1
§ 4-1 空间汇交力系
§ 4-2 力对点的矩和力对轴的矩
§ 4-3 空间力偶
§ 4-4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
§ 4-5 空间任意力系的平衡方程
§ 4-6 重心
例题
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第四章 空间力系
静力学
2
§ 4-1 空间汇交力系
汇交力系的实例
汇交力系 ; 平面汇交力系 ; 空间汇交力系,
作用在刚体上的汇交力系是共点力系,
汇交力系的合成
由于汇交力系是共点力系,其合成可用几何
法和解析法,
?
?
?
n
i
iFR
1
(1)几何法,平行四边形法 ;三角形法和多边形法,
3
(2)解 析 法
应用合矢量投影定理进行汇交力系的合成,
R = ? Fi
Rx=??Fix
Ry=?? Fiy
Rz=??Fiz
汇交力系的平衡
汇交力系平衡的必要和充分条件是汇交力
系的合力等于零,
?
?
?
n
i
iFR
1
= 0
4
(1)汇交力系平衡的几何 条 件
汇交力系平衡的必要和充分的几何条件
是力多边形封闭,
(2)汇交力系平衡的解析条件
??Fix = 0
??Fiy = 0
??Fiz = 0
三力平衡定理, 一刚体受不平行的三力作用
而处于平衡时,此三力的作用线必共面且汇
交于一点,
5
§ 4-2 力对点的矩和力对轴的矩
O
x
y
z
A
B
F
r
mo(F)
d
(1)力对点的矩
mo(F) = r× F
mo(F)表示力 F绕 O点
转动的效应,O点称为矩
心,力矩矢是定位矢量,
力矩的三要素,力矩的大小 ;力矩平面的
方位 ;力矩在力矩平面内的转向,
力矩的几何意义, mo(F) =± 2?OAB面积 =± Fd
力矩的单位, N·m 或 kN·m
6
同一个力对不同矩心之矩的 关 系,
mA(F) = r1× F
mB(F) = r2× F
mA(F) - mB(F) = (r1 - r2)× F
B
D
F
r1
r2
A
R
= R × F
若 R??F则 mA(F) = mB(F)
B
D
F
r1
r2
A显然 m
A(F) = r1× F = r2× F
即与 D点在力 F作用线上的位置无关,
7
(2)力对点的矩的 解 析 表示
mo(F) = r× F =
zyx
FFF
zyx
kji
若各力的作用线均在 xy 平面内,则 Fz = 0,
即任一力的坐标 z = 0 则有
mo(F) = x Fx - y Fy =
yx FF
yx
8
例 题 4-1.如图所示,力 F
作用在边长为 a 的正立
方体的对角线上,设 oxy
平面与立方体的底面
ABCD平行,两者之间的
距离为 b.计算力 F对 O点
之矩,
z
y
x
a
a
a
bB
D
O
C
F
A
9
z
y
x
a
a
a
bB
D
O
C
F
A
解,写出力 F的解析表达式,
F = Fy+ Fz + Fx
Fx =
3
F? = Fy Fz =
3
F
Fy
Fz
Fx
rA
rA = a i + a j + b k
? ??Fm o
? ? ? ? jFbaiFba
33
????
333
FFF
baa
kji
??
10
z
y
x
a
a
a
bB
D
O
C
F
A
在力 F的作用线上 取 点 E
r
E
则有
? ? kbarOE ???
? ??Fm o
? ? ? ? jFbaiFba
33
????
333
00
FFF
ba
kji
??
?
11
(2)力对轴的矩
z
o
d
a
b
A
BF
P Fxy
(1)定义, 力 F对于 z轴的矩等于
此力在垂直于 z轴的平面上
的投影对于 z轴与此平面交
点的矩,
mz(F) = mo(Fxy) = ± Fxyd
mz(F)=± 2?oab面积
mo(F) =± 2?OAB面积 =± Fd
12
(3)讨 论, (a)当力的作用线与轴平行或相交亦即力与
轴位于同一平面时力对该轴的矩等于零,
(b)当力沿其作用线移动时,它对轴的矩不变,
(c)在平面力系中,力对力系所在平面内某点
的矩,就是力对通过此点且与力系所在平
面垂直的轴的矩,
力矩关系定理
z
a
bF
xy
d
mo(F)
P
o
B
A
F
?mo(F) =2?OAB面积
mz(F) = Fxyd
=2?oab面积
13
mo(F)与 mz(F)有什么 关 系?
?oab面积 = cos? ?OAB面积
2?oab面积 = 2cos? ?OAB面积
mz(F) = |mo(F)|cos?
mz(F) = moz(F)
力对任一点的力矩矢在对过此点的任一轴
上的投影,等于此力对该轴的矩,
mo(F) = i mox(F)+ j moy(F)+ k moz(F)
= i mx(F)+ j my(F)+ k mz(F)
14
例 题 4-2.设曲杆 OABD位于同一平面内,且 OA垂直
于 AB,AB垂直于 BD,如图所示,在曲杆 D点上作用
一力 P,其大小为 p=2kN.力 P位于垂直于 BD的平面
内,且于竖直线成夹角 ? = 30o,求力 P分别对图示直
角坐标轴的矩,
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?
P
15
P
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?
解,(1)根据力对轴的矩的定义计算
M1
Pyz
d1
作和 x轴垂直的平面 M1.
找出交点 O.
确定力 P在平面
M1内的分力
Pyz=1.732 kN.
在平面 M1内确定
力 Pyz到矩心 O的距
离即力臂 d1=8cm
计算力 Pyz对点 A的矩亦即力 P对 x轴的矩
mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kN·cm
16
作和 y轴垂直的 平 面 M2.
P
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?确定力 P在平面 M
2
内的分力 Pxz=P=1kN.
在平面 M2内确定
力 Pxz到矩心 O的距
离即力臂 d2=3.464cm
计算力 Pxz对点 A的矩亦即力 P对 y轴的矩
my(P) = mo(Pxz) = - Pxz d2 = -6.928 kN·c m
P
d2
亦可用合力矩定理计算,
my(P) = mo(Pz) = - Pz d = -6.928 kN·c m
找出交点 O.
17
P
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?
作和 z轴垂直的 平 面 M3.
找出交点 O.
确定力 P在平面 M3
内的分力 Pxy=1kN.
在平面 M3内确定
力 P到矩心 O的距
离即力臂 d3=8cm
计算力 Pxy对点 O的矩亦即力 P对 z轴的矩
mz(P) = mo(Pxy) = - Pxy d2 = -8 kN·c m
Pxy
M2
d2
18
(2)根据力矩关系定理 计 算
x = - 4
px = p sin30o
? ?
oo
o
pp
kji
PM
30c o s030s i n
084
?
??
kji 8928.686.13 ????
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?y = 8
z = 0
py = 0
pz = - p cos30o
19
例 题 4-3.力 F作用在边长为 a的立方体上如图所示,
求力 F对各轴之矩,
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
20
解,
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
力 F的作用线与 AO,A'O′,BC平行,与 B'C'重合,
?mAO(F) = mA'O'(F) = mBC(F) = mB'C'(F) = 0
21
力 F的 作 用 线与 A'B',
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
C'O',BB'和 CC'相交,
?mA'B'(F) = mC'O'(F) = mBB'(F) = mCC'(F) = 0
22
求 力 F对 AA', OO', A′A 和 O′O轴之矩,
mAA'(F) = mOO'(F) = a F
mA'A(F) = mO'O(F) = - a F
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
23
求 力 F对 AB,OC,BA和 CO轴之矩,
mAB(F) = - a F
mBA(F) = a F
o
A
C
C'
A'
O'
B'
F
B
mOC(F) = - a F
mCO(F) = a F
24
力偶与力偶矩
A
B
F
F′d(1)力偶 (F,F?)
由大小相等,方向相反而
不共线的两个力组成的力系,
§ 4-3 空间力偶
25
力 偶 所在的平面为力偶作用面,力偶两力
之间的垂直距离 d 称为力偶臂,
力偶没有合力,因此力偶不能与一个力等效,
也不能用一个力来平衡,力偶只能与力偶等效,
也只能与力偶平衡,
(2)力偶矩矢
m = rBA× F = rAB× F′ A
B
F
F′
rBAd
m
在平面问题中则有
m = ± Fd
26
力偶的等效条件
力偶两力的矩之和定理,
A
B
F
F′
rBAd
m
rB
rA
O
证明,在空间任取一点 o为矩心,
mo(F,F′) = mo(F) +mo(F′)
= rBA× F
= (rB - rA) × F
= rB× F + rA× F′
= m
力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和等于
该力矩矢,而与矩心的选择无关,
27
(2)力偶的 等 效 条件, 力偶矩矢相等,
推论 1:只要力偶矩矢保持不变,力偶可以从刚体
的一个平面移到另一个平行的平面内,而
不改变其对刚体的转动效应,
推论 2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会
改变它对刚体的转动效应,
推论 3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任
意改变力偶的力的大小和力臂的长短,而
不改变它对刚体的转动效应,
力偶矩矢是自由矢量,
28
力偶系的合成与平衡
设一空间力偶系由 n 个力偶组成,其力偶矩矢
分别为, m1,m2,…,mn,由于力偶矩矢是自由矢
量,则 n 个力偶矩矢组成一个汇交矢量系,利用合
矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡,
(1)力偶系的合成
m = ? mi
mx = ? mix
my = ? miy
mz = ? miz
对于平面力偶系则有, M = ? mi
29
力偶系的 平 衡
空间力偶系平衡的必要合充分条件是,力偶系
中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴
上的投影的代数和等于零,
? mix = 0
? miy = 0
? miz = 0
对于平面力偶系则有, ? mi = 0
30
例 题 4-4.有四个力偶 (F1,F1?)
(F2,F2?) (F3,F3?)和 (F4,F4?)分
别作用在正方体的四个平面
DCFE,CBGF,ABCD和 BDEG
内,各力偶矩的大小为
m1= 200N.m; m2 = 500N.m;
m3=3000N.m;m4=1500N.m,转
向如图所示,求此四个力偶的
合力偶矩,
x
y
z
A B
D
E F
G
F1
C
o
F2
F2′
F3
F3′
F4
F4′
F1′
31
解,写出每个力偶矩矢的解析表达式
m1 = 200 i m2 = - 500 j
m3 = 3000 k
m4 =1500cos45o i+1500sin45o j
Mx =200 +1500cos45o
=1261 N.m
My = -500 +1500sin45o = 560.7 N.m Mz = 3000 N.m
mN
MMMM zyx
.3302
30007.5601261 222222
?
??????
x
y
z
A B
D
E F
G
F1
C
o
F2
F2′
F3
F3′
F4
F4′
F1′
32
例 题 4-5.不计自重的杆 AB与 DC在 C处为光滑接触,它们
分别受力偶矩为 m1与 m2的力偶作用,转向如图,问 m1与
m2的比值为多大,结构才能平衡?
60o 60oA
B
C
D
m1 m2
33
解,取杆 AB为研究对象画受力图,
杆 A B只 受力偶的作用而平衡且 C
处为光滑面约束,则 A处约束反力的
方位可定,
RC? mi = 0
RA = RC = R AC = a
a R - m1 = 0
m1 = a R (1) 60o 60oA
B
C
D
m1 m2
RA
34
取杆 CD为研究 对 象,因 C点约
束方位已定,则 D点约束反力方
位亦可确定,画受力图,
60o 60o D
m2
B
C
A
RD
R C?
RD = RC? = R CD = a
? mi = 0
- 0.5aR + m2 = 0
m2 = 0.5 aR (2)
联立 (1)(2)两式得,
2
2
1 ?
m
m
35
§ 4-4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
(1)主矢与主矩
力线平移定理, 作用于刚体上的一力 F,可以
平行移动到刚体上的任一点 O.但必须同时在此
力线与 O所决定的平面内附加一力偶,此附加力
偶矢的大小和方向等于力 F对 O点的矩矢的大小
和方向,
设一刚体受空间任意力系 F1,F2 … Fn作用,
各力作用点分别为 A1,A2 … An,
36
在 刚 体 内任取一点 O为简化中心,应用力线平移定
理,依次将各力平移到点即得到一个作用于简化中心
O的空间汇交力系 F1,F2 … Fn 和一个由力偶矩矢分
别为 m1,m2 … mn的附加力偶所组成的空间力偶系,
A1
A2
An
F1
F2
Fn
O
x
y
z
m1
m2
mn F'
1 F'
2
F'n
O
x
y
z
37
其 中, F'1 = F1,F'2 = F2,…,F'n = Fn
m1 = mo(F1),m2 = mo(F2),…,mn = mo(Fn)
空间汇交力系 F1,F2 … Fn可合成为作用在
O点的一个力 R'.矢量 R'称为原力系的主矢,
R' = ?F'i = ?Fi
由力偶矩矢分别为 m1,m2 … mn 的附加力偶
所组成的空间力偶系可合成为一个力偶,其力
偶矩矢 Mo称为原力系对简化中心的主矩,
Mo = ? mi = ? mo(Fi)
38
结 论, 空间任意力系向任一点简化,一般可得到
一个力和一个力偶, 这个力作用在简化中心,它的
矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢
量和 ; 这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简
化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的
主矩,
主矢 R'只取决于原力系中各力的大小和方向,与
简化中心的位置无关 ;而主矩 Mo 的大小和方向都
与简化中心的位置有关,
39
(2)主矢与主矩的解析表达式
R' = i R'x+ j R'y+ k R'z
R'x = ?Xi R'y = ?Yi R'z = ?Zi
Mo = i Mox + j Moy +k Moz
= i ? mox(Fi) + j ? moy(Fi) +k ? moz(Fi)
7-5.空间任意力系简化结果的几种情形
(1) R' = 0,Mo = 0 原力系平衡,
(2) R' ? 0,Mo = 0 原力系的最后简化结果为作用于简
化中心的一个力 R',即原力系的合力 R,
40
(3) R? = 0,Mo ? 0 原力系的最后简化 结 果 为一个
力偶,其力偶矩矢为 Mo,此时主矩 Mo与简化中心的
位置无关,
(4) R' ? 0,Mo ? 0 这是简化结果的最一般情形,
(a) R' ? Mo = 0 原力系的最后简化结果为作用于 O'
点的一个合力 R = R',且 OO' = Mo / R'
(b) R' ? Mo ? 0 原力系的最后简化结果为由一个力
和一个力偶所组成的力系即力螺旋,
R' ? Mo ? 0 为右螺旋,
R' ? Mo ? 0 为左螺旋,
41
空间力系的合力矩 定 理,空间力系如能合成一
个合力,则其合力对任一点之矩,等于力系中各力
对同一点之矩的矢量和,
mo(R) = ? mo(Fi)
mx(R) = ? mx(Fi)
my(R) = ? my(Fi)
mz(R) = ? mz(Fi)
R'
Mo
O
( R' ? Mo ? 0 )
R'
Mo
O
( R' ? Mo ? 0 )
42
例 题 4-6,边长 1m的正方体的 AB边上作用一力 F=10kN,
在面 A'B'C'O'上作用一力偶矩 m=5kN.m的力偶,如图所
示,求最后的简化结果,
解,取 O为简
化中心并建
立坐标,
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
m
x
y
z
43
计 算 主矢和主矩
Mo = mo(F) + m = -5 k
R' ? Mo =(-10 j)?(-5 k)
= 0
5.0105 ???OO
F
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
x
y
z
O'R = F = - 10 j
R' = F = - 10 j
确定最后简化结果
44
例 题 4-7,边长为 2m的
正方体两侧面 AOO‘A’和
BCC‘B’ 上分别作用大
小均等于 10kN的力 F和
F‘.如图所示,求最后的
简化结果, o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
F'
x
y
z
D解,取 D点为简化中心
建立坐标,
45
计 算 主矢
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
F'
x
y
z
D
kiF 2525 ???
kiF 2525 ???
kR 210??
46
计 算 主矩
m1=mD(F) = r1?F
? ? ? ?kiji 2525 ?????
m2= mD(F') = r2? F'
? ? ? ?kiji 2525 ?????
MD = k210?
kji 252525 ????
kji 252525 ???
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
F'
x
y
z
D
47
确定最后简化 结 果
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
x
y
z
D
R' ? MD = ? ?
kk 210210 ??
= - 200 ? 0
最后简化结果为左螺旋,
R'
MD
48
§ 4-5 空间任意力系的平衡方程
(1)空间任意力系平衡的必要和充分条件,
R' = 0,Mo = 0
(2)空间任意力系的平衡方程,
? mx(Fi) = 0
? my(Fi) = 0
? mz(Fi) = 0
? Xi = 0
? Yi = 0
? Zi = 0 (7-1)
49
(3)讨 论,
(a)对于空间汇交力系 ? mx(Fi) = 0,? my(Fi) = 0,
? mz(Fi) = 0则其平衡方程为,
(b)对于空间力偶系 ? Xi = 0,? Yi = 0,? Zi = 0则
其平衡方程 为,
? Xi = 0
? Yi = 0
? Zi = 0
(7-2)
? mx = 0
? my = 0
? mz = 0
(7-3)
50
(c)对于空间平行力系 ? Xi = 0,? Yi = 0,?mz(Fi) = 0
则其平衡 方 程 为,
其他各种力系的平衡方程也可以从方程
(7-1)用同样的方法导出,
? Zi = 0
? mx(Fi) = 0
? my(Fi) = 0
(7-4)
51
例 题 4-8,一不计重量的正方形薄板,由六根直杆支
持如图所示,假设这六根杆都可以看作两力杆,求
在力 P作用下各杆的内力,
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
52
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
解, (1)取薄板为研究对象画受力图并选取坐标,
S1
S2 S3 S5
S6
x
y
z
S4
53
写出各力的解析式及
力线上任一点的 坐 标,
(0,a,0)
(-a,a,0)
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
x
y
z
S4
(0,0,0)jPP ?
kSS 11 ??
kSiSS 222 2 22 2 ???
kSS 44 ??
kSiSS 555 2 22 2 ???
kSjSS 333 2 22 2 ???
kSS 66 ??
54
计 算 各力对 A点的矩,
kSajSaiSaSm A 3333 2 22 22 2)( ???
kSaiSaSm A 555 2 22 2)( ???
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
x
y
z
S4
0)( ?Pm A
0)( 1 ?Sm A
0)( 2 ?Sm A
iaSSm A 44 )( ??
jSaiSaSm A 666 )( ???
55
应用平衡方程 计 算,
? ? 02 2 52 ??? SS (1)
? Yi = 0
022 3 ?? SP (2)
? Zi = 0 ? ? ? ? 0
2
2
532641 ??????? SSSSSS
(3)
? mx(Fi) = 0 0
2
2
2
2
6543 ???
?
?
???
? ???? SSSSa (4)
? my(Fi) = 0
0
2
2
63 ???
?
?
???
? ?? SSa (5)
? Xi = 0
? mz(Fi) = 0 ? ? 0
2
2
53 ?? SSa
(6)
56
联 立 (1)(2)(3)(4)(5)(6)式得,
S1 = S6 = - P
S4= P
S2 = S3 = P2
S5 = -
P2
57
(2)取 薄 板 为研究对象画受力图
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
1)只有力 P和 S3能
投影到轴 AD上,
? FAD = 0
022 3 ?? SP
PS 23 ?
58
2)由 于 S1, S4 和
S6均为铅垂方向,力
矩轴应选铅垂方向,
? mB'B(Fi) = 0
3)力矩轴应选在过
另三个力线的交点
B'或 C′,
022 5 ?? SaPa S5 = - P2
? mC'C(Fi) = 0 0
2
2
2 ?? SaPa PS 22 ?
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
59
? mAD(Fi) = 0
0
2
2
63 ??? SaSa
S6 = - P
? mCD(Fi) = 0
02 2 21 ?? SaSa
S1 = - P
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
60
? mB'C'(Fi) = 0
a S1 + a S4 = 0
S4 = P
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
61
例 题 4-9,边长为 a 的正方形薄板由六根连杆支持如
图所示,不计板的重量,并把连杆看作二力杆, 求当板
上有一力偶 M作用时各杆的内力,
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
62
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
解, 取薄板为研究对象画受力图,
S1
S2
S3
S4
S5 S6
63
? mD'D(Fi) = 0
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
S1
S2
S3
S4
S5 S6
022 2 ?? SaM
a
MS 2
2 ?
? mB'B(Fi) = 0 0
2
2
5 ?? SaM a
MS 2
5 ?
? Yi = 0
0s i nc o s3 ???S
S3 = 0
64
? mCD(Fi) = 0
02 2 21 ?? SaSa
a
MS ??
1
? mAD(Fi) = 0
02 2 65 ??? SaSa aMS ??6
? mAC(Fi) = 0 b S4 = 0 S4 = 0
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
S1
S2
S3
S4
S5 S6
65
例 题 4-10.边长为 a的正方形薄板由六根连杆支持如图所
示,不计板的重量,并把连杆看作二力杆,求当板上有一力
P和一力偶 M作用时各杆的内力,
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
66
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
解, 取薄板为研究对象画受力图
S1
S2
S3
S4
S5 S
6
67
? Yi = 0
02 22 2 3 ?? PS
S3 = - P
? mA'A(Fi) = 0
02 2 5 ?? SaM
a
MS 2
5 ?
? mA'D'(Fi) = 0 0
2
2
6 ??? SaPa
PS 226 ??
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
S1
S2
S3
S4
S5 S
6
68
? mD'D(Fi) = 0
02 22 2 2 ??? SaPaM
a
MPS 2
2 ??
? mC'D'(Fi) = 0
02 22 2 21 ??? PaSaSa
a
MS ?
1
? mBC(Fi) = 0
02 2 431 ??? SaaSSa aMPS ?? 224
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
S1
S2
S3
S4
S5 S
6
69
§ 4-6 重心
(1)物体重心的定义：
W
rw
r iic ??
均质物体的重心位置完全决定于物体的几
何形状,而与物体的重量无关,由物体的几何形
状和尺寸所决定的物体的几何中心,称为物体
的形心,
A
Ar
r iic ?
?
?
70
(2)计算物体形心的方法,分割法和负面积法
例 题 4-11.求图示平面图形的形心,
5m
5m
15m
20m
71
解,(1)分割法
取坐标如图且把平
面图形分为 A和 B两
部分,
C1(2.5,7.5)
C2(12.5,2.5)
5.7515155 5.125155.2155 ???? ??????cx
5515155 5.25155.7155 ???? ??????cy
x
5m
5m
15m
20m
y
o
C1
A C2 B
72
(2)负 面 积 法
取坐标如图,使平面
图形组合成矩形 A.
5m
5m
20m
x
y
o
以及负面积的矩形 B.
C1(10,7.5)
C2(12.5,10)
5.710151520 5.121015101520 ???? ??????cx
5
10151520
1010155.71520 ?
???
??????
cy
C2
A C
1
B
73
再 见
§ 4-1 空间汇交力系
§ 4-2 力对点的矩和力对轴的矩
§ 4-3 空间力偶
§ 4-4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
§ 4-5 空间任意力系的平衡方程
§ 4-6 重心
例题
返回
第四章 空间力系
静力学
2
§ 4-1 空间汇交力系
汇交力系的实例
汇交力系 ; 平面汇交力系 ; 空间汇交力系,
作用在刚体上的汇交力系是共点力系,
汇交力系的合成
由于汇交力系是共点力系,其合成可用几何
法和解析法,
?
?
?
n
i
iFR
1
(1)几何法,平行四边形法 ;三角形法和多边形法,
3
(2)解 析 法
应用合矢量投影定理进行汇交力系的合成,
R = ? Fi
Rx=??Fix
Ry=?? Fiy
Rz=??Fiz
汇交力系的平衡
汇交力系平衡的必要和充分条件是汇交力
系的合力等于零,
?
?
?
n
i
iFR
1
= 0
4
(1)汇交力系平衡的几何 条 件
汇交力系平衡的必要和充分的几何条件
是力多边形封闭,
(2)汇交力系平衡的解析条件
??Fix = 0
??Fiy = 0
??Fiz = 0
三力平衡定理, 一刚体受不平行的三力作用
而处于平衡时,此三力的作用线必共面且汇
交于一点,
5
§ 4-2 力对点的矩和力对轴的矩
O
x
y
z
A
B
F
r
mo(F)
d
(1)力对点的矩
mo(F) = r× F
mo(F)表示力 F绕 O点
转动的效应,O点称为矩
心,力矩矢是定位矢量,
力矩的三要素,力矩的大小 ;力矩平面的
方位 ;力矩在力矩平面内的转向,
力矩的几何意义, mo(F) =± 2?OAB面积 =± Fd
力矩的单位, N·m 或 kN·m
6
同一个力对不同矩心之矩的 关 系,
mA(F) = r1× F
mB(F) = r2× F
mA(F) - mB(F) = (r1 - r2)× F
B
D
F
r1
r2
A
R
= R × F
若 R??F则 mA(F) = mB(F)
B
D
F
r1
r2
A显然 m
A(F) = r1× F = r2× F
即与 D点在力 F作用线上的位置无关,
7
(2)力对点的矩的 解 析 表示
mo(F) = r× F =
zyx
FFF
zyx
kji
若各力的作用线均在 xy 平面内,则 Fz = 0,
即任一力的坐标 z = 0 则有
mo(F) = x Fx - y Fy =
yx FF
yx
8
例 题 4-1.如图所示,力 F
作用在边长为 a 的正立
方体的对角线上,设 oxy
平面与立方体的底面
ABCD平行,两者之间的
距离为 b.计算力 F对 O点
之矩,
z
y
x
a
a
a
bB
D
O
C
F
A
9
z
y
x
a
a
a
bB
D
O
C
F
A
解,写出力 F的解析表达式,
F = Fy+ Fz + Fx
Fx =
3
F? = Fy Fz =
3
F
Fy
Fz
Fx
rA
rA = a i + a j + b k
? ??Fm o
? ? ? ? jFbaiFba
33
????
333
FFF
baa
kji
??
10
z
y
x
a
a
a
bB
D
O
C
F
A
在力 F的作用线上 取 点 E
r
E
则有
? ? kbarOE ???
? ??Fm o
? ? ? ? jFbaiFba
33
????
333
00
FFF
ba
kji
??
?
11
(2)力对轴的矩
z
o
d
a
b
A
BF
P Fxy
(1)定义, 力 F对于 z轴的矩等于
此力在垂直于 z轴的平面上
的投影对于 z轴与此平面交
点的矩,
mz(F) = mo(Fxy) = ± Fxyd
mz(F)=± 2?oab面积
mo(F) =± 2?OAB面积 =± Fd
12
(3)讨 论, (a)当力的作用线与轴平行或相交亦即力与
轴位于同一平面时力对该轴的矩等于零,
(b)当力沿其作用线移动时,它对轴的矩不变,
(c)在平面力系中,力对力系所在平面内某点
的矩,就是力对通过此点且与力系所在平
面垂直的轴的矩,
力矩关系定理
z
a
bF
xy
d
mo(F)
P
o
B
A
F
?mo(F) =2?OAB面积
mz(F) = Fxyd
=2?oab面积
13
mo(F)与 mz(F)有什么 关 系?
?oab面积 = cos? ?OAB面积
2?oab面积 = 2cos? ?OAB面积
mz(F) = |mo(F)|cos?
mz(F) = moz(F)
力对任一点的力矩矢在对过此点的任一轴
上的投影,等于此力对该轴的矩,
mo(F) = i mox(F)+ j moy(F)+ k moz(F)
= i mx(F)+ j my(F)+ k mz(F)
14
例 题 4-2.设曲杆 OABD位于同一平面内,且 OA垂直
于 AB,AB垂直于 BD,如图所示,在曲杆 D点上作用
一力 P,其大小为 p=2kN.力 P位于垂直于 BD的平面
内,且于竖直线成夹角 ? = 30o,求力 P分别对图示直
角坐标轴的矩,
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?
P
15
P
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?
解,(1)根据力对轴的矩的定义计算
M1
Pyz
d1
作和 x轴垂直的平面 M1.
找出交点 O.
确定力 P在平面
M1内的分力
Pyz=1.732 kN.
在平面 M1内确定
力 Pyz到矩心 O的距
离即力臂 d1=8cm
计算力 Pyz对点 A的矩亦即力 P对 x轴的矩
mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kN·cm
16
作和 y轴垂直的 平 面 M2.
P
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?确定力 P在平面 M
2
内的分力 Pxz=P=1kN.
在平面 M2内确定
力 Pxz到矩心 O的距
离即力臂 d2=3.464cm
计算力 Pxz对点 A的矩亦即力 P对 y轴的矩
my(P) = mo(Pxz) = - Pxz d2 = -6.928 kN·c m
P
d2
亦可用合力矩定理计算,
my(P) = mo(Pz) = - Pz d = -6.928 kN·c m
找出交点 O.
17
P
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?
作和 z轴垂直的 平 面 M3.
找出交点 O.
确定力 P在平面 M3
内的分力 Pxy=1kN.
在平面 M3内确定
力 P到矩心 O的距
离即力臂 d3=8cm
计算力 Pxy对点 O的矩亦即力 P对 z轴的矩
mz(P) = mo(Pxy) = - Pxy d2 = -8 kN·c m
Pxy
M2
d2
18
(2)根据力矩关系定理 计 算
x = - 4
px = p sin30o
? ?
oo
o
pp
kji
PM
30c o s030s i n
084
?
??
kji 8928.686.13 ????
x
z
yo
A
B D
3cm
5cm
?y = 8
z = 0
py = 0
pz = - p cos30o
19
例 题 4-3.力 F作用在边长为 a的立方体上如图所示,
求力 F对各轴之矩,
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
20
解,
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
力 F的作用线与 AO,A'O′,BC平行,与 B'C'重合,
?mAO(F) = mA'O'(F) = mBC(F) = mB'C'(F) = 0
21
力 F的 作 用 线与 A'B',
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
C'O',BB'和 CC'相交,
?mA'B'(F) = mC'O'(F) = mBB'(F) = mCC'(F) = 0
22
求 力 F对 AA', OO', A′A 和 O′O轴之矩,
mAA'(F) = mOO'(F) = a F
mA'A(F) = mO'O(F) = - a F
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
23
求 力 F对 AB,OC,BA和 CO轴之矩,
mAB(F) = - a F
mBA(F) = a F
o
A
C
C'
A'
O'
B'
F
B
mOC(F) = - a F
mCO(F) = a F
24
力偶与力偶矩
A
B
F
F′d(1)力偶 (F,F?)
由大小相等,方向相反而
不共线的两个力组成的力系,
§ 4-3 空间力偶
25
力 偶 所在的平面为力偶作用面,力偶两力
之间的垂直距离 d 称为力偶臂,
力偶没有合力,因此力偶不能与一个力等效,
也不能用一个力来平衡,力偶只能与力偶等效,
也只能与力偶平衡,
(2)力偶矩矢
m = rBA× F = rAB× F′ A
B
F
F′
rBAd
m
在平面问题中则有
m = ± Fd
26
力偶的等效条件
力偶两力的矩之和定理,
A
B
F
F′
rBAd
m
rB
rA
O
证明,在空间任取一点 o为矩心,
mo(F,F′) = mo(F) +mo(F′)
= rBA× F
= (rB - rA) × F
= rB× F + rA× F′
= m
力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和等于
该力矩矢,而与矩心的选择无关,
27
(2)力偶的 等 效 条件, 力偶矩矢相等,
推论 1:只要力偶矩矢保持不变,力偶可以从刚体
的一个平面移到另一个平行的平面内,而
不改变其对刚体的转动效应,
推论 2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会
改变它对刚体的转动效应,
推论 3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任
意改变力偶的力的大小和力臂的长短,而
不改变它对刚体的转动效应,
力偶矩矢是自由矢量,
28
力偶系的合成与平衡
设一空间力偶系由 n 个力偶组成,其力偶矩矢
分别为, m1,m2,…,mn,由于力偶矩矢是自由矢
量,则 n 个力偶矩矢组成一个汇交矢量系,利用合
矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡,
(1)力偶系的合成
m = ? mi
mx = ? mix
my = ? miy
mz = ? miz
对于平面力偶系则有, M = ? mi
29
力偶系的 平 衡
空间力偶系平衡的必要合充分条件是,力偶系
中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴
上的投影的代数和等于零,
? mix = 0
? miy = 0
? miz = 0
对于平面力偶系则有, ? mi = 0
30
例 题 4-4.有四个力偶 (F1,F1?)
(F2,F2?) (F3,F3?)和 (F4,F4?)分
别作用在正方体的四个平面
DCFE,CBGF,ABCD和 BDEG
内,各力偶矩的大小为
m1= 200N.m; m2 = 500N.m;
m3=3000N.m;m4=1500N.m,转
向如图所示,求此四个力偶的
合力偶矩,
x
y
z
A B
D
E F
G
F1
C
o
F2
F2′
F3
F3′
F4
F4′
F1′
31
解,写出每个力偶矩矢的解析表达式
m1 = 200 i m2 = - 500 j
m3 = 3000 k
m4 =1500cos45o i+1500sin45o j
Mx =200 +1500cos45o
=1261 N.m
My = -500 +1500sin45o = 560.7 N.m Mz = 3000 N.m
mN
MMMM zyx
.3302
30007.5601261 222222
?
??????
x
y
z
A B
D
E F
G
F1
C
o
F2
F2′
F3
F3′
F4
F4′
F1′
32
例 题 4-5.不计自重的杆 AB与 DC在 C处为光滑接触,它们
分别受力偶矩为 m1与 m2的力偶作用,转向如图,问 m1与
m2的比值为多大,结构才能平衡?
60o 60oA
B
C
D
m1 m2
33
解,取杆 AB为研究对象画受力图,
杆 A B只 受力偶的作用而平衡且 C
处为光滑面约束,则 A处约束反力的
方位可定,
RC? mi = 0
RA = RC = R AC = a
a R - m1 = 0
m1 = a R (1) 60o 60oA
B
C
D
m1 m2
RA
34
取杆 CD为研究 对 象,因 C点约
束方位已定,则 D点约束反力方
位亦可确定,画受力图,
60o 60o D
m2
B
C
A
RD
R C?
RD = RC? = R CD = a
? mi = 0
- 0.5aR + m2 = 0
m2 = 0.5 aR (2)
联立 (1)(2)两式得,
2
2
1 ?
m
m
35
§ 4-4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
(1)主矢与主矩
力线平移定理, 作用于刚体上的一力 F,可以
平行移动到刚体上的任一点 O.但必须同时在此
力线与 O所决定的平面内附加一力偶,此附加力
偶矢的大小和方向等于力 F对 O点的矩矢的大小
和方向,
设一刚体受空间任意力系 F1,F2 … Fn作用,
各力作用点分别为 A1,A2 … An,
36
在 刚 体 内任取一点 O为简化中心,应用力线平移定
理,依次将各力平移到点即得到一个作用于简化中心
O的空间汇交力系 F1,F2 … Fn 和一个由力偶矩矢分
别为 m1,m2 … mn的附加力偶所组成的空间力偶系,
A1
A2
An
F1
F2
Fn
O
x
y
z
m1
m2
mn F'
1 F'
2
F'n
O
x
y
z
37
其 中, F'1 = F1,F'2 = F2,…,F'n = Fn
m1 = mo(F1),m2 = mo(F2),…,mn = mo(Fn)
空间汇交力系 F1,F2 … Fn可合成为作用在
O点的一个力 R'.矢量 R'称为原力系的主矢,
R' = ?F'i = ?Fi
由力偶矩矢分别为 m1,m2 … mn 的附加力偶
所组成的空间力偶系可合成为一个力偶,其力
偶矩矢 Mo称为原力系对简化中心的主矩,
Mo = ? mi = ? mo(Fi)
38
结 论, 空间任意力系向任一点简化,一般可得到
一个力和一个力偶, 这个力作用在简化中心,它的
矢量称为原力系的主矢,并等于这力系中各力的矢
量和 ; 这个力偶的力偶矩矢等于原力系中各力对简
化中心的矩的矢量和,并称为原力系对简化中心的
主矩,
主矢 R'只取决于原力系中各力的大小和方向,与
简化中心的位置无关 ;而主矩 Mo 的大小和方向都
与简化中心的位置有关,
39
(2)主矢与主矩的解析表达式
R' = i R'x+ j R'y+ k R'z
R'x = ?Xi R'y = ?Yi R'z = ?Zi
Mo = i Mox + j Moy +k Moz
= i ? mox(Fi) + j ? moy(Fi) +k ? moz(Fi)
7-5.空间任意力系简化结果的几种情形
(1) R' = 0,Mo = 0 原力系平衡,
(2) R' ? 0,Mo = 0 原力系的最后简化结果为作用于简
化中心的一个力 R',即原力系的合力 R,
40
(3) R? = 0,Mo ? 0 原力系的最后简化 结 果 为一个
力偶,其力偶矩矢为 Mo,此时主矩 Mo与简化中心的
位置无关,
(4) R' ? 0,Mo ? 0 这是简化结果的最一般情形,
(a) R' ? Mo = 0 原力系的最后简化结果为作用于 O'
点的一个合力 R = R',且 OO' = Mo / R'
(b) R' ? Mo ? 0 原力系的最后简化结果为由一个力
和一个力偶所组成的力系即力螺旋,
R' ? Mo ? 0 为右螺旋,
R' ? Mo ? 0 为左螺旋,
41
空间力系的合力矩 定 理,空间力系如能合成一
个合力,则其合力对任一点之矩,等于力系中各力
对同一点之矩的矢量和,
mo(R) = ? mo(Fi)
mx(R) = ? mx(Fi)
my(R) = ? my(Fi)
mz(R) = ? mz(Fi)
R'
Mo
O
( R' ? Mo ? 0 )
R'
Mo
O
( R' ? Mo ? 0 )
42
例 题 4-6,边长 1m的正方体的 AB边上作用一力 F=10kN,
在面 A'B'C'O'上作用一力偶矩 m=5kN.m的力偶,如图所
示,求最后的简化结果,
解,取 O为简
化中心并建
立坐标,
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
m
x
y
z
43
计 算 主矢和主矩
Mo = mo(F) + m = -5 k
R' ? Mo =(-10 j)?(-5 k)
= 0
5.0105 ???OO
F
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
x
y
z
O'R = F = - 10 j
R' = F = - 10 j
确定最后简化结果
44
例 题 4-7,边长为 2m的
正方体两侧面 AOO‘A’和
BCC‘B’ 上分别作用大
小均等于 10kN的力 F和
F‘.如图所示,求最后的
简化结果, o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
F'
x
y
z
D解,取 D点为简化中心
建立坐标,
45
计 算 主矢
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
F'
x
y
z
D
kiF 2525 ???
kiF 2525 ???
kR 210??
46
计 算 主矩
m1=mD(F) = r1?F
? ? ? ?kiji 2525 ?????
m2= mD(F') = r2? F'
? ? ? ?kiji 2525 ?????
MD = k210?
kji 252525 ????
kji 252525 ???
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
F
F'
x
y
z
D
47
确定最后简化 结 果
o
A B
C
B'
C'
A'
O'
x
y
z
D
R' ? MD = ? ?
kk 210210 ??
= - 200 ? 0
最后简化结果为左螺旋,
R'
MD
48
§ 4-5 空间任意力系的平衡方程
(1)空间任意力系平衡的必要和充分条件,
R' = 0,Mo = 0
(2)空间任意力系的平衡方程,
? mx(Fi) = 0
? my(Fi) = 0
? mz(Fi) = 0
? Xi = 0
? Yi = 0
? Zi = 0 (7-1)
49
(3)讨 论,
(a)对于空间汇交力系 ? mx(Fi) = 0,? my(Fi) = 0,
? mz(Fi) = 0则其平衡方程为,
(b)对于空间力偶系 ? Xi = 0,? Yi = 0,? Zi = 0则
其平衡方程 为,
? Xi = 0
? Yi = 0
? Zi = 0
(7-2)
? mx = 0
? my = 0
? mz = 0
(7-3)
50
(c)对于空间平行力系 ? Xi = 0,? Yi = 0,?mz(Fi) = 0
则其平衡 方 程 为,
其他各种力系的平衡方程也可以从方程
(7-1)用同样的方法导出,
? Zi = 0
? mx(Fi) = 0
? my(Fi) = 0
(7-4)
51
例 题 4-8,一不计重量的正方形薄板,由六根直杆支
持如图所示,假设这六根杆都可以看作两力杆,求
在力 P作用下各杆的内力,
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
52
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
解, (1)取薄板为研究对象画受力图并选取坐标,
S1
S2 S3 S5
S6
x
y
z
S4
53
写出各力的解析式及
力线上任一点的 坐 标,
(0,a,0)
(-a,a,0)
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
x
y
z
S4
(0,0,0)jPP ?
kSS 11 ??
kSiSS 222 2 22 2 ???
kSS 44 ??
kSiSS 555 2 22 2 ???
kSjSS 333 2 22 2 ???
kSS 66 ??
54
计 算 各力对 A点的矩,
kSajSaiSaSm A 3333 2 22 22 2)( ???
kSaiSaSm A 555 2 22 2)( ???
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
x
y
z
S4
0)( ?Pm A
0)( 1 ?Sm A
0)( 2 ?Sm A
iaSSm A 44 )( ??
jSaiSaSm A 666 )( ???
55
应用平衡方程 计 算,
? ? 02 2 52 ??? SS (1)
? Yi = 0
022 3 ?? SP (2)
? Zi = 0 ? ? ? ? 0
2
2
532641 ??????? SSSSSS
(3)
? mx(Fi) = 0 0
2
2
2
2
6543 ???
?
?
???
? ???? SSSSa (4)
? my(Fi) = 0
0
2
2
63 ???
?
?
???
? ?? SSa (5)
? Xi = 0
? mz(Fi) = 0 ? ? 0
2
2
53 ?? SSa
(6)
56
联 立 (1)(2)(3)(4)(5)(6)式得,
S1 = S6 = - P
S4= P
S2 = S3 = P2
S5 = -
P2
57
(2)取 薄 板 为研究对象画受力图
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
1)只有力 P和 S3能
投影到轴 AD上,
? FAD = 0
022 3 ?? SP
PS 23 ?
58
2)由 于 S1, S4 和
S6均为铅垂方向,力
矩轴应选铅垂方向,
? mB'B(Fi) = 0
3)力矩轴应选在过
另三个力线的交点
B'或 C′,
022 5 ?? SaPa S5 = - P2
? mC'C(Fi) = 0 0
2
2
2 ?? SaPa PS 22 ?
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
59
? mAD(Fi) = 0
0
2
2
63 ??? SaSa
S6 = - P
? mCD(Fi) = 0
02 2 21 ?? SaSa
S1 = - P
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
60
? mB'C'(Fi) = 0
a S1 + a S4 = 0
S4 = P
P
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
a
S1
S2 S3 S5
S6
S4
61
例 题 4-9,边长为 a 的正方形薄板由六根连杆支持如
图所示,不计板的重量,并把连杆看作二力杆, 求当板
上有一力偶 M作用时各杆的内力,
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
62
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
解, 取薄板为研究对象画受力图,
S1
S2
S3
S4
S5 S6
63
? mD'D(Fi) = 0
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
S1
S2
S3
S4
S5 S6
022 2 ?? SaM
a
MS 2
2 ?
? mB'B(Fi) = 0 0
2
2
5 ?? SaM a
MS 2
5 ?
? Yi = 0
0s i nc o s3 ???S
S3 = 0
64
? mCD(Fi) = 0
02 2 21 ?? SaSa
a
MS ??
1
? mAD(Fi) = 0
02 2 65 ??? SaSa aMS ??6
? mAC(Fi) = 0 b S4 = 0 S4 = 0
a
A
D
B C
D'A'
B'
C'
1
2 3 4
5
6
M
S1
S2
S3
S4
S5 S6
65
例 题 4-10.边长为 a的正方形薄板由六根连杆支持如图所
示,不计板的重量,并把连杆看作二力杆,求当板上有一力
P和一力偶 M作用时各杆的内力,
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
66
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
解, 取薄板为研究对象画受力图
S1
S2
S3
S4
S5 S
6
67
? Yi = 0
02 22 2 3 ?? PS
S3 = - P
? mA'A(Fi) = 0
02 2 5 ?? SaM
a
MS 2
5 ?
? mA'D'(Fi) = 0 0
2
2
6 ??? SaPa
PS 226 ??
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
S1
S2
S3
S4
S5 S
6
68
? mD'D(Fi) = 0
02 22 2 2 ??? SaPaM
a
MPS 2
2 ??
? mC'D'(Fi) = 0
02 22 2 21 ??? PaSaSa
a
MS ?
1
? mBC(Fi) = 0
02 2 431 ??? SaaSSa aMPS ?? 224
a
A
D
B C
D'A'
B' C'
1
2
3
4 5
6
MP
S1
S2
S3
S4
S5 S
6
69
§ 4-6 重心
(1)物体重心的定义：
W
rw
r iic ??
均质物体的重心位置完全决定于物体的几
何形状,而与物体的重量无关,由物体的几何形
状和尺寸所决定的物体的几何中心,称为物体
的形心,
A
Ar
r iic ?
?
?
70
(2)计算物体形心的方法,分割法和负面积法
例 题 4-11.求图示平面图形的形心,
5m
5m
15m
20m
71
解,(1)分割法
取坐标如图且把平
面图形分为 A和 B两
部分,
C1(2.5,7.5)
C2(12.5,2.5)
5.7515155 5.125155.2155 ???? ??????cx
5515155 5.25155.7155 ???? ??????cy
x
5m
5m
15m
20m
y
o
C1
A C2 B
72
(2)负 面 积 法
取坐标如图,使平面
图形组合成矩形 A.
5m
5m
20m
x
y
o
以及负面积的矩形 B.
C1(10,7.5)
C2(12.5,10)
5.710151520 5.121015101520 ???? ??????cx
5
10151520
1010155.71520 ?
???
??????
cy
C2
A C
1
B
73
再 见
