1
§ 13-1 力的功
§ 13-2 质点和质点系的动能
§ 13-3 动能定理
例题
§ 13-4 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
例题
§ 13-5 普遍定理的综合应用
例题
返回
第十三章 动能定理
动力学
2
1.力的功的定义
?
2
1
F·drW=
若取直角坐标系且把原点选在位置 1.
dW=Fxdx+Fydy+Fzdz
?
2
1
W = (Fxdx + Fydy + Fzdz)
dW=F·dr
§ 13-1 力的功
3
2.几种 常 见 力的功
?
2
1
W = (-mg) dz = - mgz
(2)弹力的功
取平衡位置为坐标原点
)(
2
1)( 2
1
2
2
2
1
xxkdxkxW ????? ?
(1)重力的功
取位置 1为坐标原点,xy平面为水平平面,
z轴铅垂向上,
4
(3)力 矩 的功
dW=F·dr
=F·( ?ds)
=(F·?)(rd?)
= (F?r)d?
= mo(F)d?
d?
dr
F
O
r
Mr′
5
(4)作用在刚体上 力 偶 的功
dW = FA·dr1 + FB·dr2
= FA·(dr1-dr2)
= FA·(vA-vB)dt
= FA·( ?? rAB)dt
= ? ·(rAB ?FA)dt
= (?·m) dt
=± md?
a·(b?c) = b· (c ? a)
vA = vB + vAB
= vB + ??rAB
O
r2
r1
A
B
rABFA F
B
d?
6
(5)内 力 的功
dW = F1·dr1 + F2·dr2
= F1·(dr1-dr2)
= F1· dr12
讨论,1)对于刚体 F1· dr12?0 ; dW=0
O
r2
r1
r12
F2
F1
2)对于一般质点系,dr12?0
F1与 dr12正交时 dW=0
F1与 dr12不 正交时 dW? 0
内力不作功,
7
§ 13-2 质点和质点系的动能
n个质点组成的质点系,质心为 C,速度为 vc,
把平动坐标系的原点固接在质心上,则有,
2.质点系的动能
1.质点的动能 2
2
1 vmT ?
vi = vc+vri
其中 vi为第 i个质点的速度,vri为其相对于平
动坐标系的速度,
2
2
1
ii vmT ??
8
质点系的 动 能 为,
其中 ? mi vri = Mvrc = 0
2
2
1
rii vmT ???
2
2
1
ii vmT ?? ? ? ? ?ricrici vvvvm ???? ? 2
1
? ?ricrici vvvvm ???? ? 221 22
? ??? ???? riicriic vmvvmvM 22 2121
TvM c ??? 221
9
3.刚 体 的动能
(3)平面运动刚体的动能
其中 JI为平面运动刚体对瞬心 I的转动惯量
(1)平动刚体的动能
2
2
1
cvMT ?
(2)定轴转动刚体的动能
???
oJT 2
1
22
2
1
2
1 ???
cc JvMT
???
IJ2
1
其中 JO为刚体对定轴 O的转动惯量
10
例 题 15-1.三连杆结构如图所示,OA=DB=AB=l.质量均
为 M.若 OA绕 O轴以匀 角速度 ?转动,求系统的动能,
O D
A B
?
C
11
解,OA和 DB定轴转动 AB平动
T = TOA +TDB+TAB
?? ????
?
??
?
??? 22
6
1
3
1
2
1 MlMlTT
DBOA
??? 2
2
1 MlT
AB
?? ????? 22
2
1
6
12 MlMlT
O D
A B
?
C
vC = vA = l ?
??? 2
6
5 Ml
12
例 题 15-2,周转轮系机构
置于水平面内,曲柄 OA质
量为 M且以角速度 ?动,R
为定齿轮 O 的半径 ; 动齿
轮 A 的半径为 r质量为 m.
求系统的动能,
O A
?
13
解, OA定轴转动轮 A平面运动,
I为瞬心,
T = TOA +TA
? ? ? ? 22 613121 ??????? ? rRMrRMT OA
?
?????
22
2
1
2
1
2
1 rmmvT
AA
? ?? ? ????? 292121 rRmMT
O A
?
I
? ? ? ? ?? ?????? rRmrRm 4121 2 ? ? ???? 243 rRm
vA= (R+r) ? = r ?A
14
例 题 15-3,图示椭圆规尺 AB
的质量为 2m1,曲柄 OC的质
量为 m1,而滑块 A和 B的质量
均为 m2.已知 OC=AC=CB= l,
曲柄和尺的质心分别在其中
点上,曲柄绕 O轴转动的角速
度 ?为常量,求图示瞬时系统
的动能,
O B
?
C
A
?t
15
解,系统由四个物体组成,
椭圆规尺 AB作平面运动,瞬心为 I.
O B
?
C
A
?t
I
IC = OC = l
vC
vA
?? lvC
22
1
22
1 3
12
3
1
2
1 ?????? lmlmT
OC
22
1
2
3
4
2
1 ???? lmJT
ABIAB
vB
??? AB
22
21 )23
5( ??? lmmT
T = TOC +TAB +TA +TB
tlv A ??? c o s2 tlv B ??? s in2
22
2
22
2 2)(2
1 ????? lmvvmTT
BABA
16
§ 13-3 动能定理
(1)质点的动能定理
dWFrd ??
dt
rdvmdrd
dt
vdm ???
dt
vdmF ? (1)
vvmd ?? m v d v?
)21( 2mvd?
dT?
dT = dW
动能定理的积分形式, T2 - T1 = W12
动能定理的微分形式,
17
(2)质点系的动能 定 理
)21( 2iii vmddT ?
? ?? )21( 2iii vmddT
动能定理的微分形式, dT = ?dWi
动能定理的积分形式, T2 - T1 = ?Wi
idW?
对质点系的第个质点应用动能定理得,
?? )21( 2ii vmd dT?
18
(3)质点系内力功之和的 讨 论, m1
m2
r1
r2
dr1
dr2
F12
F21
O
?dWi = F12·dr1+F21·dr2
= F12·d(r1 - r2)
= F12·dr12
讨论, 对于刚体 dr12 = 0
或 F12 ?dr12 ; 故 ?dWi = 0
对于一般质点系,只要满足 Fij·drij = 0
则 ?dWi = 0
19
一 势能
1.重力势能
以某一水平面为零势能面,其中 h为质点
相对于零势能面的高度,
2.弹性势能
以弹簧的平衡点为零势能点,其中 x为弹
簧的伸长或压缩量,
V = m g h
2
2
1 xkV ?
§ 13-4 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
20
例 题 13-4.关于确定弹性势能零势能点的讨论,
(1)理想弹簧振子
质量为 m的物块 A置
于光滑的水平面上,系数为 k的弹簧连接如图,
O为弹簧的原长点,亦为平衡点,取坐标如图,分
析物块 A在 O点时系统的运动特点和受力特点,
o
xA
运动特点, ao = 0 ; vo = vmax 受力特点, Ro= 0
若取 O点为零势能点即 Vo= 0,滑块 A在任意位置
时, R
x = -k x 2
2
1 xkV ?
21
(2)铅垂悬挂的 谐 振 系统
O?为弹簧的原长点,O为平衡点,此
时弹簧的伸长为 ? = mg/k
取 O?为弹性势能和重力势能的零
势能点,分析其运动特点和受力特点,
A
o
o'
x'x运 动 特点, ao?= g ; vo?? vmax
受力特点, Ro' = mg ; Vo' = 0
物块 A在任意位置时的势能,
xgmxkV ???? 221
这样选取零势能点使求解问题变的麻烦,
?
22
若选取点 O为零势能点 分 析 其运动特点和受力特点,
运动特点,ao=0; vo=vmax 受力特点, Ro = 0 ; Vo = 0
显然, 2
2
1 xkV ?
A
o
o'
x'x
?
证明,理想弹簧振子的动力学方程为,
铅垂悬挂的谐振系统的动力
学方程为,
kxxm ????
mgxkxm ???????
由于存在关系式, xx ???? ??
-Kx?+mg = -k(x +?)+mg = -kx
故 动力学方程 完全等效,
23
例 题 13-5,物体 A和 B质量分别为 M =14Kg和 m = 6Kg,
刚性系数为 k=100N/m的弹簧与物体连接如图,?=30o;
l=(8/9)m物体 B由静止下滑 不计摩擦, 求两物体发生
完全非弹性碰撞后下滑的最大距离 s.
l
?
24
l
?
解,取系统为研究对象,
确定平衡点 O.
m g sin? = k ? (1)
研究 A和 B碰撞前 B下滑的过程,
研究 A和 B的 碰撞,动量守恒,
= 0.3
(M+m)v = mvB (3)
x
k
mg ??? s in
(2)
2
2
1s in
Bmvm g l ??
25
取 系 统 的平衡点 O为弹性势能的零势能点,
设两物体发生完全非弹性碰撞后下滑的最大位移
为 x,显然 vx= 0.
联立 (1)----(5)式得,
s = x + ? (5)
(4)
222 )(
2
1
2
1
2
1 vmMkkx ????
s = 0.5+0.3 = 0.8
l
?
x
26
二 机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能和势能的代数和
称为机械能, E = T + V
(1)机械能守恒定律
T + V = c
质点系仅在有势力的作用下运动时,其机
械能保持不变,
(2)功能原理
E2 - E1 = W12
dT + dV = 0
27
例 题 13-5,质量为 m的质点,
自 h 高处自由落下,落到下
面有弹簧支持的板上,如图
所示,设板和弹簧的质量都
可忽略不计,弹簧的刚性系
数为 k,求弹簧的最大压缩
量,
m
h
28
解,(1)取 m为研究对象,
?max
m由初位置落到板上,
应用动能定理,
m g hmv ?? 021 21
m和板向下运动直到弹簧压缩到最大位
置,系统机械能守恒,
?max = ?0 + ? k?0 = mg
22
0
2
1 2
1
2
1
2
1 ???? kkmv
m
h
29
(2)取 m和弹簧组成的 系 统 为研究对象,
2)(21 mgk mg h
k ???
2
m a x )(2
1 mgk mg h
kk
mg ????
2
m a x )(2
1 mgk mg h
kk
mg ????
2
m a xm a x 2
1)( ???? khmg
?max
m
h
30
例 题 13-6.质量为 m的物块
用不计质量的细绳跨过半
径为 R转动惯量为 J的定滑
轮 B与弹簧相连,弹簧原长
为 lo,刚性系数为 k,质量不
计,系统的摩擦不计建立其
运动微分方程,
A
B
m
31
A
B
m
解,(1)取挂上物块 m后的静
平衡位置 o为原点,
l0s
x ?0
?0
xs
o
设物块 m的速度为 v,园盘 B的角速度为 ?.
????? ?? RRxv 系统机械能守恒
0
222
2
1
2
1
2
1 ckxJmv ????
ckxxRJm ??? 222 )( ?
对上式求导得,
0)( 2 ??? kxxRJm ??
32
(2)取静 平 衡 点 O为原点,
设物块 m的速度为 v,园盘 B的角速度为 ?.
????? ?? RRxv
k?0 = mg
系统机械能守恒
10
2
0
22 )()(
2
1
2
1
2
1 cxmgxkJmv ?????????
即,
0
222
2
1
2
1
2
1 ckxJmv ????
得, 0)(
2 ??? kxxR
Jm ??
A
B
m
l0s
x ?0
?0
xs
o
33
例 题 13-7.匀质杆 OA长 l重 W,其一端 O用理想铰链
固定如图所示,设开始时杆在水平位置,初速为零,
求转过 ?角时的角速度,角加速度以及铰链 O处的
约束反力,
O A
34
O A
解,取杆为研究对象,应
用动能定理,
C
?
x
y
acn
ac?
???? s i n2021 2 lWJ O
l
g ??? s in3 ??? c o s
2
3
l
g
????? c o s432 gla c
???? s i n232 2 gla cn
35
取杆为研究对象画受力图,
???? ? co sWXagW oc
??? s i nWYagW ocn
联立上述两式得, ?? c o s25.0 WX o
?? s in5.2 WY o
W
XO
O A
C
?
x
y
acn
ac?
YO应 用 质心运动定理
36
例 题 13-8.半径为 R的匀质园盘作纯滚动如图所示,
求自静止开始,滚过 s距离后园盘中心 O的速度, (1)
不计滚动阻力 ;(2)设滚阻系数为 ?.
?
O
37
?
O 解,(1)不计滚动阻力
I
I为瞬心
vo = R?
2
2
3 mRJ
I ?
应用动能定理,
???? s i n021 2 mg sJ I
?? s in332 gsv o ??? s in
3
2 gva
oo ?
38
M
?
O
I
(2)考虑滚动 阻 力
M = N? = mg? cos?
应用动能定理,
??????? c o ss i n021 2 R smgmg sJ I
)co s( s i n3
3
2 ?????
R
gsv o
)c o s( s i n32 ????? Rga o
39
例 题 13-9,质量为 M长为 l的均质杆 AC和 BC由理想铰
链 C连接,A端用理想铰链固定于水平面上,B 端置于
光滑水平面上在铅垂平面内运动如图示,设开始时,?
=60o,速度为零,求当 ?=30o时两杆的角速度,
C
A B?
40
C
A B?
解,系统机械能守恒
当 ?=30o时 BC杠的瞬
心 I如图所示
AC' = C'I = l
?AC = ?BC= ?
T1= 0
00
1 60s i n60s i n2
12 M g lM g lV ???
I
B?
C?
T2 = TAC + TBC
41
?????
?
??
?
?? 222
6
1
3
1
2
1 MlMlT
ACAC
? ? ?????
?
?
??
? ?? 22202
12
560s i n
12
1
2
1 MllMMlT
BCBC
??? 2
2 12
7 MlT 02 30s i nM g lV ?
由,T1+V1 = T2+V2
l
g? ?? ???
计 算 得,
得,
42
§ 13-5 普遍定理的综合应用
e
c RaMdt
Pd ??
1.动量定理,
2.动量矩定理,
Jo? = Moe
Jc ? = Mce
3.动能定理,
d T = d W
T2 - T1 = W
4,例题
例题 13-10
例题 13-11
例题 13-13
例题 13-12
43
二,动力学普遍定理的主要 特 征
1,建立度量质点系整体运动状态的物理
量 ( P,Lo,Lc,T ) 与作用其上力系总效果
( Re,Moe,Mce,W ) 之间的关系,而不着眼
于系统中单个质点的运动,
2,定义的运动量与建立的关于运动量变
化率定理,具有明显的物理意义,
44
3,质点系的动量和动量矩分别是其动量
系的基本 特 征 量, 主矢和主矩,二者对时间
的变化率相应等于外力系的基本特征量,主
矢和主矩,
4,动量定理和动量矩定理构成质点系普
遍定理的动量方法,动能定理构成质点系普
遍定理的能量方法,
45
例 题 13-10.均质杆 AD和 BD
质量均为 M,长为 l.用铰 D铰
接置于光滑水平面上,静止
如图所示,其中 sin? = 0.8
求,(1) D点落地时的速度 ;
(2)开始运动时系统质心 C
的加速度,
A B
D
?
46
A B
D
?
解, (1)取系统为研究对象进行受力分析,
MgMg
NA NB
内力和约束力不作功,
系统机械能守恒,
Rex = 0,系统水平方
向动量守恒,
Px = 0 vcx= 0
C点沿 y轴作直线运动,
由于系统的对称性,D点亦沿 y轴作直线运动,
x
y
C1 C2C
O
47
A B
D
?
x
y
C1 C2C
O
取 系 统 为研究对象进行
运动分析,
??AD = ?BD = ?
vA = l sin??AD vB = l sin??BD
vDx = 0 vA = vB
?AD = ?BD = ?
I1 I2
杆 AD和 BD均作平面运
动,I1和 I2分别为其瞬心,
当 D点落地的瞬时 A点
和 B点分别为其瞬心,
A B
48
应用机械能守恒定律 计 算,
c = 0.8Mgl 当 D点落地的瞬时 V = 0
联立 (2)----(5)式得,
T = TAD + TBD (3)
???? )
3
1(
2
1 2MlTT
BDAD
(4)
???? s i n)s i n21(2 M g lM g lV
(5)
vD = l ? (1)
glv D 4.2?
T + V = c (2)
A B
D
?
x
y
C1 C2C
O
I1 I2
A B
49
(2)取 系 统 为研究对象进行运动分析和受力分析,
由 (1)运动分析知, aA= aB acx= 0 ac= acy
glM g lMl ?????? ? 61s i n31 2
注意 并把上式求导得,?????
?????? c o s2 2 M g ll ?
l
g
?
?????? c o s?
开始运动时
l
g?????
A B
D
? MgMg
NA NB
x
y
C1 C2C
O
A B
50
A B
D
?
x
y
C1 C2C
O
取杆 AD为研究对象进行运动分析,
aC1= aA+ aC1A? (5)
由 上 式 得, aC = aC1y = aC2y
aC = 0.27g
gla yC ? ?? ?????? c o s2101
MM
aMaMa CC
C ?
?? 21
把上式向铅垂方向投影得,
?AD = 0
aC1A?
51
例 题 13-11.滑轮 A和 B视为均质
圆盘,重量分别为 W1和 W2 半径
分别为 R和 r,且 R = 2r,物体 C重
P,作用于 A轮的转矩 M 为一常
量,求物体 C上升的加速度,
A
B
C
M
52
A
B
C
M
解,取系统为研究对象进行运动分析,
A作定轴转动,B作平面运动 I为
瞬心,C作直线平动,
R ?A = 2r ?B
vC = vB = r ?
?A = ?B = ? ?A = ?B = ?
aC = aB = r ? I
取 系 统 为研究对象进行受力分析,
内力和约束力均不作功,
W1
W2
P
XA
YA
53
(1)应用动能 定 理,
?? ???? 2121 )
2
1(
2
1 r
g
WR
g
WT
A
(2)
(1)T = TA + TB + TC
(3)
22222222
4
3)
2
1(
2
1 ????? r
g
Wr
g
Wr
g
WT
B
(4)
222
2
1
2
1 ??? r
g
Pv
g
PT
CC
A
B
C
M
I
W1
W2
P
XA
YA
dW = Md? -(W2+P)rd? (5)
由 dW = dT联立 (1)---(5)式且利用 ?dt = d?得,
? ?? ?
? ? rPWW
gPWrMa
C ??
???
21
2
5.12
54
(2)应用动量矩 定 理 e
A
A M
dt
dL ?
LA = LAA + LAB + LAC (1)
???? 2121 221 rgWRgWL AA
(2)
MA = M - r (W2 + P) (5)
?????? 222222 2321 rgWrgWrgWL AB
(3)
??? 2rgPrvgPL CAC (4)
联 立 (1)---(5)式得, ? ?? ?
? ? rPWW
gPWrMa
C ??
???
21
2
5.12
A
B
C
M
I
W1
W2
P
XA
YA
55
例 题 13-12,重 150N的均质圆
盘 B与重 60N,长 24 cm的均质
直杆 AB在 B处用铰链连接如
图,?=30o.系统由 图示位置无
初速的释放,求系统通过最低
位置时点 B? 的速度及在初瞬
时支座 A的反力,
B?
?
A
B
C
56
B?
?
A
B
C
B?
?
A
B
C
解,取系统为研究对象进行受力分析,
WB
WAB
XA
系统内力和约束力均不
作功,外力为有势力,系统
机械能守恒,
取圆盘 B为研究对象
圆盘 B平动,杆 AB作定轴转动,
YA
MB(F) = 0 LB = c
由初时条件可知, ?B = 0
WB
XB
YB
57
由机械能守恒 定 理, T1 + V1 = T2 + V2
T1 = 0
V1 = WBl(1- sin?) + WAB l(1- sin?)/2
=150?0.24?(1- sin30o)
+60?0.12?(1-sin30o)
?
? ????
?
???
??? 22
2 3
1
2
1
2
1 L
g
Wv
g
WT AB
B
B
? ? 222
24.08.932
24.060
8.92
150 ?
?
??
?
?
??
??
?
? ?? BB vv
B?
?
A
B
C
WB
WAB
XA
YA
V2 = 0 其中 vB? = l?
代入解得, vB? = 1.58 m/s
58
B?
?
A
B
C
取 系 统 为研究对象进行运动分析,
aB
aC
由初时条件得, ?AB = 0
aB =l ? =0.24 ? aD = l?/2 = 0.12 ?
由动量矩定理得,
????????
?
?
???
? ?? c osc os lWlWlv
g
WJ
dt
d
ABBB
B
A
? ? ? ? ? ? o30c o s24.08.915024.08.93 60 22 ? ?? ?????? ?? ??? ? ????
?
?
??
? ???
?
? =37.44 rad/s2
aD = 4.49 m/s2 aB = 8.98 m/s2
59
由质心运动 定 理 得,
AAABBDABBB YXWWaWaWg ????? )(
1
把上式分别向 x y轴投影得,
B?
?
A
B
C
WB
WAB
XA
YA
aB
aC
ADxABBxB XaWaWg ?? )(
1
AABBDyABByB YWWaWaWg ????? )(
1
(150?8.98sin30o+ 60?4.49sin30o ) = XA
8.9
1
(150?8.98cos30o-60?4.49cos30o )
8.9
1
= YA –150 - 60
XA = 82.47 N YA = 67.15 N解 得,
60
例 题 13-13.均质直杆 AB重 P,长 2l,一端用长 l的绳索 OA拉
住,另一端 B放置在地面上,可以沿光滑地面滑动,开始时
系统处于静止状态,绳索 OA位于水平位置,而 O,B点在
同一铅垂线上,求当绳索 OA运动到铅垂位置时,B点的速
度和绳索的拉力以及地面的反力,
A
B
O
P
l
2l
A′
B′
61
解,取杆 AB为研究对象进行运动分析, A
B
O
P
l
2l
A′
B′
vA = vB = v
对杆 AB进行受力分析,
N
T
约束力 T和 N不作功,P是有势力,系统机械能守恒,
OB = 1.732l A′B = 0.732l
当绳索 OA运动到铅垂位置时,
杆 AB作瞬时平动,
2
2
13 6 6.08 6 6.0 v
g
PPlPl ?? glv ?
62
当绳索 OA运动到铅垂位置
时,取取杆 AB为研究对象进行
运动 分 析,
A
B
O
P
l
2l
A′
B′杆 AB作瞬时平动,
?AB = 0
glvvv BA ??? ????
AB
n
ABBA aaaa
(1)
glva nA ??
2
aB
0?nABa
?ABa
ABAB la ??? 2
?
cos?=0.931
sin?=0.366
???
A
n
AA aaa
(2)
aB
??? la A
?Aa
nAa
63
A
B
O
P
l
2l
A′
B′ a
B
?ABa
?
cos?=0.931
sin?=0.366
aB
?Aa
nAa
把 (3)式向铅垂方
向投影得,
把 (4)式向铅垂方向投影得,
?? ???
A
n
AABB aaaa
(3)
nAAB aa ??? co s
l
g
AB 5 3 7.0??
???
CBBC aaa
(4)
ABCA la ???
?CAa
?? ? c o sCACy aa
ga Cy 5.0?
?AB
C
联 立 (1)(2)式得,
64
当绳索 OA运动到铅垂
位置时,取取杆 AB为研究
对象进行受力 分 析,
A
B
O
P
l
2l
A′
B′
?
cos?=0.931
sin?=0.366
?CAa
?AB
C
P
N
T
应用平面运动微
分方程得,
Cyag
PTPN ???
???? 2)2(121c o s)( lgPlNT
联立解得, T = 0.846P N = 0.654P
§ 13-1 力的功
§ 13-2 质点和质点系的动能
§ 13-3 动能定理
例题
§ 13-4 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
例题
§ 13-5 普遍定理的综合应用
例题
返回
第十三章 动能定理
动力学
2
1.力的功的定义
?
2
1
F·drW=
若取直角坐标系且把原点选在位置 1.
dW=Fxdx+Fydy+Fzdz
?
2
1
W = (Fxdx + Fydy + Fzdz)
dW=F·dr
§ 13-1 力的功
3
2.几种 常 见 力的功
?
2
1
W = (-mg) dz = - mgz
(2)弹力的功
取平衡位置为坐标原点
)(
2
1)( 2
1
2
2
2
1
xxkdxkxW ????? ?
(1)重力的功
取位置 1为坐标原点,xy平面为水平平面,
z轴铅垂向上,
4
(3)力 矩 的功
dW=F·dr
=F·( ?ds)
=(F·?)(rd?)
= (F?r)d?
= mo(F)d?
d?
dr
F
O
r
Mr′
5
(4)作用在刚体上 力 偶 的功
dW = FA·dr1 + FB·dr2
= FA·(dr1-dr2)
= FA·(vA-vB)dt
= FA·( ?? rAB)dt
= ? ·(rAB ?FA)dt
= (?·m) dt
=± md?
a·(b?c) = b· (c ? a)
vA = vB + vAB
= vB + ??rAB
O
r2
r1
A
B
rABFA F
B
d?
6
(5)内 力 的功
dW = F1·dr1 + F2·dr2
= F1·(dr1-dr2)
= F1· dr12
讨论,1)对于刚体 F1· dr12?0 ; dW=0
O
r2
r1
r12
F2
F1
2)对于一般质点系,dr12?0
F1与 dr12正交时 dW=0
F1与 dr12不 正交时 dW? 0
内力不作功,
7
§ 13-2 质点和质点系的动能
n个质点组成的质点系,质心为 C,速度为 vc,
把平动坐标系的原点固接在质心上,则有,
2.质点系的动能
1.质点的动能 2
2
1 vmT ?
vi = vc+vri
其中 vi为第 i个质点的速度,vri为其相对于平
动坐标系的速度,
2
2
1
ii vmT ??
8
质点系的 动 能 为,
其中 ? mi vri = Mvrc = 0
2
2
1
rii vmT ???
2
2
1
ii vmT ?? ? ? ? ?ricrici vvvvm ???? ? 2
1
? ?ricrici vvvvm ???? ? 221 22
? ??? ???? riicriic vmvvmvM 22 2121
TvM c ??? 221
9
3.刚 体 的动能
(3)平面运动刚体的动能
其中 JI为平面运动刚体对瞬心 I的转动惯量
(1)平动刚体的动能
2
2
1
cvMT ?
(2)定轴转动刚体的动能
???
oJT 2
1
22
2
1
2
1 ???
cc JvMT
???
IJ2
1
其中 JO为刚体对定轴 O的转动惯量
10
例 题 15-1.三连杆结构如图所示,OA=DB=AB=l.质量均
为 M.若 OA绕 O轴以匀 角速度 ?转动,求系统的动能,
O D
A B
?
C
11
解,OA和 DB定轴转动 AB平动
T = TOA +TDB+TAB
?? ????
?
??
?
??? 22
6
1
3
1
2
1 MlMlTT
DBOA
??? 2
2
1 MlT
AB
?? ????? 22
2
1
6
12 MlMlT
O D
A B
?
C
vC = vA = l ?
??? 2
6
5 Ml
12
例 题 15-2,周转轮系机构
置于水平面内,曲柄 OA质
量为 M且以角速度 ?动,R
为定齿轮 O 的半径 ; 动齿
轮 A 的半径为 r质量为 m.
求系统的动能,
O A
?
13
解, OA定轴转动轮 A平面运动,
I为瞬心,
T = TOA +TA
? ? ? ? 22 613121 ??????? ? rRMrRMT OA
?
?????
22
2
1
2
1
2
1 rmmvT
AA
? ?? ? ????? 292121 rRmMT
O A
?
I
? ? ? ? ?? ?????? rRmrRm 4121 2 ? ? ???? 243 rRm
vA= (R+r) ? = r ?A
14
例 题 15-3,图示椭圆规尺 AB
的质量为 2m1,曲柄 OC的质
量为 m1,而滑块 A和 B的质量
均为 m2.已知 OC=AC=CB= l,
曲柄和尺的质心分别在其中
点上,曲柄绕 O轴转动的角速
度 ?为常量,求图示瞬时系统
的动能,
O B
?
C
A
?t
15
解,系统由四个物体组成,
椭圆规尺 AB作平面运动,瞬心为 I.
O B
?
C
A
?t
I
IC = OC = l
vC
vA
?? lvC
22
1
22
1 3
12
3
1
2
1 ?????? lmlmT
OC
22
1
2
3
4
2
1 ???? lmJT
ABIAB
vB
??? AB
22
21 )23
5( ??? lmmT
T = TOC +TAB +TA +TB
tlv A ??? c o s2 tlv B ??? s in2
22
2
22
2 2)(2
1 ????? lmvvmTT
BABA
16
§ 13-3 动能定理
(1)质点的动能定理
dWFrd ??
dt
rdvmdrd
dt
vdm ???
dt
vdmF ? (1)
vvmd ?? m v d v?
)21( 2mvd?
dT?
dT = dW
动能定理的积分形式, T2 - T1 = W12
动能定理的微分形式,
17
(2)质点系的动能 定 理
)21( 2iii vmddT ?
? ?? )21( 2iii vmddT
动能定理的微分形式, dT = ?dWi
动能定理的积分形式, T2 - T1 = ?Wi
idW?
对质点系的第个质点应用动能定理得,
?? )21( 2ii vmd dT?
18
(3)质点系内力功之和的 讨 论, m1
m2
r1
r2
dr1
dr2
F12
F21
O
?dWi = F12·dr1+F21·dr2
= F12·d(r1 - r2)
= F12·dr12
讨论, 对于刚体 dr12 = 0
或 F12 ?dr12 ; 故 ?dWi = 0
对于一般质点系,只要满足 Fij·drij = 0
则 ?dWi = 0
19
一 势能
1.重力势能
以某一水平面为零势能面,其中 h为质点
相对于零势能面的高度,
2.弹性势能
以弹簧的平衡点为零势能点,其中 x为弹
簧的伸长或压缩量,
V = m g h
2
2
1 xkV ?
§ 13-4 势力场 ·势能 ·机械能守恒定律
20
例 题 13-4.关于确定弹性势能零势能点的讨论,
(1)理想弹簧振子
质量为 m的物块 A置
于光滑的水平面上,系数为 k的弹簧连接如图,
O为弹簧的原长点,亦为平衡点,取坐标如图,分
析物块 A在 O点时系统的运动特点和受力特点,
o
xA
运动特点, ao = 0 ; vo = vmax 受力特点, Ro= 0
若取 O点为零势能点即 Vo= 0,滑块 A在任意位置
时, R
x = -k x 2
2
1 xkV ?
21
(2)铅垂悬挂的 谐 振 系统
O?为弹簧的原长点,O为平衡点,此
时弹簧的伸长为 ? = mg/k
取 O?为弹性势能和重力势能的零
势能点,分析其运动特点和受力特点,
A
o
o'
x'x运 动 特点, ao?= g ; vo?? vmax
受力特点, Ro' = mg ; Vo' = 0
物块 A在任意位置时的势能,
xgmxkV ???? 221
这样选取零势能点使求解问题变的麻烦,
?
22
若选取点 O为零势能点 分 析 其运动特点和受力特点,
运动特点,ao=0; vo=vmax 受力特点, Ro = 0 ; Vo = 0
显然, 2
2
1 xkV ?
A
o
o'
x'x
?
证明,理想弹簧振子的动力学方程为,
铅垂悬挂的谐振系统的动力
学方程为,
kxxm ????
mgxkxm ???????
由于存在关系式, xx ???? ??
-Kx?+mg = -k(x +?)+mg = -kx
故 动力学方程 完全等效,
23
例 题 13-5,物体 A和 B质量分别为 M =14Kg和 m = 6Kg,
刚性系数为 k=100N/m的弹簧与物体连接如图,?=30o;
l=(8/9)m物体 B由静止下滑 不计摩擦, 求两物体发生
完全非弹性碰撞后下滑的最大距离 s.
l
?
24
l
?
解,取系统为研究对象,
确定平衡点 O.
m g sin? = k ? (1)
研究 A和 B碰撞前 B下滑的过程,
研究 A和 B的 碰撞,动量守恒,
= 0.3
(M+m)v = mvB (3)
x
k
mg ??? s in
(2)
2
2
1s in
Bmvm g l ??
25
取 系 统 的平衡点 O为弹性势能的零势能点,
设两物体发生完全非弹性碰撞后下滑的最大位移
为 x,显然 vx= 0.
联立 (1)----(5)式得,
s = x + ? (5)
(4)
222 )(
2
1
2
1
2
1 vmMkkx ????
s = 0.5+0.3 = 0.8
l
?
x
26
二 机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能和势能的代数和
称为机械能, E = T + V
(1)机械能守恒定律
T + V = c
质点系仅在有势力的作用下运动时,其机
械能保持不变,
(2)功能原理
E2 - E1 = W12
dT + dV = 0
27
例 题 13-5,质量为 m的质点,
自 h 高处自由落下,落到下
面有弹簧支持的板上,如图
所示,设板和弹簧的质量都
可忽略不计,弹簧的刚性系
数为 k,求弹簧的最大压缩
量,
m
h
28
解,(1)取 m为研究对象,
?max
m由初位置落到板上,
应用动能定理,
m g hmv ?? 021 21
m和板向下运动直到弹簧压缩到最大位
置,系统机械能守恒,
?max = ?0 + ? k?0 = mg
22
0
2
1 2
1
2
1
2
1 ???? kkmv
m
h
29
(2)取 m和弹簧组成的 系 统 为研究对象,
2)(21 mgk mg h
k ???
2
m a x )(2
1 mgk mg h
kk
mg ????
2
m a x )(2
1 mgk mg h
kk
mg ????
2
m a xm a x 2
1)( ???? khmg
?max
m
h
30
例 题 13-6.质量为 m的物块
用不计质量的细绳跨过半
径为 R转动惯量为 J的定滑
轮 B与弹簧相连,弹簧原长
为 lo,刚性系数为 k,质量不
计,系统的摩擦不计建立其
运动微分方程,
A
B
m
31
A
B
m
解,(1)取挂上物块 m后的静
平衡位置 o为原点,
l0s
x ?0
?0
xs
o
设物块 m的速度为 v,园盘 B的角速度为 ?.
????? ?? RRxv 系统机械能守恒
0
222
2
1
2
1
2
1 ckxJmv ????
ckxxRJm ??? 222 )( ?
对上式求导得,
0)( 2 ??? kxxRJm ??
32
(2)取静 平 衡 点 O为原点,
设物块 m的速度为 v,园盘 B的角速度为 ?.
????? ?? RRxv
k?0 = mg
系统机械能守恒
10
2
0
22 )()(
2
1
2
1
2
1 cxmgxkJmv ?????????
即,
0
222
2
1
2
1
2
1 ckxJmv ????
得, 0)(
2 ??? kxxR
Jm ??
A
B
m
l0s
x ?0
?0
xs
o
33
例 题 13-7.匀质杆 OA长 l重 W,其一端 O用理想铰链
固定如图所示,设开始时杆在水平位置,初速为零,
求转过 ?角时的角速度,角加速度以及铰链 O处的
约束反力,
O A
34
O A
解,取杆为研究对象,应
用动能定理,
C
?
x
y
acn
ac?
???? s i n2021 2 lWJ O
l
g ??? s in3 ??? c o s
2
3
l
g
????? c o s432 gla c
???? s i n232 2 gla cn
35
取杆为研究对象画受力图,
???? ? co sWXagW oc
??? s i nWYagW ocn
联立上述两式得, ?? c o s25.0 WX o
?? s in5.2 WY o
W
XO
O A
C
?
x
y
acn
ac?
YO应 用 质心运动定理
36
例 题 13-8.半径为 R的匀质园盘作纯滚动如图所示,
求自静止开始,滚过 s距离后园盘中心 O的速度, (1)
不计滚动阻力 ;(2)设滚阻系数为 ?.
?
O
37
?
O 解,(1)不计滚动阻力
I
I为瞬心
vo = R?
2
2
3 mRJ
I ?
应用动能定理,
???? s i n021 2 mg sJ I
?? s in332 gsv o ??? s in
3
2 gva
oo ?
38
M
?
O
I
(2)考虑滚动 阻 力
M = N? = mg? cos?
应用动能定理,
??????? c o ss i n021 2 R smgmg sJ I
)co s( s i n3
3
2 ?????
R
gsv o
)c o s( s i n32 ????? Rga o
39
例 题 13-9,质量为 M长为 l的均质杆 AC和 BC由理想铰
链 C连接,A端用理想铰链固定于水平面上,B 端置于
光滑水平面上在铅垂平面内运动如图示,设开始时,?
=60o,速度为零,求当 ?=30o时两杆的角速度,
C
A B?
40
C
A B?
解,系统机械能守恒
当 ?=30o时 BC杠的瞬
心 I如图所示
AC' = C'I = l
?AC = ?BC= ?
T1= 0
00
1 60s i n60s i n2
12 M g lM g lV ???
I
B?
C?
T2 = TAC + TBC
41
?????
?
??
?
?? 222
6
1
3
1
2
1 MlMlT
ACAC
? ? ?????
?
?
??
? ?? 22202
12
560s i n
12
1
2
1 MllMMlT
BCBC
??? 2
2 12
7 MlT 02 30s i nM g lV ?
由,T1+V1 = T2+V2
l
g? ?? ???
计 算 得,
得,
42
§ 13-5 普遍定理的综合应用
e
c RaMdt
Pd ??
1.动量定理,
2.动量矩定理,
Jo? = Moe
Jc ? = Mce
3.动能定理,
d T = d W
T2 - T1 = W
4,例题
例题 13-10
例题 13-11
例题 13-13
例题 13-12
43
二,动力学普遍定理的主要 特 征
1,建立度量质点系整体运动状态的物理
量 ( P,Lo,Lc,T ) 与作用其上力系总效果
( Re,Moe,Mce,W ) 之间的关系,而不着眼
于系统中单个质点的运动,
2,定义的运动量与建立的关于运动量变
化率定理,具有明显的物理意义,
44
3,质点系的动量和动量矩分别是其动量
系的基本 特 征 量, 主矢和主矩,二者对时间
的变化率相应等于外力系的基本特征量,主
矢和主矩,
4,动量定理和动量矩定理构成质点系普
遍定理的动量方法,动能定理构成质点系普
遍定理的能量方法,
45
例 题 13-10.均质杆 AD和 BD
质量均为 M,长为 l.用铰 D铰
接置于光滑水平面上,静止
如图所示,其中 sin? = 0.8
求,(1) D点落地时的速度 ;
(2)开始运动时系统质心 C
的加速度,
A B
D
?
46
A B
D
?
解, (1)取系统为研究对象进行受力分析,
MgMg
NA NB
内力和约束力不作功,
系统机械能守恒,
Rex = 0,系统水平方
向动量守恒,
Px = 0 vcx= 0
C点沿 y轴作直线运动,
由于系统的对称性,D点亦沿 y轴作直线运动,
x
y
C1 C2C
O
47
A B
D
?
x
y
C1 C2C
O
取 系 统 为研究对象进行
运动分析,
??AD = ?BD = ?
vA = l sin??AD vB = l sin??BD
vDx = 0 vA = vB
?AD = ?BD = ?
I1 I2
杆 AD和 BD均作平面运
动,I1和 I2分别为其瞬心,
当 D点落地的瞬时 A点
和 B点分别为其瞬心,
A B
48
应用机械能守恒定律 计 算,
c = 0.8Mgl 当 D点落地的瞬时 V = 0
联立 (2)----(5)式得,
T = TAD + TBD (3)
???? )
3
1(
2
1 2MlTT
BDAD
(4)
???? s i n)s i n21(2 M g lM g lV
(5)
vD = l ? (1)
glv D 4.2?
T + V = c (2)
A B
D
?
x
y
C1 C2C
O
I1 I2
A B
49
(2)取 系 统 为研究对象进行运动分析和受力分析,
由 (1)运动分析知, aA= aB acx= 0 ac= acy
glM g lMl ?????? ? 61s i n31 2
注意 并把上式求导得,?????
?????? c o s2 2 M g ll ?
l
g
?
?????? c o s?
开始运动时
l
g?????
A B
D
? MgMg
NA NB
x
y
C1 C2C
O
A B
50
A B
D
?
x
y
C1 C2C
O
取杆 AD为研究对象进行运动分析,
aC1= aA+ aC1A? (5)
由 上 式 得, aC = aC1y = aC2y
aC = 0.27g
gla yC ? ?? ?????? c o s2101
MM
aMaMa CC
C ?
?? 21
把上式向铅垂方向投影得,
?AD = 0
aC1A?
51
例 题 13-11.滑轮 A和 B视为均质
圆盘,重量分别为 W1和 W2 半径
分别为 R和 r,且 R = 2r,物体 C重
P,作用于 A轮的转矩 M 为一常
量,求物体 C上升的加速度,
A
B
C
M
52
A
B
C
M
解,取系统为研究对象进行运动分析,
A作定轴转动,B作平面运动 I为
瞬心,C作直线平动,
R ?A = 2r ?B
vC = vB = r ?
?A = ?B = ? ?A = ?B = ?
aC = aB = r ? I
取 系 统 为研究对象进行受力分析,
内力和约束力均不作功,
W1
W2
P
XA
YA
53
(1)应用动能 定 理,
?? ???? 2121 )
2
1(
2
1 r
g
WR
g
WT
A
(2)
(1)T = TA + TB + TC
(3)
22222222
4
3)
2
1(
2
1 ????? r
g
Wr
g
Wr
g
WT
B
(4)
222
2
1
2
1 ??? r
g
Pv
g
PT
CC
A
B
C
M
I
W1
W2
P
XA
YA
dW = Md? -(W2+P)rd? (5)
由 dW = dT联立 (1)---(5)式且利用 ?dt = d?得,
? ?? ?
? ? rPWW
gPWrMa
C ??
???
21
2
5.12
54
(2)应用动量矩 定 理 e
A
A M
dt
dL ?
LA = LAA + LAB + LAC (1)
???? 2121 221 rgWRgWL AA
(2)
MA = M - r (W2 + P) (5)
?????? 222222 2321 rgWrgWrgWL AB
(3)
??? 2rgPrvgPL CAC (4)
联 立 (1)---(5)式得, ? ?? ?
? ? rPWW
gPWrMa
C ??
???
21
2
5.12
A
B
C
M
I
W1
W2
P
XA
YA
55
例 题 13-12,重 150N的均质圆
盘 B与重 60N,长 24 cm的均质
直杆 AB在 B处用铰链连接如
图,?=30o.系统由 图示位置无
初速的释放,求系统通过最低
位置时点 B? 的速度及在初瞬
时支座 A的反力,
B?
?
A
B
C
56
B?
?
A
B
C
B?
?
A
B
C
解,取系统为研究对象进行受力分析,
WB
WAB
XA
系统内力和约束力均不
作功,外力为有势力,系统
机械能守恒,
取圆盘 B为研究对象
圆盘 B平动,杆 AB作定轴转动,
YA
MB(F) = 0 LB = c
由初时条件可知, ?B = 0
WB
XB
YB
57
由机械能守恒 定 理, T1 + V1 = T2 + V2
T1 = 0
V1 = WBl(1- sin?) + WAB l(1- sin?)/2
=150?0.24?(1- sin30o)
+60?0.12?(1-sin30o)
?
? ????
?
???
??? 22
2 3
1
2
1
2
1 L
g
Wv
g
WT AB
B
B
? ? 222
24.08.932
24.060
8.92
150 ?
?
??
?
?
??
??
?
? ?? BB vv
B?
?
A
B
C
WB
WAB
XA
YA
V2 = 0 其中 vB? = l?
代入解得, vB? = 1.58 m/s
58
B?
?
A
B
C
取 系 统 为研究对象进行运动分析,
aB
aC
由初时条件得, ?AB = 0
aB =l ? =0.24 ? aD = l?/2 = 0.12 ?
由动量矩定理得,
????????
?
?
???
? ?? c osc os lWlWlv
g
WJ
dt
d
ABBB
B
A
? ? ? ? ? ? o30c o s24.08.915024.08.93 60 22 ? ?? ?????? ?? ??? ? ????
?
?
??
? ???
?
? =37.44 rad/s2
aD = 4.49 m/s2 aB = 8.98 m/s2
59
由质心运动 定 理 得,
AAABBDABBB YXWWaWaWg ????? )(
1
把上式分别向 x y轴投影得,
B?
?
A
B
C
WB
WAB
XA
YA
aB
aC
ADxABBxB XaWaWg ?? )(
1
AABBDyABByB YWWaWaWg ????? )(
1
(150?8.98sin30o+ 60?4.49sin30o ) = XA
8.9
1
(150?8.98cos30o-60?4.49cos30o )
8.9
1
= YA –150 - 60
XA = 82.47 N YA = 67.15 N解 得,
60
例 题 13-13.均质直杆 AB重 P,长 2l,一端用长 l的绳索 OA拉
住,另一端 B放置在地面上,可以沿光滑地面滑动,开始时
系统处于静止状态,绳索 OA位于水平位置,而 O,B点在
同一铅垂线上,求当绳索 OA运动到铅垂位置时,B点的速
度和绳索的拉力以及地面的反力,
A
B
O
P
l
2l
A′
B′
61
解,取杆 AB为研究对象进行运动分析, A
B
O
P
l
2l
A′
B′
vA = vB = v
对杆 AB进行受力分析,
N
T
约束力 T和 N不作功,P是有势力,系统机械能守恒,
OB = 1.732l A′B = 0.732l
当绳索 OA运动到铅垂位置时,
杆 AB作瞬时平动,
2
2
13 6 6.08 6 6.0 v
g
PPlPl ?? glv ?
62
当绳索 OA运动到铅垂位置
时,取取杆 AB为研究对象进行
运动 分 析,
A
B
O
P
l
2l
A′
B′杆 AB作瞬时平动,
?AB = 0
glvvv BA ??? ????
AB
n
ABBA aaaa
(1)
glva nA ??
2
aB
0?nABa
?ABa
ABAB la ??? 2
?
cos?=0.931
sin?=0.366
???
A
n
AA aaa
(2)
aB
??? la A
?Aa
nAa
63
A
B
O
P
l
2l
A′
B′ a
B
?ABa
?
cos?=0.931
sin?=0.366
aB
?Aa
nAa
把 (3)式向铅垂方
向投影得,
把 (4)式向铅垂方向投影得,
?? ???
A
n
AABB aaaa
(3)
nAAB aa ??? co s
l
g
AB 5 3 7.0??
???
CBBC aaa
(4)
ABCA la ???
?CAa
?? ? c o sCACy aa
ga Cy 5.0?
?AB
C
联 立 (1)(2)式得,
64
当绳索 OA运动到铅垂
位置时,取取杆 AB为研究
对象进行受力 分 析,
A
B
O
P
l
2l
A′
B′
?
cos?=0.931
sin?=0.366
?CAa
?AB
C
P
N
T
应用平面运动微
分方程得,
Cyag
PTPN ???
???? 2)2(121c o s)( lgPlNT
联立解得, T = 0.846P N = 0.654P
