1
预备知识
一,矢量运算的基本知识
1.单位矢量
2.矢量的加法
3.矢量的标积
4.矢量的矢积
5.矢量的导数
二,绪论
1,理论力学的研究对象
2,理论力学的学习目的
3,理论力学的研究方法
4,理论力学的学习方法
2
一,矢量运算的基本知识
1.单位矢量,
r
rr o ? ( r > 0 )
直角坐标系中的
单位矢量,
r
0r
O
x
y
z
? ?kji,,
i
j
k
3
2.矢量的 加法
(1)平行四边形法
(2)三角形法
a
b
R
a a
b
bR
R
R = a + b
o
o o
(3)多边形法
R = c + a + b R
a
b
c
c
a
b b
c
a
R = b + c + a
R = a + b + c
R = b + a
4
(1)定义, ? ?
cbababa ???? co s
(2)直角坐标中的解析表示
3.矢量的 标积
a = i ax + j ay + k az b = i bx + j by + k bz
a·b = ax bx + ay by + az bz
矢量 A在直线 l 上的投影 0lAA
l ??
(3)矢量的投影
5
(4)合矢量投影定理
4.矢量的 矢积
(1)定义, c = a × b
(2)直角坐标中的解析表示
? ?babac ?? s i n
若 R = i Rx+ j Ry+k Rz
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ? ai
则有,Rx=?? aix Ry=?? aiy Rz=?? aiz
a
b
c
6
(3)直角 坐 标 系中单位矢量的标积和矢积
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba ??
i·i = j·j = k·k = 1 i·j = i·k = j·k = 0
i× i = j× j = k× k = 0
i× j = k j× k = i k× i = j
? ? ? ?
? ?xyyx
zxxzyxxy
babak
babajbabai
??
????
O
x
y
z
i
jk
7
(1)旋转单位矢量的导数
o x
y
r
ro?
0
?
i
j矢量 r 绕垂直于 x y平面
过 o点的 z 轴以角速度 ?逆
时针旋转,单位矢量 ro和 ?o
亦同样旋转,
0AAA ?
5.矢量的 导数
??????? 0AA
dt
d
dt
Ad
dt
AdAA
dt
dA 00 ??
8
? ? ? ? ??????? s i nc o s0 jkikrk
(2)
? ? ? ? ????????? ? c o ss i n jkikk
(3)
???? s i nc o s0 jir
(1) ?????? c o ss i n0 ji
dt
dk ??? o x
y
r
ro?0 ?
i
j
? ?????? s i nc o s ij 0??
????? c o ss i n ij 0r??
9
? ?
dt
dji
dt
rd ?????? c oss i n0
同 理,
?
?
?????
dt
d
(5)
(6)
0???
dt
d ?
?
??
?
? ??? 0rk
dt
d
0r
dt
dk ?
?
?
??
?
? ?? 0r???
10
(2)旋转矢量的 导 数
o
Rr
r′
? ?rr
dt
d
dt
Rd ???
dt
rd
dt
rd ???
rr ??????? )( rr ?????
R???
11
例 题 1.矢量 a = 3i + 4j +5k,b = i + 2j +5k
求,(1) a+b (2) a?b (3) a× b
(4) ab (5) ba
解,(1) a+b = (3+1)i + (4+2) j + (5+5) k
(2) a?b = 3× 1 + 4× 2 + 5× 5
(3) a× b = 3i × (i + 2j +5k)+ 4j × (i + 2j +5k)
+ 5k × (i + 2j +5k)
= (6k-15j) + (-4k + 20i) + (5j -10i)
= 10i -10j +2k
= 4i + 6j + 10k
= 36
12
(4)
521
543
kji
ba ??
= 10i -10j +2k
22
0
521
52
??
??? kjib
b
babaa
b
???? 0
? ? ? ? ? ? kji 142353152554 ????????????
? ?kji 52
30
1 ???
30
36
521
552413
22
?
??
??????
13
222
0
543
543
??
??
?
kji
a
a
ababb
a
???? 0
(5)
52
543 kji ???
5
18
543
554231
222
?
??
??????
14
二,绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的
3.理论力学的研究方法
4.理论力学的学习方法
15
例 题 2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块 A和 B
的质量分别为 m1和 m2 且 m1< m2,试求物块 A的加速度,
O
A
B
解,
g
mm
mma
A
21
12
?
??
BA aa ?
x
cxx BA ?? 0?? BA xx ??
0?? BA xx ???? 即, BA aa ?
y
16
O
A
D
E
例 题 3.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块 D和 E
的质量分别为 m1和 m2 且 m1< m2,试求物块 E的加速度,
解,
y
x
cxx EA ??2
02 ?? EA xx ??
02 ?? EA xx ????
即,
EA aa ?2
17
O
A
B
C
D
E
例 题 4.图示滑轮系统,已知物体 E的运动方程为
xE = 2t +t2,求 t = 4s时物体 D的速度和加速度,
x
y
解,利用绳长不变的约
束条件得,
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
xD - xC =c4
18
代入 上述结果得, vD= - 1.25
aD= - 0.25
当 t = 4s时 vE =10 aE = 2
aE = 2vE = 2 + 2t
8vD= - vE 8aD= - aE 计算速度和加速度得,
dxD - dxC = 0
2 dxC - dxB = 0 2 dxB - dxA = 0
dxE+ 2 dxA = 0
8dxD = -d xE?
对 上述各式 微 分 得,
预备知识
一,矢量运算的基本知识
1.单位矢量
2.矢量的加法
3.矢量的标积
4.矢量的矢积
5.矢量的导数
二,绪论
1,理论力学的研究对象
2,理论力学的学习目的
3,理论力学的研究方法
4,理论力学的学习方法
2
一,矢量运算的基本知识
1.单位矢量,
r
rr o ? ( r > 0 )
直角坐标系中的
单位矢量,
r
0r
O
x
y
z
? ?kji,,
i
j
k
3
2.矢量的 加法
(1)平行四边形法
(2)三角形法
a
b
R
a a
b
bR
R
R = a + b
o
o o
(3)多边形法
R = c + a + b R
a
b
c
c
a
b b
c
a
R = b + c + a
R = a + b + c
R = b + a
4
(1)定义, ? ?
cbababa ???? co s
(2)直角坐标中的解析表示
3.矢量的 标积
a = i ax + j ay + k az b = i bx + j by + k bz
a·b = ax bx + ay by + az bz
矢量 A在直线 l 上的投影 0lAA
l ??
(3)矢量的投影
5
(4)合矢量投影定理
4.矢量的 矢积
(1)定义, c = a × b
(2)直角坐标中的解析表示
? ?babac ?? s i n
若 R = i Rx+ j Ry+k Rz
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ? ai
则有,Rx=?? aix Ry=?? aiy Rz=?? aiz
a
b
c
6
(3)直角 坐 标 系中单位矢量的标积和矢积
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba ??
i·i = j·j = k·k = 1 i·j = i·k = j·k = 0
i× i = j× j = k× k = 0
i× j = k j× k = i k× i = j
? ? ? ?
? ?xyyx
zxxzyxxy
babak
babajbabai
??
????
O
x
y
z
i
jk
7
(1)旋转单位矢量的导数
o x
y
r
ro?
0
?
i
j矢量 r 绕垂直于 x y平面
过 o点的 z 轴以角速度 ?逆
时针旋转,单位矢量 ro和 ?o
亦同样旋转,
0AAA ?
5.矢量的 导数
??????? 0AA
dt
d
dt
Ad
dt
AdAA
dt
dA 00 ??
8
? ? ? ? ??????? s i nc o s0 jkikrk
(2)
? ? ? ? ????????? ? c o ss i n jkikk
(3)
???? s i nc o s0 jir
(1) ?????? c o ss i n0 ji
dt
dk ??? o x
y
r
ro?0 ?
i
j
? ?????? s i nc o s ij 0??
????? c o ss i n ij 0r??
9
? ?
dt
dji
dt
rd ?????? c oss i n0
同 理,
?
?
?????
dt
d
(5)
(6)
0???
dt
d ?
?
??
?
? ??? 0rk
dt
d
0r
dt
dk ?
?
?
??
?
? ?? 0r???
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(2)旋转矢量的 导 数
o
Rr
r′
? ?rr
dt
d
dt
Rd ???
dt
rd
dt
rd ???
rr ??????? )( rr ?????
R???
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例 题 1.矢量 a = 3i + 4j +5k,b = i + 2j +5k
求,(1) a+b (2) a?b (3) a× b
(4) ab (5) ba
解,(1) a+b = (3+1)i + (4+2) j + (5+5) k
(2) a?b = 3× 1 + 4× 2 + 5× 5
(3) a× b = 3i × (i + 2j +5k)+ 4j × (i + 2j +5k)
+ 5k × (i + 2j +5k)
= (6k-15j) + (-4k + 20i) + (5j -10i)
= 10i -10j +2k
= 4i + 6j + 10k
= 36
12
(4)
521
543
kji
ba ??
= 10i -10j +2k
22
0
521
52
??
??? kjib
b
babaa
b
???? 0
? ? ? ? ? ? kji 142353152554 ????????????
? ?kji 52
30
1 ???
30
36
521
552413
22
?
??
??????
13
222
0
543
543
??
??
?
kji
a
a
ababb
a
???? 0
(5)
52
543 kji ???
5
18
543
554231
222
?
??
??????
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二,绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的
3.理论力学的研究方法
4.理论力学的学习方法
15
例 题 2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块 A和 B
的质量分别为 m1和 m2 且 m1< m2,试求物块 A的加速度,
O
A
B
解,
g
mm
mma
A
21
12
?
??
BA aa ?
x
cxx BA ?? 0?? BA xx ??
0?? BA xx ???? 即, BA aa ?
y
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O
A
D
E
例 题 3.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块 D和 E
的质量分别为 m1和 m2 且 m1< m2,试求物块 E的加速度,
解,
y
x
cxx EA ??2
02 ?? EA xx ??
02 ?? EA xx ????
即,
EA aa ?2
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O
A
B
C
D
E
例 题 4.图示滑轮系统,已知物体 E的运动方程为
xE = 2t +t2,求 t = 4s时物体 D的速度和加速度,
x
y
解,利用绳长不变的约
束条件得,
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
xD - xC =c4
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代入 上述结果得, vD= - 1.25
aD= - 0.25
当 t = 4s时 vE =10 aE = 2
aE = 2vE = 2 + 2t
8vD= - vE 8aD= - aE 计算速度和加速度得,
dxD - dxC = 0
2 dxC - dxB = 0 2 dxB - dxA = 0
dxE+ 2 dxA = 0
8dxD = -d xE?
对 上述各式 微 分 得,
