1
§ 5-1 滑动摩擦
§ 5-2 摩擦角和自锁现象
§ 5-3 考虑滑动摩擦时物体的 平衡问题
§ 5-4 滚动摩阻（擦）的概念
例题
第五章 摩擦
静力学
2
摩擦现象
摩擦是机械运动中一种普遍的现象,摩擦
现象广泛地存在于日常生活中,
(1)滑动摩擦,两个物体接触面作相对滑动或具有
相对滑动趋势时的摩擦,
动滑动摩擦 ----具有相对滑动,
静滑动摩擦 ----具有相对滑动趋势,
(2)滚动摩擦,一个物体在另一个物体上滚
动时的摩擦,
3
§ 5-1 滑动摩擦
当两个相互接触的物体有相对滑动或有相对滑
动趋势时,彼此间存在着阻碍滑动的机械作用,这
种机械作用称为滑动摩擦力
(1)静滑动摩擦力
A
P
Q重量为 P的物体放在粗糙的
固定水平面上,受到一个水平拉力 Q的作用
A
P
Q
N
F
当
KQQ ??0
时
?Xi = 0 Q - F = 0
F = Q
4
静 摩 擦 力的大小由平衡条件确定,并随主动力的变
化而变化,方向与物体相对滑动趋势的方向相反,
(2)静滑动摩擦定律
当力 Q增加到某个数值 QK时,物体处于将动未动的
临界状态,此时静摩擦力达到最大值 Fm,称为最大静
摩擦力,
Fm = f N f ----- 静摩擦系数
(3)动滑动摩擦定律
F′ = f ? N f ? ----- 动摩擦系数
5
§ 5-2 摩擦角和自锁现象
?
P
Q
N
F
R
P
QK
N
Fm
Rm
m?
法向反力 N和静摩
擦力 F的合力 R称为支
承面对物体作用的全
约束反力,
摩擦角是静摩擦力
达到最大值时,全反力
与支承面法线的夹角,
m0 ???? ?? mtg
f
6
如 果 改变水平力 QK的
作用线方向,则 Fm及 Rm
的方向也将随之作相应
的改变 ; 若 QK在水平面
转过一圈,则全反力 Rm
的作用线将在空间画出
一个锥面,称为摩擦锥,
全反力与接触面法线所形成的夹角 ?不会大
于 ?m,即 R作用线不可能超出摩擦锥,
O
7
如 果 物体所受的
主动力合力 S 的作
用线在摩擦锥之外,
即 ? > ?m时,则全反
力 R就不可能与 S共
线,此时两力不符合
二力平衡条件,物体
将发生滑动,
?m
?
R
S
8
如 果 物体所受的主动力合
力 S 的作用线在摩擦锥之内,
即 ? < ?m时,则无论主动力多
大,它总是与 R相平衡,因而
物体将保持不动,
?m主动力合力 的作用线在
摩擦锥的范围内,物体依靠
摩擦总能静止而与主动力
大小无关的现象,称为自锁,
S
R
?
9
如 果 物体所受的主
动力合力 S 的作用线
在锥面上,即 ?= ?m,则
物体处于临界状态,
?m
R
S
?
10
§ 5-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的平衡问题,应注意以下几点,
(1)摩擦力的大小由平衡条件确定,同时应与最大
摩擦力比较,若 F? Fm,则物体平衡 ;否则物体不平衡,
(2)在临界状态下,摩擦力为最大值 Fm,应满足关系
式 Fm = f N
(3)由于 0 ? F ? Fm,问题归结为求解平衡范围,一
般设物体处于临界状态,
(4)当物体尚未达到临界状态时,摩擦力的方向可
以假定,当物体达到临界状态时,摩擦力的方向与相
对滑动趋势的方向相反,
11
例 题 5-1,在用铰链 O固定的
木板 AO和 BO间放一重 W的
匀质圆柱,并用大小等于 P的
两个水平力 P1与 P2维持平衡,
如图所示,设圆柱与木板间的
摩擦系数为 f,不计铰链中的
摩擦力以及木板的重量,求平
衡时 P的范围,
2d
P1 P2A B
C D
W
O
2?
12
解,(1)求 P的极小值
F1 F2N1 N2
设圆柱有下滑的趋势,画受力图,
由对称性得,
N1 = N2 = N F1 = F2 = F
?Xi = 0
2Fcos? + 2Nsin? = W (1)
F = f N (2)
联立 (1)和 (2)式得,
? ????? co ss i n2 f
WN
C D
W
13
取 OA板为研究 对 象 画受力图,此时的
水平力有极小值 Pmin P1 N1?A
C
O
F1?
?
?mO(Fi) = 0
?????? c t gdPc t grN m i n1
? ????? co ss i n2m i n fd
WrP
(2)求 P的极大值
当 P达到极大值时,圆柱有向上滑的趋势,只
要改变受力图中摩擦力的指向或改变 f 前的
符号即可,
14
用摩擦角 ?表 示 得,
? ????? co ss i n2m a x fd
WrP
? ? ? ????????? c o ss i n2c o ss i n2 fd
WrP
fd
Wr
? ? ? ?????
???
????
?
s i n
c o s
s i n
c o s
d
WrP
d
Wr
当角 ?等于或大于 ?时,无论 P多大,圆柱不会向上滑
动而产生自锁现象,
15
例 题 5-2,在维修某房屋时
重 W的工人登上长为 l 倾
角为 ?的梯子 AB, 梯子的
下端 A搁在水平地上,上端
B靠在铅直墙上,设地面和
墙与梯子间的摩擦角分别
为 (?m)A和 (?m)B, 求梯子
不致下滑时工人所能登上
的最大高度 xmin.
B
AW ?
16
B
AW ?
xmin
分 析, x
C D
E
F
RA
RB
(?m)A
(?m)B
(1)地面和墙均光滑时,
D点是力系的汇交点,
(2)地面光滑而墙的摩
擦达到临界状态时,E
点是力系的汇交点,
(3)地面的摩擦达到临
界状态而墙光滑时,C
点是力系的汇交点,
(4)地面和墙的摩擦均
达到临界状态时,F点
是力系的汇交点,
重力作用线过 CDEF区域时是安全的,
17
解,求梯子不致下滑时工人
所能登上的最大高度 xmin.
根据三力平衡原理,力 W
的作用线必须通过 RA和 RB
的交点 F.
?BAC = 90? - ? - (?m)A
?BCA = ?CFA + (?m)A
= 90? - (?m)B + (?m)A
B
AW ?
xmin
x
C D
E
F
RA
RB
(?m)A
(?m)B
18
由正弦定理 得, ? ?? ?
? ? ? ?? ?AmBm
Am
c o s
c o sl
BC
???
???
?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ?AmBm
BmAm
Bmm i n c o s
c o sc o sl
c o sBCx
???
????
???
若 (?m)A = (?m)B = ?m xmin = l cos(? +?m) cos?m
讨论,(1)若 ?m = 0,则 xmin = l cos?,工人只能站在梯子
的底端,
(2)当 ?? (90o - ?m)时,则 xmin = 0,工人可安全地
站在梯子的顶端,
19
§ 5-4 滚动摩阻（擦）的概念
(1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩
Q
P
c
r
A
设一半径为 r的滚子静止地放在水平
面上,滚子重为 P.在滚子的中心作用
一较小的水平力 Q.
取滚子为研究对象画受力图,
?Xi = 0 Q - F = 0
?Yi = 0 N - P = 0
?mA(Fi) = 0 m - Qr = 0
m = Q r
Q
P
c
r
A
N
Fm
20
(2) 产生滚阻力偶的 原 因
A
o
Q
P
N
F
R
A
o
Q
P
B
滚子与支承面实际上
不是刚体,在压力作用下
它们都会发生微小变形,
设反作用力的合力为 R并作用于 B点,
滚子在力 P,Q与 R作用下处于平衡状态,
将力 R 沿水平与竖直两个方向分解,
则水平分力即为摩擦力 F.
由于物体变形力 N向前偏移一微小距离 e.
竖直分力即为法向反力 N.e
21
A
o
Q
P
N
F
m
A
o
Q
P
F
N?
将力 F与 N向 A点 简 化,得到作用于 A
点的力 N与 F.另外还得到一附加力偶,
其力偶矩为 m = N e,即阻止滚子滚动
的滚阻力偶,
(3) 滚动摩擦定律
?mA(Fi) = 0 m - Qr = 0
0 ? m ? mmax
mmax = ? N
滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比,
22
例 题 5-4,在搬运重物时下面常垫以滚木,如图所示,
设重物重 W,滚木重 W‘,半径为 r.滚木与重物间的滚
阻系数为 ?,与地面间的滚阻系数为 ?’,求即将拉动
时水平力 P的大小,
W
W' W'
O1 O2
P
23
解,取整体为研究对象画受力图,
W
W' W'
O1 O2
N1 N2
F1 F2
P
?Xi = 0
?Yi = 0
P - F1 - F2 = 0 (1)
- W - 2W' + N1 + N2 = 0 (2)
24
解,取左面的滚木为研究对象画受力图,
?mA(Fi) = 0
O1
W'
N1
F1
N3
F3
?
?'
A
N1(? + ?') -2F1 r - W' ? = 0 (3)
O2
W'
N2
F2
N4
F4
?
?'
B 取右面的滚木为研究对象得,
?mB(Fi) = 0
N2(? + ?') -2F2 r - W' ? = 0 (4)
25
联 立 (1)(2)(3)(4)式得,
? ?
r
WWP
?
? ???? ???? 2
讨论, (1)设 W=1000kN,W'=0,? =0.05cm,
?' =0.20cm,r=12.5cm,代入得, P=10kN.
(2) 当 ? = ?? =0 时 P = 0,此时相当于把
重物放在一个理想光滑面上,
26
再 见
§ 5-1 滑动摩擦
§ 5-2 摩擦角和自锁现象
§ 5-3 考虑滑动摩擦时物体的 平衡问题
§ 5-4 滚动摩阻（擦）的概念
例题
第五章 摩擦
静力学
2
摩擦现象
摩擦是机械运动中一种普遍的现象,摩擦
现象广泛地存在于日常生活中,
(1)滑动摩擦,两个物体接触面作相对滑动或具有
相对滑动趋势时的摩擦,
动滑动摩擦 ----具有相对滑动,
静滑动摩擦 ----具有相对滑动趋势,
(2)滚动摩擦,一个物体在另一个物体上滚
动时的摩擦,
3
§ 5-1 滑动摩擦
当两个相互接触的物体有相对滑动或有相对滑
动趋势时,彼此间存在着阻碍滑动的机械作用,这
种机械作用称为滑动摩擦力
(1)静滑动摩擦力
A
P
Q重量为 P的物体放在粗糙的
固定水平面上,受到一个水平拉力 Q的作用
A
P
Q
N
F
当
KQQ ??0
时
?Xi = 0 Q - F = 0
F = Q
4
静 摩 擦 力的大小由平衡条件确定,并随主动力的变
化而变化,方向与物体相对滑动趋势的方向相反,
(2)静滑动摩擦定律
当力 Q增加到某个数值 QK时,物体处于将动未动的
临界状态,此时静摩擦力达到最大值 Fm,称为最大静
摩擦力,
Fm = f N f ----- 静摩擦系数
(3)动滑动摩擦定律
F′ = f ? N f ? ----- 动摩擦系数
5
§ 5-2 摩擦角和自锁现象
?
P
Q
N
F
R
P
QK
N
Fm
Rm
m?
法向反力 N和静摩
擦力 F的合力 R称为支
承面对物体作用的全
约束反力,
摩擦角是静摩擦力
达到最大值时,全反力
与支承面法线的夹角,
m0 ???? ?? mtg
f
6
如 果 改变水平力 QK的
作用线方向,则 Fm及 Rm
的方向也将随之作相应
的改变 ; 若 QK在水平面
转过一圈,则全反力 Rm
的作用线将在空间画出
一个锥面,称为摩擦锥,
全反力与接触面法线所形成的夹角 ?不会大
于 ?m,即 R作用线不可能超出摩擦锥,
O
7
如 果 物体所受的
主动力合力 S 的作
用线在摩擦锥之外,
即 ? > ?m时,则全反
力 R就不可能与 S共
线,此时两力不符合
二力平衡条件,物体
将发生滑动,
?m
?
R
S
8
如 果 物体所受的主动力合
力 S 的作用线在摩擦锥之内,
即 ? < ?m时,则无论主动力多
大,它总是与 R相平衡,因而
物体将保持不动,
?m主动力合力 的作用线在
摩擦锥的范围内,物体依靠
摩擦总能静止而与主动力
大小无关的现象,称为自锁,
S
R
?
9
如 果 物体所受的主
动力合力 S 的作用线
在锥面上,即 ?= ?m,则
物体处于临界状态,
?m
R
S
?
10
§ 5-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的平衡问题,应注意以下几点,
(1)摩擦力的大小由平衡条件确定,同时应与最大
摩擦力比较,若 F? Fm,则物体平衡 ;否则物体不平衡,
(2)在临界状态下,摩擦力为最大值 Fm,应满足关系
式 Fm = f N
(3)由于 0 ? F ? Fm,问题归结为求解平衡范围,一
般设物体处于临界状态,
(4)当物体尚未达到临界状态时,摩擦力的方向可
以假定,当物体达到临界状态时,摩擦力的方向与相
对滑动趋势的方向相反,
11
例 题 5-1,在用铰链 O固定的
木板 AO和 BO间放一重 W的
匀质圆柱,并用大小等于 P的
两个水平力 P1与 P2维持平衡,
如图所示,设圆柱与木板间的
摩擦系数为 f,不计铰链中的
摩擦力以及木板的重量,求平
衡时 P的范围,
2d
P1 P2A B
C D
W
O
2?
12
解,(1)求 P的极小值
F1 F2N1 N2
设圆柱有下滑的趋势,画受力图,
由对称性得,
N1 = N2 = N F1 = F2 = F
?Xi = 0
2Fcos? + 2Nsin? = W (1)
F = f N (2)
联立 (1)和 (2)式得,
? ????? co ss i n2 f
WN
C D
W
13
取 OA板为研究 对 象 画受力图,此时的
水平力有极小值 Pmin P1 N1?A
C
O
F1?
?
?mO(Fi) = 0
?????? c t gdPc t grN m i n1
? ????? co ss i n2m i n fd
WrP
(2)求 P的极大值
当 P达到极大值时,圆柱有向上滑的趋势,只
要改变受力图中摩擦力的指向或改变 f 前的
符号即可,
14
用摩擦角 ?表 示 得,
? ????? co ss i n2m a x fd
WrP
? ? ? ????????? c o ss i n2c o ss i n2 fd
WrP
fd
Wr
? ? ? ?????
???
????
?
s i n
c o s
s i n
c o s
d
WrP
d
Wr
当角 ?等于或大于 ?时,无论 P多大,圆柱不会向上滑
动而产生自锁现象,
15
例 题 5-2,在维修某房屋时
重 W的工人登上长为 l 倾
角为 ?的梯子 AB, 梯子的
下端 A搁在水平地上,上端
B靠在铅直墙上,设地面和
墙与梯子间的摩擦角分别
为 (?m)A和 (?m)B, 求梯子
不致下滑时工人所能登上
的最大高度 xmin.
B
AW ?
16
B
AW ?
xmin
分 析, x
C D
E
F
RA
RB
(?m)A
(?m)B
(1)地面和墙均光滑时,
D点是力系的汇交点,
(2)地面光滑而墙的摩
擦达到临界状态时,E
点是力系的汇交点,
(3)地面的摩擦达到临
界状态而墙光滑时,C
点是力系的汇交点,
(4)地面和墙的摩擦均
达到临界状态时,F点
是力系的汇交点,
重力作用线过 CDEF区域时是安全的,
17
解,求梯子不致下滑时工人
所能登上的最大高度 xmin.
根据三力平衡原理,力 W
的作用线必须通过 RA和 RB
的交点 F.
?BAC = 90? - ? - (?m)A
?BCA = ?CFA + (?m)A
= 90? - (?m)B + (?m)A
B
AW ?
xmin
x
C D
E
F
RA
RB
(?m)A
(?m)B
18
由正弦定理 得, ? ?? ?
? ? ? ?? ?AmBm
Am
c o s
c o sl
BC
???
???
?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ?AmBm
BmAm
Bmm i n c o s
c o sc o sl
c o sBCx
???
????
???
若 (?m)A = (?m)B = ?m xmin = l cos(? +?m) cos?m
讨论,(1)若 ?m = 0,则 xmin = l cos?,工人只能站在梯子
的底端,
(2)当 ?? (90o - ?m)时,则 xmin = 0,工人可安全地
站在梯子的顶端,
19
§ 5-4 滚动摩阻（擦）的概念
(1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩
Q
P
c
r
A
设一半径为 r的滚子静止地放在水平
面上,滚子重为 P.在滚子的中心作用
一较小的水平力 Q.
取滚子为研究对象画受力图,
?Xi = 0 Q - F = 0
?Yi = 0 N - P = 0
?mA(Fi) = 0 m - Qr = 0
m = Q r
Q
P
c
r
A
N
Fm
20
(2) 产生滚阻力偶的 原 因
A
o
Q
P
N
F
R
A
o
Q
P
B
滚子与支承面实际上
不是刚体,在压力作用下
它们都会发生微小变形,
设反作用力的合力为 R并作用于 B点,
滚子在力 P,Q与 R作用下处于平衡状态,
将力 R 沿水平与竖直两个方向分解,
则水平分力即为摩擦力 F.
由于物体变形力 N向前偏移一微小距离 e.
竖直分力即为法向反力 N.e
21
A
o
Q
P
N
F
m
A
o
Q
P
F
N?
将力 F与 N向 A点 简 化,得到作用于 A
点的力 N与 F.另外还得到一附加力偶,
其力偶矩为 m = N e,即阻止滚子滚动
的滚阻力偶,
(3) 滚动摩擦定律
?mA(Fi) = 0 m - Qr = 0
0 ? m ? mmax
mmax = ? N
滚阻力偶矩的最大值与法向反力成正比,
22
例 题 5-4,在搬运重物时下面常垫以滚木,如图所示,
设重物重 W,滚木重 W‘,半径为 r.滚木与重物间的滚
阻系数为 ?,与地面间的滚阻系数为 ?’,求即将拉动
时水平力 P的大小,
W
W' W'
O1 O2
P
23
解,取整体为研究对象画受力图,
W
W' W'
O1 O2
N1 N2
F1 F2
P
?Xi = 0
?Yi = 0
P - F1 - F2 = 0 (1)
- W - 2W' + N1 + N2 = 0 (2)
24
解,取左面的滚木为研究对象画受力图,
?mA(Fi) = 0
O1
W'
N1
F1
N3
F3
?
?'
A
N1(? + ?') -2F1 r - W' ? = 0 (3)
O2
W'
N2
F2
N4
F4
?
?'
B 取右面的滚木为研究对象得,
?mB(Fi) = 0
N2(? + ?') -2F2 r - W' ? = 0 (4)
25
联 立 (1)(2)(3)(4)式得,
? ?
r
WWP
?
? ???? ???? 2
讨论, (1)设 W=1000kN,W'=0,? =0.05cm,
?' =0.20cm,r=12.5cm,代入得, P=10kN.
(2) 当 ? = ?? =0 时 P = 0,此时相当于把
重物放在一个理想光滑面上,
26
再 见
