第五章 非正弦周期电流的电路
§ 5-1,非正弦周期量的分解
§ 5-2,非正弦周期量的有效值
§ 5-3,非正弦周期电流的线性电路
§ 5-4,非正弦周期电流的平均功率
非正弦周期电路
? 非正弦电流的普遍性和特殊性
工程中常有一些 非正弦 信号。如计算机中的脉冲
信号；测量技术中将非电电量转换成的电信号；
由语言、音乐、图象转换成的电信号；许多电子
仪器在工作时所需的控制信号等等。
既然是非正弦的电学量，就不能用正弦交流电的
相量分析方法 进行讨论分析，这里讨论对非正弦
电流量的分析方法。它是非正弦量的一种特例。
对非正弦的电学量分析的理论依据，仍然是受电
路 约束方程 制约的，所用的数学工具是 傅立叶级
数,分析方法基本属于频域分析范畴。
§ 5-1,非正弦周期量的分解
? 如图，当一个直流电源和一
个正弦电源串联时，可以得
到电路的总电动势为
当电路中接入一电阻 R时，电
流为
显然，电路中的电流并 不是正
弦量 。
tEEeEe m ?s in1010 ????
tRERERei m ?s in10 ???
Re1
i
E0 –
–+
+
e1E0
E1m
o
e
t
非正弦周期量 的分解
? 根据数学中傅立叶级数理论，任何满足 狄里赫
利条件 的周期函数都可以展开成三角级数。如
函数 f (?t) 可展开分解为
? ???
?
? 1
0 ]c o ss i n[)(
k
kmkm tkCtkBAtf ???
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km
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km
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kmkm
B
C
a r c t g
CBA
傅立叶级数的系数
由上面得到的系数，
可求出 Akm及 ?k 。
? ???? ?200 )t(d)t(f2 1A
? ?????? ?20km )t(dtks i n)t(f1B
? ?????? ?20km )t(dtkc o s)t(f1C
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km
km
k
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km
2
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B
C
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CBA
傅立叶展开对周期性电流量的分解
? 如果一个电流量具有周期 T (=2?/?)，就可以根
据 傅立叶展开,分解得到由直流分量 A0、基波
A1msin(?t+?1)、二次谐波
A2msin(2?t+?2),…… 等高次谐波分量组成。
? ??????
?
? 0n
kkm0 )tks i n (AA)t(f
这样，我们可以根据已学过的理论对级数各项进
行讨论。对直流量用直流电路理论；对正弦量用
相量理论，我们已经有了比较完善的理论工具。
? (1)全波电压整流波形的傅立叶展开式为例
u
?t? 2?o
Um
?????? ???? ?
? m0m
0
m
0
U2tc o sUttds i nUA
? ?????? ?20mkm )t(dtks i nts i nUB
0B km ?
ts inUu m ??
区间，在 ??0 ???? dks ins in
??????? d])1kc o s ()1k[ c o s (21
积分后为零。故可知
系数
即
? ?????? ?20mkm )t(dtkc o sts i nUC
? ?????? ?????? ??? 20m )]t(dtkc o sts i n)t(dtkc o sts i n[U
? ?????? ?0m )t(dtkc o sts i nU2
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? ( k为偶数 )
0 ( k为奇数 )
可得
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m
0
U2A 0B km ?
)1k(
U4C
2
m
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?? ( k为偶数 )
由此，
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u
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Um
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2B
Ca r c t g
km
km
k
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kmkm CA ?
§ 5-2,非正弦周期量的有效值
? 由第三章得出的有效值公式
不仅适用于正弦量，也适用于非正弦的周期量。
若某非正弦的周期电流已分解成傅立叶级数
则其有效值为
? 上式根号中的积分式可以分解为四项：
(1)
(2)
(3)
(4)
由此，可得到有效值为
其中，
同理，非正弦周期电压的有效值为
I1,I2分别为基波、二次谐波等的有效值，它们
本身都是正弦波。可见各有效值等于其相应幅
值的 。
例 一全波可控整流电路，控制角为 ?，正弦部分的幅值为 Im=310V，
求其电流的平均值和有效值。
Im
o
i
?t? ? 2?
解,由题意，知相角 0~?之间电流值为零,?~?之间电
流值为正弦量 Imsin?t。
则电流的平均值为
电流的有效值为
5-3非正弦周期电流的线性电路的计算
电路如图所示，已知 u 为非正弦周期
电压（或电流 i），如何求解电路中各
电流电压呢？
i
u L
R
C
解决这个问题的方法是借
助于傅立叶级数。
因为非正弦周期电压可分解为下
列形式：
???????? )2s i n ()s i n ( 22110 ???? tUtUUu mm
那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同
频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的
情况一样。电路如图所示。
图中：
00 Uu ?
)s in ( 111 ?? ?? tUu m
)2s in ( 222 ?? ?? tUu m
??????
这样的电源接在线性电路
中所引起的电流及电压，就可
以用叠加原理来计算。
i
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R
Cu2
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即：
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)2s i n ()s i n ( 2221110
210
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式中,I0=0
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km
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1
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??????
非正弦周期电流的线性电路的解题步骤：
（ 1）将非正弦周期电源电压分解成傅立叶级数，看
作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。
（ 2）利用叠加原理计算电压的恒定分量和各次正弦
谐波分量单独存在时所产生的电流分量。
（ 3）将所得的电流分量叠加起来，即为所需的结果。
注意：感抗和容抗的变化。
LX L ??1 LkX Lk ??
CX C ?
1
1 ? CkCk X
kCkX
11 ??
?
§ 5-4非正弦周期电流电路中的平均功率
计算非正弦周期电流电路中的平均功率和在正
弦交流电路中一样，也可应用下式：
? ??? T T u i d tTp d tTP 0 011
设非正弦周期电压和电流如下：
? ?k
k
km tkUUu ?? ??? ?
?
?
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1
0
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k
km tkIIi ??? ???? ?
?
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1
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则可得下列五项：
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其中，第（ 2）、（ 3）及（ 4）三项含有不同频
率的两个分量的乘积，其积分结果为零；第（ 1）
项的积分结果为 U0I0；第（ 5）项的积分结果为
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11
c o sc o s
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210
1 1
000 c o s
PPP
PPIUIUP
k k
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可见，非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒
定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和。
为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电
流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等
效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，
等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，
用等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率
必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可
以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应
由下式确定：
UI
P??c os
式中 P是非正弦周期电流电路的平均功率,U和
I是非正弦周期电压和电流的有效值。
铁心线圈是一种非线性元件，因此加上正弦电压
Vt314s in311u ?
后，其中 电流
A)1 0 5_t9 4 2s i n (25.0
)85t3 1 4s i n (8.0i
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不是正弦量 。试求 等效正弦电流 。
例题
解 由公式可知，等效正弦电流的有效值为
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2
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2
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平均功率为
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2
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311c o sIUP
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正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为
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593.0
2
311
8.10
c o sa r c
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P
c o sa r c
§ 5-1,非正弦周期量的分解
§ 5-2,非正弦周期量的有效值
§ 5-3,非正弦周期电流的线性电路
§ 5-4,非正弦周期电流的平均功率
非正弦周期电路
? 非正弦电流的普遍性和特殊性
工程中常有一些 非正弦 信号。如计算机中的脉冲
信号；测量技术中将非电电量转换成的电信号；
由语言、音乐、图象转换成的电信号；许多电子
仪器在工作时所需的控制信号等等。
既然是非正弦的电学量，就不能用正弦交流电的
相量分析方法 进行讨论分析，这里讨论对非正弦
电流量的分析方法。它是非正弦量的一种特例。
对非正弦的电学量分析的理论依据，仍然是受电
路 约束方程 制约的，所用的数学工具是 傅立叶级
数,分析方法基本属于频域分析范畴。
§ 5-1,非正弦周期量的分解
? 如图，当一个直流电源和一
个正弦电源串联时，可以得
到电路的总电动势为
当电路中接入一电阻 R时，电
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显然，电路中的电流并 不是正
弦量 。
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非正弦周期量 的分解
? 根据数学中傅立叶级数理论，任何满足 狄里赫
利条件 的周期函数都可以展开成三角级数。如
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傅立叶级数的系数
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傅立叶展开对周期性电流量的分解
? 如果一个电流量具有周期 T (=2?/?)，就可以根
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A1msin(?t+?1)、二次谐波
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这样，我们可以根据已学过的理论对级数各项进
行讨论。对直流量用直流电路理论；对正弦量用
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? (1)全波电压整流波形的傅立叶展开式为例
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§ 5-2,非正弦周期量的有效值
? 由第三章得出的有效值公式
不仅适用于正弦量，也适用于非正弦的周期量。
若某非正弦的周期电流已分解成傅立叶级数
则其有效值为
? 上式根号中的积分式可以分解为四项：
(1)
(2)
(3)
(4)
由此，可得到有效值为
其中，
同理，非正弦周期电压的有效值为
I1,I2分别为基波、二次谐波等的有效值，它们
本身都是正弦波。可见各有效值等于其相应幅
值的 。
例 一全波可控整流电路，控制角为 ?，正弦部分的幅值为 Im=310V，
求其电流的平均值和有效值。
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解,由题意，知相角 0~?之间电流值为零,?~?之间电
流值为正弦量 Imsin?t。
则电流的平均值为
电流的有效值为
5-3非正弦周期电流的线性电路的计算
电路如图所示，已知 u 为非正弦周期
电压（或电流 i），如何求解电路中各
电流电压呢？
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解决这个问题的方法是借
助于傅立叶级数。
因为非正弦周期电压可分解为下
列形式：
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那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同
频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的
情况一样。电路如图所示。
图中：
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)2s in ( 222 ?? ?? tUu m
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这样的电源接在线性电路
中所引起的电流及电压，就可
以用叠加原理来计算。
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非正弦周期电流的线性电路的解题步骤：
（ 1）将非正弦周期电源电压分解成傅立叶级数，看
作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。
（ 2）利用叠加原理计算电压的恒定分量和各次正弦
谐波分量单独存在时所产生的电流分量。
（ 3）将所得的电流分量叠加起来，即为所需的结果。
注意：感抗和容抗的变化。
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§ 5-4非正弦周期电流电路中的平均功率
计算非正弦周期电流电路中的平均功率和在正
弦交流电路中一样，也可应用下式：
? ??? T T u i d tTp d tTP 0 011
设非正弦周期电压和电流如下：
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则可得下列五项：
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其中，第（ 2）、（ 3）及（ 4）三项含有不同频
率的两个分量的乘积，其积分结果为零；第（ 1）
项的积分结果为 U0I0；第（ 5）项的积分结果为
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定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和。
为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电
流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等
效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，
等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，
用等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率
必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可
以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应
由下式确定：
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式中 P是非正弦周期电流电路的平均功率,U和
I是非正弦周期电压和电流的有效值。
铁心线圈是一种非线性元件，因此加上正弦电压
Vt314s in311u ?
后，其中 电流
A)1 0 5_t9 4 2s i n (25.0
)85t3 1 4s i n (8.0i
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不是正弦量 。试求 等效正弦电流 。
例题
解 由公式可知，等效正弦电流的有效值为
A5 93.0)
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平均功率为
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正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为
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