1
§ 8-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
§ 8-2 点的速度合成定理
§ 8-3 点的加速度合成定理
第八章 点的合成运动
运动学
2
§ 8-1,相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
1,问题的提出
O
A
B
M
?例 8-1.一水平放置的园板绕
过中心 O的铅直轴以角速度
?旋转,在园板上有一光滑直
槽 AB,槽内放一小球 M.若以
园板为参考系,小球 M将如何
运动? 若以地面为参考系,小
球 M将如何运动?
3
O
A
B
M
?2.基本 概 念
(1)二个坐标系,
静坐标系 (O—— xyz):固接
于地面的坐标系,
动坐标系 (O′—— x′y′z′):
固接于相对静系运动的物体
上的坐标系,
(2)三种运动,
绝对运动 —— 动点相对于静系的运动,
x
y
z
O′
x′y′ z′
相对运动 —— 动点相对于动系的运动,
牵连运动 —— 动系相对于静系的运动,
4
O
A
B
M
?
x
y
z
O′
x′y′ z′
(3)二种 轨 迹,
绝对轨迹 —— 动点在绝
对运动中的轨迹,
相对轨迹 —— 动点在相
对运动中的轨迹,
(4)牵连点,在某瞬时,动系上
与动点相重合的点为动点在此瞬时的牵连点,
(5)三种速度,
绝对速度 (va)—— 动点相对于静系的速度,
相对速度 (vr)—— 动点相对于动系的速度,
牵连速度 (ve)—— 牵连点相对于静系的速度,
M′
5
(6)三 种 加速度,
绝对加速度 (aa)—— 动点相对于静系的加速度,
l
O1
O2
A
B
?
?1
相对加速度 (ar)—— 动点相对于动系的加速度,
牵连加速度 (ae)—— 牵连点相对于静系的加速度,
例题 8-2.图示机构中滑块 A套
在摇杆 O2B上,并与曲柄 O1A以
销子连接,当 O1A转动时通过滑
块 A带动 O2B 左右摆动,设 O1A
长 r,以匀角速 ?1转动,试分析滑
块 A的运动,
6
例 题 8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
知 OA= r且转动的角速
度为 ?.试分析滑块 A的
运动,
?
O
A
B C
D
?
7
例 题 8-4,平底凸轮机构如
图示, 凸轮 O 的半径为 R,
偏心距 OA= e,以匀角速度
?绕 O转动,并带动平底从
动杆 BCD运动, 试确定动
点并分析其运动, O
A
M
B C
D
Re ?
?
8
例 题 8-5,半径为 r偏心距为 e的凸轮,以匀角速度 ?
绕 O轴转动,AB杆长 l,A端置于凸轮上,B端用铰链
支承,在图示瞬时 AB 杆处于水平位置, 试确定动点
并分析其运动,
BA
r
e
OC
l
?
9
矢量对时间的绝对导数和相对导数
(1)基本概念, ? ?tAA ?
绝对导数 ( )—— 在静系中观察到的矢量对
时间的变化率,dt
Ad
相对导数 ( )—— 在动系中观察到的矢量对
时间的变化率,dt
Ad?
(2)动系平动时绝对导数和相对导数的关系
A = x′i′ + y′ j′ i = i′ j = j′
00 ?????? dt jddt jddt iddt id
10
结 论,
dt
jdy
dt
idx
dt
ydj
dt
xdi
dt
Ad ????????????
dt
Ad
dt
Ad ?? (1)
(3)动系相对于静系作定轴转动时,绝对导数和相
对导数的关系 (z 和 z? 轴重合且动系绕 z轴以角
速度 ?转动,)
A = x′i′ + y′ j′ i ≠ i′ j ≠ j′ k = k′
? = ?k
dt
ydj
dt
xdi ??????
dt
Ad ??
11
结论,
Adt Ad ?????
Adt Addt Ad ?????
(2)
§ 8-2 点的速度合成定理
(1)牵连运动为平动时点的速度合成定理
???
?
???
? ??
?????
?
??
?
? ??????
dt
jdy
dt
idx
dt
ydj
dt
xdi
dt
Ad
? ? ? ?? ?jyixdt Ad ???????????? ? ? ? ?? ?jyixdt Ad ????????????
? ?? ?jyixdt Ad ??????????
12
根 据 刚体平动的特点可
知,在任一瞬时,动系中的各
点均与 O′点有相同的运动
量,因而在此情况下不必确
定牵连点, x′O′
y′
x
y
O
M
r r′
rO′
r = rO′ + r′
dt
rd
dt
rd
dt
rd o ??? ?
dt
rdv
Ma ?
dt
rd
dt
rd o ???? ?
dt
rdv
Mr
???
dt
rdv o
Me
??
13
即,
MrMeMa vvv ??
(3)
(2)牵连运动为定轴转动时点的速度合成定理
x
y
O(O′)
M(M′)
?
?
dt
rdv
Ma ?
牵连点是动系上和动
点 M 重合的一点 M′.
rv Me ???
r
dt
rd
dt
rd ?????
r
即,
MrMeMa vvv ??
(4)
dt
rdv
Mr
??
14
综合 (3)(4)两式可得 结 论, va= ve + vr
(3)应用速度合成定理解题的一般步骤,
选取动点,建立二个坐标系,
分析三种运动,即动点的绝对运动和相对运
动以及动系的牵连运动,
画速度矢量图并求解,
若动点到一个定点的距离保持不变,则该点
将作平面园运动或空间球面 曲线 运动 ;若动点到
一条定直线的距离保持不变,则该点将作平面直
线运动或空间柱面曲线运动 ;
15
例 题 8-6,曲柄导杆机构如
图所示,已知 OA=r,曲杆
BCD的速度 vD的大小为 v,
求该瞬时杆 OA转动的角
速度 ?,
?
O
A
B C
D
vD
?
16
?
O
A
B C
D
vD
?
解,取滑块 A为动点,
x
y
x′
y′
va= ve + vr
vave
vr
?建立静系 O— xy和动系 B— x′y′
A的绝对运动 — 以 O为园心 r
为半径的园运动,
A的相对运动 — 沿 y′ 轴的直
线运动,
动系的牵连运动 — 沿 x轴的直线平动,
va = r? ve = vD= v
解得,
????? s i ns i n r
vvv
a
17
例 题 8-7.平底凸轮机构如图
示, 凸轮 O 的半径为 R,偏心
距 OA = e,以匀角速度 ? 绕 O
转动,并带动平底从动杆
BCD运动, 试求该瞬时杆
BCD的速度, O
A
M
B C
D
Re ?
?
18
O
A
M
B C
D
Re ?
?
解,取凸轮中心 A为动点,
建立静系 O— xy和动系 B— x′y′
x
y
x′
y′
A的绝对运动 — 以 O为中心 e为
半径的园运动,
A的相对运动 — 平行于 x′轴的直
线运动,
动系的牵连运动 — 平行于 y 轴的直线平动,
va= ve + vr
vave
vr
va = e?
?
解得, v = e ? sin?
ve = vBCD= v
19
例 题 8-8.图示机构中滑块 A
套在摇杆 O2B上,并与曲
柄 O1A以销子连接,当 O1A
转动时通过滑块 A带动 O2B
左右摆动,设 O1A长 r,以匀
角速 ?1转动,试求该瞬时杆
O2B的角速度 ?2.
?2
l
O1
O2
A
B
?
?1
20
?2
l
O1
O2
A
B
?
?1解,取套筒 A为动点,
建立静系 O2— xy和动系 O2— x′y′
x
y x′
y′
A的绝对运动 — 以 O1为中心 r为
半径的园运动,
A的相对运动 — 沿 x′轴的直线运动,
牵连运动 — 动系随 O2B杆的摆动,
va= ve + vr
牵连点 — O2B杆上被滑块 A盖住的 A′点,
va
ve vr
?
va = r?1
(A′)
?????? s i nc o s 12 rlv e 22 1
2
2 lr
r
?
???得,
21
例 题 8-9,半径为 r偏心距为 e的凸轮,以匀角速度 ?
绕 O轴转动,AB杆长 l,A端置于凸轮上,B端用铰链
支承,在图示瞬时 AB杆处于水平位置, 试求该瞬时
AB杆的角速度 ?AB,
BA
r
e
OC
l
?
?AB
22
BA
r
e
OC
l
?
?AB
解,取 AB杆的 A点为动点,
建立静系 O— xy和
动系 O— x′y′
A的绝对运动 — 以 B为中心 l 为
半径的园运动,
A的相对运动 — 沿凸轮 O边缘的曲线运动,
牵连运动 — 动系随凸轮 O且角速度为 ?的定轴转动,
牵连点 — 凸轮 O上被 AB杆的 A端 盖住的 A′点且随凸轮
O作角速度为 ?的定轴转动,
va= ve + vr va = l ?AB
x
y
x′ y′
va
ve
vr
(A′)
?
ve = r?sin?
解得,
??? leAB
23
BA
r
e
OC
l
?
?AB
取凸轮 O的中心 C为 动 点,
x
y
x′
y′
va
ve
(C′)
建立静系 O— xy和
动系 A— x′y′(平动 )
C的绝对运动 — 以 O为中心 e为半
径的园运动,
C的相对运动 — 以 A为中心 r为半径的园运动,
牵连运动 — 动系随 AB杆的 A端作曲线平 动,
牵连点 — 动系上被凸轮 O上的 C点盖住的 C′点,
va= ve + vr ve = l ?ABva = e ? vr = 0
解得,
???
l
e
AB
24
§ 8-3 点的加速度合成定理
8-3-2.牵连运动为定轴转动时
点的加速度合成定理
8-3-1.牵连运动为平动时
点的加速度合成定理
25
8-3-1.牵连运动为平动时点的加速度合成定理
dt
Ad
dt
Ad ?? (1)动系平动时
va= ve + vr
dt
vda a
a ?
dt
vda a
a ?
aa = ae+ ar 或, aan+aa? = aen+ae?+arn+ar?
dt
vda e
e ? dt
vda r
r
??
dt
vd
dt
vd re ??
dt
vd
dt
vd re ???
26
例 题 8-10,半径为 R,偏心距为 e的偏心园凸轮,以等角
速度 ?绕定轴 O逆时针向转动,并带动拨叉 A和固接
于 A的控制杆 BD沿水平直线作往复运动,设拨叉与
凸轮的接触表面是铅垂的,求控制杆 BD的加速度并
将它表示成转角 ?的函数,
B D
A
O
C e?
?
27
B D
A
O
C e?
?
解,取偏心园凸轮的
中心 C为动点,
建立静系 O— x y和
动系 A— x′y′
C的绝对运动 — 以 O为中心为 e半径的园运动,
C的相对运动 — 平行于 y′ 轴的直线运动,
牵连运动 — 动系沿水平直线作往复平动,
va= ve + vr
x
y
x′
y′
va
ve
vr
va = e?
解得, ve = e?cos? vr = e?sin?
28
取偏心园凸轮 O的中心 C为 动 点,
aa
?
?
O
C
e
ae
ar
aa = ae+ ar
aa = aan+ aa?
aa? = 0 aan = e?2
ae = aa sin? = e?2 sin?
aa = e?2
29
例 题 8-11.平底凸轮机构如
图示,凸轮 O的半径为 R,偏心
距 OA = e,以角速度 ?和角加
速度 ? 绕 O转动,并带动平底
从动杆 BCD 运动,试求该瞬
时杆 BCD的加速度, O
A
M
B C
D
Re ?
?
aD
?
30
解,取凸轮中心 A为动点,
O
A
MB
C
D
e
?
?
建立静系 O— xy和
动系 B— x′y′
x
y
x′
y′
A的绝对运动 — 以 O为中心
e为半径的园运动,
A的相对运动 — 平行于 x′轴
的直线运动,
动系的牵连运动 — 平行于 y 轴的直线平动,
?
31
aa = ae+ ar (1)
aa = aan+ aa?
aa? = e? aan = e?2 ?
O
A
e?
?
aana
e = aD
把 (1)式向竖直方向 投 影 得,
e?2 cos? + e? sin? = ae
aD = e?2 cos? + e? sin?
aa?ae
ar
32
例 题 8-12,具有园弧形滑道的曲柄滑道机构,用来
使滑道 BC获得间歇的往复运动,已知曲柄以匀角
速度 ? =10 rad/s 绕 O轴转动,OA=10cm,园弧道的
半径 r = 7.5cm,当曲柄转到图示位置 sin? = 0.6时,
求滑道 BC的速度和加速度,
O
A
B Cr
?
?
33
O
A
B Cr
?
?
解,取滑块 A为动点,
建立静系 O— xy
和动系 C— x′y′
A的绝对运动 — 以 O为
中心 OA为半径的园运动,
A的相对运动 — 沿弧形滑道的曲线运动,
牵连运动 — 动系沿 x 轴的直线平动,
va= ve + vr (1)
x
y
x′
y′
va
ve
vr
?
D
rsin? = OAsin?
va =OA ? ve = vBC
把 (1)式向 AD方向投影得,
va cos[90o-(?+?)] = ve cos(90o-?)
ve = vBC = 1.6 m/s vr = 2.2 m/s
34
O
A
B Cr
?
?
取滑块 A为 动 点,
aan
ae
ar??
arn
aa = ae+ ar (2)
aa = aan+ aa?
aa?=0
aan=OA?2=10m/s2
ae = aBC
把 (2)式向 AD方向投影得,
ar = arn+ ar?
aancos[180o-(?+?)]=aecos?+arn
ae = aBC = -123.5 m/s2
2
2
/5.64 smrva rrn ??
D
35
8-3-2.牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
动系定轴转动时
Adt Addt Ad ?????
(2)
va= ve + vr ve = ?× r
ae = ?× r + ?× ve
dt
vda r
r
??
dt
vd
dt
vd
dt
vda rea
a ???
(3)
36
把 (4)(5)式代入 (3)式得,
dt
rdr
dt
d
dt
vd e ??????
(4)
r
rr v
dt
vd
dt
vd ????? (5)
aa = ae+ ar + 2?× vr
令, ak = 2?× vr 则 有,
aa = ae+ ar + ak
rr va ????
re va ???? re vvr ?????????
? ?re vvr ???????
37
例 题 8-13,半径为 r偏心距为 e的凸轮,以匀角速度
?绕 O轴转动,AB杆长 l,A端置于凸轮上,B端用铰
链支承,在图示瞬时 AB杆处于水平位置, 试求该瞬
时 AB杆的角加速度 ?AB,
BA
r
e
OC
l
?
?AB
38
BA
r
e
OC
l
?
?AB
解,取 AB杆的 A点为动点,
建立静系 O— xy和
动系 O— x′y′
A的绝对运动 — 以 B为中心 l 为
半径的园运动,
A的相对运动 — 沿凸轮 O边缘的曲线运动,
牵连运动 — 动系随凸轮 O且角速度为 ?的定轴转动,
牵连点 — 凸轮 O上被 AB杆的 A端 盖住的 A′点且随凸轮
O作角速度为 ?的定轴转动,
va= ve + vr va = l ?AB
x
y
x′ y′
va
ve
vr
(A′)
?
ve = r?sin?
解得,
??? leAB
?AB
vr= r?
39
BA
r
e
OC
l
?
?AB
aa = ae+ ar + ak (1)aa?
aen a
r?
aan
arn
ak
aa = aan+ aa?
2
2
2 ??
l
ela
ABan ??
aa? = l ?AB
ar = arn+ ar?
ae =aen+ae?
arn = r?2
aen= r?2sin? ae? = 0
ak = 2r?2 把 (1)式向 AC方向 投 影 得,
- aancos? - aa?sin? = aensin? + arn - ak
解得, ? ?
?
??????
s i n
c o sc o s
2
22
l
erl
AB
40
BA
r
e
OC
l
?
?AB
取凸轮 O的中心 C为 动 点,
建立静系 O— xy和
动系 A— x′y′(平动 )
C的绝对运动 — 以 O为中心 e为半
径的园运动,
C的相对运动 — 以 A为中心 r为半径的园运动,
牵连运动 — 动系随 AB杆的 A端作曲线平 动,
牵连点 — 动系上被凸轮 O上的 C点盖住的 C′点,
x
y
x′
y′
va
ve
(C′)
va= ve + vr ve = l ?ABva = e ? vr = 0
解得,
??? leAB
?AB
41
BA
r
e
OC
l
?
?AB
aa = ae+ ar (2)
aan
ae?
aen
arn
ar?
?
aa = aan+ aa?
aan = e?2 aa? = 0
ae = aen+ ae? ae? = l ?AB
2
2
2 ??
l
ela
ABen ??
ar = arn+ ar? arn = 0
把 (2)式向 AC方向 投 影 得, - aancos? = - aencos? - ae?sin?
解得, ? ?
?
?????
s i n
c os
2
2
l
ele
AB
42
例 题 8-14,滑块 M与杆 O1A
铰接,并可沿杆 O2B滑动如
图所示,在图示瞬时,杆 O1A
的角速度 ?1= 0.2rad/s,角加
速度 ?1=0.25rad/s2,转向如
图,求此瞬时杆 O2B的角加
速度 ?2和滑块 M相对于 O2B
的加速度,
M
O1O2
A B
0.5cm
60o
30o
?1
?1
43
M
O1O2
A B
0.5cm
60o
30o
?1
?1
解,取滑块 M为动点,建立静
系 O1xy和动系 O2 x?y?? ?
M的绝对运动,以 O1为中心
O1M为半径的园运动,
M的相对运动,沿 y?轴的直线运动,
牵连运动,动系相对于静系绕 O2作
定轴转动,
va= ve + vr
牵连点,杆 O2B上被滑块 M盖住的
点 M?,
x
x?
yy?
(M?)
va
ve
vr
va = 0.2 m/s
解得, ve= 0.17m/s vr= 0.1m/s ?2= 0.2rad/s
44
M
O1O2
A B
0.5cm
60o
30o
?1
?1
?2
aa = ae+ ar + ak (1)
aa = aan+ aa?
ae = aen+ ae?
aan
aa? aen
ae?
ar
ak
aan = 0.04m/s2
aa? = 0.25m/s2
aen = 0.035m/s2
ak = 0.04m/s2
把 (1)式向 O2O1方向 投 影 得,
aancos60o - aa? cos30o = -ae? + ak
解得, ae? = 0.237 m/s2
?2 = 0.274 rad/s2
§ 8-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
§ 8-2 点的速度合成定理
§ 8-3 点的加速度合成定理
第八章 点的合成运动
运动学
2
§ 8-1,相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
1,问题的提出
O
A
B
M
?例 8-1.一水平放置的园板绕
过中心 O的铅直轴以角速度
?旋转,在园板上有一光滑直
槽 AB,槽内放一小球 M.若以
园板为参考系,小球 M将如何
运动? 若以地面为参考系,小
球 M将如何运动?
3
O
A
B
M
?2.基本 概 念
(1)二个坐标系,
静坐标系 (O—— xyz):固接
于地面的坐标系,
动坐标系 (O′—— x′y′z′):
固接于相对静系运动的物体
上的坐标系,
(2)三种运动,
绝对运动 —— 动点相对于静系的运动,
x
y
z
O′
x′y′ z′
相对运动 —— 动点相对于动系的运动,
牵连运动 —— 动系相对于静系的运动,
4
O
A
B
M
?
x
y
z
O′
x′y′ z′
(3)二种 轨 迹,
绝对轨迹 —— 动点在绝
对运动中的轨迹,
相对轨迹 —— 动点在相
对运动中的轨迹,
(4)牵连点,在某瞬时,动系上
与动点相重合的点为动点在此瞬时的牵连点,
(5)三种速度,
绝对速度 (va)—— 动点相对于静系的速度,
相对速度 (vr)—— 动点相对于动系的速度,
牵连速度 (ve)—— 牵连点相对于静系的速度,
M′
5
(6)三 种 加速度,
绝对加速度 (aa)—— 动点相对于静系的加速度,
l
O1
O2
A
B
?
?1
相对加速度 (ar)—— 动点相对于动系的加速度,
牵连加速度 (ae)—— 牵连点相对于静系的加速度,
例题 8-2.图示机构中滑块 A套
在摇杆 O2B上,并与曲柄 O1A以
销子连接,当 O1A转动时通过滑
块 A带动 O2B 左右摆动,设 O1A
长 r,以匀角速 ?1转动,试分析滑
块 A的运动,
6
例 题 8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
知 OA= r且转动的角速
度为 ?.试分析滑块 A的
运动,
?
O
A
B C
D
?
7
例 题 8-4,平底凸轮机构如
图示, 凸轮 O 的半径为 R,
偏心距 OA= e,以匀角速度
?绕 O转动,并带动平底从
动杆 BCD运动, 试确定动
点并分析其运动, O
A
M
B C
D
Re ?
?
8
例 题 8-5,半径为 r偏心距为 e的凸轮,以匀角速度 ?
绕 O轴转动,AB杆长 l,A端置于凸轮上,B端用铰链
支承,在图示瞬时 AB 杆处于水平位置, 试确定动点
并分析其运动,
BA
r
e
OC
l
?
9
矢量对时间的绝对导数和相对导数
(1)基本概念, ? ?tAA ?
绝对导数 ( )—— 在静系中观察到的矢量对
时间的变化率,dt
Ad
相对导数 ( )—— 在动系中观察到的矢量对
时间的变化率,dt
Ad?
(2)动系平动时绝对导数和相对导数的关系
A = x′i′ + y′ j′ i = i′ j = j′
00 ?????? dt jddt jddt iddt id
10
结 论,
dt
jdy
dt
idx
dt
ydj
dt
xdi
dt
Ad ????????????
dt
Ad
dt
Ad ?? (1)
(3)动系相对于静系作定轴转动时,绝对导数和相
对导数的关系 (z 和 z? 轴重合且动系绕 z轴以角
速度 ?转动,)
A = x′i′ + y′ j′ i ≠ i′ j ≠ j′ k = k′
? = ?k
dt
ydj
dt
xdi ??????
dt
Ad ??
11
结论,
Adt Ad ?????
Adt Addt Ad ?????
(2)
§ 8-2 点的速度合成定理
(1)牵连运动为平动时点的速度合成定理
???
?
???
? ??
?????
?
??
?
? ??????
dt
jdy
dt
idx
dt
ydj
dt
xdi
dt
Ad
? ? ? ?? ?jyixdt Ad ???????????? ? ? ? ?? ?jyixdt Ad ????????????
? ?? ?jyixdt Ad ??????????
12
根 据 刚体平动的特点可
知,在任一瞬时,动系中的各
点均与 O′点有相同的运动
量,因而在此情况下不必确
定牵连点, x′O′
y′
x
y
O
M
r r′
rO′
r = rO′ + r′
dt
rd
dt
rd
dt
rd o ??? ?
dt
rdv
Ma ?
dt
rd
dt
rd o ???? ?
dt
rdv
Mr
???
dt
rdv o
Me
??
13
即,
MrMeMa vvv ??
(3)
(2)牵连运动为定轴转动时点的速度合成定理
x
y
O(O′)
M(M′)
?
?
dt
rdv
Ma ?
牵连点是动系上和动
点 M 重合的一点 M′.
rv Me ???
r
dt
rd
dt
rd ?????
r
即,
MrMeMa vvv ??
(4)
dt
rdv
Mr
??
14
综合 (3)(4)两式可得 结 论, va= ve + vr
(3)应用速度合成定理解题的一般步骤,
选取动点,建立二个坐标系,
分析三种运动,即动点的绝对运动和相对运
动以及动系的牵连运动,
画速度矢量图并求解,
若动点到一个定点的距离保持不变,则该点
将作平面园运动或空间球面 曲线 运动 ;若动点到
一条定直线的距离保持不变,则该点将作平面直
线运动或空间柱面曲线运动 ;
15
例 题 8-6,曲柄导杆机构如
图所示,已知 OA=r,曲杆
BCD的速度 vD的大小为 v,
求该瞬时杆 OA转动的角
速度 ?,
?
O
A
B C
D
vD
?
16
?
O
A
B C
D
vD
?
解,取滑块 A为动点,
x
y
x′
y′
va= ve + vr
vave
vr
?建立静系 O— xy和动系 B— x′y′
A的绝对运动 — 以 O为园心 r
为半径的园运动,
A的相对运动 — 沿 y′ 轴的直
线运动,
动系的牵连运动 — 沿 x轴的直线平动,
va = r? ve = vD= v
解得,
????? s i ns i n r
vvv
a
17
例 题 8-7.平底凸轮机构如图
示, 凸轮 O 的半径为 R,偏心
距 OA = e,以匀角速度 ? 绕 O
转动,并带动平底从动杆
BCD运动, 试求该瞬时杆
BCD的速度, O
A
M
B C
D
Re ?
?
18
O
A
M
B C
D
Re ?
?
解,取凸轮中心 A为动点,
建立静系 O— xy和动系 B— x′y′
x
y
x′
y′
A的绝对运动 — 以 O为中心 e为
半径的园运动,
A的相对运动 — 平行于 x′轴的直
线运动,
动系的牵连运动 — 平行于 y 轴的直线平动,
va= ve + vr
vave
vr
va = e?
?
解得, v = e ? sin?
ve = vBCD= v
19
例 题 8-8.图示机构中滑块 A
套在摇杆 O2B上,并与曲
柄 O1A以销子连接,当 O1A
转动时通过滑块 A带动 O2B
左右摆动,设 O1A长 r,以匀
角速 ?1转动,试求该瞬时杆
O2B的角速度 ?2.
?2
l
O1
O2
A
B
?
?1
20
?2
l
O1
O2
A
B
?
?1解,取套筒 A为动点,
建立静系 O2— xy和动系 O2— x′y′
x
y x′
y′
A的绝对运动 — 以 O1为中心 r为
半径的园运动,
A的相对运动 — 沿 x′轴的直线运动,
牵连运动 — 动系随 O2B杆的摆动,
va= ve + vr
牵连点 — O2B杆上被滑块 A盖住的 A′点,
va
ve vr
?
va = r?1
(A′)
?????? s i nc o s 12 rlv e 22 1
2
2 lr
r
?
???得,
21
例 题 8-9,半径为 r偏心距为 e的凸轮,以匀角速度 ?
绕 O轴转动,AB杆长 l,A端置于凸轮上,B端用铰链
支承,在图示瞬时 AB杆处于水平位置, 试求该瞬时
AB杆的角速度 ?AB,
BA
r
e
OC
l
?
?AB
22
BA
r
e
OC
l
?
?AB
解,取 AB杆的 A点为动点,
建立静系 O— xy和
动系 O— x′y′
A的绝对运动 — 以 B为中心 l 为
半径的园运动,
A的相对运动 — 沿凸轮 O边缘的曲线运动,
牵连运动 — 动系随凸轮 O且角速度为 ?的定轴转动,
牵连点 — 凸轮 O上被 AB杆的 A端 盖住的 A′点且随凸轮
O作角速度为 ?的定轴转动,
va= ve + vr va = l ?AB
x
y
x′ y′
va
ve
vr
(A′)
?
ve = r?sin?
解得,
??? leAB
23
BA
r
e
OC
l
?
?AB
取凸轮 O的中心 C为 动 点,
x
y
x′
y′
va
ve
(C′)
建立静系 O— xy和
动系 A— x′y′(平动 )
C的绝对运动 — 以 O为中心 e为半
径的园运动,
C的相对运动 — 以 A为中心 r为半径的园运动,
牵连运动 — 动系随 AB杆的 A端作曲线平 动,
牵连点 — 动系上被凸轮 O上的 C点盖住的 C′点,
va= ve + vr ve = l ?ABva = e ? vr = 0
解得,
???
l
e
AB
24
§ 8-3 点的加速度合成定理
8-3-2.牵连运动为定轴转动时
点的加速度合成定理
8-3-1.牵连运动为平动时
点的加速度合成定理
25
8-3-1.牵连运动为平动时点的加速度合成定理
dt
Ad
dt
Ad ?? (1)动系平动时
va= ve + vr
dt
vda a
a ?
dt
vda a
a ?
aa = ae+ ar 或, aan+aa? = aen+ae?+arn+ar?
dt
vda e
e ? dt
vda r
r
??
dt
vd
dt
vd re ??
dt
vd
dt
vd re ???
26
例 题 8-10,半径为 R,偏心距为 e的偏心园凸轮,以等角
速度 ?绕定轴 O逆时针向转动,并带动拨叉 A和固接
于 A的控制杆 BD沿水平直线作往复运动,设拨叉与
凸轮的接触表面是铅垂的,求控制杆 BD的加速度并
将它表示成转角 ?的函数,
B D
A
O
C e?
?
27
B D
A
O
C e?
?
解,取偏心园凸轮的
中心 C为动点,
建立静系 O— x y和
动系 A— x′y′
C的绝对运动 — 以 O为中心为 e半径的园运动,
C的相对运动 — 平行于 y′ 轴的直线运动,
牵连运动 — 动系沿水平直线作往复平动,
va= ve + vr
x
y
x′
y′
va
ve
vr
va = e?
解得, ve = e?cos? vr = e?sin?
28
取偏心园凸轮 O的中心 C为 动 点,
aa
?
?
O
C
e
ae
ar
aa = ae+ ar
aa = aan+ aa?
aa? = 0 aan = e?2
ae = aa sin? = e?2 sin?
aa = e?2
29
例 题 8-11.平底凸轮机构如
图示,凸轮 O的半径为 R,偏心
距 OA = e,以角速度 ?和角加
速度 ? 绕 O转动,并带动平底
从动杆 BCD 运动,试求该瞬
时杆 BCD的加速度, O
A
M
B C
D
Re ?
?
aD
?
30
解,取凸轮中心 A为动点,
O
A
MB
C
D
e
?
?
建立静系 O— xy和
动系 B— x′y′
x
y
x′
y′
A的绝对运动 — 以 O为中心
e为半径的园运动,
A的相对运动 — 平行于 x′轴
的直线运动,
动系的牵连运动 — 平行于 y 轴的直线平动,
?
31
aa = ae+ ar (1)
aa = aan+ aa?
aa? = e? aan = e?2 ?
O
A
e?
?
aana
e = aD
把 (1)式向竖直方向 投 影 得,
e?2 cos? + e? sin? = ae
aD = e?2 cos? + e? sin?
aa?ae
ar
32
例 题 8-12,具有园弧形滑道的曲柄滑道机构,用来
使滑道 BC获得间歇的往复运动,已知曲柄以匀角
速度 ? =10 rad/s 绕 O轴转动,OA=10cm,园弧道的
半径 r = 7.5cm,当曲柄转到图示位置 sin? = 0.6时,
求滑道 BC的速度和加速度,
O
A
B Cr
?
?
33
O
A
B Cr
?
?
解,取滑块 A为动点,
建立静系 O— xy
和动系 C— x′y′
A的绝对运动 — 以 O为
中心 OA为半径的园运动,
A的相对运动 — 沿弧形滑道的曲线运动,
牵连运动 — 动系沿 x 轴的直线平动,
va= ve + vr (1)
x
y
x′
y′
va
ve
vr
?
D
rsin? = OAsin?
va =OA ? ve = vBC
把 (1)式向 AD方向投影得,
va cos[90o-(?+?)] = ve cos(90o-?)
ve = vBC = 1.6 m/s vr = 2.2 m/s
34
O
A
B Cr
?
?
取滑块 A为 动 点,
aan
ae
ar??
arn
aa = ae+ ar (2)
aa = aan+ aa?
aa?=0
aan=OA?2=10m/s2
ae = aBC
把 (2)式向 AD方向投影得,
ar = arn+ ar?
aancos[180o-(?+?)]=aecos?+arn
ae = aBC = -123.5 m/s2
2
2
/5.64 smrva rrn ??
D
35
8-3-2.牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理
动系定轴转动时
Adt Addt Ad ?????
(2)
va= ve + vr ve = ?× r
ae = ?× r + ?× ve
dt
vda r
r
??
dt
vd
dt
vd
dt
vda rea
a ???
(3)
36
把 (4)(5)式代入 (3)式得,
dt
rdr
dt
d
dt
vd e ??????
(4)
r
rr v
dt
vd
dt
vd ????? (5)
aa = ae+ ar + 2?× vr
令, ak = 2?× vr 则 有,
aa = ae+ ar + ak
rr va ????
re va ???? re vvr ?????????
? ?re vvr ???????
37
例 题 8-13,半径为 r偏心距为 e的凸轮,以匀角速度
?绕 O轴转动,AB杆长 l,A端置于凸轮上,B端用铰
链支承,在图示瞬时 AB杆处于水平位置, 试求该瞬
时 AB杆的角加速度 ?AB,
BA
r
e
OC
l
?
?AB
38
BA
r
e
OC
l
?
?AB
解,取 AB杆的 A点为动点,
建立静系 O— xy和
动系 O— x′y′
A的绝对运动 — 以 B为中心 l 为
半径的园运动,
A的相对运动 — 沿凸轮 O边缘的曲线运动,
牵连运动 — 动系随凸轮 O且角速度为 ?的定轴转动,
牵连点 — 凸轮 O上被 AB杆的 A端 盖住的 A′点且随凸轮
O作角速度为 ?的定轴转动,
va= ve + vr va = l ?AB
x
y
x′ y′
va
ve
vr
(A′)
?
ve = r?sin?
解得,
??? leAB
?AB
vr= r?
39
BA
r
e
OC
l
?
?AB
aa = ae+ ar + ak (1)aa?
aen a
r?
aan
arn
ak
aa = aan+ aa?
2
2
2 ??
l
ela
ABan ??
aa? = l ?AB
ar = arn+ ar?
ae =aen+ae?
arn = r?2
aen= r?2sin? ae? = 0
ak = 2r?2 把 (1)式向 AC方向 投 影 得,
- aancos? - aa?sin? = aensin? + arn - ak
解得, ? ?
?
??????
s i n
c o sc o s
2
22
l
erl
AB
40
BA
r
e
OC
l
?
?AB
取凸轮 O的中心 C为 动 点,
建立静系 O— xy和
动系 A— x′y′(平动 )
C的绝对运动 — 以 O为中心 e为半
径的园运动,
C的相对运动 — 以 A为中心 r为半径的园运动,
牵连运动 — 动系随 AB杆的 A端作曲线平 动,
牵连点 — 动系上被凸轮 O上的 C点盖住的 C′点,
x
y
x′
y′
va
ve
(C′)
va= ve + vr ve = l ?ABva = e ? vr = 0
解得,
??? leAB
?AB
41
BA
r
e
OC
l
?
?AB
aa = ae+ ar (2)
aan
ae?
aen
arn
ar?
?
aa = aan+ aa?
aan = e?2 aa? = 0
ae = aen+ ae? ae? = l ?AB
2
2
2 ??
l
ela
ABen ??
ar = arn+ ar? arn = 0
把 (2)式向 AC方向 投 影 得, - aancos? = - aencos? - ae?sin?
解得, ? ?
?
?????
s i n
c os
2
2
l
ele
AB
42
例 题 8-14,滑块 M与杆 O1A
铰接,并可沿杆 O2B滑动如
图所示,在图示瞬时,杆 O1A
的角速度 ?1= 0.2rad/s,角加
速度 ?1=0.25rad/s2,转向如
图,求此瞬时杆 O2B的角加
速度 ?2和滑块 M相对于 O2B
的加速度,
M
O1O2
A B
0.5cm
60o
30o
?1
?1
43
M
O1O2
A B
0.5cm
60o
30o
?1
?1
解,取滑块 M为动点,建立静
系 O1xy和动系 O2 x?y?? ?
M的绝对运动,以 O1为中心
O1M为半径的园运动,
M的相对运动,沿 y?轴的直线运动,
牵连运动,动系相对于静系绕 O2作
定轴转动,
va= ve + vr
牵连点,杆 O2B上被滑块 M盖住的
点 M?,
x
x?
yy?
(M?)
va
ve
vr
va = 0.2 m/s
解得, ve= 0.17m/s vr= 0.1m/s ?2= 0.2rad/s
44
M
O1O2
A B
0.5cm
60o
30o
?1
?1
?2
aa = ae+ ar + ak (1)
aa = aan+ aa?
ae = aen+ ae?
aan
aa? aen
ae?
ar
ak
aan = 0.04m/s2
aa? = 0.25m/s2
aen = 0.035m/s2
ak = 0.04m/s2
把 (1)式向 O2O1方向 投 影 得,
aancos60o - aa? cos30o = -ae? + ak
解得, ae? = 0.237 m/s2
?2 = 0.274 rad/s2
