第 二 章
电路的分析方法
内容提要
? 本章主要讨论针对复杂电路的分析方法，尽管
所涉及的问题都是直流电路，但仍适用于其它
情况。
? 本章内容是本课程电路部分乃至贯穿整个课程
的重要内容。
本章内容主要有,① 等值变换 ?,② 支路电流
法, ③ 节点电压法, ④ 网孔电流法, ⑤ 叠加
原理 ?,⑥ 戴维南定理 ??, ⑦ 诺顿定理及 ⑧ 非
线性电阻电路的图解法及受控源电路分析等 。
§ 2-1,电阻串并联的等效变换
一、电阻的串联
? 两个或更多个电阻一个接一个地顺序连接，这些
电阻通过 同一电流,这样就称为 电阻的串联 。
? 电阻的串联可用一个等
效的电阻代替：
R = R1 + R2
分压公式：
U = U1 + U2
其中,U1 = I R1 =
U2 = I R2 =
U
I
U1
U2
R1
R2
U
I
R
R1+ R2
R1 U
UR
1+ R2
R2
二, 电阻的并联
? 两个或更多个电阻联接在两个公共的节点之间，
这种联接方法称为电阻的并联。
? 并联时，各支路具有相同的电压。
U
I
I1 I2
R1
R2
U
I
R
? 并联电阻的等效值 R可表示为：
21
111
RRR ??
? 也可表示为,21 GGG ??
? 式中 G称为 电导,是电阻的倒数。
21
21
RR
RRR
?
??或
? 两个电阻并联时，各电阻中的电流分别为：
并联电阻的分流公式
U
I
I1 I2
R1
R2
U
I
R
IRR RRIRRUI
21
2
11
1 ????
IRR RRIRRUI
21
1
22
1 ????
? 并联时，一电阻中的分得的电流
与该电阻成反比。
? 并联电阻愈多总电阻就愈小，总
电阻小于其中任一电阻。
例 题 (2-1)：
? 如图复联电路,R1=10?,
R2 =5?,R3=2?,R4=3?,电
压 U= 125V,试求电流 I1。
? 解, (1) R3,R4串联,
? (2) R2 与 R34并联,等效为：
R234 = R2R34/ (R2+R34)=2.5?
R1
R2
R3 R4
I1
U
R34
R1I1
U
R34 R2
R234
R34= R3+ R4=2+3=5 ?
? (3) 总电阻 R可看成时 R1与
R234的串联,
R= R1+R234=10+2.5=12.5?
R
I1
U? (4) 电流I
1= U/R = 125/12.5=10A
§ 2-3,电压源与电流源及其等效变换
? 一个实际电源，若用电路模型来表示，可认为
将其内阻 R0和电动势 E串联起来等效,
E +
R0 U
R
I
(a)
E +
R0 U
R
I
(b)
E +
R0
U R
I
(c)
(a) 非标准电路图； (b) 标准等效电路图； (c) 电压源模型等效电路。
一, 电压源
? 将任何一个电源，看成是由内阻 R0和电动势 E
串联 的电路，即为电压源模型，简称 电压源 。
电源外特性方程
E +
R0
U R
I
电压源
? 由电路可知, U=E-IR0
? 当电源开路时,I=0，
U=U0=E
? 当电源短路时,U=0，
I=IS=E/R0
电压源外特性
? 由电源外特性方程 U=E-IR0可得到其外特性曲线。
E +
R0
U R
I
电压源
理想电压源
电
压
源
U
I
0
U0=
E
IS=E/ R0
外特性曲线
? 由横轴截距可知，内阻 R0愈小，则直线愈平。
? 当 R0=0时，端电
压恒等于电动势
E，为定值；而
电流 I为任意值
I=E/R
称其为 理想电压
源 (恒压源 )。
电压源外特性
? 当一电压源内阻 R0远小于负载电阻 RL时
(即 R0<<RL)，内阻压降 IR0<<U,于是 U≈E，
E +
R0
U R
I
电压源
理想电压源
电
压
源
U
I
0
U0=
E
IS=E/ R0
外特性曲线
? 常用的稳压
电源可近似
认为是理想
电压源。
? 对于电压源 U=E-IR0当
各项除以 R0后，
二, 电流源
IRERU ??
00
? 得
? 或 I = IS –I′
? 其中,IS = E/R0,I′= U/R0
? 根据电流关系得到 新的
等效电路 —电流源模型
? 定值电流 IS与内阻 R0的并联
E +
R0
U R
I
R0
U R
I
IS
I′
? 根据上述关系式,I = IS – I′
? 当 R0=∞时,I = IS 为定值。
而负载两端的电压 U=IR为
任意值，由负载电阻 R和
电流 IS 决定,称之为 理想
电流源 或 恒流源 。
R0
U R
I
IS
I′
电流源的外特性
? 或
0R
UII
S ??
? 上述关系式即为外特性方程，
? 特性曲线见图。
U
电
流
源
I
0
U0=ISR0
IS外特性曲线
理
想
电
流
源
? 根据上述关系式，可知电
压源与电流源之间的变换
关系：
? 由上述推导的关系可知，
IS = E/R0 以及内阻 R0 不变。
这为 电压源 与 电流源 之间
的变换提供了 定量关系式 。
E +
R0
U R
I
R0
U R
I
IS
I′
三, 电压源与电流源的等效变换
IS = E/R0
R0
E = IS R0
R0
注意事项：
? 实际电源可以用两种电路模型表示
——电压源 和 电流源 。
? 电压源与电流源之间可以相互变换。
E与 IS的方向保持不变、内阻 R0的
数值保持不变；
? 电源变换只对外电路等效，而对内
电路则不等效。如同一电源在两种
等效电路中，内阻 R0 上消耗的功
率就不同。
? 恒压源与恒流源之间不能进行变换；
R0为 0或 ∞都无意义。
IS = E/R0
R0
E = IS R0
R0
试计算 1?电阻中的电流 I,
解：
例
+ +
6V 4V
2A3?
6?
2?
4?
1? I
2A 3? 6?
2A
2?
4A
+
8V
2?
试计算 1?电阻中的电流 I,例
+ +
6V 4V
2A3?
6?
2?
4?
1? I
+
4V2?
4?
1?
I
+
8V
2? 4?1A 1?
I
4?1A4?2A2?3A
1? I
(a)图由分流公式
I =3× 2/(2+1)
=2A
(b)图由欧姆定律可知
I=E/(R0+R)
=6/(2+1)=2A
I1?
6V
2?
(b)(a)
§ 2-4,支路电流法
? 凡不能用电阻串并联等效变换化简的电路，称
为 复杂电路 。
? 在分析计算复杂电路的各种方法中,支路电流
法 是最基本的，也是基础！
? 支路电流法 的理论依托是 克希荷夫定律 。
? 支路电流法 的出发点是以电路中各支路的电流
I 为未知变量，然后根据克希荷夫定律列方程
组并求解计算。
以右图为例, 介绍 支路电流法 的应用过程 。
(1)纵观整个电路，有 a,b两个
节点；三条支路；两个网孔。
(2)设各支路电流分别为 I1,I2及
I3，作为待求未知变量。
(3)应用 KCL，根据节点列方程，
对于节点 a 有：
I1 + I2 = I3 (流入 =流出 )
而节点 b的方程与其一致
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
(4)应用 KVL，根据电路的网孔列出方程,(数电压一周，
总电压降为零 ) -I3R3+E1-I1R1=0
-I3R3+E2-I2R2=0
得到方程组
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b其系数行列式为：
I1 + I2 - I3 = 0
I1R1 + I3R3= E1
I2R2 + I3R3 = E2
1 1 -1
?= R1 0 R3
0 R2 R3
= – R1 R2 – R2 R3
– R3 R1
0 1 -1
?1= E1 0 R3
E2 R2 R3
= – (R2 E1 – R3 E2
+R3 E1)
1 0 -1
?2= R1 E1 R3
0 E2 R3
= – (R1 E2– R3 E1
+R3 E2 )
1 1 0
?3= R1 0 E1
0 R2 E2
= – (R2 E1+R1 E2 )
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
?= – (R1 R2 +R2 R3 +R3 R1 )
I1 = ?1/?=
?1= – (R2 E1 – R3 E2 +R3 E1)
?2= – (R1 E2– R3 E1 +R3 E2 )
?3= – ( R2 E1+ R1 E2 )
(R2 +R3 )E1– R3 E2
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
(R1 +R3) E2 – R3 E1
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
R2 E1 +R1 E2
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
I2 = ?2/?=
I3 = ?3/?=
支路电流法求
各支路电流
※ 应用 支路电流法 的几点说明,
? 根据电路的 支路电流 设未知量，未知量数与支
路数 b 相等；
? 找出电路的节点，根据克希荷夫电流定律在节
点上列出 电流方程 。所列方程数为 节点数 (n–1);
? 根据电路的回路关系，找出所有的网孔 (单孔回
路 )，对每一个网孔应用克希荷夫电压定律列 电
压方程 。方程数等于网孔数 m。
? 对于实际电路，如果支路数为 b、节点数为 n、
网孔数为 m，数学上已经证明有 b = (n–1) + m。
例,计算如图检流计中的电流 IG
解, 如图,节点数 n= 4,支路数 b=6,网
孔数 m=3。应根据 KCL列 3个方程，
根据 KVL列 3个方程，共六个。
对节点 a I1 – I2 – IG = 0
对节点 b I3 + IG – I4 = 0
对节点 c I 2 + I 4 – I = 0
对回路 abda I1R1+ IGRG – I3R3 = 0
对回路 acba I2R2– I4R4 + IGRG = 0
对回路 dbcd E= I3R3 + I4R4
解之，得
IG =
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
G
I1 I2
I3 I4
IG
RG
E
+ －
I
E(R2R3–R1R4 )
RG(R1+R2) (R3+R4)+ R1R2(R3+R4)+ R3R4(R1+R2)
例 将图 (a)中 E1化成电流源,
再计算 I3。
其中 E1 =140V,E2=90V,
R1=20?,R2=5?,R3=6?,
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
I2
E2
I3
R1
R2
R3
a
b
IS1
I4
解, 将 E1化成电流源 IS1,R1后,图
中虽有 4条支路，但 IS1=7A却已知，
故只有 3个未知电流。可列出方程：
IS1 – I4 – I3 + I2 =0
I2 R2 + I3 R3 =E2
I4 R1 – I3 R3 = 0
代入数据解之得：
I 3 = 10A
§ 2-5,节点电压法和网孔电流法
? 如图电路有一明显特点 —只有两个节点 a 和 b。节点间的
电压 U 称为 节点电压,在图中设其正方向由 a指向 b。通
过如下推导可得出 节点电压 的计算公式 。
+
E1 –
I1 R1
+
E2 –
I2 R2
+
E3 –
I3 R3
I4
R4
U
a
b
U=E1– I1R1
U=E2– I2R2
U=E3+ I3R3
U= I4R4
由各支路的电压关系
E1–U
R1I1=
E2–U
R2I2=
E3–U
R3I3=
U
R4I4=
对于节点 a应用 KCL,可得：
? 进而有
+
E1 –
I1 R1
+
E2 –
I2 R2
+
E3 –
I3 R3
I4
R4
U
a
b
U=
+ – – = 0E1–UR1 E2–UR2 -E3+UR3 UR4
I1+I2–I3 – I4=0
展开整理后，即得到节点电压的公式：
E1
R1
E2
R2
E3
R3+ +
1
R1 + + +
1
R2
1
R3
1
R4
=
E
R
1
R
∑(± )
∑
应用节点电压法求如图电路中的电流 。
? 解, 该电路只有两个节点 a
和 b，根据公式,节点电压为
其中 E1 =140V,E2=90V,
R1=20?,R2=5?,R3=6?,
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
Uab=
E1
R1
E2
R2+
1
R1 + +
1
R2
1
R3
=
140
20 +
90
5
+ +15120 16
=60V
I1= E1 – U abR1
= 140–6020 = 4A
I2= E2 – U abR2
= 90–605 = 6A
I3= U abR
3
= 606 = 10A
例题 计算如图电路中的电
位 VA和 VB
解, 图中有 3个节点，选
C点为参考点 (VC=0)，
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
BI1
I3
R1
A
C
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
对节点 A和 B应用 KCL列方
程 I1 + I2 – I3 = 0
I 5 –I2 – I4 = 0
VB
10I4=
E1–VA
5I1=
VB –VA
10I2=
E2 –VB
15I5=
VA
5I3=
对各支路用欧
姆定律求电流：
得到节点电
压方程为：
E1
R1
VB
R2+
1
R1 + +
1
R2
1
R3
VA=
E2
R5
VA
R2+
1
R2 + +
1
R4
1
R5
VB=
例题 计算如图电路中的电
位 VA和 VB
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
BI1
I3
R1
A
C
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
E1
R1
VB
R2+
1
R1 + +
1
R2
1
R3
VA=
E2
R5
VA
R2+
1
R2 + +
1
R4
1
R5
VB=
联立
方程
代入数据解之，得,VA=10V VB=20V
——解毕
(进而，可求,I1=1A,I2=1A,I3=2A,I 4=2A,I5=3A,)
网孔电流法
? 这种方法是对每一个 网孔
设 网孔 (回路 )电流为 Im，
再由 KVL列方程分析求解。
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
c d
Im2Im1
如图：设网孔 abca的电流为
Im1、网孔 adba的电流为 Im2。
则回路的 KVL方程为：
E1– Im1 R1–(Im1–Im2) R3 =0
– E2–(Im2–Im1) R3– Im2 R2=0
(R1 + R3 ) Im1 – R3 Im2 = E1
–R3 Im1 + (R2 + R3 ) Im2 =–E2
整
理
得
：
由图可知各支路电流
与网孔电流之间的关
系为 I1= Im1,I2=Im2，
I3=Im1–Im2。
★ 行列
式系数 自互
互自
22
11
RR
RR
?
?
解, 设左中右 3个网
孔的电流分别为
Im1, Im2,Im3,均
为顺时针方向。
计算如图
电路中的各
电流值
例题 I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
bI1
I3
R1
a
c
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
d e
对 acda回路, (R1+R3) Im1–R3Im2 =E1
对 abca回路, –R3Im1 +(R2+R3 +R4)Im2–R4Im3 =0
对 becb回路, –R4Im2 +(R4+R5) Im3 = – E2
10 Im1–5Im2 =E1
–5Im1 +25Im2–10Im3 =0
–10Im2 +25Im3 = – E2
即：
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
bI1
I3
R1
a
c
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
d e
10 Im1–5Im2 = 15
–5Im1 +25Im2–10Im3 =0
–10Im2 +25Im3 = – 65
例题
各行列式为：
10 -5 0
?= -5 25 -10 =4625
0 -10 25
15 -5 0
?1= 0 25 -10 = 4625
-65 -10 25
10 15 0
?2= -5 0 -10 = -4625
0 -65 25
10 -5 15
?3= -5 25 0 = -13875
0 -10 -65
得：
Im1=1A
Im2=-1A
Im3=-3A
由网孔电流与支路电
流的关系，知
Im1=1A,Im2=-1A
Im3=-3A
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
bI1
I3
R1
a
c
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
d e例题
I1= Im1=1A,I2= – Im2= 1A，
I3= Im1 – Im2 = 2A,I4= Im2– Im3= 2A,I5= – Im3= 3A
应用网孔电流法时,① 按网孔 设电流变量 Imi，方向
均为 顺时针 方向； ② 找出各网孔的 自电阻, 互电阻
及沿绕行方向上的 电位升 的代数和； ③ 依各网孔列
出线性 方程组 ； ④ 解方程,求出各网孔电流 ⑤ 根据
支路电流与网孔电流之间的关系按要求 解得待求量 。
§ 2-6,叠加原理
? 概念：对于线性电路，任何一条支路中
的电流，都可以看成是由电路中各个电
源 (电压源或电流源 )分别作用时，在此支
路中所产生的电流的代数和。
所谓电源的单独作用，即是在电路中只保
留一个电源，而将其它电源去掉 (将电动
势用短路线代替、将恒流源断开 ); 电路中
所有的电阻网络不变 (电源内阻保持原位
不变 )。
叠加原理
的应用
以下就具体问
题介绍 叠加原
理 的应用，如
图电路：
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
= R2 +R3 R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
I1 = (R2 +R3 )E1– R3 E2R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
– R3R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
E2
E1
=I1 – I1
I1 I2
E1
I3
R1 R2
R3
a
b
I1 I2
E2
I3
R1 R2
R3
a
b
叠加原理
的应用
I2 = – I2 + I2
I1 I2
E1
I3
R1 R2
R3
a
bI
1 I2
E2
I3
R1 R2
R3
a
b
同样,I2、
I3亦可求得：
I2 = R3R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
E1
I2 = R2 +R3 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 E2
R2
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 E1I3 =
I3 = I3 + I3
R1
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 E2I3 =
应用 叠加原理 的 注意事项：
? 应用叠加原理计算复杂电路，就是把一个多电源
的复杂电路化为几个但电源电路来计算。
? 从数学上看，叠加原理就是现性方程的可加性，
前面方法几三的电压和电流都是线性方程，所以
支路电流和节点电压都可以用叠加原理来求解。
? 功率的计算与电流或电压都不具有线性关系，所
以不能用叠加原理来求解功率。如前面电路中 R3
的功率 P3:
32332332333233 )( RIRIRIIRIP ???????????
§ 2-7,戴维南定理 和 诺顿定理
? 本节介绍 电路分析 的另一种方法。
在有些情况下，只需计算电路中某一支路中的
电流，如计算右图中电流 I3，若用前面的方法
需列解方程组，必然出现一些不需要的变量。
为使计算简便些，这里介
绍等效电源的方法。
等效电源方法，就是复杂
电路分成两部分。① 待求
支路,②剩余部分 ——有
源二端网络 。
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
有源二端网络 等效电源
? 有源二端网络，即是其中 含有电源的二端口电
路, 它只是部分电路，而不是完整电路。
a
b
I1
E1
R1 R
2
有源二端网络
不论含源二端网络如何复杂，都
可以对待求支路等效为一个电源，
具有相同的端口电压 U和电流 I。
有
源
二
端
网
络
RL
a
b
U
I
RL
a
b
U
I
E
R0
R3
I3
待
求
支
路
待
求
支
路
I2
E2
? 有源二端口网络 能够由 等效电源 代替，这个电源
可以是 电压源模型 (由一个电动势 E与内阻 R0串联 )
也可以是 电流源模型 (由一个定值电流 I与一个内阻
R0并联 )，由此可得出 等效电源 的 两个定理 。
待
求
支
路
有
源
二
端
网
络
RL
a
b
U
I
有源二端网络 等效电源
RL
a
b
U
I
E
R0
RL
a
b
U
I
IS
R0
一, 戴维南定理
定理,任何一个 有源二端线性网络 都可以
用一个 电动势 E的理想电压源 和一个 内阻
R0串联的电源来等效代替。
电动势 E 的数值为
有源二端网络的开路
电压 U0。
有
源
二
端
网
络
a
b
Uo
内阻 R0 的数值为
有源二端网络去源
后的网络电阻 (令
电动势为零，用短
路线代替；令恒流
源为零，将其开
路 ) 。
戴维南定理的应用
? 用戴维南定理计算支路电流 I3
? 解, 根据戴维南定理，去
掉待求支路后的开路电压 Uo
为：
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
其中 E1 =140V,E2=90V,
R1=20?,R2=5?,R3=6?,
1
21
21
10 RRR
EEEU ?
?
???
内阻 R0为：
21
21
0 RR
RRR
?
?? V100?
??4
a
b
Uo
R0
E
R3
I3
则 I3为
2021 4 0 ???
I3=U0/(R0+R3) = 10A
例题,求图中电流 IG。
解,根据戴维南定理，将右图分成
二端有源线性网络 (如下左图 )
戴维南定理应
用
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
G
I1 I2
I3 I4
IG
RG
E
+ －
I
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
I
I
E
+ －
I
G IGRG
和
待求支路 (如下中图 )
待求支路的开路电压 U0如下：
代入数据，得
戴维南定理应
用
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
I
I
E
+ －
I
U0
E
RR
R
RR
REUU
ab )(
43
4
21
2
00 ??????
212)510 555 5(0 ?????E V
待求支路的网络电阻 R0
R1 R2
R3 R4
a
b R0
43210 RRRRR ??
51055 ??
?? 8.5
将 有源二端线性网络 化成
等效电压源：
戴维南定理应
用
20 ?E V ?? 8.50R
a
b
U
R0
E0
G IGRG
和
则：
108.5
2
0
0
?
?
?
?
G
G RR
EI
A
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
G
I1 I2
I3 I4
IG
RG
E
+ －
I
126.0?
二, 诺顿定理
? 任何一个 有源二端线性网络 都可以用一
个电流为 IS的理想电流源和内阻 R0并联
的电源 来等效代替 ——电流源 形式电源。
等效电源的 电流 IS 就是有源二端网络的
短路电流 ；
等效电源的 内阻 R0就是有源二端网络除
源 (理想电压源短路、理想电流源开路 )
以后，端口间的 网络等效电阻 。
——这就是 诺顿定理
§ 2-8,含受控电源电路的分析
? 前面讨论的电源都是独立电源，即不受外电路
的控制而独立存在的电源。
在分析电路时，还将遇到另一种电源 ——即
电压源 的 电压 或 电流源 的 电流 受电路中其它
部分的 电压 或 电流 的控制，这种电源称为 受
控电源 。
当控制电压或控制电流为 零 时，受控电源的
电压或电流也将为 零 。
受控源的种类：
? 根据受控源是电压源还是电流源，以及电源是
受电压控制还是受电流控制,可以分为四种类型：
1,电压控制电压源 (VCVS)：
受控源为 电压源,其电压
受另一电压控制。
I1=0
U1
?U1
I2
U2
2,电流控制电压源
(CCVS)：受控源为
电流源,其电压受
另一电流控制。
I1
U1=0
rI1
I2
U2
受控源的种类
3,电压控制电流源
(VCCS)：受控源为
电流源,其电流受另
一电压控制。
4,电流控制电流源
(CCCS)：受控源为
电流源,其电流受另
一电流控制。
I1=0
U1
gU1
I2
U2 U2
I1
U1=0
?I1
I2
理想受控源,就是其 控制端
(输入端 )和 受控端 (输出端 )都是理想的。
受控源电路分析
若控制端是 电压 信号，则其没有电流通过，内阻
为 ∞；
若控制端是 电流 信号，则其没有端电压，内阻为 0；
总之,控制端 所消耗的功率为零。
I1=0
U1
gU1
I2
U2 U2
I1
U1=0
?I1
I2
以下，由 例题分析 试说明 受控源电路分析 。
? 例 2-22,计算电路中的 电压 U2。
U28V
2Ω
3Ω 4Ω
1
6 U2
数据如图标注。
解,对于图中受控电
流源，设其电流为 I，
即 16I = U2 = g U2
显然,g =I/U2 = 1/6 S
实际上，对于该电路
依然可以应用克希荷夫定律进行分析求解。
设电流 I1,I2,方向如图，得到方程组：
I1
I2
I1 – I2 +1/ 6U2 =0
2I1 + 3I2 = 8 (由电路可知 U2 = 3I2)
例题 分析
U28V
2Ω
3Ω 4Ω
1
6 U2I1
I2
I1 – I2 +1/ 6U2 =0
2I1 + 3I2 = 8
将 U2 = 3I2代入方程组
I1–1/2I2 = 0
2I1 + 3I2 = 8
得：
Δ = 4
系数行列式 Δ1 = 4
Δ2 = 8
I1 = 1A
即,I2 = 2A
U2 = 6V
电压 U2 = 6V 即为所求 。
§ 2-9 非线性电阻电路的分析
? 如果一个电阻两端的 电压与其所通过的电流成正
比 ( U∝ I 或 U = R I )，这说明电阻 R是常数 (即 R的
值不受 U或 I的影响 ),这样的电阻称为 线性电阻 。
前面讨论的情况就是视为线性电阻的理想情况，
线性电阻的电压、电流关系符合欧姆定律 。
实际上，电阻的非线性特征是普遍存在的，而非
线性电阻都不符合欧姆定律，一般不能写出其电
流 ~电压关系 [U=f(I)]。 对非线性电阻的分析一般
根据其电流 ~电压关系曲线采用图解法进行 。
非线性电阻的性质及描述：
对于线性电阻，其伏安关系为直线。 U
I
0 I1 I2
U2
U1 a
b
在伏安关系曲线上任何一点都有：
)( 常数RIUIU ??
2
2
1
1
对于 非线性电阻,其伏安关系则不
是直线。 U
I
0 I1 I2
U2
U1 a
b
2
2
1
1
I
U
I
UR ??
非线性电阻的符号：
1,静态电阻 是在某一电压 (或电流 )工作点 Q情况
下的电压 U与电流 I的比值, 即
U
I
0 I1 I2
U2
U1 a
b
这样对于非线性电阻元件的电阻有两种定义方式：
aUU RI
UR ??
? 1 bUU RI
UR ??
? 2
或
当然，
ba RR ?
2,动态电阻 是某一 电压 (或电流 )
工作点 Q附近的 电压增量 ΔU与
电流增量 ΔI的比值，即
dI
dU
I
UR
Ia
??
? ?
?
? 0
lim
以下结合例题说明对非线性电阻电路的分析方法
R1 R
U1
E
I
U
0
I
U
根据克希荷夫定律，回路电压方
程为：
11 IREUEU ????
或
11
1
R
EU
RI ???
显然该式为一直线方程。其 U~I关系是只
与电源电动势 E和线性电阻 R1有关的直线：
图
解
法
如图电路，非线性电阻的伏安特
性由坐标曲线给出。
当 I=0时,U=E 当 U=0时,I=E/R1
E
ER
1
直线与 U~I关系的交点 Q所对应的 U,I
值就是电路的 电流, 电压 状态值。
Q
U
I
用叠加原理求右图中电流 I1
? 将图中理想电流源去掉,得到
下侧左图。则电流
–
3A
+
10V
2? 1?I1
2I1
–
+
–
+
10V
2? 1?I1
2I1
–
+
3A
2? 1?I1
2I1
–
+
? 将图中理想电压源去掉,得到
下侧左图。则电流
A10I12 I210I 111 ???? ????
A31 I2I2I 111 ???????????
A53I 1 ????
本章主要内容：
1,电源等效变换方法（电阻串并联的等值变
换、电压源与电流源的等值变换,戴维南
定理 及诺顿定理）；
2,电路的一般分析方法（支路电流法、节点
电压法及网孔电流法）
3,线性叠加方法（ 叠加原理 ）
4,图解法（适用与非线性电阻电路以及一般
电路）
习题 2-1
? 计算图中 a,b间的等效电阻。
4 ?
4 ?
4 ? 4 ?
4 ?
4 ?
2 ?
a
b
4 ?
4 ?
4 ?
4 ?
4 ?
4 ?
2 ?
a
b
2 ?
4 ?
4 ?
2 ?
2 ?
a
b
2 ?
4 ?
4 ?
4 ?
a
b
2 ?
4 ?
2 ?
a
b
Rab= 2 ?
习题 2-2 ? 一无源二端口网络，其外特性为 U=10V,
I=2A；并得知其内部由 4个 3?的电阻组
成试求电阻的连接关系。
U
I
解 由题意，无源二端口网络的电阻特性为
???? 5210IUR
考虑 3?进行串联或并联的组合,分别
为 1.5 ?及 6 ?，加上原来 3?数值，共
有三种情况。 第一中情况不便于计算；
第二种情况需并联另一电阻
?????? ??? 30RR6 R65 无法实现。
只有第三种情况，要另串联一电阻。如左图。
U
I
习题 2-10 ? 计算图中 a,b间的等效电阻。
1 ?
2 ?
5.5?
1 ?2 ?
a
b
3 ?
1 1?
2 ?
1 ?
a
b
11/3
?
解 根据电路，考虑电阻的 ?/?联
接变换公式
????????? 5.52 313221R ac
c
????????? 3113 313221R ab
????????? 111 313221R bc ? ?
??
??
??
44.1
)47.19 17.0(67.3
)5.52()111(
3
11
R
用戴维南定理计算图中 2?电阻中的电流
? 根据戴维南定理，将待
求支路断开。
2A
+
–
+
–6V 12V
6?3?
1?
1?
2?
I
2?
I+
–
E0
R0
计算有源二端线性网络的开
路电压 U0，即
12363 6126EU 00 ????????
计算有源二端线性网络的等效电阻 R0，
即
??????? 41163 63R 0
进而可得到 2?电阻中的电流为
V6?
A1)RR/(EI L0 ???
习题 如图电路，已知 E=12V,
R1= R2= R3= R4,Uab=10V。
若将理想电压源除去后，再
求电路中的 Uab。
E
+ –
a
b
I
R1
I
R2
R3
R4
a
b
I
R1
I
R2
R3
R4
a
b
R1
R2
R3
R4
解 除去理想电压源的影
响就相当于将其单独
作用的结果 Uab从原来
的结论中减去。
而电动势 E 单独作用
产生的 Uab为
V3E41ER4RU 3ab ????
即除去 E后 V7310U ab ??? 为所求。
? 课后作业：
第 90页 ? 2 — 19 题
第 93页 ? 2 — 30 题 (2)选做
电路的分析方法
内容提要
? 本章主要讨论针对复杂电路的分析方法，尽管
所涉及的问题都是直流电路，但仍适用于其它
情况。
? 本章内容是本课程电路部分乃至贯穿整个课程
的重要内容。
本章内容主要有,① 等值变换 ?,② 支路电流
法, ③ 节点电压法, ④ 网孔电流法, ⑤ 叠加
原理 ?,⑥ 戴维南定理 ??, ⑦ 诺顿定理及 ⑧ 非
线性电阻电路的图解法及受控源电路分析等 。
§ 2-1,电阻串并联的等效变换
一、电阻的串联
? 两个或更多个电阻一个接一个地顺序连接，这些
电阻通过 同一电流,这样就称为 电阻的串联 。
? 电阻的串联可用一个等
效的电阻代替：
R = R1 + R2
分压公式：
U = U1 + U2
其中,U1 = I R1 =
U2 = I R2 =
U
I
U1
U2
R1
R2
U
I
R
R1+ R2
R1 U
UR
1+ R2
R2
二, 电阻的并联
? 两个或更多个电阻联接在两个公共的节点之间，
这种联接方法称为电阻的并联。
? 并联时，各支路具有相同的电压。
U
I
I1 I2
R1
R2
U
I
R
? 并联电阻的等效值 R可表示为：
21
111
RRR ??
? 也可表示为,21 GGG ??
? 式中 G称为 电导,是电阻的倒数。
21
21
RR
RRR
?
??或
? 两个电阻并联时，各电阻中的电流分别为：
并联电阻的分流公式
U
I
I1 I2
R1
R2
U
I
R
IRR RRIRRUI
21
2
11
1 ????
IRR RRIRRUI
21
1
22
1 ????
? 并联时，一电阻中的分得的电流
与该电阻成反比。
? 并联电阻愈多总电阻就愈小，总
电阻小于其中任一电阻。
例 题 (2-1)：
? 如图复联电路,R1=10?,
R2 =5?,R3=2?,R4=3?,电
压 U= 125V,试求电流 I1。
? 解, (1) R3,R4串联,
? (2) R2 与 R34并联,等效为：
R234 = R2R34/ (R2+R34)=2.5?
R1
R2
R3 R4
I1
U
R34
R1I1
U
R34 R2
R234
R34= R3+ R4=2+3=5 ?
? (3) 总电阻 R可看成时 R1与
R234的串联,
R= R1+R234=10+2.5=12.5?
R
I1
U? (4) 电流I
1= U/R = 125/12.5=10A
§ 2-3,电压源与电流源及其等效变换
? 一个实际电源，若用电路模型来表示，可认为
将其内阻 R0和电动势 E串联起来等效,
E +
R0 U
R
I
(a)
E +
R0 U
R
I
(b)
E +
R0
U R
I
(c)
(a) 非标准电路图； (b) 标准等效电路图； (c) 电压源模型等效电路。
一, 电压源
? 将任何一个电源，看成是由内阻 R0和电动势 E
串联 的电路，即为电压源模型，简称 电压源 。
电源外特性方程
E +
R0
U R
I
电压源
? 由电路可知, U=E-IR0
? 当电源开路时,I=0，
U=U0=E
? 当电源短路时,U=0，
I=IS=E/R0
电压源外特性
? 由电源外特性方程 U=E-IR0可得到其外特性曲线。
E +
R0
U R
I
电压源
理想电压源
电
压
源
U
I
0
U0=
E
IS=E/ R0
外特性曲线
? 由横轴截距可知，内阻 R0愈小，则直线愈平。
? 当 R0=0时，端电
压恒等于电动势
E，为定值；而
电流 I为任意值
I=E/R
称其为 理想电压
源 (恒压源 )。
电压源外特性
? 当一电压源内阻 R0远小于负载电阻 RL时
(即 R0<<RL)，内阻压降 IR0<<U,于是 U≈E，
E +
R0
U R
I
电压源
理想电压源
电
压
源
U
I
0
U0=
E
IS=E/ R0
外特性曲线
? 常用的稳压
电源可近似
认为是理想
电压源。
? 对于电压源 U=E-IR0当
各项除以 R0后，
二, 电流源
IRERU ??
00
? 得
? 或 I = IS –I′
? 其中,IS = E/R0,I′= U/R0
? 根据电流关系得到 新的
等效电路 —电流源模型
? 定值电流 IS与内阻 R0的并联
E +
R0
U R
I
R0
U R
I
IS
I′
? 根据上述关系式,I = IS – I′
? 当 R0=∞时,I = IS 为定值。
而负载两端的电压 U=IR为
任意值，由负载电阻 R和
电流 IS 决定,称之为 理想
电流源 或 恒流源 。
R0
U R
I
IS
I′
电流源的外特性
? 或
0R
UII
S ??
? 上述关系式即为外特性方程，
? 特性曲线见图。
U
电
流
源
I
0
U0=ISR0
IS外特性曲线
理
想
电
流
源
? 根据上述关系式，可知电
压源与电流源之间的变换
关系：
? 由上述推导的关系可知，
IS = E/R0 以及内阻 R0 不变。
这为 电压源 与 电流源 之间
的变换提供了 定量关系式 。
E +
R0
U R
I
R0
U R
I
IS
I′
三, 电压源与电流源的等效变换
IS = E/R0
R0
E = IS R0
R0
注意事项：
? 实际电源可以用两种电路模型表示
——电压源 和 电流源 。
? 电压源与电流源之间可以相互变换。
E与 IS的方向保持不变、内阻 R0的
数值保持不变；
? 电源变换只对外电路等效，而对内
电路则不等效。如同一电源在两种
等效电路中，内阻 R0 上消耗的功
率就不同。
? 恒压源与恒流源之间不能进行变换；
R0为 0或 ∞都无意义。
IS = E/R0
R0
E = IS R0
R0
试计算 1?电阻中的电流 I,
解：
例
+ +
6V 4V
2A3?
6?
2?
4?
1? I
2A 3? 6?
2A
2?
4A
+
8V
2?
试计算 1?电阻中的电流 I,例
+ +
6V 4V
2A3?
6?
2?
4?
1? I
+
4V2?
4?
1?
I
+
8V
2? 4?1A 1?
I
4?1A4?2A2?3A
1? I
(a)图由分流公式
I =3× 2/(2+1)
=2A
(b)图由欧姆定律可知
I=E/(R0+R)
=6/(2+1)=2A
I1?
6V
2?
(b)(a)
§ 2-4,支路电流法
? 凡不能用电阻串并联等效变换化简的电路，称
为 复杂电路 。
? 在分析计算复杂电路的各种方法中,支路电流
法 是最基本的，也是基础！
? 支路电流法 的理论依托是 克希荷夫定律 。
? 支路电流法 的出发点是以电路中各支路的电流
I 为未知变量，然后根据克希荷夫定律列方程
组并求解计算。
以右图为例, 介绍 支路电流法 的应用过程 。
(1)纵观整个电路，有 a,b两个
节点；三条支路；两个网孔。
(2)设各支路电流分别为 I1,I2及
I3，作为待求未知变量。
(3)应用 KCL，根据节点列方程，
对于节点 a 有：
I1 + I2 = I3 (流入 =流出 )
而节点 b的方程与其一致
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
(4)应用 KVL，根据电路的网孔列出方程,(数电压一周，
总电压降为零 ) -I3R3+E1-I1R1=0
-I3R3+E2-I2R2=0
得到方程组
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b其系数行列式为：
I1 + I2 - I3 = 0
I1R1 + I3R3= E1
I2R2 + I3R3 = E2
1 1 -1
?= R1 0 R3
0 R2 R3
= – R1 R2 – R2 R3
– R3 R1
0 1 -1
?1= E1 0 R3
E2 R2 R3
= – (R2 E1 – R3 E2
+R3 E1)
1 0 -1
?2= R1 E1 R3
0 E2 R3
= – (R1 E2– R3 E1
+R3 E2 )
1 1 0
?3= R1 0 E1
0 R2 E2
= – (R2 E1+R1 E2 )
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
?= – (R1 R2 +R2 R3 +R3 R1 )
I1 = ?1/?=
?1= – (R2 E1 – R3 E2 +R3 E1)
?2= – (R1 E2– R3 E1 +R3 E2 )
?3= – ( R2 E1+ R1 E2 )
(R2 +R3 )E1– R3 E2
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
(R1 +R3) E2 – R3 E1
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
R2 E1 +R1 E2
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1
I2 = ?2/?=
I3 = ?3/?=
支路电流法求
各支路电流
※ 应用 支路电流法 的几点说明,
? 根据电路的 支路电流 设未知量，未知量数与支
路数 b 相等；
? 找出电路的节点，根据克希荷夫电流定律在节
点上列出 电流方程 。所列方程数为 节点数 (n–1);
? 根据电路的回路关系，找出所有的网孔 (单孔回
路 )，对每一个网孔应用克希荷夫电压定律列 电
压方程 。方程数等于网孔数 m。
? 对于实际电路，如果支路数为 b、节点数为 n、
网孔数为 m，数学上已经证明有 b = (n–1) + m。
例,计算如图检流计中的电流 IG
解, 如图,节点数 n= 4,支路数 b=6,网
孔数 m=3。应根据 KCL列 3个方程，
根据 KVL列 3个方程，共六个。
对节点 a I1 – I2 – IG = 0
对节点 b I3 + IG – I4 = 0
对节点 c I 2 + I 4 – I = 0
对回路 abda I1R1+ IGRG – I3R3 = 0
对回路 acba I2R2– I4R4 + IGRG = 0
对回路 dbcd E= I3R3 + I4R4
解之，得
IG =
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
G
I1 I2
I3 I4
IG
RG
E
+ －
I
E(R2R3–R1R4 )
RG(R1+R2) (R3+R4)+ R1R2(R3+R4)+ R3R4(R1+R2)
例 将图 (a)中 E1化成电流源,
再计算 I3。
其中 E1 =140V,E2=90V,
R1=20?,R2=5?,R3=6?,
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
I2
E2
I3
R1
R2
R3
a
b
IS1
I4
解, 将 E1化成电流源 IS1,R1后,图
中虽有 4条支路，但 IS1=7A却已知，
故只有 3个未知电流。可列出方程：
IS1 – I4 – I3 + I2 =0
I2 R2 + I3 R3 =E2
I4 R1 – I3 R3 = 0
代入数据解之得：
I 3 = 10A
§ 2-5,节点电压法和网孔电流法
? 如图电路有一明显特点 —只有两个节点 a 和 b。节点间的
电压 U 称为 节点电压,在图中设其正方向由 a指向 b。通
过如下推导可得出 节点电压 的计算公式 。
+
E1 –
I1 R1
+
E2 –
I2 R2
+
E3 –
I3 R3
I4
R4
U
a
b
U=E1– I1R1
U=E2– I2R2
U=E3+ I3R3
U= I4R4
由各支路的电压关系
E1–U
R1I1=
E2–U
R2I2=
E3–U
R3I3=
U
R4I4=
对于节点 a应用 KCL,可得：
? 进而有
+
E1 –
I1 R1
+
E2 –
I2 R2
+
E3 –
I3 R3
I4
R4
U
a
b
U=
+ – – = 0E1–UR1 E2–UR2 -E3+UR3 UR4
I1+I2–I3 – I4=0
展开整理后，即得到节点电压的公式：
E1
R1
E2
R2
E3
R3+ +
1
R1 + + +
1
R2
1
R3
1
R4
=
E
R
1
R
∑(± )
∑
应用节点电压法求如图电路中的电流 。
? 解, 该电路只有两个节点 a
和 b，根据公式,节点电压为
其中 E1 =140V,E2=90V,
R1=20?,R2=5?,R3=6?,
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
Uab=
E1
R1
E2
R2+
1
R1 + +
1
R2
1
R3
=
140
20 +
90
5
+ +15120 16
=60V
I1= E1 – U abR1
= 140–6020 = 4A
I2= E2 – U abR2
= 90–605 = 6A
I3= U abR
3
= 606 = 10A
例题 计算如图电路中的电
位 VA和 VB
解, 图中有 3个节点，选
C点为参考点 (VC=0)，
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
BI1
I3
R1
A
C
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
对节点 A和 B应用 KCL列方
程 I1 + I2 – I3 = 0
I 5 –I2 – I4 = 0
VB
10I4=
E1–VA
5I1=
VB –VA
10I2=
E2 –VB
15I5=
VA
5I3=
对各支路用欧
姆定律求电流：
得到节点电
压方程为：
E1
R1
VB
R2+
1
R1 + +
1
R2
1
R3
VA=
E2
R5
VA
R2+
1
R2 + +
1
R4
1
R5
VB=
例题 计算如图电路中的电
位 VA和 VB
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
BI1
I3
R1
A
C
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
E1
R1
VB
R2+
1
R1 + +
1
R2
1
R3
VA=
E2
R5
VA
R2+
1
R2 + +
1
R4
1
R5
VB=
联立
方程
代入数据解之，得,VA=10V VB=20V
——解毕
(进而，可求,I1=1A,I2=1A,I3=2A,I 4=2A,I5=3A,)
网孔电流法
? 这种方法是对每一个 网孔
设 网孔 (回路 )电流为 Im，
再由 KVL列方程分析求解。
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
c d
Im2Im1
如图：设网孔 abca的电流为
Im1、网孔 adba的电流为 Im2。
则回路的 KVL方程为：
E1– Im1 R1–(Im1–Im2) R3 =0
– E2–(Im2–Im1) R3– Im2 R2=0
(R1 + R3 ) Im1 – R3 Im2 = E1
–R3 Im1 + (R2 + R3 ) Im2 =–E2
整
理
得
：
由图可知各支路电流
与网孔电流之间的关
系为 I1= Im1,I2=Im2，
I3=Im1–Im2。
★ 行列
式系数 自互
互自
22
11
RR
RR
?
?
解, 设左中右 3个网
孔的电流分别为
Im1, Im2,Im3,均
为顺时针方向。
计算如图
电路中的各
电流值
例题 I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
bI1
I3
R1
a
c
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
d e
对 acda回路, (R1+R3) Im1–R3Im2 =E1
对 abca回路, –R3Im1 +(R2+R3 +R4)Im2–R4Im3 =0
对 becb回路, –R4Im2 +(R4+R5) Im3 = – E2
10 Im1–5Im2 =E1
–5Im1 +25Im2–10Im3 =0
–10Im2 +25Im3 = – E2
即：
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
bI1
I3
R1
a
c
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
d e
10 Im1–5Im2 = 15
–5Im1 +25Im2–10Im3 =0
–10Im2 +25Im3 = – 65
例题
各行列式为：
10 -5 0
?= -5 25 -10 =4625
0 -10 25
15 -5 0
?1= 0 25 -10 = 4625
-65 -10 25
10 15 0
?2= -5 0 -10 = -4625
0 -65 25
10 -5 15
?3= -5 25 0 = -13875
0 -10 -65
得：
Im1=1A
Im2=-1A
Im3=-3A
由网孔电流与支路电
流的关系，知
Im1=1A,Im2=-1A
Im3=-3A
I2 I5
E1 E2
I4
R2 R5
R4
bI1
I3
R1
a
c
15V 65V
5?
15?
10?
5?
R3
10?
d e例题
I1= Im1=1A,I2= – Im2= 1A，
I3= Im1 – Im2 = 2A,I4= Im2– Im3= 2A,I5= – Im3= 3A
应用网孔电流法时,① 按网孔 设电流变量 Imi，方向
均为 顺时针 方向； ② 找出各网孔的 自电阻, 互电阻
及沿绕行方向上的 电位升 的代数和； ③ 依各网孔列
出线性 方程组 ； ④ 解方程,求出各网孔电流 ⑤ 根据
支路电流与网孔电流之间的关系按要求 解得待求量 。
§ 2-6,叠加原理
? 概念：对于线性电路，任何一条支路中
的电流，都可以看成是由电路中各个电
源 (电压源或电流源 )分别作用时，在此支
路中所产生的电流的代数和。
所谓电源的单独作用，即是在电路中只保
留一个电源，而将其它电源去掉 (将电动
势用短路线代替、将恒流源断开 ); 电路中
所有的电阻网络不变 (电源内阻保持原位
不变 )。
叠加原理
的应用
以下就具体问
题介绍 叠加原
理 的应用，如
图电路：
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
= R2 +R3 R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
I1 = (R2 +R3 )E1– R3 E2R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
– R3R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
E2
E1
=I1 – I1
I1 I2
E1
I3
R1 R2
R3
a
b
I1 I2
E2
I3
R1 R2
R3
a
b
叠加原理
的应用
I2 = – I2 + I2
I1 I2
E1
I3
R1 R2
R3
a
bI
1 I2
E2
I3
R1 R2
R3
a
b
同样,I2、
I3亦可求得：
I2 = R3R
1 R2 + R2 R3 + R3 R1
E1
I2 = R2 +R3 R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 E2
R2
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 E1I3 =
I3 = I3 + I3
R1
R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 E2I3 =
应用 叠加原理 的 注意事项：
? 应用叠加原理计算复杂电路，就是把一个多电源
的复杂电路化为几个但电源电路来计算。
? 从数学上看，叠加原理就是现性方程的可加性，
前面方法几三的电压和电流都是线性方程，所以
支路电流和节点电压都可以用叠加原理来求解。
? 功率的计算与电流或电压都不具有线性关系，所
以不能用叠加原理来求解功率。如前面电路中 R3
的功率 P3:
32332332333233 )( RIRIRIIRIP ???????????
§ 2-7,戴维南定理 和 诺顿定理
? 本节介绍 电路分析 的另一种方法。
在有些情况下，只需计算电路中某一支路中的
电流，如计算右图中电流 I3，若用前面的方法
需列解方程组，必然出现一些不需要的变量。
为使计算简便些，这里介
绍等效电源的方法。
等效电源方法，就是复杂
电路分成两部分。① 待求
支路,②剩余部分 ——有
源二端网络 。
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
有源二端网络 等效电源
? 有源二端网络，即是其中 含有电源的二端口电
路, 它只是部分电路，而不是完整电路。
a
b
I1
E1
R1 R
2
有源二端网络
不论含源二端网络如何复杂，都
可以对待求支路等效为一个电源，
具有相同的端口电压 U和电流 I。
有
源
二
端
网
络
RL
a
b
U
I
RL
a
b
U
I
E
R0
R3
I3
待
求
支
路
待
求
支
路
I2
E2
? 有源二端口网络 能够由 等效电源 代替，这个电源
可以是 电压源模型 (由一个电动势 E与内阻 R0串联 )
也可以是 电流源模型 (由一个定值电流 I与一个内阻
R0并联 )，由此可得出 等效电源 的 两个定理 。
待
求
支
路
有
源
二
端
网
络
RL
a
b
U
I
有源二端网络 等效电源
RL
a
b
U
I
E
R0
RL
a
b
U
I
IS
R0
一, 戴维南定理
定理,任何一个 有源二端线性网络 都可以
用一个 电动势 E的理想电压源 和一个 内阻
R0串联的电源来等效代替。
电动势 E 的数值为
有源二端网络的开路
电压 U0。
有
源
二
端
网
络
a
b
Uo
内阻 R0 的数值为
有源二端网络去源
后的网络电阻 (令
电动势为零，用短
路线代替；令恒流
源为零，将其开
路 ) 。
戴维南定理的应用
? 用戴维南定理计算支路电流 I3
? 解, 根据戴维南定理，去
掉待求支路后的开路电压 Uo
为：
I1 I2
E1 E2
I3
R1 R2
R3
a
b
其中 E1 =140V,E2=90V,
R1=20?,R2=5?,R3=6?,
1
21
21
10 RRR
EEEU ?
?
???
内阻 R0为：
21
21
0 RR
RRR
?
?? V100?
??4
a
b
Uo
R0
E
R3
I3
则 I3为
2021 4 0 ???
I3=U0/(R0+R3) = 10A
例题,求图中电流 IG。
解,根据戴维南定理，将右图分成
二端有源线性网络 (如下左图 )
戴维南定理应
用
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
G
I1 I2
I3 I4
IG
RG
E
+ －
I
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
I
I
E
+ －
I
G IGRG
和
待求支路 (如下中图 )
待求支路的开路电压 U0如下：
代入数据，得
戴维南定理应
用
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
I
I
E
+ －
I
U0
E
RR
R
RR
REUU
ab )(
43
4
21
2
00 ??????
212)510 555 5(0 ?????E V
待求支路的网络电阻 R0
R1 R2
R3 R4
a
b R0
43210 RRRRR ??
51055 ??
?? 8.5
将 有源二端线性网络 化成
等效电压源：
戴维南定理应
用
20 ?E V ?? 8.50R
a
b
U
R0
E0
G IGRG
和
则：
108.5
2
0
0
?
?
?
?
G
G RR
EI
A
a
b
cd
R1 R2
R3 R4
G
I1 I2
I3 I4
IG
RG
E
+ －
I
126.0?
二, 诺顿定理
? 任何一个 有源二端线性网络 都可以用一
个电流为 IS的理想电流源和内阻 R0并联
的电源 来等效代替 ——电流源 形式电源。
等效电源的 电流 IS 就是有源二端网络的
短路电流 ；
等效电源的 内阻 R0就是有源二端网络除
源 (理想电压源短路、理想电流源开路 )
以后，端口间的 网络等效电阻 。
——这就是 诺顿定理
§ 2-8,含受控电源电路的分析
? 前面讨论的电源都是独立电源，即不受外电路
的控制而独立存在的电源。
在分析电路时，还将遇到另一种电源 ——即
电压源 的 电压 或 电流源 的 电流 受电路中其它
部分的 电压 或 电流 的控制，这种电源称为 受
控电源 。
当控制电压或控制电流为 零 时，受控电源的
电压或电流也将为 零 。
受控源的种类：
? 根据受控源是电压源还是电流源，以及电源是
受电压控制还是受电流控制,可以分为四种类型：
1,电压控制电压源 (VCVS)：
受控源为 电压源,其电压
受另一电压控制。
I1=0
U1
?U1
I2
U2
2,电流控制电压源
(CCVS)：受控源为
电流源,其电压受
另一电流控制。
I1
U1=0
rI1
I2
U2
受控源的种类
3,电压控制电流源
(VCCS)：受控源为
电流源,其电流受另
一电压控制。
4,电流控制电流源
(CCCS)：受控源为
电流源,其电流受另
一电流控制。
I1=0
U1
gU1
I2
U2 U2
I1
U1=0
?I1
I2
理想受控源,就是其 控制端
(输入端 )和 受控端 (输出端 )都是理想的。
受控源电路分析
若控制端是 电压 信号，则其没有电流通过，内阻
为 ∞；
若控制端是 电流 信号，则其没有端电压，内阻为 0；
总之,控制端 所消耗的功率为零。
I1=0
U1
gU1
I2
U2 U2
I1
U1=0
?I1
I2
以下，由 例题分析 试说明 受控源电路分析 。
? 例 2-22,计算电路中的 电压 U2。
U28V
2Ω
3Ω 4Ω
1
6 U2
数据如图标注。
解,对于图中受控电
流源，设其电流为 I，
即 16I = U2 = g U2
显然,g =I/U2 = 1/6 S
实际上，对于该电路
依然可以应用克希荷夫定律进行分析求解。
设电流 I1,I2,方向如图，得到方程组：
I1
I2
I1 – I2 +1/ 6U2 =0
2I1 + 3I2 = 8 (由电路可知 U2 = 3I2)
例题 分析
U28V
2Ω
3Ω 4Ω
1
6 U2I1
I2
I1 – I2 +1/ 6U2 =0
2I1 + 3I2 = 8
将 U2 = 3I2代入方程组
I1–1/2I2 = 0
2I1 + 3I2 = 8
得：
Δ = 4
系数行列式 Δ1 = 4
Δ2 = 8
I1 = 1A
即,I2 = 2A
U2 = 6V
电压 U2 = 6V 即为所求 。
§ 2-9 非线性电阻电路的分析
? 如果一个电阻两端的 电压与其所通过的电流成正
比 ( U∝ I 或 U = R I )，这说明电阻 R是常数 (即 R的
值不受 U或 I的影响 ),这样的电阻称为 线性电阻 。
前面讨论的情况就是视为线性电阻的理想情况，
线性电阻的电压、电流关系符合欧姆定律 。
实际上，电阻的非线性特征是普遍存在的，而非
线性电阻都不符合欧姆定律，一般不能写出其电
流 ~电压关系 [U=f(I)]。 对非线性电阻的分析一般
根据其电流 ~电压关系曲线采用图解法进行 。
非线性电阻的性质及描述：
对于线性电阻，其伏安关系为直线。 U
I
0 I1 I2
U2
U1 a
b
在伏安关系曲线上任何一点都有：
)( 常数RIUIU ??
2
2
1
1
对于 非线性电阻,其伏安关系则不
是直线。 U
I
0 I1 I2
U2
U1 a
b
2
2
1
1
I
U
I
UR ??
非线性电阻的符号：
1,静态电阻 是在某一电压 (或电流 )工作点 Q情况
下的电压 U与电流 I的比值, 即
U
I
0 I1 I2
U2
U1 a
b
这样对于非线性电阻元件的电阻有两种定义方式：
aUU RI
UR ??
? 1 bUU RI
UR ??
? 2
或
当然，
ba RR ?
2,动态电阻 是某一 电压 (或电流 )
工作点 Q附近的 电压增量 ΔU与
电流增量 ΔI的比值，即
dI
dU
I
UR
Ia
??
? ?
?
? 0
lim
以下结合例题说明对非线性电阻电路的分析方法
R1 R
U1
E
I
U
0
I
U
根据克希荷夫定律，回路电压方
程为：
11 IREUEU ????
或
11
1
R
EU
RI ???
显然该式为一直线方程。其 U~I关系是只
与电源电动势 E和线性电阻 R1有关的直线：
图
解
法
如图电路，非线性电阻的伏安特
性由坐标曲线给出。
当 I=0时,U=E 当 U=0时,I=E/R1
E
ER
1
直线与 U~I关系的交点 Q所对应的 U,I
值就是电路的 电流, 电压 状态值。
Q
U
I
用叠加原理求右图中电流 I1
? 将图中理想电流源去掉,得到
下侧左图。则电流
–
3A
+
10V
2? 1?I1
2I1
–
+
–
+
10V
2? 1?I1
2I1
–
+
3A
2? 1?I1
2I1
–
+
? 将图中理想电压源去掉,得到
下侧左图。则电流
A10I12 I210I 111 ???? ????
A31 I2I2I 111 ???????????
A53I 1 ????
本章主要内容：
1,电源等效变换方法（电阻串并联的等值变
换、电压源与电流源的等值变换,戴维南
定理 及诺顿定理）；
2,电路的一般分析方法（支路电流法、节点
电压法及网孔电流法）
3,线性叠加方法（ 叠加原理 ）
4,图解法（适用与非线性电阻电路以及一般
电路）
习题 2-1
? 计算图中 a,b间的等效电阻。
4 ?
4 ?
4 ? 4 ?
4 ?
4 ?
2 ?
a
b
4 ?
4 ?
4 ?
4 ?
4 ?
4 ?
2 ?
a
b
2 ?
4 ?
4 ?
2 ?
2 ?
a
b
2 ?
4 ?
4 ?
4 ?
a
b
2 ?
4 ?
2 ?
a
b
Rab= 2 ?
习题 2-2 ? 一无源二端口网络，其外特性为 U=10V,
I=2A；并得知其内部由 4个 3?的电阻组
成试求电阻的连接关系。
U
I
解 由题意，无源二端口网络的电阻特性为
???? 5210IUR
考虑 3?进行串联或并联的组合,分别
为 1.5 ?及 6 ?，加上原来 3?数值，共
有三种情况。 第一中情况不便于计算；
第二种情况需并联另一电阻
?????? ??? 30RR6 R65 无法实现。
只有第三种情况，要另串联一电阻。如左图。
U
I
习题 2-10 ? 计算图中 a,b间的等效电阻。
1 ?
2 ?
5.5?
1 ?2 ?
a
b
3 ?
1 1?
2 ?
1 ?
a
b
11/3
?
解 根据电路，考虑电阻的 ?/?联
接变换公式
????????? 5.52 313221R ac
c
????????? 3113 313221R ab
????????? 111 313221R bc ? ?
??
??
??
44.1
)47.19 17.0(67.3
)5.52()111(
3
11
R
用戴维南定理计算图中 2?电阻中的电流
? 根据戴维南定理，将待
求支路断开。
2A
+
–
+
–6V 12V
6?3?
1?
1?
2?
I
2?
I+
–
E0
R0
计算有源二端线性网络的开
路电压 U0，即
12363 6126EU 00 ????????
计算有源二端线性网络的等效电阻 R0，
即
??????? 41163 63R 0
进而可得到 2?电阻中的电流为
V6?
A1)RR/(EI L0 ???
习题 如图电路，已知 E=12V,
R1= R2= R3= R4,Uab=10V。
若将理想电压源除去后，再
求电路中的 Uab。
E
+ –
a
b
I
R1
I
R2
R3
R4
a
b
I
R1
I
R2
R3
R4
a
b
R1
R2
R3
R4
解 除去理想电压源的影
响就相当于将其单独
作用的结果 Uab从原来
的结论中减去。
而电动势 E 单独作用
产生的 Uab为
V3E41ER4RU 3ab ????
即除去 E后 V7310U ab ??? 为所求。
? 课后作业：
第 90页 ? 2 — 19 题
第 93页 ? 2 — 30 题 (2)选做
