1
§ 11-1 动量与冲量
§ 11-2 动量定理
例题
§ 11-3 质心运动定理
例题
返回
第十一章 动量定理
动力学
2
§ 11-1 动量与冲量
(1)动量, P = m v
矢量性 ;瞬时性 ;相对性
(2)冲量, I = F t dI = F dt
??
2
1
t
t
dtFI
? ? ?? ? ?? i
t
t
i IdtFI
2
1
3
(1)质 点 的动量定理,
微分形式, dP = Fdt
积分形式,
IdtFPP
t
t
??? ?
2
1
12
(2)守恒定理,
若 F= 0 则 P = c (恒矢量 )
若 Fx= 0 则 Px = c (恒量 )
§ 11-2 动量定理
4
(3)质点系的动量定理
[1] 动量, P = ? mi vi
M
rm
m
rm
r ii
i
ii
c
?
?
? ??质心,
M
vm
v iic ??
质心速度,
P = M vc
5
[2] 动 量 定理,
设质点系有 n个质点,第 i个质点的质量
为 mi 速度为 vi ;外界物体对该质点作用的外
力为 Fi(e),质点系内其它质点对该质点作用
的内力为 Fi(i),则有, R(i) = ?Fi(i) = 0
dPi = Fi(e)dt + Fi(i)dt = dIi(e) + dIi(i)
积分形式, P2 - P1 = I(e)
微分形式, dP = R(e)dt
6
应 用 合矢量投影定理可将上两式投影
到任一轴上,
若 R(e) = 0 则 P = c (恒矢量 )
若 R(e)x = 0 则 Px = c (恒量 )
由上述可知,内力的主矢 R(i) = ?Fi(i) = 0即
内力对质点系的动量无影响 ;而外力的主矢
则影响质点系动量,即影响质心速度的变化,
[3]守恒定理,
7
11-3.质心运动定理
(1)运动定理, M ac = R(e)
? ?
? ?
? ?e
zc
e
yc
e
xc
RzM
RyM
RxM
?
?
?
??
??
??
(2)守恒定理,
若 R(e) = 0 则 vc = c (恒矢量 )
若 R(e)x = 0 则 vcx = c (恒量 )
8
例 题 11-1,图示椭圆规尺 AB
的质量为 2m1,曲柄 OC的质
量为 m1,而滑块 A和 B的质量
均为 m2.已知 OC=AC=CB=l,
曲柄和尺的质心分别在其中
点上,曲柄绕 O轴转动的角速
度 ?为常量,求图示瞬时系统
的动量,
O B
?
C
A
?t
9
解,系统由四个物体组成,
滑块 A和 B的质心与椭圆规尺 AB
的质心 C总是重合在一起,而 AB作
平面运动,瞬心为 I.
O B
?
C
A
?t
I
IC = OC = l
vC
vD
OA杆作定轴转动 D为质心,
D
?? lv D 21 ?? lvC
BAABOC PPPPP ????
?? lmP OC 121
?????? lmmmPPP BAAB )2( 221= 2(m1+m2)l?
P = (2.5m1 + 2m2)l?
10
例 题 11-2,在图示系统中,均质杆 OA,AB与均质轮
的质量均为 m,OA杆的长度为 l1,AB杆的长度为 l2,轮
的半径为 R,轮沿水平面作纯滚动,在图示瞬时,OA杆
的角速度为 ?,求整个系统的动量,
O
A
B
?
11
解,系统由三个物体组成,
O
A
B
?
OA杆作定轴转动 C为质心,
AB杆作瞬时平动,
轮作平面运动 B为质心,
C vC
vA
vB
BABOA PPPP ????? 121 lv C ??? 1lvv BA
?? 121 mlP OA ?? 1mlP AB ?? 1mlP B
???????? 1111 2521 mlmlmlmlP
12
例 题 11-3,小车重 W1= 2kN,车上有一装沙的箱重
W2=1kN,以 3.5km/h的速度在光滑直线轨道上匀速
行驶,今有一重 W3= 0.5kN的物体铅垂落入沙箱中,
如图,求此后小车的速度, 又设重物落人沙箱后,沙
箱在小车上滑动 0.2 s 后,始与车面相对静止,求车
面与箱底间相互作用的摩擦力,
13
解,取小车,沙箱和重物组成的系统为研究对象
R(e)x = 0
Px = Px0
设重物落入后小车
最后具有的速度为 v
ovg
WWv
g
WWW 21321 ????
v0 = 3.5 km/h 解得, v = 3km/h
N1 N2W
W3
14
取 小 车 为研究对象,
N1 N2
P2x - P1x = I(e)x
? ? tFvvgW o ???1
F = 0.14 kN W3
F
N
15
例 题 11-4.均质杆 AD 和 BD长为 l 质量分别为 6m和
4m,铰接如图,开始时维持在铅垂面内静止,设地面
光滑,两杆被释放后将分开倒向地面,求 D点落地时
偏移多少,
A B
D
60?
16
A B
D
60?
解,取 AD和 BD组成的系统为研究对象,
C1和 C2分别为 AD杆和 BD杆
的质心,C为系统的质心,
C1C2 = 0.5l
mm
lmCC
46
5.04
1 ?
?? = 0.2l
取过质心 C的铅垂轴为 y 轴建立坐标如图,
C1 C2C
x
y
O
xD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05l
17
画 系 统 受力图,
A B
D
60?
C1 C2C
x
y
O
6mg 4mg
已知 vc0 = 0则 vcx = 0
由于 R(e)x = 0则 vcx = c
系统的质心沿 y轴作直线运动,当 D点落地
时 C点应与 O点重合,
N1 N2
18
画 系 统 完全落地时的位置图,
A BD
OC1 C2
(C)
mm
mlCC
46
4
1 ??
= 0.4l
xD = 0.5l - 0.4l = 0.1l
?x = xD - xD0 = 0.1l - 0.05l = 0.05l
x
y
19
例 题 11-5,质量均为 m的小球 A和 B置于光滑水平面
上,用长为 l的细绳相连,开始时给球 B一初速度 v,如
图所示,求 AB连线再次处于与初始位置平行时,AB
连线平移的距离,
v
A
B
20
v
A
B
解,取小球 A和 B组成的系统为研究对象,
由于 R(e) = 0 则 P = c 即质心
的速度为恒矢量,
(m+m)vc = mv vc = 0.5v
即系统的质心作匀速直线运动,
系统作平面运动,
vB = vC + vBC vBC = 0.5v
vA = vC + vAC vAC = - 0.5v
vAC
vBC
C
21
计 算 系统的角速度,
vBC = 0.5l ? = 0.5v
? = v/l
?
T = 2?/? = 2?l/v
当 AB 连线再次处于与初始位置平行时,
质心运动时间为半个周期
s = vC t = 0.5v(?l/v) = 0.5 ?l
v
A
B
vAC
vBC
C
22
例 题 11-6.图示质量为 m半径为 R的均质半圆形板,受力
偶 M作用,在铅垂面内绕 O轴转动,转动的角速度为 ?,
角加速度为 ?,C点为半圆板的质心,当 OC与水平线成
任意角 ?时,求此瞬时轴 O的约束反力,(OC=4R/3?)
?
C
OM
? ?
23
?
C
OM
? ?
aCn
aC?
解,取半圆板为研究对象,
? ???????? s i nc o s34 2 jiRa cn
? ????????? c o ss i n34 jiRa c
? ????????? s i nc os34 2Ra cx
? ???????? c o ss i n34 2Ra cy
24
?
C
OM
? ?
aCn
aC?
画受 力 图,
XO = maCx
YO - mg = maCy
? ????????? s i nc o s34 2mRX O
? ????????? c oss i n34 2mRmgY O
XO
YO
mg
应用质心运动定理
§ 11-1 动量与冲量
§ 11-2 动量定理
例题
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动力学
2
§ 11-1 动量与冲量
(1)动量, P = m v
矢量性 ;瞬时性 ;相对性
(2)冲量, I = F t dI = F dt
??
2
1
t
t
dtFI
? ? ?? ? ?? i
t
t
i IdtFI
2
1
3
(1)质 点 的动量定理,
微分形式, dP = Fdt
积分形式,
IdtFPP
t
t
??? ?
2
1
12
(2)守恒定理,
若 F= 0 则 P = c (恒矢量 )
若 Fx= 0 则 Px = c (恒量 )
§ 11-2 动量定理
4
(3)质点系的动量定理
[1] 动量, P = ? mi vi
M
rm
m
rm
r ii
i
ii
c
?
?
? ??质心,
M
vm
v iic ??
质心速度,
P = M vc
5
[2] 动 量 定理,
设质点系有 n个质点,第 i个质点的质量
为 mi 速度为 vi ;外界物体对该质点作用的外
力为 Fi(e),质点系内其它质点对该质点作用
的内力为 Fi(i),则有, R(i) = ?Fi(i) = 0
dPi = Fi(e)dt + Fi(i)dt = dIi(e) + dIi(i)
积分形式, P2 - P1 = I(e)
微分形式, dP = R(e)dt
6
应 用 合矢量投影定理可将上两式投影
到任一轴上,
若 R(e) = 0 则 P = c (恒矢量 )
若 R(e)x = 0 则 Px = c (恒量 )
由上述可知,内力的主矢 R(i) = ?Fi(i) = 0即
内力对质点系的动量无影响 ;而外力的主矢
则影响质点系动量,即影响质心速度的变化,
[3]守恒定理,
7
11-3.质心运动定理
(1)运动定理, M ac = R(e)
? ?
? ?
? ?e
zc
e
yc
e
xc
RzM
RyM
RxM
?
?
?
??
??
??
(2)守恒定理,
若 R(e) = 0 则 vc = c (恒矢量 )
若 R(e)x = 0 则 vcx = c (恒量 )
8
例 题 11-1,图示椭圆规尺 AB
的质量为 2m1,曲柄 OC的质
量为 m1,而滑块 A和 B的质量
均为 m2.已知 OC=AC=CB=l,
曲柄和尺的质心分别在其中
点上,曲柄绕 O轴转动的角速
度 ?为常量,求图示瞬时系统
的动量,
O B
?
C
A
?t
9
解,系统由四个物体组成,
滑块 A和 B的质心与椭圆规尺 AB
的质心 C总是重合在一起,而 AB作
平面运动,瞬心为 I.
O B
?
C
A
?t
I
IC = OC = l
vC
vD
OA杆作定轴转动 D为质心,
D
?? lv D 21 ?? lvC
BAABOC PPPPP ????
?? lmP OC 121
?????? lmmmPPP BAAB )2( 221= 2(m1+m2)l?
P = (2.5m1 + 2m2)l?
10
例 题 11-2,在图示系统中,均质杆 OA,AB与均质轮
的质量均为 m,OA杆的长度为 l1,AB杆的长度为 l2,轮
的半径为 R,轮沿水平面作纯滚动,在图示瞬时,OA杆
的角速度为 ?,求整个系统的动量,
O
A
B
?
11
解,系统由三个物体组成,
O
A
B
?
OA杆作定轴转动 C为质心,
AB杆作瞬时平动,
轮作平面运动 B为质心,
C vC
vA
vB
BABOA PPPP ????? 121 lv C ??? 1lvv BA
?? 121 mlP OA ?? 1mlP AB ?? 1mlP B
???????? 1111 2521 mlmlmlmlP
12
例 题 11-3,小车重 W1= 2kN,车上有一装沙的箱重
W2=1kN,以 3.5km/h的速度在光滑直线轨道上匀速
行驶,今有一重 W3= 0.5kN的物体铅垂落入沙箱中,
如图,求此后小车的速度, 又设重物落人沙箱后,沙
箱在小车上滑动 0.2 s 后,始与车面相对静止,求车
面与箱底间相互作用的摩擦力,
13
解,取小车,沙箱和重物组成的系统为研究对象
R(e)x = 0
Px = Px0
设重物落入后小车
最后具有的速度为 v
ovg
WWv
g
WWW 21321 ????
v0 = 3.5 km/h 解得, v = 3km/h
N1 N2W
W3
14
取 小 车 为研究对象,
N1 N2
P2x - P1x = I(e)x
? ? tFvvgW o ???1
F = 0.14 kN W3
F
N
15
例 题 11-4.均质杆 AD 和 BD长为 l 质量分别为 6m和
4m,铰接如图,开始时维持在铅垂面内静止,设地面
光滑,两杆被释放后将分开倒向地面,求 D点落地时
偏移多少,
A B
D
60?
16
A B
D
60?
解,取 AD和 BD组成的系统为研究对象,
C1和 C2分别为 AD杆和 BD杆
的质心,C为系统的质心,
C1C2 = 0.5l
mm
lmCC
46
5.04
1 ?
?? = 0.2l
取过质心 C的铅垂轴为 y 轴建立坐标如图,
C1 C2C
x
y
O
xD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05l
17
画 系 统 受力图,
A B
D
60?
C1 C2C
x
y
O
6mg 4mg
已知 vc0 = 0则 vcx = 0
由于 R(e)x = 0则 vcx = c
系统的质心沿 y轴作直线运动,当 D点落地
时 C点应与 O点重合,
N1 N2
18
画 系 统 完全落地时的位置图,
A BD
OC1 C2
(C)
mm
mlCC
46
4
1 ??
= 0.4l
xD = 0.5l - 0.4l = 0.1l
?x = xD - xD0 = 0.1l - 0.05l = 0.05l
x
y
19
例 题 11-5,质量均为 m的小球 A和 B置于光滑水平面
上,用长为 l的细绳相连,开始时给球 B一初速度 v,如
图所示,求 AB连线再次处于与初始位置平行时,AB
连线平移的距离,
v
A
B
20
v
A
B
解,取小球 A和 B组成的系统为研究对象,
由于 R(e) = 0 则 P = c 即质心
的速度为恒矢量,
(m+m)vc = mv vc = 0.5v
即系统的质心作匀速直线运动,
系统作平面运动,
vB = vC + vBC vBC = 0.5v
vA = vC + vAC vAC = - 0.5v
vAC
vBC
C
21
计 算 系统的角速度,
vBC = 0.5l ? = 0.5v
? = v/l
?
T = 2?/? = 2?l/v
当 AB 连线再次处于与初始位置平行时,
质心运动时间为半个周期
s = vC t = 0.5v(?l/v) = 0.5 ?l
v
A
B
vAC
vBC
C
22
例 题 11-6.图示质量为 m半径为 R的均质半圆形板,受力
偶 M作用,在铅垂面内绕 O轴转动,转动的角速度为 ?,
角加速度为 ?,C点为半圆板的质心,当 OC与水平线成
任意角 ?时,求此瞬时轴 O的约束反力,(OC=4R/3?)
?
C
OM
? ?
23
?
C
OM
? ?
aCn
aC?
解,取半圆板为研究对象,
? ???????? s i nc o s34 2 jiRa cn
? ????????? c o ss i n34 jiRa c
? ????????? s i nc os34 2Ra cx
? ???????? c o ss i n34 2Ra cy
24
?
C
OM
? ?
aCn
aC?
画受 力 图,
XO = maCx
YO - mg = maCy
? ????????? s i nc o s34 2mRX O
? ????????? c oss i n34 2mRmgY O
XO
YO
mg
应用质心运动定理
