二.波函数与薛定谔方程 1、设粒子的归一化波函数为 ，求 （1）在范围内找到粒子的几率； （2）在范围内找到粒子的几率； （3）在及范围内找到粒子的几率。 2、设粒子的归一化波函数为 ，求： （1）在球壳内找到粒子的几率； （2）在方向的立体角内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？ （1）  （2）  （3） 4、对于一维粒子，设 ，求 。 5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。 6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。 （1） （2） 从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波。 表示沿轴反向传播的平面波。 7、由下列两个定态波函数计算几率流密度 （1）； （2） 从所得结果证明表示向外传播的球面波，表示向内传播的球面波（即向原点） 8、求波函数   的归一化常数A。 9、一粒子在一维势场   中运动，求束缚态的能级所满足的方程。 10、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为 ，求： （1）距势阱内左壁宽度内发现粒子的几率； （2）取向值时，在此区域内找到粒子的几率最大？ （3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果与经典情况比较，说明了什么问题？ 11、一粒子在一维势场中运动，势能对原点对称 ，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 12、一粒子在势场   中运动，试利用谐振子的级数解求此粒子的能量值。 13、一电荷为 的谐振子受恒定的弱电场 作用，电场沿正 方向，求该粒子的能量及相应的波函数。 14、对于一维定态谐振子的第一激发态 ，求 （1）振子几率最大的位置； （2）经典振幅A。 15、设 ，其中 ，求归一化常数A，并问在何处找到粒子的几率最大？ 16、若粒子只在一维空间中运动，它的状态可用波函数   来描述，式中E和分别为确定的常数，而A是任意常数，求： （1）归一化的波函数； （2）几率密度（即几率分布函数）； （3）在何处找到粒子的几率最大？ （4）的值。 17、一维运动的粒子处在   的状态，其中，求 （1）归一化的函数； （2）几率分布函数； （3）在何处找到粒子的几率最大？ （4）的值。  18、一维运动的粒子处在 的状态，其  求：（1）归一化波函数； （2）几率分布函数； （3）在何处找到粒子的几率最大？ （4）的值。  19、试一般证明：对于任何势垒，关系式R+D=1自动满足，其中R为反射系数，D为透射系数。 20、当无外场时，在金属中的电子的势能可以近似视为    求电子在均匀外电场作用下，穿过金属表面的透射系数。