2
i
Cu
K
+
_ U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
时间常数
??? k
3
2//
21 RRR d
ms2?? CR d?
第一阶段（ K,3?1）
R1
+
_ U1 3V R2
i
Cu
C
K
+
_ U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
? ? ?teffftf ?? ?????? )()0()()(
? ? ? ? )V(000 ?? ?? CC uu
? ? )V(21
21
2 ??
?
?? U
RR
Ru
C
)(ms2?? CR d?
V 22)( 2tc etu ???
第一阶段（ t = 0 ~ 20 ms ）电压过渡过程方程,
? ? ?teffftf ?? ?????? )()0()()(
? ? mA21 2teti ???
? ? mA30
1
1 ???
R
Ui
? ? mA1
21
1 ?
?
??
RR
Ui
ms2?? CR d?
第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms） 电流过渡过程方程,
第一阶段波形图
20ms
t
2
)V(Cu
3
t
）（ mAi
20ms
1
说明,? ＝ 2 ms,5? ＝ 10 ms
20 ms > 10 ms,t=20 ms 时,可以认为电路
已基本达到稳态。
下一阶段
的起点 下一阶段
的起点
起始值
V2)ms20(
)ms20(
?? ?
?
C
C
u
u
第二阶段, 20ms ~
mA5.1
)ms20(
)ms20(
31
2
?
?
?
?
?
?
RR
uU
i
c
（ K由 1?2）
+
_ U2
R1
R3
R2
Cu
i
+
_
t=20 + ms 时等效电路
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
稳态值 第二阶段,(K:1?2)
mA25.1
)(
321
2
?
??
??
RRR
E
i
V5.2
)(
2
321
2
?
??
?? E
RRR
R
u
c
_
+ E
2
R1
R3
R2
Cu
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
时间常数
???? k1//)( 231 RRRR d
ms3?? CR d?
第二阶段,(K:1?2)
_ Cu
C
+ U
2
R1
R3
R2
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
第二阶段 （ 20ms ~） 电压过渡过程方程
V 5.05.2)20( 3
20?
?
???
t
C etu
ms3?? CR d?
V2)ms20( ??Cu
V5.2)( ??Cu
第二阶段 （ 20ms ~） 电流过渡过程方程
mA 25.025.1)20( 3
20??
???
t
eti
mA5.1)ms20( ??i
mA25.1)( ??i
ms3?? CR d?
V 22)( 2tc etu ???
第一阶段,
20ms t
2
2.5
Cu
(V)
V 5.05.2)20( 3
20??
???
t
c etu
第二阶段,
第一阶段,
mA 25.025.1)20( 3
20??
???
t
eti
3 1.5
t
1.25
i
1
(mA)
20ms
mA 21)( 2teti ???
第二阶段,
第 9讲
第 6章
电路的暂态分析
第 6章 电路的暂态分析
(电路的过渡过程 )
§ 6.1 概述
§ 6.2 换路定理
§ 6.3 一阶电路过渡过程的分析
§ 6.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 6.5 含有多个储能元件的一阶电路
旧稳态 新稳态
过渡过程,
C
电路处于旧稳态
K R
U
+
_ Cu
§ 6.1 概述
电路处于新稳态
R
U + _
Cu
“稳态,与, 暂态,的概念,
?
产生过渡过程的电路及原因?
无过渡过程
I
?
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
K
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化,
不存在过渡过程。
U
t
Cu
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量,其
大小为,
电容电路
2
0 2
1
cui d tuW
t
C ?? ?
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电
容的电路存在过渡过程。
U
K R
+
_ C
uC
电感电路
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，
其大小为,
2
0 2
1
LidtuiW
t
L ?? ?
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有 电
感的电路存在过渡过程。
K R
U
+
_
t=0
iL
t
Li
R
U
6.2.1 换路定理
换路, 电路状态的改变。如,
§ 6.2 换路定理
1, 电路接通、断开电源
2, 电路中电源的升高或降低
3, 电路中元件参数的改变
………….,
换路定理, 在换路瞬间，电容上的电压、
电感中的电流不能突变。
设,t=0 时换路 ?0
?0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
则,
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突
变的原因解释如下,
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或
释放需要一定的时间。所以
*
电感 L 储存的磁场能量
）（ 2
2
1
LL LiW ?
LW
不能突变
Li
不能突变
CW
不能突变
Cu
不能突变
电容 C存储的电场能量
）（ 2
2
1
CuWc ?
*
若
cu
发生突变,
???
dt
du c
??i
不可能 ！
一般电路
则
所以电容电压
不能突变
从电路关系分析
K R
U
+
_ C
i
uC
C
C
C udt
duRCuiRU ????
K 闭合后，列回路电压方程,
)(
dt
duCi C?
6.2.2 初始值的确定
求解要点,换路定理
1,
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
LL
CC
ii
uu
2,根据电路的基本定律和换路后的等效
电路，确定其它电量的初始值。
初始值 （起始值）,电路中 u,i 在 t=0+ 时
的大小。
例 1,
V0)0()0( ?? ?? Cc uu
则根据换路定理,
设,
V0)0( ??cu
R
U
R
u
i R ??
?
? )0()0(
?? )0(Ru UuU C ?? ? )0(
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)(
)(
??
??
i
u C
U
0
在 t=0+时，电容
相当于短路
在 t=?时，电容
相当于断路
例 2,
K R1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=2k?
R2=4k?
C=1?F
?? )0(cu
V8
42
4
12
21
2 ?
?
??
? RR
R
U
根据换路定理,
V8)0()0( ?? ?? cc uu
?? )0(Ci mA2
4
8)0(
2
?????
?
R
u C 0)(
0)(
??
??
C
C
i
u
在 t=0+时，
电容相当
于一个恒
压源
例 3
换路时电压方程,
)0()0(
)0()0(
??
??
??
??
LL
LR
uRi
uuU
根据换路定理
A 0)0()0( ?? ?? LL ii
解,
V20020
)0()0(
???
?? ?? RiUu LL
?
求,
)0(
),0(
?
?
L
L
u
i
已知, R=1kΩ,
L=1H,U=20 V,
A 0?Li
设 时开关闭合 0?t
开关闭合前
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
)( ??Li?)( ??Lu
已知,
电压表内阻
H1k1V20 ???? LRU,、
?? k5 0 0VR
设开关 K 在 t = 0 时打开。
求, K打开的瞬间,电压表两端
的电压。
换路前
mA20
1
20)0( ????
R
Ui
L
(大小,方向都不变 )
换路瞬间
mA20)0()0( ?? ?? LL ii
例 4
K
,
U
L
V
R
iL
mA20)0()0( ?? ?? LL ii
VLV Riu ???
?? )0()0(
V1 0 0 0 0
105 0 01020 33
??
????? ?
注意,实际使用中要加保护措施
K
U
L
V
R
iL
uV
小结
1,换路瞬间,
LC iu,
不能突变。其它电量均可
能突变，变不变由计算结果决定；
0)0( 0 ??? IiL
电感相当于恒流源
3,换路瞬间,
0)0( ??Li,电感相当于断路；
2,换路瞬间，若,0)0( ??
Cu
电容相当于短路；
，0)0( 0 ??? Uu C 电容相当于恒压源 若
C
C
C udt
du
RCuRiU ????
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若
微分方程是一阶的，则该电路为一阶电路
§ 6.3 一阶电路过渡过程的分析
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
6.3.1 一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法, 用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法, 求 初始值
稳态值
时间常数
……………..,
?
? 本节重点
一,经典法
Uu
dt
duRC
C
C ??
一阶常系数
线性微分方程
由数学分析知此种微分方程的解由两部分组成,
方程的特解
?Cu'
对应齐次方程的通解
?Cu"
即,
CCC uutu "')( ??
1,一阶 R-C电路的充电过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
Uutu' CC ??? )()(
)(?Cu
作特解，故此特解也称为 稳态分量 或 强
在电路中,通常取换路后的新稳态值
制分量 。所以该电路的特解为,
1,求特解 ——
Cu'
Uu
dt
duRC
C
C ??
将此特解代入方程，成立
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Cu"
2,求齐次方程的通解 ——
0?? CC u
dt
du
RC
通解即,的解。
Cu"
随时间变化，故通常称为 自由分量 或
暂态分量 。
其形式为指数。设,
RC
t
C Aeu
?
?"
A为积分常数 其中,
求 A,?
RC
t
CCC AeUu"u'tu
?
????)(
UA ??
所以
代入该电路的起始条件
0)0( ??Cu
0)0( 0 ?????? AUAeUu C
得,
)1()( / RCtRC
t
C eUUeUtu
?? ????
时间常数 ?
)1(
)1()(
?
t
RC
t
C
eU
eUtu
?
?
??
??
RC??
时间常数
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
002.63)( ?? Uu C ?
??t当 时,
Cu
t
U
?
t 0 ? ?2 ?3 ?4 ?5 ?6
Cu
0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
)1()( ?
t
C eUtu
???
过渡过程曲线
2 ?
?/)()( tR e
R
U
R
tuti ???
?/)()( t
CR UetuUtu
????
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
)1()( / ?? t
t
C eUUeUtu
?? ????
t
U
R
U
uC
uR i
过渡过程曲线
t
U
0.632U
1? 2? 3?
? 越大,过渡过程曲线变化越慢,uC达到
稳态所需要的时间越长。
结论,
?t
C UeUtu
???)(
1?
2?
3?
321 ??? ??
2,一阶 R-L电路的过渡过程
（“充电”过程）
Uuu LR ??
UuRi LL ??
dt
diLu L
L ?
U
dt
diLRi L
L ??
)1( / ?tL e
R
Ui ???
R
L??
iL
U
K
t=0
uL
uR
R
L
?/t
L Ueu
??
0)0()0( ?? ?? LL ii
R
Ui
L ?? )(
iL U
0 t
RU u
L
uR
3,一阶 R-C电路的放电过程
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uuu CC ?? ?? )0()0(
0)( ??Cu
0?? CR uu
dt
du
CiuRi CC ???,0
0?? CC u
dt
duRC
?/t
C Ueu
??
?/t
CR
Ue
uu
???
??
RC??
?/tR e
R
U
R
ui ????
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
?/t
C Ueu
??
?/t
R Ueu
???
RC??
?/te
R
U
i ???
一阶 R-C电路的
放电过程曲线
R
U?
U?
U
Cu
Ru
i t 0
放电
4,一阶 R-L电路的过渡过程（“放电”过程）
1
)0()0(
R
Uii
LL ??
??
0)( ??Li
02 ??
dt
diLRi L
L
+
-
U
R1
L uL
iL
t=0
R2
2Ru
?/
1
t
L eR
U
i ??
2R
L??
?/
2
1
t
L eRR
U
u ???
21 RR
U?
1R
U
Li
Lu
t 0
3,非 0起始态的 R-C电路的过渡过程
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C ?
?
0)0( Uu C ?
?
根据换路定理
Uu C ?? )(
叠加方法
状态为 0，即 U0=0
?t
C UeUu
???
1
输入为 0，即 U=0
?/
02
t
C eUu
??
?/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
??????
时间常数
0)0( Uu C ?
?
Uu C ?? )(
?/
0 )(
t
C eUUUu
????
? ? ?/)()0()( tCCC euuu ?? ?????
初始值 稳态值 稳态值
一般形式,
? ? ?/)()0()()( teffftf ?? ?????
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
二、分析一阶电路
过渡过程的三要素
法
?teffftf ?? ????? )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式,
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
其中三要素为,
)(?f稳态值 ---- 初始值 ---- )0( ?f
时间常数 ---- ?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。 式中
三要素法求解过渡过程要点,
)0()]0()([6 3 2.0 ?? ??? fff
?
终点 )(?f
起点
)0( ?f
t
分别求初始值、稳态值、时间常数
将以上结果代入过渡过程通用表达式
画出过渡过程曲线（ 由初始值 ?稳态值 ） ?
?
?
例 1
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
?? ?? )0()0( CC uu V6
32
310
21
2 ?
?
??
? RR
RU
V10)( ??? Uu C
S102101102 3631 ?? ??????? CR?
? ? ?/)()0()( tCCCC euuuu ?? ?????
? ? V41010610 500102/ 3 tt ee ??? ????? ?
“三要素法”例题
K
R1=2k?
U=10V
+
_ C=1?F
Cu
Ci t=0
1Ru
R2=3k?
V410 5 0 0 tC eu ???
4V
6V
10V
0 t
uC
V4 5 0 01 tCR euUu ????
uR1
mA2
2
4 5 0 05 0 0
1
1 t
t
R
C e
e
R
ui ?? ??? 2mA
iC
例 2 t=0
R1=
5k? R2=
5k? I=2mA
Cu
C=1?F
?? ?? )0()0( CC uu V10521 ???IR
V5)5//5(2)//()( 21 ????? RRIu C
S105.2)//( 321 ????? CRRRC?
RC??, R为去掉 C后的有源二端网络的等效电阻
? ? ?/)()0()( tCCCC euuuu ?? ?????
V55)510(5 400t-105.2 3 ee
t
????? ??
?
uC
5
10
0 t
求, 电感电压
)(tu L
例 3 已知,K 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
t=0 3A
L
Lu
K R
2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
第一步,求起始值 )0( ?
Lu
A23
21
2
)0()0( ??
?
?? ?? LL ii
t=0 3A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t =0ˉ时等效电路
3A L
Li
?2 ?1
?2
V4
]//)[0()0( 321
??
??? ?? RRRiu LL
t=0+时等效电路，电
感相当于一个 2A的
恒流源
2A Lu
R1
R2
R3
t=0 3A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
t=0+时的等效电路
第二步,求稳态值
)(?Lu
t=?时等效电路
V0)( ??Lu
t=0 3A
L
Lu
K R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H Lu
R1
R2
R3
第三步,求时间常数 ?
s)(5.0
2
1 ???
R
L?
321 || RRRR ??
t=0 3A
L L
uK
R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H L R2
R3 R1
L R
第四步, 将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0( ???Lu
0)( ??Lu
s5.0??
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
?
?
?
?
??
????
?????
?
第五步, 画过渡过程曲线（由初始值 ?稳态值）
V4)( 2 tL etu ???
起始值 -4V
t
Lu
稳态值
0V
已知：开关 K 原在,3”位置，电容未充电。
当 t ＝ 0 时,K合向,1”
t ＝ 20 ms 时,K再 从,1”合向,2”
求,? ? ? ?titu
C,
例 4
3
+
_
U1
3V
K
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ
Cu
i
+
_
U2
5V
1k
2
R3
0)0( ??Cu
解, 第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms,K,3?1）
? ? ? ? V000 ?? ?? CC uu ? ? mA30
1
1 ???
R
U
i
R1
+
_ U1 3V R2
i
Cu
初始值
K
+
_ U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
0)0( ??Cu
稳态值 第一阶段（ K,3?1）
? ? V21
21
2 ??
?
?? U
RR
Ru
C
? ?
mA1
21
1
?
?
??
RR
U
i
R1
+
_ U
1
3V R
2
i
Cu
K
+
_ U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
时间常数
??? k
3
2//
21 RRR d
ms2?? CR d?
第一阶段（ K,3?1）
R1
+
_ U1 3V R2
i
Cu
C
K
+
_ U1 3V
1
R1
R2
1k
2k
C
3μ Cu
i
3
? ? ?teffftf ?? ?????? )()0()()(
? ? ? ? )V(000 ?? ?? CC uu
? ? )V(21
21
2 ??
?
?? U
RR
Ru
C
)(ms2?? CR d?
V 22)( 2tc etu ???
第一阶段（ t = 0 ~ 20 ms ）电压过渡过程方程,
? ? ?teffftf ?? ?????? )()0()()(
? ? mA21 2teti ???
? ? mA30
1
1 ???
R
Ui
? ? mA1
21
1 ?
?
??
RR
Ui
ms2?? CR d?
第一阶段 （ t = 0 ~ 20 ms） 电流过渡过程方程,
第一阶段波形图
20ms
t
2
)V(Cu
3
t
）（ mAi
20ms
1
说明,? ＝ 2 ms,5? ＝ 10 ms
20 ms > 10 ms,t=20 ms 时,可以认为电路
已基本达到稳态。
下一阶段
的起点 下一阶段
的起点
起始值
V2)ms20(
)ms20(
?? ?
?
C
C
u
u
第二阶段, 20ms ~
mA5.1
)ms20(
)ms20(
31
2
?
?
?
?
?
?
RR
uU
i
c
（ K由 1?2）
+
_ U2
R1
R3
R2
Cu
i
+
_
t=20 + ms 时等效电路
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
稳态值 第二阶段,(K:1?2)
mA25.1
)(
321
2
?
??
??
RRR
E
i
V5.2
)(
2
321
2
?
??
?? E
RRR
R
u
c
_
+ E
2
R1
R3
R2
Cu
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
时间常数
???? k1//)( 231 RRRR d
ms3?? CR d?
第二阶段,(K:1?2)
_ Cu
C
+ U
2
R1
R3
R2
i
K
U1
R1
+
_
+
_
U2
3V
5V
1k
1
2
R3
R2
1k
2k
C
3? Cu
i
第二阶段 （ 20ms ~） 电压过渡过程方程
V 5.05.2)20( 3
20?
?
???
t
C etu
ms3?? CR d?
V2)ms20( ??Cu
V5.2)( ??Cu
第二阶段 （ 20ms ~） 电流过渡过程方程
mA 25.025.1)20( 3
20??
???
t
eti
mA5.1)ms20( ??i
mA25.1)( ??i
ms3?? CR d?
V 22)( 2tc etu ???
第一阶段,
20ms t
2
2.5
Cu
(V)
V 5.05.2)20( 3
20??
???
t
c etu
第二阶段,
第一阶段,
mA 25.025.1)20( 3
20??
???
t
eti
3 1.5
t
1.25
i
1
(mA)
20ms
mA 21)( 2teti ???
第二阶段,
