1
第 8章 数字信号的最佳接收
8.1 数字信号接收的统计表述
8.2 最佳接收的准则
8.3 最佳接收机的抗干扰性能
2
8.1 数字信号接收的统计表述
? 在噪声背景下数字信号接收过程是一个
统计判决问题。数字通信系统的统计模
型：
x s + y 判决规则 r
n
消息空间 信号空间
噪声空间
观察空间 判决空间
3
离散消息源可以用概率场来表述
发送信号与消息之间通常是一一对应的
?
?
??
?
?
)()()( 21
21
m
m
xpxpxp
xxx
?
?
? ?
?
m
i i
xp
1
1)(
?
?
??
?
?
)()()( 21
21
m
m
spspsp
sss
?
?
? ?
?
m
i i
sp
1
1)(
n 代表信道噪声的取值,n为零均值高斯型
噪声,n的统计特性应该用多维联合概率密
度函数来描述。
4
? 若限带信道的截止频率为 fH,理想抽样
频率为 2 fH,则在（ 0,T）时间内共有
2fH T个抽样值，其平均功率为
? 令抽样间隔 Δt=1/2fH,若 Δt << T,则上
式可近似用积分代替
),,()( 21 knnnfnf ??
)()()( 21 knfnfnf ?? ]
2
1e x p [
)2(
1
1
2
2 ??? ?
k
i
i
n
k
n
n???
TfknTfN H
k
i
i
H
2,2 1
1
2
0 ???
?
5
?????
?
Tk
i i
dttnTtnTN 0 2
1
2
0 )(
11
])(1e x p [)2( 1)( 0 2
0
??? Tk
n
dttnnnf ??
噪声的单边功率谱密度,
2
0
H
n
f
n ??
y(t) = si(t)+n(t) i=1,2,…m 当接收到信号
取值 s1,s2,… s m 之一时,y也将服从高斯
分布,方差仍为,均值为 si2n?
6
当发送信号为 si(t)时,y(t)的条
件概率密度函数为
又称为似然函数
根据 y(t)的 统计特性,并遵循 一定的
准则,即可作出正确的判决,判决空间中可
能出现的状态 r1,r2,…, rm与 y1，
y2,…, ym一一对应。
})]()([1e x p {)2( 1)( 0 2
0
? ??? T ik
n
si dttstynyf ??
7
8.2 最佳接收的准则
? 最小差错概率准则
在二进制数字调制中，发送信号只有两
个 s1(t)和 s2(t),假设 s1(t)和 s2(t)在观察时
刻的取值为 a1和 a2,则当发送信号为 s1(t)
或 s2(t)时,y(t)的条件概率密度函数为, }])([1e x p {
)2(
1)(
0
2
1
0
1 ? ???
T
k
n
s dtatynyf ??
}])([1e x p {)2( 1)( 0 22
0
2 ? ???
T
k
n
s dtatynyf ??
8
)(1 yfs )(2 yfs
1a 2a0y y2Q
1Q
?? ?0 )(11 y s dyyfQ ?? ?? 0 )(22 y s dyyfQ
每一次判决总的平均错误概率为
Pe = p(s1) Q1 + p(s2) Q2
9
一般 p(s1),p(s2) 认为是已知的,故 Pe 是 y0
的函数
0)()()()( 022011
0
?????? yfspyfspyP sse
)(
)(
)(
)(
1
2
02
01
sp
sp
yf
yf
s
s ?
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
sp
sp
yf
yf
s
s ?
故
为了达到最小错误概率,可按如下规则进行判决
判为 r1 )(
)(
)(
)(
1
2
2
1
sp
sp
yf
yf
s
s ?
判为 r2
似然比判决准则
10
若 p(s1) = p(s2) 则
? 根据最大似然准则,可以推出最佳接收机
结构
)()( 21 yfyf ss ?
)()( 21 yfyf ss ?
判为 s1
判为 s2 最大似然准则
)()()()( 2211 yfspyfsp ss ?判为 S1
)()()()( 2211 yfspyfsp ss ?判为 S2
)( 1sp })]()([
1e x p {
0
2
1
0
? ?? T dttstyn
})]()([1e x p { 0 22
0
? ?? T dttstyn?判为 S
1 ?判为
S2
)( 2sp
11
不等式两边取对数
? 反之 判为 S2
假设 S1(t),S2(t) 持续时间为 (0,T),具有
相同的能量
)(
1ln
1
0 spn ? ?? T dttsty
0
21 )]()([
)(
1ln
2
0 spn? ? ?? T dttsty
0
22 )]()([判为 S
1
?T dtts0 21 )( EdttsT ??? 0 22 )(
(1)
12
(1) 化简为
? 其中
? 由 (2)给出的判决准则,可得最佳接收机的
原理框图
?? T dttstyu 0 11 )()( ??? T dttstyu 0 22 )()((2)
)(ln2 101 spnu ? )(ln2 202 spnu ?
13
相乘器 积分器 相加器
S1(t) U1
相乘器 积分器 相加器
S2(t) U2
比较器y(t)
输出
P(S1) = P(S2) 时,不要该部分
相关检测器
14
最大输出信噪比准则
在最大输出信噪比准则下,最佳线性
滤波器为匹配滤波器
? 匹配滤波器原理
设 线性滤波器输入端
x(t) = s(t) + n(t)
n(t) — 白噪声 pn(ω) = n0/2
s(t) ?S(ω)
要求线性滤波器在某时刻 t0有最大的信号
瞬时功率与噪声平均功率的比值时的最
佳线性滤波器的传输特性 H(ω)
15
H(ω)的输出端,y(t) = s0(t) + n0(t)
? 输出噪声平均功率 N0
?? ??? ???? ? deSHts tj)()(2 1)(0
?? ??? ??? dnHN 2)(2 1 020
?? ??? ??? dHn 20 )(4
16
在 t0时刻的信噪比
?
?
?
??
?
??
??
?
???
?
?
dH
n
deSH tj
20
2
)(
4
)()(
2
1
??
0
2
00
0
)(
N
tsr
许瓦尔兹不等式 2)()(
2
1 ? ?
?? ???? dYX
??? ?????? ?????? dYdX 22 )(2 1)(2 1
(3)
(4)
17
当 (4)等号成立,k为
常数
? 将 (4)用于 (3)分子中,并令
可得
其中 是 s(t)的能量
)(( * ?? kYX ?
)()( ?? HX ? 0)()( tjeSY ??? ?
00
2
0
2
2/
)(
2
1
n
E
n
dS
r ?
?
?
?
?? ???
?? ??? ??? dSE 2)(2 1
18
线性滤波器的最大输出信噪比为
此时
? 此即最佳线性滤波器的传输特性
按 (5)设计的线性滤波器将能在给定时刻
t0上获得最大的输出信噪比 2E/n0
匹配滤波器
h(t) = k s(t0-t)
为了获得物理可实现的匹配滤波器,要求
t < 0 时 h(t) = 0
0
m ax0
2
n
Er ?
0)()( * tjekSH ??? ??(5)
19
即 t < 0 s(t0-t)=0
即 s(t) = 0 t > t0
? 这个条件表明,物理可实现的匹配滤波器,
其输入端信号 s(t) 必须在它输出最大信
噪比的时刻 t0 之前消失
? 匹配滤波器的输出信号波形 ? ?? ?
?? ??? dhtsts )()()(0 ? ???
?
?? ??? dtstsk )()( 0
? ???????? ??? ??? dttssk ])([)( 0
)( 0ttkR ??
? ?? ??? ??? dtfftR )()()( *
20
K可取任意值,通常令 k=1,因此匹配
滤波器的输出波形是输入信号的自相
关函数
最小差错概率准则下的最佳接收机
与最大信噪比准则下的最佳接收机
是等效的,
21
例：试求与射频脉冲波形匹配的匹配滤波
器之特性，并确定其输出波形。
?
?
? ???
t
ttts
其他0
0c o s)( 0 ??
)]()([cos)( 0 ?? ??? tututts
)()(2 1)( 21 ???? FFS ??
????? )]()([{2 1 00 ????????
]}1)(1)([ ???? ???????? jj ejej ?? ???
22
)(2
1
)(2
1
00 ???? ?
?
?
?
jj )(2)(2 0
)(
0
)( 00
????
??????
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j
e
j
e jj
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)(2
)1(
)(2
)1(
0
)(
0
)( 0000
????
????????
?
??
?
?? ????
j
ee
j
ee tjjtjj
令 t0=τ（最大信噪比时刻为 τ ），则
2)(
??
?
je
H
?
? ])()([
0
)(
0
)( 00
????
??????
???
??
j
e
j
e jj
2
??je ?
? ])( 1)( 1[
00 ???? ?
?? jj
23
?? ?????? tttttsth 0)(cos)()( 000
??? ???? tt 0)(cos 0
假设 τ=kT0 k是整数 T0为载频周期
则
2
1)( ??H ]
)(
1
)(
1[
00 ???? ?
?? jj ]1[ ??je ??
?? ??? ttth 0cos)( 0
tdtthtsts ???? ?? ??? )()()(0
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?
?
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???
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t
ttt
tt
t
其他0
2co s]2/)2[(
0co s
2
0
0
????
??
24
)(ts
?
)(th
?
)(0 ts
?2
25
8.3 最佳接收机的抗干扰性能
? 相关接收误码率
?ρ— s1(t)与 s2(t)相关系数
? Eb信号每比特平均能量 E1= E2 = Eb
E1,E2是 s1(t),s2(t)在 0≤t≤T内能量
]2 )1([21
0n
Ee r f cp b
e
???
dttstsEE T )()(1 20 1
21
???
2
2Ta
E b ?
26
在高斯信道中,两种最佳接收方式实际
上是等效的,相关接收误码率公式也是
最佳接收误码率通用公式
? 数字频带信号的最佳接收误码率
ASK 2
2
1
TaE ?
02 ?E
)21(21
0n
Ee r f cp b
e ?
0??
)21(21 re r f c?
ranTanE
n
b ???
2
2
0
2
0 22 ?
其中 T
n
n
02 ??
27
FSK
PSK
0?? )2(2
1)
2(2
1
0
re r f c
n
Ee r f cp b
e ??
1??? )(2
1)(
2
1
0
re r f cnEe r f cp be ??
将上述结果与 P156表 6-2比较可知,相干
解调与最佳接收结果是一致的,因此常把
相干解调与最佳接收混为一谈,
当 y(t) = n(t) + s(t)加到实际接收系统时,
总是首先经过带通滤波器,设带宽为 B
28
BnTnn 002 ???
当 时,实际接收系统和最佳接收系统
具有完全相同的性能,
由于实际的带通滤波器带宽 B总是大于 1/T,
故在同样的输入条件下,实际接收系统的
性能总是比最佳接收系统的差,
等效矩形带宽 B
TB
1?
TB
1?
2
)( 2?? ??? dfHB ? 1)(
m a x ??H
29
例 设接收信号为理想矩形脉冲,即
且设 AT=1(矩形面积 ),试分别用
1,可变带宽的理想低通滤波器
2,可变带宽的 RC低通滤波器
来充当匹配滤波器,并讨论这样做的效果
解 1,匹配滤波器特性
Tj
m e
TA Ts aH ??? ?? )
2()(
)21()( ?? TtA r e c tts
30
)( fH m
f
)( fH
fTB 1?
)(ty
t2Tt?
31
理想低通 BT≤1时,时域最大响应在 处
? 最大信噪比
? 匹配滤波器的最大输出信噪比
2
Tt?
)(2)2( BTsiATy ???
?? x duuSaxsi 0 )()( —— 正弦积分
Bn
BTsiAr
0
22
m ax
)()/2( ???
0
2
m ax0
2
n
TAr ?
)(2 22
m ax0
m ax BTsi
BTr
r ?
??
32
匹配
理想低通
RC低通
max0max / rr 1
0.825
0.815
0.2 0.685 BT
理想低通比匹配滤波器信噪比只降低
0.835dB,有很好的近似结果
33
2,方波通过 RC低通网
? 在 t=T时峰值 s0(T)
由 RC决定的 3dB带宽为
R
CS(t) S0(t)
)1()( /0 RCTeATs ???
RCB ?2
1?
)1()( 20 BTeATs ????
34
噪声功率 ( 为等效噪声带宽 )BnN ??? 00 B?
??? ??? dfHnN 200 )(2 ?? ?? ??? dfBfn 20 )/(1 12
2
0 Bn??
22
0
2
0
2
0
m a x )1(
2
2/
)( BTe
Bn
A
Bn
Tsr ?
??
????
22
m ax0
m ax )1(1 BTe
BTr
r ?
?
???
35
比匹配滤波器信噪比降低 0.88dB
? RC比理想低通只有 0.04dB之差,
? 接收方波信号,利用 RC低通滤波器代替匹
配滤波器具有相当好的效果,
第 8章 数字信号的最佳接收
8.1 数字信号接收的统计表述
8.2 最佳接收的准则
8.3 最佳接收机的抗干扰性能
2
8.1 数字信号接收的统计表述
? 在噪声背景下数字信号接收过程是一个
统计判决问题。数字通信系统的统计模
型：
x s + y 判决规则 r
n
消息空间 信号空间
噪声空间
观察空间 判决空间
3
离散消息源可以用概率场来表述
发送信号与消息之间通常是一一对应的
?
?
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m
m
xpxpxp
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1
1)(
n 代表信道噪声的取值,n为零均值高斯型
噪声,n的统计特性应该用多维联合概率密
度函数来描述。
4
? 若限带信道的截止频率为 fH,理想抽样
频率为 2 fH,则在（ 0,T）时间内共有
2fH T个抽样值，其平均功率为
? 令抽样间隔 Δt=1/2fH,若 Δt << T,则上
式可近似用积分代替
),,()( 21 knnnfnf ??
)()()( 21 knfnfnf ?? ]
2
1e x p [
)2(
1
1
2
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噪声的单边功率谱密度,
2
0
H
n
f
n ??
y(t) = si(t)+n(t) i=1,2,…m 当接收到信号
取值 s1,s2,… s m 之一时,y也将服从高斯
分布,方差仍为,均值为 si2n?
6
当发送信号为 si(t)时,y(t)的条
件概率密度函数为
又称为似然函数
根据 y(t)的 统计特性,并遵循 一定的
准则,即可作出正确的判决,判决空间中可
能出现的状态 r1,r2,…, rm与 y1，
y2,…, ym一一对应。
})]()([1e x p {)2( 1)( 0 2
0
? ??? T ik
n
si dttstynyf ??
7
8.2 最佳接收的准则
? 最小差错概率准则
在二进制数字调制中，发送信号只有两
个 s1(t)和 s2(t),假设 s1(t)和 s2(t)在观察时
刻的取值为 a1和 a2,则当发送信号为 s1(t)
或 s2(t)时,y(t)的条件概率密度函数为, }])([1e x p {
)2(
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k
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s dtatynyf ??
}])([1e x p {)2( 1)( 0 22
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s dtatynyf ??
8
)(1 yfs )(2 yfs
1a 2a0y y2Q
1Q
?? ?0 )(11 y s dyyfQ ?? ?? 0 )(22 y s dyyfQ
每一次判决总的平均错误概率为
Pe = p(s1) Q1 + p(s2) Q2
9
一般 p(s1),p(s2) 认为是已知的,故 Pe 是 y0
的函数
0)()()()( 022011
0
?????? yfspyfspyP sse
)(
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故
为了达到最小错误概率,可按如下规则进行判决
判为 r1 )(
)(
)(
)(
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1
sp
sp
yf
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s
s ?
判为 r2
似然比判决准则
10
若 p(s1) = p(s2) 则
? 根据最大似然准则,可以推出最佳接收机
结构
)()( 21 yfyf ss ?
)()( 21 yfyf ss ?
判为 s1
判为 s2 最大似然准则
)()()()( 2211 yfspyfsp ss ?判为 S1
)()()()( 2211 yfspyfsp ss ?判为 S2
)( 1sp })]()([
1e x p {
0
2
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? ?? T dttstyn
})]()([1e x p { 0 22
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? ?? T dttstyn?判为 S
1 ?判为
S2
)( 2sp
11
不等式两边取对数
? 反之 判为 S2
假设 S1(t),S2(t) 持续时间为 (0,T),具有
相同的能量
)(
1ln
1
0 spn ? ?? T dttsty
0
21 )]()([
)(
1ln
2
0 spn? ? ?? T dttsty
0
22 )]()([判为 S
1
?T dtts0 21 )( EdttsT ??? 0 22 )(
(1)
12
(1) 化简为
? 其中
? 由 (2)给出的判决准则,可得最佳接收机的
原理框图
?? T dttstyu 0 11 )()( ??? T dttstyu 0 22 )()((2)
)(ln2 101 spnu ? )(ln2 202 spnu ?
13
相乘器 积分器 相加器
S1(t) U1
相乘器 积分器 相加器
S2(t) U2
比较器y(t)
输出
P(S1) = P(S2) 时,不要该部分
相关检测器
14
最大输出信噪比准则
在最大输出信噪比准则下,最佳线性
滤波器为匹配滤波器
? 匹配滤波器原理
设 线性滤波器输入端
x(t) = s(t) + n(t)
n(t) — 白噪声 pn(ω) = n0/2
s(t) ?S(ω)
要求线性滤波器在某时刻 t0有最大的信号
瞬时功率与噪声平均功率的比值时的最
佳线性滤波器的传输特性 H(ω)
15
H(ω)的输出端,y(t) = s0(t) + n0(t)
? 输出噪声平均功率 N0
?? ??? ???? ? deSHts tj)()(2 1)(0
?? ??? ??? dnHN 2)(2 1 020
?? ??? ??? dHn 20 )(4
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在 t0时刻的信噪比
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许瓦尔兹不等式 2)()(
2
1 ? ?
?? ???? dYX
??? ?????? ?????? dYdX 22 )(2 1)(2 1
(3)
(4)
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当 (4)等号成立,k为
常数
? 将 (4)用于 (3)分子中,并令
可得
其中 是 s(t)的能量
)(( * ?? kYX ?
)()( ?? HX ? 0)()( tjeSY ??? ?
00
2
0
2
2/
)(
2
1
n
E
n
dS
r ?
?
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?? ??? ??? dSE 2)(2 1
18
线性滤波器的最大输出信噪比为
此时
? 此即最佳线性滤波器的传输特性
按 (5)设计的线性滤波器将能在给定时刻
t0上获得最大的输出信噪比 2E/n0
匹配滤波器
h(t) = k s(t0-t)
为了获得物理可实现的匹配滤波器,要求
t < 0 时 h(t) = 0
0
m ax0
2
n
Er ?
0)()( * tjekSH ??? ??(5)
19
即 t < 0 s(t0-t)=0
即 s(t) = 0 t > t0
? 这个条件表明,物理可实现的匹配滤波器,
其输入端信号 s(t) 必须在它输出最大信
噪比的时刻 t0 之前消失
? 匹配滤波器的输出信号波形 ? ?? ?
?? ??? dhtsts )()()(0 ? ???
?
?? ??? dtstsk )()( 0
? ???????? ??? ??? dttssk ])([)( 0
)( 0ttkR ??
? ?? ??? ??? dtfftR )()()( *
20
K可取任意值,通常令 k=1,因此匹配
滤波器的输出波形是输入信号的自相
关函数
最小差错概率准则下的最佳接收机
与最大信噪比准则下的最佳接收机
是等效的,
21
例：试求与射频脉冲波形匹配的匹配滤波
器之特性，并确定其输出波形。
?
?
? ???
t
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其他0
0c o s)( 0 ??
)]()([cos)( 0 ?? ??? tututts
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)( 0000
????
????????
?
??
?
?? ????
j
ee
j
ee tjjtjj
令 t0=τ（最大信噪比时刻为 τ ），则
2)(
??
?
je
H
?
? ])()([
0
)(
0
)( 00
????
??????
???
??
j
e
j
e jj
2
??je ?
? ])( 1)( 1[
00 ???? ?
?? jj
23
?? ?????? tttttsth 0)(cos)()( 000
??? ???? tt 0)(cos 0
假设 τ=kT0 k是整数 T0为载频周期
则
2
1)( ??H ]
)(
1
)(
1[
00 ???? ?
?? jj ]1[ ??je ??
?? ??? ttth 0cos)( 0
tdtthtsts ???? ?? ??? )()()(0
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
t
ttt
tt
t
其他0
2co s]2/)2[(
0co s
2
0
0
????
??
24
)(ts
?
)(th
?
)(0 ts
?2
25
8.3 最佳接收机的抗干扰性能
? 相关接收误码率
?ρ— s1(t)与 s2(t)相关系数
? Eb信号每比特平均能量 E1= E2 = Eb
E1,E2是 s1(t),s2(t)在 0≤t≤T内能量
]2 )1([21
0n
Ee r f cp b
e
???
dttstsEE T )()(1 20 1
21
???
2
2Ta
E b ?
26
在高斯信道中,两种最佳接收方式实际
上是等效的,相关接收误码率公式也是
最佳接收误码率通用公式
? 数字频带信号的最佳接收误码率
ASK 2
2
1
TaE ?
02 ?E
)21(21
0n
Ee r f cp b
e ?
0??
)21(21 re r f c?
ranTanE
n
b ???
2
2
0
2
0 22 ?
其中 T
n
n
02 ??
27
FSK
PSK
0?? )2(2
1)
2(2
1
0
re r f c
n
Ee r f cp b
e ??
1??? )(2
1)(
2
1
0
re r f cnEe r f cp be ??
将上述结果与 P156表 6-2比较可知,相干
解调与最佳接收结果是一致的,因此常把
相干解调与最佳接收混为一谈,
当 y(t) = n(t) + s(t)加到实际接收系统时,
总是首先经过带通滤波器,设带宽为 B
28
BnTnn 002 ???
当 时,实际接收系统和最佳接收系统
具有完全相同的性能,
由于实际的带通滤波器带宽 B总是大于 1/T,
故在同样的输入条件下,实际接收系统的
性能总是比最佳接收系统的差,
等效矩形带宽 B
TB
1?
TB
1?
2
)( 2?? ??? dfHB ? 1)(
m a x ??H
29
例 设接收信号为理想矩形脉冲,即
且设 AT=1(矩形面积 ),试分别用
1,可变带宽的理想低通滤波器
2,可变带宽的 RC低通滤波器
来充当匹配滤波器,并讨论这样做的效果
解 1,匹配滤波器特性
Tj
m e
TA Ts aH ??? ?? )
2()(
)21()( ?? TtA r e c tts
30
)( fH m
f
)( fH
fTB 1?
)(ty
t2Tt?
31
理想低通 BT≤1时,时域最大响应在 处
? 最大信噪比
? 匹配滤波器的最大输出信噪比
2
Tt?
)(2)2( BTsiATy ???
?? x duuSaxsi 0 )()( —— 正弦积分
Bn
BTsiAr
0
22
m ax
)()/2( ???
0
2
m ax0
2
n
TAr ?
)(2 22
m ax0
m ax BTsi
BTr
r ?
??
32
匹配
理想低通
RC低通
max0max / rr 1
0.825
0.815
0.2 0.685 BT
理想低通比匹配滤波器信噪比只降低
0.835dB,有很好的近似结果
33
2,方波通过 RC低通网
? 在 t=T时峰值 s0(T)
由 RC决定的 3dB带宽为
R
CS(t) S0(t)
)1()( /0 RCTeATs ???
RCB ?2
1?
)1()( 20 BTeATs ????
34
噪声功率 ( 为等效噪声带宽 )BnN ??? 00 B?
??? ??? dfHnN 200 )(2 ?? ?? ??? dfBfn 20 )/(1 12
2
0 Bn??
22
0
2
0
2
0
m a x )1(
2
2/
)( BTe
Bn
A
Bn
Tsr ?
??
????
22
m ax0
m ax )1(1 BTe
BTr
r ?
?
???
35
比匹配滤波器信噪比降低 0.88dB
? RC比理想低通只有 0.04dB之差,
? 接收方波信号,利用 RC低通滤波器代替匹
配滤波器具有相当好的效果,
