1
第二章 随机信号分析
2.1 随机过程的基本概念
2.2 平稳随机过程
2.4 高斯过程
2.5 窄带随机过程
2.6 随机过程通过线性系统
2
2.1 随机过程的基本概念
? 随机过程是时间 t的函数
? 在任意时刻观察，它是一个随机变量
? 随机过程是全部可能实现的总体
3
4
分布函数与概率密度：
? 设 表示一个随机过程,（ t1为任意时刻）是一
个随机变量。
F1（ x1,t1） =P{ ≤x1}
的一维分布函数
? 如果存在
?
? 则称之为 的一维概率密度函数
)(t? )( 1t?
)( 1t?
)(t?
),(),( 111
1
111 txf
x
txF ?
?
?
)(t?
5
的 n维分布函数
n维概率密度函数
n越大,Fn,fn描述 的统计特性就越充分
?nnnnn xtxtxtPtttxxxF ???? )(,,)(,)({),,,;,,,( 22112121 ??? ???
n
nnn
n
xxx
tttxxxF
???
?
?
??
21
2121 ),,,;,,( ),,,;,,(
2121 nnn tttxxxf ???
)(t?
)(t?
6
数学期望与方差
E[ ]=
D[ ]=E{ -E[ ] }2
=E[ ]2-[E ]2 =
协方差函数与相关函数
用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量
的统计相关特性
协方差 B（ t1,t2） =E{[ -a（ t1） ][ -a（ t2） ]}
=
)(),(1 tadxtxxf ?? ???)(t?
)(2 t?
)(t? )(t? )(t?
)(t? )(t?
? ? ???? ??? )]([ 11 tax
)( 1t? )( 2t?
212121222 ),;,()]([ dxdxttxxftax ?
7
相关函数 R（ t1,t2） =E[ ]
=
B（ t1,t2） =R（ t1,t2） -E[ ] E[ ]
,表示两个随机过程
互协方差函数
互相关函数
212121221 ),;,( xddxttxxfxx? ?
?
??
?
??
)( 1t? )( 2t?
)( 1t? )( 2t?
)(t? )(t?
),( 21 ttB ?? ) ] }()() ] [()({[ 2211 tattatE ?? ?? ???
)]()([),( 2121 ttEttR ???? ?
8
2.2 平稳随机过程
任何 n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关
),,,;,,( 2121 nnn tttxxxf ??
),,,;,,( 2121 ??? ???? nnn tttxxxf ??
任意的 n和 因此，一维分布与 t无关，二维分布只与 t1,t2间隔
有关。
均值 （ 2）
方差
（ 3）
相关函数 R（ t1,t2） =
（ 4）
?
（ 1）
?? ??? dxtxxftE ),()]([ ? ? ?? ??? adxxxf )(
2)]()([ tatE ?? ? ?? ??? dxtxfax ),()( 2
? ??? ??? 22 )()( ?dxxfax
212121221 ),;,( xddxttxxfxx? ???? ??? )()(
21 ?RttR ???
9
均值，方差与时间无关
相关函数只与时间间隔有关
满足（ 2），（ 3），（ 4）广义平稳（宽平稳）
满足（ 1） 狭义平稳 （严平稳）
时间平均：取一固定的样本函数（实现）对
时间取平均 x（ t） 为任意实现
? ???? 2
2
)(1lim T T
T
adttxT
2
2
2
2])([1lim ? ??
???
T
TT dtatxT ?
? ????? 2
2
)()()(1l i m T T
T
RdttxtxT ??
10
平稳随机过程,其实现为 x1（ t）,x2（ t），
…x n（ t）,如其时间平均都相等，且等于统计
平均，
即 a=
则称平稳随机过程 具有各态历经性 。
各态历经性可使统计平均转化为时间平均，
简化计算。
)(t?
a 22 ?? ? )()( ?? RR ?
)(t?
11
相关函数与功率谱密度
)(t? 为实平稳随机过程，其自相关函数性质：
（ 1） R（ 0） =E[ ]=S 的平均功率
（ 2） R（ ） =R（ - ） R（ ） 是偶函数
（ 3）
)(2 t? )(t?? ? ?
)0()( RR ??
证明,2)]()([ ??? ?? ttE )]()()(2)([
22 ?????? ????? ttttE
)]()([2)0(2 ??? ??? ttER 0)(2)0(2 ??? ?RR
)()0( ?RR ??
12
（ 4） 的直流功率
（ 5） 的交流功率
任意确定功率信号 f（ t）,功率谱密度
)(t?
)(t? )]([)(
2 tER ???
2)()0( ???? RR
)(?SP
T
FP T
TS
2)(
lim)( ?? ???
)(?TF 是 fT（ t）（ f（ t） 截短函数）的频谱函数
随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计
平均,某一实现之截短函数 )()( ?? TT Ft ?)(t?
T
FEPEP T
TS
2)(
lim)]([)( ???? ????
)()( ??? RP ? ?? ??? ??? ? dPS )(2 1
13
你应该知道的：
? 傅里叶变换
? 记为：
? F（ jω） =F {f（ t） }
? f（ t） =F -1{F（ jω） }
?? ??? ? dtetfjF tj?? )()(
?? ??? ??? ? dejFtf tj)(2 1)(
14
的自相关函数与功率谱密度之间
互为傅氏变换关系
? 例：某随机过程自相关函数为 R（ ），
求功率谱密度。
? 解：
)(t?
?? ??? ? dteRp tj?? ?? )()(
??
? ??
t
sR
其它,0
2,2)( ???
?? ? ?2 2 2 dte tj?
2
212
????
? tje
j
?
?
j
ee jj
2
4 22 ??
?
????
?28 Sa?
?
15
16
例 求随机相位正弦波 的自相关函
数与功率谱密度,常数,在（ 0,2 ）均匀分布。
? 解
)s i n()( 0 ??? ?? tt
0? ??
)][ s i n ()( 0 ?? ?? tEta ]s i ncoscos[ s i n
00 ???? ttE ??0?
)]()([),( 2121 ttEttR ?????
0c o s2
1?
)]()([cos 000 ????????? ???? )(
2)(2)( 00 ???
??????
? ????P
2
1)0( ?? RS ? ??
?? 2
1)(
2
1 ??
? ? dPs
17
2.3高斯过程
任意的 n维分布都服从正态分布的随机过程
? 一维概率密度函数
a 数学期望,均方差,方差
? f（ x） 关于 x=a 对称
? f（ x） 在 单调上升,单调下降
或
?
且有
)2 )(ex p(2 1)( 2 2??? axxf ???
? 2?
),( a?? ),( ?a???x ??x 0)( ?xf
? ???? 1)( dxxf
2
1)()( ? ?? ? ?
?? a
a dxxfdxxf
18
19
分布函数
? 概率积分函数
? 误差函数
? 互补误差函数
dzazxF x ]2 )(e x p[2 1)( 2
2
???
????
??
)()( ?? axxF ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)
2
(
2
1
1
)
2
(
2
1
2
1
)(
?
?
ax
er f c
ax
er f
xF
ax ?
ax ?
dzzx x )2e x p(21)( 2? ?? ????
?? ?x z dzexe r f 0 22)( ?
???? ? ?x z dzexe r fxe r f c 22)(1)( ?
20
2.4 窄带随机过程
窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率
附近一个窄的频带上，中心频率远离零频
)(?S
cfcf?
21
? 同相分量
? 正交分量
? 为零均值，平稳高斯窄带，确定
统计特性
)](c o s [)()( tttat c ?? ??? ?? 0)( ?ta ?
ttttt cscc ????? s i n)(cos)()( ??
)(c o s)()( ttatc ?? ?? ?
)(s i n)()( ttats ?? ?? ?
)(t? )(ta?
)(t?? )(tc? )(ts?
22
结论 1：
? 推导：
由于 平稳，零均值，即任意 t,均有
0)]([)]([ ?? tEtE sc ??
ttEttEtE cscc ????? s i n)]([cos)]([)]([ ??
)(t? 0)]([ ?tE ?
0)]([)]([ ??? tEtE sc ??
23
结论 2：同一时刻 不相关，或统计独
立。
c? s?
0)0( ?
cs
R ?? 0)0( ?
sc
R ??
),( ?? ?ttR )]()([ ??? ?? ttE
)]()([ ??? ?? ttE cc )(coscos ??? ?tt cc
)]()([ ??? ?? ttE sc )(s i ncos ??? ?tt cc
)]()([ ??? ?? ttE cs )(coss i n ??? ?tt cc
)]()([ ??? ?? ttE ss )(s i ns i n ??? ?tt cc
),( ?? ?ttR c
),( ??? ?ttR sc
),( ??? ?ttR cs
),( ?? ?ttR s
平稳)( t?? )(),( ?? ?? RttR ???
24
令 t=0
? 显然要求
? 令 同理可得
???? ?? ctttRR c c o s]),([)( 0???
????? ctttR sc s i n]),([ 0???
)(),( ?? ?? cc RttR ??
)(),( ?? ???? scsc RttR ??
??????? ???? cc scc RRR s i n)(c o s)()( ???
c
t ??2?
??????? ???? cc css RRR s i n)(c o s)()( ??
（ 1）
（ 2）
25
由（ 1），（ 2）可得
? 根据互相关函数的性质，应有
是 的奇函数 有
同理可证
即同一时刻 不相关，或统计独立。
)()( ?? ?? sc RR ?
)()( ?? ???? cssc RR ??
)()( ?? ???? ?? cssc RR
)()( ?? ???? ???? cscs RR （ 3）
)(??? csR ? 0)0( ?csR ??
0)0( ?scR ??
c? s?
26
由（ 1），（ 2）还可得
平均功率相等
即 方差相等
结论 3：, 是高斯过程
证：当
)0()0()0( sc RRR ??? ??
222
sc ???
??? ??
)(tc? )(ts?
01 ?t )()( 11 tt c?? ?
c
t ??22 ? )()(
22 tt s?? ??
)( 1tc? )( 2ts?故,是高斯随机变量。
)(tc? )(ts? 是高斯过程
27
重要结论：
? 均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相
分量和正交分量同样是平稳随机过程，
均值为零，方差相同，在同一时刻得到
的 及 不相关，或统计独立。c? s?
28
统计特性
? 服从瑞利分布
? 服从均匀分布
)(),( tta ?? ?
?a
??
]
2
ex p[)(
2
2
2
?
?
?
?
? ??
aa
af ??0?
?a
?? ? 2
1)( ?f
?? ? 20 ??
29
理想的宽带过程 — 白噪声
? n0为常数
? 白噪声的自相关函数仅在 时才不
为零，故白噪声只有在 时才相关，
在任意两个时刻上随机变量都不相关。
2)(
0nP ??
?
)(2)( 0 ??? nR ?
0?? 0??
30
带 限白噪声
? 对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽
样值是互不相关的随机变量
)(??p
20n
0f0f?
31
02
1f
02
1f?
32
例：限带 3400Hz的语音信号和加性噪声，
以 fs=6800Hz的速率对 x（ t） 进行抽样
?
t
X(t)=s(t)+n(t)
)()()( sss kTnkTSkTX ??
)]()([)( ?? ?? ssx kTXkTXER )()()()( ????
nssnns RRRR ????
)(?sR?
33
2.5随机过程通过线性系统
线性系统响应 v0（ t）,输入 vi（ t）,冲激响应 h（ t）
? 线性系统是物理可实现的，则
或
当输入是随机过程 时，输出为
??? dthvtv i )()()(0 ??? ???
)()()(0 ??? ivHv ?
??? dthvtv t i )()()(0 ??? ??
??? dtvhtv i? ?? ?00 )()()( )(t
i? )(0 t?
? ?? ?00 )()()( ????? dtht i
34
假定输入 是平稳随机过程，考察 的
特性
)(ti? )(0 t?
)]([ 0 tE ? ? ??
?00 ])()([)]([ ????? dthEtE i
? ?? ?0 )]([)( ???? dtEh i
（平稳性） )]([ tE
i?
?? ?0 )()]([ ??? dhtE i
000 )()()0( ?? ?? ??? ???? dtethHH tj?? ?0 )( dtth
)0()]([)]([ 0 HtEtE i ??? ??
1、
35
2,的自相关函数
? 由平稳性
? 输出过程是广义平稳的。
)(0 t? ),( 110 ??ttR
),( 110 ??ttR )]()([ 1010 ??? ?? ttE
? ?? ?0 1 )()([ ???? dthE i? ???0 1 ])()( ????? dth i
? ??? ? ?0 10 )([)()( ???? tEhh i????? ddti )]( 1 ??
)()]()([ 11 ???????? ?????? iii RttE
),( 110 ??? ttR
)()()()( 00 0 ???????? RddRhh i ?? ???? ? ?
36
3,的功率谱密度
? 令 则
)(0 t? )(0 ??P
)(0 ??P ?? ?? deR j?? ??? ?)(0
???????? ?? deRhhdd ji ])()()([0 0 ?? ?? ?? ? ?????
???? ????)(
0 ??P ? ??
? ??0 0 )()( ???? ???? dehdeh jj? ????? ?? ?? ??eR ji )(
)()()(* ??? ? iPHH?
)()( 2 ?? ? iPH?
37
4、输出过程 的分布
? 将
改写为和式：
可知：若 为正态随机变量
也为正态随机变量
高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。
)(0 t?
? ?? ?00 )()()( ????? dtht i
kkk ki htt k ????? ? ?? ??
?
???
)()(l i m)(
000)(t
i?
)(0 t?
38
思考：随机过程, A是均值为 a，
方差为 的高斯随机变量，求：
? 1,及 的两个一维概率密度。
? 2,是否广义平稳？
? 3,的功率谱
? 4、平均功率是多少？
tAt ?? c o s)( ?
2A?
0)( ?tt? 1)( ?tt?)(t?
)(t?
39
解,1,At t ?? 0)(? )
2
)(ex p(
2
1)(
2
2
0
AA
axxf
????
???
At t ??? 1)(?
)2 )(ex p(2 1)( 2 2
1
AA
axxf
????
???
2,在 t=0 及 t=1 时刻，均值不同，一维特征与时间有关
)](c o sc o s[),( 002 ???? ??? ttAEttR
)(c o sc o s][ 002 ??? ?? ttAE
)(c o sc o s)( 0022 ???? ??? ttaA
自相关函数与时间有关,不是广义平稳过程)(t?
40
3、功率谱并不反映随机信号的相位特征，因
此，求功率谱，先对 R进行时间平均。
? 4、
???? 0
22
c o s2),( attR A ???
)]()([2 )()( 0022 ?????????? ????? aP A
2),(
22
0
attRS A ????
?
??
?
第二章 随机信号分析
2.1 随机过程的基本概念
2.2 平稳随机过程
2.4 高斯过程
2.5 窄带随机过程
2.6 随机过程通过线性系统
2
2.1 随机过程的基本概念
? 随机过程是时间 t的函数
? 在任意时刻观察，它是一个随机变量
? 随机过程是全部可能实现的总体
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分布函数与概率密度：
? 设 表示一个随机过程,（ t1为任意时刻）是一
个随机变量。
F1（ x1,t1） =P{ ≤x1}
的一维分布函数
? 如果存在
?
? 则称之为 的一维概率密度函数
)(t? )( 1t?
)( 1t?
)(t?
),(),( 111
1
111 txf
x
txF ?
?
?
)(t?
5
的 n维分布函数
n维概率密度函数
n越大,Fn,fn描述 的统计特性就越充分
?nnnnn xtxtxtPtttxxxF ???? )(,,)(,)({),,,;,,,( 22112121 ??? ???
n
nnn
n
xxx
tttxxxF
???
?
?
??
21
2121 ),,,;,,( ),,,;,,(
2121 nnn tttxxxf ???
)(t?
)(t?
6
数学期望与方差
E[ ]=
D[ ]=E{ -E[ ] }2
=E[ ]2-[E ]2 =
协方差函数与相关函数
用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量
的统计相关特性
协方差 B（ t1,t2） =E{[ -a（ t1） ][ -a（ t2） ]}
=
)(),(1 tadxtxxf ?? ???)(t?
)(2 t?
)(t? )(t? )(t?
)(t? )(t?
? ? ???? ??? )]([ 11 tax
)( 1t? )( 2t?
212121222 ),;,()]([ dxdxttxxftax ?
7
相关函数 R（ t1,t2） =E[ ]
=
B（ t1,t2） =R（ t1,t2） -E[ ] E[ ]
,表示两个随机过程
互协方差函数
互相关函数
212121221 ),;,( xddxttxxfxx? ?
?
??
?
??
)( 1t? )( 2t?
)( 1t? )( 2t?
)(t? )(t?
),( 21 ttB ?? ) ] }()() ] [()({[ 2211 tattatE ?? ?? ???
)]()([),( 2121 ttEttR ???? ?
8
2.2 平稳随机过程
任何 n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关
),,,;,,( 2121 nnn tttxxxf ??
),,,;,,( 2121 ??? ???? nnn tttxxxf ??
任意的 n和 因此，一维分布与 t无关，二维分布只与 t1,t2间隔
有关。
均值 （ 2）
方差
（ 3）
相关函数 R（ t1,t2） =
（ 4）
?
（ 1）
?? ??? dxtxxftE ),()]([ ? ? ?? ??? adxxxf )(
2)]()([ tatE ?? ? ?? ??? dxtxfax ),()( 2
? ??? ??? 22 )()( ?dxxfax
212121221 ),;,( xddxttxxfxx? ???? ??? )()(
21 ?RttR ???
9
均值，方差与时间无关
相关函数只与时间间隔有关
满足（ 2），（ 3），（ 4）广义平稳（宽平稳）
满足（ 1） 狭义平稳 （严平稳）
时间平均：取一固定的样本函数（实现）对
时间取平均 x（ t） 为任意实现
? ???? 2
2
)(1lim T T
T
adttxT
2
2
2
2])([1lim ? ??
???
T
TT dtatxT ?
? ????? 2
2
)()()(1l i m T T
T
RdttxtxT ??
10
平稳随机过程,其实现为 x1（ t）,x2（ t），
…x n（ t）,如其时间平均都相等，且等于统计
平均，
即 a=
则称平稳随机过程 具有各态历经性 。
各态历经性可使统计平均转化为时间平均，
简化计算。
)(t?
a 22 ?? ? )()( ?? RR ?
)(t?
11
相关函数与功率谱密度
)(t? 为实平稳随机过程，其自相关函数性质：
（ 1） R（ 0） =E[ ]=S 的平均功率
（ 2） R（ ） =R（ - ） R（ ） 是偶函数
（ 3）
)(2 t? )(t?? ? ?
)0()( RR ??
证明,2)]()([ ??? ?? ttE )]()()(2)([
22 ?????? ????? ttttE
)]()([2)0(2 ??? ??? ttER 0)(2)0(2 ??? ?RR
)()0( ?RR ??
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（ 4） 的直流功率
（ 5） 的交流功率
任意确定功率信号 f（ t）,功率谱密度
)(t?
)(t? )]([)(
2 tER ???
2)()0( ???? RR
)(?SP
T
FP T
TS
2)(
lim)( ?? ???
)(?TF 是 fT（ t）（ f（ t） 截短函数）的频谱函数
随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计
平均,某一实现之截短函数 )()( ?? TT Ft ?)(t?
T
FEPEP T
TS
2)(
lim)]([)( ???? ????
)()( ??? RP ? ?? ??? ??? ? dPS )(2 1
13
你应该知道的：
? 傅里叶变换
? 记为：
? F（ jω） =F {f（ t） }
? f（ t） =F -1{F（ jω） }
?? ??? ? dtetfjF tj?? )()(
?? ??? ??? ? dejFtf tj)(2 1)(
14
的自相关函数与功率谱密度之间
互为傅氏变换关系
? 例：某随机过程自相关函数为 R（ ），
求功率谱密度。
? 解：
)(t?
?? ??? ? dteRp tj?? ?? )()(
??
? ??
t
sR
其它,0
2,2)( ???
?? ? ?2 2 2 dte tj?
2
212
????
? tje
j
?
?
j
ee jj
2
4 22 ??
?
????
?28 Sa?
?
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例 求随机相位正弦波 的自相关函
数与功率谱密度,常数,在（ 0,2 ）均匀分布。
? 解
)s i n()( 0 ??? ?? tt
0? ??
)][ s i n ()( 0 ?? ?? tEta ]s i ncoscos[ s i n
00 ???? ttE ??0?
)]()([),( 2121 ttEttR ?????
0c o s2
1?
)]()([cos 000 ????????? ???? )(
2)(2)( 00 ???
??????
? ????P
2
1)0( ?? RS ? ??
?? 2
1)(
2
1 ??
? ? dPs
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2.3高斯过程
任意的 n维分布都服从正态分布的随机过程
? 一维概率密度函数
a 数学期望,均方差,方差
? f（ x） 关于 x=a 对称
? f（ x） 在 单调上升,单调下降
或
?
且有
)2 )(ex p(2 1)( 2 2??? axxf ???
? 2?
),( a?? ),( ?a???x ??x 0)( ?xf
? ???? 1)( dxxf
2
1)()( ? ?? ? ?
?? a
a dxxfdxxf
18
19
分布函数
? 概率积分函数
? 误差函数
? 互补误差函数
dzazxF x ]2 )(e x p[2 1)( 2
2
???
????
??
)()( ?? axxF ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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2
1
1
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?
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ax
er f c
ax
er f
xF
ax ?
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dzzx x )2e x p(21)( 2? ?? ????
?? ?x z dzexe r f 0 22)( ?
???? ? ?x z dzexe r fxe r f c 22)(1)( ?
20
2.4 窄带随机过程
窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率
附近一个窄的频带上，中心频率远离零频
)(?S
cfcf?
21
? 同相分量
? 正交分量
? 为零均值，平稳高斯窄带，确定
统计特性
)](c o s [)()( tttat c ?? ??? ?? 0)( ?ta ?
ttttt cscc ????? s i n)(cos)()( ??
)(c o s)()( ttatc ?? ?? ?
)(s i n)()( ttats ?? ?? ?
)(t? )(ta?
)(t?? )(tc? )(ts?
22
结论 1：
? 推导：
由于 平稳，零均值，即任意 t,均有
0)]([)]([ ?? tEtE sc ??
ttEttEtE cscc ????? s i n)]([cos)]([)]([ ??
)(t? 0)]([ ?tE ?
0)]([)]([ ??? tEtE sc ??
23
结论 2：同一时刻 不相关，或统计独
立。
c? s?
0)0( ?
cs
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)]()([ ??? ?? ttE cc )(coscos ??? ?tt cc
)]()([ ??? ?? ttE sc )(s i ncos ??? ?tt cc
)]()([ ??? ?? ttE cs )(coss i n ??? ?tt cc
)]()([ ??? ?? ttE ss )(s i ns i n ??? ?tt cc
),( ?? ?ttR c
),( ??? ?ttR sc
),( ??? ?ttR cs
),( ?? ?ttR s
平稳)( t?? )(),( ?? ?? RttR ???
24
令 t=0
? 显然要求
? 令 同理可得
???? ?? ctttRR c c o s]),([)( 0???
????? ctttR sc s i n]),([ 0???
)(),( ?? ?? cc RttR ??
)(),( ?? ???? scsc RttR ??
??????? ???? cc scc RRR s i n)(c o s)()( ???
c
t ??2?
??????? ???? cc css RRR s i n)(c o s)()( ??
（ 1）
（ 2）
25
由（ 1），（ 2）可得
? 根据互相关函数的性质，应有
是 的奇函数 有
同理可证
即同一时刻 不相关，或统计独立。
)()( ?? ?? sc RR ?
)()( ?? ???? cssc RR ??
)()( ?? ???? ?? cssc RR
)()( ?? ???? ???? cscs RR （ 3）
)(??? csR ? 0)0( ?csR ??
0)0( ?scR ??
c? s?
26
由（ 1），（ 2）还可得
平均功率相等
即 方差相等
结论 3：, 是高斯过程
证：当
)0()0()0( sc RRR ??? ??
222
sc ???
??? ??
)(tc? )(ts?
01 ?t )()( 11 tt c?? ?
c
t ??22 ? )()(
22 tt s?? ??
)( 1tc? )( 2ts?故,是高斯随机变量。
)(tc? )(ts? 是高斯过程
27
重要结论：
? 均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相
分量和正交分量同样是平稳随机过程，
均值为零，方差相同，在同一时刻得到
的 及 不相关，或统计独立。c? s?
28
统计特性
? 服从瑞利分布
? 服从均匀分布
)(),( tta ?? ?
?a
??
]
2
ex p[)(
2
2
2
?
?
?
?
? ??
aa
af ??0?
?a
?? ? 2
1)( ?f
?? ? 20 ??
29
理想的宽带过程 — 白噪声
? n0为常数
? 白噪声的自相关函数仅在 时才不
为零，故白噪声只有在 时才相关，
在任意两个时刻上随机变量都不相关。
2)(
0nP ??
?
)(2)( 0 ??? nR ?
0?? 0??
30
带 限白噪声
? 对带限白噪声按抽样定理抽样，则各抽
样值是互不相关的随机变量
)(??p
20n
0f0f?
31
02
1f
02
1f?
32
例：限带 3400Hz的语音信号和加性噪声，
以 fs=6800Hz的速率对 x（ t） 进行抽样
?
t
X(t)=s(t)+n(t)
)()()( sss kTnkTSkTX ??
)]()([)( ?? ?? ssx kTXkTXER )()()()( ????
nssnns RRRR ????
)(?sR?
33
2.5随机过程通过线性系统
线性系统响应 v0（ t）,输入 vi（ t）,冲激响应 h（ t）
? 线性系统是物理可实现的，则
或
当输入是随机过程 时，输出为
??? dthvtv i )()()(0 ??? ???
)()()(0 ??? ivHv ?
??? dthvtv t i )()()(0 ??? ??
??? dtvhtv i? ?? ?00 )()()( )(t
i? )(0 t?
? ?? ?00 )()()( ????? dtht i
34
假定输入 是平稳随机过程，考察 的
特性
)(ti? )(0 t?
)]([ 0 tE ? ? ??
?00 ])()([)]([ ????? dthEtE i
? ?? ?0 )]([)( ???? dtEh i
（平稳性） )]([ tE
i?
?? ?0 )()]([ ??? dhtE i
000 )()()0( ?? ?? ??? ???? dtethHH tj?? ?0 )( dtth
)0()]([)]([ 0 HtEtE i ??? ??
1、
35
2,的自相关函数
? 由平稳性
? 输出过程是广义平稳的。
)(0 t? ),( 110 ??ttR
),( 110 ??ttR )]()([ 1010 ??? ?? ttE
? ?? ?0 1 )()([ ???? dthE i? ???0 1 ])()( ????? dth i
? ??? ? ?0 10 )([)()( ???? tEhh i????? ddti )]( 1 ??
)()]()([ 11 ???????? ?????? iii RttE
),( 110 ??? ttR
)()()()( 00 0 ???????? RddRhh i ?? ???? ? ?
36
3,的功率谱密度
? 令 则
)(0 t? )(0 ??P
)(0 ??P ?? ?? deR j?? ??? ?)(0
???????? ?? deRhhdd ji ])()()([0 0 ?? ?? ?? ? ?????
???? ????)(
0 ??P ? ??
? ??0 0 )()( ???? ???? dehdeh jj? ????? ?? ?? ??eR ji )(
)()()(* ??? ? iPHH?
)()( 2 ?? ? iPH?
37
4、输出过程 的分布
? 将
改写为和式：
可知：若 为正态随机变量
也为正态随机变量
高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。
)(0 t?
? ?? ?00 )()()( ????? dtht i
kkk ki htt k ????? ? ?? ??
?
???
)()(l i m)(
000)(t
i?
)(0 t?
38
思考：随机过程, A是均值为 a，
方差为 的高斯随机变量，求：
? 1,及 的两个一维概率密度。
? 2,是否广义平稳？
? 3,的功率谱
? 4、平均功率是多少？
tAt ?? c o s)( ?
2A?
0)( ?tt? 1)( ?tt?)(t?
)(t?
39
解,1,At t ?? 0)(? )
2
)(ex p(
2
1)(
2
2
0
AA
axxf
????
???
At t ??? 1)(?
)2 )(ex p(2 1)( 2 2
1
AA
axxf
????
???
2,在 t=0 及 t=1 时刻，均值不同，一维特征与时间有关
)](c o sc o s[),( 002 ???? ??? ttAEttR
)(c o sc o s][ 002 ??? ?? ttAE
)(c o sc o s)( 0022 ???? ??? ttaA
自相关函数与时间有关,不是广义平稳过程)(t?
40
3、功率谱并不反映随机信号的相位特征，因
此，求功率谱，先对 R进行时间平均。
? 4、
???? 0
22
c o s2),( attR A ???
)]()([2 )()( 0022 ?????????? ????? aP A
2),(
22
0
attRS A ????
?
??
?
