1
§ 6-1 矢量法
§ 6-2 直角坐标法
§ 6-3 自然法
例题
返回
第六章 点的运动学
运动学
2
第六章 点的运动学
(1)运动方程
o
r
r'
M
M'
?r
A
B设动点 M在空间作
曲线运动,任选某固定点
O为参考点,则动点 M在某瞬时 t 的位置,可由定点 O
向动点 M所引的矢径 r表示,显然矢径 r是个变矢量,
并可表示为 t的单值连续矢函数,即动点以矢径表示
的运动方程,
(2)位移 —— ?r dr = d(rro) = rodr + rdro
§ 6-1 矢量法
r = r(t)
3
(3)速 度 ——
r
dt
rdv ????
dt
rdr
dt
drrv 00 ??
讨论, 若 0?
dt
dr 则对应点的平面圆周运动
或点的空间球面运动,
若 00 ?
dt
rd 则对应点的直线运动,
(4)加速度 ——
r
dt
vd
a ??
?
??
4
§ 6-2 直角坐标法
(1)运动方程,
x = f1 (t)
y = f2 (t)
z = f3 (t)
(2)位移 —— dr = idx + jdy + kdz
(3)速度 —— v = i + j + kx? y? z? = i vx + j vy + k vz
(4)加速度 —— a = i + j + kx? y? z?
= i ax + j ay + k az
5
例 题 6-1.从水面上方高 20m的岸上一点 D,用长
40m 的绳索系住一船 B,今在 D 处以匀速 u = 3m/s
将绳抽拉,使船靠岸,求在 t = 5s时,船的速度的大小,
20m
u
B A
D
6
解, (1)矢量法
20m
u
B
A
D
B'
r r'
?r ?
取 D为参考点
A'
DB = 40 m
DA' = 20 m
DB' = 40 - ut
= 40 - 3× 5
= 25 m
cos? = 0.6
56.0 3c o s ???? uv
?B'
u
v
D
7
(2)直角 坐 标 法
20m
u
B A
D
A'
x
取 A'为原点,建立
坐标,
? ? 22 2040 ??? utx ? ?
? ? 22 2040
40
??
????
ut
uutxv ?
当 t = 5s 时 v = 5
8
例 题 6-2,物块 B以匀加
速 aB = 10m/s2向上运动,
在图示瞬时,物块 B比
物块 A低 30m,且两物
块的速度都为零, 求当
物块 A 与 B 达到同一
高度时,两物块的速度,
A
B
O1
O2
9
A
B
O1
O2
解,建立如图坐标,
x
2 x1 + xB = c
t = 0 0
1 ?? Bxx ??
xB = - 5t2 + c2 (1)
xA = 2.5t2 + c'2 (2)
当 t = 0联立 (1)(2)得, c2 - c'2 =30
当 xB = xA时联立 (1)(2)得, t = 2s
代入 (1)(2)得, vA =10m/s vB = -20m/s
02 ?? BA xx ??
3010 ???? ABB xxx??
xA - x1 = c'
02 ?? BA xx ????
10
§ 6-3 自然法
(1)运动方程 —— s = s(t)
(2)位移 —— ? ds
(3)速度 —— v = ? ?
sdtds ??
(4)加速度 —— a = n an+ ? a?
?
?
??
?
2
v
a
s
dt
dv
a
n
??
O
M
s
11
例 题 6-3,在半径 R为 10cm的铁圈上套一小环 M,有
杆 OA穿过环 M并绕铁圈上一点 O转动,其角速度相
当于 5s内转一直角, 求小环速度 v和加速度 a的大小,
O
A
M
R
12
O
A
M
R
D?
s = 2R?
????
?
?? 1.0?
sv ??
sa ????
?
?
2v
a n
22 /4.0 scma ??
过 O点作水平线与园环交
于 D并取为自然坐标的原点,
解,(1)自然坐标法
scm /2 ????????? 1.0?? ?R2
?? ??R2 0?
R
s2?? ? ? 222 /4.0
10
2 scm????
s
13
O
A
M
R
(2)直角 坐 标 法
D x
y
取坐标如图,
x = Rcos2? y = Rsin2?
??? 1.0?
???? 2s in2 ?? Rx ??? 2c o s2 ?? Ry
scmRyxv /21.0222 ????????????? ???
??????? 2c o s42s i n2 2????? RRx
???? 2s i n4 2??? Ry
22222 /4.04 scmRyxa ?????? ?????
???? 2c os4 2?R
14
例 题 6-4.一动点在半径为 1m的圆
周上按 v =b- ct 的规律运动,其中 v
以 m/s计,t以 s计,b 与 c为常数,已
知该点经过 A,B 两点时的速度
分别为 vA = 10 m/s 与 vB = 5 m/s.
A,B两点的位置如图所示, 求动
点从 A到 B的时间以及在 B点时的
加速度,
O AB
vA
vB
15
解, a? = - c动点作匀变速曲线运动,
由 vB2 - vA2 = 2a? s 得, 52 -102 = -2c?
??
5.37c
Atb ???
5.3710 (1)
联立 (1)(2)解得, tB - tA = 4.2s
22
nB aaa ?? ?
O AB
vA
vB
2/7.27 sm?
? ? 22
2
55.37 ??
?
??
?
?
?
??
(2)
Btb ???
5.375
§ 6-1 矢量法
§ 6-2 直角坐标法
§ 6-3 自然法
例题
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第六章 点的运动学
运动学
2
第六章 点的运动学
(1)运动方程
o
r
r'
M
M'
?r
A
B设动点 M在空间作
曲线运动,任选某固定点
O为参考点,则动点 M在某瞬时 t 的位置,可由定点 O
向动点 M所引的矢径 r表示,显然矢径 r是个变矢量,
并可表示为 t的单值连续矢函数,即动点以矢径表示
的运动方程,
(2)位移 —— ?r dr = d(rro) = rodr + rdro
§ 6-1 矢量法
r = r(t)
3
(3)速 度 ——
r
dt
rdv ????
dt
rdr
dt
drrv 00 ??
讨论, 若 0?
dt
dr 则对应点的平面圆周运动
或点的空间球面运动,
若 00 ?
dt
rd 则对应点的直线运动,
(4)加速度 ——
r
dt
vd
a ??
?
??
4
§ 6-2 直角坐标法
(1)运动方程,
x = f1 (t)
y = f2 (t)
z = f3 (t)
(2)位移 —— dr = idx + jdy + kdz
(3)速度 —— v = i + j + kx? y? z? = i vx + j vy + k vz
(4)加速度 —— a = i + j + kx? y? z?
= i ax + j ay + k az
5
例 题 6-1.从水面上方高 20m的岸上一点 D,用长
40m 的绳索系住一船 B,今在 D 处以匀速 u = 3m/s
将绳抽拉,使船靠岸,求在 t = 5s时,船的速度的大小,
20m
u
B A
D
6
解, (1)矢量法
20m
u
B
A
D
B'
r r'
?r ?
取 D为参考点
A'
DB = 40 m
DA' = 20 m
DB' = 40 - ut
= 40 - 3× 5
= 25 m
cos? = 0.6
56.0 3c o s ???? uv
?B'
u
v
D
7
(2)直角 坐 标 法
20m
u
B A
D
A'
x
取 A'为原点,建立
坐标,
? ? 22 2040 ??? utx ? ?
? ? 22 2040
40
??
????
ut
uutxv ?
当 t = 5s 时 v = 5
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例 题 6-2,物块 B以匀加
速 aB = 10m/s2向上运动,
在图示瞬时,物块 B比
物块 A低 30m,且两物
块的速度都为零, 求当
物块 A 与 B 达到同一
高度时,两物块的速度,
A
B
O1
O2
9
A
B
O1
O2
解,建立如图坐标,
x
2 x1 + xB = c
t = 0 0
1 ?? Bxx ??
xB = - 5t2 + c2 (1)
xA = 2.5t2 + c'2 (2)
当 t = 0联立 (1)(2)得, c2 - c'2 =30
当 xB = xA时联立 (1)(2)得, t = 2s
代入 (1)(2)得, vA =10m/s vB = -20m/s
02 ?? BA xx ??
3010 ???? ABB xxx??
xA - x1 = c'
02 ?? BA xx ????
10
§ 6-3 自然法
(1)运动方程 —— s = s(t)
(2)位移 —— ? ds
(3)速度 —— v = ? ?
sdtds ??
(4)加速度 —— a = n an+ ? a?
?
?
??
?
2
v
a
s
dt
dv
a
n
??
O
M
s
11
例 题 6-3,在半径 R为 10cm的铁圈上套一小环 M,有
杆 OA穿过环 M并绕铁圈上一点 O转动,其角速度相
当于 5s内转一直角, 求小环速度 v和加速度 a的大小,
O
A
M
R
12
O
A
M
R
D?
s = 2R?
????
?
?? 1.0?
sv ??
sa ????
?
?
2v
a n
22 /4.0 scma ??
过 O点作水平线与园环交
于 D并取为自然坐标的原点,
解,(1)自然坐标法
scm /2 ????????? 1.0?? ?R2
?? ??R2 0?
R
s2?? ? ? 222 /4.0
10
2 scm????
s
13
O
A
M
R
(2)直角 坐 标 法
D x
y
取坐标如图,
x = Rcos2? y = Rsin2?
??? 1.0?
???? 2s in2 ?? Rx ??? 2c o s2 ?? Ry
scmRyxv /21.0222 ????????????? ???
??????? 2c o s42s i n2 2????? RRx
???? 2s i n4 2??? Ry
22222 /4.04 scmRyxa ?????? ?????
???? 2c os4 2?R
14
例 题 6-4.一动点在半径为 1m的圆
周上按 v =b- ct 的规律运动,其中 v
以 m/s计,t以 s计,b 与 c为常数,已
知该点经过 A,B 两点时的速度
分别为 vA = 10 m/s 与 vB = 5 m/s.
A,B两点的位置如图所示, 求动
点从 A到 B的时间以及在 B点时的
加速度,
O AB
vA
vB
15
解, a? = - c动点作匀变速曲线运动,
由 vB2 - vA2 = 2a? s 得, 52 -102 = -2c?
??
5.37c
Atb ???
5.3710 (1)
联立 (1)(2)解得, tB - tA = 4.2s
22
nB aaa ?? ?
O AB
vA
vB
2/7.27 sm?
? ? 22
2
55.37 ??
?
??
?
?
?
??
(2)
Btb ???
5.375
