海南风光
第 10讲
第 6章
电路的暂态分析（ 2）
§ 6.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 6.5 含有多个储能元件的一阶电路
第 6章 电路的暂态分析
?tC Uetu ??)(
上节课内容复习
? ? 00 ??Cu
?/)( t
R Uetu
??
Cu t u
R
U
? ? Uu C ??0
?tC UeUtu ???)(
?/)( t
R Uetu
???
Cu
t uR
U
-U
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
RC??
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
问题：在 t<0时电路已处于
稳定状态,。在 t=0时，开
关 K由 2合向 1，在 t=T时，
开关 K由 1合向 2。求 t?0的
uC和 uR。设 T>5?,?=RC
?tC UeUtu ???)(t=0 ~T,
t=T ~ ?,
?
)()( Tt
C UeTtu
????
Cu
t
U
-U T
Cu t u
R
U
Cu
t uR
U
-U
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
Cu t u
R
U
t=0 ~T,?/)( t
R Uetu
??
t=T ~ ?,?/)()( Tt
R UeTtu
?????
Ru
U
-U
t T Cu t
uR
U
-U
Cu
t
U
-U
T
Ru
§ 6.4 脉冲激励下的 RC电路
C R iu ou
t T
U
iu
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
iu
?tC UeUtu ???)(
?
)()( Tt
C UeTtu
????
t
U
-U T
t=0 ~T,
t=T ~ ?,
设 T>5?,?=RC
uC
单
个
脉
冲
激
励
下
的
R
C
电
路
t T
U
iu
ou
C
R
iu
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
iu
?/)()( Tt
R UeTtu
?????
?/)( t
R Uetu
??t=0 ~T,
t=T ~ ?,
设 T>5?,?=RC
U
-U
t T u
R
单
个
脉
冲
激
励
下
的
R
C
电
路
条件,如果 T >>τ
此电路称为微分电路
电路的输出近似为输入信号的微分
微分电路
C
R
iu ou
dt
duRCiRu C
R ??
CRCi uuuuT ?????,?当
dt
duRC i?T
t U
iu
t
ou
uC
输入上跳，输出产生正脉冲
输入下跳，输出产生负脉冲
C
R
iu ou
T >>τ
T 2T 3T 4T
U
2U
-U
练习
ui
uo
请问 uC的波形如何？
条件,τ>> T 积分电路
电路的输出近似
为输入信号的积分
iu
t
T
E
ou
t
C
R
iu
ou
C
R
iu
ou
序列脉冲激励下的 RC电路
T
U
iu
t 2T
-U 设 T>5?,?=RC
uC
uR
Cu
t
U
-U
T
Ru
t T
U
iu
T<5 τ 设 T= τ
U
-U
T 2T
0.63U
0.63U -0.63?0.63U
uo
uR -0.63U
如果 ui是连续脉冲,uo和 uR的波形如何?
ui
C
R
iu ou
uR
t
iu U
2T T 3T 4T 5T
Cu
U
ou
U
( 稳定后 )
U 2
C R
iu
ou
T<5 τ
?
Cu
ou
U 2
t
t
以横轴上下对称,以 0.5 U上下对称,
ou Cu
U1,U2可用三要素法求出。
C
R
iu
ou
Cu
U2
U1
5? >> T时稳定后的波形
U
三要素方程,
? ? ? ?
? ?
? ?
??
?
?
?
????
??????
?
?
?
TteUtu
TeUUUtu
Tt
t
2T
t0
22
11
?
?
Cu U 2
t
U
U2
U1
T 2T 0
)(2 tu
)(1 tu
?
两式联立求解得,
??
?
/2/
/
1 11 TT
T
e
U
U
e
eU
U ??
?
?
?
?
?
(2)
?/
212 )2(
TeUUTu ???
当 t=2T时,
---------
(1)
?/
121 )()(
TeUUUUTu ?????
当 t=T时,
---
?
? 标记页仅供参考，不做要求。
Uu
dt
duRC
dt
udLC
C
CC ???
2
2
一般情况下，电路中若包含 多个 储能元件，所列
微分方程 不是一阶 的，属高阶过渡过程。这种电路
不能简单用三要素法求解。如,
§ 6.5 含有多个储能元件的一阶电路
+
_
C
R U
i
L
有些情况，电路中虽然含有多个储能元件，但仍是一阶电
路，仍可用三要素法求解。本节主要讨论这种电路。
Uuuu CLR ???
dt
duCi C?
2
2
)( dt udLCdtduCdtdLdtdiLu CCL ???
含有多个储能元件的电路，其中储能元件若能
通过串并联关系用一个等效，则该电路仍为一阶电路
。如,
6.5.1 多个储能元件可串并联的一阶电路
+
_ U
C +
_ U
C1
C2 C
3
132
132
CCC
CCCC
??
??? ）（该电路求解方法 仍可用三要素法
6.5.2 初始值不独立的一阶电路
有的时候，多个储能元件虽不能通过串并联关系
等效成一个储能元件，但所列方程仍是一阶的，所
以仍是一阶电路。如,
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1Cu
2Cu
i
证明
(2) U u u
c c? ?2 1
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1 ????
(1)
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
整理后得,
2
1
21
1
21 )
11()(
R
Uu
RRdt
duCC
C
C ????
此方程为一阶微分方程，所以该电路是一阶电路。
dt
duC
R
uU
dt
duC
R
u CCCC 1
2
2
11
1
1
1 ????
将 (2)代入 (1)得,
U u uc c? ?2 1
(2)
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1 ????
(1)
去除电路中的独立源（电压源短路、电流源开路）,
然后判断电路中的储能元件能否等效为一个。若能,
则为一阶电路 ; 反之不是一阶电路。如,
判断含多个储能元件的电路,是否为一阶电路的方法,
R1
R2
C1
C2
C2 R1 R2 C1 R C
R1
R2
C1
C2
U
该电路是
一阶电路
因为该电路是一阶
电路，所以过渡过
程可以用“三要素
”法求解。
? ? U
RR
R
u C
21
2
2 ???
稳态值,（ 1）
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
)(2 ?tu C
求以下电路的过渡过程
? ? ? ? ? ?21
21
21
2121 //// CCRR
RR
CCRR ?
?
????
时间常数,（ 2）
C2 R1 R2 C1
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
初始值,（ 3）
假设 C1,C2两电容换
路前均未充电。即,
若根据换路定理,t > 0+时应有,
V0)0()0( 21 ?? ?? CC uu
0)0()0( 21 ?? ?? CC uu
根据克氏定律应有,
U)0()0( 21 ?? ?? CC uu
两式矛盾,
换路定理在
此不能用 !
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路不能用换路定理
的原因,在于此电路的
特殊性和换路定理的局
限性。
一般电路中不能提供无穷大的电流，所以换路定理
是对的。而在该电路中，换路瞬间两电容将电源直接
短路，若将电源视为理想的，电路中将会有无穷大的
电流冲击。因此,换路定理在此不能用。
换路定理的依据是,
在换路瞬间电容上的电
压不能突变，否则电流
???
dt
du
Ci C
。
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路求初始值
的依据有两条,
? ? ? ? Uuu CC ?? ?? 00 21
（ 1）克氏定律
（ 2）换路瞬间，两电容电荷的变化量一样。即,
? ? ? ? ? ? ? ?]00[]00[ 222111 ???? ??? CCCC uuCuuC
?Q1 ?Q2
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ????? ??? 0000 222111 CCCC uuCuuC
若,? ? ? ?
000 21 ?? ?? CC uu
? ? ? ??? ? 00 2211 CC uCuC则,（ 1）
（ 1）、（ 2）联立可得,
? ? U
CC
Cu
C
21
1
2 0 ??
?
（ 2） ? ? ? ?
Uuu CC ?? ?? 00 21
? ? U
CC
Cu
C
21
2
1 0 ??
?
三要素,
? ? U
CC
Cu
C
21
1
2 0 ??
?
? ?21
21
21 CC
RR
RR ?
?
? ? U
RR
Ru
C
21
2
2 ???
?/
21
2
21
1
21
2
2 )(
t
C UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
过渡过程方程,
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
??
6.5.3 脉冲分压器电路的分析
该电路常用于电子测量仪器中
和,然后令其
单独作用。
将方波信号 分解为
用迭加法。
'ui "u
i
iu
t
iu
T
U
t
'ui U
t "ui
-U
R1
C1 ui
C2
R2
uo
(一 ) 单独作用
'ui
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
根据前面分析，该电路过渡过程方程为,
t
'ui U
'uo
C1
C2
R2
R1
+
-
K
'ui
单独作用时输出波形和电路参数的关系
'ui
U
RR
R
21
2
?
参数配置,
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
时,当
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
'uo
t t
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
当 时,
U
CC
C
21
1
?
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
t
'ui
U
U
RR
R
21
2
?
'uo
t
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
当 时,
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
U
RR
R
21
2
?
U
CC
C
21
1
?
'uo
t t
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
结论
只有
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
时，输出和输入波形
才相似，否则将产生
失真。
'uo
t
U
RR
R
21
2
?
?/
21
2
21
1
21
2
)(
t
o
eU
RR
R
CC
C
U
RR
R
tu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
2
21
1
RR
R
CC
C
???
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
t
'ui
U
(二 ) 单独作用
"ui
?/)(
21
2
21
1
21
2 )()( Tt
o eURR
R
CC
C
U
RR
R
Tt"u ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
根据前面分析，该电路过渡过程方程为,
t "ui
-U
T
"uo
C1
C2
R2
R1
+
- "ui
K
单独作用时，输出波形和输入波形的关系。
"ui
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
U
RR
R
21
2
?
?
t
"uo
T t "ui
-U
T
'ui
"ui
T
U
t
iu
(三 ) 和 共同作用的结果,
"ui'ui "u'uu ooo ??
21
1
CC
CC
?
??
21
2
RR
RR
?
??
令, ou
T
t "uo
'uo
t
?C=?R
U
RR
R
21
2
?
?
U
RR
R
21
2
?
?C >?R ?C< ?R
脉冲分压器的应用
---示波器测脉冲电压
iu C0寄生
电容
C1
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
01
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
01
1
RR
R
CC
C
?
?
?
ou
R1
iu R2
CO
Y
例,C1
C2 uC1
uC2 U R
C1 =2000P
C2 =3000P
U=10V
R=20k? 0)0(
0)0(
2
1
?
?
?
?
C
C
u
u
0)0(,0)0( 21 ?? ?? CC uu?
V6)0(
21
2
1 ???
? U
CC
Cu
C V4)0(
21
1
2 ???
? U
CC
Cu
C
ms1.0)( 21 ??? CCR?
?? )(1Cu
U=10V 0
V410)106(10)( //1 ?? ttC eetu ?? ?????
V4)04(0)( //2 ?? ttC eetu ?? ????
?? )(2Cu
uC1
uC2
10
6
4
0
u（ V）
t（ ms） ?
§ 6.7 正弦激励下一阶电路的过渡过程
大量的用电场合，激励信号是正弦交流
电。那么，在交流电激励情况下，换路
瞬间电路中会出现过渡过程吗？
问题的提出,
交流电激励下电路的过渡过程
假设 t=0时,K闭合。换路前 。 0)0( ??
Cu
经过一定时间后才能进入新稳态，即存
在过渡过程。
Cu
t = 0
R k
+
_ C Cuu
? ?um tUu ?? ?? s i n
t
u
u?
换路后方程,
)s in ( umCc tUu
dt
duRC ?? ???
t=0时 K 闭合
0)0( ??Cu已知：换路前
? ?um tUu ?? ?? s i n
求一阶微分方程的解,
CCC uuu "' ??
t = 0
R k
+
_ C Cuu
强制分量（稳态解）,
)( u
C
C
C UUUjXR
jXU ???
?
?? ???
90
22
?? ???
?
? ?? u
C
C
C U
XR
XU
)(1
R
Xtg C?? ??
Cu'
][s i n'
22
c
C
mC
C t
XR
UX
u ?? ?
?
?
t = 0
R K
+
_ C Cuu
??? ??? ?90uC
其中,
Cu"
自由分量（瞬态解）,
齐次方程的通解
0?? cc u
dt
duRC
? ? ??? /
22
s i n
"')(
t
C
C
mC
CCC
eAt
XR
UX
uutu
?
??
?
?
??
全解,
?t
C Aeu
??" RC??
其中
t = 0
R k
+
_ C Cuu
根据起始条件确定 A,
? ? A
CR
UX
u CmCC ?
?
?? ?s in)0(
22
全解,
? ? ? ? ???? /
]s in0[s in
"')(
t
CcmCCcm
CCC
eUutU
uutu
?? ?????
??
? ?
22
s in0
C
mC
cm
CcmC
XR
UX
U
UuA
?
?
??
?
?
??? ??? ?90uC
结论,
??? ??? ?90uC
22
C
mC
cm
XR
UX
U
?
?
(1) 不仅与电路参数 R,C 有关，而且与 有关。 C?? ?tu
C
(2) 由 可见 实际上与 （ K 闭合时刻）有
关 。
? ?tuC u?C?
?
?
??
?
? ?? ?
R
Xtg C1?
?
由电路参数决定,
? ? ? ? ???? /
]s in0[s in
"')(
t
CcmCCcm
CCC
eUutU
uutu
?? ?????
??
其中,
??? ???
?
? ?90,
22 uC
mC
cm
CR
UX
U
表明电路无过渡过程，接通电源后立即进入稳态 。
如果
0)0( ??Cu
则 ? ?
tUu cmC ?s i n?
讨论
情况 (一 ) 则
0?C??? ?? ?90 u
若
? ? ? ? ???? /]s i n0[s i n tCcmCCcmC eUutUu ?? ?????
情况 (二 )
? ? ? ? ?? /90s i n tcmcmC eUtUtu ???? ?
则 如果
0)0( ??Cu
此时电路存在过渡过程。
其中,
??? ???
?
? ?90,
22 uC
mC
cm
CR
UX
U
? ? ? ? ???? /]s i n0[s i n tCcmCCcmC eUutUu ?? ?????
??? 90
C?
若
1s i n ??C?
则
t
CCC uuu "'
??
?/" t
cmC eUu
??
? ???? 90s in' tUu cmC ?
? ? ? ? ?? /90s i n tcmcmC eUtUtu ???? ?
注意：如果 τ较大,uc的最大值可能接近 2Ucm
小 结
在交流电路的过渡过程中，电路的过渡过程与换
路时刻有关。
结论 1,
? ? ? ? ???? /]s i n0[s i n tCcmCCcmC eUutUu ?? ?????
??? ??? ?90uC
稳态分量 ? ?
CcmC tUu ?? ?? s i n'
CcmC UU ?s i n)0( ?
?
自由分量中的常数
都与合闸时
初相位有关
(2) 电路可能存在过渡过程，而且 uc 上可能出
现 2Ucm的高电压。（在进行电路设计，选
择元件的耐压值时应特别注意）。
结论 2,
(1) 电路有可能直接进入稳态；
换路时刻，电源电压初始相位不同的情况下,
第 10讲
第 6章
电路的暂态分析（ 2）
§ 6.4 脉冲激励下的 RC电路
§ 6.5 含有多个储能元件的一阶电路
第 6章 电路的暂态分析
?tC Uetu ??)(
上节课内容复习
? ? 00 ??Cu
?/)( t
R Uetu
??
Cu t u
R
U
? ? Uu C ??0
?tC UeUtu ???)(
?/)( t
R Uetu
???
Cu
t uR
U
-U
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
RC??
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
问题：在 t<0时电路已处于
稳定状态,。在 t=0时，开
关 K由 2合向 1，在 t=T时，
开关 K由 1合向 2。求 t?0的
uC和 uR。设 T>5?,?=RC
?tC UeUtu ???)(t=0 ~T,
t=T ~ ?,
?
)()( Tt
C UeTtu
????
Cu
t
U
-U T
Cu t u
R
U
Cu
t uR
U
-U
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
Cu t u
R
U
t=0 ~T,?/)( t
R Uetu
??
t=T ~ ?,?/)()( Tt
R UeTtu
?????
Ru
U
-U
t T Cu t
uR
U
-U
Cu
t
U
-U
T
Ru
§ 6.4 脉冲激励下的 RC电路
C R iu ou
t T
U
iu
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
iu
?tC UeUtu ???)(
?
)()( Tt
C UeTtu
????
t
U
-U T
t=0 ~T,
t=T ~ ?,
设 T>5?,?=RC
uC
单
个
脉
冲
激
励
下
的
R
C
电
路
t T
U
iu
ou
C
R
iu
R K
+
_ C CuU
uR
1
2
iu
?/)()( Tt
R UeTtu
?????
?/)( t
R Uetu
??t=0 ~T,
t=T ~ ?,
设 T>5?,?=RC
U
-U
t T u
R
单
个
脉
冲
激
励
下
的
R
C
电
路
条件,如果 T >>τ
此电路称为微分电路
电路的输出近似为输入信号的微分
微分电路
C
R
iu ou
dt
duRCiRu C
R ??
CRCi uuuuT ?????,?当
dt
duRC i?T
t U
iu
t
ou
uC
输入上跳，输出产生正脉冲
输入下跳，输出产生负脉冲
C
R
iu ou
T >>τ
T 2T 3T 4T
U
2U
-U
练习
ui
uo
请问 uC的波形如何？
条件,τ>> T 积分电路
电路的输出近似
为输入信号的积分
iu
t
T
E
ou
t
C
R
iu
ou
C
R
iu
ou
序列脉冲激励下的 RC电路
T
U
iu
t 2T
-U 设 T>5?,?=RC
uC
uR
Cu
t
U
-U
T
Ru
t T
U
iu
T<5 τ 设 T= τ
U
-U
T 2T
0.63U
0.63U -0.63?0.63U
uo
uR -0.63U
如果 ui是连续脉冲,uo和 uR的波形如何?
ui
C
R
iu ou
uR
t
iu U
2T T 3T 4T 5T
Cu
U
ou
U
( 稳定后 )
U 2
C R
iu
ou
T<5 τ
?
Cu
ou
U 2
t
t
以横轴上下对称,以 0.5 U上下对称,
ou Cu
U1,U2可用三要素法求出。
C
R
iu
ou
Cu
U2
U1
5? >> T时稳定后的波形
U
三要素方程,
? ? ? ?
? ?
? ?
??
?
?
?
????
??????
?
?
?
TteUtu
TeUUUtu
Tt
t
2T
t0
22
11
?
?
Cu U 2
t
U
U2
U1
T 2T 0
)(2 tu
)(1 tu
?
两式联立求解得,
??
?
/2/
/
1 11 TT
T
e
U
U
e
eU
U ??
?
?
?
?
?
(2)
?/
212 )2(
TeUUTu ???
当 t=2T时,
---------
(1)
?/
121 )()(
TeUUUUTu ?????
当 t=T时,
---
?
? 标记页仅供参考，不做要求。
Uu
dt
duRC
dt
udLC
C
CC ???
2
2
一般情况下，电路中若包含 多个 储能元件，所列
微分方程 不是一阶 的，属高阶过渡过程。这种电路
不能简单用三要素法求解。如,
§ 6.5 含有多个储能元件的一阶电路
+
_
C
R U
i
L
有些情况，电路中虽然含有多个储能元件，但仍是一阶电
路，仍可用三要素法求解。本节主要讨论这种电路。
Uuuu CLR ???
dt
duCi C?
2
2
)( dt udLCdtduCdtdLdtdiLu CCL ???
含有多个储能元件的电路，其中储能元件若能
通过串并联关系用一个等效，则该电路仍为一阶电路
。如,
6.5.1 多个储能元件可串并联的一阶电路
+
_ U
C +
_ U
C1
C2 C
3
132
132
CCC
CCCC
??
??? ）（该电路求解方法 仍可用三要素法
6.5.2 初始值不独立的一阶电路
有的时候，多个储能元件虽不能通过串并联关系
等效成一个储能元件，但所列方程仍是一阶的，所
以仍是一阶电路。如,
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1Cu
2Cu
i
证明
(2) U u u
c c? ?2 1
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1 ????
(1)
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
整理后得,
2
1
21
1
21 )
11()(
R
Uu
RRdt
duCC
C
C ????
此方程为一阶微分方程，所以该电路是一阶电路。
dt
duC
R
uU
dt
duC
R
u CCCC 1
2
2
11
1
1
1 ????
将 (2)代入 (1)得,
U u uc c? ?2 1
(2)
dt
duC
R
u
dt
du
C
R
u
i CCC 22
2
21
1
1
1 ????
(1)
去除电路中的独立源（电压源短路、电流源开路）,
然后判断电路中的储能元件能否等效为一个。若能,
则为一阶电路 ; 反之不是一阶电路。如,
判断含多个储能元件的电路,是否为一阶电路的方法,
R1
R2
C1
C2
C2 R1 R2 C1 R C
R1
R2
C1
C2
U
该电路是
一阶电路
因为该电路是一阶
电路，所以过渡过
程可以用“三要素
”法求解。
? ? U
RR
R
u C
21
2
2 ???
稳态值,（ 1）
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
)(2 ?tu C
求以下电路的过渡过程
? ? ? ? ? ?21
21
21
2121 //// CCRR
RR
CCRR ?
?
????
时间常数,（ 2）
C2 R1 R2 C1
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
初始值,（ 3）
假设 C1,C2两电容换
路前均未充电。即,
若根据换路定理,t > 0+时应有,
V0)0()0( 21 ?? ?? CC uu
0)0()0( 21 ?? ?? CC uu
根据克氏定律应有,
U)0()0( 21 ?? ?? CC uu
两式矛盾,
换路定理在
此不能用 !
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路不能用换路定理
的原因,在于此电路的
特殊性和换路定理的局
限性。
一般电路中不能提供无穷大的电流，所以换路定理
是对的。而在该电路中，换路瞬间两电容将电源直接
短路，若将电源视为理想的，电路中将会有无穷大的
电流冲击。因此,换路定理在此不能用。
换路定理的依据是,
在换路瞬间电容上的电
压不能突变，否则电流
???
dt
du
Ci C
。
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
该电路求初始值
的依据有两条,
? ? ? ? Uuu CC ?? ?? 00 21
（ 1）克氏定律
（ 2）换路瞬间，两电容电荷的变化量一样。即,
? ? ? ? ? ? ? ?]00[]00[ 222111 ???? ??? CCCC uuCuuC
?Q1 ?Q2
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ????? ??? 0000 222111 CCCC uuCuuC
若,? ? ? ?
000 21 ?? ?? CC uu
? ? ? ??? ? 00 2211 CC uCuC则,（ 1）
（ 1）、（ 2）联立可得,
? ? U
CC
Cu
C
21
1
2 0 ??
?
（ 2） ? ? ? ?
Uuu CC ?? ?? 00 21
? ? U
CC
Cu
C
21
2
1 0 ??
?
三要素,
? ? U
CC
Cu
C
21
1
2 0 ??
?
? ?21
21
21 CC
RR
RR ?
?
? ? U
RR
Ru
C
21
2
2 ???
?/
21
2
21
1
21
2
2 )(
t
C UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
过渡过程方程,
(t=0)
C1
C2
R2
R1
+
-
U
K
1cu
2cu
i
??
6.5.3 脉冲分压器电路的分析
该电路常用于电子测量仪器中
和,然后令其
单独作用。
将方波信号 分解为
用迭加法。
'ui "u
i
iu
t
iu
T
U
t
'ui U
t "ui
-U
R1
C1 ui
C2
R2
uo
(一 ) 单独作用
'ui
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
根据前面分析，该电路过渡过程方程为,
t
'ui U
'uo
C1
C2
R2
R1
+
-
K
'ui
单独作用时输出波形和电路参数的关系
'ui
U
RR
R
21
2
?
参数配置,
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
时,当
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
'uo
t t
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
当 时,
U
CC
C
21
1
?
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
t
'ui
U
U
RR
R
21
2
?
'uo
t
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
当 时,
?/
21
2
21
1
21
2)( t
o UeRR
R
CC
C
U
RR
R
tu ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
U
RR
R
21
2
?
U
CC
C
21
1
?
'uo
t t
'ui
U
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
结论
只有
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
时，输出和输入波形
才相似，否则将产生
失真。
'uo
t
U
RR
R
21
2
?
?/
21
2
21
1
21
2
)(
t
o
eU
RR
R
CC
C
U
RR
R
tu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
2
21
1
RR
R
CC
C
???
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
t
'ui
U
(二 ) 单独作用
"ui
?/)(
21
2
21
1
21
2 )()( Tt
o eURR
R
CC
C
U
RR
R
Tt"u ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
根据前面分析，该电路过渡过程方程为,
t "ui
-U
T
"uo
C1
C2
R2
R1
+
- "ui
K
单独作用时，输出波形和输入波形的关系。
"ui
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
U
RR
R
21
2
?
?
t
"uo
T t "ui
-U
T
'ui
"ui
T
U
t
iu
(三 ) 和 共同作用的结果,
"ui'ui "u'uu ooo ??
21
1
CC
CC
?
??
21
2
RR
RR
?
??
令, ou
T
t "uo
'uo
t
?C=?R
U
RR
R
21
2
?
?
U
RR
R
21
2
?
?C >?R ?C< ?R
脉冲分压器的应用
---示波器测脉冲电压
iu C0寄生
电容
C1
21
2
21
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
01
1
RR
R
CC
C
?
?
?
21
2
01
1
RR
R
CC
C
?
?
?
ou
R1
iu R2
CO
Y
例,C1
C2 uC1
uC2 U R
C1 =2000P
C2 =3000P
U=10V
R=20k? 0)0(
0)0(
2
1
?
?
?
?
C
C
u
u
0)0(,0)0( 21 ?? ?? CC uu?
V6)0(
21
2
1 ???
? U
CC
Cu
C V4)0(
21
1
2 ???
? U
CC
Cu
C
ms1.0)( 21 ??? CCR?
?? )(1Cu
U=10V 0
V410)106(10)( //1 ?? ttC eetu ?? ?????
V4)04(0)( //2 ?? ttC eetu ?? ????
?? )(2Cu
uC1
uC2
10
6
4
0
u（ V）
t（ ms） ?
§ 6.7 正弦激励下一阶电路的过渡过程
大量的用电场合，激励信号是正弦交流
电。那么，在交流电激励情况下，换路
瞬间电路中会出现过渡过程吗？
问题的提出,
交流电激励下电路的过渡过程
假设 t=0时,K闭合。换路前 。 0)0( ??
Cu
经过一定时间后才能进入新稳态，即存
在过渡过程。
Cu
t = 0
R k
+
_ C Cuu
? ?um tUu ?? ?? s i n
t
u
u?
换路后方程,
)s in ( umCc tUu
dt
duRC ?? ???
t=0时 K 闭合
0)0( ??Cu已知：换路前
? ?um tUu ?? ?? s i n
求一阶微分方程的解,
CCC uuu "' ??
t = 0
R k
+
_ C Cuu
强制分量（稳态解）,
)( u
C
C
C UUUjXR
jXU ???
?
?? ???
90
22
?? ???
?
? ?? u
C
C
C U
XR
XU
)(1
R
Xtg C?? ??
Cu'
][s i n'
22
c
C
mC
C t
XR
UX
u ?? ?
?
?
t = 0
R K
+
_ C Cuu
??? ??? ?90uC
其中,
Cu"
自由分量（瞬态解）,
齐次方程的通解
0?? cc u
dt
duRC
? ? ??? /
22
s i n
"')(
t
C
C
mC
CCC
eAt
XR
UX
uutu
?
??
?
?
??
全解,
?t
C Aeu
??" RC??
其中
t = 0
R k
+
_ C Cuu
根据起始条件确定 A,
? ? A
CR
UX
u CmCC ?
?
?? ?s in)0(
22
全解,
? ? ? ? ???? /
]s in0[s in
"')(
t
CcmCCcm
CCC
eUutU
uutu
?? ?????
??
? ?
22
s in0
C
mC
cm
CcmC
XR
UX
U
UuA
?
?
??
?
?
??? ??? ?90uC
结论,
??? ??? ?90uC
22
C
mC
cm
XR
UX
U
?
?
(1) 不仅与电路参数 R,C 有关，而且与 有关。 C?? ?tu
C
(2) 由 可见 实际上与 （ K 闭合时刻）有
关 。
? ?tuC u?C?
?
?
??
?
? ?? ?
R
Xtg C1?
?
由电路参数决定,
? ? ? ? ???? /
]s in0[s in
"')(
t
CcmCCcm
CCC
eUutU
uutu
?? ?????
??
其中,
??? ???
?
? ?90,
22 uC
mC
cm
CR
UX
U
表明电路无过渡过程，接通电源后立即进入稳态 。
如果
0)0( ??Cu
则 ? ?
tUu cmC ?s i n?
讨论
情况 (一 ) 则
0?C??? ?? ?90 u
若
? ? ? ? ???? /]s i n0[s i n tCcmCCcmC eUutUu ?? ?????
情况 (二 )
? ? ? ? ?? /90s i n tcmcmC eUtUtu ???? ?
则 如果
0)0( ??Cu
此时电路存在过渡过程。
其中,
??? ???
?
? ?90,
22 uC
mC
cm
CR
UX
U
? ? ? ? ???? /]s i n0[s i n tCcmCCcmC eUutUu ?? ?????
??? 90
C?
若
1s i n ??C?
则
t
CCC uuu "'
??
?/" t
cmC eUu
??
? ???? 90s in' tUu cmC ?
? ? ? ? ?? /90s i n tcmcmC eUtUtu ???? ?
注意：如果 τ较大,uc的最大值可能接近 2Ucm
小 结
在交流电路的过渡过程中，电路的过渡过程与换
路时刻有关。
结论 1,
? ? ? ? ???? /]s i n0[s i n tCcmCCcmC eUutUu ?? ?????
??? ??? ?90uC
稳态分量 ? ?
CcmC tUu ?? ?? s i n'
CcmC UU ?s i n)0( ?
?
自由分量中的常数
都与合闸时
初相位有关
(2) 电路可能存在过渡过程，而且 uc 上可能出
现 2Ucm的高电压。（在进行电路设计，选
择元件的耐压值时应特别注意）。
结论 2,
(1) 电路有可能直接进入稳态；
换路时刻，电源电压初始相位不同的情况下,
