第六章 电路的暂态分析
? 电路在一定条件下可以处于稳定状态，但条件
发生变化时电路的状态就会发生变化。并且，
任何稳定状态都是由其它状态转换来的。
? 在实际情况下，状态的转变往往不是突变的，
而需要一个过程 ——即过渡过程。电路中也有过
渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件的存
在，则在电源接通后电容通过充电而升高电压，
这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作用而
使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。
电容的放电过程也是渐变的, 如图：电容放电形
成电流, 电阻两端的电压等于电容的电压, 电流
的存在使电容继续放电 。
? 本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，
也就是电路的暂态过程。
可见只要 uC ? 0,则放
电过程就不能停止, 但
电阻的存在又不能使电
流过大, 直至电容电压
uC = 0 为止 。
i
uC R
研究暂态电路的方法：
一般可以说, 数学分析和实验分析是分析暂态电
路的两种方法 。 本章内容介绍最基本的数学分析
方法, 其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定律 。
实验分析方法, 将在实验课程中应用示波器等仪
器观测暂态过程中各量随时间变化的规律 。
研究暂态过程, 是要认识和掌握这种现象的规律 。
本章主要分析 RC及 RL一阶线性电路的暂态过程,
电路的激励仅限于阶跃电压或矩形脉冲电压 。
重点讨论的问题是,（ 1） 暂态过程随时间变化的
规律； （ 2） 影响暂态过程快慢程度的时间常数 。
§ 6-1,换路定则 u 与 i 初始值的确定
? 换路 —— 指电路因接通、断开、短路以及电压或
电路参数的改变。
都不能突变 。
不论电路的状态如何发生改变, 电路中所具有的
能量是不能突变的 。 如电感的磁能及电容的电能
分别为 和
换路定则 设 t=0为换路瞬间, 则 t=0– 和 t=0+分别
是换路前后的极限时刻 。 从 t=0– 到 t=0+ 瞬间, 电
感元件中的电流和电容元件两端的电压不能突变 。
可表示为
暂态过程的初始值
? 由于换路，电路的状态要发生变化。在 t=0+时电
路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的 初始值 。
初始值的确定, 要依据换路定则及电路性质来分
析, 也受电路约束方程的制约 。
① 换路前的瞬间, 将电路视为稳态 ——电容开路,
电感短路 。
② 换路后的瞬间, 将电容用定值电压 uC(0–) 或电
感用 i L(0–) 定值电流代替 。 若电路无储能, 则视
电容 C为短路, 电感 L为开路 。
③ 根据克希荷夫定律计算出其它电压及电流各量 。
例 ? 试确定如图电路在开关 S闭合后的初始值。
解 设开关闭合前电路处于稳态, 电容相当于开路, 电感相当于短路：则 t = 0
–时刻
10mA
iS iR iC iL
uR
uC uL
2k?
1k? 2k?
C L
S
例
则 t = 0+时刻
10mA
iS iR iC iL
uR
uC uL
2k?
1k? 2k?
C L
S
例 ? 试确定如图电路在开关 S 断开后的初始值。
6V
iC
i1
i2
uC 4?
2?
C
+
–
S
在 t = 0– 时刻
在 t = 0 + 时刻
i
i
i
解
§ 6-2,RC电路的响应
对暂态电路用经典的分析方法, 就是根据激励计算电
压和电流响应的时间函数, 这是一种时域分析法 。
本节讨论一阶 RC电路
一, RC电路的零输入响应
所谓 RC电路的零输入, 是指
无电源激励, 输入信号为零 。
在电容元件的初始状态作用
下所产生的响应 。
实际上也就是分析在电容元
件放电过程中所产生响应的
规律 。
U
R
i
uR
uC
C
+
–
S2
1
RC电路的一阶响应
而
此式是关于 uC 的一阶线性
微分方程 。 可知其通解为
在 开关 S由 2 掷向 1 时,RC回路电压方程为
i
U
R uR
uC
C
+
–
S
2
1
其中 A为积分常数 (与初始值有关 )
? 对于一阶线性齐次方程，可根据公式法求解，
也可应用分离变量法求解。
RC电路的一阶响应
得
时间常数 ? = RC 的意义
? 在前面讨论中，知暂态过程的变化与 RC乘积有
关。考虑初始条件后电容的端电压可表示为
U0为电容换路瞬时的端电压,
RC乘积具有时间的量纲, 称为
电路的时间常数 。 当 t = RC 时
uC随时间的变化关系曲线如右图
RC电路的一阶响应
U0
u
t
0 ?
U0
e
?
RC电路的一阶响应
1?e
?
2?e 4?e3?e 6?e5?e
?2 ?3 ?4 ?6?5
050.0 018.0135.0368.0 007.0 002.0
? 很显然，从理论上讲，电路只有经过 ∞的时
间才能达到稳定。通过计算可以看出：当经
过（ 3~5） τ时，就足可以认为达到稳定状态。
RC电路的一阶响应
?τ 的几何意义：次切线的截距
U0
u
t
0 ?
U0
e
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
0
t
0
C
C
eU
1
eU
dt
)t(du
)t(u
tg
AB
BC
?τ 的计算：从 C两端看进
去的戴维南等效电阻。
?τ 的实验求法：
从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。
RC电路的一阶响应
RC电路的能量平衡关系
2
0C CU
2
1w ?
2
0
2
0
RC
t
0
0
2
R
CU
2
1
R d t)e
R
U
(R d tiw
?
???
??
? ??
已知 S闭合前电路已处于稳定
状态,R1=R2=50Ω,R3=100Ω，
C=0.02F。试求在 t=0时,S断开后的
uC（ t）和 i3（ t）
例
解：
t=0
S
+
- 24V
US R1
R2
R3C
+
uC
-
i3
V
uu CC
16
24
50100
100
)0()0(
?
?
?
?
? ??
先求 uC（ 0-）
VeeUtu t
t
C
?? ?? 16)(
1
0 ?
Ae
R
tuti tC ??? 16.0)()(
3
3
SCRRR RRRRC 102.01005050 100)5050()( )(
321
321 ??
??
??
??
????
R1
R2
R3C
+
uC
-
i3
t
uC i
0
? 所谓 RC电路的零状态，是指换路前电容元件
未储有能量,uC(0–)=0。在此条件下，由电源
激励所产生的电路的响应，称为 零状态响应 。
三,RC电路的零状态响应
电路 (见右图 ) i
U
R uR
uC
C
+
–
S
初始值 0)0()0( ?? ?? CC uu
电路的激励
u = 0U (t < 0)(t > 0)
u
t0
U
阶 跃 激 励
电路方程
其中 i
U
R uR
uC
C
+
–
S
应用分离变量法可得
在 t ≥ 0 时, 回路的电压方程为
C
C
C udt
duRCuRiU ????dt
duCi C?
)(1 UuRCdtdu CC ???
RC
dt
Uu
du
C
C ??
?
将上式积分, 得
整理后，有
i
U
R uR
uC
C
+
–
S RC
dt
Uu
du
C
C ??
?
kRC tUu C ????? )l n(
RC
t
C ekUu
?
???
考虑初始条件 0)0( ??Cu 得 Uk ??
则电容的暂态电压为 )1( RC
t
C eUu
?
??
RC = ? 仍为电路的时间
常数, 当 t = ? 时 )
71 8.2
11()1( 1 ???? ? UeUu
C
i
U
R uR
uC
C
+
–
S
)1( RC
t
C eUu
?
??
UU %2.63)368.01( ???
u
t0
U
?
电容中的电流为
RC
t
C e
R
U
dt
duCi ???
三, RC电路的全响应
? 全响应 是指电源的激励和电容元件的初始状
态 uC(0+)均不为零时的电路响应。根据叠加原
理，可认为是零输入响应与零状态响应的叠加。
以如图电路为例, 说明电路的响应规律 。
+
-
U1 +
-
U2 R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
初始值 的确定：
在 t=0时, )0()0( ?? ? CC uu
1
21
2 U
RR
R
?
?
电路的 方程 在 t≥0时，
+
-
U1 +
-
U2 R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
0iii C21 ???
0
dt
duC
R
u
R
uU C
2
C
1
C2 ????或
整理后得
2C
2
1C
1 Uu)
R
R1(
dt
duCR ???
或
C
21
21C u
CRR
RR
dt
du ??
2
1
U
CR
1?
用分离变量法求所得方程
分离变量后，有
2C
2
1C
1 Uu)
R
R1(
dt
duCR ???
或
C
21
21C u
CRR
RR
dt
du ??
2
1
U
CR
1?
0)U
RR
Ru(
CRR
RR
dt
du
2
21
2
C
21
21C ?
?
???
dt
CR
1dt
CRR
RR
Uu
du
21
21
C
C
???
???
??
积分后 k
CR
t]Uuln [
C ???????
即得到通解
CR
t
C ekUu ?
?
????
21
22
21
21
RR
UR
CRR
RR
?
???
确定积分常数
得
CR
t
2
21
2CR
t
C ekU
RR
RekUu ???? ??
?
?????
1
21
2
C U
RR
R)0(u,0t
?
?? 时当
)UU(
RR
RU
RR
RU
RR
Rk
21
21
2
2
21
2
1
21
2 ?
?
?
?
?
?
?
即
)e1(U
RR
ReU
RR
Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
上式右边分别为 零输入响应 和 零状态响应 。
)e1(U
RR
ReU
RR
Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
-
U1 +
-
U2 R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
时间常数 C)RR(C
RR
RRCR
21
21
21 ?
?
????
它等于电路在响应过
程中, 电容与其并联
等效电阻之积 。
如图与电容并联的
等效电阻为 R1与 R2
并联 。
综上所述, 计算线性电路暂态过程的步骤
可归纳如下：
? 对换路后的电路列微分方程；
? 求解微分方程的通解，可用分离变量法或
应用一阶线性微分方程的公式法进行求解；
? 根据换路定则确定暂态过程的初始值；
? 确定方程解的积分常数，
? 根据电路理论进一步计算其它待求量。
QPydtdy ?? ]Cdt)P d te x p (Q)[P d te x p (y ?? ????
§ 6-3,一阶线性电路暂态分析的三要素法
? 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件
的电性电路，其电路方程都是一阶线性常系数
微分方程。
? 这种电路都是一阶线性电路。
? 根据前面讨论, 一阶 RC线性电路的响应都可
以看作是由稳态分量和暂态分量相加而得
?/tAe)(f)t(f)t(f)t(f ?????????
暂态稳态
? ? (t) 可以是电压或电流；
? ? (?) 是稳态分量；
? Ae-t/? 是暂态分量 。
如讨论 RC电路全响应时得到：
其中
)e1(U
RR
ReU
RR
Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
21
2
C U
RR
R)0(u
?
?? 2
21
2
C U
RR
R)(u
?
??
及
21
21
RR
CRRCR
?
???? 为时间常数
则上式可改写为
)e1)((ue)0(uu /t/tC ?? ??? ????
?/tC e)](u)0(u[)(uu ?? ?????
这就是三要素法求得的结果
? 三要素法公式为
?/tC e)](u)0(u[)(uu ?? ?????
?/te)](f)0(f[)(f)t(f ?? ?????
在计算一阶线性电路中的任一暂态量时, 只要求
得该变量的 f (0+),f (∞)和电路的时间常数 τ这三
个, 要素,, 就可以根据公式写出该量的暂态响
应 。 三要素法公式也可这样记忆：
???? ???? /)()( t
0t eff
例 ? 试用三要素法写出图示曲线所示 uC暂态响应。
uC(V)
t (s)3
0
6 9 12
-5
-15
-11.32
解 由图可知
V50u ??? )(
V15u C ??? )(
1
10
68.3
)5(15
)32.11(15 ???
???
?? e求时间常数：
即 s3??
所以 Veeu ttC 3/3/ 1015)]15(5[15 ?? ?????????
§ 6-5,RL电路的响应
? 电感也是储能元件。由 RL构成的线性电
路也是一阶线性电路，也具有暂态过程。
与 RC暂态电路一样, RL 电路也具有 零状态响
应, 零输入响应 及 全响应 。
RL 电路的 响应 规律计算与 RC电路响应一样,
可用解析法求解微分方程或用三要素法进行
分析 。
用三要素法进行分析时, 需对欲求量的初值
及稳态值的计算；要注意对时间常数 τ的求解 。
以下根据例题说明 RL 一阶线性电路的分析过程 。
例 计算如图换路后的电流 i L。
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
解 在 t≥0 时, S闭合
21 iii L ??
2
2
1
1
R
uU
R
uU LL ????
LuRR
RR
R
U
R
U
21
21
2
2
1
1 ????
考虑
dtL d iu LL /? 有 )(1
2
2
1
1
21
21
R
U
R
Ui
RR
RR
Ldt
di
L
L ??
???
令时间常数
? 用分离变量法解方程
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
dtIIi di
SSL
L
?????
1
)( 21
R
L
RR
RRL
??
???
21
21
得 ????? /
21 tSSL KeIIi
? 考虑初始条件
111 /)0()0( SLL IRUii ??? ??
222 / RUIK S ????得
即 )1( /21 ????? tSSL eIIi
代入数据
? 由此得
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
)1( /21 ????? tSSL eIIi
AI S 26/121 ??
AI S 33/92 ??
sRR RRL 2163 631
21
21 ?
?
??????
Aeei ttL 22 35)1(32 ?? ?????
对于 i 1,1)0(1 Ai ??,2)(
1 Ai ??
对于 i 2,1)0(2 Ai ??,3)(2 Ai ??
Aei t21 2 ???
Aei t21 23 ???
§ 6-4,微分电路与积分电路
? 与 6-2节讨论的暂态过程不同，本节从输入 ~输
出的传输关系上讨论 RC电路的特征规律。针对
矩形脉冲激励，在不同的电路时间常数的情况
下构成输出电压的微分或积分响应的关系。
矩形脉冲
对如图电路, 在 t=0时, 将开关
合到位置 2上, 在 t=t1时, 将开关合
到位置 1上, 这样相当于 RC电路得
到矩形脉冲电压 u1。 U
R
i
uR
uC
C
+
–
S2
1
u
0 t
1 t
u1U脉冲幅度为 U,脉
冲宽度为 tp。 若有
周期性则周期为 T。
一, 微分电路
? 设如图 RC电路处于零状态，输
入为矩形脉冲电压 u1，在电阻
R两端输出的电压为 u1 = u2 。
电压 u2 的波形与电路的时间常
数 τ和脉冲宽度 tp有关。
uCu
1 u2
i
R
C
u
0 t
1 t
u1U
tp
当 时, 充电过程很慢,
输出电压与输入电压差别不大,
构成 阻容电路 。 (这里暂不讨论 )
当 时, 充电过程很快,
输出电压将变成尖脉冲, 与输
入电压近似成为微分关系 。
（ 见右侧图示 ）
u
0 t
1 t
u1U
?=0.1tp
0 t
u2
u2
0
?=0.05tp
t
0 t
u2 ?=10tp
0 t
u2 ?=0.2t
p
从前面讨论可知, 时间常数 τ越
小则脉冲越窄越尖 。
? 在 t=0 时，输入电压上升，变化率为
正且很大,输出电压值很大。
uCu
1 u2
i
R
C
? 在 t= tp 时，输入电压下降,变化率为负且很大，输出电压
值为负值也很大。符合与输入电压的微分关系。根据电路
可推导如下：
u
0 t
1 t
u1U
?=0.1tp
0 t
u2
u2
0
?=0.05tp
t
0 t
u2 ?=10tp
0 t
u2 ?=0.2t
p
221 uuuuu CC ?????
由于 τ<< tp，除了充放电开始的极短瞬间外，有
因而 dt
duRC
dt
duRCiRu C 1
2 ???
上式表明, u2与 u1的微分近似成正比关系 。
RC微分电路具有两个要求,
（ 1） τ<< tp(一般 τ<0.2 tp)；（ 2）从电阻两端输出电压。
二、积分电路
同样是 RC串联电路,如果条件发生
变化所得结论也要发生变化 。 如果
条件转变为, (1)τ>> tp; (2)从电容器
两端输出,则电路就转化成积分电路 。
由于 τ>> tp,电容器充电缓慢, 未等
电压充到稳定值,脉冲就已结束,然
后开始放电 。 输出形成锯齿波 。
uRu
1 u2
i R
C
积分电路
u1
t
t1 t2u
2
t
0
0
输出电压和输入电
压的波形
对于缓慢的充放电过程,u2=uC<<uR,因此
iRuuuu RR ???? 21 或 Rui 1?
所以输出电压为 ?? ??? dtu
RCi dtCuu C 12
11
? 电路在一定条件下可以处于稳定状态，但条件
发生变化时电路的状态就会发生变化。并且，
任何稳定状态都是由其它状态转换来的。
? 在实际情况下，状态的转变往往不是突变的，
而需要一个过程 ——即过渡过程。电路中也有过
渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件的存
在，则在电源接通后电容通过充电而升高电压，
这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作用而
使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。
电容的放电过程也是渐变的, 如图：电容放电形
成电流, 电阻两端的电压等于电容的电压, 电流
的存在使电容继续放电 。
? 本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，
也就是电路的暂态过程。
可见只要 uC ? 0,则放
电过程就不能停止, 但
电阻的存在又不能使电
流过大, 直至电容电压
uC = 0 为止 。
i
uC R
研究暂态电路的方法：
一般可以说, 数学分析和实验分析是分析暂态电
路的两种方法 。 本章内容介绍最基本的数学分析
方法, 其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定律 。
实验分析方法, 将在实验课程中应用示波器等仪
器观测暂态过程中各量随时间变化的规律 。
研究暂态过程, 是要认识和掌握这种现象的规律 。
本章主要分析 RC及 RL一阶线性电路的暂态过程,
电路的激励仅限于阶跃电压或矩形脉冲电压 。
重点讨论的问题是,（ 1） 暂态过程随时间变化的
规律； （ 2） 影响暂态过程快慢程度的时间常数 。
§ 6-1,换路定则 u 与 i 初始值的确定
? 换路 —— 指电路因接通、断开、短路以及电压或
电路参数的改变。
都不能突变 。
不论电路的状态如何发生改变, 电路中所具有的
能量是不能突变的 。 如电感的磁能及电容的电能
分别为 和
换路定则 设 t=0为换路瞬间, 则 t=0– 和 t=0+分别
是换路前后的极限时刻 。 从 t=0– 到 t=0+ 瞬间, 电
感元件中的电流和电容元件两端的电压不能突变 。
可表示为
暂态过程的初始值
? 由于换路，电路的状态要发生变化。在 t=0+时电
路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的 初始值 。
初始值的确定, 要依据换路定则及电路性质来分
析, 也受电路约束方程的制约 。
① 换路前的瞬间, 将电路视为稳态 ——电容开路,
电感短路 。
② 换路后的瞬间, 将电容用定值电压 uC(0–) 或电
感用 i L(0–) 定值电流代替 。 若电路无储能, 则视
电容 C为短路, 电感 L为开路 。
③ 根据克希荷夫定律计算出其它电压及电流各量 。
例 ? 试确定如图电路在开关 S闭合后的初始值。
解 设开关闭合前电路处于稳态, 电容相当于开路, 电感相当于短路：则 t = 0
–时刻
10mA
iS iR iC iL
uR
uC uL
2k?
1k? 2k?
C L
S
例
则 t = 0+时刻
10mA
iS iR iC iL
uR
uC uL
2k?
1k? 2k?
C L
S
例 ? 试确定如图电路在开关 S 断开后的初始值。
6V
iC
i1
i2
uC 4?
2?
C
+
–
S
在 t = 0– 时刻
在 t = 0 + 时刻
i
i
i
解
§ 6-2,RC电路的响应
对暂态电路用经典的分析方法, 就是根据激励计算电
压和电流响应的时间函数, 这是一种时域分析法 。
本节讨论一阶 RC电路
一, RC电路的零输入响应
所谓 RC电路的零输入, 是指
无电源激励, 输入信号为零 。
在电容元件的初始状态作用
下所产生的响应 。
实际上也就是分析在电容元
件放电过程中所产生响应的
规律 。
U
R
i
uR
uC
C
+
–
S2
1
RC电路的一阶响应
而
此式是关于 uC 的一阶线性
微分方程 。 可知其通解为
在 开关 S由 2 掷向 1 时,RC回路电压方程为
i
U
R uR
uC
C
+
–
S
2
1
其中 A为积分常数 (与初始值有关 )
? 对于一阶线性齐次方程，可根据公式法求解，
也可应用分离变量法求解。
RC电路的一阶响应
得
时间常数 ? = RC 的意义
? 在前面讨论中，知暂态过程的变化与 RC乘积有
关。考虑初始条件后电容的端电压可表示为
U0为电容换路瞬时的端电压,
RC乘积具有时间的量纲, 称为
电路的时间常数 。 当 t = RC 时
uC随时间的变化关系曲线如右图
RC电路的一阶响应
U0
u
t
0 ?
U0
e
?
RC电路的一阶响应
1?e
?
2?e 4?e3?e 6?e5?e
?2 ?3 ?4 ?6?5
050.0 018.0135.0368.0 007.0 002.0
? 很显然，从理论上讲，电路只有经过 ∞的时
间才能达到稳定。通过计算可以看出：当经
过（ 3~5） τ时，就足可以认为达到稳定状态。
RC电路的一阶响应
?τ 的几何意义：次切线的截距
U0
u
t
0 ?
U0
e
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
0
t
0
C
C
eU
1
eU
dt
)t(du
)t(u
tg
AB
BC
?τ 的计算：从 C两端看进
去的戴维南等效电阻。
?τ 的实验求法：
从题中可以看出，同一电路只有一个时间常数。
RC电路的一阶响应
RC电路的能量平衡关系
2
0C CU
2
1w ?
2
0
2
0
RC
t
0
0
2
R
CU
2
1
R d t)e
R
U
(R d tiw
?
???
??
? ??
已知 S闭合前电路已处于稳定
状态,R1=R2=50Ω,R3=100Ω，
C=0.02F。试求在 t=0时,S断开后的
uC（ t）和 i3（ t）
例
解：
t=0
S
+
- 24V
US R1
R2
R3C
+
uC
-
i3
V
uu CC
16
24
50100
100
)0()0(
?
?
?
?
? ??
先求 uC（ 0-）
VeeUtu t
t
C
?? ?? 16)(
1
0 ?
Ae
R
tuti tC ??? 16.0)()(
3
3
SCRRR RRRRC 102.01005050 100)5050()( )(
321
321 ??
??
??
??
????
R1
R2
R3C
+
uC
-
i3
t
uC i
0
? 所谓 RC电路的零状态，是指换路前电容元件
未储有能量,uC(0–)=0。在此条件下，由电源
激励所产生的电路的响应，称为 零状态响应 。
三,RC电路的零状态响应
电路 (见右图 ) i
U
R uR
uC
C
+
–
S
初始值 0)0()0( ?? ?? CC uu
电路的激励
u = 0U (t < 0)(t > 0)
u
t0
U
阶 跃 激 励
电路方程
其中 i
U
R uR
uC
C
+
–
S
应用分离变量法可得
在 t ≥ 0 时, 回路的电压方程为
C
C
C udt
duRCuRiU ????dt
duCi C?
)(1 UuRCdtdu CC ???
RC
dt
Uu
du
C
C ??
?
将上式积分, 得
整理后，有
i
U
R uR
uC
C
+
–
S RC
dt
Uu
du
C
C ??
?
kRC tUu C ????? )l n(
RC
t
C ekUu
?
???
考虑初始条件 0)0( ??Cu 得 Uk ??
则电容的暂态电压为 )1( RC
t
C eUu
?
??
RC = ? 仍为电路的时间
常数, 当 t = ? 时 )
71 8.2
11()1( 1 ???? ? UeUu
C
i
U
R uR
uC
C
+
–
S
)1( RC
t
C eUu
?
??
UU %2.63)368.01( ???
u
t0
U
?
电容中的电流为
RC
t
C e
R
U
dt
duCi ???
三, RC电路的全响应
? 全响应 是指电源的激励和电容元件的初始状
态 uC(0+)均不为零时的电路响应。根据叠加原
理，可认为是零输入响应与零状态响应的叠加。
以如图电路为例, 说明电路的响应规律 。
+
-
U1 +
-
U2 R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
初始值 的确定：
在 t=0时, )0()0( ?? ? CC uu
1
21
2 U
RR
R
?
?
电路的 方程 在 t≥0时，
+
-
U1 +
-
U2 R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
0iii C21 ???
0
dt
duC
R
u
R
uU C
2
C
1
C2 ????或
整理后得
2C
2
1C
1 Uu)
R
R1(
dt
duCR ???
或
C
21
21C u
CRR
RR
dt
du ??
2
1
U
CR
1?
用分离变量法求所得方程
分离变量后，有
2C
2
1C
1 Uu)
R
R1(
dt
duCR ???
或
C
21
21C u
CRR
RR
dt
du ??
2
1
U
CR
1?
0)U
RR
Ru(
CRR
RR
dt
du
2
21
2
C
21
21C ?
?
???
dt
CR
1dt
CRR
RR
Uu
du
21
21
C
C
???
???
??
积分后 k
CR
t]Uuln [
C ???????
即得到通解
CR
t
C ekUu ?
?
????
21
22
21
21
RR
UR
CRR
RR
?
???
确定积分常数
得
CR
t
2
21
2CR
t
C ekU
RR
RekUu ???? ??
?
?????
1
21
2
C U
RR
R)0(u,0t
?
?? 时当
)UU(
RR
RU
RR
RU
RR
Rk
21
21
2
2
21
2
1
21
2 ?
?
?
?
?
?
?
即
)e1(U
RR
ReU
RR
Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
上式右边分别为 零输入响应 和 零状态响应 。
)e1(U
RR
ReU
RR
Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
-
U1 +
-
U2 R2
R1
C
i2
uC
iC
i1S1
2 t =0
时间常数 C)RR(C
RR
RRCR
21
21
21 ?
?
????
它等于电路在响应过
程中, 电容与其并联
等效电阻之积 。
如图与电容并联的
等效电阻为 R1与 R2
并联 。
综上所述, 计算线性电路暂态过程的步骤
可归纳如下：
? 对换路后的电路列微分方程；
? 求解微分方程的通解，可用分离变量法或
应用一阶线性微分方程的公式法进行求解；
? 根据换路定则确定暂态过程的初始值；
? 确定方程解的积分常数，
? 根据电路理论进一步计算其它待求量。
QPydtdy ?? ]Cdt)P d te x p (Q)[P d te x p (y ?? ????
§ 6-3,一阶线性电路暂态分析的三要素法
? 只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件
的电性电路，其电路方程都是一阶线性常系数
微分方程。
? 这种电路都是一阶线性电路。
? 根据前面讨论, 一阶 RC线性电路的响应都可
以看作是由稳态分量和暂态分量相加而得
?/tAe)(f)t(f)t(f)t(f ?????????
暂态稳态
? ? (t) 可以是电压或电流；
? ? (?) 是稳态分量；
? Ae-t/? 是暂态分量 。
如讨论 RC电路全响应时得到：
其中
)e1(U
RR
ReU
RR
Ru CR
t
2
21
2CR
t
1
21
2
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
21
2
C U
RR
R)0(u
?
?? 2
21
2
C U
RR
R)(u
?
??
及
21
21
RR
CRRCR
?
???? 为时间常数
则上式可改写为
)e1)((ue)0(uu /t/tC ?? ??? ????
?/tC e)](u)0(u[)(uu ?? ?????
这就是三要素法求得的结果
? 三要素法公式为
?/tC e)](u)0(u[)(uu ?? ?????
?/te)](f)0(f[)(f)t(f ?? ?????
在计算一阶线性电路中的任一暂态量时, 只要求
得该变量的 f (0+),f (∞)和电路的时间常数 τ这三
个, 要素,, 就可以根据公式写出该量的暂态响
应 。 三要素法公式也可这样记忆：
???? ???? /)()( t
0t eff
例 ? 试用三要素法写出图示曲线所示 uC暂态响应。
uC(V)
t (s)3
0
6 9 12
-5
-15
-11.32
解 由图可知
V50u ??? )(
V15u C ??? )(
1
10
68.3
)5(15
)32.11(15 ???
???
?? e求时间常数：
即 s3??
所以 Veeu ttC 3/3/ 1015)]15(5[15 ?? ?????????
§ 6-5,RL电路的响应
? 电感也是储能元件。由 RL构成的线性电
路也是一阶线性电路，也具有暂态过程。
与 RC暂态电路一样, RL 电路也具有 零状态响
应, 零输入响应 及 全响应 。
RL 电路的 响应 规律计算与 RC电路响应一样,
可用解析法求解微分方程或用三要素法进行
分析 。
用三要素法进行分析时, 需对欲求量的初值
及稳态值的计算；要注意对时间常数 τ的求解 。
以下根据例题说明 RL 一阶线性电路的分析过程 。
例 计算如图换路后的电流 i L。
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
解 在 t≥0 时, S闭合
21 iii L ??
2
2
1
1
R
uU
R
uU LL ????
LuRR
RR
R
U
R
U
21
21
2
2
1
1 ????
考虑
dtL d iu LL /? 有 )(1
2
2
1
1
21
21
R
U
R
Ui
RR
RR
Ldt
di
L
L ??
???
令时间常数
? 用分离变量法解方程
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
dtIIi di
SSL
L
?????
1
)( 21
R
L
RR
RRL
??
???
21
21
得 ????? /
21 tSSL KeIIi
? 考虑初始条件
111 /)0()0( SLL IRUii ??? ??
222 / RUIK S ????得
即 )1( /21 ????? tSSL eIIi
代入数据
? 由此得
+
–
U1 +
–
U2
R1
i2
i1 S
t =0
12V
R2
iL
9V
6? 3?
1H
L
)1( /21 ????? tSSL eIIi
AI S 26/121 ??
AI S 33/92 ??
sRR RRL 2163 631
21
21 ?
?
??????
Aeei ttL 22 35)1(32 ?? ?????
对于 i 1,1)0(1 Ai ??,2)(
1 Ai ??
对于 i 2,1)0(2 Ai ??,3)(2 Ai ??
Aei t21 2 ???
Aei t21 23 ???
§ 6-4,微分电路与积分电路
? 与 6-2节讨论的暂态过程不同，本节从输入 ~输
出的传输关系上讨论 RC电路的特征规律。针对
矩形脉冲激励，在不同的电路时间常数的情况
下构成输出电压的微分或积分响应的关系。
矩形脉冲
对如图电路, 在 t=0时, 将开关
合到位置 2上, 在 t=t1时, 将开关合
到位置 1上, 这样相当于 RC电路得
到矩形脉冲电压 u1。 U
R
i
uR
uC
C
+
–
S2
1
u
0 t
1 t
u1U脉冲幅度为 U,脉
冲宽度为 tp。 若有
周期性则周期为 T。
一, 微分电路
? 设如图 RC电路处于零状态，输
入为矩形脉冲电压 u1，在电阻
R两端输出的电压为 u1 = u2 。
电压 u2 的波形与电路的时间常
数 τ和脉冲宽度 tp有关。
uCu
1 u2
i
R
C
u
0 t
1 t
u1U
tp
当 时, 充电过程很慢,
输出电压与输入电压差别不大,
构成 阻容电路 。 (这里暂不讨论 )
当 时, 充电过程很快,
输出电压将变成尖脉冲, 与输
入电压近似成为微分关系 。
（ 见右侧图示 ）
u
0 t
1 t
u1U
?=0.1tp
0 t
u2
u2
0
?=0.05tp
t
0 t
u2 ?=10tp
0 t
u2 ?=0.2t
p
从前面讨论可知, 时间常数 τ越
小则脉冲越窄越尖 。
? 在 t=0 时，输入电压上升，变化率为
正且很大,输出电压值很大。
uCu
1 u2
i
R
C
? 在 t= tp 时，输入电压下降,变化率为负且很大，输出电压
值为负值也很大。符合与输入电压的微分关系。根据电路
可推导如下：
u
0 t
1 t
u1U
?=0.1tp
0 t
u2
u2
0
?=0.05tp
t
0 t
u2 ?=10tp
0 t
u2 ?=0.2t
p
221 uuuuu CC ?????
由于 τ<< tp，除了充放电开始的极短瞬间外，有
因而 dt
duRC
dt
duRCiRu C 1
2 ???
上式表明, u2与 u1的微分近似成正比关系 。
RC微分电路具有两个要求,
（ 1） τ<< tp(一般 τ<0.2 tp)；（ 2）从电阻两端输出电压。
二、积分电路
同样是 RC串联电路,如果条件发生
变化所得结论也要发生变化 。 如果
条件转变为, (1)τ>> tp; (2)从电容器
两端输出,则电路就转化成积分电路 。
由于 τ>> tp,电容器充电缓慢, 未等
电压充到稳定值,脉冲就已结束,然
后开始放电 。 输出形成锯齿波 。
uRu
1 u2
i R
C
积分电路
u1
t
t1 t2u
2
t
0
0
输出电压和输入电
压的波形
对于缓慢的充放电过程,u2=uC<<uR,因此
iRuuuu RR ???? 21 或 Rui 1?
所以输出电压为 ?? ??? dtu
RCi dtCuu C 12
11
