1
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
§ 12-2 动量矩定理
例题
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
例题
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
例题
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
例题
返回
第十二章 动量矩定理
动力学
2
§ 12-1质点和质点系的动量矩
(1)质点的动量矩
O
A
mv
r质量为 m的质点 A,t 时刻速度为 v,O为空间
任一固定点,则动量 mv 对 O点的矩定义为质
点的动量矩,
LO = r ? mv
LO
对过 O点任一轴的矩为,LOl = lo· (r ? mv)
3
在直角坐标系中动量矩的 表 式 为,
zmymxm
zyx
kji
L
O
???
?
? ?
? ?
? ?xyyxmL
zxxzmL
yzzymL
z
y
x
??
??
??
??
??
??
4
(2)质 点 系的动量矩
1.质点系对固定点的动量矩
O Airi
miviLOiLO = ?Loi
= ?ri? mivi
Loi组成一共点矢量系,可应用合矢量投
影定理计算 LO
Lz = ?Lzi
5
2.质点系的绝对运动对动 质 心 的动量矩
O
x
y
z
c
x? y?
z?
ri
rc r?i
Mi
Lc =?Lci =?r?i
?mivi
ri = rc + r?i
vi = vc + vri
LO = ?ri? mivi = ? (rc + r?i)? mivi
= ?rc? mivi +? r?i? mivi
= rc? P + Lc
6
3.质点系的 相 对 运动对动质心的动量矩
Lcr = ? Lcri = ?r?i? mivri
Lc =?r?i?mivi = ?r?i? mi(vc + vri)
= (?mir?i ) ? vc + ?r?i?mivri
= Lcr
LO = rc? P + Lc= rc? P + Lcr
当 rc??P 时,LO = Lc = Lcr
7
例 题 12-1.边长为 a 质量为 m的正方体沿平直轨道
滑动如图所示,已知质心 C的速度为 v,求, (1) 正方
体对轨道上固定点 O的动量矩 ; (2) 正方体的绝对
运动对质心 C的动量矩 ; (3) 正方体的相对运动对
质心 C的动量矩,
C v
O
8
C v
O
解,建立直角
坐标系 Oxy x
y
(1)LO = ? ri? mivi
(2) Lc =?r?i? mivi
(3) vri = 0 Lcr = 0
= ( ?mi ri )?v = m rc?v
= - 0.5amvk
A
= ( ?mi r?i )?v = 0
rc
9
例 题 12-2.有对称面的刚体绕垂直于对称面的轴以角
速度 ?转动,求,刚体对轴的动量矩,
x
yO
? mi
ri
解,取坐标如图,
vi =?? ri = ?k ? (xi i +yi j)
= ?( -yi i +xi j )
LO = ?ri? mivi
=?(xi i+yi j )?mi?( -yi i +xi j )
= ?k ?mi (xi2+yi2 ) = Jz?k
Lz = Jz?
10
例 题 12-3.有对称面的刚体
在平行于对称面的平面内
作平面运动,角速度为 ?.求,
刚体对过质心且垂直于对
称面的轴的动量矩,
C
?
11
解,取坐标如图
C
?
x?
y?
mi
r?ivri =?? r?i =?k?(xi? i +yi? j)
= ?( -yi? i +xi? j )
Lcr = ?r?i? mivri
= ?(xi? i +yi? j)?mi?( -yi? i +xi? j )
= ?k ?mi (xi?2+yi?2 ) = JC?k = Lc
Lcz = JC?
12
例 题 12-4.如图所示,一双单摆在
Oxy 平面内振动,在图示瞬时角
速度 ?1 = 5rad/s,?2 = 10rad/s.
如质点 A,B的质量 m1 = m2 = 5kg
OA=AB =1m.求在该瞬时质点系
对 O点的动量矩,
(sin?1= 0.6 ; sin?2= 0.8)
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
13
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
解,(1)应用 LO = ?Loi= ? ri ? mivi
r1 = 0.8i + 0.6 j
r2 = 1.4i + 1.4 j
v1 = ?1? r1
v2 = v1 + v21
= 5k ? (0.8i + 0.6 j)
= -3i + 4 j
r1
r2
= ?1? r1 + ?2 ? (AB)
= -3i + 4 j +10k ? (0.6i + 0.8 j ) = -11i + 10 j
LO = r1? m1v1 + r2? m2v2
=(0.8i+0.6 j)?5(-3i+4 j)+(1.4i +1.4 j)?5(-11i +10 j)
= 172 k
14
(2)应 用 LO = rc ? P + Lc
rc = 1.1 i + j
P = m1v1 + m2v2 = -70i + 70 j
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
C
rc
r?2 = 0.3i + 0.4 j
r?1 = - 0.3i - 0.4 j r1′
r2′
Lc = r?1 ? m1v1 + r?2 ? m2v2 = 25k
rc?P = (1.1i+ j) ? (-70i + 70 j) = 147 k
LO = 25k + 147 k = 172k
15
例 题 12-5,如图所示,一双复摆
在 Oxy平面内振动,在图示瞬时,
角速度 ?1= 5rad/s,?2=10rad/s.
如杆 OA,AB的质量 m1=m2= 6kg
OA = AB =1m.求在该瞬时质点
系对 O点的动量矩,
(sin?1= 0.6 ; sin?2= 0.8)
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
16
解,系统由二个物体组成,
LO2 = rc? P + Lcr
1
2
1 3
1 ?? mlL
O
vC = v1 + vC1
1051631 2 ?????
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
C
LO = LO1 + LO2
OA杆作定轴转动,
AB杆作平面运动 C为质心,
= ?1 ? r1+ ?2 ? (AC)
= -3i + 4 j +10k ? (0.3i + 0.4 j )= -7i +7 j
17
计 算 AB杆对 O点的动量矩,
rc? P =(1.1 i + j)?(-42i +42 j)
= 88.2 k
2
2
12
1 ?? mlL
cr 5101612
1 2 ?????
k·( rc? P ) = 88.2 LO2 = 88.2 + 5 = 93.2
LO = 10 + 93.2 = 103.2
rc =1.1 i + j P = -42i +42 j
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
C
rc
18
例 题 12-6,均质圆柱体 O和 C
的质量均为 m,半径相等均为
r.圆柱 O 可绕通过点 O 的水
平轴转动,一绳绕在圆柱 O上,
绳的另一端绕在圆柱 C上,求
圆柱下落其角速度分别为 ?1
和 ?2时系统对 O点的动量矩,
O
C
A
B
?1
?2
19
O
C
A
B
?1
?2
解,圆柱体 O作定轴转动,
圆柱体 C作平面运动 B为瞬心 (相对 ).
LO = LOO + LOC
1
2
2
1 ?? mrL
OO
LOC = rc ? P + Lcr
vC = vB + vCB= r?1 + r?2
vC
2
2
2
1 ?? mrL
Cr
rc
BCABOAr C ??? )(2
21
2 ????? mrPr
C
)5.22( 212 ???? mrL OC
)(5.2 212 ???? mrL OO
20
§ 12-2 动量矩定理
(1)质点的动量矩定理 LO = r ? mv
? ?vmr
dt
d
dt
Ld O ??
)( Fm
dt
Ld
o
O ?
(1)
? ?
dt
vmdrvm
dt
rd ????
Frvmv ???? )( Fm o?
21
讨 论, (a)若 mo(F) = 0,则 LO = C(恒矢量 )
(b)若 mz(F) = 0,则 Lz = C(恒量 )
在直角坐标系中 (1)的投影式为,
)(
)(
)(
Fm
dt
dL
Fm
dt
dL
Fm
dt
dL
z
z
y
y
x
x
?
?
?
22
(2)质点系的动量矩 定 理
设有 n个质点组成的质点系,取第 i个质点,
)()()( iioeioioOi FmFmFm
dt
Ld
???
这样的方程有 n个,求和得,
)()( iioeioO FmFm
dt
Ld ??
??
(2)
23
计 算 内力矩的和 mi
mj
ri
rj
Fij
Fji
O
Fij + Fji = 0
mo(Fij) + mo(Fji)
= ri ? Fij + rj ? Fji
= (ri - rj) ? Fij ? 0 ?? mo( Fii ) = 0
把上式代入 (2)式得,
e
o
e
io
O MFm
dt
Ld
?? ? )(
(3)
24
讨 论,(a)若 Moe = 0,则 LO = C(恒矢量 )
(b)若 Mze = 0,则 Lz = C(恒量 )
e
z
z
e
y
y
e
x
x
M
dt
dL
M
dt
dL
M
dt
dL
?
?
?在直角坐标系中 (3)的投影式为,
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
25
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
(1)刚体对轴的转动惯量
Jz = ?miri2 Jc = ?miri2
(2)平行轴定理
Jz = Jc + Md 2
(3)刚体定轴转动微分方程
e
z
z M
dt
dL ? Jz? = Mz
26
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
LO = Lc + rc? P
dt
PdrP
dt
rd
dt
Ld
dt
Ld
c
cco ?????
(4)
e
ii
e
o
o FrM
dt
Ld
??? ?
(5)
e
c
c Rr
dt
Ld ??? ???? e
ic
c Fr
dt
Ld
27
联 立 (4)(5)式得,
?? ???? eiceiic FrFrdt Ld
即, e
c
c M
dt
Ld
?
(6)
e
cM?
e
ii Fr ??? ?
28
在直角坐标系中 (6)式的投影式为,
e
cz
cz
e
cy
cy
e
cx
cx
M
dt
dL
M
dt
dL
M
dt
dL
?
?
?
由 于 Lc = Lcr故在应用 (6)式时一般都计算
质点系的相对运动对质心的动量矩,
29
例 题 12-7,质量为 M半径为 2r
的均质滑轮绕固定轴 O转动,
质量分别为 m1和 m2的物体 A
和 B悬挂于定滑轮上,如图所
示,求,(1) 定滑轮的角加速度 ;
(2)定滑轮所受的约束反力 T.
O
A
B
30
O
A
B
解, (1) LO = LOO + LOA + LOB
vA = vB = R?
vB
?
LOA = m1R vA = 4m1r2?
LOB = m2R vB = 4m2r2?
LOO = 0.5M(2r)2 ?= 2Mr2 ?
LO = 2Mr2 ? + 4m1r2? + 4m2r2?
= 2r2 (M + 2m1 + 2m2) ?
31
计 算 外力对 O点的主矩
Mze = (m1 - m2)gR
2r2(M + 2m1 + 2m2) ? = 2r(m1 - m2)g
e
z
z M
dt
dL ?
)22(
)(
21
21
mmMr
gmm
??
???
O
A
B
vB
?
= 2r(m1 - m2)g
m1g
m2g
Mg
XO
YO
32
O
A
B
(2)在图示 平 面 选一点 D.
LD = LDO + LDA + LDB
D
mi
riLDO = ?(R + ri) ? mivi
= R ??mivi + ? ri ? mivi
= ? ri ? mivi = LOO
LDA = 0
LDB = 2m2R vB= 8m2r2?
LD = 2r2 (M+ 4m2)?
33
计 算 外力对 D点的主矩,
Mze = 2r(T - Mg - 2m2 g)
e
z
z M
dt
dL ?
2r2(M+4m2) ? = 2r(T - Mg - 2m2 g)
g
mmM
mmmmMMgT
21
2121
22
8)(
??
????
O
A
B
vB
?
m1g
m2g
Mg
XO
YO
D
34
例 题 12-8,质量均为 m长度均
为 l 的直杆 OD和 AB在 D点刚
接,且 AD=DB,如图所示, 求系
统对垂直于图面且过 O 点的
轴的转动惯量,
O
A B
D
35
解, JO = JOD + JAB
2
3
1 mlJ
OD ?
222
12
13)(
12
1 mlODmmlJ
AB ???
222
12
17
12
13
3
1 mlmlmlJ
O ???
O
A B
D
36
例 题 12-9.质量为 m长度为 l
的均质直杆 OA和质量为 m
半径为 R的均质园盘 A在 A
点刚接,如图所示,求系统对
垂直于图面且过 O 点的轴
的转动惯量,
O
A R
37
解, JO = JOA + JA
2
3
1 mlJ
OA ?
22 )(
2
1 OAmmRJ
A ??
22
2
1
3
4 mRmlJ
O ??
O
A R
22
2
1 mlmR ??
38
例 题 12-10.质量为 m长度为 l
的均质杆 AB的一端靠在光
滑的墙面 OA 上,另一端靠
在光滑的地面 OB上,如图所
示,图示瞬时杆 AB的角速度
为 ?.求杆 AB对 O点的动量矩,
?
O
A
B
?
39
?
O
A
B
?
解, LO = rc? P + Lc
C
vc
kmlL c ?? 2
12
1
rc = 0.5l (i cos? + j sin?)
vc = ?k ?0.5l (- i cos? - j sin? )
= 0.5?l (i sin? - j cos? )
rc?P = 0.5l (icos?+jsin?)?0.5m?l(isin?-jcos?)
= - 0.25m?l2 k
kmlL o ??? 261
I
rc
40
例 题 12-11.图示椭圆规尺 AB
的质量为 2m1,曲柄 OC的质
量为 m1,而滑块 A和 B的质量
均为 m2.已知 OC=AC=CB=l,
曲柄和尺的质心分别在其中
点上,曲柄绕 O轴转动的角速
度 ?为常量,求图示瞬时系统
对 O点的动量矩,
O B
?
C
A
?t
41
解,系统由四个物体组成,
椭圆规尺 AB作平面运动,瞬心为 I.
O B
?
C
A
?t
I
IC = OC = l
vC
vA
?? lvC
OBOAO A BOOCO LLLLL ????
?? 2131 lmL O O C
????? 2121 612121 lmlmL C A B
P = 2m1l?
0?? OBOA LL
vB
POCLL C A BO A B ???
??? AB
??? 212 lmPOC
?? 21613 lmL O A B ?? 21615 lmL O
42
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
O
x
y
C x'
y'
图 1-1
S
F1 F2
F3F
n
1.刚体平面运动微分方程 图 1-1的平面图形 S是过
平面运动刚体质心 C的对
称平面,
在 S平面内受有外力系
F=(F1,F2,… Fn)作用,设
Cx?y?为原点固接于质心
C的平动坐标系,
刚体的运动可分解为随质心 C的平动和
相对于坐标系 Cx? y?的转动,
43
应 用 质心运动定理和 相对于 质心的动量
矩定理得,
MaC = Re = ?Fie (1)
dt
dLC
= Mce = ? mC(Fie) (2)
其中 M为刚体的质量,aC为质心的加速度,
把 (1)式分别向 x和 y轴投影,把 (2)式向 z?(z)
轴投影得,
44
上述三式即称为刚体平面运动的微分
方程,
其 中 Jc为刚体对于过质心 C且垂直于
运动平面的轴的转动惯量,
cx??
M = Fx (1)
cy??
M = Fy (2)
Jc? = Mecz (3)
45
例 题 12-12,均质直杆 AB
长 l,质量为 M,静止于光
滑水平面上如图所示,若
突然把绳 OA 剪断,求此
瞬时点 B 的加速度和杆
AB的角加速度,
A
B
C
O
?
46
解,取 AB杆为研究对象进行运动分析
?AB = 0
aB= aC + a?BC + anBC (1)
anBC = 0
a?BC
?
把 (1)式分别向 x y 轴投影得,
0 = + (4)
cy? ?? s in21 l
cx??
- aB = (3)
??? c o s21 l
??? la BC 21
(2)
A
B
C
O
?
47
A
B
C
O
?
联立 (4) (6) (7)式得,
联立 (3) (5)式得,
M = 0 (5)
cx??
M = N - Mg (6)
cy??
???
???
2s i n61(
s i n6
l
g
????
???
2s i n
c o ss i n3 g
Ba
(7)
??? ?? s i n2121 NlMl
N
Mg
对 AB进行受力 分 析 并应用平面运动微分方程得,
48
例 题 12-13,质量为 M长为 l
的均质杆 AB用等长的细绳
悬挂静止如图所示,若突然
把绳 O2B剪断,求此瞬时绳
O1A的拉力 T为多少,
O1 O2
A BC
?
49
aC = aA+a?CA (1)
?
y
x
cy??
= (2)
?l21
把 (1)式向 y轴投影得,
??? la CA 21
解,取杆为研究对象进行运动分析,
剪断 O2B的瞬时
?AB= 0 aA= 0 O1 O2
A BC
?
?CAa
50
对 AB进行受力 分 析 并应用平面运动微分方程得,
联立 (2) (3) (4)式得,
T
Mg
(3)
cyMTMg ????
MgT 41?
(4)
TlMl ????2121
?
y
x
O1 O2
A BC
?
51
例 题 12-14.滑轮 C质量为 M,
可视为均质圆盘,轮上绕以
细绳,绳的一端固定于 O点,
求滑轮下降时轮心 C 的加
速度和绳的拉力 T.
O
C
52
O
C
解,取滑轮为研究对象进行运动分析,滑轮
作平面运动,轮心作直线运动
x Mg
T
(1)
?? Rx c??
对滑轮进行受力分析并应用平面
运动微分方程得,
(2)
cxMTMg ????
TRMR ??221
(3)
联立 (1) (2) (3)式得,
MgT 31? ga c 32?
53
例 题 12-15.均质圆柱 C质
量为 M,半径为 R,无初速
的放在倾角为 ? 的斜面
上,不计滚动阻力,求其
中心 C 点的加速度和圆
柱的角加速度, ?
C
54
?
C
解,(1)设接触处是光滑的,
Mecz= 0
?? s i nMgxM c??
N - M g cos? = 0
联立上述各式得,
?? s ingx c??
? = 0
x
y
N Mg
55
(2)设接触处是 粗 糙 的,圆柱作纯滚动,
画受力图并应用平面运动微分方程得,
F
联立上述各式得,
N - M g cos? = 0
FRMR ??221
FMgxM c ?? ?s i n??
?? Rx c??
?s in32 gx c ??? ??? s in
3
2
R
g
?
C
x
y
N Mg
56
F
?
C
x
y
N Mg
(3)设接触处有 摩 擦 但圆柱不能作纯滚动,
画受力图并应用平面运动微分方程得,
FRMR ??221
FMgxM c ?? ?s i n??
N - M g cos? = 0
F = f N
联立上述各式得,
??? ?? c o s( s i n fgx c?? ??? c o s2 fgR
57
例 题 12-16,小车上放一半径为 R质量为 M 的钢管
(钢管厚度计 ),钢管与车面间有足够的摩擦力防止
滑动,今小车以加速度 a向右运动,不计滚动摩擦求
钢管中心 C的加速度,
a
C
58
a
C解,取钢管为研究对象进行
运动分析,
把动系固接在小车上,则
钢管的相对运动为纯滚动,
I为瞬心,
I
ac = ae+ ar
ae = a ar = -R ?
ac = a - R ? (1)
59
取 钢 管 为研究对象进行受力
分析并画受力图,
M (a -R?) = F (2)
MR2 ? = F R (3)
联立 (1) (2) (3)式得,
Ra2??
aa c 21?
a
C
I
Mg
N
F
60
例 题 12-17,均质圆柱体 O 和
C的质量均为 M,半径相等,圆
柱 O可绕通过点 O 的水平轴
转动, 一绳绕在圆柱 O上,绳
的另一端绕在圆柱 C上, 求圆
柱下落时,其质心 C 的加速度
及 AB段绳的拉力 T.
O
C
A
B
61
vA= vB = R ?O aA = aB = R ?O
vC = vB + vCB vC = R(?O + ?C)
aC = aB + aCB
aC = R (?O + ?C ) (1)
把平动坐标系固结在细绳的 AB
段则圆柱 C的相对运动是纯滚动,
点 B为瞬心,分别取细绳的 A点 B点
和质心 C为动点得,
解, (1)取系统为研究对象进行运动分析,
O
C
A
B
62
O
C
A
B
分别取两 圆 柱 为研究对象画
受力图,其 中 TA = TB = T
TA R = MR2 ?O /2 = TR (2)
TB R = MR2 ?C /2 = TR (3)
Mg - T = M aC (4)
联立 (1)----(4)式得,
aC = 0.8 g
T = 0.2 Mg
TA
TB
Mg
RO
Mg
63
(2)取 系 统 为研究对象
ooo MRL ??
2
2
1
? ?cococ MRMRL ?????? 22 221
)(25 2 coo MRL ????
)( coc Ra ???? R M gM eo 2?
e
o
o M
dt
dL ? aC = 0.8 g
O
C
A
B
Mg
RO
Mg rc
Lo = Loo + Loc
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
§ 12-2 动量矩定理
例题
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
例题
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
例题
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
例题
返回
第十二章 动量矩定理
动力学
2
§ 12-1质点和质点系的动量矩
(1)质点的动量矩
O
A
mv
r质量为 m的质点 A,t 时刻速度为 v,O为空间
任一固定点,则动量 mv 对 O点的矩定义为质
点的动量矩,
LO = r ? mv
LO
对过 O点任一轴的矩为,LOl = lo· (r ? mv)
3
在直角坐标系中动量矩的 表 式 为,
zmymxm
zyx
kji
L
O
???
?
? ?
? ?
? ?xyyxmL
zxxzmL
yzzymL
z
y
x
??
??
??
??
??
??
4
(2)质 点 系的动量矩
1.质点系对固定点的动量矩
O Airi
miviLOiLO = ?Loi
= ?ri? mivi
Loi组成一共点矢量系,可应用合矢量投
影定理计算 LO
Lz = ?Lzi
5
2.质点系的绝对运动对动 质 心 的动量矩
O
x
y
z
c
x? y?
z?
ri
rc r?i
Mi
Lc =?Lci =?r?i
?mivi
ri = rc + r?i
vi = vc + vri
LO = ?ri? mivi = ? (rc + r?i)? mivi
= ?rc? mivi +? r?i? mivi
= rc? P + Lc
6
3.质点系的 相 对 运动对动质心的动量矩
Lcr = ? Lcri = ?r?i? mivri
Lc =?r?i?mivi = ?r?i? mi(vc + vri)
= (?mir?i ) ? vc + ?r?i?mivri
= Lcr
LO = rc? P + Lc= rc? P + Lcr
当 rc??P 时,LO = Lc = Lcr
7
例 题 12-1.边长为 a 质量为 m的正方体沿平直轨道
滑动如图所示,已知质心 C的速度为 v,求, (1) 正方
体对轨道上固定点 O的动量矩 ; (2) 正方体的绝对
运动对质心 C的动量矩 ; (3) 正方体的相对运动对
质心 C的动量矩,
C v
O
8
C v
O
解,建立直角
坐标系 Oxy x
y
(1)LO = ? ri? mivi
(2) Lc =?r?i? mivi
(3) vri = 0 Lcr = 0
= ( ?mi ri )?v = m rc?v
= - 0.5amvk
A
= ( ?mi r?i )?v = 0
rc
9
例 题 12-2.有对称面的刚体绕垂直于对称面的轴以角
速度 ?转动,求,刚体对轴的动量矩,
x
yO
? mi
ri
解,取坐标如图,
vi =?? ri = ?k ? (xi i +yi j)
= ?( -yi i +xi j )
LO = ?ri? mivi
=?(xi i+yi j )?mi?( -yi i +xi j )
= ?k ?mi (xi2+yi2 ) = Jz?k
Lz = Jz?
10
例 题 12-3.有对称面的刚体
在平行于对称面的平面内
作平面运动,角速度为 ?.求,
刚体对过质心且垂直于对
称面的轴的动量矩,
C
?
11
解,取坐标如图
C
?
x?
y?
mi
r?ivri =?? r?i =?k?(xi? i +yi? j)
= ?( -yi? i +xi? j )
Lcr = ?r?i? mivri
= ?(xi? i +yi? j)?mi?( -yi? i +xi? j )
= ?k ?mi (xi?2+yi?2 ) = JC?k = Lc
Lcz = JC?
12
例 题 12-4.如图所示,一双单摆在
Oxy 平面内振动,在图示瞬时角
速度 ?1 = 5rad/s,?2 = 10rad/s.
如质点 A,B的质量 m1 = m2 = 5kg
OA=AB =1m.求在该瞬时质点系
对 O点的动量矩,
(sin?1= 0.6 ; sin?2= 0.8)
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
13
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
解,(1)应用 LO = ?Loi= ? ri ? mivi
r1 = 0.8i + 0.6 j
r2 = 1.4i + 1.4 j
v1 = ?1? r1
v2 = v1 + v21
= 5k ? (0.8i + 0.6 j)
= -3i + 4 j
r1
r2
= ?1? r1 + ?2 ? (AB)
= -3i + 4 j +10k ? (0.6i + 0.8 j ) = -11i + 10 j
LO = r1? m1v1 + r2? m2v2
=(0.8i+0.6 j)?5(-3i+4 j)+(1.4i +1.4 j)?5(-11i +10 j)
= 172 k
14
(2)应 用 LO = rc ? P + Lc
rc = 1.1 i + j
P = m1v1 + m2v2 = -70i + 70 j
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
C
rc
r?2 = 0.3i + 0.4 j
r?1 = - 0.3i - 0.4 j r1′
r2′
Lc = r?1 ? m1v1 + r?2 ? m2v2 = 25k
rc?P = (1.1i+ j) ? (-70i + 70 j) = 147 k
LO = 25k + 147 k = 172k
15
例 题 12-5,如图所示,一双复摆
在 Oxy平面内振动,在图示瞬时,
角速度 ?1= 5rad/s,?2=10rad/s.
如杆 OA,AB的质量 m1=m2= 6kg
OA = AB =1m.求在该瞬时质点
系对 O点的动量矩,
(sin?1= 0.6 ; sin?2= 0.8)
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
16
解,系统由二个物体组成,
LO2 = rc? P + Lcr
1
2
1 3
1 ?? mlL
O
vC = v1 + vC1
1051631 2 ?????
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
C
LO = LO1 + LO2
OA杆作定轴转动,
AB杆作平面运动 C为质心,
= ?1 ? r1+ ?2 ? (AC)
= -3i + 4 j +10k ? (0.3i + 0.4 j )= -7i +7 j
17
计 算 AB杆对 O点的动量矩,
rc? P =(1.1 i + j)?(-42i +42 j)
= 88.2 k
2
2
12
1 ?? mlL
cr 5101612
1 2 ?????
k·( rc? P ) = 88.2 LO2 = 88.2 + 5 = 93.2
LO = 10 + 93.2 = 103.2
rc =1.1 i + j P = -42i +42 j
x
y
O
A
B
?1
?2
?1
?2
C
rc
18
例 题 12-6,均质圆柱体 O和 C
的质量均为 m,半径相等均为
r.圆柱 O 可绕通过点 O 的水
平轴转动,一绳绕在圆柱 O上,
绳的另一端绕在圆柱 C上,求
圆柱下落其角速度分别为 ?1
和 ?2时系统对 O点的动量矩,
O
C
A
B
?1
?2
19
O
C
A
B
?1
?2
解,圆柱体 O作定轴转动,
圆柱体 C作平面运动 B为瞬心 (相对 ).
LO = LOO + LOC
1
2
2
1 ?? mrL
OO
LOC = rc ? P + Lcr
vC = vB + vCB= r?1 + r?2
vC
2
2
2
1 ?? mrL
Cr
rc
BCABOAr C ??? )(2
21
2 ????? mrPr
C
)5.22( 212 ???? mrL OC
)(5.2 212 ???? mrL OO
20
§ 12-2 动量矩定理
(1)质点的动量矩定理 LO = r ? mv
? ?vmr
dt
d
dt
Ld O ??
)( Fm
dt
Ld
o
O ?
(1)
? ?
dt
vmdrvm
dt
rd ????
Frvmv ???? )( Fm o?
21
讨 论, (a)若 mo(F) = 0,则 LO = C(恒矢量 )
(b)若 mz(F) = 0,则 Lz = C(恒量 )
在直角坐标系中 (1)的投影式为,
)(
)(
)(
Fm
dt
dL
Fm
dt
dL
Fm
dt
dL
z
z
y
y
x
x
?
?
?
22
(2)质点系的动量矩 定 理
设有 n个质点组成的质点系,取第 i个质点,
)()()( iioeioioOi FmFmFm
dt
Ld
???
这样的方程有 n个,求和得,
)()( iioeioO FmFm
dt
Ld ??
??
(2)
23
计 算 内力矩的和 mi
mj
ri
rj
Fij
Fji
O
Fij + Fji = 0
mo(Fij) + mo(Fji)
= ri ? Fij + rj ? Fji
= (ri - rj) ? Fij ? 0 ?? mo( Fii ) = 0
把上式代入 (2)式得,
e
o
e
io
O MFm
dt
Ld
?? ? )(
(3)
24
讨 论,(a)若 Moe = 0,则 LO = C(恒矢量 )
(b)若 Mze = 0,则 Lz = C(恒量 )
e
z
z
e
y
y
e
x
x
M
dt
dL
M
dt
dL
M
dt
dL
?
?
?在直角坐标系中 (3)的投影式为,
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
25
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
(1)刚体对轴的转动惯量
Jz = ?miri2 Jc = ?miri2
(2)平行轴定理
Jz = Jc + Md 2
(3)刚体定轴转动微分方程
e
z
z M
dt
dL ? Jz? = Mz
26
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
LO = Lc + rc? P
dt
PdrP
dt
rd
dt
Ld
dt
Ld
c
cco ?????
(4)
e
ii
e
o
o FrM
dt
Ld
??? ?
(5)
e
c
c Rr
dt
Ld ??? ???? e
ic
c Fr
dt
Ld
27
联 立 (4)(5)式得,
?? ???? eiceiic FrFrdt Ld
即, e
c
c M
dt
Ld
?
(6)
e
cM?
e
ii Fr ??? ?
28
在直角坐标系中 (6)式的投影式为,
e
cz
cz
e
cy
cy
e
cx
cx
M
dt
dL
M
dt
dL
M
dt
dL
?
?
?
由 于 Lc = Lcr故在应用 (6)式时一般都计算
质点系的相对运动对质心的动量矩,
29
例 题 12-7,质量为 M半径为 2r
的均质滑轮绕固定轴 O转动,
质量分别为 m1和 m2的物体 A
和 B悬挂于定滑轮上,如图所
示,求,(1) 定滑轮的角加速度 ;
(2)定滑轮所受的约束反力 T.
O
A
B
30
O
A
B
解, (1) LO = LOO + LOA + LOB
vA = vB = R?
vB
?
LOA = m1R vA = 4m1r2?
LOB = m2R vB = 4m2r2?
LOO = 0.5M(2r)2 ?= 2Mr2 ?
LO = 2Mr2 ? + 4m1r2? + 4m2r2?
= 2r2 (M + 2m1 + 2m2) ?
31
计 算 外力对 O点的主矩
Mze = (m1 - m2)gR
2r2(M + 2m1 + 2m2) ? = 2r(m1 - m2)g
e
z
z M
dt
dL ?
)22(
)(
21
21
mmMr
gmm
??
???
O
A
B
vB
?
= 2r(m1 - m2)g
m1g
m2g
Mg
XO
YO
32
O
A
B
(2)在图示 平 面 选一点 D.
LD = LDO + LDA + LDB
D
mi
riLDO = ?(R + ri) ? mivi
= R ??mivi + ? ri ? mivi
= ? ri ? mivi = LOO
LDA = 0
LDB = 2m2R vB= 8m2r2?
LD = 2r2 (M+ 4m2)?
33
计 算 外力对 D点的主矩,
Mze = 2r(T - Mg - 2m2 g)
e
z
z M
dt
dL ?
2r2(M+4m2) ? = 2r(T - Mg - 2m2 g)
g
mmM
mmmmMMgT
21
2121
22
8)(
??
????
O
A
B
vB
?
m1g
m2g
Mg
XO
YO
D
34
例 题 12-8,质量均为 m长度均
为 l 的直杆 OD和 AB在 D点刚
接,且 AD=DB,如图所示, 求系
统对垂直于图面且过 O 点的
轴的转动惯量,
O
A B
D
35
解, JO = JOD + JAB
2
3
1 mlJ
OD ?
222
12
13)(
12
1 mlODmmlJ
AB ???
222
12
17
12
13
3
1 mlmlmlJ
O ???
O
A B
D
36
例 题 12-9.质量为 m长度为 l
的均质直杆 OA和质量为 m
半径为 R的均质园盘 A在 A
点刚接,如图所示,求系统对
垂直于图面且过 O 点的轴
的转动惯量,
O
A R
37
解, JO = JOA + JA
2
3
1 mlJ
OA ?
22 )(
2
1 OAmmRJ
A ??
22
2
1
3
4 mRmlJ
O ??
O
A R
22
2
1 mlmR ??
38
例 题 12-10.质量为 m长度为 l
的均质杆 AB的一端靠在光
滑的墙面 OA 上,另一端靠
在光滑的地面 OB上,如图所
示,图示瞬时杆 AB的角速度
为 ?.求杆 AB对 O点的动量矩,
?
O
A
B
?
39
?
O
A
B
?
解, LO = rc? P + Lc
C
vc
kmlL c ?? 2
12
1
rc = 0.5l (i cos? + j sin?)
vc = ?k ?0.5l (- i cos? - j sin? )
= 0.5?l (i sin? - j cos? )
rc?P = 0.5l (icos?+jsin?)?0.5m?l(isin?-jcos?)
= - 0.25m?l2 k
kmlL o ??? 261
I
rc
40
例 题 12-11.图示椭圆规尺 AB
的质量为 2m1,曲柄 OC的质
量为 m1,而滑块 A和 B的质量
均为 m2.已知 OC=AC=CB=l,
曲柄和尺的质心分别在其中
点上,曲柄绕 O轴转动的角速
度 ?为常量,求图示瞬时系统
对 O点的动量矩,
O B
?
C
A
?t
41
解,系统由四个物体组成,
椭圆规尺 AB作平面运动,瞬心为 I.
O B
?
C
A
?t
I
IC = OC = l
vC
vA
?? lvC
OBOAO A BOOCO LLLLL ????
?? 2131 lmL O O C
????? 2121 612121 lmlmL C A B
P = 2m1l?
0?? OBOA LL
vB
POCLL C A BO A B ???
??? AB
??? 212 lmPOC
?? 21613 lmL O A B ?? 21615 lmL O
42
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
O
x
y
C x'
y'
图 1-1
S
F1 F2
F3F
n
1.刚体平面运动微分方程 图 1-1的平面图形 S是过
平面运动刚体质心 C的对
称平面,
在 S平面内受有外力系
F=(F1,F2,… Fn)作用,设
Cx?y?为原点固接于质心
C的平动坐标系,
刚体的运动可分解为随质心 C的平动和
相对于坐标系 Cx? y?的转动,
43
应 用 质心运动定理和 相对于 质心的动量
矩定理得,
MaC = Re = ?Fie (1)
dt
dLC
= Mce = ? mC(Fie) (2)
其中 M为刚体的质量,aC为质心的加速度,
把 (1)式分别向 x和 y轴投影,把 (2)式向 z?(z)
轴投影得,
44
上述三式即称为刚体平面运动的微分
方程,
其 中 Jc为刚体对于过质心 C且垂直于
运动平面的轴的转动惯量,
cx??
M = Fx (1)
cy??
M = Fy (2)
Jc? = Mecz (3)
45
例 题 12-12,均质直杆 AB
长 l,质量为 M,静止于光
滑水平面上如图所示,若
突然把绳 OA 剪断,求此
瞬时点 B 的加速度和杆
AB的角加速度,
A
B
C
O
?
46
解,取 AB杆为研究对象进行运动分析
?AB = 0
aB= aC + a?BC + anBC (1)
anBC = 0
a?BC
?
把 (1)式分别向 x y 轴投影得,
0 = + (4)
cy? ?? s in21 l
cx??
- aB = (3)
??? c o s21 l
??? la BC 21
(2)
A
B
C
O
?
47
A
B
C
O
?
联立 (4) (6) (7)式得,
联立 (3) (5)式得,
M = 0 (5)
cx??
M = N - Mg (6)
cy??
???
???
2s i n61(
s i n6
l
g
????
???
2s i n
c o ss i n3 g
Ba
(7)
??? ?? s i n2121 NlMl
N
Mg
对 AB进行受力 分 析 并应用平面运动微分方程得,
48
例 题 12-13,质量为 M长为 l
的均质杆 AB用等长的细绳
悬挂静止如图所示,若突然
把绳 O2B剪断,求此瞬时绳
O1A的拉力 T为多少,
O1 O2
A BC
?
49
aC = aA+a?CA (1)
?
y
x
cy??
= (2)
?l21
把 (1)式向 y轴投影得,
??? la CA 21
解,取杆为研究对象进行运动分析,
剪断 O2B的瞬时
?AB= 0 aA= 0 O1 O2
A BC
?
?CAa
50
对 AB进行受力 分 析 并应用平面运动微分方程得,
联立 (2) (3) (4)式得,
T
Mg
(3)
cyMTMg ????
MgT 41?
(4)
TlMl ????2121
?
y
x
O1 O2
A BC
?
51
例 题 12-14.滑轮 C质量为 M,
可视为均质圆盘,轮上绕以
细绳,绳的一端固定于 O点,
求滑轮下降时轮心 C 的加
速度和绳的拉力 T.
O
C
52
O
C
解,取滑轮为研究对象进行运动分析,滑轮
作平面运动,轮心作直线运动
x Mg
T
(1)
?? Rx c??
对滑轮进行受力分析并应用平面
运动微分方程得,
(2)
cxMTMg ????
TRMR ??221
(3)
联立 (1) (2) (3)式得,
MgT 31? ga c 32?
53
例 题 12-15.均质圆柱 C质
量为 M,半径为 R,无初速
的放在倾角为 ? 的斜面
上,不计滚动阻力,求其
中心 C 点的加速度和圆
柱的角加速度, ?
C
54
?
C
解,(1)设接触处是光滑的,
Mecz= 0
?? s i nMgxM c??
N - M g cos? = 0
联立上述各式得,
?? s ingx c??
? = 0
x
y
N Mg
55
(2)设接触处是 粗 糙 的,圆柱作纯滚动,
画受力图并应用平面运动微分方程得,
F
联立上述各式得,
N - M g cos? = 0
FRMR ??221
FMgxM c ?? ?s i n??
?? Rx c??
?s in32 gx c ??? ??? s in
3
2
R
g
?
C
x
y
N Mg
56
F
?
C
x
y
N Mg
(3)设接触处有 摩 擦 但圆柱不能作纯滚动,
画受力图并应用平面运动微分方程得,
FRMR ??221
FMgxM c ?? ?s i n??
N - M g cos? = 0
F = f N
联立上述各式得,
??? ?? c o s( s i n fgx c?? ??? c o s2 fgR
57
例 题 12-16,小车上放一半径为 R质量为 M 的钢管
(钢管厚度计 ),钢管与车面间有足够的摩擦力防止
滑动,今小车以加速度 a向右运动,不计滚动摩擦求
钢管中心 C的加速度,
a
C
58
a
C解,取钢管为研究对象进行
运动分析,
把动系固接在小车上,则
钢管的相对运动为纯滚动,
I为瞬心,
I
ac = ae+ ar
ae = a ar = -R ?
ac = a - R ? (1)
59
取 钢 管 为研究对象进行受力
分析并画受力图,
M (a -R?) = F (2)
MR2 ? = F R (3)
联立 (1) (2) (3)式得,
Ra2??
aa c 21?
a
C
I
Mg
N
F
60
例 题 12-17,均质圆柱体 O 和
C的质量均为 M,半径相等,圆
柱 O可绕通过点 O 的水平轴
转动, 一绳绕在圆柱 O上,绳
的另一端绕在圆柱 C上, 求圆
柱下落时,其质心 C 的加速度
及 AB段绳的拉力 T.
O
C
A
B
61
vA= vB = R ?O aA = aB = R ?O
vC = vB + vCB vC = R(?O + ?C)
aC = aB + aCB
aC = R (?O + ?C ) (1)
把平动坐标系固结在细绳的 AB
段则圆柱 C的相对运动是纯滚动,
点 B为瞬心,分别取细绳的 A点 B点
和质心 C为动点得,
解, (1)取系统为研究对象进行运动分析,
O
C
A
B
62
O
C
A
B
分别取两 圆 柱 为研究对象画
受力图,其 中 TA = TB = T
TA R = MR2 ?O /2 = TR (2)
TB R = MR2 ?C /2 = TR (3)
Mg - T = M aC (4)
联立 (1)----(4)式得,
aC = 0.8 g
T = 0.2 Mg
TA
TB
Mg
RO
Mg
63
(2)取 系 统 为研究对象
ooo MRL ??
2
2
1
? ?cococ MRMRL ?????? 22 221
)(25 2 coo MRL ????
)( coc Ra ???? R M gM eo 2?
e
o
o M
dt
dL ? aC = 0.8 g
O
C
A
B
Mg
RO
Mg rc
Lo = Loo + Loc
