1
§ 7-1 刚体的平行移动
§ 7-2 刚体绕定轴的转动
§ 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
§ 7-4 轮系的传动比
§ 7-5 以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
例题
返回
第七章 刚体的简单运动
运动学
2
第七章 刚体的简单运动
§ 7-1 刚体的平行移动
(1)定义,设相对于某一参考系而言,刚体运动
时,体内任何直线均保持与其原来位置相平
行, 则此刚体相对于该参考系的运动称为平
行移动,即平动,
(2)刚体平动的运动学特点,当刚体平动时,体内
各点的轨迹均相同 ;并且在任何瞬时,各点具有
相同的速度与加速度,
刚体平动时整体的运动可归结为点的运动,
3
根据平动刚体内点的运动轨迹,刚体的平动可
分为直线平动 ;平面曲线平动和空间曲线平动,
§ 7-2 刚体绕定轴的转动
(1)定义,设相对于某一参考系而言,刚体运动时,
体内有一直线保持不动,而整个刚体绕着这一直
线旋转,则此刚体的运动称为定轴转动,
(2)刚体的定轴转动的运动学特点,转动轴上各点
均保持不动 ;而不在轴上的各点,则在垂直于轴的
平面内,以此平面与轴的交点为中心作园运动,
4
(3)基本 运 动 学量,
转动方程 ——? = ?(t)
确定定轴转动刚体的位置
时,可先选定一通过转轴 z并与
参考系相固结的参考平面 Oxz.
z
x O
定平面
另选一通过 z轴并固结于转
动刚体上的动平面 (P).
则刚体的位置可由 (P)平面
与 Oxz平面间的夹角 ?确定,
?
5
角 速 度 ——
????? ?dtd
角加速度 —— ??????? ??
2
2
dt
d
dt
d
例题 7-1.图示机构中滑块 A套
在摇杆 O2B上,并与曲柄 O1A
以销子连接,当 O1A转动时通
过滑块 A带动 O2B 左右摆动,
设 O1A长 r,以匀角速 ?1转动,
写出 O2B的转动方程 ;并求出
其角速度及角加速度,
l
O1
O2
A
B
?
?1
6
l
O1
O2
A
B
?
?1
解, 已知曲柄 O1A以匀角速 ?1
转动,并设 t=0时,?=0.则其转动
方程为, ?= ?1 t C
由图可得,
trl
tr
CO
ACtg
1
1
2 co s
s i n
??
????
?
trl
tra r ct g
1
1
co s
s i n
??
???
摇杆 O2B的转动方程为,
摇杆的角速度 ? ?
1
1
22
1
2 co s2
co s ?
???
??????
trllr
rtlr?
7
摇杆的角加速度,
? ?
? ?
2
12
1
22
1
22
22 c os2
s i n ?
???
???????
trllr
trlrl?
讨 论, (1)当 ? = ?1t = 0o时,cos ?1t =1,sin ?1t = 0
0212 ?????? rl r
(2)当 ? = ?1t = 90o亦即 O1A与 O1O2垂直 时,
? ?
? ?
2
122
22
2122
2
2 ??
?????
?
???
lr
rlrl
lr
r
8
§ 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
(1)转动刚体内各点的速度和加速度的计算,
s = R? v = R ?
a? = R ?
an = R ?2 a?
22 ?
?
?
?
?
??? ?
R
R
a
a
tg
n
在每一瞬时,转动刚体内任一点的速度和加速
度的大小都与转动半径成正比,且各点的加速度
与转动半径成相同的夹角,
M
O
v
an
a
?
9
(2)刚体定轴转动的矢量 描 述
OR
M
A
z
?
v = ?× r
r
OR
M
A
z
r
?
an = ?× v
a?= ?× r
?
v = ?× r
a = ?× r + ?× v
an = ?× v
a?= ?× r
可以证明,速度和加速度的大小
及方向与 A点在 z轴上的位置无关,
= ?× r + ?× (?× r)
10
例 题 7-2,图示为卷筒提取
重物装置,卷筒 O 的半径
r=0.2m,B为定滑轮,卷筒在
制动阶段,转动方向如图示,
其转动方程为 ? = 3t – t 2.
式中 ?以 rad度计,t以 s计,
求 t=1s时卷筒边缘上任一
点 M的速度和加速度,以及
重物 A的速度和加速度,不
计钢丝绳的伸长,
O
r
B
M
A?
vA
11
O
r
B
M
A?
vA
解,取卷筒为研究对象,
????? ?dtd = 3 - 2 t 2?????
dt
d
当 t =1s时,
? =1rad/s ? = -2 rad/s2
vM = r?
aM?= r?
aMn = r?2
? ? ? ? 22222 /44 7.02.04.0 smaaa MnMM ?????? ?
vM aM?
aMn aM
?= 0.2× 1= 0.2 m/s
=0.2× (-2)=-0.4 m/s2
= 0.2× 12= 0.2 m/s2
12
O
r
B
M
A?
vA
vM aM?
aMn aM
?
取重物 A为研究 对 象,
选取重物 A的坐标 x,
取 ? =0时 A的位置为 x轴
的原点,卷筒作逆时针转
动时 A的运动方向为 x轴
的正向,
x
O'
xAa
A
sA = xA
vM = vA = 0.2m/s
aM? = aA = - 0.4m/s2
13
例 题 7-3.水平园盘绕竖直的 z轴
转动,在某一瞬时,园盘上 B点的
速度 vB=0.4 i m/s,其上另一点 A
的切向加速度 a? = 1.8 j m/s2.已
知 OB=100mm,OA=150mm.求该
瞬时园盘的角速度 ?和 B点的全
加速度 aB的矢量表达式,
O
x
y
z
A
B
14
O
x
y
z
A
B
解,(1) B点的速度 vB=0.4 i m/s,
vBOBv B?? 310100 4.0 ???
= 4 rad/s
?
A的切向加速度 a? = 1.8 j m/s2.
a?
OA
a???
310150
8.1
???
= 12 rad/s2
?
aB = ?× r + ?× vB = 12k× 0.1 j +(-4k× 0.4i)
= -1.2 i -1.6 j
15
O
x
y
z
A
B
(2) a× (b× c) = b× (a× c) -c× (a× b) (1)
mjmmjOB )1.0()100( ??
令, ? = ? k
0.4 i = ?k× (0.1 j) (2)
用 j 矢 乘 (2)式得,
j× 0.4 i = j× [?k× (0.1 j)]
即, - 0.4k = 0.1 ?k
? = - 4 k
?
= ?k[ j× (0.1 j)] - (0.1 j)(j× ?k)
16
O
x
y
z
A
B
同 理, a? = 1.8 j 令, ? = ? k
1.8 j = ? k × 0.15 i (3)
iOA 15.0?
用 i 矢乘 (3)式得, ? = 12 k
?
aB?= 12k× 0.1 j = -1.2 i
aBn= -4k× 0.4i = -1.6 j
aB= -1.2 i -1.6 j
§ 7-1 刚体的平行移动
§ 7-2 刚体绕定轴的转动
§ 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
§ 7-4 轮系的传动比
§ 7-5 以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
例题
返回
第七章 刚体的简单运动
运动学
2
第七章 刚体的简单运动
§ 7-1 刚体的平行移动
(1)定义,设相对于某一参考系而言,刚体运动
时,体内任何直线均保持与其原来位置相平
行, 则此刚体相对于该参考系的运动称为平
行移动,即平动,
(2)刚体平动的运动学特点,当刚体平动时,体内
各点的轨迹均相同 ;并且在任何瞬时,各点具有
相同的速度与加速度,
刚体平动时整体的运动可归结为点的运动,
3
根据平动刚体内点的运动轨迹,刚体的平动可
分为直线平动 ;平面曲线平动和空间曲线平动,
§ 7-2 刚体绕定轴的转动
(1)定义,设相对于某一参考系而言,刚体运动时,
体内有一直线保持不动,而整个刚体绕着这一直
线旋转,则此刚体的运动称为定轴转动,
(2)刚体的定轴转动的运动学特点,转动轴上各点
均保持不动 ;而不在轴上的各点,则在垂直于轴的
平面内,以此平面与轴的交点为中心作园运动,
4
(3)基本 运 动 学量,
转动方程 ——? = ?(t)
确定定轴转动刚体的位置
时,可先选定一通过转轴 z并与
参考系相固结的参考平面 Oxz.
z
x O
定平面
另选一通过 z轴并固结于转
动刚体上的动平面 (P).
则刚体的位置可由 (P)平面
与 Oxz平面间的夹角 ?确定,
?
5
角 速 度 ——
????? ?dtd
角加速度 —— ??????? ??
2
2
dt
d
dt
d
例题 7-1.图示机构中滑块 A套
在摇杆 O2B上,并与曲柄 O1A
以销子连接,当 O1A转动时通
过滑块 A带动 O2B 左右摆动,
设 O1A长 r,以匀角速 ?1转动,
写出 O2B的转动方程 ;并求出
其角速度及角加速度,
l
O1
O2
A
B
?
?1
6
l
O1
O2
A
B
?
?1
解, 已知曲柄 O1A以匀角速 ?1
转动,并设 t=0时,?=0.则其转动
方程为, ?= ?1 t C
由图可得,
trl
tr
CO
ACtg
1
1
2 co s
s i n
??
????
?
trl
tra r ct g
1
1
co s
s i n
??
???
摇杆 O2B的转动方程为,
摇杆的角速度 ? ?
1
1
22
1
2 co s2
co s ?
???
??????
trllr
rtlr?
7
摇杆的角加速度,
? ?
? ?
2
12
1
22
1
22
22 c os2
s i n ?
???
???????
trllr
trlrl?
讨 论, (1)当 ? = ?1t = 0o时,cos ?1t =1,sin ?1t = 0
0212 ?????? rl r
(2)当 ? = ?1t = 90o亦即 O1A与 O1O2垂直 时,
? ?
? ?
2
122
22
2122
2
2 ??
?????
?
???
lr
rlrl
lr
r
8
§ 7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
(1)转动刚体内各点的速度和加速度的计算,
s = R? v = R ?
a? = R ?
an = R ?2 a?
22 ?
?
?
?
?
??? ?
R
R
a
a
tg
n
在每一瞬时,转动刚体内任一点的速度和加速
度的大小都与转动半径成正比,且各点的加速度
与转动半径成相同的夹角,
M
O
v
an
a
?
9
(2)刚体定轴转动的矢量 描 述
OR
M
A
z
?
v = ?× r
r
OR
M
A
z
r
?
an = ?× v
a?= ?× r
?
v = ?× r
a = ?× r + ?× v
an = ?× v
a?= ?× r
可以证明,速度和加速度的大小
及方向与 A点在 z轴上的位置无关,
= ?× r + ?× (?× r)
10
例 题 7-2,图示为卷筒提取
重物装置,卷筒 O 的半径
r=0.2m,B为定滑轮,卷筒在
制动阶段,转动方向如图示,
其转动方程为 ? = 3t – t 2.
式中 ?以 rad度计,t以 s计,
求 t=1s时卷筒边缘上任一
点 M的速度和加速度,以及
重物 A的速度和加速度,不
计钢丝绳的伸长,
O
r
B
M
A?
vA
11
O
r
B
M
A?
vA
解,取卷筒为研究对象,
????? ?dtd = 3 - 2 t 2?????
dt
d
当 t =1s时,
? =1rad/s ? = -2 rad/s2
vM = r?
aM?= r?
aMn = r?2
? ? ? ? 22222 /44 7.02.04.0 smaaa MnMM ?????? ?
vM aM?
aMn aM
?= 0.2× 1= 0.2 m/s
=0.2× (-2)=-0.4 m/s2
= 0.2× 12= 0.2 m/s2
12
O
r
B
M
A?
vA
vM aM?
aMn aM
?
取重物 A为研究 对 象,
选取重物 A的坐标 x,
取 ? =0时 A的位置为 x轴
的原点,卷筒作逆时针转
动时 A的运动方向为 x轴
的正向,
x
O'
xAa
A
sA = xA
vM = vA = 0.2m/s
aM? = aA = - 0.4m/s2
13
例 题 7-3.水平园盘绕竖直的 z轴
转动,在某一瞬时,园盘上 B点的
速度 vB=0.4 i m/s,其上另一点 A
的切向加速度 a? = 1.8 j m/s2.已
知 OB=100mm,OA=150mm.求该
瞬时园盘的角速度 ?和 B点的全
加速度 aB的矢量表达式,
O
x
y
z
A
B
14
O
x
y
z
A
B
解,(1) B点的速度 vB=0.4 i m/s,
vBOBv B?? 310100 4.0 ???
= 4 rad/s
?
A的切向加速度 a? = 1.8 j m/s2.
a?
OA
a???
310150
8.1
???
= 12 rad/s2
?
aB = ?× r + ?× vB = 12k× 0.1 j +(-4k× 0.4i)
= -1.2 i -1.6 j
15
O
x
y
z
A
B
(2) a× (b× c) = b× (a× c) -c× (a× b) (1)
mjmmjOB )1.0()100( ??
令, ? = ? k
0.4 i = ?k× (0.1 j) (2)
用 j 矢 乘 (2)式得,
j× 0.4 i = j× [?k× (0.1 j)]
即, - 0.4k = 0.1 ?k
? = - 4 k
?
= ?k[ j× (0.1 j)] - (0.1 j)(j× ?k)
16
O
x
y
z
A
B
同 理, a? = 1.8 j 令, ? = ? k
1.8 j = ? k × 0.15 i (3)
iOA 15.0?
用 i 矢乘 (3)式得, ? = 12 k
?
aB?= 12k× 0.1 j = -1.2 i
aBn= -4k× 0.4i = -1.6 j
aB= -1.2 i -1.6 j
