第 一 章 静 电 场
第一章 静电场
Steady Electric Field
基本方程、分界面上的衔接条件
边值问题、惟一性问题
分离变量法
有限差分法
镜像法和电轴法
电容和部分电容
静电能量与力
静电场的应用
环路定律、高斯定律
电场强度和电位
序
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第 一 章 静 电 场
1.0 序
静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的
电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由
此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推
广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
本章要求
深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等
概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握
电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场,电位,电
容、能量、力的各种计算方法。
Introduction
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第 一 章 静 电 场
静电参数 (电容及部分电容 ) 静电能量与力
有限差分法 镜像法,电轴法 分离变量法 直接积分法
数值法 解析法
边值问题 边界 条件 电位 ?
基本方程 D 的散度
基本物理量 E,D
基本实验定律（库仑定律）
静电场知识结构
E 的旋度
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第 一 章 静 电 场
1.1.1 库仑定律 (Coulomb’s Low)
Electric Field Intensity and Electric Potential
2
12
0
21
21 π4 R
qq eF ??
?
N (牛顿 )
1221 FF ??
适用条件,
库仑定律
1.1 电场强度 和 电位
图 1.1.1 两点电荷间的作用力
点电荷之间的作用力靠什么来传递？ 思考
两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力 ;
真空中的介电常数
120 108,8 5 ???ε
F/m
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第 一 章 静 电 场
1.1.2 电场强度 ( Electric Intensity )
tq q
zyxzyx
t
),,(),,( l i m
0
FE
?
?
V/m ( N/C )
定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力 F
（ a） 单个点电荷产生的电场强度
R
t
p R
q
qR e
FE
2
0π4
)( ???
V/m
'
'
'π4
)( 2
0 rr
rr
rr
rE ???
?
?
?
q
p
)'(
'π4 30
rr
rr
?
?
?
?
q图 1.1.2 点电荷的电场
一般表达式为
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第 一 章 静 电 场
（ b) n个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )
（ c) 连续分布电荷产生的电场强度
RR
q eE
2
0π4
dd
??
k
N
k k
k
R
q erE ?
?
?
1
2
0π4
1)(
?
图 1.1.4 体电荷的电场
图 1.1.3 矢量叠加原理
元电荷产生的电场
?
? ??
??? N
k k
kkq
1
3
0
)(
π4
1
rr
rr
?
Sd? ld?Vq dd ??,,
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第 一 章 静 电 场
RS R
S eE ?
?
??
2
0
d
π4
1 ?
?
Rl R
l eE ?
?
??
2
0
d
π4
1 ?
?
线电荷分布 lq dd ??
体电荷分布 Vq dd ??
Sq dd ??面电荷分布
RV R
V eE ?
?
??
2
0
d
π4
1 ?
?
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第 一 章 静 电 场
)(π4
d),(d
22 ??
??
?? z
zz
o
E
E
z
z dd
22z ??
??E
Ed
z
d
22 ?
?
?
?
?
解, 轴对称场，圆柱坐标系。
例 1.1.1 真空中有一长为 L的均匀带电直导线，电
荷线密度为,试求 P 点的电场。 ?
?c o sdd z E??E
?? s indd E?E
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图 1.1.5 带电长直导线的电场
x
第 一 章 静 电 场
z
z
zE L
L
o
z d)(π4
2
1 2
322?? ?
??
??
?
z
z
E L
L
o
d
)(π4
2
1 2
322?? ?? ??
??
?
,21 时当 ???? LLL
zzEEz eeE ?? ???? ),,( ???
? e
0π2
?
无限长直导线产生的电场
???
? eΕ
0π2
?
平行平面场。
)(
π4
22
1
1
22
2
2
????
?
?
?
?
?
L
L
L
L
o
)11(
π4
22
1
22
2 ??
?
?
?
?
?
?
LLo
0
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第 一 章 静 电 场
矢量积分与标量积分；
点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看
成是一个体积很小，电荷密度为,总
电量不变的带电小球体。
)(δ)()( rrr q??
基本概念
平行平面场与轴对称场；
点电荷的相对概念和数学模型
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第 一 章 静 电 场
矢量恒等式 FFF ???????? CCC
)'(
'
1)'(
'
1
'
'
333 rrrrrrrrrr
rr ??
?
?????
?
?
?
???
0)'(
'
'3)'(
'
1
33 ????
?????
?
? rr
rr
rrrr
rr
故 0)( ??? rE 静电场是无旋场
1,静电场的旋度
1.1.3 旋度和环路定律 ( Curl and Circuital Law )
3
0 '
'
π4)( rr
rrrE
?
???
?
q点电荷电场
3
0 '
'
π4)( rr
rrrE
?
??????
?
q取 旋度
0
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第 一 章 静 电 场
2,静电场的环路定律
电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。
由 Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量
?? ????? sl SElE d)(d 0?
说明
? ??l 0d lE即
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第 一 章 静 电 场
1.1.4 电位函数 ( Electric Potential )
负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
在直角坐标系中
1,E 与 的微分关系 ?
,0??? E 矢量恒等式 0???? ?
由
][ zyx ezeyex ?????????? ???E
根据 E与 的微分关系，试问静电场中的某一点 ?
( )
( ) 00 ??? E??
00 ??? ?E? 下 页 上 页 返 回
????E
所以
第 一 章 静 电 场
2,已知电荷求电位
'
1
π4'
'
π4)( 030 rrrr
rrrE
???
???
??
qq ＝－
Cq
N
i i
i ?
?? ?? 10 'π4
1)(
rrr ??
点电荷群
Cdq
V
??? ?
'0 'π4
1)(
rrr ??
连续分布电荷
以 点电荷 为例
)('π4
0
rrr ?? ??????? q
Cq ??? 'π4)(
0 rr
r ??
lSVq ???? d,d,d d ???式中 相应的积分原域 。''',,lSV
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第 一 章 静 电 场
3,与 E 的积分关系 ?
图 1.1.6 E 与 的积分关系 ?
线积分
?? ????? 00 dd PPPP llE ?
式中
)ddd()(d zyxzyx zyxzyx eeeeeel ?????????????? ????
???? dddd ?????????? zzyyxx
设 P0为电位参考点，即,
则 P点电位为
00 ?P?
? ?? 0 dPPP lE?
? ? ?????0 0 0ddPP PP PP ???lE
所以
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第 一 章 静 电 场
4,电位参考点
例如,点电荷产生的电位,C
r
q ??
0π4 ?
?
00 ??r? ??C
0???r? rq
0π4 ?
? ?0?C
点电荷所在处不能作为参考点
0?? Rr?
R
q
r
q
00 π4π4 ??
? ??RqC
0π4 ?
??
场中任意两点之间的电位差与参考点无关。
选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。
电位参考点可任意选择，但 同一问题，一般只能
选取一个参考点。
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第 一 章 静 电 场
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点,
为什么？
见参考书, 电磁学专题研究, P591~P597
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第 一 章 静 电 场
5) 电力线与等位线（面）
0d ?? lEE 线微分方程
z
E
y
E
x
E zyx
ddd
??
直角坐标系
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线 ( 面 )。
Czyx ?),,(?等位线 (面 )方程
曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。
电位相等的点连成的曲面称为等位面。
1.1.7 电力线方程
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第 一 章 静 电 场
解,在球坐标系中
21
12
0210 π4
)11(π4 rr rrqrrqp ???? ???
2
12
2
1 )c o s4( ?dr
drr ???
2
0
2
0 π4π4
c o s
rr
qd r
p ??
?? ep ???所以
用二项式展开，又有 r>>d，得
?c os22 drr ???c os21 drr ??
例 1.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线 ( r>>d ) 。
2
12
2
2 )c o s4( ?dr
drr ???图 1.1.8 电偶极子
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第 一 章 静 电 场
)s i nc o s2(π4 3
0
????? eeE ????? rp r
q
?
?
E
r
E
r
r
dd ?电力线方程 ( 球坐标系 ),
?2s inDr ?
等位线方程 ( 球坐标系 ), ?c o sCr ?
将 和 代入 E 线方程 ?E rE
表示电偶极矩 （ dipole moment),方向由 dp q＝
-q 指向 +q。
图 1.1.9 电偶极子的等位线和电力线 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
电力线与等位线（面）的性质,
图 1.1.10 点电荷与接地导体的电场
图 1.1.11 点电荷与不接地导
体的电场
E 线不能相交,
?等 线不能相交；
E 线起始于正电荷，终
止于负电荷 ;
E 线愈密处，场强愈大 ;
E 线与等位线（面）正交；
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第 一 章 静 电 场
图 1.1.12 介质球在均匀电场中 图 1.1.13 导体球在均匀电场中
图 1.1.14 点电荷位于无限大介质上方 图 1.1.15 点电荷位于无限大导板上方
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第 一 章 静 电 场
作散度运算
1.2.1 真空中的高斯定律 (Gauss’s Theorem in Vacuum)
0
)'()(
?
? rrE ??? 高斯定律的微分形式
1,E 的散度
V
V
d)'(
'
'
π4
1)(
3
0
r
rr
rrrE ?
? ? ?
??
0???? ?E0???? ?E 0???? ?E
说明 静电场是有源场,电荷是电场的通量源。
1.2 高斯定律
Gauss’s Theorem
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第 一 章 静 电 场
2,E 的通量
?? ??? VV VV d1d
0
??E ??
?
??
n
i
iS q
10
1d
?SE
图 1.2.1 闭合曲面的电通量
图 1.2.2 闭合面外的电荷对场的影响
散度定理
S 面上的 E 是
由系统中全部电
荷产生的。
E 的通量等于
闭合面 S 包围的
净电荷。
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第 一 章 静 电 场
1.2.2,电介质中的高斯定律 (Gauss’s Theorem in Dielectric)
1,静电场中导体的性质
导体内电场强度 E 为零，静电平衡；
导体是等位体，导体表面为等位面；
电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面,
接地导体都不带电。（ ）
一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ）
任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不
变的。 （ ）
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第 一 章 静 电 场
无极性分子 有极性分子
图 1.2.3 电介质的极化
2,静电场中的电介质
电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；
电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized charge)；
极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
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E
第 一 章 静 电 场
极化强度 P ( polarization intensity )表示电介质的
极化程度，即
VV ??
?
??
pP l i m
0
C/m2 电偶极矩体密度
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
EP 0?? e? — 电介质的极化率 e?
各向同性 媒质 媒质特性不随电场的方向改变,反
之，称为各向异性 媒质 ；
线性 媒质 媒质参数不随电场的值而变化，反之，
称为非线性 媒质 ；
均匀 媒质 媒质参数不随空间坐标而变化，反
之，称为非均匀 媒质 。 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子
产生的电位
2
0
2
0 π4
1
π4
c o s
RR
qd Rep ???
??
??
体积 V 内电偶极子产生的电位
'd
'
)'()(
π4
1
' 3
0
VP
V? ?
???
rr
rrr
?
?
3,极化强度与极化电荷的关系
图 1.2.4 电偶极子产生的电位
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第 一 章 静 电 场
'd)'(π4 1
' 2
0
VR
V
R? ?? erP
??
RRR
R 11'
2 ?????
e?
'd1')'(π4 1
'0
VR
V?
???? rP??
'd)'('π4 1'd)'('π4 1
'
0
'
0
VRVR
VV ??
??????? rPrP ???
矢量恒等式,uuu ???????? FFF )(
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图 1.2.5 体积 V 内电偶极矩产生
的电位
第 一 章 静 电 场
'd)'(π4 1'd)'('π4 1
'
n
0
'
0
SRVR
SV ??
?????? erPrP
??
令 P????
p?
极化电荷体密度
neP ??p?
极化电荷面密度
'd)'(
π4
1'd)'(
π4
1)(
'
0
'
0
S
R
V
R S
p
V
p ?? ?? rrr ?
?
?
?
?
'd)'('π4 1'd)'('π4 1
'0'0
VRVR
VV ??
??????? rPrP ???
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第 一 章 静 电 场
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
? ? ?
' ' 33
0
'd
'
)')((
'd
'
)')((
π4
1)(
V S
pfpf SV
rr
rr
rr
rr
rE
????
?
0'd'd' ' n ??????? ?V S SV ePP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
' '
0
'd
'
)(
'
'
)(
π4
1)(
V S
pfpf SdV
rrrr
r
????
?
?
思考
根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零
。0?p?电介质均匀极化时，极化电荷体密度
有电介质时，场量为
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第 一 章 静 电 场
4,电介质中的高斯定律
f
ff ??
?
?
?
??
?
? ????????????? )(＋
0
00
p
0
PEPE
定义 PED ??
0?
— 电位移矢量 （ displacement vector）
所以
???? D
高斯定律的微分形式
取体积分
?? ??? VV VV dd ?D
有
? ??S qSD d
高斯定律的积分形式
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第 一 章 静 电 场
在各向同性介质中
ED ??
— 介电常数 F/m
r??? 0?
其中 — 相对介电常数，无量纲量。
er ?? ?? 1
EEEEPED ??????? ?????? 0000 re
构成方程
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第 一 章 静 电 场
例 1.2.1 平板电容器中有一块介质,画出 D, E 和 P 线分布。
图 1.2.6 D,E 与 P 三者之间的关系
D线 E线 P线
思考
D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；
E 线由正电荷出发，终止于负电荷；
P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
电介质内部的电场强度是否减少了？ 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.2.2 若点电荷 ± q 分别置于金属球壳内外，问
（ 1) 穿过闭合面（金属球壳）的 D 通量是多少？
（ 2) 闭合 面上的 D 与 － q 有关吗？
（ 3) 若在金属球壳外放置电介质，重问 1 ),闭合
面上 的 D 与电介质有关吗？
下 页 上 页 返 回 图 1.2.7 点电荷 ± q 分别置于金属球壳的内外
第 一 章 静 电 场
计算技巧,
a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律
求解。
b） 选择适当的闭合面 作为高斯面，使
中的 D 可作为常数提出积分号外。
? ?S SD d
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对
称性的场才有解析解。
5,高斯定律的应用
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第 一 章 静 电 场
例 1.2.3 试求电荷线密度为 的无限长均匀带
电体的电场。
?
解, 分析场分布,取 圆柱坐标系
,d qS ??? SD
由
??
? eD
π2? ???
?
? e
DE
0π2
??
0
?? ??? 1 dd SS SDSD L??
LLD ?? ?? π2得
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图 1.2.8 无限长均匀带电体
第 一 章 静 电 场
球壳内的电场
qrDS ????? 2π4d SD
rr
q eD
2π4?
球壳外的电场
qrDS ????? 24 πd SD
rr
q eD
2π4?
例 1.2.4 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
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图 1.2.10 ± q分别在金属球内外
图 1.2.9 q在金属球壳内
第 一 章 静 电 场
1.3 基本方程、分界面上的衔接条件
1.3.1 基本方程 ( Basic Equation )
静电场是 有源无旋场,静止电荷是静电场的源。
Basic Equation and Boundary Condition
静电场的基本方程为
0??? E ???? D微分形式
0d ???l lE qS ??? SD d
积分形式
构成方程 ED ??
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第 一 章 静 电 场
zyx
zyx
AAA
zyx ?
?
?
?
?
?
???
eee
A
z
xy
y
zx
x
yz
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A eee )()()(
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? 0?
矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?
例 1.3.1 已知 试判断它
能否表示静电场？
，zyx zyx eeeA 543 ???
解, 根据静电场的旋度恒等于零的性质,
思考
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第 一 章 静 电 场
包围点 P 作高斯面 ( )。 0??L
1.3.2 分界面上的衔接条件（ Boundary Condition)
1,D 的衔接条件
SSDSD ?????? ?n2n1则有
qS ??? SD d
根据
图 1.3.1 介质分界面
??? n1n2 DD D 的法向分量不连续
当 时,D 的法向分量连续。 0??
n2n1 DD ?
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第 一 章 静 电 场
2,E 的衔接条件
围绕点 P 作一矩形回路 ( )。 0
2 ??L
tt EE 12 ?
E 的切向分量连续。
0d ???l lE
根据
01t21t1 ???? lElE
则有
3,折射定理
当交界面上 时,0??
2
1
2
1
ta n
ta n
?
?
?
? ? 折射定律
n2n1 DD ?
t2t1 EE ?
222111 c o sc o s ???? EE ?
2211 s ins in ?? EE ?
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图 1.3.2 介质分界面
第 一 章 静 电 场
0dlim 0
021
???? ?
?
d
d
lE??
4,的衔接条件 ?
设 P1 与 P2 位于分界面两侧,0?d
nEDnED ?
????
?
???? 2
2n22n2
1
1n11n1,
??????
21 ?? ?
因此 电位连续
????? ?????? nn 2211
得 电位的法向导数不连续
由,其中 ???
n1n2 DD图 1.3.3 电位的衔接条件
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第 一 章 静 电 场
说明 （ 1）导体表面是等位面,E 线与导体表面垂直；
图 1.3.4 导体与电介质分界面
例 1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。
解, 分界面衔接条件
t2t1n1n2 EEDD ???,?
??????? ?????? nn 221121,＝
???? ????? n0,c o n s t
0 tn ?? ED,?导体中 E＝ 0,分解面介质侧
（ 2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。 ?
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第 一 章 静 电 场
解,忽略边缘效应
1221
021
dd
UE
??
?
?? 1221
012
dd
UE
??
?
??
1
121
?
??? EE
2211
0
SS
q
?? ??
图 (a)
图 (b)
02211 qSS ?? ??
2
2
1
1
?
?
?
? ?
例 1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。
2211 EE ?? ?
02211 UdEdE ??
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图 1.3.5 平行板电容器
第 一 章 静 电 场
1.4 边值问题、惟一性定理
1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation)
?
?? ??? 2 泊松方程
????E0??? E
??? ???????? EEE ??? ??????
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???2? — 拉普拉斯算子
???? D
Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
02 ?? ? 拉普拉斯方程 当 ? =0时
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第 一 章 静 电 场
1.4.2 边值问题 （ Boundary Problem)
边值
问题
微分
方程
边界
条件
初始
条件
场域边界条件 (待讲）
分界面衔
接条件
强制边界条件 有限值
?
?
?lim
0r
自然边界条件 有限值 ?
??
?r
rlim
泊松方程
??? /2 ＝－?
拉普拉斯方程 02 ＝??
21 ?? ＝
????? ?????? nn 2211
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第 一 章 静 电 场
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件,Dirichlet)
2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann)
3）第三类边界条件
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
已知边界上导体的电位 )(| 1 sfs ??
已知边界上电位的法向导数 (即电荷面密度 或
电力线 )
?
)(2 sfn
S
????
)() 3 sfn
S
??? ??? ＋（ 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
有限差分法
有限元法
边界元法
矩量法
积分方程法
??????
积分法
分离变量法
镜像法、电轴法
微分方程法
保角变换法
??????计算法
实验法
解析法
数值法
实测法
模拟法 边
值
问
题
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。
解,根据场分布的对称性
确定计算场域，边值问题
02
2
2
2
2 ?
?
??
?
???
yx
???
（阴影区域）
Ubxbybybx ??????? )0,0,( 及?
0)0,0,( 222 ????? yxayx?
0),0( ??? ??? aybxx? 0),0( ??? ??? axbyy?
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图 1.4.1 缆心为正方形的
同轴电缆
第 一 章 静 电 场
0)dd(dd1 22222 ??? rrrr ??
)( ??? ra
通解
4
3
221
0
2
1 )(
1
6
)( C
r
CrC
r
Crr ?????? ?
?
??
例 1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。
解,采用球坐标系,分区域建立方程
边界条件
arar ?? ? 21 ??
arar rr ?? ?
??
?
? 2
010
????
有限值?? 01 r?
参考电位 0
2 ???r?
0
12
21
2 )
d
d(
d
d1
?
??? ????
rrrr
)( ar ?
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图 1.4.2 体电荷分布的球体
第 一 章 静 电 场
电场强度（球坐标梯度公式）,
11 )( ????rE
??????????? rarar rr eerE 2
0
2
2
22 3)( ?
???
得到
????
????
ra
r
a
r
arrar
0
3
2
22
0
1
3
)(
0)3(
6
)(
?
?
?
?
?
?
图 1.4.3 随 r变
化曲线
E，?
?? ?
?
??
??? e
rrr ?
??
?
??
?
??
s i n
11 ee
r＝
arrr rr ??????? 03
0
1 ee
?
??
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
20
1,xd
U?? A
答案,（ C ）
1.4.3 惟一性定理 （ Uniqueness Theorem)
例 1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
惟一性定理, 在静电场中，满足给定边界条件的
电位微分方程的解是惟一的。
0
0
2,Uxd
U ??? B
0
0
3,Uxd
U ???? C
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图 1.4.4 平板电容器外加电源 U0
第 一 章 静 电 场
1.5 分离变量法
分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得
到微分方程的通解,当场域边界与正交坐标面重合
或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。
1.5.1 解题的一般步骤,
Separation Variable Method
分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；
解常微分方程，并叠加得到通解；
写出边值问题（微分方程和边界条件）；
利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。
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第 一 章 静 电 场
例 1.5.1 试求长直接地金属槽内
电位的分布。
解, 边值问题
1.5.2 应用实例
1,直角坐标系中的分离变量法（二维场）
x
a
yx
axay
ayaxaxyayx
?
?
???
??
?
s i n100
0
0
0,
0,0,00,0
2
2
2
2
2
?
???
?
?
?
?
?
?
??
???
?????????
（ D 域内）
下 页 上 页 返 回
图 1.5.1 接地金属槽的截面
y
xa?? s in1 00?
第 一 章 静 电 场
分离变量 )()(),(
21 yxyx ??? ?
??? －?2 2
2
2 d
d1
y，?
?
?
?2 1
2
1 d
d1
x
设
? -分离常数,有和＝,0 0,0 22 ????? nn kk ???
0
d
d1
d
d1
2
2
2
22
1
2
1
??
yx
?
?
?
?
代入微分方程,
0
d
d1
0
d
d1
2
2
2
2
2
1
2
1
?
?
y
x
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
d
d1
d
d1
n
n
k
y
k
x
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
d
d1
d
d1
n
n
k
y
k
x
??
?
?
?
?
?
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
))s h (')c h ('))(s i n (')c o s ('(
))s i n ()c o s ())(s h ()c h ((
1
1
ykDykCxkBxkA
ykDykCxkBxkA
nnnnnnn
n
n
nnnnnnn
n
n
???
???
?
?
?
?
?
?
代入边界条件，确定积分常数
),3,2,1( π ????? nank n
0 0 轴) 0 ?? Aya ?
0 0 0) 0 ???? nCCxb,轴 ?
00 ?B0) ?? ?axc
)πs h ()πs i n ('),(
1
yanxanFyx
n
n?
?
?
??
))(()()( 000021 yDCxBAyx ???? ???通解
))s h (')c h (')(s i n (
1
ykDykCxk nnnnn
n
?? ?
?
?
? 沿 x方向作正弦变化,0???? nnn ABA
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图 1.5.2 双曲函数
第 一 章 静 电 场
ayd ?) )πs in (1 00
a
x??
)πs i n ()π(sh')πs i n (1 0 0
1
xannFa x
n
n ?? ?
?
?
比较系数
当 时,1?n 0'?
nF
)πs h ()πs i n (sh π100),( yaxayx ?? ?
当 时,1?n 100sh π'
1 ?F sh π100'1 ?F
)πs h ()πs i n ('),(
1
yanxanFyx
n
n?
?
?
?? ?
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第 一 章 静 电 场
若金属槽盖电位,再求槽内电位分布 0U＝?
通解
)π(sh)πs i n),
1
yanxanFyx
n
n （（ ?
?
?
???
)πs i n ()πs i n ()π(sh
11
0 xa
nEx
a
nnFU
n
n
n
n ??
?
?
?
?
??＝
等式两端同乘以,然后从 积分
xam πsin
a?0
( 1 ) d)πs i n ()πs i n (d)πs i n (
1 00
0 xxa
mx
a
nExx
a
mU
n
a
n
a ? ?? ?
?
?
左式 ??? )πc o s1(
π
0 m
m
aU
1,3,5,.,,
π
2
0,2,4,.,,0
0 ?
?
m
m
aU
m
当 时,
0U＝?ay ?
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第 一 章 静 电 场
右式 ＝
nmE
a
xx
a
n
E
nm
nn ??
?
? 2d)
π
(s in
0
2a
0
代入式 （ 1）
)πs h ('22π2 0 nFaEamaU nn ??
代入通解
)πs h ()πs i n (πsh 1π4),(
1
0 y
a
nx
a
n
nn
Uyx
n
?
?
?
??
n＝奇数
1,3,5,.,,ππ s h4' 0 ??? nmnn UF n
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图 1.5.3 接地金属槽内
的等位线分布
第 一 章 静 电 场
解,取圆柱坐标系，边值问题
0
0
1
)(
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
? ??? ?a
a?? ?0
????
?
?
?
?
?
?
???
?? c o s,0
102
21
021
EEx
a
?????
?
?
?
?
?
?
?
???
根据对称性
0)2,( ),(),( ???? ????????? 及
例 1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置
一根无限长均匀介质圆柱棒, 试求
圆柱内外 和 E 的分布。 ?
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图 1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒
第 一 章 静 电 场
当 时,0?n
000000 )( ln)( DCBAR ???? ?????,
当 时,0?n ??????? nDnCBAR
nnnnnnnn s i nc o s)( )( ???? ?,
)s i nc o s()(
1
???? nDnCBA nn
n
n
n
n
n ??? ?
?
?
?
代入微分方程
分离变量,设 )()(),( ?????? R?
0
d
d1
d
d
d
d
2
2
2
22
??
?
?
??
?
?
? ＋R
R
R
R
))(ln(),( 0000 DCBA ??? ?????通解
0dddd 22
2
2 ??? RnRR
????
取 n2 = 常数，令 0
d
d 2
2
2
?? ??? n
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第 一 章 静 电 场
根据, 比较系数得到 ???
? c o s01 E????
当 时,1??? n，? EABA ????
100,0
?
?
????? nBE
n
n
n c o sc o s),(
1
1 ?
?
?
???
根据 0, 0
0002 ????? nBBA??
?
?
?
?
1
2 c o s),(
n
n
n nA ?????
利用给定边界条件确定积分常数
当 时,1??? n，? 0
0 ??? no ABA
??????? nBABA
n
n
n
n
n c o s)()ln(),(
1
00 ?
?
?
?????
通解
根据 ),(),( ?????? ?? 0,0
0 ?? nDC
得到
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第 一 章 静 电 场
比较系数
12
1
01
1 )( A
a
BEaA
a
BEa ?? ?????? 和当 n=1时,
当 时,An=Bn= 0,则最终解 1?n
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
1
1
1
10
11
c os)c osc os(
c osc osc os
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nanAn
a
B
E
naAn
a
B
Ea
?????
???
由分界面 的衔接条件，得 a??
???? ??????? c o s)( )(c o s),(
0
2
0
1 E
aE
?
???? ??? ?a
a?? ?0 ??
??
???
??
????? c o s2c o s)1(),(
0
0
0
0
2 EE ????
????
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
aE
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
???
??
?es i n)(
)(
1 2
0
2
0
xx Ex eeE
0
02
2
2
??
???
???
??????
2
a?? ?0
图 1.5.5 均匀外电场中介质圆
柱内外的电场
?????
??? eE c o s
)(
)(1
2
0
2
0
11 E
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
介质柱内电场均匀，并与外
加电场 E0 平行，且 E2 < E1 。
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
1.6 有限差分法
1.6.1 二维泊松方程的差分格式
(Difference Form of 2D Poisson’s Equation)
Fyx ???????? ???? 2
2
2
2 （ 1）
二维静电场边值问题
Finite Difference Method
基本思想,将场域离散为许多网格,应用差分原
理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解
网格节点上 的代数方程组的问题。 ?
?
（ 2） )( Lf
L ??
下 页 上 页 返 回 1.6.1 有限差分的网格分割
第 一 章 静 电 场
令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 )
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
03
3
3
02
2
2
003
03
3
3
02
2
2
001
)(
!3
1
)(
!2
1
)(
)(
!3
1
)(
!2
1
)(
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
???
??
???
?? （ 4）
（ 5）
))((0)()(!1 0
0
00
n
n
K
K
K
K
x xxxxxK ????
?? ?
?
?? （ 3）
由式 （ 4） +（ 5）
2
301
2
2 2
)(
0 hx xx
???? ???
?
?
?
（ 6）
2
402
2
2 2
)(
0 hy yy
???? ???
?
?
?
（ 7） 同理,
? 沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
将式 (6)、式 (7)代入式 (1)，得到
204321 4 Fh????? ?????
当场域中 0??
04 04321 ????? ?????
)(41 243210 Fh????? ?????即
)(41 43210 ????? ????即
若场域离散为矩形网格,差分格式为
F
hhhh
?????? 02
2
2
1
422
2
212
1
2)11()(1)(1 ?????
1.6.2 矩形网格剖分
五点差分格式
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
1.6.2 边界条件离散化 （ Discrete Boundary Condition)
第二类边界条件
hfhnf 2100102,)(＝ ?????? ?????
)2(41 24210 Fh???? ????
第一类边界条件
分界面衔接条件
对称边界条件
,)1 21 2(41 43210 ????? ?????? KKK
baK ???
其中
图 1.6.5 介质分界面
10 f??
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图 1.6.3 对称边界 图 1.6.4 对称分界
第 一 章 静 电 场
1.6.3 差分方程组的求解方法 ( Solution Method )
1、高斯 — 赛德尔迭代法
][41 2)( 1,)(,1)1( 1,)1(,1)1(,Fhk jik jik jik jik ji ????? ??????? ?????
式中,????????,2,1,0,2,1,kji,
迭代过程 直到节点电位满足 为止。 ??? ??? )(
,)1(,kjikji
2、超松弛迭代法
]4[4 )(,2)( 1,)(,1)1( 1,)1(,1)(,)1(,k jik jik jik jik jik jik ji Fh ???????? ??????? ???????
式中,a — 加速收敛因子 （ 1< a <2）
下 页 上 页 返 回
图 1.6.5 网格编号
第 一 章 静 电 场
收敛速度与 a 有明显关系,
收敛因子（ a ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式（不唯一）
)πs in (1
2
p
?
?? （正方形场域、正方形网格）
22
112π2
qp ????
（矩形场域、正方形网格）
收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；
迭代次数与工程精度 有关。 ?
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第 一 章 静 电 场
边界节点赋已知电位值
赋节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一次迭代，求 )1(
,?Nji?
打印
),( jiN ?，
N
Y
程序框图
??? ??? )(,)1(,kjikji
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
上机作业要求,
1,试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。
给定边值：如图示；
已知,
mm 104cm 4 ??? aha,
计算,迭代次数 N =?,分布。
ji,?
0)0(,?ji?给定初值,
510 ???误差范围,
下 页 上 页 返 回
图 1.6.6 接地金属槽的网格剖分
第 一 章 静 电 场
给定边值：如图示；
已知,
mm14040cm4 ??? ha,
2,按对称场差分格式求解电位的分布
计算, 1) 迭代次数 N =?,分布；
ji,?
)1(401 0 0)1(12,????? jjpji ???
给定初值,
510 ???误差范围,
2) 按电位差 画出槽中等位线。 10???
下 页 上 页 返 回
图 1.6.7 接地金属槽内半场域
的网格剖分
第 一 章 静 电 场
3.选做题 已知,无限长矩形屏蔽空腔中长
直矩形导体的横截面如图示，且
给定参数为
V100,或,
V100,或,
0,或 1,1
0,或 1,1
2121
2121
?????
?????
?????
?????
?
?
?
?
MIMINJN
NJNJMIM
M IINJ
NJJMI
图 1.6.8 无限长矩形屏蔽空
腔中长直矩形导体的横截面
要求 用超松弛选代法求解无限长矩形屏蔽空腔
中长直矩形导体周围的电位分布 ;
画出屏蔽腔中矩形导体周围等位线分布 ;
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
1.7 镜像法与电轴法
1.7.1 镜像法 （ Image Method)
1,平面导体的镜像
图 1.7.1 平面导体的镜像
Image Method and Electric Axis Method
方程相同，边界条件相同，解惟一。
下 页 上 页 返 回
空气中除点电荷外
0＝导板? qS ??? SD d
,
02 ?? ?a
02 ?? ? 上半场域除点电荷外 b
0π4π4
00
??? rqrq ??? qS ??? SD d
第 一 章 静 电 场
地面上感应电荷的总量为
（方向指向地面）
?? ?? EEE
2
0π4
c o s2
r
qE
?
??
2/322
0 )(π2 xh
qh
?? ?
2/3220 )(π2＝ xh
qhED
np ????? ??
xxxh qhS
S p
dπ2)(π2d
0 2/322
???? ?? ??
q??
例 1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
解,设点电荷 q 镜像后
图 1.7.2 地面电荷分布 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
2,球面导体的镜像
点电荷位于接地导体球外的边值问题
（ 除 q点外的空间 )
0
02
??
??
?? 球面
??
?
r
0π4 'π4
2010
??? rqrqp ???
?
?
c os2
c os2
222
2
222
1
RbRbr
RdRdr
???
???
设镜像电荷 如图，球面电位 'q
下 页 上 页 返 回
图 1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
第 一 章 静 电 场
0c o s)'(2)](')([ 22222222 ?????? ?bqdqRRdqRbq
将 r1,r2 代入方程,得 0'
12 ?? rqrq
0'
0)(')(
22
222222
??
????
bqdq
RdqRbq
联立求解
得到
q
d
R
q
d
b
q
d
R
b
??
?
'
2
镜像电荷位置
镜像电荷大小
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
球外任一点 P 的电位与电场为
2010 π4
'
π4 r
q
r
q
p ??? ??
21 2
20
2
10 π4π4
rrP rd
qR
r
q eeE
??
??
图 1.7.5 球外的电场分布
镜像电荷放在当前求解的场域外。
镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图 1.7.4 球外的电场计算
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷 q的电场分布。
则
d
Rbq
d
Rq 2,' ??
)
dd
1(
π4 21 222120 rrr r
R
r
R
r
q eeeE ???
?
任一点场强
解,边值问题
0d c o n s t
02
???
??
?SS SD?
?
（ 除 q点外的空间 )
通量为零 （ 大小相等） '-,' qq
球面等位（ 位于球心） 'q
思路
图 1.7.6 不接地金属球的镜像
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个
数，大小与位置。
图 1.7.7 点电荷位于不接地导体
球附近的场图
任一点电位
)dd1(π4
210 r
R
r
R
r
q ???
??
d
q
0π4 ?
? ＝
球面电位
思考
下 页 上 页 返 回 图 1.7.8 点电荷对导体球面的镜像
第 一 章 静 电 场
3,不同介质分界面的镜像
t2t1 EE ?
n2n1 DD ?
根据惟一性定理
图 1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
?????? c o sπ4 ''c o sπ4 'c o sπ4 2
2
2
1
2
1 r
q
r
q
r
q ??
qq
21
21'
??
??
?
?? qq
21
22''
??
?
??
和 解得
??? s i nπ4 ''s i nπ4 's i nπ4 222 rqrqrq ??
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第 一 章 静 电 场
图 1.7.10 电场分布图
试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。 思考题,
中的电场由 q 与 q’ 共同产生,q’
等 效替代极化电荷的影响。
1?
中的电场由 q” 决定,q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
2?
图 1.7.11 点电荷 q1 与 q2 分别置于 与 区域中
1? 2?
1?
思考
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提示
第 一 章 静 电 场
1.7.2 电轴法 （ Electric Axis Method）
(导线以外的空间 ) 02 ?? ?
c o n s tB导体 ??
? ???S 电荷分布不均,d ?SD
? ??S 电荷分布不均匀,d ?SD
c o n s tA导体 ??
能否用高斯定律求解？ 思考
边值问题
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1.7.12 长直平行双传输线
第 一 章 静 电 场
1,两根细导线产生的电位
11
00
1 lnπ2dπ2
1
CQ ???? ? ????????
?
以 y 轴为参考电位, C=0,则
22
22
01
2
0 )(
)(ln
π2
ln
π2 ybx
ybx
P ??
????
?
?
?
?
?
??
令,C,等位线方程 ?
P? 2
22
22
)(
)( K
ybx
ybx ?
??
??
CP ????
1
2
0
21 lnπ2 ?
?
?
????
22
0
2 lnπ2 C??? ??
??
图 1.7.13 两根带电细导线
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第 一 章 静 电 场
K 取不同值时，得到一族偏心圆。
a,h,b满足关系
22 ba ?
2
2
22
2
2
)12()11( ?????? K bKybKKx
整理后，等位线方程
? ?0,h圆心坐标
圆半径
1
2
2 ?? K
bKa
))((222 bhbhbha ?????
图 1.7.14 两根细导线的等位线
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bKKh 112
2
?
??
22
2 )1
2( b
K
bK ?
??
2
2
2
)11( bKK ???
2h?
第 一 章 静 电 场
x
y
E
E
x
y ?
d
d
4
)
2
(
2
12212 KbKyx ????
根据,得到 Ex 和 Ey 分量 ????E
图 1.7.15 两细导线的场图
E 线方程
思考
若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳,
是否会影响电场分布？
若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
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第 一 章 静 电 场
2,电轴法
)11(π2
210
21 ?? ???
? eeE ??
P
( 以 y 轴为参考电位 )
例 1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。
b) 圆柱导线间的电场与电位
解, a) 取圆柱坐标系
1
2
0
lnπ2 ????? ?p
22 ahb ??电轴位置
下 页 上 页 返 回 图 1.7.16 平行传输线电场的计算
第 一 章 静 电 场
例 1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
?
?
?
?
?
??
??
??
21
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
hhd
ahb
ahb
图 1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
21,,hhb确定?
解,
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第 一 章 静 电 场
1）参考电位的位置；
2）有效区域。
21
12
22
2
2
2
22
1
2
1
,,hhb
dhh
bah
bah
?
?
?
?
??
?
?
??
??
??
解,确定
例 1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。
注意,
图 1.7.18 偏心电缆电轴位置 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.7.6 已知平行传输线之间电压为 U0,试求电位分布。
22)
2( a
db ??
??
?
??
?
??
???
??
???
)(
)(ln
)(
)(ln
π2 00 ahb
ahb
ahb
ahbU
?
?
?
?
?
?
??
hd
ahb
2
222
解,确定电轴的位置
1
2
0
lnπ2 ????? ?
1
20 ln
)(
)(ln2 ?
?
?
ahb
ahb
U
??
??
?
所以
设电轴线电荷,任一点电位 ??
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图 1.7.19 电压为 U0的传输线
第 一 章 静 电 场
镜像法（电轴法）小结
镜像法（电轴法）的理论基础是,
镜像法（电轴法）的实质是,
镜像法（电轴法）的关键是,
镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区
域。叠加时，要注意场的适用区域。
用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分
布，使计算场域为无限大均匀媒质；
静电场惟一性定理；
确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；
应用镜像法（电轴法）解题时,注意,
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第 一 章 静 电 场
1.8.1 电容器的电容 （ Capacitance of Capacitor)
Capacitance and Distributed Capacitance
1.8 电容及部分电容
U
QC ?定义,pFμ F,F,单位,
电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的
介质有关。
工程上的 电容器, 电力电容器，电子线路用的各
种小电容器。
电容的计算思路,
U
QCUQ
l ?????? ? d lEE
设
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第 一 章 静 电 场
解,设内导体的电荷为 q,则
q???S d SD
rr r
q
r
q eEeD
2
0
2 π4,π4 ???
)11(π4d
0 ba
qU b
a
???? ? ?rE
同心球壳间的电压
ab
ab
U
qC
???
0π4 ?
球形电容器的电容
aC 0π4 ??当 时 ??b （孤立导体球的电容）
例 1.8.1 试求同心球壳电容器的电容。
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图 1.8.1 同心球壳电容器
第 一 章 静 电 场
1.8.2 部分（分布）电容 （ Distributed Capacitance)
1,已知导体的电荷，求电位和电位系数
图 1.8.2 三导体静电独立系统
多导体系统
静电独立系统
部分电容
基本概念
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第 一 章 静 电 场
导体的电位与电荷的关系为
3222110010 qaqaqaqa ＋????
)( 3210 qqqq ＋???
3322110020 qbqbqbqb ＋????
3322110030 qcqcqcqc ???＝?
31321211110 qaqq ＋??? ??
32322212120 qaqq ??? ???
33323213130 qaqaqa ????
qα??
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第 一 章 静 电 场
导体 i 电位的贡献；
?i i — 自有电位系数，表明导体 i 上电荷对
? — 电位系数，表明各导体电荷对各导体电
位的贡献；
?i j— 互有电位系数，表明导体 j 上的电荷对
导体 i 电位的贡献 ；
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矩阵形式 qα??
第 一 章 静 电 场
2,已知带电导体的电位，求电荷和感应系数
3332321313
3232221212
3132121111
??????
??????
??????
???
???
???
q
q
q
? — 静电感应系数，表示导体电位对导体电
荷的贡献；
?ii— 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i
电荷的贡献；
?ij— 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电
荷的贡献。
?? βαq 1 ?? ?矩阵形式,
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第 一 章 静 电 场
3,已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容
）－（）－ 3113211211312111 ()( ?????????? ?????q
131312121010 UCUCUC ???
2323202021212 UCUCUCq ???
3030323231313 UCUCUCq ???
uc q ?
矩阵形式
部分电容的性质
静电独立系统中 n＋ 1个导体有 个部分电容
2
)1( ?nn
Ci j均为正值,
jiij CC ? 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力
线相连；
部分电容可将场的概念与电路结合起来。
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图 1.8.3 部分电容与电容网络
第 一 章 静 电 场
例 1.8.2 试计算考虑大地影响时，两线传输线的
部分电容及等效电容。已知 d>>a,且 a<<h。
32 )12(22 )1( ????nn
21122010,CCCC ??
解,部分电容个数
由对称性，得
22012212
21121101
)(
)(
????
????
CC
CC
???
??? (1)
图 1.8.4 两线输电线及其电容网络
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第 一 章 静 电 场
电容与带电量无关，故,0,1
21 ?? ??
则
d
dh
a
h
22
0
2
0
1
4
ln
π2
1
2
ln
π2
1
?
?
?
?
?
?
?
利用镜像法，两导体的电位
),lnπ2(
1
2
0
adrr ??? ??
代入式（ 2），得
2101212
2112110
)(0
)(1
???
???
CC
CC
???
??? (2)
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图 1.8.5 两线输电线对大地的镜像
第 一 章 静 电 场
联立解得
两线间的等效电容,
)
4
2
l n (
π2
22
0
2010
2010
12
dh
d
d
hCC
CC
CC e
?
?
?
?
??
?
ad
dhh
C
22
0
10
42
ln
π2
?
?
? ? ?
? ? 2222
22
0
12
)4( l n)
2
( l n
4lnπ2
ddh
a
h
ddh
C
??
?
?
?
d
dh
C
hd
dha
C
dha
hd
C
a
h
C
22
0
10
22
0
12
22
0
12
0
10
4
ln
π2
1
2
4
ln
π2
1
0
4
2
ln
π2
12
ln
π2
1
1
?
??
?
??
?
????
??
??
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
202021212
121210101
UCUCq
UCUCq
??
??
所以
2020210101 UCqUCq ??,
静电屏蔽在 工程上有广泛应用 。
图 1.8.6 静电屏蔽
三导体系统的方程为,
4,静电屏蔽
当 时,0
1 ?q 01212 ?UC 02112 ?? CC;010 ?U
说明 1 号与 2 号导体之
间无静电联系，实现了静电屏蔽。
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第 一 章 静 电 场
1.9 静电能量与力
1.9.1 静电能量 (Electrostatic Energy)
Electrostatic Energy and Force
1,用场源表示静电能量
120
1
2222 π4 R
qqqW
?? ??
)(π4
23
2
31
1
0
3
333 R
q
R
qqqW ??
?? ＝
q3 从 移到 c点，所需能量 ?
q2 从 移到 b 点，需克服 q1 的电场力做功,?
q1 从 移到 a 点不受力，所需能量 W1=0,?
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图 1.9.1 点电荷的能量
第 一 章 静 电 场
总能量
)(π4 1
31
13
23
32
12
21
0
321 R
qq
R
qq
R
qqWWWW ??????
?
)]()()([π4 121
23
2
31
1
3
23
3
12
1
2
13
3
12
2
1
0 R
q
R
qq
R
q
R
qq
R
q
R
qq ???????
?
i
i
iqqqq ???? ?
?
????
3
1
332211 2
1)(
2
1
推广 1,若有 n 个点电荷的系统，静电能量为
i
n
i
iqW ??
?
?
12
1 单位,J（焦耳）
推广 2, 若是连续分布的电荷,lSVq d,d,dd ????
?? V VW,d21 ??,d21 ?? S SW ?? ?? l lW d21 ??
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第 一 章 静 电 场
2,用场量表示静电能量
??? ??????? DDD )()（矢量恒等式
?? ?????? VV VVW ]d d) ([21 ?? DD ?? ???? VS Vd21d21 EDSD?
J d21 单位,VW V? ?? ED
能量密度
3J / m
2
1 ED ??w
因 当 时，面积分为零，故
,1 3rD ??
??r,2rs ?
能量
? ??V Vd21 D??? ?V VW d21 ??
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第 一 章 静 电 场
例 1.9.1 试求真空中体电荷密度为 的介质球产生
的静电能量。
?
rrErrEVW
VVV
dπ421＋dπ421d21 2220221e
21 ???
??? ??ED
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ar
r
a
ar
r
r
r
e
e
E
2
0
3
3
3
?
?
?
?
）＋（
0
52 1
5
1
9
π2
??? a?
解法一 由场量求静电能量
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第 一 章 静 电 场
解法二 由场源求静电能量
球内任一点的电位
)
2
－
2
(
3
d
π4
3/π4
d
π4
3/π4
＝
0
222
2
0
3
2
3
???
?
?
?
?
?
?
ara
r
r
a
r
r
r
a
a
??
? ??
?
r
代入式（ 1）
)
1
5
1
(
9
π2
dπ4)
22
(
32
1
0
52
2
0
222
0
2
??
?
???
?
??
??? ?
a
rr
ara
W
a
d21 ??
V
VW ??
(1)
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第 一 章 静 电 场
例 1.9.2 原子可看成由带正电荷 q的原子核被体电荷分
布的负电荷云 -q包围，试求原子结合能。
解,
体点总 WWW ??
52
0
体 15
π4 aW ?
???
0
2
0
2
2
0 2
)3(2)0( ????? ara r ????? ??
a
qa
a
q
00
2
3 π8
3
2π
3
4 ??
????
a
q
0
2
π8
3
???
)0(?? ?qW 点
例 1.9.1中当 时 ???? ＝－, ＝
0
a
q
a
qaW
0
2
0
2
52
0
总 π40
9
π8
3
15
π4
???? ???? 下 页 上 页 返 回
图 1.9.2 原子结构模型
第 一 章 静 电 场
1.9.2 静电力 (Electrostatic Force)
1,虚位移法 ( Virtual Displacement Method )
功 = 广义力 × 广义坐标
广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度
广义力 机械力 表面张力 压强 转矩
单 位 N N/m N/m2 N m
广义力 f,企图改变广义坐标的力。
广义坐标 g：距离、面积、体积、角度。
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力的方向, f 的正方向为 g 增加的方向。
第 一 章 静 电 场
（ 1）常电荷系统（ K断开 ）
gfW dd0 e ?? edd Wgf ??
表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场
中静电能量来实现。
.c o n s t
e
??
???
kqg
Wf
在多导体系统中，导体 p发生位移 dg后,其功能关系为
外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功
gfWW ddd e ??
即
图 1.9.3 多导体系统 ( K 断开 )
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第 一 章 静 电 场
?? kk qW dd ?
?? ?? gfqq kkkk dd21d ??
外源提供能量的增量
说明,外源提供的能量有一半用于静电能量的
增量，另一半用于电场力做功。
（ 2） 常电位系统（ K 闭合）
广义力是代数量,根据 f 的,±, 号判断力的方向。
c o n s t
e
??
??
kg
Wf
?
图 1.9.4 多导体系统 ( K 闭合 )
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第 一 章 静 电 场
解法一, 常电位系统
cd
Wf
??
??
?
e 0
22 2
0
22
??????? d SUdCU ?
2
e 2
1 CUW ?
d
SC 0??
例 1.9.3 试求图示平行板电容器极板的电场力。
图 1.9.5 平行板电容器
取 d 为广义坐标（相对位置坐标）
负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。
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第 一 章 静 电 场
解法二, 常电荷系统
S
dq
C
qW
0
22
e 2＝2
1
???
0
2 0
2
???
?
???
? S
q
d
Wf
cq ?
负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。
2
2
0
0
22
0
0
22
222 d
USES
S
DSf ?
?
?
?
??????
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第 一 章 静 电 场
例 1.9.4 图示一球形薄膜带电表面，半径为 a,其
上带电荷为 q，试求薄膜单位面积所受的电场力。
解,取体积为广义坐标
C
qW 2
e 2
1 ?? aC
0π4 ??
)π
3
4( 3
ee
a
W
V
Wf
cq ?
???
?
???
?
)π4 12(π4
0
2
2 a
q
aa ???
???
f 的方向是广义坐标 V增加的方向，表现为膨胀力。
0π32 4
0
2
2
?? aq ?
N/m2
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图 1.9.6 球形薄膜
第 一 章 静 电 场
2,法拉第观点（ Farade’s review）
法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向
受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力,其大小为
图 1.9.9 根椐场图判断带电体受力
ED ?? 21f )mN(
2
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图 1.9.7 电位移管受力情况
图 1.9.8 物体受力情况
第 一 章 静 电 场
例 1.9.5 计算平板电容器中介质分界面上的压强。
图 (a)
）
21
2
2121
11(
22
1
2
1
?? ??????
DDEDEfff
若,则 力由 指向 。
21 ?? ? 2112,,0 ??fff ??
结论, 分界面受力总是从 大的介质指向 小的介质。 ? ?
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图 1.9.10 平行板电容器
(a) (b)
第 一 章 静 电 场
图 (b)
21 fff ??
结论, 分界面受力总是从 大的介质指向 小的介质。 ? ?
若,则 力由 指向 。
2121,,0 ??fff ??21 ?? ?
(b) ）(
22
1
2
1
21
2
21 ?? ????
EEDED
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第 一 章 静 电 场
静态场的应用
图 1.9.11 静电分离
Steady Field Applications
图 1.9.12 静电喷涂
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第 一 章 静 电 场
对场点坐标作散度运算
'd)'()
'
'(
π4
1)(
' 3
0
V
V
r
rr
rrrE ?
? ? ?
??????
'd)'(
'
'
π4
1)(
' 3
0
V
V
r
rr
rrrE ?
? ? ?
??
矢量恒等式 FFF ???????? CCC )()(
)'(
'
1)'()
'
1()
'
'(
333 rrrrrrrrrr
rr ???
?
???
?
??
?
???
35 '
3)'(
'
)'(3
rr
rr
rr
rr
?
???
?
???
33 '
3
'
3
rrrr ?
?
?
??
推导电场强度的散度公式
下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
即场点与源点不重合时 0)( ??? rE
'd)'()'1(π4 1
'
2
0
V
V
rrr ?? ? ????
时当 0' ?? rr
0'?? rr当 )'(π4)
'
1(2 rr
rr ????? ?
'd)'()
'
'(
π4
1)(
' 3
0
V
V
r
rr
rrrE ?
? ? ?
??????
)
'
'(0'
3rr
rrrr
?
????? 时，当 0
'
3
'
3
33 ?????? rrrr
?? /)'()( rrE ???
所以
0?
???
?
)'('d)'()'(1)(
'0
rrrrrE ????? ? V
V
返 回
第 一 章 静 电 场
对称场源高斯面的选取
球、轴、面对称场源的高斯面
球对称分布：如均匀带电的球面，球体和多
层同心球壳等。
轴对称分布：如无限长均匀带电的细线，圆
柱体，圆柱壳等。
无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平板
有厚度的带电平板等。
返 回
第 一 章 静 电 场
即必满足拉普拉斯方程则其差值方程
均满足泊松与位函数设场中任一点有两个电
,,21
21
??
??
??u
VuuuVuu S VV d)(dd)( 2? ?? ???????? S
惟一性定理的证明
022122 ????????? ??????u
（ 1）
222 )()()(代入矢量恒等式 uuuuuu ?????????（ 2）
对式（ 2）两端求体积分
证明（反证法）
d)(dd 2 VuSnuuuu
VSs ???
??????? S
即 (3)
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第 一 章 静 电 场
2,若为第二类边值问题，在边界上
1,若为第一类边值问题，在边界上 有限，且
n?
??
0,,210201 ????? ?????? u
故面积分为零，要满足式（ 3），必有,即 0)( 2 ?? u
cuu ?????? 21 0 ??
此式也必须满足边界，所以 c＝ 0，有,
电位是惟一的。
21 ?? ?
0,,210201 ??????????????? nnnufnfn ????
同上原因,或,即
电场强度是惟一的。当电位参考点确定后，电位是惟
一的,
0??u 021 ???? ?? 021 ???? ??
返 回
第 一 章 静 电 场
电力电容 下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
电力电容 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
冲击电压发生器 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
电力电容 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
变压器（ 6kV:250kV） 调压器（ 0~6kV）
水电阻
可产生 1800kV冲击电压 放电铜球 放电线路
六氟化硫 SF6气体绝缘设备
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第 一 章 静 电 场
电力电缆 下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
220kV XLPE交链聚乙烯高压电力电缆
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第 一 章 静 电 场
6kV三相矿用橡套电缆（中间地线、右侧测量线）
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第 一 章 静 电 场
电力电缆 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
屏蔽室门 下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
屏蔽室门（双层铜皮） 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
测量局部放电 上 页 返 回
第一章 静电场
Steady Electric Field
基本方程、分界面上的衔接条件
边值问题、惟一性问题
分离变量法
有限差分法
镜像法和电轴法
电容和部分电容
静电能量与力
静电场的应用
环路定律、高斯定律
电场强度和电位
序
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第 一 章 静 电 场
1.0 序
静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的
电荷所产生的电场。它是电磁理论最基本的内容。由
此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可应用推
广到恒定电场,恒定磁场及时变场。
本章要求
深刻理解电场强度、电位移矢量、电位、极化等
概念。掌握静电场基本方程和分界面衔接条件。掌握
电位的边值问题及其解法。熟练掌握电场,电位,电
容、能量、力的各种计算方法。
Introduction
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第 一 章 静 电 场
静电参数 (电容及部分电容 ) 静电能量与力
有限差分法 镜像法,电轴法 分离变量法 直接积分法
数值法 解析法
边值问题 边界 条件 电位 ?
基本方程 D 的散度
基本物理量 E,D
基本实验定律（库仑定律）
静电场知识结构
E 的旋度
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第 一 章 静 电 场
1.1.1 库仑定律 (Coulomb’s Low)
Electric Field Intensity and Electric Potential
2
12
0
21
21 π4 R
qq eF ??
?
N (牛顿 )
1221 FF ??
适用条件,
库仑定律
1.1 电场强度 和 电位
图 1.1.1 两点电荷间的作用力
点电荷之间的作用力靠什么来传递？ 思考
两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力 ;
真空中的介电常数
120 108,8 5 ???ε
F/m
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第 一 章 静 电 场
1.1.2 电场强度 ( Electric Intensity )
tq q
zyxzyx
t
),,(),,( l i m
0
FE
?
?
V/m ( N/C )
定义：电场强度 E 等于单位正电荷所受的电场力 F
（ a） 单个点电荷产生的电场强度
R
t
p R
q
qR e
FE
2
0π4
)( ???
V/m
'
'
'π4
)( 2
0 rr
rr
rr
rE ???
?
?
?
q
p
)'(
'π4 30
rr
rr
?
?
?
?
q图 1.1.2 点电荷的电场
一般表达式为
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
（ b) n个点电荷产生的电场强度 ( 矢量叠加原理 )
（ c) 连续分布电荷产生的电场强度
RR
q eE
2
0π4
dd
??
k
N
k k
k
R
q erE ?
?
?
1
2
0π4
1)(
?
图 1.1.4 体电荷的电场
图 1.1.3 矢量叠加原理
元电荷产生的电场
?
? ??
??? N
k k
kkq
1
3
0
)(
π4
1
rr
rr
?
Sd? ld?Vq dd ??,,
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第 一 章 静 电 场
RS R
S eE ?
?
??
2
0
d
π4
1 ?
?
Rl R
l eE ?
?
??
2
0
d
π4
1 ?
?
线电荷分布 lq dd ??
体电荷分布 Vq dd ??
Sq dd ??面电荷分布
RV R
V eE ?
?
??
2
0
d
π4
1 ?
?
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第 一 章 静 电 场
)(π4
d),(d
22 ??
??
?? z
zz
o
E
E
z
z dd
22z ??
??E
Ed
z
d
22 ?
?
?
?
?
解, 轴对称场，圆柱坐标系。
例 1.1.1 真空中有一长为 L的均匀带电直导线，电
荷线密度为,试求 P 点的电场。 ?
?c o sdd z E??E
?? s indd E?E
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图 1.1.5 带电长直导线的电场
x
第 一 章 静 电 场
z
z
zE L
L
o
z d)(π4
2
1 2
322?? ?
??
??
?
z
z
E L
L
o
d
)(π4
2
1 2
322?? ?? ??
??
?
,21 时当 ???? LLL
zzEEz eeE ?? ???? ),,( ???
? e
0π2
?
无限长直导线产生的电场
???
? eΕ
0π2
?
平行平面场。
)(
π4
22
1
1
22
2
2
????
?
?
?
?
?
L
L
L
L
o
)11(
π4
22
1
22
2 ??
?
?
?
?
?
?
LLo
0
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第 一 章 静 电 场
矢量积分与标量积分；
点电荷是电荷体分布的极限情况，可以把它看
成是一个体积很小，电荷密度为,总
电量不变的带电小球体。
)(δ)()( rrr q??
基本概念
平行平面场与轴对称场；
点电荷的相对概念和数学模型
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第 一 章 静 电 场
矢量恒等式 FFF ???????? CCC
)'(
'
1)'(
'
1
'
'
333 rrrrrrrrrr
rr ??
?
?????
?
?
?
???
0)'(
'
'3)'(
'
1
33 ????
?????
?
? rr
rr
rrrr
rr
故 0)( ??? rE 静电场是无旋场
1,静电场的旋度
1.1.3 旋度和环路定律 ( Curl and Circuital Law )
3
0 '
'
π4)( rr
rrrE
?
???
?
q点电荷电场
3
0 '
'
π4)( rr
rrrE
?
??????
?
q取 旋度
0
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第 一 章 静 电 场
2,静电场的环路定律
电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。
由 Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量
?? ????? sl SElE d)(d 0?
说明
? ??l 0d lE即
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第 一 章 静 电 场
1.1.4 电位函数 ( Electric Potential )
负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。
在直角坐标系中
1,E 与 的微分关系 ?
,0??? E 矢量恒等式 0???? ?
由
][ zyx ezeyex ?????????? ???E
根据 E与 的微分关系，试问静电场中的某一点 ?
( )
( ) 00 ??? E??
00 ??? ?E? 下 页 上 页 返 回
????E
所以
第 一 章 静 电 场
2,已知电荷求电位
'
1
π4'
'
π4)( 030 rrrr
rrrE
???
???
??
qq ＝－
Cq
N
i i
i ?
?? ?? 10 'π4
1)(
rrr ??
点电荷群
Cdq
V
??? ?
'0 'π4
1)(
rrr ??
连续分布电荷
以 点电荷 为例
)('π4
0
rrr ?? ??????? q
Cq ??? 'π4)(
0 rr
r ??
lSVq ???? d,d,d d ???式中 相应的积分原域 。''',,lSV
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第 一 章 静 电 场
3,与 E 的积分关系 ?
图 1.1.6 E 与 的积分关系 ?
线积分
?? ????? 00 dd PPPP llE ?
式中
)ddd()(d zyxzyx zyxzyx eeeeeel ?????????????? ????
???? dddd ?????????? zzyyxx
设 P0为电位参考点，即,
则 P点电位为
00 ?P?
? ?? 0 dPPP lE?
? ? ?????0 0 0ddPP PP PP ???lE
所以
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第 一 章 静 电 场
4,电位参考点
例如,点电荷产生的电位,C
r
q ??
0π4 ?
?
00 ??r? ??C
0???r? rq
0π4 ?
? ?0?C
点电荷所在处不能作为参考点
0?? Rr?
R
q
r
q
00 π4π4 ??
? ??RqC
0π4 ?
??
场中任意两点之间的电位差与参考点无关。
选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。
电位参考点可任意选择，但 同一问题，一般只能
选取一个参考点。
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第 一 章 静 电 场
电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。
电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点,
为什么？
见参考书, 电磁学专题研究, P591~P597
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第 一 章 静 电 场
5) 电力线与等位线（面）
0d ?? lEE 线微分方程
z
E
y
E
x
E zyx
ddd
??
直角坐标系
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线 ( 面 )。
Czyx ?),,(?等位线 (面 )方程
曲线上任一点的切线方向是该点电场强度 E 的方向。
电位相等的点连成的曲面称为等位面。
1.1.7 电力线方程
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第 一 章 静 电 场
解,在球坐标系中
21
12
0210 π4
)11(π4 rr rrqrrqp ???? ???
2
12
2
1 )c o s4( ?dr
drr ???
2
0
2
0 π4π4
c o s
rr
qd r
p ??
?? ep ???所以
用二项式展开，又有 r>>d，得
?c os22 drr ???c os21 drr ??
例 1.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线 ( r>>d ) 。
2
12
2
2 )c o s4( ?dr
drr ???图 1.1.8 电偶极子
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第 一 章 静 电 场
)s i nc o s2(π4 3
0
????? eeE ????? rp r
q
?
?
E
r
E
r
r
dd ?电力线方程 ( 球坐标系 ),
?2s inDr ?
等位线方程 ( 球坐标系 ), ?c o sCr ?
将 和 代入 E 线方程 ?E rE
表示电偶极矩 （ dipole moment),方向由 dp q＝
-q 指向 +q。
图 1.1.9 电偶极子的等位线和电力线 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
电力线与等位线（面）的性质,
图 1.1.10 点电荷与接地导体的电场
图 1.1.11 点电荷与不接地导
体的电场
E 线不能相交,
?等 线不能相交；
E 线起始于正电荷，终
止于负电荷 ;
E 线愈密处，场强愈大 ;
E 线与等位线（面）正交；
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第 一 章 静 电 场
图 1.1.12 介质球在均匀电场中 图 1.1.13 导体球在均匀电场中
图 1.1.14 点电荷位于无限大介质上方 图 1.1.15 点电荷位于无限大导板上方
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第 一 章 静 电 场
作散度运算
1.2.1 真空中的高斯定律 (Gauss’s Theorem in Vacuum)
0
)'()(
?
? rrE ??? 高斯定律的微分形式
1,E 的散度
V
V
d)'(
'
'
π4
1)(
3
0
r
rr
rrrE ?
? ? ?
??
0???? ?E0???? ?E 0???? ?E
说明 静电场是有源场,电荷是电场的通量源。
1.2 高斯定律
Gauss’s Theorem
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
2,E 的通量
?? ??? VV VV d1d
0
??E ??
?
??
n
i
iS q
10
1d
?SE
图 1.2.1 闭合曲面的电通量
图 1.2.2 闭合面外的电荷对场的影响
散度定理
S 面上的 E 是
由系统中全部电
荷产生的。
E 的通量等于
闭合面 S 包围的
净电荷。
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第 一 章 静 电 场
1.2.2,电介质中的高斯定律 (Gauss’s Theorem in Dielectric)
1,静电场中导体的性质
导体内电场强度 E 为零，静电平衡；
导体是等位体，导体表面为等位面；
电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面,
接地导体都不带电。（ ）
一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ）
任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不
变的。 （ ）
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第 一 章 静 电 场
无极性分子 有极性分子
图 1.2.3 电介质的极化
2,静电场中的电介质
电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；
电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized charge)；
极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
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E
第 一 章 静 电 场
极化强度 P ( polarization intensity )表示电介质的
极化程度，即
VV ??
?
??
pP l i m
0
C/m2 电偶极矩体密度
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
EP 0?? e? — 电介质的极化率 e?
各向同性 媒质 媒质特性不随电场的方向改变,反
之，称为各向异性 媒质 ；
线性 媒质 媒质参数不随电场的值而变化，反之，
称为非线性 媒质 ；
均匀 媒质 媒质参数不随空间坐标而变化，反
之，称为非均匀 媒质 。 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
极化强度 P 是电偶极矩体密度，单个电偶极子
产生的电位
2
0
2
0 π4
1
π4
c o s
RR
qd Rep ???
??
??
体积 V 内电偶极子产生的电位
'd
'
)'()(
π4
1
' 3
0
VP
V? ?
???
rr
rrr
?
?
3,极化强度与极化电荷的关系
图 1.2.4 电偶极子产生的电位
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
'd)'(π4 1
' 2
0
VR
V
R? ?? erP
??
RRR
R 11'
2 ?????
e?
'd1')'(π4 1
'0
VR
V?
???? rP??
'd)'('π4 1'd)'('π4 1
'
0
'
0
VRVR
VV ??
??????? rPrP ???
矢量恒等式,uuu ???????? FFF )(
下 页 上 页 返 回
图 1.2.5 体积 V 内电偶极矩产生
的电位
第 一 章 静 电 场
'd)'(π4 1'd)'('π4 1
'
n
0
'
0
SRVR
SV ??
?????? erPrP
??
令 P????
p?
极化电荷体密度
neP ??p?
极化电荷面密度
'd)'(
π4
1'd)'(
π4
1)(
'
0
'
0
S
R
V
R S
p
V
p ?? ?? rrr ?
?
?
?
?
'd)'('π4 1'd)'('π4 1
'0'0
VRVR
VV ??
??????? rPrP ???
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
? ? ?
' ' 33
0
'd
'
)')((
'd
'
)')((
π4
1)(
V S
pfpf SV
rr
rr
rr
rr
rE
????
?
0'd'd' ' n ??????? ?V S SV ePP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
' '
0
'd
'
)(
'
'
)(
π4
1)(
V S
pfpf SdV
rrrr
r
????
?
?
思考
根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零
。0?p?电介质均匀极化时，极化电荷体密度
有电介质时，场量为
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第 一 章 静 电 场
4,电介质中的高斯定律
f
ff ??
?
?
?
??
?
? ????????????? )(＋
0
00
p
0
PEPE
定义 PED ??
0?
— 电位移矢量 （ displacement vector）
所以
???? D
高斯定律的微分形式
取体积分
?? ??? VV VV dd ?D
有
? ??S qSD d
高斯定律的积分形式
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第 一 章 静 电 场
在各向同性介质中
ED ??
— 介电常数 F/m
r??? 0?
其中 — 相对介电常数，无量纲量。
er ?? ?? 1
EEEEPED ??????? ?????? 0000 re
构成方程
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第 一 章 静 电 场
例 1.2.1 平板电容器中有一块介质,画出 D, E 和 P 线分布。
图 1.2.6 D,E 与 P 三者之间的关系
D线 E线 P线
思考
D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；
E 线由正电荷出发，终止于负电荷；
P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。
电介质内部的电场强度是否减少了？ 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.2.2 若点电荷 ± q 分别置于金属球壳内外，问
（ 1) 穿过闭合面（金属球壳）的 D 通量是多少？
（ 2) 闭合 面上的 D 与 － q 有关吗？
（ 3) 若在金属球壳外放置电介质，重问 1 ),闭合
面上 的 D 与电介质有关吗？
下 页 上 页 返 回 图 1.2.7 点电荷 ± q 分别置于金属球壳的内外
第 一 章 静 电 场
计算技巧,
a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律
求解。
b） 选择适当的闭合面 作为高斯面，使
中的 D 可作为常数提出积分号外。
? ?S SD d
高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对
称性的场才有解析解。
5,高斯定律的应用
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第 一 章 静 电 场
例 1.2.3 试求电荷线密度为 的无限长均匀带
电体的电场。
?
解, 分析场分布,取 圆柱坐标系
,d qS ??? SD
由
??
? eD
π2? ???
?
? e
DE
0π2
??
0
?? ??? 1 dd SS SDSD L??
LLD ?? ?? π2得
下 页 上 页 返 回
图 1.2.8 无限长均匀带电体
第 一 章 静 电 场
球壳内的电场
qrDS ????? 2π4d SD
rr
q eD
2π4?
球壳外的电场
qrDS ????? 24 πd SD
rr
q eD
2π4?
例 1.2.4 哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？
下 页 上 页 返 回
图 1.2.10 ± q分别在金属球内外
图 1.2.9 q在金属球壳内
第 一 章 静 电 场
1.3 基本方程、分界面上的衔接条件
1.3.1 基本方程 ( Basic Equation )
静电场是 有源无旋场,静止电荷是静电场的源。
Basic Equation and Boundary Condition
静电场的基本方程为
0??? E ???? D微分形式
0d ???l lE qS ??? SD d
积分形式
构成方程 ED ??
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第 一 章 静 电 场
zyx
zyx
AAA
zyx ?
?
?
?
?
?
???
eee
A
z
xy
y
zx
x
yz
y
A
x
A
x
A
z
A
z
A
y
A eee )()()(
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? 0?
矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?
例 1.3.1 已知 试判断它
能否表示静电场？
，zyx zyx eeeA 543 ???
解, 根据静电场的旋度恒等于零的性质,
思考
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第 一 章 静 电 场
包围点 P 作高斯面 ( )。 0??L
1.3.2 分界面上的衔接条件（ Boundary Condition)
1,D 的衔接条件
SSDSD ?????? ?n2n1则有
qS ??? SD d
根据
图 1.3.1 介质分界面
??? n1n2 DD D 的法向分量不连续
当 时,D 的法向分量连续。 0??
n2n1 DD ?
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第 一 章 静 电 场
2,E 的衔接条件
围绕点 P 作一矩形回路 ( )。 0
2 ??L
tt EE 12 ?
E 的切向分量连续。
0d ???l lE
根据
01t21t1 ???? lElE
则有
3,折射定理
当交界面上 时,0??
2
1
2
1
ta n
ta n
?
?
?
? ? 折射定律
n2n1 DD ?
t2t1 EE ?
222111 c o sc o s ???? EE ?
2211 s ins in ?? EE ?
下 页 上 页 返 回
图 1.3.2 介质分界面
第 一 章 静 电 场
0dlim 0
021
???? ?
?
d
d
lE??
4,的衔接条件 ?
设 P1 与 P2 位于分界面两侧,0?d
nEDnED ?
????
?
???? 2
2n22n2
1
1n11n1,
??????
21 ?? ?
因此 电位连续
????? ?????? nn 2211
得 电位的法向导数不连续
由,其中 ???
n1n2 DD图 1.3.3 电位的衔接条件
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
说明 （ 1）导体表面是等位面,E 线与导体表面垂直；
图 1.3.4 导体与电介质分界面
例 1.3.2 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。
解, 分界面衔接条件
t2t1n1n2 EEDD ???,?
??????? ?????? nn 221121,＝
???? ????? n0,c o n s t
0 tn ?? ED,?导体中 E＝ 0,分解面介质侧
（ 2）导体表面上任一点的 D 等于该点的 。 ?
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
解,忽略边缘效应
1221
021
dd
UE
??
?
?? 1221
012
dd
UE
??
?
??
1
121
?
??? EE
2211
0
SS
q
?? ??
图 (a)
图 (b)
02211 qSS ?? ??
2
2
1
1
?
?
?
? ?
例 1.3.3 试求两个平行板电容器的电场强度。
2211 EE ?? ?
02211 UdEdE ??
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图 1.3.5 平行板电容器
第 一 章 静 电 场
1.4 边值问题、惟一性定理
1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation)
?
?? ??? 2 泊松方程
????E0??? E
??? ???????? EEE ??? ??????
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???2? — 拉普拉斯算子
???? D
Boundary Value Problem and Uniqueness Theorem
02 ?? ? 拉普拉斯方程 当 ? =0时
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第 一 章 静 电 场
1.4.2 边值问题 （ Boundary Problem)
边值
问题
微分
方程
边界
条件
初始
条件
场域边界条件 (待讲）
分界面衔
接条件
强制边界条件 有限值
?
?
?lim
0r
自然边界条件 有限值 ?
??
?r
rlim
泊松方程
??? /2 ＝－?
拉普拉斯方程 02 ＝??
21 ?? ＝
????? ?????? nn 2211
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第 一 章 静 电 场
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件,Dirichlet)
2）第二类边界条件（诺依曼条件 Neumann)
3）第三类边界条件
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
已知边界上导体的电位 )(| 1 sfs ??
已知边界上电位的法向导数 (即电荷面密度 或
电力线 )
?
)(2 sfn
S
????
)() 3 sfn
S
??? ??? ＋（ 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
有限差分法
有限元法
边界元法
矩量法
积分方程法
??????
积分法
分离变量法
镜像法、电轴法
微分方程法
保角变换法
??????计算法
实验法
解析法
数值法
实测法
模拟法 边
值
问
题
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第 一 章 静 电 场
例 1.4.2 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。
解,根据场分布的对称性
确定计算场域，边值问题
02
2
2
2
2 ?
?
??
?
???
yx
???
（阴影区域）
Ubxbybybx ??????? )0,0,( 及?
0)0,0,( 222 ????? yxayx?
0),0( ??? ??? aybxx? 0),0( ??? ??? axbyy?
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图 1.4.1 缆心为正方形的
同轴电缆
第 一 章 静 电 场
0)dd(dd1 22222 ??? rrrr ??
)( ??? ra
通解
4
3
221
0
2
1 )(
1
6
)( C
r
CrC
r
Crr ?????? ?
?
??
例 1.4.3 试求体电荷产生的电位及电场。
解,采用球坐标系,分区域建立方程
边界条件
arar ?? ? 21 ??
arar rr ?? ?
??
?
? 2
010
????
有限值?? 01 r?
参考电位 0
2 ???r?
0
12
21
2 )
d
d(
d
d1
?
??? ????
rrrr
)( ar ?
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图 1.4.2 体电荷分布的球体
第 一 章 静 电 场
电场强度（球坐标梯度公式）,
11 )( ????rE
??????????? rarar rr eerE 2
0
2
2
22 3)( ?
???
得到
????
????
ra
r
a
r
arrar
0
3
2
22
0
1
3
)(
0)3(
6
)(
?
?
?
?
?
?
图 1.4.3 随 r变
化曲线
E，?
?? ?
?
??
??? e
rrr ?
??
?
??
?
??
s i n
11 ee
r＝
arrr rr ??????? 03
0
1 ee
?
??
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
20
1,xd
U?? A
答案,（ C ）
1.4.3 惟一性定理 （ Uniqueness Theorem)
例 1.4.4 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
惟一性定理, 在静电场中，满足给定边界条件的
电位微分方程的解是惟一的。
0
0
2,Uxd
U ??? B
0
0
3,Uxd
U ???? C
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图 1.4.4 平板电容器外加电源 U0
第 一 章 静 电 场
1.5 分离变量法
分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得
到微分方程的通解,当场域边界与正交坐标面重合
或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。
1.5.1 解题的一般步骤,
Separation Variable Method
分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；
解常微分方程，并叠加得到通解；
写出边值问题（微分方程和边界条件）；
利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。
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第 一 章 静 电 场
例 1.5.1 试求长直接地金属槽内
电位的分布。
解, 边值问题
1.5.2 应用实例
1,直角坐标系中的分离变量法（二维场）
x
a
yx
axay
ayaxaxyayx
?
?
???
??
?
s i n100
0
0
0,
0,0,00,0
2
2
2
2
2
?
???
?
?
?
?
?
?
??
???
?????????
（ D 域内）
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图 1.5.1 接地金属槽的截面
y
xa?? s in1 00?
第 一 章 静 电 场
分离变量 )()(),(
21 yxyx ??? ?
??? －?2 2
2
2 d
d1
y，?
?
?
?2 1
2
1 d
d1
x
设
? -分离常数,有和＝,0 0,0 22 ????? nn kk ???
0
d
d1
d
d1
2
2
2
22
1
2
1
??
yx
?
?
?
?
代入微分方程,
0
d
d1
0
d
d1
2
2
2
2
2
1
2
1
?
?
y
x
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
d
d1
d
d1
n
n
k
y
k
x
?
??
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
d
d1
d
d1
n
n
k
y
k
x
??
?
?
?
?
?
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第 一 章 静 电 场
))s h (')c h ('))(s i n (')c o s ('(
))s i n ()c o s ())(s h ()c h ((
1
1
ykDykCxkBxkA
ykDykCxkBxkA
nnnnnnn
n
n
nnnnnnn
n
n
???
???
?
?
?
?
?
?
代入边界条件，确定积分常数
),3,2,1( π ????? nank n
0 0 轴) 0 ?? Aya ?
0 0 0) 0 ???? nCCxb,轴 ?
00 ?B0) ?? ?axc
)πs h ()πs i n ('),(
1
yanxanFyx
n
n?
?
?
??
))(()()( 000021 yDCxBAyx ???? ???通解
))s h (')c h (')(s i n (
1
ykDykCxk nnnnn
n
?? ?
?
?
? 沿 x方向作正弦变化,0???? nnn ABA
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图 1.5.2 双曲函数
第 一 章 静 电 场
ayd ?) )πs in (1 00
a
x??
)πs i n ()π(sh')πs i n (1 0 0
1
xannFa x
n
n ?? ?
?
?
比较系数
当 时,1?n 0'?
nF
)πs h ()πs i n (sh π100),( yaxayx ?? ?
当 时,1?n 100sh π'
1 ?F sh π100'1 ?F
)πs h ()πs i n ('),(
1
yanxanFyx
n
n?
?
?
?? ?
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第 一 章 静 电 场
若金属槽盖电位,再求槽内电位分布 0U＝?
通解
)π(sh)πs i n),
1
yanxanFyx
n
n （（ ?
?
?
???
)πs i n ()πs i n ()π(sh
11
0 xa
nEx
a
nnFU
n
n
n
n ??
?
?
?
?
??＝
等式两端同乘以,然后从 积分
xam πsin
a?0
( 1 ) d)πs i n ()πs i n (d)πs i n (
1 00
0 xxa
mx
a
nExx
a
mU
n
a
n
a ? ?? ?
?
?
左式 ??? )πc o s1(
π
0 m
m
aU
1,3,5,.,,
π
2
0,2,4,.,,0
0 ?
?
m
m
aU
m
当 时,
0U＝?ay ?
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第 一 章 静 电 场
右式 ＝
nmE
a
xx
a
n
E
nm
nn ??
?
? 2d)
π
(s in
0
2a
0
代入式 （ 1）
)πs h ('22π2 0 nFaEamaU nn ??
代入通解
)πs h ()πs i n (πsh 1π4),(
1
0 y
a
nx
a
n
nn
Uyx
n
?
?
?
??
n＝奇数
1,3,5,.,,ππ s h4' 0 ??? nmnn UF n
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图 1.5.3 接地金属槽内
的等位线分布
第 一 章 静 电 场
解,取圆柱坐标系，边值问题
0
0
1
)(
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
? ??? ?a
a?? ?0
????
?
?
?
?
?
?
???
?? c o s,0
102
21
021
EEx
a
?????
?
?
?
?
?
?
?
???
根据对称性
0)2,( ),(),( ???? ????????? 及
例 1.5.2 垂直于均匀电场 E 放置
一根无限长均匀介质圆柱棒, 试求
圆柱内外 和 E 的分布。 ?
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图 1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒
第 一 章 静 电 场
当 时,0?n
000000 )( ln)( DCBAR ???? ?????,
当 时,0?n ??????? nDnCBAR
nnnnnnnn s i nc o s)( )( ???? ?,
)s i nc o s()(
1
???? nDnCBA nn
n
n
n
n
n ??? ?
?
?
?
代入微分方程
分离变量,设 )()(),( ?????? R?
0
d
d1
d
d
d
d
2
2
2
22
??
?
?
??
?
?
? ＋R
R
R
R
))(ln(),( 0000 DCBA ??? ?????通解
0dddd 22
2
2 ??? RnRR
????
取 n2 = 常数，令 0
d
d 2
2
2
?? ??? n
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第 一 章 静 电 场
根据, 比较系数得到 ???
? c o s01 E????
当 时,1??? n，? EABA ????
100,0
?
?
????? nBE
n
n
n c o sc o s),(
1
1 ?
?
?
???
根据 0, 0
0002 ????? nBBA??
?
?
?
?
1
2 c o s),(
n
n
n nA ?????
利用给定边界条件确定积分常数
当 时,1??? n，? 0
0 ??? no ABA
??????? nBABA
n
n
n
n
n c o s)()ln(),(
1
00 ?
?
?
?????
通解
根据 ),(),( ?????? ?? 0,0
0 ?? nDC
得到
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
比较系数
12
1
01
1 )( A
a
BEaA
a
BEa ?? ?????? 和当 n=1时,
当 时,An=Bn= 0,则最终解 1?n
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
1
1
1
10
11
c os)c osc os(
c osc osc os
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nanAn
a
B
E
naAn
a
B
Ea
?????
???
由分界面 的衔接条件，得 a??
???? ??????? c o s)( )(c o s),(
0
2
0
1 E
aE
?
???? ??? ?a
a?? ?0 ??
??
???
??
????? c o s2c o s)1(),(
0
0
0
0
2 EE ????
????
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
aE
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
???
??
?es i n)(
)(
1 2
0
2
0
xx Ex eeE
0
02
2
2
??
???
???
??????
2
a?? ?0
图 1.5.5 均匀外电场中介质圆
柱内外的电场
?????
??? eE c o s
)(
)(1
2
0
2
0
11 E
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
介质柱内电场均匀，并与外
加电场 E0 平行，且 E2 < E1 。
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
1.6 有限差分法
1.6.1 二维泊松方程的差分格式
(Difference Form of 2D Poisson’s Equation)
Fyx ???????? ???? 2
2
2
2 （ 1）
二维静电场边值问题
Finite Difference Method
基本思想,将场域离散为许多网格,应用差分原
理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解
网格节点上 的代数方程组的问题。 ?
?
（ 2） )( Lf
L ??
下 页 上 页 返 回 1.6.1 有限差分的网格分割
第 一 章 静 电 场
令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 )
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
03
3
3
02
2
2
003
03
3
3
02
2
2
001
)(
!3
1
)(
!2
1
)(
)(
!3
1
)(
!2
1
)(
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
x
h
???
??
???
?? （ 4）
（ 5）
))((0)()(!1 0
0
00
n
n
K
K
K
K
x xxxxxK ????
?? ?
?
?? （ 3）
由式 （ 4） +（ 5）
2
301
2
2 2
)(
0 hx xx
???? ???
?
?
?
（ 6）
2
402
2
2 2
)(
0 hy yy
???? ???
?
?
?
（ 7） 同理,
? 沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
将式 (6)、式 (7)代入式 (1)，得到
204321 4 Fh????? ?????
当场域中 0??
04 04321 ????? ?????
)(41 243210 Fh????? ?????即
)(41 43210 ????? ????即
若场域离散为矩形网格,差分格式为
F
hhhh
?????? 02
2
2
1
422
2
212
1
2)11()(1)(1 ?????
1.6.2 矩形网格剖分
五点差分格式
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
1.6.2 边界条件离散化 （ Discrete Boundary Condition)
第二类边界条件
hfhnf 2100102,)(＝ ?????? ?????
)2(41 24210 Fh???? ????
第一类边界条件
分界面衔接条件
对称边界条件
,)1 21 2(41 43210 ????? ?????? KKK
baK ???
其中
图 1.6.5 介质分界面
10 f??
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图 1.6.3 对称边界 图 1.6.4 对称分界
第 一 章 静 电 场
1.6.3 差分方程组的求解方法 ( Solution Method )
1、高斯 — 赛德尔迭代法
][41 2)( 1,)(,1)1( 1,)1(,1)1(,Fhk jik jik jik jik ji ????? ??????? ?????
式中,????????,2,1,0,2,1,kji,
迭代过程 直到节点电位满足 为止。 ??? ??? )(
,)1(,kjikji
2、超松弛迭代法
]4[4 )(,2)( 1,)(,1)1( 1,)1(,1)(,)1(,k jik jik jik jik jik jik ji Fh ???????? ??????? ???????
式中,a — 加速收敛因子 （ 1< a <2）
下 页 上 页 返 回
图 1.6.5 网格编号
第 一 章 静 电 场
收敛速度与 a 有明显关系,
收敛因子（ a ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0
迭代次数（ N） >1000 269 174 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式（不唯一）
)πs in (1
2
p
?
?? （正方形场域、正方形网格）
22
112π2
qp ????
（矩形场域、正方形网格）
收敛速度与电位初始值及网格剖分粗细有关；
迭代次数与工程精度 有关。 ?
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第 一 章 静 电 场
边界节点赋已知电位值
赋节点电位初始值
累计迭代次数 N=0
N=N+1
按超松弛法进行一次迭代，求 )1(
,?Nji?
打印
),( jiN ?，
N
Y
程序框图
??? ??? )(,)1(,kjikji
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
上机作业要求,
1,试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。
给定边值：如图示；
已知,
mm 104cm 4 ??? aha,
计算,迭代次数 N =?,分布。
ji,?
0)0(,?ji?给定初值,
510 ???误差范围,
下 页 上 页 返 回
图 1.6.6 接地金属槽的网格剖分
第 一 章 静 电 场
给定边值：如图示；
已知,
mm14040cm4 ??? ha,
2,按对称场差分格式求解电位的分布
计算, 1) 迭代次数 N =?,分布；
ji,?
)1(401 0 0)1(12,????? jjpji ???
给定初值,
510 ???误差范围,
2) 按电位差 画出槽中等位线。 10???
下 页 上 页 返 回
图 1.6.7 接地金属槽内半场域
的网格剖分
第 一 章 静 电 场
3.选做题 已知,无限长矩形屏蔽空腔中长
直矩形导体的横截面如图示，且
给定参数为
V100,或,
V100,或,
0,或 1,1
0,或 1,1
2121
2121
?????
?????
?????
?????
?
?
?
?
MIMINJN
NJNJMIM
M IINJ
NJJMI
图 1.6.8 无限长矩形屏蔽空
腔中长直矩形导体的横截面
要求 用超松弛选代法求解无限长矩形屏蔽空腔
中长直矩形导体周围的电位分布 ;
画出屏蔽腔中矩形导体周围等位线分布 ;
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第 一 章 静 电 场
1.7 镜像法与电轴法
1.7.1 镜像法 （ Image Method)
1,平面导体的镜像
图 1.7.1 平面导体的镜像
Image Method and Electric Axis Method
方程相同，边界条件相同，解惟一。
下 页 上 页 返 回
空气中除点电荷外
0＝导板? qS ??? SD d
,
02 ?? ?a
02 ?? ? 上半场域除点电荷外 b
0π4π4
00
??? rqrq ??? qS ??? SD d
第 一 章 静 电 场
地面上感应电荷的总量为
（方向指向地面）
?? ?? EEE
2
0π4
c o s2
r
qE
?
??
2/322
0 )(π2 xh
qh
?? ?
2/3220 )(π2＝ xh
qhED
np ????? ??
xxxh qhS
S p
dπ2)(π2d
0 2/322
???? ?? ??
q??
例 1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
解,设点电荷 q 镜像后
图 1.7.2 地面电荷分布 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
2,球面导体的镜像
点电荷位于接地导体球外的边值问题
（ 除 q点外的空间 )
0
02
??
??
?? 球面
??
?
r
0π4 'π4
2010
??? rqrqp ???
?
?
c os2
c os2
222
2
222
1
RbRbr
RdRdr
???
???
设镜像电荷 如图，球面电位 'q
下 页 上 页 返 回
图 1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
第 一 章 静 电 场
0c o s)'(2)](')([ 22222222 ?????? ?bqdqRRdqRbq
将 r1,r2 代入方程,得 0'
12 ?? rqrq
0'
0)(')(
22
222222
??
????
bqdq
RdqRbq
联立求解
得到
q
d
R
q
d
b
q
d
R
b
??
?
'
2
镜像电荷位置
镜像电荷大小
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
球外任一点 P 的电位与电场为
2010 π4
'
π4 r
q
r
q
p ??? ??
21 2
20
2
10 π4π4
rrP rd
qR
r
q eeE
??
??
图 1.7.5 球外的电场分布
镜像电荷放在当前求解的场域外。
镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图 1.7.4 球外的电场计算
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷 q的电场分布。
则
d
Rbq
d
Rq 2,' ??
)
dd
1(
π4 21 222120 rrr r
R
r
R
r
q eeeE ???
?
任一点场强
解,边值问题
0d c o n s t
02
???
??
?SS SD?
?
（ 除 q点外的空间 )
通量为零 （ 大小相等） '-,' qq
球面等位（ 位于球心） 'q
思路
图 1.7.6 不接地金属球的镜像
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
用镜像法求解下列问题，试确定镜像电荷的个
数，大小与位置。
图 1.7.7 点电荷位于不接地导体
球附近的场图
任一点电位
)dd1(π4
210 r
R
r
R
r
q ???
??
d
q
0π4 ?
? ＝
球面电位
思考
下 页 上 页 返 回 图 1.7.8 点电荷对导体球面的镜像
第 一 章 静 电 场
3,不同介质分界面的镜像
t2t1 EE ?
n2n1 DD ?
根据惟一性定理
图 1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
?????? c o sπ4 ''c o sπ4 'c o sπ4 2
2
2
1
2
1 r
q
r
q
r
q ??
21
21'
??
??
?
21
22''
??
?
??
和 解得
??? s i nπ4 ''s i nπ4 's i nπ4 222 rqrqrq ??
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
图 1.7.10 电场分布图
试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置。 思考题,
中的电场由 q 与 q’ 共同产生,q’
等 效替代极化电荷的影响。
1?
中的电场由 q” 决定,q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
2?
图 1.7.11 点电荷 q1 与 q2 分别置于 与 区域中
1? 2?
1?
思考
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提示
第 一 章 静 电 场
1.7.2 电轴法 （ Electric Axis Method）
(导线以外的空间 ) 02 ?? ?
c o n s tB导体 ??
? ???S 电荷分布不均,d ?SD
? ??S 电荷分布不均匀,d ?SD
c o n s tA导体 ??
能否用高斯定律求解？ 思考
边值问题
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1.7.12 长直平行双传输线
第 一 章 静 电 场
1,两根细导线产生的电位
11
00
1 lnπ2dπ2
1
CQ ???? ? ????????
?
以 y 轴为参考电位, C=0,则
22
22
01
2
0 )(
)(ln
π2
ln
π2 ybx
ybx
P ??
????
?
?
?
?
?
??
令,C,等位线方程 ?
P? 2
22
22
)(
)( K
ybx
ybx ?
??
??
CP ????
1
2
0
21 lnπ2 ?
?
?
????
22
0
2 lnπ2 C??? ??
??
图 1.7.13 两根带电细导线
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
K 取不同值时，得到一族偏心圆。
a,h,b满足关系
22 ba ?
2
2
22
2
2
)12()11( ?????? K bKybKKx
整理后，等位线方程
? ?0,h圆心坐标
圆半径
1
2
2 ?? K
bKa
))((222 bhbhbha ?????
图 1.7.14 两根细导线的等位线
下 页 上 页 返 回
bKKh 112
2
?
??
22
2 )1
2( b
K
bK ?
??
2
2
2
)11( bKK ???
2h?
第 一 章 静 电 场
x
y
E
E
x
y ?
d
d
4
)
2
(
2
12212 KbKyx ????
根据,得到 Ex 和 Ey 分量 ????E
图 1.7.15 两细导线的场图
E 线方程
思考
若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳,
是否会影响电场分布？
若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
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第 一 章 静 电 场
2,电轴法
)11(π2
210
21 ?? ???
? eeE ??
P
( 以 y 轴为参考电位 )
例 1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。
b) 圆柱导线间的电场与电位
解, a) 取圆柱坐标系
1
2
0
lnπ2 ????? ?p
22 ahb ??电轴位置
下 页 上 页 返 回 图 1.7.16 平行传输线电场的计算
第 一 章 静 电 场
例 1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
?
?
?
?
?
??
??
??
21
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
hhd
ahb
ahb
图 1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
21,,hhb确定?
解,
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第 一 章 静 电 场
1）参考电位的位置；
2）有效区域。
21
12
22
2
2
2
22
1
2
1
,,hhb
dhh
bah
bah
?
?
?
?
??
?
?
??
??
??
解,确定
例 1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。
注意,
图 1.7.18 偏心电缆电轴位置 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.7.6 已知平行传输线之间电压为 U0,试求电位分布。
22)
2( a
db ??
??
?
??
?
??
???
??
???
)(
)(ln
)(
)(ln
π2 00 ahb
ahb
ahb
ahbU
?
?
?
?
?
?
??
hd
ahb
2
222
解,确定电轴的位置
1
2
0
lnπ2 ????? ?
1
20 ln
)(
)(ln2 ?
?
?
ahb
ahb
U
??
??
?
所以
设电轴线电荷,任一点电位 ??
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图 1.7.19 电压为 U0的传输线
第 一 章 静 电 场
镜像法（电轴法）小结
镜像法（电轴法）的理论基础是,
镜像法（电轴法）的实质是,
镜像法（电轴法）的关键是,
镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区
域。叠加时，要注意场的适用区域。
用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分
布，使计算场域为无限大均匀媒质；
静电场惟一性定理；
确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；
应用镜像法（电轴法）解题时,注意,
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第 一 章 静 电 场
1.8.1 电容器的电容 （ Capacitance of Capacitor)
Capacitance and Distributed Capacitance
1.8 电容及部分电容
U
QC ?定义,pFμ F,F,单位,
电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的
介质有关。
工程上的 电容器, 电力电容器，电子线路用的各
种小电容器。
电容的计算思路,
U
QCUQ
l ?????? ? d lEE
设
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第 一 章 静 电 场
解,设内导体的电荷为 q,则
q???S d SD
rr r
q
r
q eEeD
2
0
2 π4,π4 ???
)11(π4d
0 ba
qU b
a
???? ? ?rE
同心球壳间的电压
ab
ab
U
qC
???
0π4 ?
球形电容器的电容
aC 0π4 ??当 时 ??b （孤立导体球的电容）
例 1.8.1 试求同心球壳电容器的电容。
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图 1.8.1 同心球壳电容器
第 一 章 静 电 场
1.8.2 部分（分布）电容 （ Distributed Capacitance)
1,已知导体的电荷，求电位和电位系数
图 1.8.2 三导体静电独立系统
多导体系统
静电独立系统
部分电容
基本概念
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第 一 章 静 电 场
导体的电位与电荷的关系为
3222110010 qaqaqaqa ＋????
)( 3210 qqqq ＋???
3322110020 qbqbqbqb ＋????
3322110030 qcqcqcqc ???＝?
31321211110 qaqq ＋??? ??
32322212120 qaqq ??? ???
33323213130 qaqaqa ????
qα??
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第 一 章 静 电 场
导体 i 电位的贡献；
?i i — 自有电位系数，表明导体 i 上电荷对
? — 电位系数，表明各导体电荷对各导体电
位的贡献；
?i j— 互有电位系数，表明导体 j 上的电荷对
导体 i 电位的贡献 ；
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矩阵形式 qα??
第 一 章 静 电 场
2,已知带电导体的电位，求电荷和感应系数
3332321313
3232221212
3132121111
??????
??????
??????
???
???
???
q
q
q
? — 静电感应系数，表示导体电位对导体电
荷的贡献；
?ii— 自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i
电荷的贡献；
?ij— 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电
荷的贡献。
?? βαq 1 ?? ?矩阵形式,
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第 一 章 静 电 场
3,已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容
）－（）－ 3113211211312111 ()( ?????????? ?????q
131312121010 UCUCUC ???
2323202021212 UCUCUCq ???
3030323231313 UCUCUCq ???
uc q ?
矩阵形式
部分电容的性质
静电独立系统中 n＋ 1个导体有 个部分电容
2
)1( ?nn
Ci j均为正值,
jiij CC ? 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力
线相连；
部分电容可将场的概念与电路结合起来。
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图 1.8.3 部分电容与电容网络
第 一 章 静 电 场
例 1.8.2 试计算考虑大地影响时，两线传输线的
部分电容及等效电容。已知 d>>a,且 a<<h。
32 )12(22 )1( ????nn
21122010,CCCC ??
解,部分电容个数
由对称性，得
22012212
21121101
)(
)(
????
????
CC
CC
???
??? (1)
图 1.8.4 两线输电线及其电容网络
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第 一 章 静 电 场
电容与带电量无关，故,0,1
21 ?? ??
则
d
dh
a
h
22
0
2
0
1
4
ln
π2
1
2
ln
π2
1
?
?
?
?
?
?
?
利用镜像法，两导体的电位
),lnπ2(
1
2
0
adrr ??? ??
代入式（ 2），得
2101212
2112110
)(0
)(1
???
???
CC
CC
???
??? (2)
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图 1.8.5 两线输电线对大地的镜像
第 一 章 静 电 场
联立解得
两线间的等效电容,
)
4
2
l n (
π2
22
0
2010
2010
12
dh
d
d
hCC
CC
CC e
?
?
?
?
??
?
ad
dhh
C
22
0
10
42
ln
π2
?
?
? ? ?
? ? 2222
22
0
12
)4( l n)
2
( l n
4lnπ2
ddh
a
h
ddh
C
??
?
?
?
d
dh
C
hd
dha
C
dha
hd
C
a
h
C
22
0
10
22
0
12
22
0
12
0
10
4
ln
π2
1
2
4
ln
π2
1
0
4
2
ln
π2
12
ln
π2
1
1
?
??
?
??
?
????
??
??
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
202021212
121210101
UCUCq
UCUCq
??
??
所以
2020210101 UCqUCq ??,
静电屏蔽在 工程上有广泛应用 。
图 1.8.6 静电屏蔽
三导体系统的方程为,
4,静电屏蔽
当 时,0
1 ?q 01212 ?UC 02112 ?? CC;010 ?U
说明 1 号与 2 号导体之
间无静电联系，实现了静电屏蔽。
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第 一 章 静 电 场
1.9 静电能量与力
1.9.1 静电能量 (Electrostatic Energy)
Electrostatic Energy and Force
1,用场源表示静电能量
120
1
2222 π4 R
qqqW
?? ??
)(π4
23
2
31
1
0
3
333 R
q
R
qqqW ??
?? ＝
q3 从 移到 c点，所需能量 ?
q2 从 移到 b 点，需克服 q1 的电场力做功,?
q1 从 移到 a 点不受力，所需能量 W1=0,?
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图 1.9.1 点电荷的能量
第 一 章 静 电 场
总能量
)(π4 1
31
13
23
32
12
21
0
321 R
R
R
qqWWWW ??????
?
)]()()([π4 121
23
2
31
1
3
23
3
12
1
2
13
3
12
2
1
0 R
q
R
R
q
R
R
q
R
qq ???????
?
i
i
iqqqq ???? ?
?
????
3
1
332211 2
1)(
2
1
推广 1,若有 n 个点电荷的系统，静电能量为
i
n
i
iqW ??
?
?
12
1 单位,J（焦耳）
推广 2, 若是连续分布的电荷,lSVq d,d,dd ????
?? V VW,d21 ??,d21 ?? S SW ?? ?? l lW d21 ??
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第 一 章 静 电 场
2,用场量表示静电能量
??? ??????? DDD )()（矢量恒等式
?? ?????? VV VVW ]d d) ([21 ?? DD ?? ???? VS Vd21d21 EDSD?
J d21 单位,VW V? ?? ED
能量密度
3J / m
2
1 ED ??w
因 当 时，面积分为零，故
,1 3rD ??
??r,2rs ?
能量
? ??V Vd21 D??? ?V VW d21 ??
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第 一 章 静 电 场
例 1.9.1 试求真空中体电荷密度为 的介质球产生
的静电能量。
?
rrErrEVW
VVV
dπ421＋dπ421d21 2220221e
21 ???
??? ??ED
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ar
r
a
ar
r
r
r
e
e
E
2
0
3
3
3
?
?
?
?
）＋（
0
52 1
5
1
9
π2
??? a?
解法一 由场量求静电能量
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
解法二 由场源求静电能量
球内任一点的电位
)
2
－
2
(
3
d
π4
3/π4
d
π4
3/π4
＝
0
222
2
0
3
2
3
???
?
?
?
?
?
?
ara
r
r
a
r
r
r
a
a
??
? ??
?
r
代入式（ 1）
)
1
5
1
(
9
π2
dπ4)
22
(
32
1
0
52
2
0
222
0
2
??
?
???
?
??
??? ?
a
rr
ara
W
a
d21 ??
V
VW ??
(1)
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.9.2 原子可看成由带正电荷 q的原子核被体电荷分
布的负电荷云 -q包围，试求原子结合能。
解,
体点总 WWW ??
52
0
体 15
π4 aW ?
???
0
2
0
2
2
0 2
)3(2)0( ????? ara r ????? ??
a
qa
a
q
00
2
3 π8
3
2π
3
4 ??
????
a
q
0
2
π8
3
???
)0(?? ?qW 点
例 1.9.1中当 时 ???? ＝－, ＝
0
a
q
a
qaW
0
2
0
2
52
0
总 π40
9
π8
3
15
π4
???? ???? 下 页 上 页 返 回
图 1.9.2 原子结构模型
第 一 章 静 电 场
1.9.2 静电力 (Electrostatic Force)
1,虚位移法 ( Virtual Displacement Method )
功 = 广义力 × 广义坐标
广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度
广义力 机械力 表面张力 压强 转矩
单 位 N N/m N/m2 N m
广义力 f,企图改变广义坐标的力。
广义坐标 g：距离、面积、体积、角度。
下 页 上 页 返 回
力的方向, f 的正方向为 g 增加的方向。
第 一 章 静 电 场
（ 1）常电荷系统（ K断开 ）
gfW dd0 e ?? edd Wgf ??
表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场
中静电能量来实现。
.c o n s t
e
??
???
kqg
Wf
在多导体系统中，导体 p发生位移 dg后,其功能关系为
外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功
gfWW ddd e ??
即
图 1.9.3 多导体系统 ( K 断开 )
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
?? kk qW dd ?
?? ?? gfqq kkkk dd21d ??
外源提供能量的增量
说明,外源提供的能量有一半用于静电能量的
增量，另一半用于电场力做功。
（ 2） 常电位系统（ K 闭合）
广义力是代数量,根据 f 的,±, 号判断力的方向。
c o n s t
e
??
??
kg
Wf
?
图 1.9.4 多导体系统 ( K 闭合 )
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
解法一, 常电位系统
cd
Wf
??
??
?
e 0
22 2
0
22
??????? d SUdCU ?
2
e 2
1 CUW ?
d
SC 0??
例 1.9.3 试求图示平行板电容器极板的电场力。
图 1.9.5 平行板电容器
取 d 为广义坐标（相对位置坐标）
负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
解法二, 常电荷系统
S
dq
C
qW
0
22
e 2＝2
1
???
0
2 0
2
???
?
???
? S
q
d
Wf
cq ?
负号表示电场力企图使 d 减小，即电容增大。
2
2
0
0
22
0
0
22
222 d
USES
S
DSf ?
?
?
?
??????
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
例 1.9.4 图示一球形薄膜带电表面，半径为 a,其
上带电荷为 q，试求薄膜单位面积所受的电场力。
解,取体积为广义坐标
C
qW 2
e 2
1 ?? aC
0π4 ??
)π
3
4( 3
ee
a
W
V
Wf
cq ?
???
?
???
?
)π4 12(π4
0
2
2 a
q
aa ???
???
f 的方向是广义坐标 V增加的方向，表现为膨胀力。
0π32 4
0
2
2
?? aq ?
N/m2
下 页 上 页 返 回
图 1.9.6 球形薄膜
第 一 章 静 电 场
2,法拉第观点（ Farade’s review）
法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向
受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力,其大小为
图 1.9.9 根椐场图判断带电体受力
ED ?? 21f )mN(
2
下 页 上 页 返 回
图 1.9.7 电位移管受力情况
图 1.9.8 物体受力情况
第 一 章 静 电 场
例 1.9.5 计算平板电容器中介质分界面上的压强。
图 (a)
）
21
2
2121
11(
22
1
2
1
?? ??????
DDEDEfff
若,则 力由 指向 。
21 ?? ? 2112,,0 ??fff ??
结论, 分界面受力总是从 大的介质指向 小的介质。 ? ?
下 页 上 页 返 回
图 1.9.10 平行板电容器
(a) (b)
第 一 章 静 电 场
图 (b)
21 fff ??
结论, 分界面受力总是从 大的介质指向 小的介质。 ? ?
若,则 力由 指向 。
2121,,0 ??fff ??21 ?? ?
(b) ）(
22
1
2
1
21
2
21 ?? ????
EEDED
下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
静态场的应用
图 1.9.11 静电分离
Steady Field Applications
图 1.9.12 静电喷涂
上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
对场点坐标作散度运算
'd)'()
'
'(
π4
1)(
' 3
0
V
V
r
rr
rrrE ?
? ? ?
??????
'd)'(
'
'
π4
1)(
' 3
0
V
V
r
rr
rrrE ?
? ? ?
??
矢量恒等式 FFF ???????? CCC )()(
)'(
'
1)'()
'
1()
'
'(
333 rrrrrrrrrr
rr ???
?
???
?
??
?
???
35 '
3)'(
'
)'(3
rr
rr
rr
rr
?
???
?
???
33 '
3
'
3
rrrr ?
?
?
??
推导电场强度的散度公式
下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
即场点与源点不重合时 0)( ??? rE
'd)'()'1(π4 1
'
2
0
V
V
rrr ?? ? ????
时当 0' ?? rr
0'?? rr当 )'(π4)
'
1(2 rr
rr ????? ?
'd)'()
'
'(
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????? 时，当 0
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所以
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V
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第 一 章 静 电 场
对称场源高斯面的选取
球、轴、面对称场源的高斯面
球对称分布：如均匀带电的球面，球体和多
层同心球壳等。
轴对称分布：如无限长均匀带电的细线，圆
柱体，圆柱壳等。
无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平板
有厚度的带电平板等。
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第 一 章 静 电 场
即必满足拉普拉斯方程则其差值方程
均满足泊松与位函数设场中任一点有两个电
,,21
21
??
??
??u
VuuuVuu S VV d)(dd)( 2? ?? ???????? S
惟一性定理的证明
022122 ????????? ??????u
（ 1）
222 )()()(代入矢量恒等式 uuuuuu ?????????（ 2）
对式（ 2）两端求体积分
证明（反证法）
d)(dd 2 VuSnuuuu
VSs ???
??????? S
即 (3)
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第 一 章 静 电 场
2,若为第二类边值问题，在边界上
1,若为第一类边值问题，在边界上 有限，且
n?
??
0,,210201 ????? ?????? u
故面积分为零，要满足式（ 3），必有,即 0)( 2 ?? u
cuu ?????? 21 0 ??
此式也必须满足边界，所以 c＝ 0，有,
电位是惟一的。
21 ?? ?
0,,210201 ??????????????? nnnufnfn ????
同上原因,或,即
电场强度是惟一的。当电位参考点确定后，电位是惟
一的,
0??u 021 ???? ?? 021 ???? ??
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第 一 章 静 电 场
电力电容 下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
电力电容 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
冲击电压发生器 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
电力电容 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
变压器（ 6kV:250kV） 调压器（ 0~6kV）
水电阻
可产生 1800kV冲击电压 放电铜球 放电线路
六氟化硫 SF6气体绝缘设备
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第 一 章 静 电 场
电力电缆 下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
220kV XLPE交链聚乙烯高压电力电缆
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第 一 章 静 电 场
6kV三相矿用橡套电缆（中间地线、右侧测量线）
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第 一 章 静 电 场
电力电缆 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
屏蔽室门 下 页 返 回
第 一 章 静 电 场
屏蔽室门（双层铜皮） 下 页 上 页 返 回
第 一 章 静 电 场
测量局部放电 上 页 返 回
