§ 3-7,R,L,C串联的交流电路
一, 电流与电压的关系 (u~i 关系 )
??????? udtCdtdiLiRuuuu CLR 1
设电流参考量 tIi
m ?? s in
考虑 R L C 元件上的电压相位，
uR与 i 同相：
tUtRIu RmmR ???? s i ns i n
i
u uL L
uR
uC
R
C
电阻、电感与电容元件的串联交流电路，各元件
通过同一电流。若设定电流及电压的正方向以后，
总电压瞬时值可由克希荷夫定律得到下式：
电感上的电压 uL比电流 i 越前 90°
)90s i n()90s i n( ????????? tUtLIu LmmL
电容上的电压 uL比电流 i 滞后 90°
)90s i n()90s i n( ????????? tUtCIu CmmC
上面各量的最大值及有效值符合欧姆定律，
即,RIUIU R
m
Rm ??
CC
m
Cm X
CI
U
I
U ?
???
1
LL
m
Lm XL
I
U
I
U ????,I
CU.
RU.
LU.,
U
考虑同一频率的各电压求和仍是一个同频率的
正弦量, 所以电路的端电压为
利用相量图来求解幅值 Um(或有效值 U)及相位差 ?，
最为方便。根据相量图，可将电阻、电感及电
容的电压分别用想表示，即得到由, 和
)s i n ( ??????? tUuuuu mCLR
.I
CU.
RU.
LU.,
U
.U
RU
.
)(,,CL UU ?组成的直角三角形，
称为 电压三角形 。由几何关系知
22
22
)()(
)(
CL
LLR
IXIXIR
UUUU
???
???
22 )( CL XXRI ???
也可写成 zXXRIU CL ???? 22 )(
由上式
? | Z | 也具有对电流起阻碍作用的性质,其单位
也是欧姆，称之为电路的阻抗。
IUXXRz CL ???? 22 )(
由于其数值关系，可知 | Z |, R,(XL–XC)
三者之间的关系可以用一个直角三角形来
表示 ——称为 阻抗三角形 。 ?
| Z |
R
XL–XC
电压三角形与阻抗三角形是相似
形,/ ? 就是总电压与电流之间
的相位差。 ? RU,CL UU
.,?.U
这样相位差 ? 就可通过两种方法计算：
R
XXa r c t g
U
UUa r c t g CL
R
CL ?????
在频率一定时, 相位差 ?由电路参数决定
? 当 XL>XC时，有 ? >0,u 比 i 越前 ?角，电路呈电感性；
? 当 XL<XC时，有 ? <0,u 比 i 滞后 ?角，电路呈电容性；
? 当 XL=XC时，有 ?= 0,u 与 i 同相,电路呈电阻性。
,
I
U
I
UZ
m
m ??
大小、相位及相量关系
,iu ????? ?? ? IZU
由电压瞬时值的关系 u=uR + uL + uC
应有
CLCLR XIjXIjRIUUUU
???????
??????
由此定义 Z为复阻抗
其中
?????? jCL eZXXjRZ )(
22 )( CL XXRZ ???
R
XXa r c t g CL ???
与以前定义一致。实部为电阻，虚部称为电抗。
复数阻抗的大小反映了电路的电压与电流的大小关
系；它的辐角 ?反映了电路的电压与电流的相位关系。
用相量表示正弦量为复数，但并不是说正弦量是复
数。而复数阻抗是一种复数计算量，不是相量。
二, RLC串联电路的功率
瞬时功率
)t2c o s (UIc o sUI
)t2c o s (UI)c o s (UI
)ts i n (I2)ts i n (U2uip
iuiu
iu
???
?????
????
???
?????
????
平均功率 （有功功率）
dttUIUI
T
pdt
T
P
tT
)]2c o s (c o s[11
00
??????? ??
R
URIIUUI R
R
2
2c o s ?????
无功功率
电路与电源之间进行能量交换的规模用
无功功率 Q表示。
Q=ULI－ UCI=UIsin? 单位：乏 (Var)
视在功率
S=UI=I2|Z| 单位：伏安（ VA）
电路端电压有效值与其所通过电流有效
值的乘积称为视在功率，用 S表示。
由于平均功率 P、无功功率 Q及视在功率 S三者
所代表的意义不同，它们的单位也有区别。
P
Q
S
UL
–U
CU
UR
功率三角形
? 平均功率 P、无功功率 Q及视在功率 S三者之间的
数值关系为
22 QPS ??
显然,P,Q,S可以构成一个直角三角形 ——
功率三角形 。
三个三角形 都是相似形，它们具有一个相同 /?? 。
功率 P,Q,S和 阻抗 | Z |,R,X都不是正弦量，
所对应的三角形不能用相量表示。
电压,, 是正弦量，
所以电压三角形的三边是相量。
RU
??U
CL UU
?? ?
?
| Z |
XL
–X
C
R
例 RLC串联电路，已知 R=30?,L=127mH,C=40?F,电源电压 u=220 ? (sin314t+20o)V?2
求, (1)电路的感抗、容抗和阻抗；
(2)电流有效值及瞬时值的表达式；
(3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式；
(4)作相量图； (5)电路的功率 P和 Q。
解 (1) 感抗 ??????? ? 40101 2 73 1 4 3LX L
容抗 ??????? ?? 80)10403 1 4(/1 16CX C
????? 50)( 22 CL XXRZ阻抗
(2) 电流有效值 AZUI 4.450/220/ ???
)(53 电容性?????? R XXa r c t g CL相位差角
电流瞬时值 )5320314s i n (24.4 ????? ti
(3)电阻端电压 VRIU R 1 3 2304.4 ?????
At )73314s in (24.4 ???
Vtu L )1 6 33 1 4s i n (21 7 6 ???
电感端电压 VXIU LL 1 7 6404.4 ?????
Vtu R )73314s i n (2132 ???
CLR UUUU ???
Vtu C )173 1 4s in (23 5 2 ???
电容端电压 VXIU
CC 3 5 2804.4 ?????
显然：
CLR UUUU ???
只有：
(4)相量图如右所示：
CU
?
LU
? RU
? ?
U
.I
20o
(5)电路的功率
?? c o sUIP
W8.580?
)53c o s (4.42 2 0 ?????
电路的无功功率
?? s inUIQ
V a r4.7 7 4??
)53s in (4.42 2 0 ?????
视在功率
VAUIS 9684.4220 ????
——解毕
例 试用相量 (复数 )法计算上题中电流及各电压相量。
解 VU ?? 20/2 2 0.电压相量
复数阻抗 )8040(30)( ?????? jXXjRZ CL
???? 53/50
电流相量
A
Z
UI ??
??
??? 73/4.4
53/50
20/2 2 0
.
.
R,L,C的电压相量
VRIU R ?????? 73/1 3 23073/4.4..
VjXIjU LL ?????? 163/1764073/4.4..
VjXIjU CC ????????? 17/352)80(73/4.4..
§ 3-8.阻抗的 串联与并联
一、阻抗的串联
?U
?I Z1
Z2
1U
?
2U
?
?U
?I
Z
ZI)ZZ(I
ZIZIUUU
21
2121
??
?????
???
????
21 ZZZ ??
分压公式：
? 例
??
?
? U
ZZ
ZU
21
1
1
??
?
? U
ZZ
ZU
21
2
2
100uF
1Ω 10-4H 1Ω
ω=104rad/s
a
b
求图示电路的复数阻
抗 Zab
XL=ωL=10-4× 104=1Ω
XC=1 /ωC=1 /10-4× 104=1Ω
?j
j
jZ
RC 2
1
2
1
1
??
?
??
阻抗的串联与并联
? a,b两端总的等效阻抗
1Ω 1Ω
a
b
j1Ω
-j1Ω
?jj
jjZ
ab
5.05.1
2
1
2
3
1
2
1
2
1
????
????
1Ω
j1Ω
-j1Ω
1Ω
阻抗的串联与并联
二、阻抗的并联
? 注意分流公式的使用
21
21
21 Z//Z
ZZ
ZZZ ?
?
?
??
?
? I
ZZ
ZI
21
2
1
Z1 Z2
+
-
?U
?I
1I
? 2I
?
Z
+
-
?I
?U
Y=Y1+Y2
Y称为复数导纳
阻抗的串联与并联
例 ? 已知 R1=3Ω R2=8Ω XL=4Ω XC=6Ω
Vtu 314s in2220?
求：（ 1）,i,i1,i2
（ 2）,P R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
解：
?o
L
j
jXRZ
53/543
11
???
???
?oC jjXRZ 37/106822 ???????
（ 1）
A53/44
53/5
2 2 0
Z
U
I oo
1
1 ?????
?
?
阻抗的串联与并联
A37/22
37/10
2 2 0
Z
U
I oo
2
2 ?
?
???
?
?
A5.26/2.49III o21 ????? ???
I 也可以这样求：
?
o
21
21
5.26/47.4
ZZ
ZZ
Z
?
?
?
A5.26/2.49
5.26/47.4
2 2 0
Z
U
I oo ?????
?
?
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
阻抗的串联与并联
A37/22I o2 ??
A5.26/2.49I o???
A53/44I o1 ????
A)53t314s i n (244i o1 ??
A)37t3 1 4s i n (222i o2 ??
A)5.26t314s i n (22.49i o??
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
阻抗的串联与并联
(2) 功率 P的计算
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
阻抗的串联与并联
P=UIcos?
=220× 49.2cos26.5o
=9680W
P=I12R1+ I22R2
=442× 3+ 222× 8=9680W
P=UI1cos53o+UI2cos（ -37o） =968W
一, 电流与电压的关系 (u~i 关系 )
??????? udtCdtdiLiRuuuu CLR 1
设电流参考量 tIi
m ?? s in
考虑 R L C 元件上的电压相位，
uR与 i 同相：
tUtRIu RmmR ???? s i ns i n
i
u uL L
uR
uC
R
C
电阻、电感与电容元件的串联交流电路，各元件
通过同一电流。若设定电流及电压的正方向以后，
总电压瞬时值可由克希荷夫定律得到下式：
电感上的电压 uL比电流 i 越前 90°
)90s i n()90s i n( ????????? tUtLIu LmmL
电容上的电压 uL比电流 i 滞后 90°
)90s i n()90s i n( ????????? tUtCIu CmmC
上面各量的最大值及有效值符合欧姆定律，
即,RIUIU R
m
Rm ??
CC
m
Cm X
CI
U
I
U ?
???
1
LL
m
Lm XL
I
U
I
U ????,I
CU.
RU.
LU.,
U
考虑同一频率的各电压求和仍是一个同频率的
正弦量, 所以电路的端电压为
利用相量图来求解幅值 Um(或有效值 U)及相位差 ?，
最为方便。根据相量图，可将电阻、电感及电
容的电压分别用想表示，即得到由, 和
)s i n ( ??????? tUuuuu mCLR
.I
CU.
RU.
LU.,
U
.U
RU
.
)(,,CL UU ?组成的直角三角形，
称为 电压三角形 。由几何关系知
22
22
)()(
)(
CL
LLR
IXIXIR
UUUU
???
???
22 )( CL XXRI ???
也可写成 zXXRIU CL ???? 22 )(
由上式
? | Z | 也具有对电流起阻碍作用的性质,其单位
也是欧姆，称之为电路的阻抗。
IUXXRz CL ???? 22 )(
由于其数值关系，可知 | Z |, R,(XL–XC)
三者之间的关系可以用一个直角三角形来
表示 ——称为 阻抗三角形 。 ?
| Z |
R
XL–XC
电压三角形与阻抗三角形是相似
形,/ ? 就是总电压与电流之间
的相位差。 ? RU,CL UU
.,?.U
这样相位差 ? 就可通过两种方法计算：
R
XXa r c t g
U
UUa r c t g CL
R
CL ?????
在频率一定时, 相位差 ?由电路参数决定
? 当 XL>XC时，有 ? >0,u 比 i 越前 ?角，电路呈电感性；
? 当 XL<XC时，有 ? <0,u 比 i 滞后 ?角，电路呈电容性；
? 当 XL=XC时，有 ?= 0,u 与 i 同相,电路呈电阻性。
,
I
U
I
UZ
m
m ??
大小、相位及相量关系
,iu ????? ?? ? IZU
由电压瞬时值的关系 u=uR + uL + uC
应有
CLCLR XIjXIjRIUUUU
???????
??????
由此定义 Z为复阻抗
其中
?????? jCL eZXXjRZ )(
22 )( CL XXRZ ???
R
XXa r c t g CL ???
与以前定义一致。实部为电阻，虚部称为电抗。
复数阻抗的大小反映了电路的电压与电流的大小关
系；它的辐角 ?反映了电路的电压与电流的相位关系。
用相量表示正弦量为复数，但并不是说正弦量是复
数。而复数阻抗是一种复数计算量，不是相量。
二, RLC串联电路的功率
瞬时功率
)t2c o s (UIc o sUI
)t2c o s (UI)c o s (UI
)ts i n (I2)ts i n (U2uip
iuiu
iu
???
?????
????
???
?????
????
平均功率 （有功功率）
dttUIUI
T
pdt
T
P
tT
)]2c o s (c o s[11
00
??????? ??
R
URIIUUI R
R
2
2c o s ?????
无功功率
电路与电源之间进行能量交换的规模用
无功功率 Q表示。
Q=ULI－ UCI=UIsin? 单位：乏 (Var)
视在功率
S=UI=I2|Z| 单位：伏安（ VA）
电路端电压有效值与其所通过电流有效
值的乘积称为视在功率，用 S表示。
由于平均功率 P、无功功率 Q及视在功率 S三者
所代表的意义不同，它们的单位也有区别。
P
Q
S
UL
–U
CU
UR
功率三角形
? 平均功率 P、无功功率 Q及视在功率 S三者之间的
数值关系为
22 QPS ??
显然,P,Q,S可以构成一个直角三角形 ——
功率三角形 。
三个三角形 都是相似形，它们具有一个相同 /?? 。
功率 P,Q,S和 阻抗 | Z |,R,X都不是正弦量，
所对应的三角形不能用相量表示。
电压,, 是正弦量，
所以电压三角形的三边是相量。
RU
??U
CL UU
?? ?
?
| Z |
XL
–X
C
R
例 RLC串联电路，已知 R=30?,L=127mH,C=40?F,电源电压 u=220 ? (sin314t+20o)V?2
求, (1)电路的感抗、容抗和阻抗；
(2)电流有效值及瞬时值的表达式；
(3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式；
(4)作相量图； (5)电路的功率 P和 Q。
解 (1) 感抗 ??????? ? 40101 2 73 1 4 3LX L
容抗 ??????? ?? 80)10403 1 4(/1 16CX C
????? 50)( 22 CL XXRZ阻抗
(2) 电流有效值 AZUI 4.450/220/ ???
)(53 电容性?????? R XXa r c t g CL相位差角
电流瞬时值 )5320314s i n (24.4 ????? ti
(3)电阻端电压 VRIU R 1 3 2304.4 ?????
At )73314s in (24.4 ???
Vtu L )1 6 33 1 4s i n (21 7 6 ???
电感端电压 VXIU LL 1 7 6404.4 ?????
Vtu R )73314s i n (2132 ???
CLR UUUU ???
Vtu C )173 1 4s in (23 5 2 ???
电容端电压 VXIU
CC 3 5 2804.4 ?????
显然：
CLR UUUU ???
只有：
(4)相量图如右所示：
CU
?
LU
? RU
? ?
U
.I
20o
(5)电路的功率
?? c o sUIP
W8.580?
)53c o s (4.42 2 0 ?????
电路的无功功率
?? s inUIQ
V a r4.7 7 4??
)53s in (4.42 2 0 ?????
视在功率
VAUIS 9684.4220 ????
——解毕
例 试用相量 (复数 )法计算上题中电流及各电压相量。
解 VU ?? 20/2 2 0.电压相量
复数阻抗 )8040(30)( ?????? jXXjRZ CL
???? 53/50
电流相量
A
Z
UI ??
??
??? 73/4.4
53/50
20/2 2 0
.
.
R,L,C的电压相量
VRIU R ?????? 73/1 3 23073/4.4..
VjXIjU LL ?????? 163/1764073/4.4..
VjXIjU CC ????????? 17/352)80(73/4.4..
§ 3-8.阻抗的 串联与并联
一、阻抗的串联
?U
?I Z1
Z2
1U
?
2U
?
?U
?I
Z
ZI)ZZ(I
ZIZIUUU
21
2121
??
?????
???
????
21 ZZZ ??
分压公式：
? 例
??
?
? U
ZZ
ZU
21
1
1
??
?
? U
ZZ
ZU
21
2
2
100uF
1Ω 10-4H 1Ω
ω=104rad/s
a
b
求图示电路的复数阻
抗 Zab
XL=ωL=10-4× 104=1Ω
XC=1 /ωC=1 /10-4× 104=1Ω
?j
j
jZ
RC 2
1
2
1
1
??
?
??
阻抗的串联与并联
? a,b两端总的等效阻抗
1Ω 1Ω
a
b
j1Ω
-j1Ω
?jj
jjZ
ab
5.05.1
2
1
2
3
1
2
1
2
1
????
????
1Ω
j1Ω
-j1Ω
1Ω
阻抗的串联与并联
二、阻抗的并联
? 注意分流公式的使用
21
21
21 Z//Z
ZZ
ZZZ ?
?
?
??
?
? I
ZZ
ZI
21
2
1
Z1 Z2
+
-
?U
?I
1I
? 2I
?
Z
+
-
?I
?U
Y=Y1+Y2
Y称为复数导纳
阻抗的串联与并联
例 ? 已知 R1=3Ω R2=8Ω XL=4Ω XC=6Ω
Vtu 314s in2220?
求：（ 1）,i,i1,i2
（ 2）,P R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
解：
?o
L
j
jXRZ
53/543
11
???
???
?oC jjXRZ 37/106822 ???????
（ 1）
A53/44
53/5
2 2 0
Z
U
I oo
1
1 ?????
?
?
阻抗的串联与并联
A37/22
37/10
2 2 0
Z
U
I oo
2
2 ?
?
???
?
?
A5.26/2.49III o21 ????? ???
I 也可以这样求：
?
o
21
21
5.26/47.4
ZZ
ZZ
Z
?
?
?
A5.26/2.49
5.26/47.4
2 2 0
Z
U
I oo ?????
?
?
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
阻抗的串联与并联
A37/22I o2 ??
A5.26/2.49I o???
A53/44I o1 ????
A)53t314s i n (244i o1 ??
A)37t3 1 4s i n (222i o2 ??
A)5.26t314s i n (22.49i o??
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
阻抗的串联与并联
(2) 功率 P的计算
R1 R2
jXL -jXC?U
?I
1I
?
2I
?
阻抗的串联与并联
P=UIcos?
=220× 49.2cos26.5o
=9680W
P=I12R1+ I22R2
=442× 3+ 222× 8=9680W
P=UI1cos53o+UI2cos（ -37o） =968W
