§ 3-8.阻抗的 串联与并联
一、阻抗的串联
?U
?I Z1
Z2
1U
?
2U
?
ZI
ZZI
ZIZI
UUU
?
?
??
???
?
??
??
??
)(
21
21
21
21 ZZZ ??
?U
?I
Z
注意：分压公式的使用
??
?
? U
ZZ
ZU
21
1
1
??
?
? U
ZZ
ZU
21
22
阻抗的串并联
二、阻抗的并联
注意分流公式的使用,
Y=Y1+Y2
21
21
21 Z//Z
ZZ
ZZZ ?
?
?
??
?
? I
ZZ
ZI
21
2
1
Z1 Z2
+
-
?U
?I
1I
? 2I
?
Z
+
-
?I
?U
Y称为复数导纳
例
求图示电路的复数阻抗 Zab
100uF
1Ω 10-4H 1Ω
ω=104rad/s
a
bXL=ωL=10
-4× 104=1Ω
XC=1 /ωC=1 /10-4× 104=1Ω
解：
阻抗的串并联
?j
j
jZ
cd 2
1
2
1
1
??
?
??
??? j1Z ac
1Ω 1Ω
a
b
j1Ω
-j1Ω
c
d
cdacab ZZZ ??
?j5.05.1 ??
例：已知 R1=3Ω R2=8Ω
XL=4Ω XC=6Ω
伏t3 1 4s in22 2 0u ?
求：（ 1） i, i1, i2
（ 2） P （ 3）画出相量图
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
解,（ 1）
?oL jjXRZ 53/54311 ??????
?oC jjXRZ 37/106822 ???????
A53/44
53/5
2 2 0
Z
U
I oo
1
1 ?????
?
?
例题分析
A37/22
37/10
2 2 0
Z
U
I oo
2
2 ?
?
???
?
?
A5.26/2.49III o21 ????? ???
I 也可以这样求：
A5.26/2.49
5.26/47.4
2 2 0
Z
U
I oo ?????
?
?
21
21
ZZ
ZZZ
?
?
?o5.26/47.4?
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
例题分析
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
A37/22I o2 ??
A5.26/2.49I o???
A53/44I o1 ????
A)53t314s i n (244i o1 ??
A)37t3 1 4s i n (222i o2 ??
A)5.26t314s i n (22.49i o??
例题分析
（ 2）计算功率 P（三种方法）
① P=UIcos?
=220× 49.2cos26.5o
=9680W
② P=I12R1+ I22R2
=442× 3+ 222× 8
=9680W
③ P=UI1cos53o+UI2cos（ -37o）
=9680W
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
例题分析
（ 3）相量图
A37/22I o2 ?? A5.26/2.49I o???
A53/44I o1 ???V0/2 2 0U o??
?U
1I
?
2I
?
?I
§ 3-9 复杂交流电路的分析计算
与第二章所讨论复杂直流电路一样，复杂交流电
路也要应用第二章所介绍的方法进行分析计算。
所不同的是：电压和电流应以 相量 来 表示 ；电路
中的 R,L,C要用相应的 复数阻抗 或复数导纳来
表示。由此,等效法及叠加法等方法都适用 。
分析复杂交流电路的基
本依据仍然是欧姆定律
及克希荷夫定律，但须
用其 相量形式 。 0)( ???
?
I
0)( ?? ?
?
U
??
? IZU
以下结合例题来分析复
杂交流电路。
交流电路的解题步骤：
? 先将电路中的电压、电流等用相量表示
? 将电路中的各元件用复数阻抗表示
? 利用第二章所学的各种方法进行求解
例题：已知
.45Z;30Z
30jZZ;A90/4I
2
31
o
S
??
?
??
????
?
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
求 ?I
分析,
? 如果该电路是一
个直流电路应如
何求解呢？
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
? 在此，求解电流的方法
和直流电路相同。
（ a）求开路电压
解,① 应用戴维南定理 OCU?
SI
?
Z1
Z2
Z3
VIZZU oSOC 45/85.84// 21 ??? ??
?4515// 2130 jZZZZ ????
（ b）求等效内阻
（ c）画等效电路 +
- OCU
?
0Z
Z
?I
（ d）求电流
A82/13.1
ZZ
U
I o
0
OC ?
?
?
?
?
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
② 用分流公式
求解
2112 // ZZZ ?
A82/13.1I
ZZZ
ZI o
S
312
12 ?
??
?
??
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
?I
SI
?
Z12
Z3
Z ?ISU?
Z12
Z3
Z
+
-
③ 电源等效变换法求解
+
- SU
?
123Z
Z
?I
AI o82/13.1??
例
题
电路如图所示，已知 R=R1=R2=10Ω，
L=31.8mH,C=318μF,f=50Hz,U=10V，
试求（ 1）并联支路端电压 Uab；
（ 2）求 P,Q,S及 COS?
+
-
u
R R
2 R1
C L
+
-
uab
XL=2πfL
=10Ω
解：
?
?
10
2
1 ??
fC
X C
Z1=10＋ j10Ω Z2=10－ j10Ω
+
-
R +
-
?U abU
?Z
1Z2
21
21
12 ZZ
ZZZ
?
?
10101010
)1010)(1010(
jj
jj
???
???
?10?
?????? 201010RZZ 12
A5.0
20
10
Z
U
I ???
?
?
??
?
? U
RZ
ZU
ab
12
12
V510
1010
10 ??
?
?
Ｐ＝Ｕ Icos?=10× 0.5 × 1=5W
S＝Ｕ I=10× 0.5 =5VA
Q＝Ｕ Isin ? =10× 0.5 × 0 =0var
+
-
R R2 R1 +
-
?U abU
?jX
L-jXC
平均功率：
视在功率：
无功功率：
§ 3-10,交流电路的频率特性
? 前面交流电路所讨论的电压和电流都是以时间
为自变量的 ——这种方法称为 时域分析 方法。
? 本节讨论以频率为自变量的交流电路在电源激
励作用下的响应规律 ——即 频域分析 方法。
本节讨论 RC串联 及 谐振电路 的 频率特性。
频域分析法 是在假设电压 (激励 )的幅度不变
的情况下，电路的响应与电压频率之间的关
系。即讨论电路的 频率特性 或 频率响应 。
一, RC串联电路的频率特性
1,低通滤波电路
C
R
RU
?1?U 2?U
?I
如图为 RC串联电路,是
输入电压,是输出电压，
现在讨论它们的数值之比
和它们的相位差与频率的
关系。即
1
?U
2
?U
)(,)(
1
2 ???? ?? T
U
U
由电路理论，电容两端的输出电压为
RCj
U
CjR
U
Cj
IU
??? ?
?
?
??
??
??
11
1 11
2
定义输出电压与输入电压的比值为电路 传
递函数, 用 T( j?)表示, 即
RCjU
U
jT
?
?
?
?? ?
?
1
1
)(
1
2
)(/
)(1
1
2
RCa r c t g
RC
?
?
?
?
?
)(/)( ???T?
21
2
)(1
1)(
RCU
UT
?
?
?
?? )()( RCa r c t g ??? ??
其中
分别称为 幅频特性 和 相频特性,表示相对输出电
压的数值与频率 ?的关系及输出对输入电压相位差
?与频率 ?的关系。
由串联电路可知,
根据前两式
C
R
RU
?
1
?U
2
?U
?I
RU
?
CU
? 与
在相位上一定是正交的，
当 不变时，三者的电压
三角形为一固定的半圆周。
1
?U
1
?U
RU
?
2
?? ? UU
C
?I
?
?
2)(1
1)(
RC
T
?
?
?
?
)()( RCa r c t g ??? ??
及相量图，可知
? = 0 时,T(?) =1,?(?) =0
? = ? 时,T(?) =0,?(?) = –?/2
特别, 当 ?=?0=1/ RC 时,
? 即当 输出电压 下降到输入电压的 70.7% 时，两
者的 相位差 为 –?/4。
707.0
2
1)( ???T
4)(
??? ??及
为使输出电压不下降过多，工程上规定 ?0为最
下限，称为截止角频率。
? 0 ?0 ?
T(?) 1 0.707 0
?(?) 0 4?? 2??
T(?)
?(?) ?0
?
?
当 ?<?0 时,T(? )变化不大，
接近于 1 ；
当 ?>?0 时,T(? )明显下降。
此电路具有易于通过低频信
号而抑制高频信号的作用，
常称之为 低通滤波器 。
2,高通滤波器
C
R
RU
?
1
?U
2
?U
?I
低 通 滤 波 器
C
RCU?1?U 2?U
?I
高通滤波器
R
Cj
R
U
RIU ?
?
??
?
??
?
1
1
2
RCj
RCj
U ?
?
?
?
?
?
1
1
由此得 传递函数 为
其中
C
RCU?1?U 2?U
?I
高通滤波器
RCj
RCj
U
U
jT
?
?
?
?
?? ?
?
1
)(
1
2
)(
2)(1 2
RCa r c t g
RC
RC ??
?
? ??
?
?
?
?
??
21
2
)(1
)(
RC
RC
U
UT
?
??
)(2)( CRa r c t g ???? ??
T(?)
?(?)
? ?00 ?
0
2
?
4
? 0
10.707
高通滤波器的频率特性
C
RCU?1?U 2?U
?I
T(?)
?(?)
? ?00 ?
0
2
?
4
? 0
10.707
T(?)
?(?)
?0
?
?
0
0
? /2
1
? /4
?0
?0 =1/RC 称为高通滤波
器的截止频率。
在相位上,越前于 。2?U 1?U
? 如图为某振荡器的部分电路。
试证明当 f = f0 =1/ (2?RC)时，
输入电压与输出电压同相，
且幅频特性的数值为 1/3。
例例
R
C
R
C
1
?U 2
?U
?I
证明 （ 1） RC串联的复阻抗
RCj
RCj
CjRZ ?
?
?
???? 11
3
RC并联的复阻抗
RCj
R
Cj
R
Cj
R
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
11
1
2
输出电压为
1
32
12
22
1
1
1 ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?? U
RCj
R
Cj
RCj
RCj
R
ZZ
UZ
ZIU
??
?
?
12)1(
?
??
? U
RCjRCj
RCj
??
?
)
1
(3
1
RC
RCj
U
?
? ??
?
?
欲使输入、输出电压同相，
上式虚部必须为零
RCRC ??
1? 或 f = f0
RC?2
1?
此时，
3
1
1
2 ?
U
U
二, 串联谐振
? 在具有电感和电容元件的电路中，电路两端的
电压与其中的电流一般是相位不同的。如果调
节电路的参数或调节电源的频率而使两者相位
相同，电路中就会发生谐振现象。
? 谐振可分为串联谐振和并联谐振两种情况。
在 R,L,C元件的串联电路中，
当 或
CL XX ? fCfL ?? 212 ?
则
0??? R XXa r c t g CL?
即电压 u 与电流 i 同相，这
时电路发生了串联谐振。
R
L
C
u
i
发生串联谐振时, 电源的频率与
电路 f 的固有频率 f0 相同, 有
可见，调节电路的参数 L,C 或
f 都可能使电路发生谐振。 电
路的串联谐振具有以下特征 。
LCff ?2
1
0 ??
(1) 电路的阻抗为最小值。
RXXRZ CL ???? 22 )(
且电路的电流为最大值。
RUII ?? 0
?L
R
f
C?
1
Z
ff0
f0
I0
I
?IRUU
?? ?
LU
?
CU
?
(2) 谐振电路呈现电阻性 。 电源供给电路的能
量全部被电阻所消耗, 电源不与电路进行能量
互换, 能量的互换只发生在电感线圈和电容器
之间 。
(3) 由于 XL= XC,于是 UL= UC 。而 与 在相
位上相反，互相抵消，对整个电路不起作用。
因此电源电压 U = UR,且相位也相同。
? U
L
? U
C
但是,UL和 UC 的单独作用不可忽视，因为
LLL XR
UXIU ??
CCC XR
UXIU ??及
当 RXX
CL ??
时, UL和 UC 都高于 U。
在串联谐振时, 电容及电感的端电压可能比电源
电压高出许多倍, 亦称之为电压谐振 。 此时电容
器容易击穿, 需考虑其安全性 。
?谐振电路的品质因数
串联电路谐振时，电容或电感端电压与电源电
压的比值称为电路的品质因数，用 Q表示
R
L
CRU
U
U
UQ CL 0
0
1 ??
????
?串联 谐振的应用
串联谐振在无线电工程中应用广泛，利用谐振
的选择性对所需频率的信号进行选择和放大。
而对其它不需要的频率加以抑制。
谐振选频的说明：
收音机的调谐接收电路
L1 L C
L C
e3
e1
e2
f3
f1
f2
等效电路
0.707I0
I
0 f
1 f2 f3 f
I0
I
0 f
1 f2 f3 f
Q大
Q小
无线电信号经天线接受，由 L1耦合
到 L上。 LC经谐振选择使某个电波
信号与谐振频率 f0相同进行选择。
当谐振曲线比较尖锐 (Q大 )时，被选择信号比其
相邻的信号相对大得多；而 Q小则选择性差。
? 某收音机的接受电路，线圈的电感 L=0.3
mH，电阻 R=16?。现欲接收 640kHz的电台
广播，应将电容调到多大？若使调谐电路产
生 2?V的电压，求感应电流的大小。
例
L1 L C
解 根据 LCf ?? 2
1
可得
C3
3
103.02
1106 4 0
?????
得 pFC 204?
此时 AR
UI ????? ? 13.0
16
102 6
得 ????? 1 20 02 fLXX LC
VXIUU LLC ???? 1 56
二, 并联谐振
电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为
R
L
C
u
i
iCi1
LCRCj
LjR
LjR
Cj
LjR
Cj
Z
21
)(
1
)(
1
????
??
?
???
?
??
?
?
通常要求电阻很小，谐振时一般有 ?L>>R，则上式为
)1(
1
1 2
L
Cj
L
RCLCRCj
LjZ
?
???
?
????
??
上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为
LCLC
101
0
0
0 ?????? 或
即 LCff ??? 2
1
0与串联谐振频率近似相等。
并联谐振的特征
(1) 由阻抗公式
)1(
1
1 2
L
Cj
L
RCLCRCj
LjZ
?
???
?
????
??
谐振时电路的阻抗为
RC
L
L
RCZ ?? )(1
0 达到最大值，比非谐振时要大。
在电源电压一定的情况下，电路中的谐振电流有最小值。
即
0
0 )( Z
U
L
RCUII ???
(2) 电路的总电压与电流相位相同 (? = 0)，呈现电阻性。
(3)各并联支路电流为
Lf
U
LfR
UI
0202
1 2)2( ????? CfUI C
021 ?
?及
而 R
L
R
Lf
CfR
Lf
RC
LZ 2020
0
00 )()2(
)2(
2 ????
?
???
且当 RLf ??? 02 时，
R
L
R
Lf
CfLf
2
0
2
0
0
0
)()2(
2
12 ?????
???
于是，
01 III C ??? 因此,并联谐振也称电流谐振 。
IC或 I1与总电流 I0的比值为并联谐振电路的品质因
数 CRR LR LfIIQ
0
00
0
1 12
??
?????
(4) 电路谐振时阻抗最大，得到的谐振电压也最大；而在
非谐振时，则电路端电压较小。这种特性也具有选频作
用，且 Q越大选频作用越强。
§ 3-11 功率因数的提高
在直流电路中，功率仅与电流和电压的乘积
有关；即：
上式中的 cos ?是电路中的 功率因数 。其大
小决定于 电路（负载）的参数 。对纯阻负载功率
因数为 1。对其他负载来说，其功率因数均介于 0
和 1之间。
一、提高功率因数的意义
在交流电路中，功率不仅与电流和电压的乘积
有关，而且还与电压与电流之间的相位差 ?有关；
即：
P=UI
P=UIcos ?
当电压与电流之间的相位差不为 0时，即功率因数
不等于 1时，电路与电源之间就会发生 能量互换,出现
无功功率 Q=UIsin?。这样就引起了下面两个问题：
1、发电设备的容量不能充分利用
P=UNINcos ?
例如：一台容量为 1000VA（视在功率）的发电机，如果
cos ?=1，则能发出 1000W的有功功率。
如果接上电容 C后 cos ?=0.6，则只能接 100W的白炽灯 6盏
D
100W
10盏100V
10A
6盏
2、增加线路和发电机绕组的功率损耗
当发电机的电压Ｕ和输出的功率Ｐ一定时，
电流Ｉ与功率因数成反比，而线路和发电机绕组
上的功率损耗△ P则与功率因数的平方成反比，
即：
?
?
22
2
2
c os
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?? r
U
P
rIP
式中的ｒ是发电机绕组和线路的电阻。
由上述可知，提高电网的功率因数对国民经济
的发展有着极为重要的意义。功率因数的提高，能
使发电设备的容量得到充分利用，同时也能使电能
得到大量节约。也就是说，在同样的发电设备的条
件下能够多发电。
功率因数不高的根本原因是由于电感性负载
的存在，电源与负载之间存在能量互换。要提高
功率因数就要减少电源与负载之间的能量互换。
这就是我们下面要讨论的主要内容。
二、功率因数提高的方法
提高功率因数需减少电源与负载之间的能量互
换。对于电感性负载，常要接入电容，其方法有二：
1、将电容与负载串联
该方法能有效地提高功率因数，但是电容的接
入破坏了电路中原有负载的工作状态，使原有负载
不能正常工作。为此，该方法虽说能提高功率因数，
但实际当中不能用。
2,将电容与负载并联
并联电容后的总电流要减小。 u
i
R
L
i1
?并联电容后有功功率未变。
如果负载的原有功率因数为 cos?1，提高后
的 功率因数为 cos?，问应并联多大的 C？
下面就讨论这个问题。
C
iC
?U
1I
?
CI
?
?I
? ???
?
?
?
?
??
tgtg
U
P
U
P
U
P
III
C
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
11
s i n
c os
s i n
c os
s i ns i n
CU
X
UI
C
C ???又因：
? ?????? tgtgUPCU 1所以：
? ????
?? tgtgU
PC
12由此得：
P
Qa r c t g
R
Xa r c t g LL
1 ???
P
QQa r c t g
R
Xa r c t g CL ????
2
C2
C
2
C U
QC;CU
X
UQ
?
????
u
i
R
L
i1 C
iC
?U
1I
?
CI
?
?I
例题：有一电感性负载，其功率 P=10KW，功
率因数 cos?1=0.6，接在 U=220V的电源上，电
源频率为 50HZ。如要将功率因数提高到
cos?1=0.95，应并联多大的电容？电容并联前
后的线路电流是多大？
? ?????? tgtgUPC 12?
? ? F65618tg53tg220502 1 0 0 0 0C oo2 ????????
cos?1=0.6，即 ?1=53o cos?=0.95，即 ?=18o
并联前电流
A
U
P
I
UIP
6.75
6.0220
10000
c os
c os
1
1
11
?
?
???
?
?
??
并联后电流
A
U
P
I
UIP
8.47
95.02 2 0
1 0 0 0 0
c o s
c o s
?
?
???
?
?
??
( v a r )1327053tg10000P t gQ o1L ?????
cos?1=0.6，即 ?1=53o cos?=0.95，即 ?=18o
( v a r )3 2 4 918tg1 0 0 0 0P t gQQ oCL ??????
2
C2
C
2
C U
QC;CU
X
UQ
?
????
( v a r )10021324913270Q C ???
F
U
QC C ?
??
659
220502
10021
22 ?????
返 回
一、阻抗的串联
?U
?I Z1
Z2
1U
?
2U
?
ZI
ZZI
ZIZI
UUU
?
?
??
???
?
??
??
??
)(
21
21
21
21 ZZZ ??
?U
?I
Z
注意：分压公式的使用
??
?
? U
ZZ
ZU
21
1
1
??
?
? U
ZZ
ZU
21
22
阻抗的串并联
二、阻抗的并联
注意分流公式的使用,
Y=Y1+Y2
21
21
21 Z//Z
ZZ
ZZZ ?
?
?
??
?
? I
ZZ
ZI
21
2
1
Z1 Z2
+
-
?U
?I
1I
? 2I
?
Z
+
-
?I
?U
Y称为复数导纳
例
求图示电路的复数阻抗 Zab
100uF
1Ω 10-4H 1Ω
ω=104rad/s
a
bXL=ωL=10
-4× 104=1Ω
XC=1 /ωC=1 /10-4× 104=1Ω
解：
阻抗的串并联
?j
j
jZ
cd 2
1
2
1
1
??
?
??
??? j1Z ac
1Ω 1Ω
a
b
j1Ω
-j1Ω
c
d
cdacab ZZZ ??
?j5.05.1 ??
例：已知 R1=3Ω R2=8Ω
XL=4Ω XC=6Ω
伏t3 1 4s in22 2 0u ?
求：（ 1） i, i1, i2
（ 2） P （ 3）画出相量图
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
解,（ 1）
?oL jjXRZ 53/54311 ??????
?oC jjXRZ 37/106822 ???????
A53/44
53/5
2 2 0
Z
U
I oo
1
1 ?????
?
?
例题分析
A37/22
37/10
2 2 0
Z
U
I oo
2
2 ?
?
???
?
?
A5.26/2.49III o21 ????? ???
I 也可以这样求：
A5.26/2.49
5.26/47.4
2 2 0
Z
U
I oo ?????
?
?
21
21
ZZ
ZZZ
?
?
?o5.26/47.4?
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
例题分析
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
A37/22I o2 ??
A5.26/2.49I o???
A53/44I o1 ????
A)53t314s i n (244i o1 ??
A)37t3 1 4s i n (222i o2 ??
A)5.26t314s i n (22.49i o??
例题分析
（ 2）计算功率 P（三种方法）
① P=UIcos?
=220× 49.2cos26.5o
=9680W
② P=I12R1+ I22R2
=442× 3+ 222× 8
=9680W
③ P=UI1cos53o+UI2cos（ -37o）
=9680W
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
例题分析
（ 3）相量图
A37/22I o2 ?? A5.26/2.49I o???
A53/44I o1 ???V0/2 2 0U o??
?U
1I
?
2I
?
?I
§ 3-9 复杂交流电路的分析计算
与第二章所讨论复杂直流电路一样，复杂交流电
路也要应用第二章所介绍的方法进行分析计算。
所不同的是：电压和电流应以 相量 来 表示 ；电路
中的 R,L,C要用相应的 复数阻抗 或复数导纳来
表示。由此,等效法及叠加法等方法都适用 。
分析复杂交流电路的基
本依据仍然是欧姆定律
及克希荷夫定律，但须
用其 相量形式 。 0)( ???
?
I
0)( ?? ?
?
U
??
? IZU
以下结合例题来分析复
杂交流电路。
交流电路的解题步骤：
? 先将电路中的电压、电流等用相量表示
? 将电路中的各元件用复数阻抗表示
? 利用第二章所学的各种方法进行求解
例题：已知
.45Z;30Z
30jZZ;A90/4I
2
31
o
S
??
?
??
????
?
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
求 ?I
分析,
? 如果该电路是一
个直流电路应如
何求解呢？
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
? 在此，求解电流的方法
和直流电路相同。
（ a）求开路电压
解,① 应用戴维南定理 OCU?
SI
?
Z1
Z2
Z3
VIZZU oSOC 45/85.84// 21 ??? ??
?4515// 2130 jZZZZ ????
（ b）求等效内阻
（ c）画等效电路 +
- OCU
?
0Z
Z
?I
（ d）求电流
A82/13.1
ZZ
U
I o
0
OC ?
?
?
?
?
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
② 用分流公式
求解
2112 // ZZZ ?
A82/13.1I
ZZZ
ZI o
S
312
12 ?
??
?
??
?I
SI
?
Z1 Z2
Z3
Z
?I
SI
?
Z12
Z3
Z ?ISU?
Z12
Z3
Z
+
-
③ 电源等效变换法求解
+
- SU
?
123Z
Z
?I
AI o82/13.1??
例
题
电路如图所示，已知 R=R1=R2=10Ω，
L=31.8mH,C=318μF,f=50Hz,U=10V，
试求（ 1）并联支路端电压 Uab；
（ 2）求 P,Q,S及 COS?
+
-
u
R R
2 R1
C L
+
-
uab
XL=2πfL
=10Ω
解：
?
?
10
2
1 ??
fC
X C
Z1=10＋ j10Ω Z2=10－ j10Ω
+
-
R +
-
?U abU
?Z
1Z2
21
21
12 ZZ
ZZZ
?
?
10101010
)1010)(1010(
jj
jj
???
???
?10?
?????? 201010RZZ 12
A5.0
20
10
Z
U
I ???
?
?
??
?
? U
RZ
ZU
ab
12
12
V510
1010
10 ??
?
?
Ｐ＝Ｕ Icos?=10× 0.5 × 1=5W
S＝Ｕ I=10× 0.5 =5VA
Q＝Ｕ Isin ? =10× 0.5 × 0 =0var
+
-
R R2 R1 +
-
?U abU
?jX
L-jXC
平均功率：
视在功率：
无功功率：
§ 3-10,交流电路的频率特性
? 前面交流电路所讨论的电压和电流都是以时间
为自变量的 ——这种方法称为 时域分析 方法。
? 本节讨论以频率为自变量的交流电路在电源激
励作用下的响应规律 ——即 频域分析 方法。
本节讨论 RC串联 及 谐振电路 的 频率特性。
频域分析法 是在假设电压 (激励 )的幅度不变
的情况下，电路的响应与电压频率之间的关
系。即讨论电路的 频率特性 或 频率响应 。
一, RC串联电路的频率特性
1,低通滤波电路
C
R
RU
?1?U 2?U
?I
如图为 RC串联电路,是
输入电压,是输出电压，
现在讨论它们的数值之比
和它们的相位差与频率的
关系。即
1
?U
2
?U
)(,)(
1
2 ???? ?? T
U
U
由电路理论，电容两端的输出电压为
RCj
U
CjR
U
Cj
IU
??? ?
?
?
??
??
??
11
1 11
2
定义输出电压与输入电压的比值为电路 传
递函数, 用 T( j?)表示, 即
RCjU
U
jT
?
?
?
?? ?
?
1
1
)(
1
2
)(/
)(1
1
2
RCa r c t g
RC
?
?
?
?
?
)(/)( ???T?
21
2
)(1
1)(
RCU
UT
?
?
?
?? )()( RCa r c t g ??? ??
其中
分别称为 幅频特性 和 相频特性,表示相对输出电
压的数值与频率 ?的关系及输出对输入电压相位差
?与频率 ?的关系。
由串联电路可知,
根据前两式
C
R
RU
?
1
?U
2
?U
?I
RU
?
CU
? 与
在相位上一定是正交的，
当 不变时，三者的电压
三角形为一固定的半圆周。
1
?U
1
?U
RU
?
2
?? ? UU
C
?I
?
?
2)(1
1)(
RC
T
?
?
?
?
)()( RCa r c t g ??? ??
及相量图，可知
? = 0 时,T(?) =1,?(?) =0
? = ? 时,T(?) =0,?(?) = –?/2
特别, 当 ?=?0=1/ RC 时,
? 即当 输出电压 下降到输入电压的 70.7% 时，两
者的 相位差 为 –?/4。
707.0
2
1)( ???T
4)(
??? ??及
为使输出电压不下降过多，工程上规定 ?0为最
下限，称为截止角频率。
? 0 ?0 ?
T(?) 1 0.707 0
?(?) 0 4?? 2??
T(?)
?(?) ?0
?
?
当 ?<?0 时,T(? )变化不大，
接近于 1 ；
当 ?>?0 时,T(? )明显下降。
此电路具有易于通过低频信
号而抑制高频信号的作用，
常称之为 低通滤波器 。
2,高通滤波器
C
R
RU
?
1
?U
2
?U
?I
低 通 滤 波 器
C
RCU?1?U 2?U
?I
高通滤波器
R
Cj
R
U
RIU ?
?
??
?
??
?
1
1
2
RCj
RCj
U ?
?
?
?
?
?
1
1
由此得 传递函数 为
其中
C
RCU?1?U 2?U
?I
高通滤波器
RCj
RCj
U
U
jT
?
?
?
?
?? ?
?
1
)(
1
2
)(
2)(1 2
RCa r c t g
RC
RC ??
?
? ??
?
?
?
?
??
21
2
)(1
)(
RC
RC
U
UT
?
??
)(2)( CRa r c t g ???? ??
T(?)
?(?)
? ?00 ?
0
2
?
4
? 0
10.707
高通滤波器的频率特性
C
RCU?1?U 2?U
?I
T(?)
?(?)
? ?00 ?
0
2
?
4
? 0
10.707
T(?)
?(?)
?0
?
?
0
0
? /2
1
? /4
?0
?0 =1/RC 称为高通滤波
器的截止频率。
在相位上,越前于 。2?U 1?U
? 如图为某振荡器的部分电路。
试证明当 f = f0 =1/ (2?RC)时，
输入电压与输出电压同相，
且幅频特性的数值为 1/3。
例例
R
C
R
C
1
?U 2
?U
?I
证明 （ 1） RC串联的复阻抗
RCj
RCj
CjRZ ?
?
?
???? 11
3
RC并联的复阻抗
RCj
R
Cj
R
Cj
R
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
11
1
2
输出电压为
1
32
12
22
1
1
1 ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?? U
RCj
R
Cj
RCj
RCj
R
ZZ
UZ
ZIU
??
?
?
12)1(
?
??
? U
RCjRCj
RCj
??
?
)
1
(3
1
RC
RCj
U
?
? ??
?
?
欲使输入、输出电压同相，
上式虚部必须为零
RCRC ??
1? 或 f = f0
RC?2
1?
此时，
3
1
1
2 ?
U
U
二, 串联谐振
? 在具有电感和电容元件的电路中，电路两端的
电压与其中的电流一般是相位不同的。如果调
节电路的参数或调节电源的频率而使两者相位
相同，电路中就会发生谐振现象。
? 谐振可分为串联谐振和并联谐振两种情况。
在 R,L,C元件的串联电路中，
当 或
CL XX ? fCfL ?? 212 ?
则
0??? R XXa r c t g CL?
即电压 u 与电流 i 同相，这
时电路发生了串联谐振。
R
L
C
u
i
发生串联谐振时, 电源的频率与
电路 f 的固有频率 f0 相同, 有
可见，调节电路的参数 L,C 或
f 都可能使电路发生谐振。 电
路的串联谐振具有以下特征 。
LCff ?2
1
0 ??
(1) 电路的阻抗为最小值。
RXXRZ CL ???? 22 )(
且电路的电流为最大值。
RUII ?? 0
?L
R
f
C?
1
Z
ff0
f0
I0
I
?IRUU
?? ?
LU
?
CU
?
(2) 谐振电路呈现电阻性 。 电源供给电路的能
量全部被电阻所消耗, 电源不与电路进行能量
互换, 能量的互换只发生在电感线圈和电容器
之间 。
(3) 由于 XL= XC,于是 UL= UC 。而 与 在相
位上相反，互相抵消，对整个电路不起作用。
因此电源电压 U = UR,且相位也相同。
? U
L
? U
C
但是,UL和 UC 的单独作用不可忽视，因为
LLL XR
UXIU ??
CCC XR
UXIU ??及
当 RXX
CL ??
时, UL和 UC 都高于 U。
在串联谐振时, 电容及电感的端电压可能比电源
电压高出许多倍, 亦称之为电压谐振 。 此时电容
器容易击穿, 需考虑其安全性 。
?谐振电路的品质因数
串联电路谐振时，电容或电感端电压与电源电
压的比值称为电路的品质因数，用 Q表示
R
L
CRU
U
U
UQ CL 0
0
1 ??
????
?串联 谐振的应用
串联谐振在无线电工程中应用广泛，利用谐振
的选择性对所需频率的信号进行选择和放大。
而对其它不需要的频率加以抑制。
谐振选频的说明：
收音机的调谐接收电路
L1 L C
L C
e3
e1
e2
f3
f1
f2
等效电路
0.707I0
I
0 f
1 f2 f3 f
I0
I
0 f
1 f2 f3 f
Q大
Q小
无线电信号经天线接受，由 L1耦合
到 L上。 LC经谐振选择使某个电波
信号与谐振频率 f0相同进行选择。
当谐振曲线比较尖锐 (Q大 )时，被选择信号比其
相邻的信号相对大得多；而 Q小则选择性差。
? 某收音机的接受电路，线圈的电感 L=0.3
mH，电阻 R=16?。现欲接收 640kHz的电台
广播，应将电容调到多大？若使调谐电路产
生 2?V的电压，求感应电流的大小。
例
L1 L C
解 根据 LCf ?? 2
1
可得
C3
3
103.02
1106 4 0
?????
得 pFC 204?
此时 AR
UI ????? ? 13.0
16
102 6
得 ????? 1 20 02 fLXX LC
VXIUU LLC ???? 1 56
二, 并联谐振
电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为
R
L
C
u
i
iCi1
LCRCj
LjR
LjR
Cj
LjR
Cj
Z
21
)(
1
)(
1
????
??
?
???
?
??
?
?
通常要求电阻很小，谐振时一般有 ?L>>R，则上式为
)1(
1
1 2
L
Cj
L
RCLCRCj
LjZ
?
???
?
????
??
上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为
LCLC
101
0
0
0 ?????? 或
即 LCff ??? 2
1
0与串联谐振频率近似相等。
并联谐振的特征
(1) 由阻抗公式
)1(
1
1 2
L
Cj
L
RCLCRCj
LjZ
?
???
?
????
??
谐振时电路的阻抗为
RC
L
L
RCZ ?? )(1
0 达到最大值，比非谐振时要大。
在电源电压一定的情况下，电路中的谐振电流有最小值。
即
0
0 )( Z
U
L
RCUII ???
(2) 电路的总电压与电流相位相同 (? = 0)，呈现电阻性。
(3)各并联支路电流为
Lf
U
LfR
UI
0202
1 2)2( ????? CfUI C
021 ?
?及
而 R
L
R
Lf
CfR
Lf
RC
LZ 2020
0
00 )()2(
)2(
2 ????
?
???
且当 RLf ??? 02 时，
R
L
R
Lf
CfLf
2
0
2
0
0
0
)()2(
2
12 ?????
???
于是，
01 III C ??? 因此,并联谐振也称电流谐振 。
IC或 I1与总电流 I0的比值为并联谐振电路的品质因
数 CRR LR LfIIQ
0
00
0
1 12
??
?????
(4) 电路谐振时阻抗最大，得到的谐振电压也最大；而在
非谐振时，则电路端电压较小。这种特性也具有选频作
用，且 Q越大选频作用越强。
§ 3-11 功率因数的提高
在直流电路中，功率仅与电流和电压的乘积
有关；即：
上式中的 cos ?是电路中的 功率因数 。其大
小决定于 电路（负载）的参数 。对纯阻负载功率
因数为 1。对其他负载来说，其功率因数均介于 0
和 1之间。
一、提高功率因数的意义
在交流电路中，功率不仅与电流和电压的乘积
有关，而且还与电压与电流之间的相位差 ?有关；
即：
P=UI
P=UIcos ?
当电压与电流之间的相位差不为 0时，即功率因数
不等于 1时，电路与电源之间就会发生 能量互换,出现
无功功率 Q=UIsin?。这样就引起了下面两个问题：
1、发电设备的容量不能充分利用
P=UNINcos ?
例如：一台容量为 1000VA（视在功率）的发电机，如果
cos ?=1，则能发出 1000W的有功功率。
如果接上电容 C后 cos ?=0.6，则只能接 100W的白炽灯 6盏
D
100W
10盏100V
10A
6盏
2、增加线路和发电机绕组的功率损耗
当发电机的电压Ｕ和输出的功率Ｐ一定时，
电流Ｉ与功率因数成反比，而线路和发电机绕组
上的功率损耗△ P则与功率因数的平方成反比，
即：
?
?
22
2
2
c os
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?? r
U
P
rIP
式中的ｒ是发电机绕组和线路的电阻。
由上述可知，提高电网的功率因数对国民经济
的发展有着极为重要的意义。功率因数的提高，能
使发电设备的容量得到充分利用，同时也能使电能
得到大量节约。也就是说，在同样的发电设备的条
件下能够多发电。
功率因数不高的根本原因是由于电感性负载
的存在，电源与负载之间存在能量互换。要提高
功率因数就要减少电源与负载之间的能量互换。
这就是我们下面要讨论的主要内容。
二、功率因数提高的方法
提高功率因数需减少电源与负载之间的能量互
换。对于电感性负载，常要接入电容，其方法有二：
1、将电容与负载串联
该方法能有效地提高功率因数，但是电容的接
入破坏了电路中原有负载的工作状态，使原有负载
不能正常工作。为此，该方法虽说能提高功率因数，
但实际当中不能用。
2,将电容与负载并联
并联电容后的总电流要减小。 u
i
R
L
i1
?并联电容后有功功率未变。
如果负载的原有功率因数为 cos?1，提高后
的 功率因数为 cos?，问应并联多大的 C？
下面就讨论这个问题。
C
iC
?U
1I
?
CI
?
?I
? ???
?
?
?
?
??
tgtg
U
P
U
P
U
P
III
C
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
11
s i n
c os
s i n
c os
s i ns i n
CU
X
UI
C
C ???又因：
? ?????? tgtgUPCU 1所以：
? ????
?? tgtgU
PC
12由此得：
P
Qa r c t g
R
Xa r c t g LL
1 ???
P
QQa r c t g
R
Xa r c t g CL ????
2
C2
C
2
C U
QC;CU
X
UQ
?
????
u
i
R
L
i1 C
iC
?U
1I
?
CI
?
?I
例题：有一电感性负载，其功率 P=10KW，功
率因数 cos?1=0.6，接在 U=220V的电源上，电
源频率为 50HZ。如要将功率因数提高到
cos?1=0.95，应并联多大的电容？电容并联前
后的线路电流是多大？
? ?????? tgtgUPC 12?
? ? F65618tg53tg220502 1 0 0 0 0C oo2 ????????
cos?1=0.6，即 ?1=53o cos?=0.95，即 ?=18o
并联前电流
A
U
P
I
UIP
6.75
6.0220
10000
c os
c os
1
1
11
?
?
???
?
?
??
并联后电流
A
U
P
I
UIP
8.47
95.02 2 0
1 0 0 0 0
c o s
c o s
?
?
???
?
?
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( v a r )1327053tg10000P t gQ o1L ?????
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