第 四 章 时变电磁场
Time-Varying Electromagnetic Field
第四章 时变电磁场
下 页
电磁感应定律和全电流定律
正弦电磁场
序
电磁辐射
电磁场基本方程、分界面上的衔接条件
动态位及其积分解
返 回
坡印廷定理和坡印廷矢量
第 四 章 时变电磁场
4.0 序
Introduction
在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标
的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产
生 磁 场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。
英国科学家 麦克斯韦 将静态场、恒定场、时变
场的电磁基本特性用统一的 麦克斯韦 方程组高度概
括。 麦克斯韦 方程组是研究宏观电磁场现象的理论
基础。
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第 四 章 时变电磁场
时变场的知识结构框图,
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磁通 连续性原理 高斯定律
电磁感应定律 全电流定律
Maxwell方程组
坡印廷定理与坡印廷矢量
正弦电磁场 ?动态位 A,
分界面上衔接条件 达朗贝尔方程
电磁辐射、传输线及波导
第 四 章 时变电磁场
本 章 要 求
深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，其中
包括位移电流的概念；
掌握动态位与场量的关系以及波动方程，理解
电磁场的滞后效应及波动性；
掌握电磁波的产生和传播特性。
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第 四 章 时变电磁场
4.1.1 电磁感应定律 （ Faraday’s Law）
当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感
应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
电磁感应定律,
te d
d ???
负号表示感应电流产
生的磁场总是阻碍原磁场
的变化。
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law
4.1 电磁感应定律和全电流定律
图 4.1.1 感生电动势的参考方向
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第 四 章 时变电磁场
1.回路不变，磁场随时间变化
SB ddd ??????? ? S tte ?
又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称
为变压器电势。
图 4.1.2 感生电动势
根据磁通变化的原因,分为三类,e
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第 四 章 时变电磁场
2.磁场不变，回路切割磁力线
lBν d)(dd ????? ? lte ?
称为动生电动势，这是发
电机工作原理，亦称为发
电机电势。
图 4.1.3 动生电动势
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第 四 章 时变电磁场
3.磁场随时间变化，回路切割磁力线
SBlBν dd)(dd ????????? ?? Sl tte ?
实验表明,只要与回路交链的磁通发生变化，回路中
就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关（甚
至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流
产生。
e
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电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
思考
第 四 章 时变电磁场
4.1.2 感应电场 （ Inducted Electric Field）
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种
电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称
之为 感应电场 。
??? ?????????? SBSElE d d)(d ii tsl
t?
????? BE
i
图 4.1.4 变化的磁场产
生感应电场
在静止媒质中
lE di ?? ? le
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化
的磁场 是产生 的涡旋源，故又称 涡旋电场 。
iE
t?
?B
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第 四 章 时变电磁场
图 4.1.5 变化的磁场
产生感应电场
t?
????? BE
若空间同时存在库仑电场,
即 则有,
iEEE ?? C
表明不仅电荷产生电场，变
化的磁场也能产生电场。
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根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生
磁场呢？
思考
第 四 章 时变电磁场
0dd 2 ???? ?? Sl SJlH
4.1.3 全电流定律 （ Ampere’s Law）
图 4.1.6 交变电路用
安培环路定律
问题的提出
iSl ???? ??
1
dd SJlH
思考
经过 S1面
经过 S2面
il ??? lH d
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为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？
原因所在？
第 四 章 时变电磁场
电流连续性原理
0)( ????? H
Stokes’ theorem
?? ??? Sl SJlH dd
矢量恒等式
SDJlH d)(d ?????? ?? tSl
0)( ????? H
矢量恒等式
恒 定 场 时 变 场
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0??? J
JH ???所以
tt ?
?????
?
????? DJ ?
因为
0)( ?????? tDJ
所以
t?
????? DJH
所以
第 四 章 时变电磁场
SDJlH d)(d ?????? ??
Sl t
变化的电场产生位移电流（ Displacement
Current）,电流仍然是连续的。
? ? ??
?
?
?
?
??
?
?
2 2
dd
S S
i
t
q
S
tt
?
S
D
iS ??? SJ d
1
=
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图 4.1.7 交变电路用安培
环路定律
第 四 章 时变电磁场
全电流定律
不仅传导电流产生磁场，变化的电场也能产生
磁场。麦克斯韦预言电磁波的存在。
t?
????? DJH 微分形式
dcd)(d iitl S ????
????? ? SDJlH 积分形式
其中,—— 位移电流密度
dJt
D ?
?
?
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第 四 章 时变电磁场
解, 忽略边缘效应和感应电场
d
tuED
d
uE )(,?? ???
位移电流密度
位移电流
)dd(d tudtDJ ?????
cd d
d)
d
d(d i
t
uC
t
u
d
Si
S
????? ? ?SJ
电场
例 4.1.1 已知平板电容器的面积 S,相距 d,介
质的介电常数, 极板间电压 u( t )。 试求位移电
流 id； 传导电流 ic与 id 的关系是什么?
?
图 4.1.8 传导电流与
位移电流
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第 四 章 时变电磁场
? ??s qSD d
0d ???S SB
SBlE dd ??????? ?
l S t
SDJlH d)(d ??????? ?
l S t
4.2.1 电磁场基本方程组 (Maxwell Equations)
综上所述,电磁场基本方程组
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
全电流定律
电磁感应定律
磁通连续性原理
高斯定律
Maxwill Eguations and Boundary Conditions
全电流定律,麦克斯韦第一方程，表明 传导电流和变化
的电场都能产生磁场。
电磁感应定律, 麦克斯韦第二方程,表明电荷和变化
的磁场都能产生电场。
磁通连续性原理,表明磁场是无源场,磁力线总是闭
合曲线。 高斯定律,表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的
磁场以涡旋的形式产生电场 )。
4.2 电磁场基本方程组 〃 分界面上的衔接条件
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第 四 章 时变电磁场
构成方程
EJ ??
SDJlH d)(d ??????? ?
l S t
SBlE dd ??????? ?
l S t
0d ??? S SB
? ??S qSD d
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麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方
程可以从中推得。
静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
ED ?? HB ??
第 四 章 时变电磁场
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导
方式与前三章类似，归纳如下,
4.2.2 分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions )
KHH ?? 1t2t
n2n1 BB ?磁场,
t1t2 EE ?
??? n1n2 DD电场,
折射定律 2
1
2
1
t a n
t a n
?
?
?
? ?
2
1
2
1
t a n
t a n
?
?
?
? ?
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第 四 章 时变电磁场
,0)( ?? 常数得 CB
结论, 在理想导体内部无电磁场，电磁波发生全反射。
图 4.2.1 媒质分界面
例 4.2.1 试推导时变场中理想导体与理想介质分界面
上的衔接条件。
分析, 在理想导体中
,0??????? tBE由
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,00,0 ????? tBCBC 的建立过程中必有由若
。
为有限值，当
EJ ??,???
0?E 。
0?B 只有所以则即,,,0 ???? EJE ?
第 四 章 时变电磁场
根据衔接条件
??? n1n2 DD
0n1n2 ?? BB
分界面介质侧的场量
0t ?E ??nD KH ?t 0n ?B
导体表面有感应的面电荷和面电流。
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0t1t2 ?? EE
KHH ?? t1t2
第 四 章 时变电磁场
4.3.1 动态位及其微分方程
(Kinetic Potentials and Differential Equations)
从 Maxwell方程组出发,
t?
????? BE由
0)( ?????? tAE ??????? tAE
称为 动态位,是时间和空间坐标的函数。 ?,A
0 ??? B由 AB ???
Kinetic Potentials and Integral Solutions
4.3 动态位及其积分解
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t?
????? A)( A??
?
???
t
第 四 章 时变电磁场
)(1 ??? ?????????????? tt AJA
??? ????????? )( tA
经整理后，得
t?
????? DJH由
???? D由
?
?? ????
?
??? A
t
2 （ 2）
t)(t 2
2
2
?
?????????
?
??? ?????? AJAA （ 1）
洛仑兹条件
t?
????? ???A定义 A 的散度
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第 四 章 时变电磁场
达朗贝尔方程
(Dalangbaier Eguation)
?
??
???
???
??
?
?
??
??
?
?
??
2
2
2
2
2
2
t
t
J
A
A
思考
JA ???? 2 ??? /??? 2
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洛仑兹条件 是电流连续性原理的体现 。
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
简化了动态位与场源之间的关系 ;
确定了 的值，与 共同确定 A； A?? AB ???
第 四 章 时变电磁场
4.3.2 动态位方程的积分解
（ Integral Solutions of Kinetic Potentials）
以时变点电荷为例
02
2
2 ?
?
???
t
???? （除坐标原点外）
2
2
22
2 )(1)(
,
t
r
vr
r
?
??
?
? ??? 展开为具有球对称性
)(1)(1 21)(
v
rtf
rv
rtf
r
t ?????
通解为
返 回 下 页 上 页
式中 具有速度的量纲, f 1,f2 是
具有二阶连续偏导数的任意函数。
??1v ?
第 四 章 时变电磁场
tvrr
ttt
???
???
信号从
当时间从,
)()( 11 vrtfv tvrttf ???????
有
1,通解的物理意义 )(1)(1
21)( v
rtf
rv
rtf
rt ?????
或者说,t时刻的响应是 时刻的激励所产生。
这是电磁波的 滞后效应 。
)( vrt ?
的物理意义)(1 vrtf ?
说明 f1 以有限速度 向 方向传播，称之为 入射波 。 ? r
图 4.3.1 入射波
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
有时信号从
当时间从
,
,
tvrr
ttt
???
???
)()( 22 vrtfv tvrttf ???????
在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2 = 0。
的物理意义)(2 vrtf ?
图 4.3.2 波的入射、反射与透射
下 页 上 页 返 回
说明,f2 在 时间内,以速度 向 ( - )方向前进了 t?
tv?
? r
距离，故称之为 反射波 。
第 四 章 时变电磁场
由此推论，时变点电荷的动态标量位为
2,动态位的积分的表达式
根据叠加定理,连续分布电荷产生的标量位为
V
r
v
rtzyx
tzyx
V
?
????
? ?
?
d
π4
),,,(
),,,(
?
?
?
无反射
的特解为 02 ?? ?静电场中,?
r
v
rtq
t
?
?
π4
)(
)(
?
?
无反射
r
q
?? π4?
（无限大均匀媒质）
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
若激励源是时变电流源时
V
r
v
rtzyx
tzyx
V
?
????
? ?
?
d
),,,(
π4
),,,(
J
A
?（无反射）
电磁波是以有限速度 传播的,光
也是一种电磁波。
??1?v
达朗贝尔方程解的形式表明,t 时刻的响应取
决于 时刻的激励源。又称 为 滞后
位 （ Retarded Potential） 。
)/( vrt ? ?，A
当场源不随时间变化时,蜕变为恒定
场中的位函数。
?，A
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第 四 章 时变电磁场
4.4.1 坡印廷定理 （ Poynting Theorem）
在时变场中，能量密度为
体积 V内储存的能量为
HBED ?????? 2121me www
（ 1）
VHBEDV d21d ?? ????? VV wW ）（
（ 2）
Poynting Theorem and Poynting Vector
4.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
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电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒
和转化定律 —— 坡印廷定理 ；
坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。
第 四 章 时变电磁场
)2121( HBED ???????? ttw
)()( EHJHEBHDE ????????????????? tt
))(( JEHE ????????? tw
代入式 (3)得
?? ? ??????????? VV StwtW VJESHEV dd)(d
式 (2)对 t 求导,
则有
)()()( HEEHHE ???????????矢量恒等式
Vd? ????? V twtW
（ 3）
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第 四 章 时变电磁场
?? ???????? VS VtW dd)( JESHE
整理得代入上式第二项
将若体积内含有电源，则
,
/,)( ee EJEEEJ ???? ??
物理意义,体积 V内电源提供的功率，减去电
阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿
出闭合面 S 的电磁功率。
t
WVJV
VVS ?
??????? ??? ddd)( 2
e ?JESHE
坡印廷定理
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第 四 章 时变电磁场
VJV
S V V
ddd)(
2
e? ? ?????? ?JESHE
恒定场中的坡印廷定理
注意, 磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成能
量的流动。
在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量
守恒定律为,
坡印廷定理
下 页 上 页 返 回
t
WVJV
VVS ?
??????? ??? ddd)( 2
e ?JESHE
第 四 章 时变电磁场
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单
位面积上的电磁能量，亦称为 功率流密度, S 的方向
代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。
4.4.2 坡印廷矢量 (Poynting Vector)
HES ?? W/m2 定义坡印廷矢量
下 页 上 页 返 回 4.4.1 电磁波的传播
第 四 章 时变电磁场
例 4.4.1 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电
缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内
外半径分别为 a 和 b。
解, 理想导体内部电磁场为零。
电场强度
?? eE )/ln ( ab
U?
?? eH π2
I?
z
I
ab
U eHES
?? π2)/l n ( ????
磁场强度
坡印廷矢量
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图 4.4.2 同轴电缆中的电磁能流
第 四 章 时变电磁场
?? ????? baA UIabUIP ??? dπ2)/l n (π2d 2AS
电源提供的能量全部被负载吸收。
流入内外导体间的横截面 A 的功率为
z
I
ab
U eHES
?? π2)/l n ( ????
坡印廷矢量
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电磁能量是通过导体周围的介质传播的,导线只
起导向作用。
第 四 章 时变电磁场
za e
IJE
?? 2π??
?? eH 2π2 a
I?
导体吸收的功率为,
SHE d)( ???? ? SP RI
a
lI 2
2
2
π ?? ?
例 4.4.2 导线半径为 a，长为 l，电导率为,
试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。
?
电场
磁场
解, 思路,
下 页 上 页 返 回
PSHEI ???,设
图 4.4.3 计算导线
损耗的能量
第 四 章 时变电磁场
表明,导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。
HES ?? nt
电源提供的能量一部分用于导线损耗
另一部分传递给负载
HES ?? tn
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图 4.4.4 导体有电阻时同轴电缆中的 E,H 与 S
第 四 章 时变电磁场
电路中正弦量有三要素,振幅, 频率 和 相位 。
)c o s (2)( ?? ?? tti I
??? jjj eII ?? ? )s in (2
d
)(d t
t
ti ??I??
?jeII ?? ?
正弦电磁场也有三要素,振幅,频率 和 相位 。
Sinusoidal Electromagnetic Field
4.5.1 正弦电磁场的复数形式
(Sinusoidal Electromagnetic Field Complex Form)
)c o s (),,(2),,,( ?? ?? tzyxtzyx FF ?j),,( ezyxFF ?? ?
)s i n (),,(2 ??? ????? tzyxt FF ??? ieFF jj ?? ?
4.5 正弦电磁场
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第 四 章 时变电磁场
正弦电磁场基本方程组的复数形式
场量与动态位的关系
AB ?? ???
?? ??? ???? AE j
SDJlH d)j(d ???? ?? Sl ??? ?
0d ??? S SB?
?? ???? Sl SBlE djd ?? ?
qS ?? ??? SD d
DJH ??? ?j????
BE ?? ?j????
?????? D
0??? B?
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)(j 1j AA ?? ????? ? ? ??
?? ? ? ?? j???? A
第 四 章 时变电磁场
在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为
)c o s ()(2)c o s ()(2),( HE ttt ???? ???? rHrErS
? ?)2c o s ()c o s ()( HEHE t ????? ?????? HE
?? T ttT 0av d),(1)( rSrS
称之为 平均功率流密度 。
S 在一个周期内的平均值为
4.5.2 坡印廷定理的复数形式
The Complex Poynting Theorem
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)c o s ()( HE ?? ??? HE
第 四 章 时变电磁场
)c o s ()()()(av HE ?? ????? ? HEHERS ??er
)(jjj e)(e)(e)( HEHE ???? ??? ????? HErHrEHE ??因为
? ? aV)c o s ()( SHEHER ????? ? HE ????e所以
EEtt ??? je)( )c o s ()(),( rEErErE ???? ?因为
H( ?je)rHH ??
实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。
??? HES ??~定义, 坡印廷矢量的复数形式
可以证明
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第 四 章 时变电磁场
)()()( ??? ??????????? HEEHHE ??????
)j(j ??? ?????? DJEHB ????? ??
VEHVJV VVV eS d)(jddd )( 22
2
???? ??????? ?? ????JESHE ???
S~对 取散度，展开为
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取体积分，利用高斯定理或散度定理，并将
eEγ
JE ??? ?? 代入体积分项，有
第 四 章 时变电磁场
若体积 V 内无电源，闭合面 S 内吸收的功率为
QPVEHVJ
VVS
jd)(jdd)( 22
2
???????? ??? ? ????SHE ??
有功功率 无功功率
可用于求解电磁场问题的 等效电路参数
VJSHER e d1d)(1
2
2
*
22 ?? ???
?
??
? ????
VS III
PR
?
??
VEHSHEI d)(1d)(1 222m22 ?? ???????? ????? ? VS IIIQX ?????
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
例 4.5.1 当平板电容器两极板间加正弦工频交流电
压 u（ t ） 时，试分析电容器中储存的电磁能量（忽
略边缘效应）。
解,忽略感应电场
zeUE )d(
?? ?
根据 全电流定律
2πjdjπ2 ??????
d
UH
S
???
??? ? SE
SDlH djd ??? ?? Sl ?? ?
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图 4.5.1 两圆电极的平板电容器
第 四 章 时变电磁场
???? eH d
U
2j
??
?
)(
2
j~ 2
2
???? eHES ????
?
d
U??
adadU
S
π22jd~ 2
2
???? ? ??SS
2
2π
j Uda???
显然，电容器中储存电场能量，磁场能量忽略
不计,电磁场为 EQS场 。
整理得
复坡印亭矢量
吸收能量
(无功功率 )
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2j UC??
第 四 章 时变电磁场
解,忽略边缘效应及位移电流，
用恒定磁场的方法计算。
20 πjπ2 ???? HE ?? ??
??
?? eE H??
2j
0???
zd
NI eH ?? ?
从安培环路定律，得
SHlE djd 0 ???? ?? Sl ?? ??
从电磁感应定律，得
例 4.5.2 N 匝长直螺线管，通有正弦交流电流。
试分析螺线管储存的电磁能量。
下 页 上 页 返 回
图 4.5.2 长直螺线管
第 四 章 时变电磁场
??
?? eHES 20
2j
~ H???? ???
???? e2
22
0 2j d
NI??
adadNI
S
π22jd~ 2
22
0 ???? ? ??SS
2
22
0 πj I
d
aN???
显然，螺线管中储存磁场能量，电场能量忽
略不计，电磁场为 MQS场 。
复坡印亭矢量
储存能量
( 无功功率 )
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2j LI??
第 四 章 时变电磁场
4.5.3 波动方程的复数形式及其解
(Wave Equation’s Complex Form and Solutions)
方程的特解形式为
式中,称为 相位常数,单位为 rad/m。 v/????? ??
V
r
v
rtr
V
?
??
? ?
?
d
π4
)(c o s)( ?? J
A
? ? ?
??
?
V
V
r
v
rtr
d
π4
)(c o s)(
?
??
?
? ?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j ?? J
A
??
rtvrt )( ??? ???
? ?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j
?
?? ???
在正弦电磁场中，波动方程的复数形式为
JAA ??? ?? ???? 22 ????? /2 ??? ???? 2和
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
思考
下 页 上 页 返 回
rvrt ??? ??
—— 滞后时间,—— 滞后相位,
故 —— 相位常数。
vr
v?? ?
表示 A与 的滞后相位，故亦称 滞后因子 。 r?je? ?
1??r?
或 称为 似稳条件 。 ???r
式与恒定磁场、静电场相同，称之为 似稳场 。
当 时,场量不计滞后效应，解的形 1e 1 j ??? ? rr ??
? ?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j ?? J
A
?? ?
?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j
?
?? ???
第 四 章 时变电磁场
电磁辐射
Electromagnetic Radiation
4.6 电磁辐射
下 页 上 页 返 回
电磁能量脱离电源以电磁波的形式在空间传播,
不再返回电源。
产生辐射的原因,
产生辐射的设备,
辐射的主要参数, 辐射场强，方向性和辐射功率。
电磁场的变化和有限的传播速度。
天线 （线天线和面天线）。
天线的应用,无线电通信、雷达、微波遥感 （军事,
水文、农业、海洋、气象、森林等）、生物医学等。
第 四 章 时变电磁场
图 4.6.1 电偶极子天线形成的过程
一、天线的形成
4.6.1 电偶极子的辐射 (Electric Dipole’s Radiation)
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
二、电磁辐射的过程
图 4.6.2 电偶极子天线
下 页 上 页 返 回
图 4.6.3 一个电偶极子在不同时刻的 E 线分布
电偶极子 p=qd 以简谐方式
振荡时向外激发电磁波。
下图是 E 线分别在
2/π3,π,2/π,0?t? 的场图。
第 四 章 时变电磁场
某一瞬间 E 线与 H 线 在空间的分布
下 页 上 页 返 回
图 4.6.4 时单元偶
极子天线 E 线与 H 线分布
0 ?t?
图 4.6.5 动态描述单元偶极子天
线辐射形成的过程
第 四 章 时变电磁场
三、电偶极子的电磁场
zzz
r
Al
r
I ee ?? ??? ?
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远离天线 P 点的 动态位 为,
下 页 上 页 返 回
)c o s (m ?? ?? tIi正弦电磁波
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研究场点远离天线
设,???? l 天线上不计推迟效应
图 4.6.6 单元偶极子天
线的磁矢量
第 四 章 时变电磁场
图 4.6.7 磁矢量分解
AH ?? ??? ?1根据
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c o sπ4 ec o s
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在 球坐标系 中分解为
下 页 上 页 返 回
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第 四 章 时变电磁场
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得的低次项忽略,)1( r?
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下 页 上 页 返 回
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图 4.6.8 电偶极子的近
区 E 与 H 线的分布
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第 四 章 时变电磁场
表明近区内只有电磁能量转换，没有波的传播。
思考
特点,
下 页 上 页 返 回
忽略推迟效应，在某一时刻电场与静电场中电偶
极子产生的电场相似，磁场与恒定磁场中元电流产生
的磁场相似，称之为 似稳场 。
时间相位差 HE ?? 与 ?90 ? ?
???? 02
1,
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eR
远区的能量来自何方？
第 四 章 时变电磁场
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2,远区 亦称辐射区 ),,1( ?? ???? rr 或
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
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特点,
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下 页 上 页 返 回
辐射区电磁场有推迟效应。
E,H,S 空间上正交，时间上同相，有波阻抗
相位相同的点连成的面称为 等相位面,辐射区
的电磁波为 球面波 。
第 四 章 时变电磁场
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2
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下 页 上 页 返 回
辐射是有方向性的，即
Re—— 辐射电阻表示天线辐射电磁能量的能力。
22 )/(80 ?? lR e ?? 表明 天线愈长，频率愈高，辐
射能量愈大 。
辐射功率为
第 四 章 时变电磁场
3,辐射的方向性
r
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3 eπ4
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辐射的方向性用 两个相互垂直的主平面 上的方
向图表示。
E 平面是电场所在平面。
?? ?? Si n)( )()(
m a xθ
θ ??
E
E
Ef
E 平面的方向性函数为
下 页 上 页 返 回 图 4.6.9 E 平面方向图
第 四 章 时变电磁场
1)( )()(
m a xφ
φ ??
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H
H
Hf
H 平面是磁场所在平面。
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H 平面的方向性函数为
下 页 上 页 返 回
图 4.6.11 立体方向图
图 4.6.10 H 平面方向图
第 四 章 时变电磁场
4.6.2 天线和天线阵
(Linear Antenna and Antenna Array)
1,天线
图 4.6.12 开路传输线张开成对称振子
直线对称振子是一种线天线，它是指线的横截面
尺寸远比波长小，它的长度 与波长 在同一数量级
( )上，流经它的电流不再等幅同相，设振子上
的电流为正弦分布 。
?Nl2 ?
?l
),( tzii ?
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
方向因子与波长有关，图中给出四种天线长度
的 E 平面方向图。
4
??l
2
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4
3?l
图 4.6.13 细线天线的 E 平面方向图
??l
m a x),(
),(),(
??
????
E
E?f
辐射场特点,
下 页 上 页 返 回
球面波；
有方向性。, 其 E 平面方向因子为
),,( ??rEE ?
第 四 章 时变电磁场
2,天线阵,
天线阵 是由许多指向同一方向的相似天线组成的,
这些天线的排列可使能量都传送到预定的方向，其它
方向几乎没有辐射。天线阵设计的 主要参数 是,
a 阵列元数目
b 阵列元间隔
c 每个阵列元 给电流的大小和相位
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
图 4.7.2 微波接力示意图
222221 )()( RRhRRhd ??????
微波接力通信
图 4.7.4 同步卫星建立全球通信
下 页 上 页 返 回
21 22 RhRh ??
图 4.7.1 视距与天线高度的关系
图 4.7.3 通信卫星
m 7 1 4 0 h
21 hh ?
第 四 章 时变电磁场
1,在静止轨道上 放臵太阳能电池帆板,产生 500万
2,通过“变电站” —— 微波发生器,将直流功率变
为微波功率；
3,通过天线阵向地面
定向辐射 ；
4,地面接收站将 微波
转换为电能；
5,提供用户。
kW能量；
图 4.7.5 空间太阳能发电站和电力传输
返 回
产生 500万 kW
第 四 章 时变电磁场
对波动方程取散度
JAA ??????
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2
2
2
t
????????????? JAA ??? 2
2
2
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J????????????? ??????? )()( ttt 2
2
222
得
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????? ???A代入洛仑兹条件
从洛仑兹条件证明电流连续性原理
下 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
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2
222
交换微分次序
J?????? ????? )(t
将波动方程 (2)代入上式，得
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t
(t 2
2
2
整理得
t?
????? ?J 电流连续性方程
即
上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
下 页 返 回 天 线
第 四 章 时变电磁场
陕西省广播电台中波天线
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
微波发射天线 微波接收天线
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
陕西省电视塔 上海市电视塔
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
下 页 上 页 返 回
微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
下 页 上 页 返 回
微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
下 页 上 页 返 回 微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
上 页 返 回
微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
图 4.6.14 一个简单的天线阵,画出了 r>> l 时的辐射
图。两个波的天线间距为 l/2 激发的相位一致。曲面
上的矢径长表示 E的数值对 q和 j 的函数关系。曲面上
的曲线，是 j 为常数的曲线，每隔 10 度画一条。为清
楚起见，曲面切成了两半。沿着 y轴的方向，两个波相
加，合成的电场强度是单个天线所产生的两倍 。 这点
在整个 yz平面上都对，只要 r >>l。沿着 x 轴，两个波相
位相反而互相抵消了。在 xz平面的其他方向上，波并不
完全抵消，因为路程差比 l/2 小。每个天线在 z轴上的场
都是零，所以天线阵的场也是零。
下 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
图 4.6.15 两个波天线,用竖粗线表示,相距 l/2,但是在
x= -D/2的一个相位超前 p弧度。此时两个波在 y z平面
上到处都对消了。在 x 轴上的所有点上，两个波相位
一致，得到二倍于单个天线的场强。在 z 轴的方向上
还是没有辐射。
上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
麦克思维是 19世纪伟大的英国物理学家、
数学家。 1831 年 11 月 13日生于苏格兰的爱丁
堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使
麦克斯韦从小受到良好的教育。 10岁进入爱丁
堡中学学习,14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上
发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已
显露出出众的才华。 1847年进入爱丁堡大学学
习数学和物理。 1850年转入剑桥大学三一学院
数学系学习,1854年以第二名的成绩获史密斯
奖学金，毕业留校任职两年。 1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳
任自然哲学教授。 1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教
授。 1861年选为伦敦皇家学会会员。 1865年春辞去教职回到家乡
系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经
典巨著, 论电和磁,,并于 1873年出版,1871年受聘为剑桥大学
新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实
验室,1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到 1879
年 11月 5日在剑桥逝世。
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光
学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，
将电学、磁学、光学统一起来，是 19世纪物理学发展的最光辉的
成果，是科学史上最伟大的综合之一。麦克斯韦大约于 1855年开
始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和
思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉
第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思
想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对
整个电磁现象作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和
丰富的想像力接连发表了电磁场理论的三篇论文：, 论法拉第的
力线, （ 1855年 12 月至 1856年 2月）；, 论物理的力线, （ 1861
至 1862 年）；, 电磁场的动力学理论, （ 1864 年 12月 8日）。对
前 人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称
完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学
主要基础的麦克斯韦方程组。据此,1865年他预言了电磁波的存
在，电磁波只可能是横波，计算了电磁波的传播速度等于光速，
同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现
象 之间的联系。 1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的
存在。麦克斯韦于 1873年出版了科学名著, 电磁理论, 。系统、
全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重
要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要
贡献，他是气体动理论的创始人之一。 1859年他首次用统计规律
棗麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观量求统计平均值的更
确切的途径。 1866年他给出了分子按速度的分布函数的新推导方
法，这种方法是以分析正向和反向碰撞为基础的。他引入了驰豫
时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、
热传导和气体内摩擦过程。 1867年引入了“统计力学”这个术语。
麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的
大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，
在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中心之
一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数 学
技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建
立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善
形成系统、完整的理论。特别是汤姆逊卓有成效地运用类比的方
法使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同
物理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类
比研究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科
学真理。
麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的
精神财富。
摘自, 大学物理, 1997（ 16） 5 封三
返 回
第 四 章 时变电磁场
雷 达 设置在海上的卫星遥感浮标
下 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
遥感卫星接收解调技术
微波通讯
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
微 波 通 讯 雷 达
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
遥感卫星影像的应用
雷 达
上 页 返 回
Time-Varying Electromagnetic Field
第四章 时变电磁场
下 页
电磁感应定律和全电流定律
正弦电磁场
序
电磁辐射
电磁场基本方程、分界面上的衔接条件
动态位及其积分解
返 回
坡印廷定理和坡印廷矢量
第 四 章 时变电磁场
4.0 序
Introduction
在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标
的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产
生 磁 场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。
英国科学家 麦克斯韦 将静态场、恒定场、时变
场的电磁基本特性用统一的 麦克斯韦 方程组高度概
括。 麦克斯韦 方程组是研究宏观电磁场现象的理论
基础。
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
时变场的知识结构框图,
下 页 上 页 返 回
磁通 连续性原理 高斯定律
电磁感应定律 全电流定律
Maxwell方程组
坡印廷定理与坡印廷矢量
正弦电磁场 ?动态位 A,
分界面上衔接条件 达朗贝尔方程
电磁辐射、传输线及波导
第 四 章 时变电磁场
本 章 要 求
深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，其中
包括位移电流的概念；
掌握动态位与场量的关系以及波动方程，理解
电磁场的滞后效应及波动性；
掌握电磁波的产生和传播特性。
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
4.1.1 电磁感应定律 （ Faraday’s Law）
当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感
应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
电磁感应定律,
te d
d ???
负号表示感应电流产
生的磁场总是阻碍原磁场
的变化。
Faraday’s Law and Ampere’s Circuital Law
4.1 电磁感应定律和全电流定律
图 4.1.1 感生电动势的参考方向
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
1.回路不变，磁场随时间变化
SB ddd ??????? ? S tte ?
又称为感生电动势，这是变压器工作的原理，亦称
为变压器电势。
图 4.1.2 感生电动势
根据磁通变化的原因,分为三类,e
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
2.磁场不变，回路切割磁力线
lBν d)(dd ????? ? lte ?
称为动生电动势，这是发
电机工作原理，亦称为发
电机电势。
图 4.1.3 动生电动势
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
3.磁场随时间变化，回路切割磁力线
SBlBν dd)(dd ????????? ?? Sl tte ?
实验表明,只要与回路交链的磁通发生变化，回路中
就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关（甚
至可以是假想回路），当回路是导体时，有感应电流
产生。
e
下 页 上 页 返 回
电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
思考
第 四 章 时变电磁场
4.1.2 感应电场 （ Inducted Electric Field）
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种
电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称
之为 感应电场 。
??? ?????????? SBSElE d d)(d ii tsl
t?
????? BE
i
图 4.1.4 变化的磁场产
生感应电场
在静止媒质中
lE di ?? ? le
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化
的磁场 是产生 的涡旋源，故又称 涡旋电场 。
iE
t?
?B
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
图 4.1.5 变化的磁场
产生感应电场
t?
????? BE
若空间同时存在库仑电场,
即 则有,
iEEE ?? C
表明不仅电荷产生电场，变
化的磁场也能产生电场。
下 页 上 页 返 回
根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生
磁场呢？
思考
第 四 章 时变电磁场
0dd 2 ???? ?? Sl SJlH
4.1.3 全电流定律 （ Ampere’s Law）
图 4.1.6 交变电路用
安培环路定律
问题的提出
iSl ???? ??
1
dd SJlH
思考
经过 S1面
经过 S2面
il ??? lH d
下 页 上 页 返 回
为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？
原因所在？
第 四 章 时变电磁场
电流连续性原理
0)( ????? H
Stokes’ theorem
?? ??? Sl SJlH dd
矢量恒等式
SDJlH d)(d ?????? ?? tSl
0)( ????? H
矢量恒等式
恒 定 场 时 变 场
下 页 上 页 返 回
0??? J
JH ???所以
tt ?
?????
?
????? DJ ?
因为
0)( ?????? tDJ
所以
t?
????? DJH
所以
第 四 章 时变电磁场
SDJlH d)(d ?????? ??
Sl t
变化的电场产生位移电流（ Displacement
Current）,电流仍然是连续的。
? ? ??
?
?
?
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??
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2 2
dd
S S
i
t
q
S
tt
?
S
D
iS ??? SJ d
1
=
下 页 上 页 返 回
图 4.1.7 交变电路用安培
环路定律
第 四 章 时变电磁场
全电流定律
不仅传导电流产生磁场，变化的电场也能产生
磁场。麦克斯韦预言电磁波的存在。
t?
????? DJH 微分形式
dcd)(d iitl S ????
????? ? SDJlH 积分形式
其中,—— 位移电流密度
dJt
D ?
?
?
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
解, 忽略边缘效应和感应电场
d
tuED
d
uE )(,?? ???
位移电流密度
位移电流
)dd(d tudtDJ ?????
cd d
d)
d
d(d i
t
uC
t
u
d
Si
S
????? ? ?SJ
电场
例 4.1.1 已知平板电容器的面积 S,相距 d,介
质的介电常数, 极板间电压 u( t )。 试求位移电
流 id； 传导电流 ic与 id 的关系是什么?
?
图 4.1.8 传导电流与
位移电流
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
? ??s qSD d
0d ???S SB
SBlE dd ??????? ?
l S t
SDJlH d)(d ??????? ?
l S t
4.2.1 电磁场基本方程组 (Maxwell Equations)
综上所述,电磁场基本方程组
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
全电流定律
电磁感应定律
磁通连续性原理
高斯定律
Maxwill Eguations and Boundary Conditions
全电流定律,麦克斯韦第一方程，表明 传导电流和变化
的电场都能产生磁场。
电磁感应定律, 麦克斯韦第二方程,表明电荷和变化
的磁场都能产生电场。
磁通连续性原理,表明磁场是无源场,磁力线总是闭
合曲线。 高斯定律,表明电荷以发散的方式产生电场 (变化的
磁场以涡旋的形式产生电场 )。
4.2 电磁场基本方程组 〃 分界面上的衔接条件
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
构成方程
EJ ??
SDJlH d)(d ??????? ?
l S t
SBlE dd ??????? ?
l S t
0d ??? S SB
? ??S qSD d
下 页 上 页 返 回
麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方
程可以从中推得。
静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。
ED ?? HB ??
第 四 章 时变电磁场
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导
方式与前三章类似，归纳如下,
4.2.2 分界面上的衔接条件 ( Boundary Conditions )
KHH ?? 1t2t
n2n1 BB ?磁场,
t1t2 EE ?
??? n1n2 DD电场,
折射定律 2
1
2
1
t a n
t a n
?
?
?
? ?
2
1
2
1
t a n
t a n
?
?
?
? ?
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
,0)( ?? 常数得 CB
结论, 在理想导体内部无电磁场，电磁波发生全反射。
图 4.2.1 媒质分界面
例 4.2.1 试推导时变场中理想导体与理想介质分界面
上的衔接条件。
分析, 在理想导体中
,0??????? tBE由
下 页 上 页 返 回
,00,0 ????? tBCBC 的建立过程中必有由若
。
为有限值，当
EJ ??,???
0?E 。
0?B 只有所以则即,,,0 ???? EJE ?
第 四 章 时变电磁场
根据衔接条件
??? n1n2 DD
0n1n2 ?? BB
分界面介质侧的场量
0t ?E ??nD KH ?t 0n ?B
导体表面有感应的面电荷和面电流。
下 页 上 页 返 回
0t1t2 ?? EE
KHH ?? t1t2
第 四 章 时变电磁场
4.3.1 动态位及其微分方程
(Kinetic Potentials and Differential Equations)
从 Maxwell方程组出发,
t?
????? BE由
0)( ?????? tAE ??????? tAE
称为 动态位,是时间和空间坐标的函数。 ?,A
0 ??? B由 AB ???
Kinetic Potentials and Integral Solutions
4.3 动态位及其积分解
下 页 上 页 返 回
t?
????? A)( A??
?
???
t
第 四 章 时变电磁场
)(1 ??? ?????????????? tt AJA
??? ????????? )( tA
经整理后，得
t?
????? DJH由
???? D由
?
?? ????
?
??? A
t
2 （ 2）
t)(t 2
2
2
?
?????????
?
??? ?????? AJAA （ 1）
洛仑兹条件
t?
????? ???A定义 A 的散度
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
达朗贝尔方程
(Dalangbaier Eguation)
?
??
???
???
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?
?
??
??
?
?
??
2
2
2
2
2
2
t
t
J
A
A
思考
JA ???? 2 ??? /??? 2
下 页 上 页 返 回
洛仑兹条件 是电流连续性原理的体现 。
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
简化了动态位与场源之间的关系 ;
确定了 的值，与 共同确定 A； A?? AB ???
第 四 章 时变电磁场
4.3.2 动态位方程的积分解
（ Integral Solutions of Kinetic Potentials）
以时变点电荷为例
02
2
2 ?
?
???
t
???? （除坐标原点外）
2
2
22
2 )(1)(
,
t
r
vr
r
?
??
?
? ??? 展开为具有球对称性
)(1)(1 21)(
v
rtf
rv
rtf
r
t ?????
通解为
返 回 下 页 上 页
式中 具有速度的量纲, f 1,f2 是
具有二阶连续偏导数的任意函数。
??1v ?
第 四 章 时变电磁场
tvrr
ttt
???
???
信号从
当时间从,
)()( 11 vrtfv tvrttf ???????
有
1,通解的物理意义 )(1)(1
21)( v
rtf
rv
rtf
rt ?????
或者说,t时刻的响应是 时刻的激励所产生。
这是电磁波的 滞后效应 。
)( vrt ?
的物理意义)(1 vrtf ?
说明 f1 以有限速度 向 方向传播，称之为 入射波 。 ? r
图 4.3.1 入射波
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
有时信号从
当时间从
,
,
tvrr
ttt
???
???
)()( 22 vrtfv tvrttf ???????
在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2 = 0。
的物理意义)(2 vrtf ?
图 4.3.2 波的入射、反射与透射
下 页 上 页 返 回
说明,f2 在 时间内,以速度 向 ( - )方向前进了 t?
tv?
? r
距离，故称之为 反射波 。
第 四 章 时变电磁场
由此推论，时变点电荷的动态标量位为
2,动态位的积分的表达式
根据叠加定理,连续分布电荷产生的标量位为
V
r
v
rtzyx
tzyx
V
?
????
? ?
?
d
π4
),,,(
),,,(
?
?
?
无反射
的特解为 02 ?? ?静电场中,?
r
v
rtq
t
?
?
π4
)(
)(
?
?
无反射
r
q
?? π4?
（无限大均匀媒质）
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
若激励源是时变电流源时
V
r
v
rtzyx
tzyx
V
?
????
? ?
?
d
),,,(
π4
),,,(
J
A
?（无反射）
电磁波是以有限速度 传播的,光
也是一种电磁波。
??1?v
达朗贝尔方程解的形式表明,t 时刻的响应取
决于 时刻的激励源。又称 为 滞后
位 （ Retarded Potential） 。
)/( vrt ? ?，A
当场源不随时间变化时,蜕变为恒定
场中的位函数。
?，A
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
4.4.1 坡印廷定理 （ Poynting Theorem）
在时变场中，能量密度为
体积 V内储存的能量为
HBED ?????? 2121me www
（ 1）
VHBEDV d21d ?? ????? VV wW ）（
（ 2）
Poynting Theorem and Poynting Vector
4.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
下 页 上 页 返 回
电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒
和转化定律 —— 坡印廷定理 ；
坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。
第 四 章 时变电磁场
)2121( HBED ???????? ttw
)()( EHJHEBHDE ????????????????? tt
))(( JEHE ????????? tw
代入式 (3)得
?? ? ??????????? VV StwtW VJESHEV dd)(d
式 (2)对 t 求导,
则有
)()()( HEEHHE ???????????矢量恒等式
Vd? ????? V twtW
（ 3）
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
?? ???????? VS VtW dd)( JESHE
整理得代入上式第二项
将若体积内含有电源，则
,
/,)( ee EJEEEJ ???? ??
物理意义,体积 V内电源提供的功率，减去电
阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿
出闭合面 S 的电磁功率。
t
WVJV
VVS ?
??????? ??? ddd)( 2
e ?JESHE
坡印廷定理
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
VJV
S V V
ddd)(
2
e? ? ?????? ?JESHE
恒定场中的坡印廷定理
注意, 磁铁与静电荷产生的磁场、电场不构成能
量的流动。
在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量
守恒定律为,
坡印廷定理
下 页 上 页 返 回
t
WVJV
VVS ?
??????? ??? ddd)( 2
e ?JESHE
第 四 章 时变电磁场
表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单
位面积上的电磁能量，亦称为 功率流密度, S 的方向
代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。
4.4.2 坡印廷矢量 (Poynting Vector)
HES ?? W/m2 定义坡印廷矢量
下 页 上 页 返 回 4.4.1 电磁波的传播
第 四 章 时变电磁场
例 4.4.1 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电
缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内
外半径分别为 a 和 b。
解, 理想导体内部电磁场为零。
电场强度
?? eE )/ln ( ab
U?
?? eH π2
I?
z
I
ab
U eHES
?? π2)/l n ( ????
磁场强度
坡印廷矢量
下 页 上 页 返 回
图 4.4.2 同轴电缆中的电磁能流
第 四 章 时变电磁场
?? ????? baA UIabUIP ??? dπ2)/l n (π2d 2AS
电源提供的能量全部被负载吸收。
流入内外导体间的横截面 A 的功率为
z
I
ab
U eHES
?? π2)/l n ( ????
坡印廷矢量
下 页 上 页 返 回
电磁能量是通过导体周围的介质传播的,导线只
起导向作用。
第 四 章 时变电磁场
za e
IJE
?? 2π??
?? eH 2π2 a
I?
导体吸收的功率为,
SHE d)( ???? ? SP RI
a
lI 2
2
2
π ?? ?
例 4.4.2 导线半径为 a，长为 l，电导率为,
试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。
?
电场
磁场
解, 思路,
下 页 上 页 返 回
PSHEI ???,设
图 4.4.3 计算导线
损耗的能量
第 四 章 时变电磁场
表明,导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。
HES ?? nt
电源提供的能量一部分用于导线损耗
另一部分传递给负载
HES ?? tn
下 页 上 页 返 回
图 4.4.4 导体有电阻时同轴电缆中的 E,H 与 S
第 四 章 时变电磁场
电路中正弦量有三要素,振幅, 频率 和 相位 。
)c o s (2)( ?? ?? tti I
??? jjj eII ?? ? )s in (2
d
)(d t
t
ti ??I??
?jeII ?? ?
正弦电磁场也有三要素,振幅,频率 和 相位 。
Sinusoidal Electromagnetic Field
4.5.1 正弦电磁场的复数形式
(Sinusoidal Electromagnetic Field Complex Form)
)c o s (),,(2),,,( ?? ?? tzyxtzyx FF ?j),,( ezyxFF ?? ?
)s i n (),,(2 ??? ????? tzyxt FF ??? ieFF jj ?? ?
4.5 正弦电磁场
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
正弦电磁场基本方程组的复数形式
场量与动态位的关系
AB ?? ???
?? ??? ???? AE j
SDJlH d)j(d ???? ?? Sl ??? ?
0d ??? S SB?
?? ???? Sl SBlE djd ?? ?
qS ?? ??? SD d
DJH ??? ?j????
BE ?? ?j????
?????? D
0??? B?
下 页 上 页 返 回
)(j 1j AA ?? ????? ? ? ??
?? ? ? ?? j???? A
第 四 章 时变电磁场
在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为
)c o s ()(2)c o s ()(2),( HE ttt ???? ???? rHrErS
? ?)2c o s ()c o s ()( HEHE t ????? ?????? HE
?? T ttT 0av d),(1)( rSrS
称之为 平均功率流密度 。
S 在一个周期内的平均值为
4.5.2 坡印廷定理的复数形式
The Complex Poynting Theorem
下 页 上 页 返 回
)c o s ()( HE ?? ??? HE
第 四 章 时变电磁场
)c o s ()()()(av HE ?? ????? ? HEHERS ??er
)(jjj e)(e)(e)( HEHE ???? ??? ????? HErHrEHE ??因为
? ? aV)c o s ()( SHEHER ????? ? HE ????e所以
EEtt ??? je)( )c o s ()(),( rEErErE ???? ?因为
H( ?je)rHH ??
实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。
??? HES ??~定义, 坡印廷矢量的复数形式
可以证明
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
)()()( ??? ??????????? HEEHHE ??????
)j(j ??? ?????? DJEHB ????? ??
VEHVJV VVV eS d)(jddd )( 22
2
???? ??????? ?? ????JESHE ???
S~对 取散度，展开为
下 页 上 页 返 回
取体积分，利用高斯定理或散度定理，并将
eEγ
JE ??? ?? 代入体积分项，有
第 四 章 时变电磁场
若体积 V 内无电源，闭合面 S 内吸收的功率为
QPVEHVJ
VVS
jd)(jdd)( 22
2
???????? ??? ? ????SHE ??
有功功率 无功功率
可用于求解电磁场问题的 等效电路参数
VJSHER e d1d)(1
2
2
*
22 ?? ???
?
??
? ????
VS III
PR
?
??
VEHSHEI d)(1d)(1 222m22 ?? ???????? ????? ? VS IIIQX ?????
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
例 4.5.1 当平板电容器两极板间加正弦工频交流电
压 u（ t ） 时，试分析电容器中储存的电磁能量（忽
略边缘效应）。
解,忽略感应电场
zeUE )d(
?? ?
根据 全电流定律
2πjdjπ2 ??????
d
UH
S
???
??? ? SE
SDlH djd ??? ?? Sl ?? ?
下 页 上 页 返 回
图 4.5.1 两圆电极的平板电容器
第 四 章 时变电磁场
???? eH d
U
2j
??
?
)(
2
j~ 2
2
???? eHES ????
?
d
U??
adadU
S
π22jd~ 2
2
???? ? ??SS
2
2π
j Uda???
显然，电容器中储存电场能量，磁场能量忽略
不计,电磁场为 EQS场 。
整理得
复坡印亭矢量
吸收能量
(无功功率 )
下 页 上 页 返 回
2j UC??
第 四 章 时变电磁场
解,忽略边缘效应及位移电流，
用恒定磁场的方法计算。
20 πjπ2 ???? HE ?? ??
??
?? eE H??
2j
0???
zd
NI eH ?? ?
从安培环路定律，得
SHlE djd 0 ???? ?? Sl ?? ??
从电磁感应定律，得
例 4.5.2 N 匝长直螺线管，通有正弦交流电流。
试分析螺线管储存的电磁能量。
下 页 上 页 返 回
图 4.5.2 长直螺线管
第 四 章 时变电磁场
??
?? eHES 20
2j
~ H???? ???
???? e2
22
0 2j d
NI??
adadNI
S
π22jd~ 2
22
0 ???? ? ??SS
2
22
0 πj I
d
aN???
显然，螺线管中储存磁场能量，电场能量忽
略不计，电磁场为 MQS场 。
复坡印亭矢量
储存能量
( 无功功率 )
下 页 上 页 返 回
2j LI??
第 四 章 时变电磁场
4.5.3 波动方程的复数形式及其解
(Wave Equation’s Complex Form and Solutions)
方程的特解形式为
式中,称为 相位常数,单位为 rad/m。 v/????? ??
V
r
v
rtr
V
?
??
? ?
?
d
π4
)(c o s)( ?? J
A
? ? ?
??
?
V
V
r
v
rtr
d
π4
)(c o s)(
?
??
?
? ?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j ?? J
A
??
rtvrt )( ??? ???
? ?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j
?
?? ???
在正弦电磁场中，波动方程的复数形式为
JAA ??? ?? ???? 22 ????? /2 ??? ???? 2和
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
思考
下 页 上 页 返 回
rvrt ??? ??
—— 滞后时间,—— 滞后相位,
故 —— 相位常数。
vr
v?? ?
表示 A与 的滞后相位，故亦称 滞后因子 。 r?je? ?
1??r?
或 称为 似稳条件 。 ???r
式与恒定磁场、静电场相同，称之为 似稳场 。
当 时,场量不计滞后效应，解的形 1e 1 j ??? ? rr ??
? ?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j ?? J
A
?? ?
?
?
???
V
r
Vrr dπ4 e)(
j
?
?? ???
第 四 章 时变电磁场
电磁辐射
Electromagnetic Radiation
4.6 电磁辐射
下 页 上 页 返 回
电磁能量脱离电源以电磁波的形式在空间传播,
不再返回电源。
产生辐射的原因,
产生辐射的设备,
辐射的主要参数, 辐射场强，方向性和辐射功率。
电磁场的变化和有限的传播速度。
天线 （线天线和面天线）。
天线的应用,无线电通信、雷达、微波遥感 （军事,
水文、农业、海洋、气象、森林等）、生物医学等。
第 四 章 时变电磁场
图 4.6.1 电偶极子天线形成的过程
一、天线的形成
4.6.1 电偶极子的辐射 (Electric Dipole’s Radiation)
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
二、电磁辐射的过程
图 4.6.2 电偶极子天线
下 页 上 页 返 回
图 4.6.3 一个电偶极子在不同时刻的 E 线分布
电偶极子 p=qd 以简谐方式
振荡时向外激发电磁波。
下图是 E 线分别在
2/π3,π,2/π,0?t? 的场图。
第 四 章 时变电磁场
某一瞬间 E 线与 H 线 在空间的分布
下 页 上 页 返 回
图 4.6.4 时单元偶
极子天线 E 线与 H 线分布
0 ?t?
图 4.6.5 动态描述单元偶极子天
线辐射形成的过程
第 四 章 时变电磁场
三、电偶极子的电磁场
zzz
r
Al
r
I ee ?? ??? ?
π4
e j0 ??
? ?
?
?
l
r
o
r
I lA de
π4
j?? ?
?
远离天线 P 点的 动态位 为,
下 页 上 页 返 回
)c o s (m ?? ?? tIi正弦电磁波
lr ???
研究场点远离天线
设,???? l 天线上不计推迟效应
图 4.6.6 单元偶极子天
线的磁矢量
第 四 章 时变电磁场
图 4.6.7 磁矢量分解
AH ?? ??? ?1根据
???
?
c o sπ4 ec o s
j
0
r
IlAA r
zr
??
??
??
在 球坐标系 中分解为
下 页 上 页 返 回
? ? ?? j
)(j AAE ?????? ??
???
?
? s i nπ4
es i n j0
r
IlAA r
z
??
???
??
0 ??A?
第 四 章 时变电磁场
r
rrr
lIE ?
? ?????
?? j
23
0
3
e1
)(
j
)(
1
π4j
s i n ?
?
?
?
?
?
? ???? ??
0EHH r ??? ?? ???
r
rr
lIH ?
? ??
?? j
2
2
ej)( 1π4 s i n ??
?
?
??
? ??? ??
r
r rr
lIE ?
????
?? j
23
0
3
e)( j)( 1π2j c o s ??
?
?
??
? ??? ??
得的低次项忽略,)1( r?
),1( ?? ???? rr 或1,近区
下 页 上 页 返 回
? ? ??? j
)(j1 AAEAH ????????? ???? 和根据
图 4.6.8 电偶极子的近
区 E 与 H 线的分布
2π4
s in
r
lIH ?
?
?? ??
3π4j
s in
r
lIE
o??
?
?
?? ??
3
0π4
s i n
r
P
?
??
?
0??? ?? EHH r ???
3π2j
c o s
r
lIE
o
r ??
??? ??
3
0π2
co s
r
P
?
??
qI ?? ?j?
lqp ??
第 四 章 时变电磁场
表明近区内只有电磁能量转换，没有波的传播。
思考
特点,
下 页 上 页 返 回
忽略推迟效应，在某一时刻电场与静电场中电偶
极子产生的电场相似，磁场与恒定磁场中元电流产生
的磁场相似，称之为 似稳场 。
时间相位差 HE ?? 与 ?90 ? ?
???? 02
1,
av ???
?HES
eR
远区的能量来自何方？
第 四 章 时变电磁场
r
r
r
r
r
rrr
lI
E
rr
lI
E
rr
lI
H
EHH
?
?
?
?
?
??
?????
??
????
??
??
??
j
23
0
3
j
23
0
3
j
2
2
e
1
)(
j
)(
1
π4j
s i n
e
)(
j
)(
1
π2j
c os
e
j
)(
1
π4
s i n
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
???
忽略 的高次项 r?1
r
r
lIE ?
? ???
? j
0
2
es inπ4j ??? ?? r
r
lIH ?
? ?
? jes in
π4j
??? ??
0???? rr EEHH ???? ??
2,远区 亦称辐射区 ),,1( ?? ???? rr 或
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
???? 37 7000 ??
?
?
H
EZ
?
?
特点,
rs i n
r
lIE ?
? ???
? j
0
2
eπ4j ???
?? rs i n
r
lIH ?
? ?
? je
π4j
??? ??
下 页 上 页 返 回
辐射区电磁场有推迟效应。
E,H,S 空间上正交，时间上同相，有波阻抗
相位相同的点连成的面称为 等相位面,辐射区
的电磁波为 球面波 。
第 四 章 时变电磁场
aV
2
0
0 s i n)
π4
(~ SeHES ????? ? r
r
lI ??
?
???
? ????? s e IRIlΡ 2222av )(π80d ?SS
下 页 上 页 返 回
辐射是有方向性的，即
Re—— 辐射电阻表示天线辐射电磁能量的能力。
22 )/(80 ?? lR e ?? 表明 天线愈长，频率愈高，辐
射能量愈大 。
辐射功率为
第 四 章 时变电磁场
3,辐射的方向性
r
o r
lI ?
? ??
? j
3 eπ4
s inj ??? ??E
r
r
P ?
?
? j
3
0
e
π4
s i n ?
?
?
辐射的方向性用 两个相互垂直的主平面 上的方
向图表示。
E 平面是电场所在平面。
?? ?? Si n)( )()(
m a xθ
θ ??
E
E
Ef
E 平面的方向性函数为
下 页 上 页 返 回 图 4.6.9 E 平面方向图
第 四 章 时变电磁场
1)( )()(
m a xφ
φ ??
?
??
H
H
Hf
H 平面是磁场所在平面。
r
r
lIH ?
? ?
? jes in
π4j
??? ??
H 平面的方向性函数为
下 页 上 页 返 回
图 4.6.11 立体方向图
图 4.6.10 H 平面方向图
第 四 章 时变电磁场
4.6.2 天线和天线阵
(Linear Antenna and Antenna Array)
1,天线
图 4.6.12 开路传输线张开成对称振子
直线对称振子是一种线天线，它是指线的横截面
尺寸远比波长小，它的长度 与波长 在同一数量级
( )上，流经它的电流不再等幅同相，设振子上
的电流为正弦分布 。
?Nl2 ?
?l
),( tzii ?
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
方向因子与波长有关，图中给出四种天线长度
的 E 平面方向图。
4
??l
2
??l ?
4
3?l
图 4.6.13 细线天线的 E 平面方向图
??l
m a x),(
),(),(
??
????
E
E?f
辐射场特点,
下 页 上 页 返 回
球面波；
有方向性。, 其 E 平面方向因子为
),,( ??rEE ?
第 四 章 时变电磁场
2,天线阵,
天线阵 是由许多指向同一方向的相似天线组成的,
这些天线的排列可使能量都传送到预定的方向，其它
方向几乎没有辐射。天线阵设计的 主要参数 是,
a 阵列元数目
b 阵列元间隔
c 每个阵列元 给电流的大小和相位
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
图 4.7.2 微波接力示意图
222221 )()( RRhRRhd ??????
微波接力通信
图 4.7.4 同步卫星建立全球通信
下 页 上 页 返 回
21 22 RhRh ??
图 4.7.1 视距与天线高度的关系
图 4.7.3 通信卫星
m 7 1 4 0 h
21 hh ?
第 四 章 时变电磁场
1,在静止轨道上 放臵太阳能电池帆板,产生 500万
2,通过“变电站” —— 微波发生器,将直流功率变
为微波功率；
3,通过天线阵向地面
定向辐射 ；
4,地面接收站将 微波
转换为电能；
5,提供用户。
kW能量；
图 4.7.5 空间太阳能发电站和电力传输
返 回
产生 500万 kW
第 四 章 时变电磁场
对波动方程取散度
JAA ??????
?
????? ???
2
2
2
t
????????????? JAA ??? 2
2
2
t
J????????????? ??????? )()( ttt 2
2
222
得
t?
????? ???A代入洛仑兹条件
从洛仑兹条件证明电流连续性原理
下 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
J????
?
?
?
???
?
?? ??????? )
t
(t)(t 2
2
222
交换微分次序
J?????? ????? )(t
将波动方程 (2)代入上式，得
J????
?
???
?
?? ??????? )
t
(t 2
2
2
整理得
t?
????? ?J 电流连续性方程
即
上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
下 页 返 回 天 线
第 四 章 时变电磁场
陕西省广播电台中波天线
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
微波发射天线 微波接收天线
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
陕西省电视塔 上海市电视塔
下 页 上 页 返 回
第 四 章 时变电磁场
下 页 上 页 返 回
微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
下 页 上 页 返 回
微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
下 页 上 页 返 回 微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
上 页 返 回
微 波 天 线
第 四 章 时变电磁场
图 4.6.14 一个简单的天线阵,画出了 r>> l 时的辐射
图。两个波的天线间距为 l/2 激发的相位一致。曲面
上的矢径长表示 E的数值对 q和 j 的函数关系。曲面上
的曲线，是 j 为常数的曲线，每隔 10 度画一条。为清
楚起见，曲面切成了两半。沿着 y轴的方向，两个波相
加，合成的电场强度是单个天线所产生的两倍 。 这点
在整个 yz平面上都对，只要 r >>l。沿着 x 轴，两个波相
位相反而互相抵消了。在 xz平面的其他方向上，波并不
完全抵消，因为路程差比 l/2 小。每个天线在 z轴上的场
都是零，所以天线阵的场也是零。
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第 四 章 时变电磁场
图 4.6.15 两个波天线,用竖粗线表示,相距 l/2,但是在
x= -D/2的一个相位超前 p弧度。此时两个波在 y z平面
上到处都对消了。在 x 轴上的所有点上，两个波相位
一致，得到二倍于单个天线的场强。在 z 轴的方向上
还是没有辐射。
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第 四 章 时变电磁场
麦克思维是 19世纪伟大的英国物理学家、
数学家。 1831 年 11 月 13日生于苏格兰的爱丁
堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使
麦克斯韦从小受到良好的教育。 10岁进入爱丁
堡中学学习,14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上
发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已
显露出出众的才华。 1847年进入爱丁堡大学学
习数学和物理。 1850年转入剑桥大学三一学院
数学系学习,1854年以第二名的成绩获史密斯
奖学金，毕业留校任职两年。 1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳
任自然哲学教授。 1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教
授。 1861年选为伦敦皇家学会会员。 1865年春辞去教职回到家乡
系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经
典巨著, 论电和磁,,并于 1873年出版,1871年受聘为剑桥大学
新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实
验室,1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到 1879
年 11月 5日在剑桥逝世。
麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光
学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，
将电学、磁学、光学统一起来，是 19世纪物理学发展的最光辉的
成果，是科学史上最伟大的综合之一。麦克斯韦大约于 1855年开
始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和
思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉
第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思
想以清晰准确的数学形式表示出来。他在前人成就的基础上，对
整个电磁现象作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和
丰富的想像力接连发表了电磁场理论的三篇论文：, 论法拉第的
力线, （ 1855年 12 月至 1856年 2月）；, 论物理的力线, （ 1861
至 1862 年）；, 电磁场的动力学理论, （ 1864 年 12月 8日）。对
前 人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称
完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学
主要基础的麦克斯韦方程组。据此,1865年他预言了电磁波的存
在，电磁波只可能是横波，计算了电磁波的传播速度等于光速，
同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现
象 之间的联系。 1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的
存在。麦克斯韦于 1873年出版了科学名著, 电磁理论, 。系统、
全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重
要支柱之一。在热力学与统计物理学方面麦克斯韦也作出了重要
贡献，他是气体动理论的创始人之一。 1859年他首次用统计规律
棗麦克斯韦速度分布律，从而找到了由微观量求统计平均值的更
确切的途径。 1866年他给出了分子按速度的分布函数的新推导方
法，这种方法是以分析正向和反向碰撞为基础的。他引入了驰豫
时间的概念，发展了一般形式的输运理论，并把它应用于扩散、
热传导和气体内摩擦过程。 1867年引入了“统计力学”这个术语。
麦克斯韦是运用数学工具分析物理问题和精确地表述科学思想的
大师，他非常重视实验，由他负责建立起来的卡文迪什实验室，
在他和以后几位主任的领导下，发展成为举世闻名的学术中心之
一。他善于从实验出发，经过敏锐的观察思考，应用娴熟的数 学
技巧，从缜密的分析和推理，大胆地提出有实验基础的假设，建
立新的理论，再使理论及其预言的结论接受实验检验，逐渐完善
形成系统、完整的理论。特别是汤姆逊卓有成效地运用类比的方
法使麦克斯韦深受启示，使他成为建立各种模型来类比研究不同
物理现象的能手。在他的电磁场理论的三篇论文中多次使用了类
比研究方法，寻找到了不同现象之间的联系，从而逐步揭示了科
学真理。
麦克斯韦严谨的科学态度和科学研究方法是人类极其宝贵的
精神财富。
摘自, 大学物理, 1997（ 16） 5 封三
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第 四 章 时变电磁场
雷 达 设置在海上的卫星遥感浮标
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第 四 章 时变电磁场
遥感卫星接收解调技术
微波通讯
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第 四 章 时变电磁场
微 波 通 讯 雷 达
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第 四 章 时变电磁场
遥感卫星影像的应用
雷 达
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