第 五 章 准静态电磁场
第五章 准静态电磁场
Quasistatic Electromagnetic Field
序
电磁兼容简介
导体交流内阻抗
涡流及其损耗
集肤效应与邻近效应
电准静态场与电荷驰豫
磁准静态场与集总电路
电准静态场与 磁准静态场
下 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。
位移电流远小于传导电流，可忽略
t?
?D
利 用静态场的方法求解出电 (磁 )准静态场的电 (磁 )
场后，再用 Maxwell方程求解与之共存的磁 (电 )场。
感应电场远小于库仑电场，可忽略
t?
?Β
解题方法,
5.0 序
Introduction
电准静态场 （ Electroquasistatic） 简写 EQS
下 页 上 页 返 回
磁准静态场 （ Magnetoquasistatic ） 简写 MQS
第 五 章 准静态电磁场
本 章 要 求
了解 EQS和 MQS的共性和个性,
掌握工程计算中简化为准静态场的条件；
掌握准静态场的计算方法。
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第 五 章 准静态电磁场
)0( ??? tB)0( ??
?
t
D
准静态电磁场知识结构
（忽略推迟效应）
时变电磁场
动态场（高频） 准静态电磁场
似稳场 电磁波 磁准静态场 电准静态场
具有静态电磁场的特点
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第 五 章 准静态电磁场
电准静态场
特点,电场的有源无旋性与静电场相同，称为
电准静态 （ EQS） 。
用洛仑兹规范,得到 泊松方程 t?????? ???A
???? /,22 ?????? JA
?
?
??????
?
?
???????
?
?
????
DE
JB
D
JH
,0
,0,
tt
5.1 电准静态场和磁准静态场
Electroquasistatic and Magnetoquasistatic
下 页 上 页 返 回
若库仑电场远大于涡旋电场，忽略二次源 的
作用，即
t?
?B
0?iE
第 五 章 准静态电磁场
若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 的
作用，即 0?
DJ
t?
?D
0,/
0,0,
?????????
?????????
DBE
JBJH
t
特点,磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称
为磁准静态场 （ MQS） 。
磁准静态场
用库仑规范,得到 泊松方程 0??? A
???? /,22 ?????? JA 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
EQS 与 MQS 的共性与个性 思考
下 页 上 页
满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 没有
波动性。
A,?
在任一时刻 t,两种电场分布一致，解题方法相同。
EQS场的磁场按 计算。
t?
????? DJH
EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程,
在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，
两者相互依存。
返 回
第 五 章 准静态电磁场
MQS场 的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程,
在任一时刻 t,两种磁场分布一致，解题方法相同。
MQS场的电场按 计算。
t?
????? BE
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第 五 章 准静态电磁场
SJ d?? S SJSJSJ d d d 3 32 21 1 ??? ?????? SSS
0iii 321 ????
即集总电路的基尔霍夫电流定律
? ? 0i
1,证明基尔霍夫电流定律
5.2 磁准静态场与集总电路
MQS Filed and Circuit
在 MQS 场中,
0??? J 0d ??? SJ
S
下 页 上 页 返 回 图 5.2.1 结点电流
第 五 章 准静态电磁场
时变场中
??? ??????????? Sl eRcil t SBlEEEElE dd)(d
电容
电阻
? ?Rl R lE d ? ??
Rl
lJ d? ?? iSl? RuRi ?
2,证明基尔霍夫电压定律
??? cl c lE d ? ??
cl S
tq ld)(
?
?)(1 tqc Cu??? lD d cl ?
下 页 上 页 返 回 图 5.2.2 环路电压
第 五 章 准静态电磁场
有
CLRS uuutict
iLRiu ?????? ? d1
d
d
即集总电路的基尔霍夫电压定律 ? ? 0u
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电感
Lut ?d
d? ??
?
??? ?? SBlE
i dd Sl t
i
电源
ssl e ue ????? lE d
第 五 章 准静态电磁场
在导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过
程称为 电荷驰豫 。
设导电媒质 均匀，且各向同性，在 EQS
场中
??,
t?
????? ?J
0??
?
? ?
?
??
t
?? /DJ ?
???? D
5.3 电准静态场与电荷驰豫
EQS Field and Charge Relaxation
5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程
（ Charge Relaxation Process in Uniform Conductive Medium)
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第 五 章 准静态电磁场
式中 为 时的电荷分布, ━ 驰
豫时间,说明在导体中，若存在体分布的电荷，该
电荷在导体通电时随时间迅速衰减，电荷分布在导
体表面。
o? ?? /?eτ0t ?
其解为 et??? ?? e
o
0??
?
? ?
?
??
t
如：带电导体旁边突然放臵异性电荷后重新分
布电荷的过程；或导体充电达到平衡的过程。
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第 五 章 准静态电磁场
在 EQS 场中,
eτ
t
0
2 e1
?
????? ?????
? ???
?
V s
SrVrtr e dπ4deπ4),( τ
t
0
?
?
?
??
其解为
思考
说明导体中体电荷 产生的电位很快衰减，
导体电位由面电荷决定。
?
导电媒质中，以 分布的电荷在通电时驰豫何方？ ?
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??? ? S Srr e dπ4e)( τ
t
0 ?
??
第 五 章 准静态电磁场
5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
有
??
?
??
? ???????
?
??????? SlSlS
tSJSJ 21n2n1 2
1
2
1 ???
当 时，有 0l ??
0n1n2 ????? tJJ ?
0)()( n11n22n11n22 ?????? EEtEE ????
,/d tqS ?????? SJ
根据
??? n1n2 DD根据 EJ ?? 及
图 5.3.1 导体分界面
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第 五 章 准静态电磁场
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
解, 极板间是 EQS场
SEbEa U?? 21
分界面衔接条件
0)()( 11221122 ?????? EEtEE ????
解方程,得面电荷密度为
)e1( τ
t
12
2112 ??
?
??
sUbaσ ??
????
?
例 5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压
源的过渡过程，写出分界面上面电荷密度 的表达式。
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图 5.3.2 双层有损介质的平板
电容器
第 五 章 准静态电磁场
在导体表面处的场量强、电
流大，愈深入导体内部，场量减
弱、电流减小。
5.4.1 集肤效应 ( Skin Effect )
图 5.4.1 集肤效应的产生
5.4 集肤效应与邻近效应
Skin Effect and Proximate Effect
概念 1 时变场中的良导体
在正弦电磁场中，,
满足 的材料称 为良导体，良导体可以忽
略位移 电流，属于 MQS场。
EEJJJ ????? ??? jDC ????
??? ??
概念 2 集肤效应
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第 五 章 准静态电磁场
在正弦稳态下，电流密度满足 扩散方程
JJ ?? 22 k??
式中
?? ? ? ?jk )j1(2/ ?? ? ?
??? )j1(1d ?? j?
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
)()( 22 xJkxJ yy ?? ??
通解
kxkxy CCxJ ee)( 21 ?? ?? 下 页 上 页 返 回
图 5.4.2 半无限大导体中
的集肤效应
第 五 章 准静态电磁场
由
EJ ?? ?? xx
y JxE
??
?
j
0 ee
1)( ??? ??
当 有限，故
y,Jx ??,02 ?C 01 )0( JJC y ?? ??
xxy JxJ ?? j0 ee)( ??? ??
则
通解
kxkxy CCxJ ee)( 21 ?? ??
xx
z
JkxH ??
? ? ?
j0 eej)( ????
??HE ?? ??j????由
?? j??k
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第 五 章 准静态电磁场
称为透入深度 （ skin depth）,其
大小反映电磁场衰减的快慢。
????
21d ??
当 x = x0 时,
0e)( 00 xy JxJ ???
当 x=x0+d 时,
)(
00 0e)(
dx
y JdxJ
???? ?
%8.36)(e 010 0 ??? ?? xJeJ yx?
d 表示电磁场衰减到原来值的 36.8% 所经过的距离。
当材料确定后,(衰减快 ) 电流不
均匀分布。
??? d?
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图 5.4.3 透入深度
第 五 章 准静态电磁场
5.4.2 邻近效应 （ Proximate Effect ）
靠近的导体通交变电流时，所产生的相互影响，称
为 邻近效应 。
频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近
效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
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图 5.4.4 单根交流汇流排的
集肤效应
图 5.4.5 两根交流汇流排的邻近效应
第 五 章 准静态电磁场
5.5.1 涡流 （ Eddy Current ）
当导体臵于交变的磁场中，与
磁场正交的曲面上将产生闭合的感
应电流，即涡流 。 其特点,
工程应用：叠片铁心（电机、变压器、电抗器
等）、电磁屏蔽、电磁炉等。
图 5.5.1 涡流
5.5 涡流及其损耗
Eddy Current and Loss
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热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
去磁效应 涡流产生的磁场反对原磁场的变化。
第 五 章 准静态电磁场
5,5,2 涡流场分布 （ Eddy Field Distribution）
以变压器铁芯叠片为例，研究涡流场分布。
假设,
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,场量仅是 x 的函数；
ah,l ??
,故 E,J 分布在 x0y 平面，且仅有 y分量；
zzB eB ?
磁场呈 y 轴对称，且 x = 0 时,。
0BB z ?? ?
图 5.5.2 变压器铁芯叠片 图 5.5.3 薄导电平板的简化物理模型
第 五 章 准静态电磁场
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（ 扩散方程 ）
zz
z k
x
k HHHHH ??
??? 2
2
2
22 j
d
d ????? ? ? ?
图 5.5.4 薄导电平板
?/)(ch0 kxBH Z ?? ?
)(ch0 kxBB z ?? ?
)(sh0 kxJJ y ?? ?
得到 解方程
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第 五 章 准静态电磁场
式中 2/? ???K )j1(j ???? Kk ??
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxBB
z
?
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxJJ
y
?
结论,
图 5.5.5 模值分
布曲线 yz JB,
和 的幅值分别为
zB? yJ?
下 页 上 页
去磁效应,薄板中心处磁场最小；
0?yJ
集肤效应,电流密度奇对称于 y 轴，表面密
度大，中心处 。
返 回
第 五 章 准静态电磁场
)2c o s2ch(21
0
KxKxBB z ??
2/K ? ? ?? 2/ax ?
50
500
1
3.2
5.44.4
2.2
7.0
Hzf / mma / Ka 0/ BBz
2000
5.0
5.0
5.0
a 为钢片厚度
工程应用 曲线表示材料的集肤程
度。以电工钢片为例，设
KxBB z 2~/ 0
S / m10,1 0 0 0 70 ?? ??? 。
图 5.5.6 电工钢片
的集肤效应
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第 五 章 准静态电磁场
?1/ 0 ?BB z
当, 时，得到 mm05.0?a44.0?Ka
当, 时,集肤效应严重,
若频率不变，必须减小钢片厚度,
Hz2000?fmm5.0?a
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可以不考虑集肤效应。
第 五 章 准静态电磁场
5.5.3 涡流损耗 （ Eddy Loss）
体积 V中导体损耗的平均功率为
KaKa
KaKaKalhBVP
V zye c o sch
s i nsh
2d
1 22
av
2
?
??? ?
?
?
? J
?
下 页 上 页
若要减少 Pe,必须减小 （采
用硅钢），减小 a（采用叠片），提高 （但要考
虑磁滞损耗。）
，??? 1,,,aP e ? ?
?
研究涡流问题具有实际意义（高频淬火、涡
流的热效应、电磁屏蔽等）。
返 回
第 五 章 准静态电磁场
5.6 导体的交流阻抗
Conductor’s Impedance
与静态场的电路参数相比，交流电阻和电感是
增大还是减小？
直流或低频交流
S
lR
?
?
高频交流
SHE d)(1 *2 ? ???? S
I
Z ??
XR j??思考
电流均匀分布
集肤、去磁效应 电流不均匀分布
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第 五 章 准静态电磁场
安培环路定律
?
?
? ?? eeH
)(0 e
π2π2
???? akII
??
例 5.6.1 计算圆柱导体的交流参数（设透入深度 ） ad ??
,无反射，电流不均匀分布 ad ??
)(0 e ???? akII?
解：在 MQS 场中,
Z???? ?HES ??~
EγH ?? ????I
L
?? ??? lH d
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图 5.6.1 圆柱导体
第 五 章 准静态电磁场
??
?
??
?
?
?? )(11
????? HE z
?? )(0 e
π2
?
??
??? akkI
?? H
k ??
??
?? H?)j1(
2 ??
? ???? ?SIZ SHE d)(1 2
0
?? S
I S
d)j1(
2
(1 2
0
? ?????? ?? ?????? HH ??
)j1(π22 ?? al???
根据
zzE eH ?? ????
有
其中
??
?
?
??
2π2,2π2 a
lL
a
lXR ???
下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
?
??
2π2 a
lR ?
22π 2
?? ?
? ???
a
a
l
d
aR
2?? 直
思考
1,交流电阻 R 随 的增加而增大 ?
由于,故,且随 的增加而增
大，这是 集肤效应的结果 。
直RR ?ad ?? ?
?
??
22
1
π a
lR ?
?
?
a
a
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第 五 章 准静态电磁场
??
?
?
?
a
lL
22
1
8
8
π
???
?? ?
? 22
π8
???
a
l
a
dL 2??
直
2,自感 L 随 的增加而减小 ?
LL ?直 由于,故,且随 的增加而增
大，这是 去磁效应的结果 。
ad ?? ?
??
?
2π2 a
lL ?
下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
5.7 电磁兼容简介
电磁兼容 是在有限空间、时间、频谱资源条件下，
各种用电设备（生物）可以共存，不会引起降级的
一门科学。即电磁干扰与抗电磁干扰问题。
雷电、太阳黑子、磁暴、沙暴、地球磁场等。
电磁干扰源
人为干扰源 自然干扰源
核电脉冲
通信系统
静电放电
气体放电灯
电牵引系统
电力传输系统
荧光灯、高压汞灯、放电管等
产生的放电噪音； 身着化纤衣物、脚穿与地绝缘的
鞋子的人运动时，会积累一定静
电荷，当人接触金属后会放电；
各种无线电广播、电视台、雷
达站、通信设备等工作时，都
要辐射强能量的电磁波。
继电器接触开断、核磁共振检
测 ……
电气化铁道、有轨无轨电车上
的受电弓与电网线间的放电和
电力电子器件整流后的电流谐
波分量（ 0.1~150 kHz） ；
高压传输线绝缘子的电晕放电；
高压传输线中电流与电压的谐波
分量；高压传输线之间的邻近效
应 ……
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第 五 章 准静态电磁场
抗电磁干扰的两个主要措施：接地,电磁屏蔽 。
接 地
在金属体与大地之间建立低阻抗电路。 如设备外
壳接地，建筑体安装避雷针等，使雷电、过电流、漏
电流等直接引入大地。
系统内部带电体接参考点（不一定与大地相连）。
如每一楼层的参考点，仪器的“机壳接地”,高压带
电操作等。以保证设备、系统内部的电磁兼容。
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保护接地
工作接地
第 五 章 准静态电磁场
应当避免屏蔽的谐振现象 当电磁波频率与屏蔽体
固有频率相等时，发生谐振,使屏蔽效能急剧下降,
甚至加强原电磁场。
磁屏蔽 在低频或恒定磁场中，利用磁通总是走磁
阻小的路径的原理，采用有一定厚度的铁磁材料。
)2( dh ???
电磁屏蔽 在高频下，利用电磁波在良导体中很快
衰减的原理,选择 d 小且具有一定厚度
的金属（非铁磁）材料。
电屏蔽 在任何频率下，利用电力线总是走电阻小
的路径的原理，采用金属屏蔽材料，且接地。
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第 五 章 准静态电磁场
证明,从 Maxwell 方程出发，在 EQS 中
???????? EE 0
ABB ??????? 0同理
t?
????? DJH
t?
?????????? ???? )(2 AJA即
t?
????? ???A取 洛仑兹规范 JA ???? 2得到
证明 EQS 场中 满足泊松方程
?、Α
???? D ??? ????? )(
?
?? ??? 2
t?
???????? )( ???? JA
返 回
第 五 章 准静态电磁场
证明：从 Maxwell 方程出发，在 MQS 场中
ABB ??????? 0
同理
t?
????? BE
???? D
得到
?
?? ??? 2
JA ???? 2取 库仑规范 0??? A
证明 MQS 场中 满足泊松方程 ?、Α
JH ??? JΑΑA ???????????? 2)(
0)( ?????? tAE t?
????? AE ?
??? ???????? )( tA ??? ???????? At2
返 回
第 五 章 准静态电磁场
消去 E1
特征根,
12
12
12
12,1
??
???
???
??
ba
ba
ba
bap
?
????
?
??? （驰豫时间）
sEbEa U?? 21 0)(
d
d)(
11221122 ???? EEtEE ????
和
已建立方程
导电媒质分界面电荷分布
通解
22222 ee EAEAEEE
t
pt ????????????? ? ?（ 2）
ss UtUEbat
Eba
d
d)(
d
d)(
11212212 ?????? ?????
（ 1）
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第 五 章 准静态电磁场
sUt,E时，??
均不随 t 变化
确定,对式（ 1）积分,t 从,
且
?? ? 00
0)0(0)0( 2 ?? ?? EU
)0(2 ?E
sUbaE
12
1
2 ??
?
??
??
从式 (1)得稳态解 （ 3）
sUbaE
12
1
2 )0( ??
?
?
?? 2"ΕΑ ＋＝
得 （ 4）
)(
12
1
12
1
??
?
??
?
baba
UA s
?
?
?
?
式（ 3） 代入式（ 4）
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第 五 章 准静态电磁场
同理可得 )(
1 tE
τ
t
12
1
12
2
12
2
1 e) ()(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
baba
UU
ba
tE ss
面电荷密度
)e1()()( τ
t
12
2112
1122
?
?
?
????
sUbatEtEσ ??
??????
τ
t
12
1
12
1
12
1
2 e) ()(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
baba
UU
ba
tE ss
得
0?? 当 时,0t? ?，??t = 常数
导体媒质充电瞬间，分界面上会有累积的面电荷 。
2112 ???? ? 0??
（当媒质参数满足 时,）
思考 什么条件下不出现面电荷？
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第 五 章 准静态电磁场
推导扩散方程
利用 0??? B )(2 EH ??????
tt ?
??
?
?? HB ???
t?
??? HH ??2
BEEE ???????????????? t2)(
对 取旋度
t?
????? BE
对 取旋度,JH ???
JHHH ????????????? 2)(
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第 五 章 准静态电磁场
利用
0,0 ???? E?
tt ?
????
?
??? EHE ??? )(2
在正弦电磁场中，令,有扩散方程 ? ??jk ?
2
HH ?? 22 k?? EE ?? 22 k?? JJ ?? 22 k??
t?
??? JJ ??2所以
t?
??? EE ??2
?/JE ?
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第 五 章 准静态电磁场
涡流场方程的解
kxkxz CCxH ee)( 21 ?? ??
由对称条件 )2/()2/( aHaH
zz ?? ??
kakakaka CCCC 2
2212221 eeee
?? ???
zz
z HkH
x
H ??? 2
2
2
j
d
d ?? ???方程 的通解
即 )(ch)( kxCxH
z ??CCC 5.021 ??
故
当 x = 0 时,?/)0( 0BCH Z ?? ??
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第 五 章 准静态电磁场
?/)0( 0BCH Z ?? ??
和 的幅值分别为
zB? yJ?
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxBB
z
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxJJ
y
?
根据
，HJ ?? ??? )(sh)(sh)(
00 kxJkxBkxJ y ?
??
??? ?
)(sh)(sh)( 00 kxEkxBkxE y ?
??
??? ??
)(ch)( 0 kxBxH z
?
??
?
和
)(ch)( 0 kxBxB z ?? ?
所以
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第 五 章 准静态电磁场
双层铜皮屏蔽室门 下 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
双层铜皮屏蔽室门 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
屏 蔽 室 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
屏蔽实验控制室 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
屏蔽室接地器 上 页 返 回
第五章 准静态电磁场
Quasistatic Electromagnetic Field
序
电磁兼容简介
导体交流内阻抗
涡流及其损耗
集肤效应与邻近效应
电准静态场与电荷驰豫
磁准静态场与集总电路
电准静态场与 磁准静态场
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第 五 章 准静态电磁场
低频时，时变电磁场可以简化为准静态场。
位移电流远小于传导电流，可忽略
t?
?D
利 用静态场的方法求解出电 (磁 )准静态场的电 (磁 )
场后，再用 Maxwell方程求解与之共存的磁 (电 )场。
感应电场远小于库仑电场，可忽略
t?
?Β
解题方法,
5.0 序
Introduction
电准静态场 （ Electroquasistatic） 简写 EQS
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磁准静态场 （ Magnetoquasistatic ） 简写 MQS
第 五 章 准静态电磁场
本 章 要 求
了解 EQS和 MQS的共性和个性,
掌握工程计算中简化为准静态场的条件；
掌握准静态场的计算方法。
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第 五 章 准静态电磁场
)0( ??? tB)0( ??
?
t
D
准静态电磁场知识结构
（忽略推迟效应）
时变电磁场
动态场（高频） 准静态电磁场
似稳场 电磁波 磁准静态场 电准静态场
具有静态电磁场的特点
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第 五 章 准静态电磁场
电准静态场
特点,电场的有源无旋性与静电场相同，称为
电准静态 （ EQS） 。
用洛仑兹规范,得到 泊松方程 t?????? ???A
???? /,22 ?????? JA
?
?
??????
?
?
???????
?
?
????
DE
JB
D
JH
,0
,0,
tt
5.1 电准静态场和磁准静态场
Electroquasistatic and Magnetoquasistatic
下 页 上 页 返 回
若库仑电场远大于涡旋电场，忽略二次源 的
作用，即
t?
?B
0?iE
第 五 章 准静态电磁场
若传导电流远大于位移电流，忽略二次源 的
作用，即 0?
DJ
t?
?D
0,/
0,0,
?????????
?????????
DBE
JBJH
t
特点,磁场的有旋无源性与恒定磁场相同，称
为磁准静态场 （ MQS） 。
磁准静态场
用库仑规范,得到 泊松方程 0??? A
???? /,22 ?????? JA 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
EQS 与 MQS 的共性与个性 思考
下 页 上 页
满足泊松方程，说明 EQS 和 MQS 没有
波动性。
A,?
在任一时刻 t,两种电场分布一致，解题方法相同。
EQS场的磁场按 计算。
t?
????? DJH
EQS 场的电场与静电场满足相同的微分方程,
在 EQS 和 MQS 场中，同时存在着电场与磁场，
两者相互依存。
返 回
第 五 章 准静态电磁场
MQS场 的磁场与恒定磁场满足相同的基本方程,
在任一时刻 t,两种磁场分布一致，解题方法相同。
MQS场的电场按 计算。
t?
????? BE
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第 五 章 准静态电磁场
SJ d?? S SJSJSJ d d d 3 32 21 1 ??? ?????? SSS
0iii 321 ????
即集总电路的基尔霍夫电流定律
? ? 0i
1,证明基尔霍夫电流定律
5.2 磁准静态场与集总电路
MQS Filed and Circuit
在 MQS 场中,
0??? J 0d ??? SJ
S
下 页 上 页 返 回 图 5.2.1 结点电流
第 五 章 准静态电磁场
时变场中
??? ??????????? Sl eRcil t SBlEEEElE dd)(d
电容
电阻
? ?Rl R lE d ? ??
Rl
lJ d? ?? iSl? RuRi ?
2,证明基尔霍夫电压定律
??? cl c lE d ? ??
cl S
tq ld)(
?
?)(1 tqc Cu??? lD d cl ?
下 页 上 页 返 回 图 5.2.2 环路电压
第 五 章 准静态电磁场
有
CLRS uuutict
iLRiu ?????? ? d1
d
d
即集总电路的基尔霍夫电压定律 ? ? 0u
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电感
Lut ?d
d? ??
?
??? ?? SBlE
i dd Sl t
i
电源
ssl e ue ????? lE d
第 五 章 准静态电磁场
在导体中，自由电荷体密度随时间衰减的过
程称为 电荷驰豫 。
设导电媒质 均匀，且各向同性，在 EQS
场中
??,
t?
????? ?J
0??
?
? ?
?
??
t
?? /DJ ?
???? D
5.3 电准静态场与电荷驰豫
EQS Field and Charge Relaxation
5.3.1 电荷在均匀导体中的驰豫过程
（ Charge Relaxation Process in Uniform Conductive Medium)
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第 五 章 准静态电磁场
式中 为 时的电荷分布, ━ 驰
豫时间,说明在导体中，若存在体分布的电荷，该
电荷在导体通电时随时间迅速衰减，电荷分布在导
体表面。
o? ?? /?eτ0t ?
其解为 et??? ?? e
o
0??
?
? ?
?
??
t
如：带电导体旁边突然放臵异性电荷后重新分
布电荷的过程；或导体充电达到平衡的过程。
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第 五 章 准静态电磁场
在 EQS 场中,
eτ
t
0
2 e1
?
????? ?????
? ???
?
V s
SrVrtr e dπ4deπ4),( τ
t
0
?
?
?
??
其解为
思考
说明导体中体电荷 产生的电位很快衰减，
导体电位由面电荷决定。
?
导电媒质中，以 分布的电荷在通电时驰豫何方？ ?
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??? ? S Srr e dπ4e)( τ
t
0 ?
??
第 五 章 准静态电磁场
5.3.2 电荷在分片均匀导体中的驰豫过程
有
??
?
??
? ???????
?
??????? SlSlS
tSJSJ 21n2n1 2
1
2
1 ???
当 时，有 0l ??
0n1n2 ????? tJJ ?
0)()( n11n22n11n22 ?????? EEtEE ????
,/d tqS ?????? SJ
根据
??? n1n2 DD根据 EJ ?? 及
图 5.3.1 导体分界面
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第 五 章 准静态电磁场
结论 电荷的驰豫过程导致分界面有累积的面电荷。
解, 极板间是 EQS场
SEbEa U?? 21
分界面衔接条件
0)()( 11221122 ?????? EEtEE ????
解方程,得面电荷密度为
)e1( τ
t
12
2112 ??
?
??
sUbaσ ??
????
?
例 5.3.1 研究双层有损介质平板电容器接至直流电压
源的过渡过程，写出分界面上面电荷密度 的表达式。
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图 5.3.2 双层有损介质的平板
电容器
第 五 章 准静态电磁场
在导体表面处的场量强、电
流大，愈深入导体内部，场量减
弱、电流减小。
5.4.1 集肤效应 ( Skin Effect )
图 5.4.1 集肤效应的产生
5.4 集肤效应与邻近效应
Skin Effect and Proximate Effect
概念 1 时变场中的良导体
在正弦电磁场中，,
满足 的材料称 为良导体，良导体可以忽
略位移 电流，属于 MQS场。
EEJJJ ????? ??? jDC ????
??? ??
概念 2 集肤效应
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第 五 章 准静态电磁场
在正弦稳态下，电流密度满足 扩散方程
JJ ?? 22 k??
式中
?? ? ? ?jk )j1(2/ ?? ? ?
??? )j1(1d ?? j?
设半无限大导体中，电流
沿 y 轴流动，则有
)()( 22 xJkxJ yy ?? ??
通解
kxkxy CCxJ ee)( 21 ?? ?? 下 页 上 页 返 回
图 5.4.2 半无限大导体中
的集肤效应
第 五 章 准静态电磁场
由
EJ ?? ?? xx
y JxE
??
?
j
0 ee
1)( ??? ??
当 有限，故
y,Jx ??,02 ?C 01 )0( JJC y ?? ??
xxy JxJ ?? j0 ee)( ??? ??
则
通解
kxkxy CCxJ ee)( 21 ?? ??
xx
z
JkxH ??
? ? ?
j0 eej)( ????
??HE ?? ??j????由
?? j??k
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第 五 章 准静态电磁场
称为透入深度 （ skin depth）,其
大小反映电磁场衰减的快慢。
????
21d ??
当 x = x0 时,
0e)( 00 xy JxJ ???
当 x=x0+d 时,
)(
00 0e)(
dx
y JdxJ
???? ?
%8.36)(e 010 0 ??? ?? xJeJ yx?
d 表示电磁场衰减到原来值的 36.8% 所经过的距离。
当材料确定后,(衰减快 ) 电流不
均匀分布。
??? d?
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图 5.4.3 透入深度
第 五 章 准静态电磁场
5.4.2 邻近效应 （ Proximate Effect ）
靠近的导体通交变电流时，所产生的相互影响，称
为 邻近效应 。
频率越高，导体靠得越近，邻近效应愈显著。邻近
效应与集肤效应共存，它会使导体的电流分布更不均匀。
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图 5.4.4 单根交流汇流排的
集肤效应
图 5.4.5 两根交流汇流排的邻近效应
第 五 章 准静态电磁场
5.5.1 涡流 （ Eddy Current ）
当导体臵于交变的磁场中，与
磁场正交的曲面上将产生闭合的感
应电流，即涡流 。 其特点,
工程应用：叠片铁心（电机、变压器、电抗器
等）、电磁屏蔽、电磁炉等。
图 5.5.1 涡流
5.5 涡流及其损耗
Eddy Current and Loss
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热效应 涡流是自由电子的定
向运动，与传导电流有相同的热效应。
去磁效应 涡流产生的磁场反对原磁场的变化。
第 五 章 准静态电磁场
5,5,2 涡流场分布 （ Eddy Field Distribution）
以变压器铁芯叠片为例，研究涡流场分布。
假设,
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,场量仅是 x 的函数；
ah,l ??
,故 E,J 分布在 x0y 平面，且仅有 y分量；
zzB eB ?
磁场呈 y 轴对称，且 x = 0 时,。
0BB z ?? ?
图 5.5.2 变压器铁芯叠片 图 5.5.3 薄导电平板的简化物理模型
第 五 章 准静态电磁场
在 MQS 场中，磁场满足涡流场方程（ 扩散方程 ）
zz
z k
x
k HHHHH ??
??? 2
2
2
22 j
d
d ????? ? ? ?
图 5.5.4 薄导电平板
?/)(ch0 kxBH Z ?? ?
)(ch0 kxBB z ?? ?
)(sh0 kxJJ y ?? ?
得到 解方程
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第 五 章 准静态电磁场
式中 2/? ???K )j1(j ???? Kk ??
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxBB
z
?
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxJJ
y
?
结论,
图 5.5.5 模值分
布曲线 yz JB,
和 的幅值分别为
zB? yJ?
下 页 上 页
去磁效应,薄板中心处磁场最小；
0?yJ
集肤效应,电流密度奇对称于 y 轴，表面密
度大，中心处 。
返 回
第 五 章 准静态电磁场
)2c o s2ch(21
0
KxKxBB z ??
2/K ? ? ?? 2/ax ?
50
500
1
3.2
5.44.4
2.2
7.0
Hzf / mma / Ka 0/ BBz
2000
5.0
5.0
5.0
a 为钢片厚度
工程应用 曲线表示材料的集肤程
度。以电工钢片为例，设
KxBB z 2~/ 0
S / m10,1 0 0 0 70 ?? ??? 。
图 5.5.6 电工钢片
的集肤效应
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第 五 章 准静态电磁场
?1/ 0 ?BB z
当, 时，得到 mm05.0?a44.0?Ka
当, 时,集肤效应严重,
若频率不变，必须减小钢片厚度,
Hz2000?fmm5.0?a
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可以不考虑集肤效应。
第 五 章 准静态电磁场
5.5.3 涡流损耗 （ Eddy Loss）
体积 V中导体损耗的平均功率为
KaKa
KaKaKalhBVP
V zye c o sch
s i nsh
2d
1 22
av
2
?
??? ?
?
?
? J
?
下 页 上 页
若要减少 Pe,必须减小 （采
用硅钢），减小 a（采用叠片），提高 （但要考
虑磁滞损耗。）
，??? 1,,,aP e ? ?
?
研究涡流问题具有实际意义（高频淬火、涡
流的热效应、电磁屏蔽等）。
返 回
第 五 章 准静态电磁场
5.6 导体的交流阻抗
Conductor’s Impedance
与静态场的电路参数相比，交流电阻和电感是
增大还是减小？
直流或低频交流
S
lR
?
?
高频交流
SHE d)(1 *2 ? ???? S
I
Z ??
XR j??思考
电流均匀分布
集肤、去磁效应 电流不均匀分布
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第 五 章 准静态电磁场
安培环路定律
?
?
? ?? eeH
)(0 e
π2π2
???? akII
??
例 5.6.1 计算圆柱导体的交流参数（设透入深度 ） ad ??
,无反射，电流不均匀分布 ad ??
)(0 e ???? akII?
解：在 MQS 场中,
Z???? ?HES ??~
EγH ?? ????I
L
?? ??? lH d
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图 5.6.1 圆柱导体
第 五 章 准静态电磁场
??
?
??
?
?
?? )(11
????? HE z
?? )(0 e
π2
?
??
??? akkI
?? H
k ??
??
?? H?)j1(
2 ??
? ???? ?SIZ SHE d)(1 2
0
?? S
I S
d)j1(
2
(1 2
0
? ?????? ?? ?????? HH ??
)j1(π22 ?? al???
根据
zzE eH ?? ????
有
其中
??
?
?
??
2π2,2π2 a
lL
a
lXR ???
下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
?
??
2π2 a
lR ?
22π 2
?? ?
? ???
a
a
l
d
aR
2?? 直
思考
1,交流电阻 R 随 的增加而增大 ?
由于,故,且随 的增加而增
大，这是 集肤效应的结果 。
直RR ?ad ?? ?
?
??
22
1
π a
lR ?
?
?
a
a
下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
??
?
?
?
a
lL
22
1
8
8
π
???
?? ?
? 22
π8
???
a
l
a
dL 2??
直
2,自感 L 随 的增加而减小 ?
LL ?直 由于,故,且随 的增加而增
大，这是 去磁效应的结果 。
ad ?? ?
??
?
2π2 a
lL ?
下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
5.7 电磁兼容简介
电磁兼容 是在有限空间、时间、频谱资源条件下，
各种用电设备（生物）可以共存，不会引起降级的
一门科学。即电磁干扰与抗电磁干扰问题。
雷电、太阳黑子、磁暴、沙暴、地球磁场等。
电磁干扰源
人为干扰源 自然干扰源
核电脉冲
通信系统
静电放电
气体放电灯
电牵引系统
电力传输系统
荧光灯、高压汞灯、放电管等
产生的放电噪音； 身着化纤衣物、脚穿与地绝缘的
鞋子的人运动时，会积累一定静
电荷，当人接触金属后会放电；
各种无线电广播、电视台、雷
达站、通信设备等工作时，都
要辐射强能量的电磁波。
继电器接触开断、核磁共振检
测 ……
电气化铁道、有轨无轨电车上
的受电弓与电网线间的放电和
电力电子器件整流后的电流谐
波分量（ 0.1~150 kHz） ；
高压传输线绝缘子的电晕放电；
高压传输线中电流与电压的谐波
分量；高压传输线之间的邻近效
应 ……
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第 五 章 准静态电磁场
抗电磁干扰的两个主要措施：接地,电磁屏蔽 。
接 地
在金属体与大地之间建立低阻抗电路。 如设备外
壳接地，建筑体安装避雷针等，使雷电、过电流、漏
电流等直接引入大地。
系统内部带电体接参考点（不一定与大地相连）。
如每一楼层的参考点，仪器的“机壳接地”,高压带
电操作等。以保证设备、系统内部的电磁兼容。
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保护接地
工作接地
第 五 章 准静态电磁场
应当避免屏蔽的谐振现象 当电磁波频率与屏蔽体
固有频率相等时，发生谐振,使屏蔽效能急剧下降,
甚至加强原电磁场。
磁屏蔽 在低频或恒定磁场中，利用磁通总是走磁
阻小的路径的原理，采用有一定厚度的铁磁材料。
)2( dh ???
电磁屏蔽 在高频下，利用电磁波在良导体中很快
衰减的原理,选择 d 小且具有一定厚度
的金属（非铁磁）材料。
电屏蔽 在任何频率下，利用电力线总是走电阻小
的路径的原理，采用金属屏蔽材料，且接地。
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第 五 章 准静态电磁场
证明,从 Maxwell 方程出发，在 EQS 中
???????? EE 0
ABB ??????? 0同理
t?
????? DJH
t?
?????????? ???? )(2 AJA即
t?
????? ???A取 洛仑兹规范 JA ???? 2得到
证明 EQS 场中 满足泊松方程
?、Α
???? D ??? ????? )(
?
?? ??? 2
t?
???????? )( ???? JA
返 回
第 五 章 准静态电磁场
证明：从 Maxwell 方程出发，在 MQS 场中
ABB ??????? 0
同理
t?
????? BE
???? D
得到
?
?? ??? 2
JA ???? 2取 库仑规范 0??? A
证明 MQS 场中 满足泊松方程 ?、Α
JH ??? JΑΑA ???????????? 2)(
0)( ?????? tAE t?
????? AE ?
??? ???????? )( tA ??? ???????? At2
返 回
第 五 章 准静态电磁场
消去 E1
特征根,
12
12
12
12,1
??
???
???
??
ba
ba
ba
bap
?
????
?
??? （驰豫时间）
sEbEa U?? 21 0)(
d
d)(
11221122 ???? EEtEE ????
和
已建立方程
导电媒质分界面电荷分布
通解
22222 ee EAEAEEE
t
pt ????????????? ? ?（ 2）
ss UtUEbat
Eba
d
d)(
d
d)(
11212212 ?????? ?????
（ 1）
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第 五 章 准静态电磁场
sUt,E时，??
均不随 t 变化
确定,对式（ 1）积分,t 从,
且
?? ? 00
0)0(0)0( 2 ?? ?? EU
)0(2 ?E
sUbaE
12
1
2 ??
?
??
??
从式 (1)得稳态解 （ 3）
sUbaE
12
1
2 )0( ??
?
?
?? 2"ΕΑ ＋＝
得 （ 4）
)(
12
1
12
1
??
?
??
?
baba
UA s
?
?
?
?
式（ 3） 代入式（ 4）
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第 五 章 准静态电磁场
同理可得 )(
1 tE
τ
t
12
1
12
2
12
2
1 e) ()(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
baba
UU
ba
tE ss
面电荷密度
)e1()()( τ
t
12
2112
1122
?
?
?
????
sUbatEtEσ ??
??????
τ
t
12
1
12
1
12
1
2 e) ()(
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
baba
UU
ba
tE ss
得
0?? 当 时,0t? ?，??t = 常数
导体媒质充电瞬间，分界面上会有累积的面电荷 。
2112 ???? ? 0??
（当媒质参数满足 时,）
思考 什么条件下不出现面电荷？
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第 五 章 准静态电磁场
推导扩散方程
利用 0??? B )(2 EH ??????
tt ?
??
?
?? HB ???
t?
??? HH ??2
BEEE ???????????????? t2)(
对 取旋度
t?
????? BE
对 取旋度,JH ???
JHHH ????????????? 2)(
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第 五 章 准静态电磁场
利用
0,0 ???? E?
tt ?
????
?
??? EHE ??? )(2
在正弦电磁场中，令,有扩散方程 ? ??jk ?
2
HH ?? 22 k?? EE ?? 22 k?? JJ ?? 22 k??
t?
??? JJ ??2所以
t?
??? EE ??2
?/JE ?
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第 五 章 准静态电磁场
涡流场方程的解
kxkxz CCxH ee)( 21 ?? ??
由对称条件 )2/()2/( aHaH
zz ?? ??
kakakaka CCCC 2
2212221 eeee
?? ???
zz
z HkH
x
H ??? 2
2
2
j
d
d ?? ???方程 的通解
即 )(ch)( kxCxH
z ??CCC 5.021 ??
故
当 x = 0 时,?/)0( 0BCH Z ?? ??
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第 五 章 准静态电磁场
?/)0( 0BCH Z ?? ??
和 的幅值分别为
zB? yJ?
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxBB
z
2
1
0 )2c o s2ch(2
1
??
?
??
? ?? KxKxJJ
y
?
根据
，HJ ?? ??? )(sh)(sh)(
00 kxJkxBkxJ y ?
??
??? ?
)(sh)(sh)( 00 kxEkxBkxE y ?
??
??? ??
)(ch)( 0 kxBxH z
?
??
?
和
)(ch)( 0 kxBxB z ?? ?
所以
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第 五 章 准静态电磁场
双层铜皮屏蔽室门 下 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
双层铜皮屏蔽室门 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
屏 蔽 室 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
屏蔽实验控制室 下 页 上 页 返 回
第 五 章 准静态电磁场
屏蔽室接地器 上 页 返 回
