第 零 章 矢 量 分 析
标量场和矢量场
标量场的梯度
矢量场的通量与散度
矢量场的环量与旋度
亥姆霍兹定理
电磁场的特殊形式
第 0章 矢量分析
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Vector Analysis
第 零 章 矢 量 分 析
场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中
任一个点都有一个确定的标量或矢量 。
例如，在直角坐标下,
0.1 标量场和矢量场
])2()1[( π4
5),,(
222 zyxzyx ????? ?
标量场
zyx x y zzxxyzyx eee ??? 222),,(A
矢量场
如温度场、电位场、高度场等；
如流速场、电场、涡流场等。
Scalar Field and Vector Field
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第 零 章 矢 量 分 析
c o n s t),,( ?zyxh
其方程为,
图 0.1.1 等高线
(1) 标量场 --等值线 (面 )
形象描绘场分布的工具 —— 场线
思考
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
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第 零 章 矢 量 分 析
z
A
y
A
x
A zyx
ddd ??
三维场
二维场
y
A
x
A yx
dd ?
图 0.1.2 矢量线
矢量场 --矢量线
0d ?? lA
其方程为,
在直角坐标下,
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0.2 标量场的梯度
Gradient of Scalar Field
设一个标量函数 ? (x,y,z)，若函数 ? 在点 P 可
微，则 ? 在点 P 沿任意方向 的方向导数为 l
)c o s,c o s,( c o s),,( ??????? ?????????? zyxl
),z,y,x( ??????? ???g )c o s,c o s,( c o s ????le
设
式中,,分别是任一方向 与 x,y,z 轴的夹角 ? ? ? l
),c o s (|| lll eggeg ????? ?
则有,
当, 最大 0),( ??
lg e?
l?
?? 下 页 上 页 返 回
第 零 章 矢 量 分 析
????? g r a d??????????? zyx zyx eee
—— 梯度 (gradient)
—— 哈密顿算子
)z,y,x( ????????式中
图 0.1.3 等温线分布
梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即
最大方向导数 。
?
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
梯度的意义
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第 零 章 矢 量 分 析
例 0.2.1 三维高度场的梯度
图 0.2.1 三维高度场的梯度
高度场的梯度 与过该点的等
高线垂直；
数值等于该点位移的最大变
化率；
指向地势升高的方向。
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第 零 章 矢 量 分 析
例 0.2.2 电位场的梯度
图 0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 与过该点的
等位线垂直；
数值等于该点的最大方向导数；
指向电位增加的方向。
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第 零 章 矢 量 分 析
0.3 矢量场的通量与散度
0.3.1 通量 ( Flux )
矢量 E 沿有向曲面 S 的面积分
SE d??? SΦ
若 S 为闭合曲面
根据通量的大小判断闭合面中源的性质,
? ?? SΦ SE d
Flux and Divergence of Vector
? > 0 (有正源 ) ? < 0 (有负源 ) ? = 0 (无源 )
图 0.3.2 矢量场通量的性质 下 页 上 页 返 回
图 0.3.1 矢量场的通量
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0.3.2 散度 ( Divergence )
如果包围点 P 的闭合面 ?S 所围区域 ?V 以任
意方式缩小到点 P 时,
ASA d i vdlim 10 ?????? SVV
——— 散度 (divergence)
z
A
y
A
x
A
?
?
?
?
?
? ?????? zyxAAd iv
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第 零 章 矢 量 分 析
散度的意义
在矢量场中，若 ?? A= ?? 0，称之为有源场,?
称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 ?? A=0,称
之为无源场。
矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
散度代表矢量场的通量源的分布特性。
(无源） 0??? A (正源 ) ???? A (负 源 ) ????? A
图 0.3.3 通量的物理意义
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0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )
? ???? ??? SVV SA A dlim 10
图 0.3.4 散度定理
通量元密度
—— 高斯公式 ?? ????
VS VASA d d
矢量函数的面积分与体积分的相互转换。
??? ?????????
?
??? ??
VS
Φ dV Vlimd
1n
n
0V
n
n
AASA
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0.4 矢量场的环量与旋度
0.4.1 环量 ( Circulation )
矢量 A 沿空间有向闭
合曲线 L 的线积分
—— 环量
? ?? LΓ lA d
环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线
旋转趋势的大小。
Circulation and Rotation of Vector Field
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图 0.4.1 环量的计算
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水流沿平行于水管轴线方向流动,?= 0，无涡
旋运动。
例,流速场
图 0.4.2 流速场
流体做涡旋运动,?? 0，有产生涡旋的源。
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0.4.2 旋度 ( Rotation )
1,环量密度
过点 P 作一微小曲面 ?S，它的边界曲线记为
?L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当
?S ?点 P 时，存在极限
?? ??? ?? LSSΓ S lΑ d1limdd 0
—— 环量密度
环量密度是单位面积上的环量。
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第 零 章 矢 量 分 析
2,旋度
旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大
值；其方向为最大环量密度的方向
AA ???r o t
—— 旋度 (curl)
zyx
zyx
AAA
zyx ?
?
?
?
?
?
???
eee
A
n) (d
d eA ????
S
Γ ne － S 的法线方向
它与环量密度的关系为
在直角坐标下,
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第 零 章 矢 量 分 析
3,旋度的物理意义
矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其
方向是最大环量密度的方向。
在矢量场中，若 ??A=J? 0 称之为 旋度场（或
涡旋场）,J 称为 旋度源（或涡旋源）。
若矢量场处处 ??A= 0,称之为无 旋场。
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4,斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。
图 0.4.3 斯托克斯定理
n)(d
d eA ????
S
Γ
SAeA d)(d)(d n ???????? SΓ
SA)lA d(d ????? ?? Sl
—— 斯托克斯 定理
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在电磁场理论中,高斯 定理 和 斯托克斯 定理 是
两个非常重要的公式。
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0.5 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理,
在有限区域内，矢量场由它的 散度、旋度 及 边
界条件 惟一地确定。
已知,矢量 A的通量源密度
矢量 A的旋度源密度
场域边界条件
（矢量 A 惟一地确定）
电荷密度 ?
电流密度 J
场域边界条件
在电磁场中
Hymherze Theorem
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例 0.5.1 试判断下列各图中矢量场的性质。
???
???
F
F 0
?0
???
???
F
F
0
?0 ??? ??? FF
0
0
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第 零 章 矢 量 分 析
0.6 特殊形式的电磁场
如果在经过某一轴线 ( 设为 z
轴） 的一族平行平面上，场 F 的
分布都相同，即 F= f（ x,y）,
则称这个场为平行平面场。
1,平行平面场
Special Forms of Electromagnetic Field
如无限长直导线产生的电场 。
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0
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如果在经过某一轴线
( 设为 z 轴 )的一族子午面
上，场 F 的分布都相同，
即 F=f（ r,?），则称这个
场为轴对称场。
2,轴对称场
如螺线管线圈产生的
磁场；有限长直带电导线
产生的电场。
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3,球面对称场
如果在一族同心球面上（设球心在原点），场
F 的分布都相同,即 F= f（ r），则称这个场为球
面对称场。
如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。
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0
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第 零 章 矢 量 分 析
作 业
0
0
3
1
?????
????
?
?
??
?
?
A
,
rr
,
rr
,
rr
?
zzyyxx
zyx
zyx
AAA
zyx
zyx
zyx
eeeA
eeer
eeer
???
?
???????
???
),,(??
2,
3,
式中,
试证明下列各题,
1,
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