海南风光
第 6讲
第五章
非正弦周期交流电路
非正弦周期交流电路
第五章
§ 5.1 概述
§ 5.2 非正弦周期交流 信号的分解
§ 5.3 非正弦周期交流电路 的分析
和计算
§ 5.4 非正弦周期交流 信号的平均
值、有效值、平均功率的计
算
非正弦周期交流信号的特点
? 不是正弦波
? 按周期规律变化
§ 5.1 概述
半波整流电路的输出信号
非正弦周期交流信号举例
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
交直流共存电路
+V
Es
计算机内的脉冲信号
T t
基波（和原
函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量
高次谐波
2 2 t
) 1 t
=
)
1
0
w
A m + +
+ + sin(
2
f
w
m
+
f w sin(
) (
A
A t f
….,
)s i n (
1
0 ?
?
=
++=
k
kkm tkAA fw
§ 5.2 非正弦周期交流 信号的分解
??
?
=
?
=
?+?+=?
11
0 c o ss in)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
周期函数
)()(
1
0 k
k
km tkS inAtf A ?ww +?+= ?
?
=
tkCtkB
tkAtkA
tktkA
tkA
kmkm
kkmkkm
kkkm
kkm
?+?=
?+?=
?+?=
+?
ww
w?w?
?w?w
?w
c o ss in
c o ss ins inc o s
)s inc o sc o s( s in
)s in (
?
?
?
???=
???=
??=
?
?
?
www
?
www
?
ww
?
2
0
2
0
2
0
0
)(c o s)(
1
)(s in)(
1
)()(
2
1
ttdktfC
ttdktfB
tdtfA
km
km
??
?
=
?
=
?+?+=??
11
0 c o ss in)(
k
km
k
km tkCtkBAtf www
教材 p202
(5-5)式
求出 A0,Bkm,Ckm便可得到原函数 )( tf w 的
展开式。 (参见教材 P203 例 5-1)
周期性方波
的分解 t
t
t
t
基波
直流分量
三次谐波
五次谐波 七次谐波
例
基波
直流分量
直流分量 +基波
三次谐波
直流分量 +基波 +三次谐波
频谱图
时域
)ts i nts i nt( s i nUU m ?+++= www
?
5
5
13
3
14
时域
周期性函数
频域
离散谱线
w
0
4 UU m =
?
U
mU
T
频域
w
3
0U
w3
5
0U
w5
t
§ 5.3 非正弦周期交流电路 的分析
和计算 要点
2,利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波
信号分别计算。
（ 注意,对交流各谐波的 XL,XC不同，对直
流 C 相当于开路,L相于短路。）
1,利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开
成若干种频率的谐波信号；
3,将以上计算结果，用 瞬时值迭加 。
例 1,方波信号激励的电路。
已知,
STI
CLR
m ?28.6 Aμ1 5 7
pF1 0 0 0 mH1 20
==
==?=
、
、、
求,
u
t
T/2 T
Si
mI
计算举例
R
L
C u
Si
第一步,将激励信号展开为傅里叶级数
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mO
IdtI
T
dtti
T
I === ? ?
直流分量,
谐波分量,
?
?
?
?
?
=?=
= ?
?
w
?
www
?
?
?
k
Itk
k
I
tdtktiB
m
m
Km
2
0
)c o s
1
(
)(s i n)(
1
0
2
0
K为偶数
K为奇数
0s i n
12
)(c o s)(
2
0
2
0
=?=
= ?
?
?
w
?
www
?
tk
k
I
tdtktiC
m
km
?k
IBCBA m
KmKmKmKm
222 ==+=
（ K为奇数）
01 == ?
Km
Km
K B
C
tg?
si
的最后展开式为,
tt
II
tkAIi
mm
K
K
KmS
ww
?
?w
3s i n
3
1
( s i n
2
2
)s i n (
1
0
++=
++= ?
?
=
）?++ tws i n
5
1
t
T/2 T
Si
mI
)5s i n
5
13s i n
3
1( s i n2
2
?++++= tttIIi mmS www
?
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si 5si
等效电源
IS0
1si 3si 5s
i
直流分量
μ A5.78
2
157
20
=== m
I
I
μ A1 0 0
14.3
57.122
1 =
?==
?
m
m
II
基波最大值
sT
I m
μ28.6
,μ A1 5 7
=
=
代入已知数据,得,
r a d / s10
1028.6
14.322 6
6
=
?
?
==
?T
?
w
μ A20
5
1
μ A3.33
3
1
15
13
==
==
mm
mm
II
II
三次谐波最大值
五次谐波最大值
角频率
A10s i n1 0 0 61 ?ti s =
A103s i n
3
1 0 0 6
3 ?ti s ?=
A5.780 ?=SI
A105s i n
5
1 0 0 6
5 ?ti s ?=
电流源 各频率的谐波分量为,
t
T/2 T
Si
mI
mV57.1
105.7820
6
00
=
??=
=
?
S
RIU
第二步 对 各种频率的谐波分量单独计算,
1,直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
对直流，电容相当于断
路；电感相当于短路。所
以输出的直流分量为,
u0
IS0
20Ω
R
L C
A5.780 ?=SI
2,基波 作用 ti s 61 10s i n1 0 0= Aμ
?=?=
?=
??
=
?
?
k11010
k1
101 0 0 010
11
36
1
126
1
L
C
w
w
?==?
?+
??+
=
k50
)(
)()(
)(
1
RC
L
R
XX
XXjR
jXjXR
Z
CL
CL
CL
w
RX L ??
20Ω
R
C
1si
u1
pF1 0 0 0
mH1
=
=
C
L
L
/sr ad10 6=w
K Ω50)( 1 =wZ
mV
2
5 0 0 0
50
2
101 0 0
(
6
111
=
?
?
=?=
?
）wZIU ??
20Ω
R
L C
1si
u1 A10s i n100 61 μti s =
3,三次谐波 作用
ti s 63 103s i n
3
1 0 0 ?= A?
20Ω
R
L C
3si
u3
???=
?+
?+
=
?
19.895.3 7 4
)(
))((
)3(
33
33
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
Ωk310103
33.0
101 0 0 0103
11
36
3
126
3
=??=
?=
???
=
?
?
L
K
C
w
w
???= ?19.895.3 7 4)3( 1wZ
?
??
19.895.374
2
10
3.33
)3(
6
133
????=
?=
?
wZIU
S
mV2.89
2
47.12 ???=
ti s 63 103s i n
3
1 0 0 ?= Aμ
4,五次谐波 作用
A105s i n
5
100 6
5 ?ti s ?=
???=
?+
?+
=
?
53.893.2 0 8
)5(
))((
)5(
55
55
1
CL
CL
XXjR
jXjXR
Z w
20Ω
R
L C
3si
u3
Ωk510105
)ΩK(2.0
101 0 0 0105
11
36
5
126
5
=??=
=
???
=
?
?
L
C
w
w
mV53.89
2
1 6 6.4
53.893.2 0 8
2
10
20
)5(
6
155
?
?
?
??=
????=
?= wZIU
s
??
???= ?53.893.208)5( 1wZ
A105s i n
5
100 6
5 ?ti s ?=
第三步 各 谐波分量计算结果 瞬时值 迭加,
mV)53.895s i n (166.4
)2.893s i n (47.12
s i n500057.1
5310
?
?
?+
?+
+?
+++=
t
t
t
uuuUu
w
w
w
mV57.10 =U mV2.89
2
47.12
3
???=U ?
mV
2
5 0 0 0
1 =U
?
mV53.89
2
166.4
5
?? ??=U
例 2,交、直流共存的电路。
求,
？
？
=
=
4
1
u
i
已知,
mV1 0 0 0s in240 te =
E=12 V
E1
+
_
R4
4k
i1
R1
R3
R2
C2
C1
u4
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
解题要点：交、直流分别计算；
直流和交流瞬时值结果迭加。
m A )(2.1
10
12
'
321
1
1
==
++
=
RRR
E
I
V0' 4 =U
(1) 直流电源作用 (E1作用,e 短路 )
E
1
+
_
R4
4k
i1
R1
R3
R2
C2
C1
u4
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
直流通道
(2) 交流电源作用 （ e 作用,E1 短路）
?=
??
==
1 0 0
10101 0 0 0
1
621 CC
XX
R3>>XC2 ?
（ C2称旁路电容）
223 )/ / ( CC jXjXR ???
u4"
i1"
R4
4k
R1
R3
R2
C2
C1
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+
?
?
以下介绍 近似计算法
（ C1称藕合电容）
C2也可视为短路
R2>>XC2 ?
?
?
i1"
u4"
R4
4k
R1
R3
R2
C2
C1
e
4k
4k
2k
10μ
10μ
_
+ 441 RRjX C ?+?
R4>>XC1 ?
同理
u4"
i1"
R4
4k
R1
R2
C1
e
4k
2k
_
+
简化后的交流通道
mV1 0 0 0s in220
2
1"
4
t
eu
=
=
对交流通道进行简化后的计算
A 1 0 0 0s i n25
1
"
4"
1
?t
R
u
i
?=
?=
最后结果：交、直流迭加
mV 1 0 0 0s i n220
"' 4 44
t
uuu
=
+=
直流分量
交流分量
i1
t
A 1000s i n251200
"' 1 11
?t
iii
?=
+=
计算非正弦周期交流电路应
注意的问题
1,最后结果只能是瞬时值迭加。
不同频率正弦量不能用相量相加。
2,不同频率对应的 XC,XL不同。
++++? 5310 www UUUUU ????
..,
§ 5.4,非正弦周期交流 信号
的平均值、有效值、平
均功率的计算
数学
预备知识
1,正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。
三角函数的正交性
?
?
=
=
?
?
ww
ww
2
0
2
0
0)(c o s
0)(s in
ttdk
ttdk
k
（ 为整数）
?ww
?ww
?
?
=
=
?
?
)(c o s
)(s in
2
0
2
2
0
2
ttdk
ttdk
2,在一个周期内的积分为 。 2 2cos,sin ?
k
（ 为整数）
3,三角函数的正交性
0)(s ins in
0)(c o sc o s
0)(s inc o s
2
0
2
0
2
0
=?
=?
=?
?
?
?
tdtptk
ttdptk
ttdptk
www
www
www
?
?
?
? ?pk ?
一、非正弦周期函数的平均值
若
)(s in)(
1
0 k
k
km tkUUtu ?ww ++= ?
?
=
0
2
0
)(
2
1
UtdtuU AV == ?
?
ww
?
则其平均值为,(直流分量 )
正弦量的平均值为 0
二、非正弦周期函数的有效值
)s in ()(
1
0 k
k
km tkUUtu ?ww ++= ?
?
=
若
则有效值, ? ?
? ? )(s i n
2
1
)(
2
1
2
2
0
1
0
2
0
2
tdtkUU
tdtuU
k
kkm
w?w
?
ww
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
++=
=
?
=
2
2
2
2
1
2
0
1
2
2
0
??????+++=
+= ?
?
=
UUU
U
UU
k
km
结论：周期函数的有效值为直流分量及
各次谐波分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得,
三、非正弦周期交流电路平均功率的计算
? ?=
T
dtiu
T
P
0
1
)s in ()(
1
0 k
k
km tkUUtu ?ww ++= ?
?
=
)s in ()(
1
0 kk
k
km tkIIti ??ww ?++= ?
?
=
结论,
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
..,.,.
)( c o s
210
1
00
+++=
?=+= ?
?
=
PPP
IUIUP
kikukkk
k
k
????
利用三角函数的正交性，整理后得,