1
§ 9-1 刚体平面运动的概述运动分解
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
例题
§ 9-3 求平面图形内各点的瞬心法
例题
§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
例题
§ 9-5 运动学综合应用举例
例题
返回
第九章 刚体的平面运动
运动学
2
§ 9-1 刚体平面运动的概述运动分解
9-1-2.平面运动分解为平动和转动
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
9-1-1.刚体的平面运动方程
3
9-1-1.刚体的平面运动方
程
(1)平面运动的特点
在运动过程中,刚体上任
一点离某一固定平面的距
离始终保持不变,即刚体内
任一点始终在与该固定平
面平行的某一平面内运动,
O
A
B
(图 9-1)
O
?
(图 9-2)图 9-1中的 AB杆和图 9-2中的
园盘 O均作平面运动,
4
设一 刚 体 作平面运动,
M
N
S
A1
A2
A
体内每一点都处在与固定
平面 M平行的平面内运动,
若作一平面 N与平面 M平行,
并以此去截割刚体得一平
面图形 S,可知该平面图形
S始终在平面 N内运动,
因而垂直于图形 S的任一条
直线 A1A2必然作平动,
故 A1A2 的运动可用其与
图形 S的交点 A的运动来替代,
因此刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身
平面 S内的运动,
5
(2)运动 方 程
S
x
y
o
?
xo?
yo?
设平面图形 S在固定平
面 Oxy内运动,
图形 S的位置完全由其
上任一线段 O?A的位置来
确定,而 O?A的位置取决
于点 O? 的坐标 xo?,yo?
以及与 x轴的夹角 ?, O?称为基点
xo? = f1(t)
yo? = f2(t)
? = f3(t)
刚体的平面运动方程
A
O?
6
9-1-2.平面运动分解为平动和转动
(1)刚体的平面运动方程的讨论,
若 ?等于常数,则刚体作平动,
若 xo?和 yo?分别等于常数,则刚体作定轴转动,
由此可知,刚体的平面运动包含着 平动 和 转动
这两种基本运动,
xo? = f1(t)
yo? = f2(t)
? = f3(t)
7
(2) 刚体平面运动的 分 解
建立静系 Oxy
以基点 O?为原点建立平
动坐标系 O?x?y?,
S
x
y
o
在平面图形 S上选取基点 O?.
O? x?
y?
8
刚 体 的平面运动
(绝对运动 )
x
y
o
S
A
? x?
y?
O?
S
A
? x?
y?
O?
??
随同基点的平
动 (牵连运动 )
绕着基点的转
动 (相对运动 ).
9
(3)有关基点选取的 讨 论
A
B
S
Ⅰ A?
Ⅱ
A?
B? B?
??1
??2
则直线 AB随之运动到的 A?B?位置,
设在时间 ?t内平面图形 S从
位置 Ⅰ 运动到位置 Ⅱ,
由 几 何 关系可知, ??1 = ??2
由此推得, ?1 = ?2 ?1 = ?2
以 A为基点
以 B为基点
10
结 论,
在同一瞬时,图形绕任一基点转动的角速度和
角加速度都是相同的,
平面运动随同基点的平动规律与基点的选择
有关,而绕基点的转动规律与基点的选择 无关,
又因动系作平动,故在动系中观察到图形的角
速度与角加速度就是图形相对静系的绝对角速
度和绝对角加速度,
11
例 题 9-1.确定下面两图中作平面运动的物体并选
取适当的基点,
? vAO
A
B
(图 9-1.2)
O
A
B
(图 9-1.1)
12
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
vMO?
vo?
x?
y?
x
y
o
O?
vo?
?
vM
(1)速度合成法
若已知图形上某点 O?
的运动,在某瞬时该点的
速度为 vo?,图形的角速度
为 ?,如图所示,
由 va= ve + vr 可得
ve = vo? vr = vMO? = O?M ??
vM = vo? + vMO? (1)
M
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与
该点随同图形绕基点转动的速度的矢量和,
13
(2)速度 投 影 法
把 (1)式向 O?M方向投影得,
(vM)O?M = (vo?)O?M (2)
平面图形上任意两点的速度,在该两点连线上的
投影彼此相等,
(2)式适用于作任何运动的刚体,
vMO?
vo?
x?
y?
x
y
o
O?
vo?
?
vM
MvM = vo? + vMO? (1)
14
例 题 9-2.半径为 r的车轮 A在直线轨道上作纯滚动,写
出其轮心 A点的速度 vA加速度 aA与车轮的转动角速
度 ?角加速度 ?之间的关系,
A
?
15
A
?
y
x
o
x?
y?B
C
?
解,取 A为基点建
立静系 O xy 和随
基点 A 平动的动
系 A x?y?,
xA= xA(t)
yA= r
? = ?(t)
由 xA = r? 得,
dt
dxv A
A ?
dt
dva A
A ?
??r
dt
dr ??
dt
dr ?? ??r
16
例 题 9-3,椭圆规的构造如图
所示,滑块 A 和 B分别可在相
互垂直的直槽中滑动,并用长
l = 20cm 的连杆 AB连接设已
知 vA = 20cm/s 方向如图示,求
? = 30? 时滑块 B和连杆中点
C的速度,
A
B
C
?
vA
17
A
B
C
?
vA
解, (1)取 A为基点 B为动点,
vB = vA + vBA (1)
把 (1)式向 AB方向投影得,
vB sin? = vA cos?
vB = vA ctg? = 34.64 cm/s
把 (1)式向 vA方向投影得,
0 = vA - vBA sin? vBA = 40 cm/s
? = 2 rad/s
vA
vB vBA
?
18
A
B
C
?
vA
vA
vB vBA
?
取 A为基点 C为 动 点,
vC = vA + vCA (2)
vCAvC
vA
vCA = (CA) ? = 20 cm/s
对 (2)式应用余弦定理得,
022 120c os2
CAACAAC vvvvv ???
vA = 20 cm/s
scm /20?
19
A
B
C
?
vA
(2)直接建立点的运动 方 程,
O x
y
由 vA = 20 cm/s,? =30?
vB = l ? cos? = 34.64 cm/s
vA = - l ? sin?
xA = l cos? yB = l sin?
xC = 0.5l cos?
yC = 0.5l sin?
???? s in5.0 lx c?
得, vC = 20 cm/s
??? c o s5.0 ly c?
得, ? = 2 rad/s
?
20
例 题 9-4.在图示结构中,已知曲柄 O1A的角速度 ?,
求滑块 C的速度,图中 O1A = r,O2B= BC= l,
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
21
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
解,分析 A,B和 C点的
运动并画速度矢量图,
vA
vB
? v
C由速度投影定理得,
vA cos? = vB cos(?+?)
vB cos(90?-2?) = vC cos?
联立上述两式得,
? ????
????
co s
co ss i n2 rv
C
vA = r?
22
例 题 9-5.图示为一连杆滑块结构,
连杆长 AB = BC=3m,已知滑块 A以
等速 vA=0.2m/s向右运动,在图示瞬
时,连杆 AB的角速度 ?AB=0.4 rad/s.
求此瞬时滑块 C的速度和连杆 BC
的角速度 ?BC,
A
B
vA?
AB4
3
4
3
C 4
4
?
?
?
23
A
B
vA?
AB4
3
4
3
C 4
4
?
?
?
解,取 B为动点,分别取 A和
C为基点画速度矢量图,
vB = vA + vBA (1)
vB = vC + vBC (2)
vA + vBA = vC + vBC (3)
联立 (1)和 (2)式得,
vA
vBA vC
vC
vBC
?
?
tg? = 0.75 tg? = 1 vBA = 1.2 m/s
由已知条件得,
24
A
B
vA?
AB4
3
4
3
C 4
4
?
?
?
vA
vBA vC
vC
vBC
?
?
把 (3)式向 BC方向 投 影 得,
- vA sin? - vBA cos(90?-2?)
= vC cos(90?- ? - ?)
vC = -1.02 m/s
把 (3)式向 vA 方向投影得,
vA- vBAcos? = vCcos? + vBCcos?
vBC= -0.06 m/s
?BC = -0.02 rad/s
?BC
vA + vBA = vC + vBC (3)
25
§ 9-3 求平面图形内各点的瞬心法
(1)问题的提出
既然基点是任选的,若选取速度等于零的点为基
点,问题将大大的简化,(1)式将变为,
vM = vo? + vMO? (1)
vMO?
vo?
x
y
o
M
x?
y?
O? vo?
?
vM
(1)式是应用基点法求平
面图形上任一点速度的合
成公式,
那么,在某一瞬时,图形上速度等于零的点如何
确定?
vM = vMO? (2)
26
A? vA
设在某一 瞬 时,已知图形上 A点
的速度为 vA图形的角速度为 ?.
若沿速度 vA的方向取半直线 AL.
vC = vA - vCA
L
L?
C vAvCA
将此半直线绕 A点按 ?的转向转
过 90?到 AL?的位置,
则在 AL?上由长度 AC = vA/? 所定
出的一点 C,就是此瞬时图形上速度等于零的一点,
证明, = vA - (AC)?
= vA -(vA/?)? = 0
27
一般情况下,在平面 图 形 中,
每一瞬时 都唯一地存在着速
度等于零的点,该点称为平面
图形 在此瞬时的瞬时速度中
心,简称速度瞬心,
?C
N M
vM =(CM)?
vM
vNvN =(CN)?
图形上任一点的速度大小与该点到速度瞬心 C的
距离成正比,其速度方位垂直于该点与速度瞬心 C的
连线, C又称为平面图形的瞬时转动中心, CM和 CN
称为瞬时转动半径,
记为 C.
28
A
vA
速度 瞬 心 可在平面图形内,也可在平面图形外,且
它的位置不是固定不变,而是随着时间变化的,
(2)速度瞬心的确定
C
(a)当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时,
图形上与固定面的接触点 C即为该图形的瞬心,
vA
A
C
29
(b) 已知在某瞬时 图 形
上任意两点 A和 B速度的
方位且它们互不平行,则
通过两点 A和 B分别作速
度 vA 和 vB 的垂线其交点
C即为瞬心,
C
O
A
B
30
(c)已 知 在某瞬时图形上 A和 B两点的速度互相平
行,且垂直于 A B的连线,但速度大小不等,则此时
AB直线与两速度矢量 vA和 vB 的终端连线的交点
C 即为瞬心,
A
B
vA
vB
C
vB
vA
A
B
C
31
(d)已 知 在某瞬时图形上 A
和 B两点的速度的方位互
相平行,但不垂直于 A B的
连线,此时瞬心在无穷远处, O B
A
这种情况称为 瞬时平动,
?AB?0此时, ?AB = 0
32
例 题 9-6.在图示结构中,已知曲柄 O1A的角速度 ?.图
中 O1A = r,O2B= BC= l,确定平面运动杆件的瞬心,
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
33
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
解,杆 O1A和杆 O2B 作定轴转动,滑块 C作直线动,AB
杆和 BC杆作平面运动,其瞬心分别为 C1和 C2
C1
C2
34
例 题 9-7.图示瞬时滑块 A以速度 vA 沿水平直槽向左
运动,并通过连杆 AB 带动轮 B 沿园弧轨道作无滑动
的滚动,已知轮 B的半径为 r,园弧轨道的半径为 R,滑
块 A 离园弧轨道中心 O 的距离为 l,求该瞬时连杆 AB
的角速度及轮 B边缘上 M1和 M2点的速度,
r
R
O
B
l
A
vA
M1
M2
35
r
R
O
B
l
A
vA
M1
M2
解,轮 B和杆 AB作
平面运动,C为轮
B的瞬心,
C
vB杆 AB作瞬时平动, ?AB = 0
vA = vB
r
v
r
v AB
B ???
vM1 vM2
vM1 = 2 vB = 2 vA
BM CMv ?? )( 22
?B
Br ?? 2 Av2?
36
例 题 9-8,图示曲柄肘式
压床,已知曲柄 OA的角速
度 ? = 40rad/s,OA=15cm,
AB=80cm,CB=BD=60cm.
当曲柄与水平线成 30?角
时连杆 AB处于水平位置,
而肘杆 CB与铅垂线也成
30?角,求此机构在图示位
置时连杆 AB和 BD的角速
度及冲头 D的速度,
O
AB
C
D
30?
30?
30?
?
37
O
AB
C
D
30?
30?
30?
?
C1
C2
C1为 AB杆的 瞬心,
C2为 BD杆的瞬心,
解,杆 AB和 BD杆作平面运动,
vA= (OA)? = 6m/s
AC
v A
AB
1
??
=8.66rad/s
?AB
vB=(C1B)?AB
vD=(C2D)?BD
?BD= 5.77rad/s vD= 3.46m/s
?BD v
A
vB
vD
=(C2B)?BD
38
例 题 9-9,图示为一平面
连杆机构,等边三角形构
件 ABC 的边长为 a 三个
顶点 A,B 和分别与套筒
A,杆 O1B 和 O1C铰接,套
筒又可沿着杆 OD 滑动,
设杆 O1B长为 a并以角速
度 ?转动,求机构处于图
示位置时杆 OD的角速度
?OD,
O
A
B
C
O1
O2
?
60?
D
39
O
A
B
C
O1
O2
?
60?
D解,等边三角形构件 ABC作
平面运动 C1为其瞬心,
C1
vB
vB= (O1B)? = a ?
vA
vAcos30? = vBcos60?
?? av A 33
vr
ve
Ae vv 2
1?
???? 6 3OAv eOD
?OD
?? a63
40
§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
O? M?
?
aO?S
aM
aMO? a
O?
? OMa ?
n OMa ?
aM = ae + ar
ar = aMO′
n
OMOM aa ?? ??
?
n
OMOMOM aaaa ??? ???
?
平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度
与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加
速度三者的矢量和,
ae = aO′
41
例 题 9-10.半径为 R的车轮沿直线轨道作无滑动的
滚动,如图所示,已知轮心 A在图示瞬时的速度为 vA
及加速度为 aA,求该瞬时车轮边缘上瞬心 C的加速
度 aC,
A
vA aA
42
A
vA aA
解,轮 A作平面运动 C
为其瞬心,
CRv A?? Ra A??
n
CACAAC aaaa ???
?
aA?CAa
n
CAa
??? Ra CA
2?? Ra nCA
R
va A
C
2
?
? ?
R
aR A? Aa?
2
?
?
??
?
??
R
vR A
R
vA2?
43
例 题 9-11.图示瞬时滑块 A以匀速度 vA= 12 cm/s 沿水平直槽
向左运动,并通过连杆 AB带动轮 B沿园弧轨道作无滑动的滚
动,已知轮 B的半径为 r = 2cm,园弧轨道的半径为 R = 5cm,滑
块 A离园弧轨道中心 O的距离为 l = 4cm,求该瞬时连杆 AB的
角加速度及轮 B的角加速度,
r
R
O
B
l
A
vA
§ 9-5 运动学综合应用举例
44
r
R
O
B
l
A
vA解, 轮 B作平面运动
C为瞬心,
?AB = 0vB = vA
r
v B
B ??
rR
v B
BO ???
C
?
?BO
?B
vB
sin? = 0.6 cos? = 0.8
sr a d /6212 ??
sr a d /425 12 ???
杆 AB为瞬时平动,
45
r
R
O
B
l
A
vA
C
?
?BO
?B
vB
取 A为 基 点,
????
BA
n
BAAB aaaa
aA = 0 n
BAa
= 0
?
BAa
= (AB) ?AB
2)( BOn rRa ???
?
BAa
aB = (AB) ?AB
an
a?
?? ?? aaa n
BA
(1)
??? aaa n
B
把 (1)式向 CBO方向 投 影 得,
?
BAa
cos? = an 5?AB × 0.8 = (5 - 2)× 42
?AB = 12 rad/s2
?AB
46
取 B为 基 点,
?
CBa
????
CB
n
CBBC aaaa
(2)
aB
?
CBa
= r ?B
n
CBa
= r ?B2
把 (2)式向水平 方向投影得,
?
CBa
0 = aB sin? -
?B = 18 rad/s2
r
R
O
B
l
A
vA
C
?
?BO
?B
?AB
aB
n
CBa
?B
§ 9-1 刚体平面运动的概述运动分解
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
例题
§ 9-3 求平面图形内各点的瞬心法
例题
§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
例题
§ 9-5 运动学综合应用举例
例题
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第九章 刚体的平面运动
运动学
2
§ 9-1 刚体平面运动的概述运动分解
9-1-2.平面运动分解为平动和转动
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
9-1-1.刚体的平面运动方程
3
9-1-1.刚体的平面运动方
程
(1)平面运动的特点
在运动过程中,刚体上任
一点离某一固定平面的距
离始终保持不变,即刚体内
任一点始终在与该固定平
面平行的某一平面内运动,
O
A
B
(图 9-1)
O
?
(图 9-2)图 9-1中的 AB杆和图 9-2中的
园盘 O均作平面运动,
4
设一 刚 体 作平面运动,
M
N
S
A1
A2
A
体内每一点都处在与固定
平面 M平行的平面内运动,
若作一平面 N与平面 M平行,
并以此去截割刚体得一平
面图形 S,可知该平面图形
S始终在平面 N内运动,
因而垂直于图形 S的任一条
直线 A1A2必然作平动,
故 A1A2 的运动可用其与
图形 S的交点 A的运动来替代,
因此刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身
平面 S内的运动,
5
(2)运动 方 程
S
x
y
o
?
xo?
yo?
设平面图形 S在固定平
面 Oxy内运动,
图形 S的位置完全由其
上任一线段 O?A的位置来
确定,而 O?A的位置取决
于点 O? 的坐标 xo?,yo?
以及与 x轴的夹角 ?, O?称为基点
xo? = f1(t)
yo? = f2(t)
? = f3(t)
刚体的平面运动方程
A
O?
6
9-1-2.平面运动分解为平动和转动
(1)刚体的平面运动方程的讨论,
若 ?等于常数,则刚体作平动,
若 xo?和 yo?分别等于常数,则刚体作定轴转动,
由此可知,刚体的平面运动包含着 平动 和 转动
这两种基本运动,
xo? = f1(t)
yo? = f2(t)
? = f3(t)
7
(2) 刚体平面运动的 分 解
建立静系 Oxy
以基点 O?为原点建立平
动坐标系 O?x?y?,
S
x
y
o
在平面图形 S上选取基点 O?.
O? x?
y?
8
刚 体 的平面运动
(绝对运动 )
x
y
o
S
A
? x?
y?
O?
S
A
? x?
y?
O?
??
随同基点的平
动 (牵连运动 )
绕着基点的转
动 (相对运动 ).
9
(3)有关基点选取的 讨 论
A
B
S
Ⅰ A?
Ⅱ
A?
B? B?
??1
??2
则直线 AB随之运动到的 A?B?位置,
设在时间 ?t内平面图形 S从
位置 Ⅰ 运动到位置 Ⅱ,
由 几 何 关系可知, ??1 = ??2
由此推得, ?1 = ?2 ?1 = ?2
以 A为基点
以 B为基点
10
结 论,
在同一瞬时,图形绕任一基点转动的角速度和
角加速度都是相同的,
平面运动随同基点的平动规律与基点的选择
有关,而绕基点的转动规律与基点的选择 无关,
又因动系作平动,故在动系中观察到图形的角
速度与角加速度就是图形相对静系的绝对角速
度和绝对角加速度,
11
例 题 9-1.确定下面两图中作平面运动的物体并选
取适当的基点,
? vAO
A
B
(图 9-1.2)
O
A
B
(图 9-1.1)
12
§ 9-2 求平面图形内各点速度的基点法
vMO?
vo?
x?
y?
x
y
o
O?
vo?
?
vM
(1)速度合成法
若已知图形上某点 O?
的运动,在某瞬时该点的
速度为 vo?,图形的角速度
为 ?,如图所示,
由 va= ve + vr 可得
ve = vo? vr = vMO? = O?M ??
vM = vo? + vMO? (1)
M
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与
该点随同图形绕基点转动的速度的矢量和,
13
(2)速度 投 影 法
把 (1)式向 O?M方向投影得,
(vM)O?M = (vo?)O?M (2)
平面图形上任意两点的速度,在该两点连线上的
投影彼此相等,
(2)式适用于作任何运动的刚体,
vMO?
vo?
x?
y?
x
y
o
O?
vo?
?
vM
MvM = vo? + vMO? (1)
14
例 题 9-2.半径为 r的车轮 A在直线轨道上作纯滚动,写
出其轮心 A点的速度 vA加速度 aA与车轮的转动角速
度 ?角加速度 ?之间的关系,
A
?
15
A
?
y
x
o
x?
y?B
C
?
解,取 A为基点建
立静系 O xy 和随
基点 A 平动的动
系 A x?y?,
xA= xA(t)
yA= r
? = ?(t)
由 xA = r? 得,
dt
dxv A
A ?
dt
dva A
A ?
??r
dt
dr ??
dt
dr ?? ??r
16
例 题 9-3,椭圆规的构造如图
所示,滑块 A 和 B分别可在相
互垂直的直槽中滑动,并用长
l = 20cm 的连杆 AB连接设已
知 vA = 20cm/s 方向如图示,求
? = 30? 时滑块 B和连杆中点
C的速度,
A
B
C
?
vA
17
A
B
C
?
vA
解, (1)取 A为基点 B为动点,
vB = vA + vBA (1)
把 (1)式向 AB方向投影得,
vB sin? = vA cos?
vB = vA ctg? = 34.64 cm/s
把 (1)式向 vA方向投影得,
0 = vA - vBA sin? vBA = 40 cm/s
? = 2 rad/s
vA
vB vBA
?
18
A
B
C
?
vA
vA
vB vBA
?
取 A为基点 C为 动 点,
vC = vA + vCA (2)
vCAvC
vA
vCA = (CA) ? = 20 cm/s
对 (2)式应用余弦定理得,
022 120c os2
CAACAAC vvvvv ???
vA = 20 cm/s
scm /20?
19
A
B
C
?
vA
(2)直接建立点的运动 方 程,
O x
y
由 vA = 20 cm/s,? =30?
vB = l ? cos? = 34.64 cm/s
vA = - l ? sin?
xA = l cos? yB = l sin?
xC = 0.5l cos?
yC = 0.5l sin?
???? s in5.0 lx c?
得, vC = 20 cm/s
??? c o s5.0 ly c?
得, ? = 2 rad/s
?
20
例 题 9-4.在图示结构中,已知曲柄 O1A的角速度 ?,
求滑块 C的速度,图中 O1A = r,O2B= BC= l,
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
21
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
解,分析 A,B和 C点的
运动并画速度矢量图,
vA
vB
? v
C由速度投影定理得,
vA cos? = vB cos(?+?)
vB cos(90?-2?) = vC cos?
联立上述两式得,
? ????
????
co s
co ss i n2 rv
C
vA = r?
22
例 题 9-5.图示为一连杆滑块结构,
连杆长 AB = BC=3m,已知滑块 A以
等速 vA=0.2m/s向右运动,在图示瞬
时,连杆 AB的角速度 ?AB=0.4 rad/s.
求此瞬时滑块 C的速度和连杆 BC
的角速度 ?BC,
A
B
vA?
AB4
3
4
3
C 4
4
?
?
?
23
A
B
vA?
AB4
3
4
3
C 4
4
?
?
?
解,取 B为动点,分别取 A和
C为基点画速度矢量图,
vB = vA + vBA (1)
vB = vC + vBC (2)
vA + vBA = vC + vBC (3)
联立 (1)和 (2)式得,
vA
vBA vC
vC
vBC
?
?
tg? = 0.75 tg? = 1 vBA = 1.2 m/s
由已知条件得,
24
A
B
vA?
AB4
3
4
3
C 4
4
?
?
?
vA
vBA vC
vC
vBC
?
?
把 (3)式向 BC方向 投 影 得,
- vA sin? - vBA cos(90?-2?)
= vC cos(90?- ? - ?)
vC = -1.02 m/s
把 (3)式向 vA 方向投影得,
vA- vBAcos? = vCcos? + vBCcos?
vBC= -0.06 m/s
?BC = -0.02 rad/s
?BC
vA + vBA = vC + vBC (3)
25
§ 9-3 求平面图形内各点的瞬心法
(1)问题的提出
既然基点是任选的,若选取速度等于零的点为基
点,问题将大大的简化,(1)式将变为,
vM = vo? + vMO? (1)
vMO?
vo?
x
y
o
M
x?
y?
O? vo?
?
vM
(1)式是应用基点法求平
面图形上任一点速度的合
成公式,
那么,在某一瞬时,图形上速度等于零的点如何
确定?
vM = vMO? (2)
26
A? vA
设在某一 瞬 时,已知图形上 A点
的速度为 vA图形的角速度为 ?.
若沿速度 vA的方向取半直线 AL.
vC = vA - vCA
L
L?
C vAvCA
将此半直线绕 A点按 ?的转向转
过 90?到 AL?的位置,
则在 AL?上由长度 AC = vA/? 所定
出的一点 C,就是此瞬时图形上速度等于零的一点,
证明, = vA - (AC)?
= vA -(vA/?)? = 0
27
一般情况下,在平面 图 形 中,
每一瞬时 都唯一地存在着速
度等于零的点,该点称为平面
图形 在此瞬时的瞬时速度中
心,简称速度瞬心,
?C
N M
vM =(CM)?
vM
vNvN =(CN)?
图形上任一点的速度大小与该点到速度瞬心 C的
距离成正比,其速度方位垂直于该点与速度瞬心 C的
连线, C又称为平面图形的瞬时转动中心, CM和 CN
称为瞬时转动半径,
记为 C.
28
A
vA
速度 瞬 心 可在平面图形内,也可在平面图形外,且
它的位置不是固定不变,而是随着时间变化的,
(2)速度瞬心的确定
C
(a)当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时,
图形上与固定面的接触点 C即为该图形的瞬心,
vA
A
C
29
(b) 已知在某瞬时 图 形
上任意两点 A和 B速度的
方位且它们互不平行,则
通过两点 A和 B分别作速
度 vA 和 vB 的垂线其交点
C即为瞬心,
C
O
A
B
30
(c)已 知 在某瞬时图形上 A和 B两点的速度互相平
行,且垂直于 A B的连线,但速度大小不等,则此时
AB直线与两速度矢量 vA和 vB 的终端连线的交点
C 即为瞬心,
A
B
vA
vB
C
vB
vA
A
B
C
31
(d)已 知 在某瞬时图形上 A
和 B两点的速度的方位互
相平行,但不垂直于 A B的
连线,此时瞬心在无穷远处, O B
A
这种情况称为 瞬时平动,
?AB?0此时, ?AB = 0
32
例 题 9-6.在图示结构中,已知曲柄 O1A的角速度 ?.图
中 O1A = r,O2B= BC= l,确定平面运动杆件的瞬心,
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
33
? ?
?
O1
O2
A
B
C
?
解,杆 O1A和杆 O2B 作定轴转动,滑块 C作直线动,AB
杆和 BC杆作平面运动,其瞬心分别为 C1和 C2
C1
C2
34
例 题 9-7.图示瞬时滑块 A以速度 vA 沿水平直槽向左
运动,并通过连杆 AB 带动轮 B 沿园弧轨道作无滑动
的滚动,已知轮 B的半径为 r,园弧轨道的半径为 R,滑
块 A 离园弧轨道中心 O 的距离为 l,求该瞬时连杆 AB
的角速度及轮 B边缘上 M1和 M2点的速度,
r
R
O
B
l
A
vA
M1
M2
35
r
R
O
B
l
A
vA
M1
M2
解,轮 B和杆 AB作
平面运动,C为轮
B的瞬心,
C
vB杆 AB作瞬时平动, ?AB = 0
vA = vB
r
v
r
v AB
B ???
vM1 vM2
vM1 = 2 vB = 2 vA
BM CMv ?? )( 22
?B
Br ?? 2 Av2?
36
例 题 9-8,图示曲柄肘式
压床,已知曲柄 OA的角速
度 ? = 40rad/s,OA=15cm,
AB=80cm,CB=BD=60cm.
当曲柄与水平线成 30?角
时连杆 AB处于水平位置,
而肘杆 CB与铅垂线也成
30?角,求此机构在图示位
置时连杆 AB和 BD的角速
度及冲头 D的速度,
O
AB
C
D
30?
30?
30?
?
37
O
AB
C
D
30?
30?
30?
?
C1
C2
C1为 AB杆的 瞬心,
C2为 BD杆的瞬心,
解,杆 AB和 BD杆作平面运动,
vA= (OA)? = 6m/s
AC
v A
AB
1
??
=8.66rad/s
?AB
vB=(C1B)?AB
vD=(C2D)?BD
?BD= 5.77rad/s vD= 3.46m/s
?BD v
A
vB
vD
=(C2B)?BD
38
例 题 9-9,图示为一平面
连杆机构,等边三角形构
件 ABC 的边长为 a 三个
顶点 A,B 和分别与套筒
A,杆 O1B 和 O1C铰接,套
筒又可沿着杆 OD 滑动,
设杆 O1B长为 a并以角速
度 ?转动,求机构处于图
示位置时杆 OD的角速度
?OD,
O
A
B
C
O1
O2
?
60?
D
39
O
A
B
C
O1
O2
?
60?
D解,等边三角形构件 ABC作
平面运动 C1为其瞬心,
C1
vB
vB= (O1B)? = a ?
vA
vAcos30? = vBcos60?
?? av A 33
vr
ve
Ae vv 2
1?
???? 6 3OAv eOD
?OD
?? a63
40
§ 9-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
O? M?
?
aO?S
aM
aMO? a
O?
? OMa ?
n OMa ?
aM = ae + ar
ar = aMO′
n
OMOM aa ?? ??
?
n
OMOMOM aaaa ??? ???
?
平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度
与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加
速度三者的矢量和,
ae = aO′
41
例 题 9-10.半径为 R的车轮沿直线轨道作无滑动的
滚动,如图所示,已知轮心 A在图示瞬时的速度为 vA
及加速度为 aA,求该瞬时车轮边缘上瞬心 C的加速
度 aC,
A
vA aA
42
A
vA aA
解,轮 A作平面运动 C
为其瞬心,
CRv A?? Ra A??
n
CACAAC aaaa ???
?
aA?CAa
n
CAa
??? Ra CA
2?? Ra nCA
R
va A
C
2
?
? ?
R
aR A? Aa?
2
?
?
??
?
??
R
vR A
R
vA2?
43
例 题 9-11.图示瞬时滑块 A以匀速度 vA= 12 cm/s 沿水平直槽
向左运动,并通过连杆 AB带动轮 B沿园弧轨道作无滑动的滚
动,已知轮 B的半径为 r = 2cm,园弧轨道的半径为 R = 5cm,滑
块 A离园弧轨道中心 O的距离为 l = 4cm,求该瞬时连杆 AB的
角加速度及轮 B的角加速度,
r
R
O
B
l
A
vA
§ 9-5 运动学综合应用举例
44
r
R
O
B
l
A
vA解, 轮 B作平面运动
C为瞬心,
?AB = 0vB = vA
r
v B
B ??
rR
v B
BO ???
C
?
?BO
?B
vB
sin? = 0.6 cos? = 0.8
sr a d /6212 ??
sr a d /425 12 ???
杆 AB为瞬时平动,
45
r
R
O
B
l
A
vA
C
?
?BO
?B
vB
取 A为 基 点,
????
BA
n
BAAB aaaa
aA = 0 n
BAa
= 0
?
BAa
= (AB) ?AB
2)( BOn rRa ???
?
BAa
aB = (AB) ?AB
an
a?
?? ?? aaa n
BA
(1)
??? aaa n
B
把 (1)式向 CBO方向 投 影 得,
?
BAa
cos? = an 5?AB × 0.8 = (5 - 2)× 42
?AB = 12 rad/s2
?AB
46
取 B为 基 点,
?
CBa
????
CB
n
CBBC aaaa
(2)
aB
?
CBa
= r ?B
n
CBa
= r ?B2
把 (2)式向水平 方向投影得,
?
CBa
0 = aB sin? -
?B = 18 rad/s2
r
R
O
B
l
A
vA
C
?
?BO
?B
?AB
aB
n
CBa
?B
