第三章 正弦交流电电路
当电路中的 激励 (电源 )为正弦量时, 电路中
各部分的 响应 (电压或电流 )也为正弦量, 这
样的电路就是正弦电路 。
交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生
器所输出号电压都是 随时间按正弦规律变化
的。因此，正弦电路是电工学中很重要的部
分。
本章即讨论有关正弦电路的一些 基本概念,
基本理论 和 基本分析方法 。
§ 3-1 正弦电压与电流
? 前两章所讨论的都
是直流电路，其中
的电流和电压的大
小和方向都是不随
时间变化的。
0
I,U
t
正弦电压和电流都
是按正弦规律周期
性随时间变化的，
其波形图可用正弦
曲线来表示：
0
i,u
t
+
_
正弦电压与电流
? 图中：,+”表示电流 (或电压 )为正值，称
为正半周，电流 (或电压 )的实际方向与参
考方向一致 ；,–”表示电流 (或电压 )为
负值，成称为负半周，实际方向与参考
方向相反。
0
i,u
t
+
_ u
i
R
正半周
u
i
R
负半周
? 正弦电压和正弦电流等物理量，统称为正弦量。
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初值
三个方面，它们分别由频率 (或周期 )、幅值 (或
有效值 )和初相位来确定。
Tf
1?
正弦电压与电流
所以称频率、幅值和初相位为正弦量的三要素。
一, 频率与周期
正弦量变化一次所需的时间 (秒 )称为周期 T。每
秒钟时间内变化的次数称为频率 f 。
频率是周期的倒数，即
工程中常用的一些频率范围：
? 我国电力的标准频率为 50Hz； 国际上多采用此
标准，但美、日等国采用标准为 60Hz。
f
T
????? 22
正弦电压与电流
?中频电炉的工作频率为 500~8000Hz；
?高频电炉的工作频率为 200~300kHz；
?无线电工程的频率为 104~30× 1010Hz。
?低频电子工程的频率为 20~20× 103Hz。
正弦量变化快慢的衡量有时还用 角频率 ?来描述。
它与频率和周期的关系为
有效值 是从电流的热效应来规定的：在同一周期
时间内，正弦交流电流 i 和直流电流 I 对同一电
阻具有相同的热效应，就用 I 表示 i 的 有效值。
二, 幅值与有效值
正弦电压与电流
正弦量在任一瞬间的值称为 瞬时值, 用小写字母
表示, 如 e,i,u分别表示电动势, 电流和电压的
瞬时值 。
瞬时值中最大的值称为 幅值 或 最大值,如 Em,Im、
Um分别表示电动势、电流和电压的幅值。
正弦交流电流 的数学表达式为,i =Imsin?t
说明 或 计量 正弦交流电时一般不用幅值或瞬时值，
而 有效值 。如民用电的 220V和工业用电的 380V。
可见,有效值 与 幅值 的数学关系为 方均根 。
?? T Rd tiA 0 2
即 对于 R，在一个周期内，正弦
交流电流 i 所作的功为
正弦电压与电流
同样,对于同一 R，在一个周期时间 T内，直流电
流 I 所作的功为
RTIA 2?
应该有
RTIRd tiA T 20 2 ???
代入 i = Im sin?t,并解出 I, 得
2
11
0
22
0
2 mT
m
T It d tI
TdtiTI ???? ?? s i n
正弦电压与电流
? 同理，对于正弦交流电压
2
mEE ?
2
mU?
tUu m ?? s i n
其有效值 (方均根 )
?? T dtuTU 0 21
正弦电动势 e 的有效值 (方均根 )为
例题 已知 u= U
m sin ? t,Um =310V,f =50Hz，
试求有效值 U 和 t =0.1s 时的瞬时值。解
2 2 0
2
3 1 0
2
??? mUU V
010100310210 ????? s i ns i n).( ftUu m
三, 相位及初相位
? 正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零点，
正弦量的初始值就不同。为加以区分引入相位
及初相位的物理量。
正弦电压与电流
)s i n ( ???? tIi m
0
i
t
+
_
?
正弦电流的一般表达式为
其中 (?t+ ?)为正弦电流
的 相位, ?称为 初相位。
两个同频率正弦量的 相位比较：
)s i n ( 1???? tUu m对于
)s i n ( 2???? tIi m
定义 ?=(?1– ?2)为相位差或初相差 。
正弦交流电的广泛应用，是因为其电力的产生、传
输和变换既方便快捷又灵活简单，不仅电阻电路中
的响应为正弦量，也在电感及电容电路中为正弦量
响应。
正弦电压与电流
当 ? =(?1 – ?2) > 0 时，称 u 比 i 越前 ? 角；
)s in ( 1???? tUu m对于
)s i n ( 2???? tIi m
当 ? =(?1 – ?2) < 0 时，称 u 比 i 滞后 ? 角；
当 ? =(?1 – ?2) = 0 时，称 u 与 i 同相 。
当 ? =(?1 – ?2) = 180° 时，称 u 与 i 反相 (相位相
反 )，或相差 180°
§ 3-2,正弦量的相量表示法
? 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基
本特征量，表示一个正弦量就要将这 三
要素 表示出来。
? 表示一个正弦量可以多种方式，这也正
是分析和计算交流电路的工具。
① 三角函数表示法：
)s i n ( ???? tUu m
0
u
t
+
_
?
② 正弦波形图示法, (见右图 )
③ 相量表示法。
相量表示法
? 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在 复数平面 建立直角坐标系 OX为
实轴,OY为虚轴。
设在 复平面 上一复数 A(a,b).
在直角坐标系上可表示为,
jy
x0
A
a
b
A = a + jb
用极坐标系则表示为,
A = r / ?
?
变换关系为,22 bar ??
a
bar c t g??
或,?? c o sra
?? s inrb
代入后, 可得
jy
x0
A
a
b
?
A=r (cos? + j sin? )
考虑欧拉公式：
2
??? ?
??
jj ee
c o s j
ee jj
2
??? ?
??s i n
可改写为,A = r e j?
也可简记为,A = r ?
?由此可得到 复数的三种表示法,即 直
角坐标式, 指数式 及 极坐标式, 三者可以互换。
?其中 直角坐标式 便于进行 加减 运算, 指数式 及
极坐标式 便于进行 乘除 运算。
现令有向线段 OA绕原点 O以角速度 ω作逆时针旋
转, 可得 A点在纵轴上的投影坐标为
y = |OA| sin (? t+ ?)
jy
x0
A
?
比较正弦电压
u = Um sin (? t+ ?) ?
y
A点的轨迹 在复平面上的位
置用复数可表示为：
A= r [cos(? t+?)+j sin(? t+?)]
= r e j(? t+ ?)
= r / ? t + ?
可改写为 A= r e j? e j?t
其中 A= r e j? 相当于初始值。
与前面讨论的复数表示法一致。
通过上面讨论可知
复数量
jy
x0
A
ψ
动点 A(复数 )坐标的为
A(t)=r cos (?t+?) + j r sin(?t+?)
= r e j(?t+?) = r / ?t+?
u = Um sin(?t+?)正弦量
至此，定义用复平面上的 静止 量 (复数 )表示正弦
量，记为
?? jmm eUU?
?? jUeU?或
(幅值电压 相量 )
(有效值电压 相量 )
A= r( cos? + j sin? )
A = r e j?
※ 幅值相量与瞬时值之间的关系
? 旋转相量,A=r cos (?t+?) + j r sin(?t+?)
= r e j(?t+?) = r ? t +?
? 相量 (复数 ),A= r( cos? + jsin?)= r e j?
? 交流电瞬时值,u = Um sin(? t+?)
?将 相量 (r e j?)乘上一个时间因子 (e j? t)，
得到复数圆的轨迹，对其取 虚部 的结果就
是 正弦量的瞬时值 。
※ 虚单位 j 的数学意义和物理意义
? j = e j90°
? j× j = j 2 = e j90° × e j90°
= e j180° = –1 o x
jy
j
1??j
j2
–1
–jj3
j4
1
?同理 jj ??3 14 ?j及
由此，可认为虚单位 j 是复平面上角度
为 90° 的旋转因子。 乘以 j 是向正方向
旋转 90° ；除以 j 是向负方向旋转 90° 。
即
例
题
3-3
试写出表示 uA=220 ?2 sin314t V,
的相量，并画出相量图。
解 分别用有效值相量
uB=220 ?2 sin(314t–120o ) V,
uC=220 ?2 sin(314t+120o ) V,
AU? BU? CU? 表示 uA,uB和 uC
则
VU A 2200/220 ???? VjU
B )2
3
2
1(22 012 0/22 0 ???????
VjU C )2 321(22 012 0/22 0 ??????
它们的相量图为,(右图 )
120?
120?
AU?
BU?
CU?
例 3-4 ? 对如图电路，设
AttIi m )45s i n(100)s i n( 111 ????????
AttIi m )30s i n(60)s i n( 222 ????????
试求总电流 i 。
解
i
i 1
i 2
本题可用几种方法求解计算。
1,用三
角函数
式求解
tII
tII
ttI
ttI
tItIiii
mm
mm
m
m
mm
?????
?????
??????
??????
??????????
c o s)s i ns i n(
s i n)c o sc o s(
)2s i nc o sc o s( s i n
)s i nc o sc o s( s i n
)s i n ()s i n (
2211
2211
22
111
221121
两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量,
设此正弦量为
i
i 1
i 2
tItItIi mmm ?????????? c o ss i ns i nc o s)s i n(
则
2211
2211
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
?????
?????
mmm
mmm
III
III
因此，总电流 i 的幅值为 ?
? 2122211
2
2211
)s i ns i n(
)c o sc o s(
????
????
mm
mmm
II
III
总电流 i 的初相位为 )
c o sc o s
s i ns i n(
2211
2211
???
?????
mm
mm
II
IIa r c t g
?
? 2122211
2
2211
)s i ns i n(
)c o sc o s(
????
????
mm
mmm
II
III
)c o sc o s s i ns i n(
2211
2211
???
?????
mm
mm
II
IIa r c t g
由此，代入数据 I m1=100A,I m2=60A,? 1=45?,?2= –30?
则
A
I m
129
7.407.122)307.70()527.70( 2222
?
??????
0218)527.70 307.70( ??????? ar c t g
Ati )0218si n (1 2 9 ?????
故得
2,用正弦波求解
100sin (?t+45?)
60sin (?t–30?)
129sin (?t–18.3?)
0
i
t
2,用相量图求解
30°
45° 18.3°
§ 3-3,R,L及 C的交流电路
? 在考虑电阻、电感或电容元件时，都将
它们看成是理想元件。即只考虑其主要
因素而忽略其次要因素。
? 交流电路与直流电路对电阻、电感或电
容的作用结果都不同。
? 电容对直流电路相当于开路；电感对直
流电路相当于短路。
? 而在交流电路中电容有充放电现象存在，
有电流通过电感有自感电动势出现而阻
碍电流变化。
一, 电阻与电阻电路
? 如图，选择电流和电压的参考方
向。根据欧姆定律可得
R
i
uR
ui ?
iRu ?或
即电阻端电压与其电流成正比。
若设 tIi m ?? s in
则 tUtRIu mm ???? s i ns i n
显然 mm RIU ?或 IRU ?
如果用相量表示, 将有
? 比较上面，可知交流电路中的电阻，
其电流和电压相位相同。这就是相
量形式的欧姆定律。也可写成
tIi m ?? s in
tUu m ?? s i n
R
UI m
m
?
?
?
?? ? IRU
??? 0/mm II ??? 0/II或
??? 0/mm UU 或 ??
? 0/UU
且 mm IRU ?? ? 或
R
i
u
.,UI
或
R
UI
?
?
?
电阻在交流电路中的功率特性
(1)瞬时功率：
在任意瞬时，电压瞬时值 u与电流瞬时值 i
的乘积，称为瞬时功率，用字母 p表示。
电阻的瞬时功率为
tIUiupp mmR ???? 2s i n
)2c o s1(
2
tIU mm ??? )2c o s1( tIU ???
瞬时功率是在一个直流分量 UI的基础上，另加一
个幅值为 UI的正弦量。但总有 p ? 0。
(2)平均功率,
在一个周期内，电路消耗电能的平均速率，
即瞬时功率的平均值，称为平均功率。
?? ???? TT dttUITpdtTP 00 )2c o s1(11
交流电路中电阻元件的平均功率为
RURIIU /22 ???例
一 100?电阻接入 50Hz、有效值为 10V的电源
上，问电流是多少？若频率改为 5000Hz呢？
因电阻与频率
无关，所以
mAARUI 10 01.010 010 ????
二, 电感与电感电路
? 电感元件
?e
设一但匝线圈，当通过它的磁通
发生变化时，线圈中要产生感应
电动势。其大小为
dt
de ??
根据物理学中的法拉第电磁感应
定律，线圈中的感应电动势为
dt
de ???
对于 N匝线圈, 其感应电动势为但匝线圈的 N倍
其中,?=N? 称为磁通链。
dt
d
dt
dNe ??????
i
u
?
?
eL
i
u eL L
当线圈中有电流 i 通过时,?
或 ? 与 i 成 正比，即
iLN ???? i
N
i
L ????或
L为线圈的电感 (或自感 )，
它是线圈的结构参数。
进而,dt
diLe
L ??
电感的单位是亨利 (H)
? 物理学中已导出均匀密绕线圈的电感为
i
u
?
?
eL
i
u eL L
l
SNL 2??
对于电感电路，应用克希荷夫
定律可列出方程,0?? Leu
或 dt
diLeu
L ???
自感电动势的方向符合楞茨定律
可得 ?? ???
??
tt udt
LiudtLi 00
11
电感元件在某一时刻对能量转换量为
? 即电感元件中的电流增大时，磁场的能量增大；
在此过程中电感的能量在增大，即电感从电源
取用能量。当电流见效时，磁场能量减小，磁
能转换为电能，即电感元件向电源放还能量。
2
00 2
1 LiL i diui dt tt ?? ??
?当设电流为参考相量时，
tIi m ?? s in
则电感端电压为
dt
diLu ?
计算得
? 比较上面，在电感元件电路中，在相位上电压
比电流超前 90?(相位差 ?=+90?)。
tLIdt tIdLu mm ????? c o s)s i n(
)90s i n()90s i n( ????????? tUtLI mm
i
u ? 2?
?t
写成相量，有
?? 0/,mm II
?? 90/,mm UU
电感电路相量形式的欧姆定律
? 前已导出
?? 0/,mm II ?? 90/,mm UU或
其中 LIU mm ??
LjLIU mm ????? 90/..
190/190 ????? ?jej
由前两式得：
其中
L? Lj?和 分别称为 感抗 和 复感抗 。
其值与频率成正比。
电感电路的功率计算
? 当得到电感元件的电压和电流的变化规律即相互
关系后，可知电感元件瞬时功率的变化规律为：
)90s i n(s i n ???????? ttIUuipp mmL
tIUttIU mmmm ?????? 2s i n2c o ss i n
tIU ?? 2s in
可见,p是以幅值为 UI、角频率为 2?t 变化的
交变量。当 u 与 i 的瞬时值为同号时,p? 0，
电感元件 取用功率 (为负载 ),磁能增加 ；当 u
与 i 的瞬时值为同号时,p ? 0，电感元件 发
出功率 (相当于电源 )，电感元件的 磁能减少 。
? 电感元件平均功率为：
02s i n111 000 ????? ??? TTT t dtUITui dtTpdtTP
LXIIUQ 2??
可见，电感元件在电路中没有能量损耗，只
与电源间进行能量交换。这种能量交换的规
模，用无功功率 Q来衡量。
电感电路的功率计算
即电感元件的平均功率为零。
无功功率的单位是 乏 (Var)或千 乏 (kVar)。
规定无功功率为瞬时功率 pL的幅值 UI，即
为加以区别平均功率亦称为 有功功率 。
例 ? 一 电感交流电路,L=100mH,f=50Hz，(1)已知 ti ?? s i n27 A，求电压 ；
(1)已知 VU ??? 30/12 7
.
，求电流,
解
u.
I
并画相量图。
(1) 由题知感抗为 X L= ?L=2? × 50× 0.1=31.4?
则由相量形式的欧姆定律知：
VILjU ????????? 90/2200/74.3190/1..
Vtu )90si n (2220 ?????
(2) 电流为 A
Lj
UI ???
?
???
?
? 1 2 0/4
90/4.31
30/1 2 7
.
.
电流为
相量图分别为：
Ati )1 2 0s i n (24 ????
?? 90/220.U
?? 0/7.I
??? 30/12 7.U
??? 120/4.I
(1) (2)
亦可根据电感元件电流、电压瞬时值关系用解析法计算。
(1)中电感元件的瞬时功率为 011
00 ??? ??
TT ui dt
TpdtTP
电感元件的无功功率为 )(245735 V arUIQ
L ????
三, 电容元件极其电路
? 当一线性电容元件与正弦电源联接
时，选择 u 及 i 的参考方向如右图：
i
u C
根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的
电荷量也要发生变化，在电路中要引起电流
dt
duC
dt
dqi ??
如果电容器加正弦电压 tUu
m ?? s in
则 tCUdt
duCi
m ???? c o s
)90s i n( ????? tCU m
)90s i n( ???? tI m
? 可见，当电容器所加电压为正弦量时，其
中通过的电流也为正弦量。
? 在电容元件的电路中，电流比电压上的相
位要越前 90° (?= –90° )。
由上面讨论可知 CUI
mm ??
或 C
m
m X
CI
U
I
U ?
???
1
u
i ? 2?
本课程规定,电压比电流 的相位差越前时，相位
差 ?为正； 反之相位差 ?为负；这样便于说明电路
的电感性或电容性。
? 写出电压及电流的相量表示式
其中 CX C ??
1
及 CjX C ??
1.
称为电容的 容抗
或 复容抗 。
?? 0/,mm UU ?? 90/,mm II及
CUI mm ??并考虑
CjCI
U
I
U
I
U
m
m
m
m
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
90/
1
90/
0/
90/
0/
.
.
可得
或
...
.
.
IXIjX
Cj
IU
CC ???
?
? 为电容电路
相量形式的
欧姆定律
电容元件的功率特性
? 根据电压电流瞬时值
u
i ? 2?
tUu m ?? s in
)90s i n( ???? tIi m
电容电路的功率瞬时值为
)90s i n(s i n ??????? ttIUuipp mmC
tUIttIU mm ????? 2s i nc o ss i n
电容电路的平均功率为
02s i n11 00 ???? ?? TT t dtUITpd tTP
? 为与电感元件的无功功率进行比较，定义电容
元件的电流及电压瞬时值分别为：
电容元件的无功功率
tIi m ?? s in和 )90s i n( ???? tUu m
得瞬时功率为
tUIuipp C ????? 2s i n
由此可见，电容元件的无功功率
CXIUIQ 2????
如此规定，电容性无功功率要取负值。
例
AI ??? 60/1.0.,U(2) 当 时,求电压,并画相量图。
电容的容抗
Vtu ?? si n22 2 0如图电容交流电路,C=4?F,f=50Hz,(1) 当, 求电流 i；
解 i
u C ????????? ? 79 6104502
11
6CX C
?电流为 ttC
dt
duCi ??????? c o s2276.0c o s2220
其相量式为
mAt )90si n (2276 ????
mAUI ???? 90/2 7 6/.
即电流的有效值为 276mA，其相位比电压越前 90?
? 由相量形式的欧姆定律得 VIjXIXU
CC ????????????? 150/6.7960/1.079690/1
....
相量图如下,
(b)
VU ??? 150/6.79,AI ??? 60/1.0
.
(a)
mAI ?? 90/276.
VU ?? 0/22 0.
?电容的功率计算 (题中第一问题 ) Wtuip ??? 20 0s i n7.60
瞬时功率为：
01 0 ??? ? T dtuiTP平均功率为：
无功功率为,V arIUQ 7.60??
? 课后作业：
3-1,3-2
旋转矢量
? 演示
当电路中的 激励 (电源 )为正弦量时, 电路中
各部分的 响应 (电压或电流 )也为正弦量, 这
样的电路就是正弦电路 。
交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生
器所输出号电压都是 随时间按正弦规律变化
的。因此，正弦电路是电工学中很重要的部
分。
本章即讨论有关正弦电路的一些 基本概念,
基本理论 和 基本分析方法 。
§ 3-1 正弦电压与电流
? 前两章所讨论的都
是直流电路，其中
的电流和电压的大
小和方向都是不随
时间变化的。
0
I,U
t
正弦电压和电流都
是按正弦规律周期
性随时间变化的，
其波形图可用正弦
曲线来表示：
0
i,u
t
+
_
正弦电压与电流
? 图中：,+”表示电流 (或电压 )为正值，称
为正半周，电流 (或电压 )的实际方向与参
考方向一致 ；,–”表示电流 (或电压 )为
负值，成称为负半周，实际方向与参考
方向相反。
0
i,u
t
+
_ u
i
R
正半周
u
i
R
负半周
? 正弦电压和正弦电流等物理量，统称为正弦量。
正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初值
三个方面，它们分别由频率 (或周期 )、幅值 (或
有效值 )和初相位来确定。
Tf
1?
正弦电压与电流
所以称频率、幅值和初相位为正弦量的三要素。
一, 频率与周期
正弦量变化一次所需的时间 (秒 )称为周期 T。每
秒钟时间内变化的次数称为频率 f 。
频率是周期的倒数，即
工程中常用的一些频率范围：
? 我国电力的标准频率为 50Hz； 国际上多采用此
标准，但美、日等国采用标准为 60Hz。
f
T
????? 22
正弦电压与电流
?中频电炉的工作频率为 500~8000Hz；
?高频电炉的工作频率为 200~300kHz；
?无线电工程的频率为 104~30× 1010Hz。
?低频电子工程的频率为 20~20× 103Hz。
正弦量变化快慢的衡量有时还用 角频率 ?来描述。
它与频率和周期的关系为
有效值 是从电流的热效应来规定的：在同一周期
时间内，正弦交流电流 i 和直流电流 I 对同一电
阻具有相同的热效应，就用 I 表示 i 的 有效值。
二, 幅值与有效值
正弦电压与电流
正弦量在任一瞬间的值称为 瞬时值, 用小写字母
表示, 如 e,i,u分别表示电动势, 电流和电压的
瞬时值 。
瞬时值中最大的值称为 幅值 或 最大值,如 Em,Im、
Um分别表示电动势、电流和电压的幅值。
正弦交流电流 的数学表达式为,i =Imsin?t
说明 或 计量 正弦交流电时一般不用幅值或瞬时值，
而 有效值 。如民用电的 220V和工业用电的 380V。
可见,有效值 与 幅值 的数学关系为 方均根 。
?? T Rd tiA 0 2
即 对于 R，在一个周期内，正弦
交流电流 i 所作的功为
正弦电压与电流
同样,对于同一 R，在一个周期时间 T内，直流电
流 I 所作的功为
RTIA 2?
应该有
RTIRd tiA T 20 2 ???
代入 i = Im sin?t,并解出 I, 得
2
11
0
22
0
2 mT
m
T It d tI
TdtiTI ???? ?? s i n
正弦电压与电流
? 同理，对于正弦交流电压
2
mEE ?
2
mU?
tUu m ?? s i n
其有效值 (方均根 )
?? T dtuTU 0 21
正弦电动势 e 的有效值 (方均根 )为
例题 已知 u= U
m sin ? t,Um =310V,f =50Hz，
试求有效值 U 和 t =0.1s 时的瞬时值。解
2 2 0
2
3 1 0
2
??? mUU V
010100310210 ????? s i ns i n).( ftUu m
三, 相位及初相位
? 正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零点，
正弦量的初始值就不同。为加以区分引入相位
及初相位的物理量。
正弦电压与电流
)s i n ( ???? tIi m
0
i
t
+
_
?
正弦电流的一般表达式为
其中 (?t+ ?)为正弦电流
的 相位, ?称为 初相位。
两个同频率正弦量的 相位比较：
)s i n ( 1???? tUu m对于
)s i n ( 2???? tIi m
定义 ?=(?1– ?2)为相位差或初相差 。
正弦交流电的广泛应用，是因为其电力的产生、传
输和变换既方便快捷又灵活简单，不仅电阻电路中
的响应为正弦量，也在电感及电容电路中为正弦量
响应。
正弦电压与电流
当 ? =(?1 – ?2) > 0 时，称 u 比 i 越前 ? 角；
)s in ( 1???? tUu m对于
)s i n ( 2???? tIi m
当 ? =(?1 – ?2) < 0 时，称 u 比 i 滞后 ? 角；
当 ? =(?1 – ?2) = 0 时，称 u 与 i 同相 。
当 ? =(?1 – ?2) = 180° 时，称 u 与 i 反相 (相位相
反 )，或相差 180°
§ 3-2,正弦量的相量表示法
? 正弦量具有幅值、频率及初相位三个基
本特征量，表示一个正弦量就要将这 三
要素 表示出来。
? 表示一个正弦量可以多种方式，这也正
是分析和计算交流电路的工具。
① 三角函数表示法：
)s i n ( ???? tUu m
0
u
t
+
_
?
② 正弦波形图示法, (见右图 )
③ 相量表示法。
相量表示法
? 用相量表示正弦量，其基础是用复数表示正弦量。
在 复数平面 建立直角坐标系 OX为
实轴,OY为虚轴。
设在 复平面 上一复数 A(a,b).
在直角坐标系上可表示为,
jy
x0
A
a
b
A = a + jb
用极坐标系则表示为,
A = r / ?
?
变换关系为,22 bar ??
a
bar c t g??
或,?? c o sra
?? s inrb
代入后, 可得
jy
x0
A
a
b
?
A=r (cos? + j sin? )
考虑欧拉公式：
2
??? ?
??
jj ee
c o s j
ee jj
2
??? ?
??s i n
可改写为,A = r e j?
也可简记为,A = r ?
?由此可得到 复数的三种表示法,即 直
角坐标式, 指数式 及 极坐标式, 三者可以互换。
?其中 直角坐标式 便于进行 加减 运算, 指数式 及
极坐标式 便于进行 乘除 运算。
现令有向线段 OA绕原点 O以角速度 ω作逆时针旋
转, 可得 A点在纵轴上的投影坐标为
y = |OA| sin (? t+ ?)
jy
x0
A
?
比较正弦电压
u = Um sin (? t+ ?) ?
y
A点的轨迹 在复平面上的位
置用复数可表示为：
A= r [cos(? t+?)+j sin(? t+?)]
= r e j(? t+ ?)
= r / ? t + ?
可改写为 A= r e j? e j?t
其中 A= r e j? 相当于初始值。
与前面讨论的复数表示法一致。
通过上面讨论可知
复数量
jy
x0
A
ψ
动点 A(复数 )坐标的为
A(t)=r cos (?t+?) + j r sin(?t+?)
= r e j(?t+?) = r / ?t+?
u = Um sin(?t+?)正弦量
至此，定义用复平面上的 静止 量 (复数 )表示正弦
量，记为
?? jmm eUU?
?? jUeU?或
(幅值电压 相量 )
(有效值电压 相量 )
A= r( cos? + j sin? )
A = r e j?
※ 幅值相量与瞬时值之间的关系
? 旋转相量,A=r cos (?t+?) + j r sin(?t+?)
= r e j(?t+?) = r ? t +?
? 相量 (复数 ),A= r( cos? + jsin?)= r e j?
? 交流电瞬时值,u = Um sin(? t+?)
?将 相量 (r e j?)乘上一个时间因子 (e j? t)，
得到复数圆的轨迹，对其取 虚部 的结果就
是 正弦量的瞬时值 。
※ 虚单位 j 的数学意义和物理意义
? j = e j90°
? j× j = j 2 = e j90° × e j90°
= e j180° = –1 o x
jy
j
1??j
j2
–1
–jj3
j4
1
?同理 jj ??3 14 ?j及
由此，可认为虚单位 j 是复平面上角度
为 90° 的旋转因子。 乘以 j 是向正方向
旋转 90° ；除以 j 是向负方向旋转 90° 。
即
例
题
3-3
试写出表示 uA=220 ?2 sin314t V,
的相量，并画出相量图。
解 分别用有效值相量
uB=220 ?2 sin(314t–120o ) V,
uC=220 ?2 sin(314t+120o ) V,
AU? BU? CU? 表示 uA,uB和 uC
则
VU A 2200/220 ???? VjU
B )2
3
2
1(22 012 0/22 0 ???????
VjU C )2 321(22 012 0/22 0 ??????
它们的相量图为,(右图 )
120?
120?
AU?
BU?
CU?
例 3-4 ? 对如图电路，设
AttIi m )45s i n(100)s i n( 111 ????????
AttIi m )30s i n(60)s i n( 222 ????????
试求总电流 i 。
解
i
i 1
i 2
本题可用几种方法求解计算。
1,用三
角函数
式求解
tII
tII
ttI
ttI
tItIiii
mm
mm
m
m
mm
?????
?????
??????
??????
??????????
c o s)s i ns i n(
s i n)c o sc o s(
)2s i nc o sc o s( s i n
)s i nc o sc o s( s i n
)s i n ()s i n (
2211
2211
22
111
221121
两个同频率正弦量相加仍得到一个正弦量,
设此正弦量为
i
i 1
i 2
tItItIi mmm ?????????? c o ss i ns i nc o s)s i n(
则
2211
2211
s i ns i ns i n
c o sc o sc o s
?????
?????
mmm
mmm
III
III
因此，总电流 i 的幅值为 ?
? 2122211
2
2211
)s i ns i n(
)c o sc o s(
????
????
mm
mmm
II
III
总电流 i 的初相位为 )
c o sc o s
s i ns i n(
2211
2211
???
?????
mm
mm
II
IIa r c t g
?
? 2122211
2
2211
)s i ns i n(
)c o sc o s(
????
????
mm
mmm
II
III
)c o sc o s s i ns i n(
2211
2211
???
?????
mm
mm
II
IIa r c t g
由此，代入数据 I m1=100A,I m2=60A,? 1=45?,?2= –30?
则
A
I m
129
7.407.122)307.70()527.70( 2222
?
??????
0218)527.70 307.70( ??????? ar c t g
Ati )0218si n (1 2 9 ?????
故得
2,用正弦波求解
100sin (?t+45?)
60sin (?t–30?)
129sin (?t–18.3?)
0
i
t
2,用相量图求解
30°
45° 18.3°
§ 3-3,R,L及 C的交流电路
? 在考虑电阻、电感或电容元件时，都将
它们看成是理想元件。即只考虑其主要
因素而忽略其次要因素。
? 交流电路与直流电路对电阻、电感或电
容的作用结果都不同。
? 电容对直流电路相当于开路；电感对直
流电路相当于短路。
? 而在交流电路中电容有充放电现象存在，
有电流通过电感有自感电动势出现而阻
碍电流变化。
一, 电阻与电阻电路
? 如图，选择电流和电压的参考方
向。根据欧姆定律可得
R
i
uR
ui ?
iRu ?或
即电阻端电压与其电流成正比。
若设 tIi m ?? s in
则 tUtRIu mm ???? s i ns i n
显然 mm RIU ?或 IRU ?
如果用相量表示, 将有
? 比较上面，可知交流电路中的电阻，
其电流和电压相位相同。这就是相
量形式的欧姆定律。也可写成
tIi m ?? s in
tUu m ?? s i n
R
UI m
m
?
?
?
?? ? IRU
??? 0/mm II ??? 0/II或
??? 0/mm UU 或 ??
? 0/UU
且 mm IRU ?? ? 或
R
i
u
.,UI
或
R
UI
?
?
?
电阻在交流电路中的功率特性
(1)瞬时功率：
在任意瞬时，电压瞬时值 u与电流瞬时值 i
的乘积，称为瞬时功率，用字母 p表示。
电阻的瞬时功率为
tIUiupp mmR ???? 2s i n
)2c o s1(
2
tIU mm ??? )2c o s1( tIU ???
瞬时功率是在一个直流分量 UI的基础上，另加一
个幅值为 UI的正弦量。但总有 p ? 0。
(2)平均功率,
在一个周期内，电路消耗电能的平均速率，
即瞬时功率的平均值，称为平均功率。
?? ???? TT dttUITpdtTP 00 )2c o s1(11
交流电路中电阻元件的平均功率为
RURIIU /22 ???例
一 100?电阻接入 50Hz、有效值为 10V的电源
上，问电流是多少？若频率改为 5000Hz呢？
因电阻与频率
无关，所以
mAARUI 10 01.010 010 ????
二, 电感与电感电路
? 电感元件
?e
设一但匝线圈，当通过它的磁通
发生变化时，线圈中要产生感应
电动势。其大小为
dt
de ??
根据物理学中的法拉第电磁感应
定律，线圈中的感应电动势为
dt
de ???
对于 N匝线圈, 其感应电动势为但匝线圈的 N倍
其中,?=N? 称为磁通链。
dt
d
dt
dNe ??????
i
u
?
?
eL
i
u eL L
当线圈中有电流 i 通过时,?
或 ? 与 i 成 正比，即
iLN ???? i
N
i
L ????或
L为线圈的电感 (或自感 )，
它是线圈的结构参数。
进而,dt
diLe
L ??
电感的单位是亨利 (H)
? 物理学中已导出均匀密绕线圈的电感为
i
u
?
?
eL
i
u eL L
l
SNL 2??
对于电感电路，应用克希荷夫
定律可列出方程,0?? Leu
或 dt
diLeu
L ???
自感电动势的方向符合楞茨定律
可得 ?? ???
??
tt udt
LiudtLi 00
11
电感元件在某一时刻对能量转换量为
? 即电感元件中的电流增大时，磁场的能量增大；
在此过程中电感的能量在增大，即电感从电源
取用能量。当电流见效时，磁场能量减小，磁
能转换为电能，即电感元件向电源放还能量。
2
00 2
1 LiL i diui dt tt ?? ??
?当设电流为参考相量时，
tIi m ?? s in
则电感端电压为
dt
diLu ?
计算得
? 比较上面，在电感元件电路中，在相位上电压
比电流超前 90?(相位差 ?=+90?)。
tLIdt tIdLu mm ????? c o s)s i n(
)90s i n()90s i n( ????????? tUtLI mm
i
u ? 2?
?t
写成相量，有
?? 0/,mm II
?? 90/,mm UU
电感电路相量形式的欧姆定律
? 前已导出
?? 0/,mm II ?? 90/,mm UU或
其中 LIU mm ??
LjLIU mm ????? 90/..
190/190 ????? ?jej
由前两式得：
其中
L? Lj?和 分别称为 感抗 和 复感抗 。
其值与频率成正比。
电感电路的功率计算
? 当得到电感元件的电压和电流的变化规律即相互
关系后，可知电感元件瞬时功率的变化规律为：
)90s i n(s i n ???????? ttIUuipp mmL
tIUttIU mmmm ?????? 2s i n2c o ss i n
tIU ?? 2s in
可见,p是以幅值为 UI、角频率为 2?t 变化的
交变量。当 u 与 i 的瞬时值为同号时,p? 0，
电感元件 取用功率 (为负载 ),磁能增加 ；当 u
与 i 的瞬时值为同号时,p ? 0，电感元件 发
出功率 (相当于电源 )，电感元件的 磁能减少 。
? 电感元件平均功率为：
02s i n111 000 ????? ??? TTT t dtUITui dtTpdtTP
LXIIUQ 2??
可见，电感元件在电路中没有能量损耗，只
与电源间进行能量交换。这种能量交换的规
模，用无功功率 Q来衡量。
电感电路的功率计算
即电感元件的平均功率为零。
无功功率的单位是 乏 (Var)或千 乏 (kVar)。
规定无功功率为瞬时功率 pL的幅值 UI，即
为加以区别平均功率亦称为 有功功率 。
例 ? 一 电感交流电路,L=100mH,f=50Hz，(1)已知 ti ?? s i n27 A，求电压 ；
(1)已知 VU ??? 30/12 7
.
，求电流,
解
u.
I
并画相量图。
(1) 由题知感抗为 X L= ?L=2? × 50× 0.1=31.4?
则由相量形式的欧姆定律知：
VILjU ????????? 90/2200/74.3190/1..
Vtu )90si n (2220 ?????
(2) 电流为 A
Lj
UI ???
?
???
?
? 1 2 0/4
90/4.31
30/1 2 7
.
.
电流为
相量图分别为：
Ati )1 2 0s i n (24 ????
?? 90/220.U
?? 0/7.I
??? 30/12 7.U
??? 120/4.I
(1) (2)
亦可根据电感元件电流、电压瞬时值关系用解析法计算。
(1)中电感元件的瞬时功率为 011
00 ??? ??
TT ui dt
TpdtTP
电感元件的无功功率为 )(245735 V arUIQ
L ????
三, 电容元件极其电路
? 当一线性电容元件与正弦电源联接
时，选择 u 及 i 的参考方向如右图：
i
u C
根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的
电荷量也要发生变化，在电路中要引起电流
dt
duC
dt
dqi ??
如果电容器加正弦电压 tUu
m ?? s in
则 tCUdt
duCi
m ???? c o s
)90s i n( ????? tCU m
)90s i n( ???? tI m
? 可见，当电容器所加电压为正弦量时，其
中通过的电流也为正弦量。
? 在电容元件的电路中，电流比电压上的相
位要越前 90° (?= –90° )。
由上面讨论可知 CUI
mm ??
或 C
m
m X
CI
U
I
U ?
???
1
u
i ? 2?
本课程规定,电压比电流 的相位差越前时，相位
差 ?为正； 反之相位差 ?为负；这样便于说明电路
的电感性或电容性。
? 写出电压及电流的相量表示式
其中 CX C ??
1
及 CjX C ??
1.
称为电容的 容抗
或 复容抗 。
?? 0/,mm UU ?? 90/,mm II及
CUI mm ??并考虑
CjCI
U
I
U
I
U
m
m
m
m
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
90/
1
90/
0/
90/
0/
.
.
可得
或
...
.
.
IXIjX
Cj
IU
CC ???
?
? 为电容电路
相量形式的
欧姆定律
电容元件的功率特性
? 根据电压电流瞬时值
u
i ? 2?
tUu m ?? s in
)90s i n( ???? tIi m
电容电路的功率瞬时值为
)90s i n(s i n ??????? ttIUuipp mmC
tUIttIU mm ????? 2s i nc o ss i n
电容电路的平均功率为
02s i n11 00 ???? ?? TT t dtUITpd tTP
? 为与电感元件的无功功率进行比较，定义电容
元件的电流及电压瞬时值分别为：
电容元件的无功功率
tIi m ?? s in和 )90s i n( ???? tUu m
得瞬时功率为
tUIuipp C ????? 2s i n
由此可见，电容元件的无功功率
CXIUIQ 2????
如此规定，电容性无功功率要取负值。
例
AI ??? 60/1.0.,U(2) 当 时,求电压,并画相量图。
电容的容抗
Vtu ?? si n22 2 0如图电容交流电路,C=4?F,f=50Hz,(1) 当, 求电流 i；
解 i
u C ????????? ? 79 6104502
11
6CX C
?电流为 ttC
dt
duCi ??????? c o s2276.0c o s2220
其相量式为
mAt )90si n (2276 ????
mAUI ???? 90/2 7 6/.
即电流的有效值为 276mA，其相位比电压越前 90?
? 由相量形式的欧姆定律得 VIjXIXU
CC ????????????? 150/6.7960/1.079690/1
....
相量图如下,
(b)
VU ??? 150/6.79,AI ??? 60/1.0
.
(a)
mAI ?? 90/276.
VU ?? 0/22 0.
?电容的功率计算 (题中第一问题 ) Wtuip ??? 20 0s i n7.60
瞬时功率为：
01 0 ??? ? T dtuiTP平均功率为：
无功功率为,V arIUQ 7.60??
? 课后作业：
3-1,3-2
旋转矢量
? 演示
