1
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
§ 15-2 虚位移原理
例题
返回
第十五章 虚位移原理
动力学
2
一, 约束的分类
(1) 约束的定义
当质点或质点系中的某些质点运动时,受到某些事先
给定的几何上或运动学上的限制条件,这些限制条件称
为质点或质点系的约束,
例 18-1,圆盘 C在粗糙的平面上作
纯滚动,
约束是指事先给定的限制条件, 它与作用力,起始条件
以
及运动的其他条件无关,
C
y = R表示圆盘 C受到几何上的
限制,
vc = R?表示圆盘 C受到运动学上的限制,
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
3
受有约束的质点系为非自由质点系,
约束加于质点或质点系的限制条件,可以利用几何
学和运动学知识,写成具体的数学表达式,这样的数
学表达式称为约束方程,
例 15-2,曲柄连杆机构的
约束方程为,
x12 + y12 = r2
(x1 - x2)2 + y12 = l 2
y2 = 0
y
O
A(x1,y1)
B(x2,0)r
x
l
?
不受任何 约 束 的质点系为自由质点系,它可以在
主动力作用下作空间任意运动
4
右图中摆锤 A的约束方程为
x2+y2 = l 2
在约束方程中用严格的等号表示的约束为
双面约束,这种约束如能限制物体向某一方向
运动,则必能限制向相反方向运动,
在约束方程中用不等号表示的约束为单
面约束,这种约束只能限制物体某个方向的
运动,而不能限制相反方向的运动,
左图中摆锤 A的约束方程为
? l
2x2 + y2
x
yO
A(x,y)
l?
O y
x
A(x,y)
l?
(2) 双面约束与单面 约 束
5
如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的,或包含坐标
对时间的导数但能积分成有限形式的,则这种约束称为完整
约束, 如上面所举各例,完整约束方程的一般形式为
?? (x1,y1,z1,… xn,yn,zn,t)=0 (?=1,2,…,s)
如果在约束方程中不显含时间 t,既约束不随时间而改
变,这种约束称为定常约束,如上面所举二例,
如左图圆周的半径随时间改变,约束方程
为 x2 + y2 = (r + at)2
如果在约束方程中显含时间 t,既约束随
时间而改变,这种约束称为非定常约束,如上
面举例,
(4)完整约束与非完整约束
O
(3) 定常约束与非定常 约 束
6
如 果 约束方程中不仅含有坐标,还含有坐标对时间的导数,
且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,则这种约
束称为非完整约束,其一般形式为
因为完整约束方程中仅含坐标,它表现为对质点系的几
何位置起限制作用,所以这种约束又称为几何约束,
因为非完整约束方程中包含有速度投影量,它仅表现为
对质点速度所加的限制,所以这种约束又称为运动约束,
??(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn; t) = 0
(?= 1,2,…,s);,,,...,,,111 nnn zyxzyx ??????
本单元内容只涉及定常的,双面的完整约束,
7
解, 由质点距离不变的条件写出 M1
和 M2的约束方程
(x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2
由点 C的速度 vc必须沿杆的方向的条件写出约束方程
? ?tg xy
c
c
?
? 或
21
21
21
21
yy
yy
xx
xx
?
?
?
? ? ????
o x
y
c
M1(x1,y1)
M2(x2,y2)
vc
?
图 1-6
例 题 15-3,平面上两个质点 M1和 M2
质量相等,由一长为 l 不计质量的刚
性杆连接,运动中杆中点 C 的速度
只可以沿着杆的方向如图所示,写出
质点 M1和 M2及中点 C的约束方程,
8
二,自由度与广义坐标
(1)自由度
在完整约束的条件下,用来确定质点系在空间的位置所
需独立坐标的个数,称为质点的自由度或自由度,
一个由 n个质点组成的质点系在平面内的位置,在直角坐
标系中需用 2n个坐标来确定,如果质点系受有 s个完整约束,
则质点系的 2n个坐标必须满足 s个约束方程,因此质点系只有
k=2n - s 个坐标是独立的,
例题 18-4.确定右图所示系统的约束数,
y
O
A(x1,y1)
B(x2,0)r
x
l
?
xo= 0 yo= 0 yB= 0
xA2 + yA2 = r2
(xA-xB)2 + yA2 = l 2
k = 2?3 - 5 = 1
9
例 题 15-5,求右图所示双摆的自由度,
系统由 3个质点组成,
受 4个约束
xO= 0 yO= 0
xA2 + yA2 =l12
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22
k = 2?3 - 4 = 2
O x
y
A(xA,yA)
B(xB,yB)
?1
?2
10
(2)广义 坐 标
唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标,
例题 18-4,确定右图的 广义坐标,
xA =l1 sin?1
yA = l1 cos ?1
xB = l1 sin ?1 + l2 sin ?2
yB =l1 cos ?1 + l2 cos ?2
O x
y
A(xA,yA)
B(xB,yB)
?1
?2
解,可取 ?1和 ?2为广义坐标来确
定系统的位置,这时 A和 B点的直
角坐标与广义坐标的关系为,
11
在 一 般 情况下,若一个由 n个质点组成的质点系,受
s个定常的完整约束,则系统具有 k = 2n - s个自由度,如
以 q1,q2,…,qk 表示所选定的广义坐标,则质点系中任一
质点 Mi的直角坐标可以表示为广义坐标的函数,
x i= xi (q1,q2,…,qk)
yi = yi (q1,q2,…,qk)
(i =1,2,…,n)
ri=ri(q1,q2,…,qk)
(i =1,2,…,n)
显然质点 Mi的矢径 ri也可表示为广义坐标的 函 数
12
例 题 15-5,分别确定下列结构的自由度和广义坐标,
(1)长为 l 的刚杆, (2)用三根长为 l 的刚杆铰接的三角
形结构,(3)用四根长为 l 的刚杆铰接的四边形结构,
解,
x
y
A
B
?
(1)约束方程为
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2
自由度为,
k=2?2 -1 = 3
广义坐标为, x,y,?
rA = x i + y j
rB = (x + l cos?) i + (y + l sin?) j
x
y
13
(2)约 束 方程为
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2
(xA-xC)2+(yA-yC)2 = l 2
(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2
自由度为, k = 2?3 -3 = 3
广义坐标为, x,y,?
rA = x i + y j
rB = (x + l cos?) i + (y + l sin?) j
rC = [x + l cos(?+60o)] i + [y + l sin(?+60o)] j
显然用三根长为 l 的刚杆铰接的三角形结构可
以视为一根刚杆,
?
x
y
A
B
C
x
y
14
(3)约 束 方程为
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2
(xA-xD)2+(yA-yD)2 = l 2
(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2
自由度为, k =2?4 -4 = 4 广义坐标为,x,y,?,?
rA = x i + y j
rB = (x + l cos?) i + (y + l sin?) j
rC = [x + l (cos? - sin?)] i + [y + l (sin?+cos?)] j
(xC-xD)2+(yC-yD)2 = l 2
rD = (x - l sin?) i + (y + l cos?) j
?
?
x
y
A
B
C
D
x
y
15
三,虚位移与虚功
(1)虚位移
质点或质点系在给定瞬时,为约束所容许的任何微
小的位移,称为质点或质点系的虚位移,记为 ?r.
虚位移只是一个几何概念,它完全由约束的性质及
其限制的条件所决定,它只是约束所容许的可能发生
而实际不一定发生的位移,它与作用力无关,与时间无
关,它可以有多种不同的方向,它必须是微小量,
实位移是质点或质点系在力的作用下,在一定时间
间隔内实际发生的位移,它有确定的方向,它可以是微
小量,也可以是有限量,
16
x
y
?
AM
O
例 题 15-6.铰接于光滑水平面上的直杆 OA受力如图所
示,画出点 A的实位移和虚位移,
dr
d?
?r1
??1
??2 ?r2
在定常的几何约束的情形下,约束的性质与
时间无关,微小的实位移是虚位移之一,
x
y
?
AM
O
17
A
?r
?r
对于非定常约束,由于它的位置或形状随时
间而改变,而虚位移与时间无关,实位移却与时
间有关,所以微小的实位移不再是虚位移之一,
A
dr
例 题 15-7.物块 B搁置于三棱体 A上,摩擦不计,画出
系统由静止开始运动后物块 B的实位移和虚位移,
18
1)几 何 法
在定常约束条件下,微小的实位移是虚位移之一,可
以用求实位移的方法来建立质点虚位移之间的关系,
I
??1
?rB
?rA ??2
??2
例题 19-8,求图示机构 A点和 B点的虚位移
解, 应用几何学和运动学来求 A点
和 B点的虚位移 ?rA和 ?rA
OA杆作定轴转动
OA?rA = ??1 (1)
AB杆作平面运动,I为瞬心
?rA = IA ??2 (2) O
A
B
19
??2 =
IA
OA ??1
?rB = IB ??2
=
IA
OA IB ??1
当 然 也可以取 ??1 的转向为顺时针转向,画出虚位
移图得出的 ?rA和 ?rB的表达式与转向为逆时针是一
致的,
由 (1)(2)式 得, I
??1
?rB
?rA ??2
??2
O
A
B
20
O
A
B
2)解 析 法
利用广义坐标的概念,可以得到任意质点系中各质点
的虚位移表示为广义坐标的变分的关系式,即解析法,
解, xA=l1 cos? yA=l1 sin?
xB=l1 cos? +l2cos?
l1sin? =l2sin?
x
y
? ?
例题 18-9.求图示机构 A点和 B点的虚位移,OA=l1 ;
AB=l2,
?xA = -l1sin???
?yA = l1cos???
21
?rA = i?xA + j?yA
= l1(- i sin? + j cos?) ??
?rB= i?xB
=i (- l1sin? )[?? + ctg? tg? ??]
??
??
?
??????? )
s i n
c o s
22
1
2
2
1s i n(
1
ll
l
li
l1cos? ?? = l2cos? ??
?xB = -l1sin? ?? - l2sin? ??
可以 证 明 用几何法和解析法所得的结果是一致的,
O
A
B x
y
? ?
22
(2)虚 功
1) 力作虚功
?W =F??r = Fx?x + Fy?y
2)力矩或力偶矩作虚功
?W= MO(F) ??
?W= m ??
例题 18-10,计算上图中力偶矩作的虚功
解, ?W=M ??1
?W= - M ??2
?W= MI(F) ??
x
y
?
AM
O
?r1
??1
??2 ?r2
23
四,理想约束
以 Ni表示质点系中质点 Mi的约束反力的合
力,?ri表示该质点的虚位移,则质点系的理想
约束条件可表示为
Ni·?ri = 0?
?
n
i 1
(1)理想约束的定义
如果约束反力在质点系的任何虚位移中所
作元功之和等于零,则这种约束称为理想约束,
24
(2)光 滑 接触面 N
?r光滑接触面的约束反力恒垂直
于接触面的切面,而被约束质点的
虚位移总是沿着切面的,即 N ??r
N
N?
?r (3)连接两刚体的光滑铰链
设 AB杆与 BC杆在 B点用光滑
铰链连接,由 N = N? 得
N??r + N???r = N??r - N??r = 0
? N??r = 0
A
B
C?
25
(4)连接两质点的无重 刚 杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重为二力杆,设质点 M1和
M2的虚位移分别为 ?r1 与 ?r2
则有,
?r1cos ?1 = ?r2cos ?2
N1??r1 + N2??r2
= N1?r1 cos ?1 - N2?r2 cos ?2 = 0
M1
M2
?r1
?r2
N1
N2
?1
?2
26
§ 15-2 虚位移原理
设具有双面,定常,理想约束的质点系,原处于
静止状态,则其在给定位置上保持平衡的必要
与充分条件是,所有主动力在质点系的任何虚
位移中的元功之和等于零,
0
1
???
?
i
n
i
i rF ?
? ? 0
1
???
?
n
i
iiii yYxX ??
27
虚位移原理的应用
(1)求解复杂系统的平衡问题,
1)选取适当的广义坐标,
2)利用几何法或解析法求各虚位移之
间的关系,
3)计算各主动力的虚功,
4)利用虚位移原理求解约束反力,
28
例 题 15-11.求图示滑
轮系统在平衡时 Q/P
的值,摩擦力及绳索
质量不计,
O
A
B
D
C
29
O
A
B
D
C
xD + 2xC = c1
xB - xC = c2
(xA-xD)+(xB-xD)= c3
?xD+2?xC = 0
?xB - ?xC = 0
?xA+?xB- 2?xD = 0
?xA= -5?xB
由虚位移原理得,
P?xA+Q?xB=0
Q = 5P
Q
P
y
x
解,
30
例 题 15-12.在图示结构中,曲柄 OA上作用一力偶,其
力偶矩为 m,另在滑块 D上作用一水平力 P.结构尺寸
如图所示,求当平衡时,力 P与力偶矩 m的关系,
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
31
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
解, 画虚位移图
I1
I2
?rA
?rB
?rD
??1??2
??2
??4
??4
I1为 AB的瞬心, I2为 BD的瞬心,
32
利用虚位移图
计 算 各虚位移间
的关系,
?rA =a??1=I1A??2
?rB =CB??3=I1B??2 =I2B??4
?rB =I2D??4
?? 21 a c t gOI ??? 21 s inc o saBI
?? s in22 bDI
?? ???
????
2c o s
s in 2
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
I1
I2
?rA
?rB
?rD
??1??2
??2
??4
??4
?? ???
????
2c o s
c o s
b
a ???
33
利用虚位移图
计算 虚 功,
?W(m) = -m??1
?W(P) = 2bPsin???4
由虚位移原理得,
m = aPtg2?
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
I1
I2
?rA
?rB
?rD
??1??2
??2
??4
??4
-m??1+ 2bPsin???4 = 0 ???
把 ???式代入 ???式得,
34
(2)求 约 束 反力
2)利用几何法或解析法求各虚位移
之间的关系,
3)计算各主动力的虚功,
4)利用虚位移原理求解约束反力,
1)解除一个约束代之约束反力并选
取适当的广义坐标,
35
例 题 15-13.求图示三铰拱支座 B的约束反力,
a
P
C
BA
a
a
m
36
解, 解除支座 B的水平约束代之约束反力 XB,
画虚位移图, I为 BC杆的瞬心,
a
P
C
BA
a
a
m
XB
I
??1
??2 ??2
?rC
?rB
利用虚位移图 计 算
各虚位移间的关系,
aICAC 2??
?rC = AC??1
= IC??2
??1 = ??2
37
利用虚位移图计算 虚 功,
a
P
C
BA
a
a
m
XB
I
??1
??2 ??2
?rC
?rB
?W(XB) =2aXB??2
?W(P) = aP ??2
?W(m) = -m ??1
由虚位移原理得,
-m ??1+2aXB??2 + aP??2 = 0
a
mPX
B 22
1 ???
38
解 除 支座 B的
水平约束代之约
束反力 XB,
a
P
C
BA
a
a
m
YB??1
?rC
?rB
??2
??2
画虚位移图,
A为 BC杆的瞬心,
?rC = AC??1= AC??2
??1 = ??2
39
利用虚位移图计算 虚 功,
?W(YB) =-2aYB??2
?W(P) = aP ??2
由虚位移原理得,
-m ??1-2aYB??2 + aP??2 = 0
a
mPY
B 22
1 ??
a
P
C
BA
a
a
m
YB??1
?rC
?rB
??2
??2
?W(m) = -m ??1
40
例 题 15-14,结构如图所示,P =2kN.Q =1kN.求支
座 C的约束反力,
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
41
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
解,解除支座 C的约束代之约束反力 RC画虚位移图,
?rE
?rF ?rG
??1
??2
??2
??3
I
I为 BEF部分的瞬心, CFG部分平动,
RC
42
利 用 虚位移图计算各虚位移间的关系,
?rE = (AE)??1 = (IE)??2 ??1=??2
12 ???????? arrr GFE
??1=??3
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
?rE
?rF ?rG
??1
??2
??2
??3
I
RC
43
?W(P) = aP??1
?W(Q) = aQ??1
ECC rRRW ??? 22)(
由虚位移原理得, aP??1+aQ??1+aRC??1 = 0
RC= -3
利用虚位移图计算 虚 功,
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
?rE
?rF ?rG
??1
??2
??2
??3
I
RC
1??? CaR
44
例 题 15-15.刚架受荷载如图示,P1=10kN,q=5kN/m,
P2=80kN,M=200kN.m,求固定端支座 A的约束力,
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
45
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
I
??1
?rB
?rC
??2
??2
I为 BC部分的瞬心,
解,解除 A端的转动约束代之约束力
偶矩 MA.画虚位移图,
?rC = (AC)??1
= (IC)??2
?? ????? ICAC
???? 28
24
= 0.5??1
MA
46
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
I
??1
?rB
?rC
??2
??2
MA
利 用 虚位移图计算虚功,
?W(MA) = MA??1
?W(P1) = - 30??1
?W(Q) = -120??2= -60??1
?W(P2) = - 160??2
= - 80??1
?W(M) = 200??2
= 100??1
由虚位移原理得,
MA??1 - 30??1 - 60??1 - 80??1+100??1= 0
MA = 70
47
解 除 A端的水平约束代之约束反力 XA
画虚位移图,
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
A
XA ?r
?r
?r
?r
AC杆和 BC杆均平动,
48
利用虚位移图计算 虚 功,
由虚位移原理得,
?W(P1) = 10?r ?W(XA) = XA?r
10?r + XA?r = 0
XA= -10
?W(q) =?W(P2) =?W(M) = 0
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
A
XA ?r
?r
?r
?r
49
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
解 除 A端的竖直约束代之约束反力 YA画虚位移图,
AC杆平动, I为 BC部分的瞬心,
I
?rC
?rB
??
??
YA
?rA
50
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
I
?rC
?rB
??
??
YA
?rA
利 用 虚位移图
计算虚功,
YA = 2.5
由虚位移原理得,-60?? -160?? +200?? +8YA?? = 0
?W(YA) = YA?rA= 8YA???W(M) =200??
?W(P2) = -160??
?W(Q) = -60??
?W(P1) = 0
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
§ 15-2 虚位移原理
例题
返回
第十五章 虚位移原理
动力学
2
一, 约束的分类
(1) 约束的定义
当质点或质点系中的某些质点运动时,受到某些事先
给定的几何上或运动学上的限制条件,这些限制条件称
为质点或质点系的约束,
例 18-1,圆盘 C在粗糙的平面上作
纯滚动,
约束是指事先给定的限制条件, 它与作用力,起始条件
以
及运动的其他条件无关,
C
y = R表示圆盘 C受到几何上的
限制,
vc = R?表示圆盘 C受到运动学上的限制,
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
3
受有约束的质点系为非自由质点系,
约束加于质点或质点系的限制条件,可以利用几何
学和运动学知识,写成具体的数学表达式,这样的数
学表达式称为约束方程,
例 15-2,曲柄连杆机构的
约束方程为,
x12 + y12 = r2
(x1 - x2)2 + y12 = l 2
y2 = 0
y
O
A(x1,y1)
B(x2,0)r
x
l
?
不受任何 约 束 的质点系为自由质点系,它可以在
主动力作用下作空间任意运动
4
右图中摆锤 A的约束方程为
x2+y2 = l 2
在约束方程中用严格的等号表示的约束为
双面约束,这种约束如能限制物体向某一方向
运动,则必能限制向相反方向运动,
在约束方程中用不等号表示的约束为单
面约束,这种约束只能限制物体某个方向的
运动,而不能限制相反方向的运动,
左图中摆锤 A的约束方程为
? l
2x2 + y2
x
yO
A(x,y)
l?
O y
x
A(x,y)
l?
(2) 双面约束与单面 约 束
5
如果约束方程中仅包含坐标或坐标与时间的,或包含坐标
对时间的导数但能积分成有限形式的,则这种约束称为完整
约束, 如上面所举各例,完整约束方程的一般形式为
?? (x1,y1,z1,… xn,yn,zn,t)=0 (?=1,2,…,s)
如果在约束方程中不显含时间 t,既约束不随时间而改
变,这种约束称为定常约束,如上面所举二例,
如左图圆周的半径随时间改变,约束方程
为 x2 + y2 = (r + at)2
如果在约束方程中显含时间 t,既约束随
时间而改变,这种约束称为非定常约束,如上
面举例,
(4)完整约束与非完整约束
O
(3) 定常约束与非定常 约 束
6
如 果 约束方程中不仅含有坐标,还含有坐标对时间的导数,
且这种含有坐标导数的方程不能积分成有限形式,则这种约
束称为非完整约束,其一般形式为
因为完整约束方程中仅含坐标,它表现为对质点系的几
何位置起限制作用,所以这种约束又称为几何约束,
因为非完整约束方程中包含有速度投影量,它仅表现为
对质点速度所加的限制,所以这种约束又称为运动约束,
??(x1,y1,z1,…,xn,yn,zn; t) = 0
(?= 1,2,…,s);,,,...,,,111 nnn zyxzyx ??????
本单元内容只涉及定常的,双面的完整约束,
7
解, 由质点距离不变的条件写出 M1
和 M2的约束方程
(x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2
由点 C的速度 vc必须沿杆的方向的条件写出约束方程
? ?tg xy
c
c
?
? 或
21
21
21
21
yy
yy
xx
xx
?
?
?
? ? ????
o x
y
c
M1(x1,y1)
M2(x2,y2)
vc
?
图 1-6
例 题 15-3,平面上两个质点 M1和 M2
质量相等,由一长为 l 不计质量的刚
性杆连接,运动中杆中点 C 的速度
只可以沿着杆的方向如图所示,写出
质点 M1和 M2及中点 C的约束方程,
8
二,自由度与广义坐标
(1)自由度
在完整约束的条件下,用来确定质点系在空间的位置所
需独立坐标的个数,称为质点的自由度或自由度,
一个由 n个质点组成的质点系在平面内的位置,在直角坐
标系中需用 2n个坐标来确定,如果质点系受有 s个完整约束,
则质点系的 2n个坐标必须满足 s个约束方程,因此质点系只有
k=2n - s 个坐标是独立的,
例题 18-4.确定右图所示系统的约束数,
y
O
A(x1,y1)
B(x2,0)r
x
l
?
xo= 0 yo= 0 yB= 0
xA2 + yA2 = r2
(xA-xB)2 + yA2 = l 2
k = 2?3 - 5 = 1
9
例 题 15-5,求右图所示双摆的自由度,
系统由 3个质点组成,
受 4个约束
xO= 0 yO= 0
xA2 + yA2 =l12
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l22
k = 2?3 - 4 = 2
O x
y
A(xA,yA)
B(xB,yB)
?1
?2
10
(2)广义 坐 标
唯一地确定质点系位置的独立参数,称为广义坐标,
例题 18-4,确定右图的 广义坐标,
xA =l1 sin?1
yA = l1 cos ?1
xB = l1 sin ?1 + l2 sin ?2
yB =l1 cos ?1 + l2 cos ?2
O x
y
A(xA,yA)
B(xB,yB)
?1
?2
解,可取 ?1和 ?2为广义坐标来确
定系统的位置,这时 A和 B点的直
角坐标与广义坐标的关系为,
11
在 一 般 情况下,若一个由 n个质点组成的质点系,受
s个定常的完整约束,则系统具有 k = 2n - s个自由度,如
以 q1,q2,…,qk 表示所选定的广义坐标,则质点系中任一
质点 Mi的直角坐标可以表示为广义坐标的函数,
x i= xi (q1,q2,…,qk)
yi = yi (q1,q2,…,qk)
(i =1,2,…,n)
ri=ri(q1,q2,…,qk)
(i =1,2,…,n)
显然质点 Mi的矢径 ri也可表示为广义坐标的 函 数
12
例 题 15-5,分别确定下列结构的自由度和广义坐标,
(1)长为 l 的刚杆, (2)用三根长为 l 的刚杆铰接的三角
形结构,(3)用四根长为 l 的刚杆铰接的四边形结构,
解,
x
y
A
B
?
(1)约束方程为
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2
自由度为,
k=2?2 -1 = 3
广义坐标为, x,y,?
rA = x i + y j
rB = (x + l cos?) i + (y + l sin?) j
x
y
13
(2)约 束 方程为
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2
(xA-xC)2+(yA-yC)2 = l 2
(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2
自由度为, k = 2?3 -3 = 3
广义坐标为, x,y,?
rA = x i + y j
rB = (x + l cos?) i + (y + l sin?) j
rC = [x + l cos(?+60o)] i + [y + l sin(?+60o)] j
显然用三根长为 l 的刚杆铰接的三角形结构可
以视为一根刚杆,
?
x
y
A
B
C
x
y
14
(3)约 束 方程为
(xA-xB)2+(yA-yB)2 = l 2
(xA-xD)2+(yA-yD)2 = l 2
(xB-xC)2+(yB-yC)2 = l 2
自由度为, k =2?4 -4 = 4 广义坐标为,x,y,?,?
rA = x i + y j
rB = (x + l cos?) i + (y + l sin?) j
rC = [x + l (cos? - sin?)] i + [y + l (sin?+cos?)] j
(xC-xD)2+(yC-yD)2 = l 2
rD = (x - l sin?) i + (y + l cos?) j
?
?
x
y
A
B
C
D
x
y
15
三,虚位移与虚功
(1)虚位移
质点或质点系在给定瞬时,为约束所容许的任何微
小的位移,称为质点或质点系的虚位移,记为 ?r.
虚位移只是一个几何概念,它完全由约束的性质及
其限制的条件所决定,它只是约束所容许的可能发生
而实际不一定发生的位移,它与作用力无关,与时间无
关,它可以有多种不同的方向,它必须是微小量,
实位移是质点或质点系在力的作用下,在一定时间
间隔内实际发生的位移,它有确定的方向,它可以是微
小量,也可以是有限量,
16
x
y
?
AM
O
例 题 15-6.铰接于光滑水平面上的直杆 OA受力如图所
示,画出点 A的实位移和虚位移,
dr
d?
?r1
??1
??2 ?r2
在定常的几何约束的情形下,约束的性质与
时间无关,微小的实位移是虚位移之一,
x
y
?
AM
O
17
A
?r
?r
对于非定常约束,由于它的位置或形状随时
间而改变,而虚位移与时间无关,实位移却与时
间有关,所以微小的实位移不再是虚位移之一,
A
dr
例 题 15-7.物块 B搁置于三棱体 A上,摩擦不计,画出
系统由静止开始运动后物块 B的实位移和虚位移,
18
1)几 何 法
在定常约束条件下,微小的实位移是虚位移之一,可
以用求实位移的方法来建立质点虚位移之间的关系,
I
??1
?rB
?rA ??2
??2
例题 19-8,求图示机构 A点和 B点的虚位移
解, 应用几何学和运动学来求 A点
和 B点的虚位移 ?rA和 ?rA
OA杆作定轴转动
OA?rA = ??1 (1)
AB杆作平面运动,I为瞬心
?rA = IA ??2 (2) O
A
B
19
??2 =
IA
OA ??1
?rB = IB ??2
=
IA
OA IB ??1
当 然 也可以取 ??1 的转向为顺时针转向,画出虚位
移图得出的 ?rA和 ?rB的表达式与转向为逆时针是一
致的,
由 (1)(2)式 得, I
??1
?rB
?rA ??2
??2
O
A
B
20
O
A
B
2)解 析 法
利用广义坐标的概念,可以得到任意质点系中各质点
的虚位移表示为广义坐标的变分的关系式,即解析法,
解, xA=l1 cos? yA=l1 sin?
xB=l1 cos? +l2cos?
l1sin? =l2sin?
x
y
? ?
例题 18-9.求图示机构 A点和 B点的虚位移,OA=l1 ;
AB=l2,
?xA = -l1sin???
?yA = l1cos???
21
?rA = i?xA + j?yA
= l1(- i sin? + j cos?) ??
?rB= i?xB
=i (- l1sin? )[?? + ctg? tg? ??]
??
??
?
??????? )
s i n
c o s
22
1
2
2
1s i n(
1
ll
l
li
l1cos? ?? = l2cos? ??
?xB = -l1sin? ?? - l2sin? ??
可以 证 明 用几何法和解析法所得的结果是一致的,
O
A
B x
y
? ?
22
(2)虚 功
1) 力作虚功
?W =F??r = Fx?x + Fy?y
2)力矩或力偶矩作虚功
?W= MO(F) ??
?W= m ??
例题 18-10,计算上图中力偶矩作的虚功
解, ?W=M ??1
?W= - M ??2
?W= MI(F) ??
x
y
?
AM
O
?r1
??1
??2 ?r2
23
四,理想约束
以 Ni表示质点系中质点 Mi的约束反力的合
力,?ri表示该质点的虚位移,则质点系的理想
约束条件可表示为
Ni·?ri = 0?
?
n
i 1
(1)理想约束的定义
如果约束反力在质点系的任何虚位移中所
作元功之和等于零,则这种约束称为理想约束,
24
(2)光 滑 接触面 N
?r光滑接触面的约束反力恒垂直
于接触面的切面,而被约束质点的
虚位移总是沿着切面的,即 N ??r
N
N?
?r (3)连接两刚体的光滑铰链
设 AB杆与 BC杆在 B点用光滑
铰链连接,由 N = N? 得
N??r + N???r = N??r - N??r = 0
? N??r = 0
A
B
C?
25
(4)连接两质点的无重 刚 杆
连接两质点的刚杆由于不
计自重为二力杆,设质点 M1和
M2的虚位移分别为 ?r1 与 ?r2
则有,
?r1cos ?1 = ?r2cos ?2
N1??r1 + N2??r2
= N1?r1 cos ?1 - N2?r2 cos ?2 = 0
M1
M2
?r1
?r2
N1
N2
?1
?2
26
§ 15-2 虚位移原理
设具有双面,定常,理想约束的质点系,原处于
静止状态,则其在给定位置上保持平衡的必要
与充分条件是,所有主动力在质点系的任何虚
位移中的元功之和等于零,
0
1
???
?
i
n
i
i rF ?
? ? 0
1
???
?
n
i
iiii yYxX ??
27
虚位移原理的应用
(1)求解复杂系统的平衡问题,
1)选取适当的广义坐标,
2)利用几何法或解析法求各虚位移之
间的关系,
3)计算各主动力的虚功,
4)利用虚位移原理求解约束反力,
28
例 题 15-11.求图示滑
轮系统在平衡时 Q/P
的值,摩擦力及绳索
质量不计,
O
A
B
D
C
29
O
A
B
D
C
xD + 2xC = c1
xB - xC = c2
(xA-xD)+(xB-xD)= c3
?xD+2?xC = 0
?xB - ?xC = 0
?xA+?xB- 2?xD = 0
?xA= -5?xB
由虚位移原理得,
P?xA+Q?xB=0
Q = 5P
Q
P
y
x
解,
30
例 题 15-12.在图示结构中,曲柄 OA上作用一力偶,其
力偶矩为 m,另在滑块 D上作用一水平力 P.结构尺寸
如图所示,求当平衡时,力 P与力偶矩 m的关系,
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
31
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
解, 画虚位移图
I1
I2
?rA
?rB
?rD
??1??2
??2
??4
??4
I1为 AB的瞬心, I2为 BD的瞬心,
32
利用虚位移图
计 算 各虚位移间
的关系,
?rA =a??1=I1A??2
?rB =CB??3=I1B??2 =I2B??4
?rB =I2D??4
?? 21 a c t gOI ??? 21 s inc o saBI
?? s in22 bDI
?? ???
????
2c o s
s in 2
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
I1
I2
?rA
?rB
?rD
??1??2
??2
??4
??4
?? ???
????
2c o s
c o s
b
a ???
33
利用虚位移图
计算 虚 功,
?W(m) = -m??1
?W(P) = 2bPsin???4
由虚位移原理得,
m = aPtg2?
a
b b
??
?
m
P
O
A
B
C D
I1
I2
?rA
?rB
?rD
??1??2
??2
??4
??4
-m??1+ 2bPsin???4 = 0 ???
把 ???式代入 ???式得,
34
(2)求 约 束 反力
2)利用几何法或解析法求各虚位移
之间的关系,
3)计算各主动力的虚功,
4)利用虚位移原理求解约束反力,
1)解除一个约束代之约束反力并选
取适当的广义坐标,
35
例 题 15-13.求图示三铰拱支座 B的约束反力,
a
P
C
BA
a
a
m
36
解, 解除支座 B的水平约束代之约束反力 XB,
画虚位移图, I为 BC杆的瞬心,
a
P
C
BA
a
a
m
XB
I
??1
??2 ??2
?rC
?rB
利用虚位移图 计 算
各虚位移间的关系,
aICAC 2??
?rC = AC??1
= IC??2
??1 = ??2
37
利用虚位移图计算 虚 功,
a
P
C
BA
a
a
m
XB
I
??1
??2 ??2
?rC
?rB
?W(XB) =2aXB??2
?W(P) = aP ??2
?W(m) = -m ??1
由虚位移原理得,
-m ??1+2aXB??2 + aP??2 = 0
a
mPX
B 22
1 ???
38
解 除 支座 B的
水平约束代之约
束反力 XB,
a
P
C
BA
a
a
m
YB??1
?rC
?rB
??2
??2
画虚位移图,
A为 BC杆的瞬心,
?rC = AC??1= AC??2
??1 = ??2
39
利用虚位移图计算 虚 功,
?W(YB) =-2aYB??2
?W(P) = aP ??2
由虚位移原理得,
-m ??1-2aYB??2 + aP??2 = 0
a
mPY
B 22
1 ??
a
P
C
BA
a
a
m
YB??1
?rC
?rB
??2
??2
?W(m) = -m ??1
40
例 题 15-14,结构如图所示,P =2kN.Q =1kN.求支
座 C的约束反力,
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
41
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
解,解除支座 C的约束代之约束反力 RC画虚位移图,
?rE
?rF ?rG
??1
??2
??2
??3
I
I为 BEF部分的瞬心, CFG部分平动,
RC
42
利 用 虚位移图计算各虚位移间的关系,
?rE = (AE)??1 = (IE)??2 ??1=??2
12 ???????? arrr GFE
??1=??3
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
?rE
?rF ?rG
??1
??2
??2
??3
I
RC
43
?W(P) = aP??1
?W(Q) = aQ??1
ECC rRRW ??? 22)(
由虚位移原理得, aP??1+aQ??1+aRC??1 = 0
RC= -3
利用虚位移图计算 虚 功,
BA
E
C
F G
D
Q
P
a
2a2a2a
?rE
?rF ?rG
??1
??2
??2
??3
I
RC
1??? CaR
44
例 题 15-15.刚架受荷载如图示,P1=10kN,q=5kN/m,
P2=80kN,M=200kN.m,求固定端支座 A的约束力,
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
45
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
I
??1
?rB
?rC
??2
??2
I为 BC部分的瞬心,
解,解除 A端的转动约束代之约束力
偶矩 MA.画虚位移图,
?rC = (AC)??1
= (IC)??2
?? ????? ICAC
???? 28
24
= 0.5??1
MA
46
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
I
??1
?rB
?rC
??2
??2
MA
利 用 虚位移图计算虚功,
?W(MA) = MA??1
?W(P1) = - 30??1
?W(Q) = -120??2= -60??1
?W(P2) = - 160??2
= - 80??1
?W(M) = 200??2
= 100??1
由虚位移原理得,
MA??1 - 30??1 - 60??1 - 80??1+100??1= 0
MA = 70
47
解 除 A端的水平约束代之约束反力 XA
画虚位移图,
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
A
XA ?r
?r
?r
?r
AC杆和 BC杆均平动,
48
利用虚位移图计算 虚 功,
由虚位移原理得,
?W(P1) = 10?r ?W(XA) = XA?r
10?r + XA?r = 0
XA= -10
?W(q) =?W(P2) =?W(M) = 0
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
A
XA ?r
?r
?r
?r
49
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
解 除 A端的竖直约束代之约束反力 YA画虚位移图,
AC杆平动, I为 BC部分的瞬心,
I
?rC
?rB
??
??
YA
?rA
50
4
1
3
24
P2
P1
8A
B
C
M
q
2
I
?rC
?rB
??
??
YA
?rA
利 用 虚位移图
计算虚功,
YA = 2.5
由虚位移原理得,-60?? -160?? +200?? +8YA?? = 0
?W(YA) = YA?rA= 8YA???W(M) =200??
?W(P2) = -160??
?W(Q) = -60??
?W(P1) = 0
