第 三 章 恒定磁场
第三章 恒定磁场
Steady Magnetic Field
恒定磁场基本方程 ?分界面上的衔接条件
序
磁感应强度
磁通连续性原理 ?安培环路定律
磁矢位及边值问题
磁位及边值问题
镜像法
电感
磁场能量与力
磁路
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第 三 章 恒定磁场
Introduction
3.0 序
导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围
的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，
称为 恒定磁场 。
恒定磁场的知识结构。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场,
但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时,
注意类比法的应用。
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第 三 章 恒定磁场
磁矢位 （ A）
边值问题
解析法 数值法
有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法
电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算
基本实验定律 (安培力定律）
磁感应强度 （ B） (毕奥 — 沙伐定律 )
H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位 ( ) m? 分界面衔接条件
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第 三 章 恒定磁场
本章要求
深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度
的概念。
掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。
了解磁位及其边值问题。
熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方
法。了解磁路及其计算方法。
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第 三 章 恒定磁场
3.1.1 安培力定律 (Ampere’s Force Law )
? ? ??? l l RRII' 2
''
0 )d(d
π4
ellF ?
两个载流回路之间的作用力 F
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density
图 3.1.1 两载流回路间的相互作用力
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式中,为真空中的磁导率 ?0
第 三 章 恒定磁场
? ?? ???? l I 30 )(dπ4 rr rrl?
磁场力
BlellF ????? ?? ?
ll l
R I
R
IμI d)d
π4(d ' 2
'
0
电场力
EeF qR Vq R
V
??? ?
?
)dπ4 1( 2
0
?
?
定义,磁感应强度
? ?? l RRI 2
'
0 d
π4
elB ? 单位 T（ Wb/m2）
3.1.2 毕奥 — 沙伐定律,磁感应强度
( Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density )
力 = 受力电荷 电场强度 ?
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力 = 受力电流 磁感应强度 ?
第 三 章 恒定磁场
毕奥－沙伐定律 适用于无限大均匀媒质 。
V
V
?
??
????? ?
?
d)()(π4 30
rr
rrrJB ?体电流
? ? ??? ????? S Sd)()(π4 30 rr rrrKB ?
面电流
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? ?? ???? l I 30 )(dπ4 rr rrl??
??
l
R
R
I
2
'
0 d
π4
elB ?线电流
第 三 章 恒定磁场
zzIB L L d)(π4 1
2 2322
0 ?
? ?? ?
??
?
][π4
2
2
2
2
2
1
2
10
L
L
L
LI
?
?
?
?
???
?
)s ins in(π4 210 ???? ?? I
当 时,???? 21 LL,
??
? eB
π2
0 I?
?? Reld ???ez s ind ??? es ind z ?? ezR d
例 3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解, 采用圆柱坐标系，取电流 I dz,
? ?? L RRI 20 dπ4 elB ?
式中 222 zR ?? ?
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图 3.1.2 长直导线的磁场
第 三 章 恒定磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为 R的圆环,
试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。
根据圆环电流对 P 点的对称性,
0d s indd ?? yx BBB ?
rRθ /s in ?
)(π4
2
s ind
d 22
0
xR
I
B
?
?
?? l
解,元电流 在 P 点产生的 为 Idl B
2
0
π4
dd
r
I relB ?? ? )d( rI el
图 3.1.3 圆形载流回路
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第 三 章 恒定磁场
xlxR
I el
??
?
??
?
?? ? ds in)(π4 22
0 ??
图 3.1.4 圆形载流回路轴线上的
磁场分布
xRxR
R
xR
I e
?
?
?
?
?
? ?
?
??? π2)(π4
2222
0?
xxR
IR e
2/322
2
0
)(2 ??
?
?
??
s in
)(π4
2
s ind
d 22
0
xR
lI
B x
?
?
xxB eB ?
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第 三 章 恒定磁场
根据对称性,By = 0
)(π2
d
π2
dc o s
π2
dd
22
000
yx
xKyyxKxKB
x ?????
?
??
??
?
?
解,取宽度 dx 的一条无限长线电流
xB ? ??
?? ??? )(
d
π2 22
0
yx
xKy?
0
2
0 ?yK
xe
?
020 ?? yK xe?
?B
例 3.1.3 无限大导体平面通有面电流,
试求磁感应强度 B 分布。
zK e?K
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图 3.1.5 无限大电流片及 B
的分布
第 三 章 恒定磁场
3.2 磁通连续性原理 ? 安培环路定律
表明 B 是无头无尾的闭合
线，恒定磁场是无源场。
VR zyxzyx V R ?????? ? ? d),,(π4),,( 20 eJB ?
3.2.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )
1,恒定磁场的散度
可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场
的必要条件。
0??? B
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law
进行 散度运算 后 0??? B
图 3.2.1 计算体电流的磁场
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第 三 章 恒定磁场
2,磁通连续性原理
表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。
直角坐标系
z
B
y
B
x
B zyx
ddd ??
3,磁感应线
磁感应线 穿过非闭合面 S 的磁通
? ?? SΦ SB d
单位, Wb (韦伯 )
0??? B根据
? ??V VdB
有
0d ?? lB磁感应 线方程
散度定理
0d ??? SBs
图 3.2.2 B 的通量 ?
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第 三 章 恒定磁场
磁感应 线的性质,
图 3.2.3 导线位于铁板上方
图 3.2.4 长直螺线管 的 磁场
磁感应 线是闭合的曲线 ;
磁感应 线不能相交；
磁感应 强处, 磁感应 线
稠密，反之，稀疏。
闭合的 磁感应 线与交链
的电流成右手螺旋关系；
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第 三 章 恒定磁场
图 3.2.5 一对反向电流传输线 图 3.2.6 一对同向电流传输线
图 3.2.7 两对反相电流传输线 图 3.2.8 两对同向电流传输线
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第 三 章 恒定磁场
3.2.2 安培环路定律 (Apere’s Circuital Law)
1,恒定磁场的旋度
z
xy
y
zx
x
yz
zyx
zyx
y
B
x
B
x
B
z
B
z
B
y
B
BBB
zyx
eee
eee
B )()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
在直角坐标系中
? ? ??? ??????? V Vzyx d)(),,(π4 30 rr rrJB ?
（ 毕奥－沙伐定律 ）
恒定磁场是有旋场
??
????
0
)( 0 JrB ?
（有电流区）
（无电流区）
旋度运算后，得到
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第 三 章 恒定磁场
2,真空中的安培环路定律
用斯托克斯定理 ?
?
?
??
n
k
kl I
1
0d ?lB
环路上的 B 仅与环路交链的电流有关吗？
真空中的安培环路定律
Il 0d ???? lB
JB 0???? B 的旋度
SJSB dd)( 0 ????? ?? SS ?
等式两边取面积分
思考
当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正
值，否则取负；
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第 三 章 恒定磁场
LKLBLBl ???????? 021d ?lB
根据对称性 BBB
21 ??
?B
y
K e
2
0?
y
K e
2
0??
0?x
0?x
例 3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。
解,定性分析场分布，取安培环
路与电流呈右手螺旋
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图 3.2.9 无限大载流导板
第 三 章 恒定磁场
解,平行平面磁场,
?? eBB )(?
2
1
2
2
2
1
ππ ???? III ????
例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
2
1
2
0π2d ?
??? IB
l
???? lB
??
?? eB
2
1
0
π2
I?故
10)1 ?? ??
图 3.2.11 安培定律示意图
安培环路定律 I
l ???? 0d ?SB
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图 3.2.10 同轴电缆
第 三 章 恒定磁场
2
2
2
3
22
30 )(π2d
??
????
?
????? IB
l
lB
???
??
?
? eB
2
2
2
3
22
30
π2 ?
??? I得到
21)2 ??? ??
IBl 0π2d ?? ???? lB
得到
??
? e
π2
0 I?B
2
2
2
3
22
3
2
2
2
3
2
2
2
??
??
??
??
?
??
?
???? IIII
,32)3 ??? ??
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图 3.2.12 同轴电缆的磁
场分布
第 三 章 恒定磁场
3,介质的磁化 （ magnetization）
2）介质的磁化
无外磁场作用时，介质对
外不显磁性,
?
?
?
n
i
i
1
0m
1）磁偶极子 (magnetic dipole)
?
?
?
n
i
i
1
0m
在外磁场作用下，磁偶极
子发生旋转,
Sm dI? Am
2 磁偶极矩
( magnetic dipole moment )
图 3.2.14 介质的磁化
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图 3.2.13 磁偶极子
m=IdS
dS
第 三 章 恒定磁场
转矩为 Ti=mi× B,旋转方向
使磁偶极矩方向与外磁场方向一
致，对外呈现磁性，称为磁化现
象。
磁化强度 （ magnetization Intensity）
V
n
i
i
V ?
?
?
?
??
1
0
lim
m
M （ A/m）
图 3.2.15 磁偶极子受磁
场力而转动
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第 三 章 恒定磁场
3） 磁化电流
体磁化电流
MJ ???m
nm eMK ??
面磁化电流
例 3.2.3 判断磁化电流的方向。
有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化
电流共同作用，在真空中产生的。
磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
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第 三 章 恒定磁场
4） 磁偶极子与电偶极子对比
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模 型 极化与磁化 电场与磁场
电
偶
极
子
磁
偶
极
子
dp q?
Sm dI?
MJ ???m
nm eMK ??
neP ??p?
P- ???pρ
第 三 章 恒定磁场
4.有磁介质时 的环量与旋度
SM d)(00 ????? ?SuIu
???? Il 0d ?lB )( m0 II ??
SJ dm00 ??? ?sI ??
? ??? luIu lM d00
移项后
I
l
???? lMB d)(
0?
定义,磁场强度
MBH -
0?
?
A/m
则有 ?? ?? I
l lH d
安培环路定律
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图 3.2.16 H 与 I 成右螺旋关系
第 三 章 恒定磁场
图 3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？
图 3.2.17 H 的分布与磁介质有关
图 3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？
有磁介质存在时，重答上问。
?? ?? Il lH d
安培环路定律
思考
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图 3.2.16 H 与 I 成右螺旋关系
第 三 章 恒定磁场
5,B 与 H 的关系
实验证明，在各向同性的线性磁介质中
积分式对任意曲面 S 都成立，则
JH ??? 恒定磁场是有旋场
6,H 的旋度
ΗB ??即
?r— 相对磁导率。
??? )(0 MHB ? ?? )1( m0 ?? H HH ??? ?r0
?? ???? Sl I SJlH dd ?? ????? SS SJSH dd)(
斯托克斯定律
— 磁化率。 m?
r??? 0?
H/m 磁导率
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第 三 章 恒定磁场
解, 在镯环中,,为有限值，故 H = 0。
??? HB ??
NIl ??? lH d NIrH ?? ?
,?? eH rNI? ?
?
? eB
r
NI0?
例 3.2.4 一矩形截面的镯环，镯环上绕有 N 匝线
圈，电流为 I,如图示，试求气隙中的 B 和 H。
取安培环路的半径,
且环路与 I 交链,
21 RrR ??
图 3.2.18 镯环磁场分布
忽略边缘效应
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第 三 章 恒定磁场
解, 平行平面磁场，且轴对称，故
IHl ???? ?π2d lΗ
例 3.2.5 有一磁导率为 μ，半径为 a 的无限长导
磁圆柱,其轴线处有无限长的线电流 I,圆柱外是空
气，磁导率为 μ0,试求 B,H 与 M 的分布。
磁场强度
???? ?? ? 0π2 eH I
下 页 上 页 返 回 图 3.2.19 磁场分布
第 三 章 恒定磁场
导磁圆柱 r = 0 及 r =a 处有
磁化电流吗？两者关系如何？
HBM ??
0?
a
I
??
?
?
??
??
?eπ2
0
0
?B
aI ?? ?
?
?
? 0π2 e
=
??? ??? ? aI eπ2 0
??? ?a0
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图 3.2.20 场量分布
Im
Im
第 三 章 恒定磁场
3.3.1 基本方程 (Basic Equations)
构成方程 HB ??
恒定磁场的基本方程表示为
? ??S 0d SB
（磁通连续原理） 0??? B
Il ??? lH d
（安培环路定律） JH ???
恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场
的涡旋源。
3.3 基本方程, 分界面衔接条件
Basic Equations and Boundary Condition
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第 三 章 恒定磁场
F2不能表示恒定磁场。
02)(1 ?????? aa ???? )(1)b( 2 ρF??? ????? 2F
F1可 以 表示恒定磁场。
000)a( 111 ??????????? yFxF yxF
解,
例 3.3.1 试判断
能否表示为一个恒定磁场？
?? eFeeF abyax xy ??? 21 )b()a(
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第 三 章 恒定磁场
3.3.2 分界面上的衔接条件 （ Boundary Condition)
1,B 的衔接条件
nn BB 21 ?
B 的法向分量连续
2,H 的衔接条件
H 的切向分量不连续 KHH ??
2t1t
(K = 0时 )
2t1t HH ?
根据 02 ??l
,d Il ??? lH
得
112t11t lKlHlH ?????
0d ??? SBs
,由 可得 0?l?根据
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图 3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
图 3.3.2 分界面上 H 的衔接条件
第 三 章 恒定磁场
例,3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
图 3.3.3 铁磁媒质与空
气分界面
解,
0 0t a nt a n 12
2
0
1 ??? ???
?? 得由
3,折射定律
媒质均匀、各向同性，分界面 K=0
2
1
2
1
?
?
?
? ?
ta n
ta n 折射定律
表明只要,空气侧的 B
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
?902 ??
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第 三 章 恒定磁场
即
yxxxyy HH eeeeH 410222 ????
A/m
)1230(0222 yx eeHB ??? ?? T
解, )86(5
0111 yx eeHB ??? ??
KHH yy ?? 21由 44812 ????? KHH yy得
10
2
2
2 ?? ?
x
x
BH02 30 ??xB得xx BB 21 ?由
若面电流,答案有否变化，如何变？
zy eeK 43 ??
思考
例 3.3.3 在两种媒质分界面处，,
试求 B1,B2与 H2 的分布。
yx eeH 861 ??
01 5 ?? ? 02 3?? ?
面电流
zeK 4??
A/m,且 A/m,
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图 3.3.4 含有 K 的分界面
衔接条件
第 三 章 恒定磁场
3.4.1 磁矢位 A 的引出
（ Definition Magnetic Vector Potential A)
由
ABAB ????????????? 00
磁矢位 A 也可直接从 毕奥－沙伐定律 导出。
A 磁矢位 Wb/m（韦伯 /米）。
3.4 磁矢位及其边值问题
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
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第 三 章 恒定磁场
3.4.2 磁矢位 A 的边值问题
（ Boundary Value Problem of A)
1,微分方程及其特解
JA ???? 2 （矢量）泊松方程
02 ?? A （矢量）拉普拉斯方程 当 J= 0 时
0 ???? B AB ???从基本方程出发
JABJH ????????????
0
1/
??
????? A JAA ??????? 2)(矢量运算
0??? A取库仑规范 （ Coulomb’s gauge)
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第 三 章 恒定磁场
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为
? ?? ? ?? ????? V V zzyyV xx R VJAR VJAR VJA dπ4;dπ4;dπ4 ???
? ? ?? V RVdπ4 JA ?矢量合成后，得
?zz2yy2xx2 JA;JA;JA ??? ?????????
在直角坐标系下,可展开为 JA ???? 2
面电流与线电流引起的磁矢位为
?? l RI lA dπ4??? S R Sdπ4 KA ?
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第 三 章 恒定磁场
2,分界面上 A 的衔接条件
a) 围绕 P点作一矩形回路，则
??? ???????? lSSΦ lASASB dd)(dm
当 时,0
2 ??L,0d,0m ??? ? lA
lΦ
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图 3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件 tt AA 21 ? (1) 有
与
ttl EE 21,0d ???? lE
对比,
第 三 章 恒定磁场
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
? ? ?????S V 0dd VASA
表明 在媒质分界面上磁矢
位 A 是连续的。
从式 (1),(2) 得 21 AA ?
当 时,0??L,0
n2n1 ????? SASA
2n1n AA ?
(2)
tt AA 21 ?
(1)
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图 3.4.2 磁矢位 A 的衔接条件
第 三 章 恒定磁场
由 有 KHH ??
2t1t
KAA ?????? tt )(1)(1 2
21 ??
1
21 AA ? K
n
A
n
A ?
?
??
?
? 2
2
1
1
11
??
对于平行平面场,
zzz AA eeA ??
如长直电流、无限大平板电流产生的磁场等。
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第 三 章 恒定磁场
3.4.3 磁矢位 A 的应用 （ Application of A )
1) 由磁矢位 A 求 B
解, 取圆柱坐标系
??? 2/ 2/0 dπ4 l lz r zIA ?
??? lzz rIA leA dπ4 0?
图 3.4.3 位于坐标原点的短铜线
例 3.4.1 试求载流短铜线产生的磁感应强度 （ r >>l） 。
22
0
π4 z
IlA
z ?? ?
?
lr ??由于
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第 三 章 恒定磁场
?
??
??
???
??
e
AAA
eee
AB
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
z
z
z
A
z
11
根据
?? ?
?
?
?? eeB s i n
π4)(π4
0
2322
0
r
lI
z
lI ?
??
能否用安培环路定律求解此问题?
思考
22
0
π4 z
IlA
z ?? ?
?
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第 三 章 恒定磁场
?? ?? L L zzI 21220 )( dπ4 ??
]ln)[ ln (π2 220 ??? ???? LLI
例 3.4.2 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流
细导线产生的磁场。
)(2lnπ2 0 ??? ??? LLI
?A ?
?
L
L r
zI d
π4
0?
解, 定性分析场分布,
zAe?A
?? ?
?
? eeAB π2
0 IA Z ?
?
??????磁感应强度
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图 3.4.4 长直载流细导线的磁场
第 三 章 恒定磁场
解, 由上例计算结果,两导线在 P 点的磁矢位
2
0
2
1
0
1
2ln
π2
2ln
π2 ?
?
?
? LIALIA ??
例 3.4.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。
ze
I
1
20
21 lnπ2 ?
????? AAA
zyxb
yxbI e
22
22
0
)(
)(ln
π4 ??
??? ?
总的磁矢位
yx x
A
y
A eeAB
?
??
?
?????磁感应强度
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图 3.4.5 圆截面双线输电线
第 三 章 恒定磁场
3) 在平行平面场中,等 A 线就是 磁感应 线。
yzxz x
A
y
A ee
?
??
?
?
图 3.4.6 等 A 线与 B 线关系
lASASB dd)(d ???????? ??? lSSΦ
Wb（韦伯）
磁感应 线方程
0dd ?? xByB yx
(1)
x
AB z
y ?
???
y
AB z
x ?
??得 (2)
yyxx BB ee ??
?AB ???由
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2) 由磁矢位 A 计算磁通 Φ
第 三 章 恒定磁场
在轴对称场中,为等 A 线。 c o n s t?
?? A
c o n s t?ZA
0ddd ??????? Zzz AxxAyyA
式 （ 2） 代入式 （ 1）
B 线方程
0dd ?? xByB yx
(1)
x
AB z
y ?
???
y
AB z
x ?
?? (2)
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第 三 章 恒定磁场
两线输电线的等 A 线方程为偏心圆方程
,
)(
)( 2
22
22
k
bxy
bxy ?
??
?? 222)( ayhx ???
相似
图 3.4.7 双线输电线的磁场
等 A线
下 页 上 页 返 回
图 3.4.8 双线输电线的电场
等 线 ?
第 三 章 恒定磁场
通解
21
20
1 ln4)( CC
JA ???? ???? 432 ln)( CCA ?? ??
aJAA ????????? ?????? 0112 )(1
4) 由微分方程求 A
例 3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体,J=Jez,试
求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B 。
0)(1 222 ??????? ???? AA a??
解, 采用圆柱坐标系,且 )(?fA ?
zA eA ?
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第 三 章 恒定磁场
,4
22
01 z
aJ eA ?? ??
z
aJa eA
?? ln4
1 2
02 ?
解得
通解
21
20
1 ln4)( CC
JA ???? ???? 432 ln)( CCA ?? ??
边界条件 0
1 ??aA ? （参考磁矢位） (1)
??? ? 01 ??A
(2) 有限值
21 AA ? ???? ?
?
??? 2
0
1
0
11 AA (3) )( a??
磁感应强度
a
Ja
a
J
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
e
e
e
2
2
2
0
0
???? AB
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第 三 章 恒定磁场
图 3.4.9 铁磁体槽内有
线电流
例 3.4.5 电机转子槽内有一线电流 I，转子的磁导
率,忽略槽口边缘效应，试写出 A的边值问题。 ???
解,磁矢位
zA eA ??
02
2
2
2
?
?
??
?
?
y
A
x
A微分方程为
直角坐标系
yx x
A
y
A eeAB
?
??
?
?????
由于,槽内磁感应线垂直于槽壁 ???
在 处，,即
0?yB 01
0
????? xA?hyax ???? 0
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第 三 章 恒定磁场
在 处,
0?xBaxay ???? 0
在 处，忽略边缘效应，认为
磁感应 线与 x 轴平行,
axahy ????,
a
I
y
A
2
0??
?
?根据 即
? ????l IaH 2d lH
故
a
IB
x 2
0??
直角坐标系
yx x
A
y
A eeAB
?
??
?
?????
由于,磁感应线垂直于槽壁 ???
01
0
???? yA?
即
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第 三 章 恒定磁场
m?
— 磁位 A（安培）
3.5 磁位及其边值问题
Magnetic Potential and Boundary Value Problem
m?
3.5.1 磁位 (Definition Magnetic Potential )
m?
无电流区 0??? H
m????H lH dm ?? ?l?
磁位 仅适合于无自由电流区域 ;
m?
等磁位面（线 )方程为 常数，等磁位面（线）
与磁场强度 H 线垂直 ;
?m?
的多值性。
m? 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
,dm ? ??? A l BA lH?
则 证明, 设 B 点为参考磁位,
?? ??? A l B m Al lHlH dd
IAA ?????? mm ??
推论
kIAA ????? mm ??
规定, 积分路径不得穿过磁屏障面 。
? ???? A m BA lH dm?
lHlH dd ???? ?? B m AA l B
图 3.5.1 磁位 与积分路径的
关系 m?
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第 三 章 恒定磁场
图 3.5.2 等磁位线与等电位线的类比
图 3.5.3 线电流 I 位于两铁板之
间的磁场
图 3.5.4 线电荷 位于两导板之
间的电场 ?
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第 三 章 恒定磁场
在直角坐标系中
02 m
2
2
m
2
2
m
2
m
2 ?
?
??
?
??
?
???
zyx
????
2,分界面上的衔接条件
由
?
?
?
?
?
2n1n
2t1t
BB
HH
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
2m
2
1m
1
2m1m
?
?
?
?
??
0m2 ?? ? （仅适用于无电流区域）
1,微分方程
m0 ???????? HH
???? 0B mm ???? ???????? ???????? )( m??? H 0?
0
3.5.2 磁位 的边值问题 ( Boundary Value Problem of )
m? m?
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第 三 章 恒定磁场
解,平行平面磁场,取圆柱
坐标系
例 3.5.1 设在均匀磁场 H0中放置一长直磁屏蔽
管,试求磁屏蔽管内磁场分布及屏蔽系数。
12
1m
2
2
1m
1m
2 01)(1 ??
?
?
??
??
??? ???
??
?
?
?
???
212m2 0 ???? ????
03m2 ?? ? 2?? ?
通解
)s i nc o s)((ln n
1
nnn00m ???? nBnArBrABA
n
nn ??????? ?
?
?
?
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图 3.5.5 长直屏蔽管置于
均匀磁场中
第 三 章 恒定磁场
边
界
条
件
01m ?? 0?? （ 1）
??? c o s003m HxH ???? ??? （ 2）
2m3m ?? ? ?????? ?????? 2m3m0 2?? ?
（ 3）
2m1m ?? ?
?
??
?
??
?
??
?
?? 2m1m
0
1?? ?
（ 4）
用分离变量法，场的对称
性及式 （ 2）,得通解
???? c o s)(m ii NM ?? (i=1,2,3)
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图 3.5.6 长直磁场屏蔽管内外磁场的分布
第 三 章 恒定磁场
磁位
)1(
4
c o s
)1(
4
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
1m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rr
xHH
屏蔽管内磁场 H1均匀分布，且与 H0 的方向一致。
代入其他边界条件，联立求解得 N1=0
x
r
x
H
x
eeH
)1(
4
2
2
2
1
01m
1
?
?
?
?
?
?
?
?
??
磁场强度
2
0
2
0
2
2
2
1
00
1
)1()1(
/4
???
?
?
?
?
?
?
?
??H
M
0?? ??
)1(
4
2
2
1
2
0
?
?
?
? r
H
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第 三 章 恒定磁场
工程上常采用多层铁壳磁屏蔽的方法，将进入
腔内的残余磁场一次又一次地予以屏蔽。
屏蔽系数
)1(
4
2
2
2
1
r
0
1
?
?
? ?
??
H
H
K
磁屏蔽与静电屏蔽有什么不同？它们对屏蔽的
材料各有什么要求？
屏蔽管的材料 越大,K 越小,? 屏蔽效能越高。
导磁管壁越厚，即 ?1/?2越小,K 越小,屏蔽效能高。
思考
思考
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第 三 章 恒定磁场
m??
位 函 数
比较内容
引入位函数依据
位与场的关系
微分方程
位与源的关系
电位 磁位 磁矢位 A
0??? E 0??? H 0??? B
????E
? ?? 0 dp lE?
??? ??? 2
m????H
? ?? 0m dp lH?
0m2 ?? ?
AB ???
?? ??? Sl SBlA dd
JA ???? 2
(有源或无源） (无源） (有源或无源）
? ?? V rV??? π4 d ?? V rV π4 d0 JA ???? π4m I?
3.5.3 磁位,磁矢位与电位的比较
(Comparison of, A and ）
m? ?
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第 三 章 恒定磁场
下述两个场能进行磁电比拟吗？
由于两种场均满足拉普拉斯方程，且边界条
件相同，所以可以磁电比拟。
思考
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图 3.5.7 恒定磁场与恒定电流场的比拟
第 三 章 恒定磁场
联立求解
IIII
12
1
12
12 2
??
?
??
??
?????
???
根据惟一性定理
?
由,
2t1t HH ?
由
n2n1 BB ?
3.6 镜像法
Image Method
(1) III ????? ?
??? s inπ2s inπ2s inπ2 rIrIrI ?????
(2) III ????? 21 )( ??
?????? c o s π2c o s π2c o s π2 211 rIrIrI ?????
图 3.6.1 两种不同磁介质的镜像
＝
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02 ?? ?
??1?
第 三 章 恒定磁场
空气中
)(π2 2
2
1
1
0
1 ??
? eeB
r
I
r
I ???
铁磁中磁感应强度 H2=0 吗？
例 3.6.2 线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。
0?
解,镜像电流
III ?????
20
02
??
?? 02
20
0 ?
???? II ??
?
??? eHB r
I
π22222
????
??
?
??
?? ee
r
I
r
I
ππ2)
2( 0
20
0
2 ???
? ?
图 3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像
思考
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第 三 章 恒定磁场
?
磁场分布的特点,
解,镜像电流
III ??????
21
21
??
?? III 22
21
1 ?
???? ??
?
例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁
场分布有什么特点呢？
? ??
图 3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像
空气中 的磁场为无铁磁物质情况下的 2倍。 )(
02 ?? ?
铁磁表面近似为等磁位面。空气中的 磁感应 线与其
垂直。
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第 三 章 恒定磁场
3.7 电 感
3.7,1 自感（ Self-Inductance）
回路的电流与该回路交链的
磁链的比值称为自感。
LIS ??? ? SB d?
即
H（亨利）
IL
??
L = 内自感 Li + 外自感 L0
Inductance
求自感的一般步骤,
设
),( 0i LLLΦI ????? ?BH
A
图 3.7.1 内磁链与外磁链
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第 三 章 恒定磁场
Il ???? lH d
例 3.7.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。
1,内导体的内自感 )0(
1?? ??
解,
SB dd ??Φ磁通
,π2 2
1
??IH ?
匝数
2
1
2
?
????
I
IN
π8
01
1
l
IL
i
i
?? ??内自感
因此,?
? Si N ?? d1 ?? 1
0 2
1
2
2
1
0 d
π2
? ?
?
?
?
?? lI
π8
0 lI??
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图 3.7.2 同轴电缆截面
2
2
1
??I?22
1
??I?
???? dπ2 2
1
0 lI?
第 三 章 恒定磁场
2,外导体内自感 )( 32 ??? ??
图 3.7.3 同轴电缆
2
2
2
3
22
300
π2π2 ??
??
?
?
?
?
?
???? IIB
由例 3.2.2 知
?ddd 2 lBSBΦ i ???
)(π8
)(
)(π2ln)(π2 2223
2
2
2
30
2
2
2
3
2
30
2
32
2
2
2
3
2
30
??
???
??
??
?
?
??
??
?
??
????
lll
?? 32 d12 ?? ?BlNIL i
2
2
2
3
22
3
'
??
??
?
???
I
IN匝数
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
3,外自感 )( 21 ??? ??
1
2000
0 lnπ2dπ2
1 2
1 ?
???
?
?? ?
?
??? ? lIIIL
?
?
π2
0 IB ?
??? dπ2dd 000 lIΦψ ??
总自感
210 ii LLLL ???
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第 三 章 恒定磁场
? ? ???????? ??? RDR xlxDxI d)( 11π2 0?? R RDIl ?? lnπ0?
R
RDl
IL
??? ln
π
0
0
??
????? )(π2π2 00 xDIxIBI ??
设
总自感为
R
RDllLLL
i
????? ln
ππ42
00
0
??
02 LLL i ??
总自感 解, 内自感
,π8 0 lL i ??
解法一
0L?B由
例 3.7.2 试求半径为 R的两平行传输线自感。
图 3.7.4 两线传输线
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
zRDx
zRx
RD
RI
R
RDI
eA
eA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
ln
π2
ln
π2
0
2
0
1
?
?
解法二
0L?A由
lAlAl 21d ???? ? lA? ILR RDlI 00 lnπ ??? ?
R
RDl
IL
??? ln
π
0
0
??
图 3.7.5 双线传输线
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ze
I
1
20 ln
π2 ?
???A
第 三 章 恒定磁场
3.7.2 互感 （ Mutual Inductance）
互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生
的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位
置及周围媒质有关。
计算互感的一般步骤,
设
d
2 2121111
?????? ?s SBΦ BHI
1
21
21 I
ΨMΨ ??
A
21M?
可以证明
2
12
12 IM
??
,12121 IM??
1
21
21 IM
?? H（亨利）
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图 3.7.6 电流 I1 产生与回路
L2交链的磁链
第 三 章 恒定磁场
图 3.7.7 两对传输线的互感
解,设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链
导线 B 作用
BD
BC
BB D
DlIΦ ln
π2
0
mm
?? ??
合成后
AC
AD
SAA D
DIlΦ ln
π2d
0
mm
?? ???? ? SB
导线 A 作用
?
?
π2
0 IB ?
1) 若回路方向相反，互感会改变吗？ 它反映
了什么物理意义？
例 3.7.3 试求图示两对传输线的互感。
BDAC
BCAD
BA DD
DDlI
?
???? ln
π2
0
mmm
????
BDAC
BCAD
D
DlM
?
?? ln
π2
0
思考
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第 三 章 恒定磁场
2) 铁板放在两线圈的下方,互感增加否？ 如何计算？
3） 铁板放在两线圈之间，互感、自感是否增加？
4） 如何绕制 无感电阻？
图 3.7.8 一块无限大铁板置于两线圈的下方
图 3.7.9 一块无限大铁板置于两线圈之间
图 3.7.10 无感线圈
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第 三 章 恒定磁场
3.7.3 诺依曼公式（ Neumann’s Formula）
1,求两导线回路的互感
互感
? ? ???? 2 1 1221
1
21
21
dd
π4 l l
o M
RI
ΦM ll?
设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为
?? 1 110 dπ4 l RI lA ?
穿过回路 2 的磁通为
? ? ?? 2 1 2110 d)d(π4 l l RI ll?
? ?? 2 221 dlΦ lA
图 3.7.11 两个细导线电流回路
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
2,用诺依曼公式计算回路的外自感
外自感
? ? ??? 2 1 2100 ddπ4 l l RIΦL ll?
?? 1 110 dπ4 l RI lA ?
电流 I 在 l2 上产生的磁矢位为
? ?? ???? 2 12 2102 ddπ4d l ll RIΦ lllA ?
与 l2 交链的磁通为
设电流 I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过外
表面轮廓 l2 所限定的面积。
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图 3.7.12 线圈的自感
第 三 章 恒定磁场
? 媒质为线性；
? 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；
? 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能
量的建立过程无关。
假设,
磁场能量的推导过程
3.8.1 恒定磁场中的能量 （ Magnetic Energy）
3.8 磁场能量与力
Magnetic Energy and Force
?? ??
?? ??
???
n
k
kk
n
i
n
j
jiij
n
k
kk IIIMILW
11 11
2
m 2
1
2
1
2
1 ?
)0( ?i
自有能 互有能 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
由矢量恒等式 AHHAAH ??????????? )(
3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度
( Energy Distribution and Energy Density )
?? ?
?
k
n
k
kIW ?
1
m 2
1 ? ?
?
?
n
k
kV V
k1
d21 JA
? ???S Vd21 HA
??? ?
?
lA d21
1
n
k l
k
k
I
??n
得
VVW VV d21d)(21m ?? ?????? BHAH
0
? ? ????S V VBHSAH d21d)(21
下 页 上 页 返 回
第一项为 0
2d,1,1 rS
rr 2 ??? AH
由于 ??r所以 时,
第 三 章 恒定磁场
VVBH dd21 mm ?? ??? VV wW
J（焦耳）
磁能密度
??
2
2
m 2
1
2
1
2
1 BHw ???? BH 3mJ
磁场能量是以密度形式储存在空间中。
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
解, 由安培环路定律
?????? ?? ? ?
1 2
10
2
2
2
1
0 π2π2
2
? ?
? ????
? dlHdlH ?
?
?
??
? ??
1
2
2
0 ln
4
1
π4 ?
?? lI
自感
??
?
??
? ???
1
20
2
m ln
4
1
π2
2
?
?? l
I
WL
例 3.8.1 试求长度为 l,通有电流 I 的同轴电缆储
存的磁场能量与自感。
磁能
??? ? VW V d21m BH ?V VH d21 20?
12
1
1 0π2π2 ???
?
? ?? ???
?? eeH II
212 π2 ???? ? ??? eH
I
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图 3.8.1 同轴电缆截面
第 三 章 恒定磁场
3.8.3 磁场力 ( Magnetic Field Force )
1,安培力
BlF ?? ?l I d
解, 定性分析场分布
B 板的磁场
)(2 0 yaI eB ?? ?
A 板受力
? ?? S S BKF d
????? ? )(2)(d0 0 ya z a IybaI ee ? )(2
2
0
xa
bI e??
例 3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。
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图 3.8.2 两平行导板间的磁力
第 三 章 恒定磁场
2,虚位移法 （ Method of False Displacement )
电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功
? 常电流系统
外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提
供磁场力作功。
c o n s tmdd ?? kIWgf
n 个载流回路中,当仅有一个广义坐标发生位移
dg,系统的功能守恒是
gfWW ddd m ??
广义力
c o n s t
m
??
??
kIg
Wf
gfII
n
k
kkk
n
k
k d)2
1(d)(d
11
?? ??
??
??
即
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第 三 章 恒定磁场
? 常磁链系统
c o n s tmdd ??? kWgf ?
磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供
克服感应电动势的能量
广义力
c o n s t
m
??
???
kg
Wf
?
取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁
能，便可求得相互作用力。
两种假设的结果相同，即
c o n s t
m
c o n s t
m
?? ?
???
?
??
kk g
W
g
Wf
I ?
0d m ?W
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
解,系统的相互作用能为
21m IMIW M ?
BmT ??用矢量表示为
例 3.8.3 试求图中载流平面线圈的转矩。
选 ? 为广义坐标，对应的广
义力是转矩,
T < 0表示转矩企图使 ? 减小，使该回路包围尽可能
多的磁通。
???? ? cm 1IMWT ? ?? ?s in1 BSI ?sinBm?
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图 3.8.3 外磁场中的电流回路
121?I? ?c o s1 BSI?
第 三 章 恒定磁场
解, 设作用力为 F，试棒沿 x
方向移动 dx，磁场能量的增量
??? )21(dd m VW HB
abHxWF
kI
20
c
m
2d
d ?? ???
? abd
NI 20 )(
2
?? ?? 0?
F > 0 表示磁路对试棒的作用力为吸力 (沿 x轴方
向）,这也是电磁阀的工作原理。
d ????? NIdHl lH
例 3.8.4 试求磁路对磁导率为 ? 的试棒的作用力，
试棒截面积为 。 ba?
xabHH d)22( 202 ?? ?
d
NIH ?
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图 3.8.4 磁路对磁导率为 m 试
棒的作用力
第 三 章 恒定磁场
3,法拉第观点
法拉第观点，通量管沿其轴向方向受到纵张力，垂
直方向受到侧压力,其量值都等于
?? 22
1
2
1 22 BHBHf ??? N/m
2
图 3.8.7 载流导体位
于铁板上方
例 3.8.5 试判断物体受力情况。
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图 3.8.5 向量管受力
图 3.8.6 电磁铁
第 三 章 恒定磁场
3.9 磁 路
3.9.1 磁路的基本概念
( Basic Conception of Magnetic Circuit )
利用铁磁材料制成一定形状的回路 （ 可包括
气隙），其上绕有线圈，使磁通主要集中在回路中，
该回路称为磁路。
Magnetic Circuit
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第 三 章 恒定磁场
(a) 变压器 (b) 接触器 (c) 继电器 (d) 四极电机
(e) 永磁式电磁仪表
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图 3.9.1 几种常见的磁路
第 三 章 恒定磁场
1,磁路的基本物理量
磁路物理量：磁通,磁势 Fm、磁压 Um, B,H
?
电路物理量, 电流 I,电源 Us,元件电压 U
Um 的降落方向与 H 方向一致
(2) 磁压 Um A（安）
(1) 磁势 Fm =Ni A（安）
Fm 的 方向与 电流 i 符合右手定则
用类似于电路的方法进行磁路计算。
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第 三 章 恒定磁场
2,磁路的基尔霍夫定律
磁路的基尔霍夫第一定律
— 磁通连续性原理
设磁通（即 H的）参考方向，若电流与 H 方向
呈右手螺旋,Fm 取正，否则取负。
如图参考方向下,
?
?
?
n
i
iΦ
1
00321 ???? ΦΦΦ
磁路的基尔霍夫第二定律 — 安培环路定律
??
??
?
m
k
n
k
NiHl
11
??
??
?
m
k
n
k
FU
1
m
1
m
22110022211 )( iNiNLHLLHLH ??????
如 下 页 上 页 返 回
? ??L Id lH
图 3.9.2 磁路定律
第 三 章 恒定磁场
3,磁路的欧姆定律
m
mm
R
U
Sl
U
Sl
HlSHBSΦ ?????
???
?S
l
Φ
UR ?? m
m
— 磁阻,1/H
磁阻与磁路的几何尺寸、磁导率 有关。 ?
线性 线性磁阻 线性磁路 c o n s t
m ?R
非线性 非线性磁阻 非线性磁路 ),(
m HBfR ?
?
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图 3.9.3 磁阻计算
第 三 章 恒定磁场
3.9.2 线性磁路的计算（无分支、均匀分支、不均匀
分支磁路） (calculation of Linear Magnetic Circuit)
思路, 求
1m0m,RR
H110π5 6
0
0
0m ??? A
lR
?
A4 0 0)( 1m0mmm ???? ΦRRUF磁势
A4.0/m ?? NFI电流 A2 0 00m0m ?? ΦRU磁压
,H110π5 61m ??? AlR ?
磁阻 解,
，问电流 I＝？并求气隙的磁压 Um0。
Wb10π4.0 4???Φ1000,mm2.0
0 ?? NL
,若在磁路中产生
例 3.9.1 已知磁路 L=20cm,截面积, 2cm1?S 100?
r?
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NIRU ??? mm
m,UI
图 3.9.4 磁压计算
第 三 章 恒定磁场
6
11
1
2m1m 10π
8 ????
A
lRR
?
侧柱
对称性
ΦΦΦ 2121 ??
解法一,
A
lR
??m
中间柱
473
2
1010π410
104
??
?
???
?? 610
π
1 ??
ΦRΦRF m11mm ?? 1m11m 2 ΦRΦR ??
例 3.9.2 有一对称磁路，中间柱截面积为,
试求侧柱的磁通。,Aπ5.0,1 0 0,1 0 0 0 ??? IN
r?
两侧柱截面积,2/AAA
21 ??,cm16,cm4 21 ??? lll
2cm1?A
侧柱磁通 4
mm1mm1
m
1 105.022
???
???? RR
NI
RR
FΦ Wb
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图 3.9.5 磁通计算
第 三 章 恒定磁场
解法二, 磁路是对称的，取其一半，则
不变1mmm 22/ RRA lR ??? ?
磁阻
NIΦRRF ???? 11mmm )(磁势
侧柱磁通 4m1m1 105.0)2/( ????? RRNIΦ Wb
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图 3.9.6 对称磁路的磁通计算
第 三 章 恒定磁场
解, 设磁通方向,求各磁路磁阻
例 3.9.3 已知气隙中的磁通为,线圈匝数为 N，铁
心材料磁导率为 ?,截面积分别为 S2 和 S1,试求电流 I。
0?
)( 100m SlR ??
00m0m ΦRU ?
)/(2 111m SlR ??
01m1m ΦRU ?
)/( 222m SlR ??
1m0m2m UUU ?? 2m2m2 / RUΦ ?
)/( 233m SlR ??
023 ΦΦΦ ?? 33m3m ΦRU ?
??? 2m3mm UUU ??? 3m1m0m UUU NIF ?m NUI /m?
各磁路磁压
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图 3.9.7 磁路计算
第 三 章 恒定磁场
3.9.3 铁磁质的磁特性
1,两种基本的特性曲线
磁滞回线,铁磁质反复磁化时的 B-H 曲线。可确
定剩磁 Br，矫顽力 HC，磁能积 （ BH） 等重要参数。
基本磁化曲线, 是许多不饱和磁滞回线的正顶
点的连线。
图 3.9.9 基本磁化曲线
图 3.9.8 磁滞曲线 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
硬磁材料 磁滞回线较宽, 充磁
后剩磁大。如铁氧体,钕铁硼 。用于永磁电机、电
表、电扇，电脑存储器等器件中的永磁体。
,,` 大小 rc BH?
图 3.9.10 软磁材料磁滞曲线 图 3.9.11 硬磁材料磁滞曲线
2,铁磁质的分类
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软磁材料 磁滞回线较窄,断电
后能立即消磁。 如硅钢、矽钢等 。用于电机、变压
器、整流器、继电器等电磁设备的铁芯。
rc BH `,?
大 小,
第 三 章 恒定磁场
3.9.4 非线性基本磁化曲线（直流磁路）
解,这是均匀无分支磁路
T4.0105 102 4
4
????? ?
?
A
ΦB
查磁化曲线,H=300 A/m
A3 0 0m ?? HlF磁势
例 3.9.4 一圆环形磁路及基本磁化曲线如图所示，平
均磁路长度 l = 100 cm,截面积 A= 5 cm2，若要求产生
2× 10-4 Wb 的磁通，试求磁势为多少？
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图 3.9.13 磁路计算
B/T
1/ ?AmH
图 3.9.12 非线性磁路计算
Φ B/T
300 1/ ?AmH
0.4
第 三 章 恒定磁场
A 1 0 0 0m ??? NIHlF
m/A 1 0 0 0/ ?? lNIH
反问题,已知线圈匝数 N=1000，电流 I = 1A，试
求磁通 为多少？ ?
查磁化曲线,
44 1025.510505.1 ?? ?????? BAΦ Wb
解
B=1.05T
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第 三 章 恒定磁场
若要继续充电,外源必须克服回路的感应电动势做功,
过程中，外源所做的功
11 0 Ii ?从
??A ? ?1
0 111 d
I i ????? 0d
1A
2
112
1 IL?? 1
0 111 d
I iiL
推导磁场能量表达式
tt d
d,
d
d 21
21
11
11
???? ????
02 ?i（ 1） 从 1i,0 1I?
的感应电动势为 t 时刻,l1,l2中
1111
11
1111 ddd
dd)(d ??? iti
ttiA ?????
即
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第 三 章 恒定磁场
（ 2） 不变,从,
1I 2i 20 I?
tt d
d,
d
d 12
122222
???? ????
若要继续充电,外源必须克服回路的感应电动势做功
2222
22
2222 ddd
dd)(d iiLti
ttiA ??????
??
不变,从 过程中，外源所做的功
2i1
I 20 I?
????????? 21 AAA 2
2221 2
1 ILIMI ?? ? ??2 2
0 0 2222121 dd
I I iiLiMI
21121
12
1121 ddd
dd)(d iIMtI
ttIA ??????
??即
的感应电动势为 t 时刻,l1,l2中
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第 三 章 恒定磁场
22221211'''m
2
1
2
1 ILIMIILAAW ?????
)(21)(21 22211211 IILMIIMIIL ????
2211 2
1
2
1 II ?? ??
?
?
?
2
12
1
k
kkI ?
总磁能
ji
ji
i
i
i II
i j
ijIL M? ??
? ?
?
?
?
2
1
2
12
1
2
1 2
1
＋
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第 三 章 恒定磁场
矢量恒等式 CAACCA ??????????? )(
故 0??? B
VrzyxV ??????? ???????? ? ? d)1(),,(4 0 J??
取散度
Vr zyxzyx V r ?????????? ? ? d),,(4),,( 20 eJB ??
则
?????? ?????????????????????? ??????? )
1(),,(),,()1()1(),,(
rzyxzyxrrzyx JJJ
0
0?
推导 B 的散度
Vr zyxzyx V r ?????? ? ? d),,(4),,( 20 eJB ??
0
返 回
第 三 章 恒定磁场
无感电阻 下 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
无感电阻 上 页 返 回 下 页
第 三 章 恒定磁场
超导技术的应用
超导,指金属、合金或其它材料的电阻在 4－ 20K
温度下变为零的性质。
高温超导,指温度在 77K以上，材料的电阻变为零
的性质。目前的 Bi系,TI系等材料在液
氮温度下超导。
超导体内部没有电场。
载流能力强（约 6000A/cm2）,
损耗小。
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第 三 章 恒定磁场
超导技术应用 超导电机、超导变压器、超导限流
器、超导输电、超导储能、高能加
速器、核聚变装置、磁流体发电,
超导磁悬浮列车、超导磁分离、核
磁共振谱仪。
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第 三 章 恒定磁场
江泽民总书记乘坐高温超导磁悬浮实验车
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第 三 章 恒定磁场
世界首辆载人高温超导磁悬浮实验车
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第 三 章 恒定磁场
高温超导磁悬浮模拟实验车 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
超导线材界面图 Bi系高温超导线材图
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第 三 章 恒定磁场
常导磁悬浮实验 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
超导磁悬浮实验 上 页 返 回
第三章 恒定磁场
Steady Magnetic Field
恒定磁场基本方程 ?分界面上的衔接条件
序
磁感应强度
磁通连续性原理 ?安培环路定律
磁矢位及边值问题
磁位及边值问题
镜像法
电感
磁场能量与力
磁路
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第 三 章 恒定磁场
Introduction
3.0 序
导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围
的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，
称为 恒定磁场 。
恒定磁场的知识结构。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场,
但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时,
注意类比法的应用。
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第 三 章 恒定磁场
磁矢位 （ A）
边值问题
解析法 数值法
有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法
电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算
基本实验定律 (安培力定律）
磁感应强度 （ B） (毕奥 — 沙伐定律 )
H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位 ( ) m? 分界面衔接条件
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第 三 章 恒定磁场
本章要求
深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度
的概念。
掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。
了解磁位及其边值问题。
熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方
法。了解磁路及其计算方法。
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第 三 章 恒定磁场
3.1.1 安培力定律 (Ampere’s Force Law )
? ? ??? l l RRII' 2
''
0 )d(d
π4
ellF ?
两个载流回路之间的作用力 F
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density
图 3.1.1 两载流回路间的相互作用力
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式中,为真空中的磁导率 ?0
第 三 章 恒定磁场
? ?? ???? l I 30 )(dπ4 rr rrl?
磁场力
BlellF ????? ?? ?
ll l
R I
R
IμI d)d
π4(d ' 2
'
0
电场力
EeF qR Vq R
V
??? ?
?
)dπ4 1( 2
0
?
?
定义,磁感应强度
? ?? l RRI 2
'
0 d
π4
elB ? 单位 T（ Wb/m2）
3.1.2 毕奥 — 沙伐定律,磁感应强度
( Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density )
力 = 受力电荷 电场强度 ?
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力 = 受力电流 磁感应强度 ?
第 三 章 恒定磁场
毕奥－沙伐定律 适用于无限大均匀媒质 。
V
V
?
??
????? ?
?
d)()(π4 30
rr
rrrJB ?体电流
? ? ??? ????? S Sd)()(π4 30 rr rrrKB ?
面电流
下 页 上 页 返 回
? ?? ???? l I 30 )(dπ4 rr rrl??
??
l
R
R
I
2
'
0 d
π4
elB ?线电流
第 三 章 恒定磁场
zzIB L L d)(π4 1
2 2322
0 ?
? ?? ?
??
?
][π4
2
2
2
2
2
1
2
10
L
L
L
LI
?
?
?
?
???
?
)s ins in(π4 210 ???? ?? I
当 时,???? 21 LL,
??
? eB
π2
0 I?
?? Reld ???ez s ind ??? es ind z ?? ezR d
例 3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。
解, 采用圆柱坐标系，取电流 I dz,
? ?? L RRI 20 dπ4 elB ?
式中 222 zR ?? ?
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图 3.1.2 长直导线的磁场
第 三 章 恒定磁场
例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为 R的圆环,
试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。
根据圆环电流对 P 点的对称性,
0d s indd ?? yx BBB ?
rRθ /s in ?
)(π4
2
s ind
d 22
0
xR
I
B
?
?
?? l
解,元电流 在 P 点产生的 为 Idl B
2
0
π4
dd
r
I relB ?? ? )d( rI el
图 3.1.3 圆形载流回路
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第 三 章 恒定磁场
xlxR
I el
??
?
??
?
?? ? ds in)(π4 22
0 ??
图 3.1.4 圆形载流回路轴线上的
磁场分布
xRxR
R
xR
I e
?
?
?
?
?
? ?
?
??? π2)(π4
2222
0?
xxR
IR e
2/322
2
0
)(2 ??
?
?
??
s in
)(π4
2
s ind
d 22
0
xR
lI
B x
?
?
xxB eB ?
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第 三 章 恒定磁场
根据对称性,By = 0
)(π2
d
π2
dc o s
π2
dd
22
000
yx
xKyyxKxKB
x ?????
?
??
??
?
?
解,取宽度 dx 的一条无限长线电流
xB ? ??
?? ??? )(
d
π2 22
0
yx
xKy?
0
2
0 ?yK
xe
?
020 ?? yK xe?
?B
例 3.1.3 无限大导体平面通有面电流,
试求磁感应强度 B 分布。
zK e?K
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图 3.1.5 无限大电流片及 B
的分布
第 三 章 恒定磁场
3.2 磁通连续性原理 ? 安培环路定律
表明 B 是无头无尾的闭合
线，恒定磁场是无源场。
VR zyxzyx V R ?????? ? ? d),,(π4),,( 20 eJB ?
3.2.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem )
1,恒定磁场的散度
可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场
的必要条件。
0??? B
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law
进行 散度运算 后 0??? B
图 3.2.1 计算体电流的磁场
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第 三 章 恒定磁场
2,磁通连续性原理
表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。
直角坐标系
z
B
y
B
x
B zyx
ddd ??
3,磁感应线
磁感应线 穿过非闭合面 S 的磁通
? ?? SΦ SB d
单位, Wb (韦伯 )
0??? B根据
? ??V VdB
有
0d ?? lB磁感应 线方程
散度定理
0d ??? SBs
图 3.2.2 B 的通量 ?
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第 三 章 恒定磁场
磁感应 线的性质,
图 3.2.3 导线位于铁板上方
图 3.2.4 长直螺线管 的 磁场
磁感应 线是闭合的曲线 ;
磁感应 线不能相交；
磁感应 强处, 磁感应 线
稠密，反之，稀疏。
闭合的 磁感应 线与交链
的电流成右手螺旋关系；
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第 三 章 恒定磁场
图 3.2.5 一对反向电流传输线 图 3.2.6 一对同向电流传输线
图 3.2.7 两对反相电流传输线 图 3.2.8 两对同向电流传输线
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第 三 章 恒定磁场
3.2.2 安培环路定律 (Apere’s Circuital Law)
1,恒定磁场的旋度
z
xy
y
zx
x
yz
zyx
zyx
y
B
x
B
x
B
z
B
z
B
y
B
BBB
zyx
eee
eee
B )()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
在直角坐标系中
? ? ??? ??????? V Vzyx d)(),,(π4 30 rr rrJB ?
（ 毕奥－沙伐定律 ）
恒定磁场是有旋场
??
????
0
)( 0 JrB ?
（有电流区）
（无电流区）
旋度运算后，得到
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第 三 章 恒定磁场
2,真空中的安培环路定律
用斯托克斯定理 ?
?
?
??
n
k
kl I
1
0d ?lB
环路上的 B 仅与环路交链的电流有关吗？
真空中的安培环路定律
Il 0d ???? lB
JB 0???? B 的旋度
SJSB dd)( 0 ????? ?? SS ?
等式两边取面积分
思考
当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正
值，否则取负；
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第 三 章 恒定磁场
LKLBLBl ???????? 021d ?lB
根据对称性 BBB
21 ??
?B
y
K e
2
0?
y
K e
2
0??
0?x
0?x
例 3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。
解,定性分析场分布，取安培环
路与电流呈右手螺旋
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图 3.2.9 无限大载流导板
第 三 章 恒定磁场
解,平行平面磁场,
?? eBB )(?
2
1
2
2
2
1
ππ ???? III ????
例 3.2.2 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
2
1
2
0π2d ?
??? IB
l
???? lB
??
?? eB
2
1
0
π2
I?故
10)1 ?? ??
图 3.2.11 安培定律示意图
安培环路定律 I
l ???? 0d ?SB
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图 3.2.10 同轴电缆
第 三 章 恒定磁场
2
2
2
3
22
30 )(π2d
??
????
?
????? IB
l
lB
???
??
?
? eB
2
2
2
3
22
30
π2 ?
??? I得到
21)2 ??? ??
IBl 0π2d ?? ???? lB
得到
??
? e
π2
0 I?B
2
2
2
3
22
3
2
2
2
3
2
2
2
??
??
??
??
?
??
?
???? IIII
,32)3 ??? ??
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图 3.2.12 同轴电缆的磁
场分布
第 三 章 恒定磁场
3,介质的磁化 （ magnetization）
2）介质的磁化
无外磁场作用时，介质对
外不显磁性,
?
?
?
n
i
i
1
0m
1）磁偶极子 (magnetic dipole)
?
?
?
n
i
i
1
0m
在外磁场作用下，磁偶极
子发生旋转,
Sm dI? Am
2 磁偶极矩
( magnetic dipole moment )
图 3.2.14 介质的磁化
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图 3.2.13 磁偶极子
m=IdS
dS
第 三 章 恒定磁场
转矩为 Ti=mi× B,旋转方向
使磁偶极矩方向与外磁场方向一
致，对外呈现磁性，称为磁化现
象。
磁化强度 （ magnetization Intensity）
V
n
i
i
V ?
?
?
?
??
1
0
lim
m
M （ A/m）
图 3.2.15 磁偶极子受磁
场力而转动
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第 三 章 恒定磁场
3） 磁化电流
体磁化电流
MJ ???m
nm eMK ??
面磁化电流
例 3.2.3 判断磁化电流的方向。
有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化
电流共同作用，在真空中产生的。
磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
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第 三 章 恒定磁场
4） 磁偶极子与电偶极子对比
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模 型 极化与磁化 电场与磁场
电
偶
极
子
磁
偶
极
子
dp q?
Sm dI?
MJ ???m
nm eMK ??
neP ??p?
P- ???pρ
第 三 章 恒定磁场
4.有磁介质时 的环量与旋度
SM d)(00 ????? ?SuIu
???? Il 0d ?lB )( m0 II ??
SJ dm00 ??? ?sI ??
? ??? luIu lM d00
移项后
I
l
???? lMB d)(
0?
定义,磁场强度
MBH -
0?
?
A/m
则有 ?? ?? I
l lH d
安培环路定律
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图 3.2.16 H 与 I 成右螺旋关系
第 三 章 恒定磁场
图 3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？
图 3.2.17 H 的分布与磁介质有关
图 3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？
有磁介质存在时，重答上问。
?? ?? Il lH d
安培环路定律
思考
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图 3.2.16 H 与 I 成右螺旋关系
第 三 章 恒定磁场
5,B 与 H 的关系
实验证明，在各向同性的线性磁介质中
积分式对任意曲面 S 都成立，则
JH ??? 恒定磁场是有旋场
6,H 的旋度
ΗB ??即
?r— 相对磁导率。
??? )(0 MHB ? ?? )1( m0 ?? H HH ??? ?r0
?? ???? Sl I SJlH dd ?? ????? SS SJSH dd)(
斯托克斯定律
— 磁化率。 m?
r??? 0?
H/m 磁导率
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第 三 章 恒定磁场
解, 在镯环中,,为有限值，故 H = 0。
??? HB ??
NIl ??? lH d NIrH ?? ?
,?? eH rNI? ?
?
? eB
r
NI0?
例 3.2.4 一矩形截面的镯环，镯环上绕有 N 匝线
圈，电流为 I,如图示，试求气隙中的 B 和 H。
取安培环路的半径,
且环路与 I 交链,
21 RrR ??
图 3.2.18 镯环磁场分布
忽略边缘效应
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第 三 章 恒定磁场
解, 平行平面磁场，且轴对称，故
IHl ???? ?π2d lΗ
例 3.2.5 有一磁导率为 μ，半径为 a 的无限长导
磁圆柱,其轴线处有无限长的线电流 I,圆柱外是空
气，磁导率为 μ0,试求 B,H 与 M 的分布。
磁场强度
???? ?? ? 0π2 eH I
下 页 上 页 返 回 图 3.2.19 磁场分布
第 三 章 恒定磁场
导磁圆柱 r = 0 及 r =a 处有
磁化电流吗？两者关系如何？
HBM ??
0?
a
I
??
?
?
??
??
?eπ2
0
0
?B
aI ?? ?
?
?
? 0π2 e
=
??? ??? ? aI eπ2 0
??? ?a0
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图 3.2.20 场量分布
Im
Im
第 三 章 恒定磁场
3.3.1 基本方程 (Basic Equations)
构成方程 HB ??
恒定磁场的基本方程表示为
? ??S 0d SB
（磁通连续原理） 0??? B
Il ??? lH d
（安培环路定律） JH ???
恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场
的涡旋源。
3.3 基本方程, 分界面衔接条件
Basic Equations and Boundary Condition
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第 三 章 恒定磁场
F2不能表示恒定磁场。
02)(1 ?????? aa ???? )(1)b( 2 ρF??? ????? 2F
F1可 以 表示恒定磁场。
000)a( 111 ??????????? yFxF yxF
解,
例 3.3.1 试判断
能否表示为一个恒定磁场？
?? eFeeF abyax xy ??? 21 )b()a(
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第 三 章 恒定磁场
3.3.2 分界面上的衔接条件 （ Boundary Condition)
1,B 的衔接条件
nn BB 21 ?
B 的法向分量连续
2,H 的衔接条件
H 的切向分量不连续 KHH ??
2t1t
(K = 0时 )
2t1t HH ?
根据 02 ??l
,d Il ??? lH
得
112t11t lKlHlH ?????
0d ??? SBs
,由 可得 0?l?根据
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图 3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
图 3.3.2 分界面上 H 的衔接条件
第 三 章 恒定磁场
例,3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
图 3.3.3 铁磁媒质与空
气分界面
解,
0 0t a nt a n 12
2
0
1 ??? ???
?? 得由
3,折射定律
媒质均匀、各向同性，分界面 K=0
2
1
2
1
?
?
?
? ?
ta n
ta n 折射定律
表明只要,空气侧的 B
与分界面近似垂直，铁磁媒质表面
近似为等磁面。
?902 ??
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第 三 章 恒定磁场
即
yxxxyy HH eeeeH 410222 ????
A/m
)1230(0222 yx eeHB ??? ?? T
解, )86(5
0111 yx eeHB ??? ??
KHH yy ?? 21由 44812 ????? KHH yy得
10
2
2
2 ?? ?
x
x
BH02 30 ??xB得xx BB 21 ?由
若面电流,答案有否变化，如何变？
zy eeK 43 ??
思考
例 3.3.3 在两种媒质分界面处，,
试求 B1,B2与 H2 的分布。
yx eeH 861 ??
01 5 ?? ? 02 3?? ?
面电流
zeK 4??
A/m,且 A/m,
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图 3.3.4 含有 K 的分界面
衔接条件
第 三 章 恒定磁场
3.4.1 磁矢位 A 的引出
（ Definition Magnetic Vector Potential A)
由
ABAB ????????????? 00
磁矢位 A 也可直接从 毕奥－沙伐定律 导出。
A 磁矢位 Wb/m（韦伯 /米）。
3.4 磁矢位及其边值问题
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
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第 三 章 恒定磁场
3.4.2 磁矢位 A 的边值问题
（ Boundary Value Problem of A)
1,微分方程及其特解
JA ???? 2 （矢量）泊松方程
02 ?? A （矢量）拉普拉斯方程 当 J= 0 时
0 ???? B AB ???从基本方程出发
JABJH ????????????
0
1/
??
????? A JAA ??????? 2)(矢量运算
0??? A取库仑规范 （ Coulomb’s gauge)
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第 三 章 恒定磁场
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为
? ?? ? ?? ????? V V zzyyV xx R VJAR VJAR VJA dπ4;dπ4;dπ4 ???
? ? ?? V RVdπ4 JA ?矢量合成后，得
?zz2yy2xx2 JA;JA;JA ??? ?????????
在直角坐标系下,可展开为 JA ???? 2
面电流与线电流引起的磁矢位为
?? l RI lA dπ4??? S R Sdπ4 KA ?
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第 三 章 恒定磁场
2,分界面上 A 的衔接条件
a) 围绕 P点作一矩形回路，则
??? ???????? lSSΦ lASASB dd)(dm
当 时,0
2 ??L,0d,0m ??? ? lA
lΦ
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图 3.4.1 磁矢位 A 的衔接条件 tt AA 21 ? (1) 有
与
ttl EE 21,0d ???? lE
对比,
第 三 章 恒定磁场
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
? ? ?????S V 0dd VASA
表明 在媒质分界面上磁矢
位 A 是连续的。
从式 (1),(2) 得 21 AA ?
当 时,0??L,0
n2n1 ????? SASA
2n1n AA ?
(2)
tt AA 21 ?
(1)
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图 3.4.2 磁矢位 A 的衔接条件
第 三 章 恒定磁场
由 有 KHH ??
2t1t
KAA ?????? tt )(1)(1 2
21 ??
1
21 AA ? K
n
A
n
A ?
?
??
?
? 2
2
1
1
11
??
对于平行平面场,
zzz AA eeA ??
如长直电流、无限大平板电流产生的磁场等。
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第 三 章 恒定磁场
3.4.3 磁矢位 A 的应用 （ Application of A )
1) 由磁矢位 A 求 B
解, 取圆柱坐标系
??? 2/ 2/0 dπ4 l lz r zIA ?
??? lzz rIA leA dπ4 0?
图 3.4.3 位于坐标原点的短铜线
例 3.4.1 试求载流短铜线产生的磁感应强度 （ r >>l） 。
22
0
π4 z
IlA
z ?? ?
?
lr ??由于
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第 三 章 恒定磁场
?
??
??
???
??
e
AAA
eee
AB
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
z
z
z
A
z
11
根据
?? ?
?
?
?? eeB s i n
π4)(π4
0
2322
0
r
lI
z
lI ?
??
能否用安培环路定律求解此问题?
思考
22
0
π4 z
IlA
z ?? ?
?
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第 三 章 恒定磁场
?? ?? L L zzI 21220 )( dπ4 ??
]ln)[ ln (π2 220 ??? ???? LLI
例 3.4.2 应用磁矢位 A，试求空气中长直载流
细导线产生的磁场。
)(2lnπ2 0 ??? ??? LLI
?A ?
?
L
L r
zI d
π4
0?
解, 定性分析场分布,
zAe?A
?? ?
?
? eeAB π2
0 IA Z ?
?
??????磁感应强度
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图 3.4.4 长直载流细导线的磁场
第 三 章 恒定磁场
解, 由上例计算结果,两导线在 P 点的磁矢位
2
0
2
1
0
1
2ln
π2
2ln
π2 ?
?
?
? LIALIA ??
例 3.4.3 应用磁矢位分析两线输电线的磁场。
ze
I
1
20
21 lnπ2 ?
????? AAA
zyxb
yxbI e
22
22
0
)(
)(ln
π4 ??
??? ?
总的磁矢位
yx x
A
y
A eeAB
?
??
?
?????磁感应强度
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图 3.4.5 圆截面双线输电线
第 三 章 恒定磁场
3) 在平行平面场中,等 A 线就是 磁感应 线。
yzxz x
A
y
A ee
?
??
?
?
图 3.4.6 等 A 线与 B 线关系
lASASB dd)(d ???????? ??? lSSΦ
Wb（韦伯）
磁感应 线方程
0dd ?? xByB yx
(1)
x
AB z
y ?
???
y
AB z
x ?
??得 (2)
yyxx BB ee ??
?AB ???由
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2) 由磁矢位 A 计算磁通 Φ
第 三 章 恒定磁场
在轴对称场中,为等 A 线。 c o n s t?
?? A
c o n s t?ZA
0ddd ??????? Zzz AxxAyyA
式 （ 2） 代入式 （ 1）
B 线方程
0dd ?? xByB yx
(1)
x
AB z
y ?
???
y
AB z
x ?
?? (2)
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第 三 章 恒定磁场
两线输电线的等 A 线方程为偏心圆方程
,
)(
)( 2
22
22
k
bxy
bxy ?
??
?? 222)( ayhx ???
相似
图 3.4.7 双线输电线的磁场
等 A线
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图 3.4.8 双线输电线的电场
等 线 ?
第 三 章 恒定磁场
通解
21
20
1 ln4)( CC
JA ???? ???? 432 ln)( CCA ?? ??
aJAA ????????? ?????? 0112 )(1
4) 由微分方程求 A
例 3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体,J=Jez,试
求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B 。
0)(1 222 ??????? ???? AA a??
解, 采用圆柱坐标系,且 )(?fA ?
zA eA ?
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第 三 章 恒定磁场
,4
22
01 z
aJ eA ?? ??
z
aJa eA
?? ln4
1 2
02 ?
解得
通解
21
20
1 ln4)( CC
JA ???? ???? 432 ln)( CCA ?? ??
边界条件 0
1 ??aA ? （参考磁矢位） (1)
??? ? 01 ??A
(2) 有限值
21 AA ? ???? ?
?
??? 2
0
1
0
11 AA (3) )( a??
磁感应强度
a
Ja
a
J
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
e
e
e
2
2
2
0
0
???? AB
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第 三 章 恒定磁场
图 3.4.9 铁磁体槽内有
线电流
例 3.4.5 电机转子槽内有一线电流 I，转子的磁导
率,忽略槽口边缘效应，试写出 A的边值问题。 ???
解,磁矢位
zA eA ??
02
2
2
2
?
?
??
?
?
y
A
x
A微分方程为
直角坐标系
yx x
A
y
A eeAB
?
??
?
?????
由于,槽内磁感应线垂直于槽壁 ???
在 处，,即
0?yB 01
0
????? xA?hyax ???? 0
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第 三 章 恒定磁场
在 处,
0?xBaxay ???? 0
在 处，忽略边缘效应，认为
磁感应 线与 x 轴平行,
axahy ????,
a
I
y
A
2
0??
?
?根据 即
? ????l IaH 2d lH
故
a
IB
x 2
0??
直角坐标系
yx x
A
y
A eeAB
?
??
?
?????
由于,磁感应线垂直于槽壁 ???
01
0
???? yA?
即
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第 三 章 恒定磁场
m?
— 磁位 A（安培）
3.5 磁位及其边值问题
Magnetic Potential and Boundary Value Problem
m?
3.5.1 磁位 (Definition Magnetic Potential )
m?
无电流区 0??? H
m????H lH dm ?? ?l?
磁位 仅适合于无自由电流区域 ;
m?
等磁位面（线 )方程为 常数，等磁位面（线）
与磁场强度 H 线垂直 ;
?m?
的多值性。
m? 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
,dm ? ??? A l BA lH?
则 证明, 设 B 点为参考磁位,
?? ??? A l B m Al lHlH dd
IAA ?????? mm ??
推论
kIAA ????? mm ??
规定, 积分路径不得穿过磁屏障面 。
? ???? A m BA lH dm?
lHlH dd ???? ?? B m AA l B
图 3.5.1 磁位 与积分路径的
关系 m?
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第 三 章 恒定磁场
图 3.5.2 等磁位线与等电位线的类比
图 3.5.3 线电流 I 位于两铁板之
间的磁场
图 3.5.4 线电荷 位于两导板之
间的电场 ?
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第 三 章 恒定磁场
在直角坐标系中
02 m
2
2
m
2
2
m
2
m
2 ?
?
??
?
??
?
???
zyx
????
2,分界面上的衔接条件
由
?
?
?
?
?
2n1n
2t1t
BB
HH
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
2m
2
1m
1
2m1m
?
?
?
?
??
0m2 ?? ? （仅适用于无电流区域）
1,微分方程
m0 ???????? HH
???? 0B mm ???? ???????? ???????? )( m??? H 0?
0
3.5.2 磁位 的边值问题 ( Boundary Value Problem of )
m? m?
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第 三 章 恒定磁场
解,平行平面磁场,取圆柱
坐标系
例 3.5.1 设在均匀磁场 H0中放置一长直磁屏蔽
管,试求磁屏蔽管内磁场分布及屏蔽系数。
12
1m
2
2
1m
1m
2 01)(1 ??
?
?
??
??
??? ???
??
?
?
?
???
212m2 0 ???? ????
03m2 ?? ? 2?? ?
通解
)s i nc o s)((ln n
1
nnn00m ???? nBnArBrABA
n
nn ??????? ?
?
?
?
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图 3.5.5 长直屏蔽管置于
均匀磁场中
第 三 章 恒定磁场
边
界
条
件
01m ?? 0?? （ 1）
??? c o s003m HxH ???? ??? （ 2）
2m3m ?? ? ?????? ?????? 2m3m0 2?? ?
（ 3）
2m1m ?? ?
?
??
?
??
?
??
?
?? 2m1m
0
1?? ?
（ 4）
用分离变量法，场的对称
性及式 （ 2）,得通解
???? c o s)(m ii NM ?? (i=1,2,3)
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图 3.5.6 长直磁场屏蔽管内外磁场的分布
第 三 章 恒定磁场
磁位
)1(
4
c o s
)1(
4
2
2
2
1
0
2
2
2
1
0
1m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rr
xHH
屏蔽管内磁场 H1均匀分布，且与 H0 的方向一致。
代入其他边界条件，联立求解得 N1=0
x
r
x
H
x
eeH
)1(
4
2
2
2
1
01m
1
?
?
?
?
?
?
?
?
??
磁场强度
2
0
2
0
2
2
2
1
00
1
)1()1(
/4
???
?
?
?
?
?
?
?
??H
M
0?? ??
)1(
4
2
2
1
2
0
?
?
?
? r
H
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
工程上常采用多层铁壳磁屏蔽的方法，将进入
腔内的残余磁场一次又一次地予以屏蔽。
屏蔽系数
)1(
4
2
2
2
1
r
0
1
?
?
? ?
??
H
H
K
磁屏蔽与静电屏蔽有什么不同？它们对屏蔽的
材料各有什么要求？
屏蔽管的材料 越大,K 越小,? 屏蔽效能越高。
导磁管壁越厚，即 ?1/?2越小,K 越小,屏蔽效能高。
思考
思考
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第 三 章 恒定磁场
m??
位 函 数
比较内容
引入位函数依据
位与场的关系
微分方程
位与源的关系
电位 磁位 磁矢位 A
0??? E 0??? H 0??? B
????E
? ?? 0 dp lE?
??? ??? 2
m????H
? ?? 0m dp lH?
0m2 ?? ?
AB ???
?? ??? Sl SBlA dd
JA ???? 2
(有源或无源） (无源） (有源或无源）
? ?? V rV??? π4 d ?? V rV π4 d0 JA ???? π4m I?
3.5.3 磁位,磁矢位与电位的比较
(Comparison of, A and ）
m? ?
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第 三 章 恒定磁场
下述两个场能进行磁电比拟吗？
由于两种场均满足拉普拉斯方程，且边界条
件相同，所以可以磁电比拟。
思考
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图 3.5.7 恒定磁场与恒定电流场的比拟
第 三 章 恒定磁场
联立求解
IIII
12
1
12
12 2
??
?
??
??
?????
???
根据惟一性定理
?
由,
2t1t HH ?
由
n2n1 BB ?
3.6 镜像法
Image Method
(1) III ????? ?
??? s inπ2s inπ2s inπ2 rIrIrI ?????
(2) III ????? 21 )( ??
?????? c o s π2c o s π2c o s π2 211 rIrIrI ?????
图 3.6.1 两种不同磁介质的镜像
＝
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02 ?? ?
??1?
第 三 章 恒定磁场
空气中
)(π2 2
2
1
1
0
1 ??
? eeB
r
I
r
I ???
铁磁中磁感应强度 H2=0 吗？
例 3.6.2 线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。
0?
解,镜像电流
III ?????
20
02
??
?? 02
20
0 ?
???? II ??
?
??? eHB r
I
π22222
????
??
?
??
?? ee
r
I
r
I
ππ2)
2( 0
20
0
2 ???
? ?
图 3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像
思考
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第 三 章 恒定磁场
?
磁场分布的特点,
解,镜像电流
III ??????
21
21
??
?? III 22
21
1 ?
???? ??
?
例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁
场分布有什么特点呢？
? ??
图 3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像
空气中 的磁场为无铁磁物质情况下的 2倍。 )(
02 ?? ?
铁磁表面近似为等磁位面。空气中的 磁感应 线与其
垂直。
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第 三 章 恒定磁场
3.7 电 感
3.7,1 自感（ Self-Inductance）
回路的电流与该回路交链的
磁链的比值称为自感。
LIS ??? ? SB d?
即
H（亨利）
IL
??
L = 内自感 Li + 外自感 L0
Inductance
求自感的一般步骤,
设
),( 0i LLLΦI ????? ?BH
A
图 3.7.1 内磁链与外磁链
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第 三 章 恒定磁场
Il ???? lH d
例 3.7.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。
1,内导体的内自感 )0(
1?? ??
解,
SB dd ??Φ磁通
,π2 2
1
??IH ?
匝数
2
1
2
?
????
I
IN
π8
01
1
l
IL
i
i
?? ??内自感
因此,?
? Si N ?? d1 ?? 1
0 2
1
2
2
1
0 d
π2
? ?
?
?
?
?? lI
π8
0 lI??
下 页 上 页 返 回
图 3.7.2 同轴电缆截面
2
2
1
??I?22
1
??I?
???? dπ2 2
1
0 lI?
第 三 章 恒定磁场
2,外导体内自感 )( 32 ??? ??
图 3.7.3 同轴电缆
2
2
2
3
22
300
π2π2 ??
??
?
?
?
?
?
???? IIB
由例 3.2.2 知
?ddd 2 lBSBΦ i ???
)(π8
)(
)(π2ln)(π2 2223
2
2
2
30
2
2
2
3
2
30
2
32
2
2
2
3
2
30
??
???
??
??
?
?
??
??
?
??
????
lll
?? 32 d12 ?? ?BlNIL i
2
2
2
3
22
3
'
??
??
?
???
I
IN匝数
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
3,外自感 )( 21 ??? ??
1
2000
0 lnπ2dπ2
1 2
1 ?
???
?
?? ?
?
??? ? lIIIL
?
?
π2
0 IB ?
??? dπ2dd 000 lIΦψ ??
总自感
210 ii LLLL ???
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
? ? ???????? ??? RDR xlxDxI d)( 11π2 0?? R RDIl ?? lnπ0?
R
RDl
IL
??? ln
π
0
0
??
????? )(π2π2 00 xDIxIBI ??
设
总自感为
R
RDllLLL
i
????? ln
ππ42
00
0
??
02 LLL i ??
总自感 解, 内自感
,π8 0 lL i ??
解法一
0L?B由
例 3.7.2 试求半径为 R的两平行传输线自感。
图 3.7.4 两线传输线
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
zRDx
zRx
RD
RI
R
RDI
eA
eA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
ln
π2
ln
π2
0
2
0
1
?
?
解法二
0L?A由
lAlAl 21d ???? ? lA? ILR RDlI 00 lnπ ??? ?
R
RDl
IL
??? ln
π
0
0
??
图 3.7.5 双线传输线
下 页 上 页 返 回
ze
I
1
20 ln
π2 ?
???A
第 三 章 恒定磁场
3.7.2 互感 （ Mutual Inductance）
互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生
的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位
置及周围媒质有关。
计算互感的一般步骤,
设
d
2 2121111
?????? ?s SBΦ BHI
1
21
21 I
ΨMΨ ??
A
21M?
可以证明
2
12
12 IM
??
,12121 IM??
1
21
21 IM
?? H（亨利）
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图 3.7.6 电流 I1 产生与回路
L2交链的磁链
第 三 章 恒定磁场
图 3.7.7 两对传输线的互感
解,设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链
导线 B 作用
BD
BC
BB D
DlIΦ ln
π2
0
mm
?? ??
合成后
AC
AD
SAA D
DIlΦ ln
π2d
0
mm
?? ???? ? SB
导线 A 作用
?
?
π2
0 IB ?
1) 若回路方向相反，互感会改变吗？ 它反映
了什么物理意义？
例 3.7.3 试求图示两对传输线的互感。
BDAC
BCAD
BA DD
DDlI
?
???? ln
π2
0
mmm
????
BDAC
BCAD
D
DlM
?
?? ln
π2
0
思考
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第 三 章 恒定磁场
2) 铁板放在两线圈的下方,互感增加否？ 如何计算？
3） 铁板放在两线圈之间，互感、自感是否增加？
4） 如何绕制 无感电阻？
图 3.7.8 一块无限大铁板置于两线圈的下方
图 3.7.9 一块无限大铁板置于两线圈之间
图 3.7.10 无感线圈
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第 三 章 恒定磁场
3.7.3 诺依曼公式（ Neumann’s Formula）
1,求两导线回路的互感
互感
? ? ???? 2 1 1221
1
21
21
dd
π4 l l
o M
RI
ΦM ll?
设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为
?? 1 110 dπ4 l RI lA ?
穿过回路 2 的磁通为
? ? ?? 2 1 2110 d)d(π4 l l RI ll?
? ?? 2 221 dlΦ lA
图 3.7.11 两个细导线电流回路
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第 三 章 恒定磁场
2,用诺依曼公式计算回路的外自感
外自感
? ? ??? 2 1 2100 ddπ4 l l RIΦL ll?
?? 1 110 dπ4 l RI lA ?
电流 I 在 l2 上产生的磁矢位为
? ?? ???? 2 12 2102 ddπ4d l ll RIΦ lllA ?
与 l2 交链的磁通为
设电流 I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过外
表面轮廓 l2 所限定的面积。
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图 3.7.12 线圈的自感
第 三 章 恒定磁场
? 媒质为线性；
? 磁场建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；
? 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能
量的建立过程无关。
假设,
磁场能量的推导过程
3.8.1 恒定磁场中的能量 （ Magnetic Energy）
3.8 磁场能量与力
Magnetic Energy and Force
?? ??
?? ??
???
n
k
kk
n
i
n
j
jiij
n
k
kk IIIMILW
11 11
2
m 2
1
2
1
2
1 ?
)0( ?i
自有能 互有能 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
由矢量恒等式 AHHAAH ??????????? )(
3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度
( Energy Distribution and Energy Density )
?? ?
?
k
n
k
kIW ?
1
m 2
1 ? ?
?
?
n
k
kV V
k1
d21 JA
? ???S Vd21 HA
??? ?
?
lA d21
1
n
k l
k
k
I
??n
得
VVW VV d21d)(21m ?? ?????? BHAH
0
? ? ????S V VBHSAH d21d)(21
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第一项为 0
2d,1,1 rS
rr 2 ??? AH
由于 ??r所以 时,
第 三 章 恒定磁场
VVBH dd21 mm ?? ??? VV wW
J（焦耳）
磁能密度
??
2
2
m 2
1
2
1
2
1 BHw ???? BH 3mJ
磁场能量是以密度形式储存在空间中。
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第 三 章 恒定磁场
解, 由安培环路定律
?????? ?? ? ?
1 2
10
2
2
2
1
0 π2π2
2
? ?
? ????
? dlHdlH ?
?
?
??
? ??
1
2
2
0 ln
4
1
π4 ?
?? lI
自感
??
?
??
? ???
1
20
2
m ln
4
1
π2
2
?
?? l
I
WL
例 3.8.1 试求长度为 l,通有电流 I 的同轴电缆储
存的磁场能量与自感。
磁能
??? ? VW V d21m BH ?V VH d21 20?
12
1
1 0π2π2 ???
?
? ?? ???
?? eeH II
212 π2 ???? ? ??? eH
I
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图 3.8.1 同轴电缆截面
第 三 章 恒定磁场
3.8.3 磁场力 ( Magnetic Field Force )
1,安培力
BlF ?? ?l I d
解, 定性分析场分布
B 板的磁场
)(2 0 yaI eB ?? ?
A 板受力
? ?? S S BKF d
????? ? )(2)(d0 0 ya z a IybaI ee ? )(2
2
0
xa
bI e??
例 3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。
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图 3.8.2 两平行导板间的磁力
第 三 章 恒定磁场
2,虚位移法 （ Method of False Displacement )
电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功
? 常电流系统
外源不断提供能量，一半用于增加磁能，一半提
供磁场力作功。
c o n s tmdd ?? kIWgf
n 个载流回路中,当仅有一个广义坐标发生位移
dg,系统的功能守恒是
gfWW ddd m ??
广义力
c o n s t
m
??
??
kIg
Wf
gfII
n
k
kkk
n
k
k d)2
1(d)(d
11
?? ??
??
??
即
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第 三 章 恒定磁场
? 常磁链系统
c o n s tmdd ??? kWgf ?
磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供
克服感应电动势的能量
广义力
c o n s t
m
??
???
kg
Wf
?
取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁
能，便可求得相互作用力。
两种假设的结果相同，即
c o n s t
m
c o n s t
m
?? ?
???
?
??
kk g
W
g
Wf
I ?
0d m ?W
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第 三 章 恒定磁场
解,系统的相互作用能为
21m IMIW M ?
BmT ??用矢量表示为
例 3.8.3 试求图中载流平面线圈的转矩。
选 ? 为广义坐标，对应的广
义力是转矩,
T < 0表示转矩企图使 ? 减小，使该回路包围尽可能
多的磁通。
???? ? cm 1IMWT ? ?? ?s in1 BSI ?sinBm?
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图 3.8.3 外磁场中的电流回路
121?I? ?c o s1 BSI?
第 三 章 恒定磁场
解, 设作用力为 F，试棒沿 x
方向移动 dx，磁场能量的增量
??? )21(dd m VW HB
abHxWF
kI
20
c
m
2d
d ?? ???
? abd
NI 20 )(
2
?? ?? 0?
F > 0 表示磁路对试棒的作用力为吸力 (沿 x轴方
向）,这也是电磁阀的工作原理。
d ????? NIdHl lH
例 3.8.4 试求磁路对磁导率为 ? 的试棒的作用力，
试棒截面积为 。 ba?
xabHH d)22( 202 ?? ?
d
NIH ?
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图 3.8.4 磁路对磁导率为 m 试
棒的作用力
第 三 章 恒定磁场
3,法拉第观点
法拉第观点，通量管沿其轴向方向受到纵张力，垂
直方向受到侧压力,其量值都等于
?? 22
1
2
1 22 BHBHf ??? N/m
2
图 3.8.7 载流导体位
于铁板上方
例 3.8.5 试判断物体受力情况。
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图 3.8.5 向量管受力
图 3.8.6 电磁铁
第 三 章 恒定磁场
3.9 磁 路
3.9.1 磁路的基本概念
( Basic Conception of Magnetic Circuit )
利用铁磁材料制成一定形状的回路 （ 可包括
气隙），其上绕有线圈，使磁通主要集中在回路中，
该回路称为磁路。
Magnetic Circuit
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第 三 章 恒定磁场
(a) 变压器 (b) 接触器 (c) 继电器 (d) 四极电机
(e) 永磁式电磁仪表
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图 3.9.1 几种常见的磁路
第 三 章 恒定磁场
1,磁路的基本物理量
磁路物理量：磁通,磁势 Fm、磁压 Um, B,H
?
电路物理量, 电流 I,电源 Us,元件电压 U
Um 的降落方向与 H 方向一致
(2) 磁压 Um A（安）
(1) 磁势 Fm =Ni A（安）
Fm 的 方向与 电流 i 符合右手定则
用类似于电路的方法进行磁路计算。
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第 三 章 恒定磁场
2,磁路的基尔霍夫定律
磁路的基尔霍夫第一定律
— 磁通连续性原理
设磁通（即 H的）参考方向，若电流与 H 方向
呈右手螺旋,Fm 取正，否则取负。
如图参考方向下,
?
?
?
n
i
iΦ
1
00321 ???? ΦΦΦ
磁路的基尔霍夫第二定律 — 安培环路定律
??
??
?
m
k
n
k
NiHl
11
??
??
?
m
k
n
k
FU
1
m
1
m
22110022211 )( iNiNLHLLHLH ??????
如 下 页 上 页 返 回
? ??L Id lH
图 3.9.2 磁路定律
第 三 章 恒定磁场
3,磁路的欧姆定律
m
mm
R
U
Sl
U
Sl
HlSHBSΦ ?????
???
?S
l
Φ
UR ?? m
m
— 磁阻,1/H
磁阻与磁路的几何尺寸、磁导率 有关。 ?
线性 线性磁阻 线性磁路 c o n s t
m ?R
非线性 非线性磁阻 非线性磁路 ),(
m HBfR ?
?
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图 3.9.3 磁阻计算
第 三 章 恒定磁场
3.9.2 线性磁路的计算（无分支、均匀分支、不均匀
分支磁路） (calculation of Linear Magnetic Circuit)
思路, 求
1m0m,RR
H110π5 6
0
0
0m ??? A
lR
?
A4 0 0)( 1m0mmm ???? ΦRRUF磁势
A4.0/m ?? NFI电流 A2 0 00m0m ?? ΦRU磁压
,H110π5 61m ??? AlR ?
磁阻 解,
，问电流 I＝？并求气隙的磁压 Um0。
Wb10π4.0 4???Φ1000,mm2.0
0 ?? NL
,若在磁路中产生
例 3.9.1 已知磁路 L=20cm,截面积, 2cm1?S 100?
r?
下 页 上 页 返 回
NIRU ??? mm
m,UI
图 3.9.4 磁压计算
第 三 章 恒定磁场
6
11
1
2m1m 10π
8 ????
A
lRR
?
侧柱
对称性
ΦΦΦ 2121 ??
解法一,
A
lR
??m
中间柱
473
2
1010π410
104
??
?
???
?? 610
π
1 ??
ΦRΦRF m11mm ?? 1m11m 2 ΦRΦR ??
例 3.9.2 有一对称磁路，中间柱截面积为,
试求侧柱的磁通。,Aπ5.0,1 0 0,1 0 0 0 ??? IN
r?
两侧柱截面积,2/AAA
21 ??,cm16,cm4 21 ??? lll
2cm1?A
侧柱磁通 4
mm1mm1
m
1 105.022
???
???? RR
NI
RR
FΦ Wb
下 页 上 页 返 回
图 3.9.5 磁通计算
第 三 章 恒定磁场
解法二, 磁路是对称的，取其一半，则
不变1mmm 22/ RRA lR ??? ?
磁阻
NIΦRRF ???? 11mmm )(磁势
侧柱磁通 4m1m1 105.0)2/( ????? RRNIΦ Wb
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图 3.9.6 对称磁路的磁通计算
第 三 章 恒定磁场
解, 设磁通方向,求各磁路磁阻
例 3.9.3 已知气隙中的磁通为,线圈匝数为 N，铁
心材料磁导率为 ?,截面积分别为 S2 和 S1,试求电流 I。
0?
)( 100m SlR ??
00m0m ΦRU ?
)/(2 111m SlR ??
01m1m ΦRU ?
)/( 222m SlR ??
1m0m2m UUU ?? 2m2m2 / RUΦ ?
)/( 233m SlR ??
023 ΦΦΦ ?? 33m3m ΦRU ?
??? 2m3mm UUU ??? 3m1m0m UUU NIF ?m NUI /m?
各磁路磁压
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图 3.9.7 磁路计算
第 三 章 恒定磁场
3.9.3 铁磁质的磁特性
1,两种基本的特性曲线
磁滞回线,铁磁质反复磁化时的 B-H 曲线。可确
定剩磁 Br，矫顽力 HC，磁能积 （ BH） 等重要参数。
基本磁化曲线, 是许多不饱和磁滞回线的正顶
点的连线。
图 3.9.9 基本磁化曲线
图 3.9.8 磁滞曲线 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
硬磁材料 磁滞回线较宽, 充磁
后剩磁大。如铁氧体,钕铁硼 。用于永磁电机、电
表、电扇，电脑存储器等器件中的永磁体。
,,` 大小 rc BH?
图 3.9.10 软磁材料磁滞曲线 图 3.9.11 硬磁材料磁滞曲线
2,铁磁质的分类
下 页 上 页 返 回
软磁材料 磁滞回线较窄,断电
后能立即消磁。 如硅钢、矽钢等 。用于电机、变压
器、整流器、继电器等电磁设备的铁芯。
rc BH `,?
大 小,
第 三 章 恒定磁场
3.9.4 非线性基本磁化曲线（直流磁路）
解,这是均匀无分支磁路
T4.0105 102 4
4
????? ?
?
A
ΦB
查磁化曲线,H=300 A/m
A3 0 0m ?? HlF磁势
例 3.9.4 一圆环形磁路及基本磁化曲线如图所示，平
均磁路长度 l = 100 cm,截面积 A= 5 cm2，若要求产生
2× 10-4 Wb 的磁通，试求磁势为多少？
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图 3.9.13 磁路计算
B/T
1/ ?AmH
图 3.9.12 非线性磁路计算
Φ B/T
300 1/ ?AmH
0.4
第 三 章 恒定磁场
A 1 0 0 0m ??? NIHlF
m/A 1 0 0 0/ ?? lNIH
反问题,已知线圈匝数 N=1000，电流 I = 1A，试
求磁通 为多少？ ?
查磁化曲线,
44 1025.510505.1 ?? ?????? BAΦ Wb
解
B=1.05T
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第 三 章 恒定磁场
若要继续充电,外源必须克服回路的感应电动势做功,
过程中，外源所做的功
11 0 Ii ?从
??A ? ?1
0 111 d
I i ????? 0d
1A
2
112
1 IL?? 1
0 111 d
I iiL
推导磁场能量表达式
tt d
d,
d
d 21
21
11
11
???? ????
02 ?i（ 1） 从 1i,0 1I?
的感应电动势为 t 时刻,l1,l2中
1111
11
1111 ddd
dd)(d ??? iti
ttiA ?????
即
下 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
（ 2） 不变,从,
1I 2i 20 I?
tt d
d,
d
d 12
122222
???? ????
若要继续充电,外源必须克服回路的感应电动势做功
2222
22
2222 ddd
dd)(d iiLti
ttiA ??????
??
不变,从 过程中，外源所做的功
2i1
I 20 I?
????????? 21 AAA 2
2221 2
1 ILIMI ?? ? ??2 2
0 0 2222121 dd
I I iiLiMI
21121
12
1121 ddd
dd)(d iIMtI
ttIA ??????
??即
的感应电动势为 t 时刻,l1,l2中
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
22221211'''m
2
1
2
1 ILIMIILAAW ?????
)(21)(21 22211211 IILMIIMIIL ????
2211 2
1
2
1 II ?? ??
?
?
?
2
12
1
k
kkI ?
总磁能
ji
ji
i
i
i II
i j
ijIL M? ??
? ?
?
?
?
2
1
2
12
1
2
1 2
1
＋
上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
矢量恒等式 CAACCA ??????????? )(
故 0??? B
VrzyxV ??????? ???????? ? ? d)1(),,(4 0 J??
取散度
Vr zyxzyx V r ?????????? ? ? d),,(4),,( 20 eJB ??
则
?????? ?????????????????????? ??????? )
1(),,(),,()1()1(),,(
rzyxzyxrrzyx JJJ
0
0?
推导 B 的散度
Vr zyxzyx V r ?????? ? ? d),,(4),,( 20 eJB ??
0
返 回
第 三 章 恒定磁场
无感电阻 下 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
无感电阻 上 页 返 回 下 页
第 三 章 恒定磁场
超导技术的应用
超导,指金属、合金或其它材料的电阻在 4－ 20K
温度下变为零的性质。
高温超导,指温度在 77K以上，材料的电阻变为零
的性质。目前的 Bi系,TI系等材料在液
氮温度下超导。
超导体内部没有电场。
载流能力强（约 6000A/cm2）,
损耗小。
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第 三 章 恒定磁场
超导技术应用 超导电机、超导变压器、超导限流
器、超导输电、超导储能、高能加
速器、核聚变装置、磁流体发电,
超导磁悬浮列车、超导磁分离、核
磁共振谱仪。
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第 三 章 恒定磁场
江泽民总书记乘坐高温超导磁悬浮实验车
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
世界首辆载人高温超导磁悬浮实验车
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第 三 章 恒定磁场
高温超导磁悬浮模拟实验车 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
超导线材界面图 Bi系高温超导线材图
下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
常导磁悬浮实验 下 页 上 页 返 回
第 三 章 恒定磁场
超导磁悬浮实验 上 页 返 回
