四.中心力场和正常塞曼效应 ? 1、氢原子处在基态 求： （1） 的平均值； （2）势能 的平均值； （3）最可几的半径； （4）动能 的平均值； （5）动量的几率分布函数。 2、证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量 。 3、试证明处于1s,2p,3d态的氢原子的电子在离电子核的距离分别为a0、4a0、9a0的球壳内被发现的几率最大。 4、试证明 ， 的氢原子中的电子在 和 的方向上被发现的几率最大。 5、求算符 的本征函数？ 6、对于一维运动，求算符 的本征值和本征函数。 7、下列函数哪些是 的本征函数？ （1）； （2）， （3）Sinx；（4）Cosx；（5）Cosx+SinX， （6）Cosx（7）； （8）。 8、一维谐振子处在 的状态中，试证明：这个态是一维谐振子哈密顿算符的本征态，并求其相应的本征值。 。 9、体系处在 的状态中，试证明这个态是 和 的共同本征态，并求出相应的本征值。 10、若算符k有属于本征值为 的本征函数 ，且有 和 ，证明： 也是算符 的本征函数，对应的本征值分别为 和 。 11、一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下为定态能量及波函数。 （1）平面刚性转子，即转子绕一固定的轴转动； （2）空间刚性转子，即转子绕一固定点转动。 12、一约束在平面上沿一定半径绕 轴（垂直平面）转动的平面子，处于 态中，试确定在此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几率，并求平均值。 13、设 时粒子的状态为 ，求此粒子的平均动量和平均动能。 14、设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，若其状由波函数 描述，求粒子能量的可能取值和相应的几率及平均值。 15、在由两个相距为a的无限高势壁构成的一维箱中，有一质量为 的粒子处在基态，现突然将这两个势壁对称地扩展到间距a的2倍，问： （1）在扩展后的系统中，粒子处于基态的几率是多少？ （2）在扩展过程中，能量守恒吗？ 16、线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态：  式中表示谐振子第n个定态波函数，求： （1）系数C5=？； （2）写出t时刻的波函数； （3）t=0时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值。 （4）t=t时刻谐振子能量的可能取值及其相应的几率，并求其平均值。 17、设氢原子处于状态 求氢原子能量，角动量平方及角动量 分量的可能取值及其相应的几率，并求这些力学量的平均值。 18、设体系处于 态中，求： （1）力学量的本征值； （2）力学量的可能值和平均值； （3）力学量和的可能取值。 19、求二维各向同性谐振子的能级，并讨论其简并情况。