( 量子力学复习题 ( 一、简答题 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为  ，写出粒子在立体角中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为  ，写出粒子在球壳中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱  中粒子的能级和波函数。 8. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 9. 粒子在一维势垒  中运动，波函数为，写出的跃变条件。 10. 何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。 11. 写出在表象中的泡利矩阵。 12. 电子自旋假设的两个要点。 13. 一个力学量守恒的条件是什么（用式子表示）？ 14.  的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 15. 写出电子自旋的二本征态和本征值。 16. 给出如下对易关系：  17. 证明：，其中。 18. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ， 准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。 19. 二电子体系中，总自旋  ，写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 20. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。 22. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 23. 使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？ 24. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 25. 何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？ 26. 给出光学定理的表达式。光学定理的意义何在？ 27. 散射问题中，高能粒子散射和低能粒子散射分别宜采用什么方法处理？ 28. 对于阶梯形方势场  ， 如果（）有限，则定态波函数连续否？其一阶导数 连续否？ 29. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开： ， 写出展开式系数的表达式。 30. 、分别为电子的自旋和轨道角动量，为电子的总角动量。证明：[]=0；[]=0， 31. 证明： 。 32. 一维运动中，哈密顿量 ，求 33. 一个电子运动的旋量波函数为 ，写出表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。 二、计算证明题 1. 计算下列对易式： (1)  （2） 2. 一电子局限在10-14米的区域中运动。已知电子质量9.1110-31千克，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14米的三维无限深势阱计算）。 3. 设粒子处于一维无限深势阱  中，求处于定态中的粒子位置x的平均值。 4. 求  的归一化常数。 5. 一个谐振子处于基态：求势能的平均值及动能的平均值。 6. 设力学量不显含时间，证明在束缚定态下，  。 7. 证明：在的本征态下，。 8. 证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 9. 对于氢原子基态,求电子处于经典禁区的几率(已知氢原子能级,基态波函数为Bohr半径, 势能)。 10.  为的二本征态，本征值分别为。证明： （1）矩阵元之间的关系为  （2）在的任何本征态（比如）下，恒有 。 11. 氢原子处于基态：,求： （1）势能的平均值； （2）最可几半径。 12. 一电子处于态，测力学量，测值如何？ 测力学量，可能得哪些测值？写出的矩阵表示。 13. 在表象中,求的本征态。 14. 已知、分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，为电子的总角动量。的共同本征态为。证明是的本征态，并就和两种情况分别求出其相应的本征值。 15. 氢原子的波函数（时刻）为 , 求时刻的平均能量，其中为定态空间波函数。 16. 一维运动粒子的状态是  求： (1) 归一化常数； (2) 粒子动量的几率分布； (3) 粒子动量平均值。 17. 粒子自旋处于的本征态  ，试求和的测不准关系  18. 氢原子处于状态 ， (1) 求轨道角动量的分量的平均值； (2) 求自旋角动量的分量的平均值； (3) 求总磁矩的分量的平均值。 19. 氢原子处于状态。试求： （1）能量算符、角动量平方算符和角动量分量的可能取值； （2）上述三个量取各可能值的几率； （3）上述三个量的平均值。 20. 一维无限深势阱（）中的粒子，受到微扰用，  求基态能量的一级修正。 21. 证明pauli矩阵满足 。 22. 粒子在二维无限深方势阱中运动， ， （1）试直接写出（不必求解）基态和第一激发态的能级和能量本征函数； （2）加上微扰  ， 求第一激发态能量至级、基态能量至级