1
§ 10-1 动力学的基本定律
§ 10-2 质点的运动微分方程
例题
返回
第十章 质点动力学的基本方程
动力学
2
§ 10-1.牛顿三定律
(1)以质点为研究对象
(2)适用于惯性系
(3)矢量性和瞬时性
10-2.质点运动微分方程
2
2
dt
rd
m
dt
vd
mamF ???
3
Z
dt
xd
m
Y
dt
yd
m
X
dt
xd
m
?
?
?
2
2
2
2
2
2
利 用 合矢量投影定理,可以在直角坐标系,
自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程,
(1)质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
4
(2)质点运动微分方程在自然坐标系上的 投 影
b
n
F
F
v
m
F
dt
dv
m
?
?
?
0
2
?
?
质点动力学的问题分为两类,一是已知运动
求力 ;二是已知力求运动,
5
例 题 10-1,曲柄连杆机构如图所示,曲柄 OA以匀角速
度转动,OA = AB = r.滑块 B的运动方程为 x = 2rcos?,
如滑块 B的质量为 m,摩擦及连杆 AB的质量不计,求当 ?
= ?t = 0 时连杆 AB所受的力,
O
A
B?
?
6
B
解,取滑块 B为研究对象,
由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平衡
力系作用,
N
mg
F
?
x = 2rcos? ? = ?t
ax = - 2r?2cos?
max = - Fcos?
F = - 2 mr?2
7
例 题 10-2,水平面上放一质量为 M 的三棱柱 A 其上放
一质量为 m 的物块 B,设各接触面都是光滑的,当三
棱柱 A具有图示的加速度 ae时,讨论滑块下滑的加速度
及与斜面间的相互作用力,
A ?
ae
8
?
ae
解, 取物块 B为研究对象,
mg
N
ar
m(ar+aecos?) = mgsin? (1)
maesin? = N-mgcos? (2)
联立 (1)(2)式解得,
ar = gsin? - aecos? N= m(gcos?+aesin?)
讨论, (1)当 ae=g tg?时 ar = 0; N= mg/cos?
(2)当 ae?g tg?时 ar ? 0.
(3)当 ae=-g ctg?时 ar = g/sin?,N=0; am = g
此时 m即将与斜面脱离而成为自由体,
9
例 题 10-3,滑轮系统如图所
示,已知 m1 = 4kg,m2 = 1kg
和 m3 = 2kg.滑轮和绳的质
量及摩擦均不计,求三个物
体的加速度,( g = 10m/s2 )
O
Cm
1
m2
m3
10
O
Cm
1
m2
m3
解,建立图示坐标,
x1 + xC = c1
(x2 - xC ) + (x3 - xC ) = c2
321 TTT ??
x
T1
T2 T
3
01 ?? Cxx ????
0232 ??? Cxxx ??????
1111 xmTgm ????
2222 xmTgm ????
3333 xmTgm ????
32 TT ?
m1g
m2g
m1g
11
O
Cm
1
m2
m3
x
解上述方程组得,
2
3
2
2
2
1
/2
/6
/2
smx
smx
smx
?
??
?
??
??
??
a1
aC
ar
ar
讨 论, (1)物体 m2和 m3相对于滑
轮 C的加速度
ar2 = ar3 = ar = 4m/s2
(2)物体 m2和 m3相对于物
体 m1的加速度
ar2 = - 8m/s2 ar3 = 0
12
例 题 10-4,图示系统中,设 mA = mB = mC = m,
? = 30?.所有接触面间的摩擦力都不计,求物体
B相对于物体 C和物体 A相对于物体 B的加速度,
A
B C
?
13
B ?
C
?
解,取物体 C为研究对象,
mg
NB
aC
NB sin? = maC (1)
取物体 B为研究对象,
NB
aC
mg
NA
arB NB sin? = m(arB cos? - aC) (2)
mg + NA - NB cos? = marB sin? (3)
N
14
A
取物体 A为研究 对 象, a
C
arB NA
mg
?
arA
m(arA+arBcos?-aC)= 0 (4)
mg -NA= marB sin? (5)
联立 (1)---(5)式解得,
ga C
7
32?
ga rB 78? ga rA 7 32??
15
10-3.质点相对运动微分方程
(1)牵连运动是平动的情况
aa = ae+ ar m(ae+ ar) = F
mar = F + (-mae)
上式即动系中观察者应用的动力学方程,
令 FIe = -mae 称为牵连惯性力,
mar = F + FIe (1)
(1)式为牵连运动是平动时的质点相对运动微
分方程,
16
例 题 10-5,水平面上放一质量为 M 的三棱柱 A 其上放
一质量为 m 的物块 B,设各接触面都是光滑的,当物
块 B 在图示位置由静止滑下的过程中,求三棱柱 A的
加速度,
A ?
17
解,取三棱柱 A为研究对象,
A ?
NB
N
Mg
aA NB sin? = MaA (1)
?
mg
NB
maA
ar
取物块 B为研究对象,
mgsin? + maAcos? = mar (2)
NB+maAsin?-mgcos? = 0 (3)
联立 (1)---(3)式得,
?
??
2s i n
c o ss i n
mM
mga
A ??
18
(2)牵连运动是定轴 转 动 的情况
aa = ae+ ar + ak m(ae+ ar + ak) = F
mar = F + (-mae)+(-m ak )
令 FIe = -mae 称为牵连惯性力,
令 FIk = -mak 称为科氏惯性力,
mar = F + FIe + FIk (2)
(2)式为牵连运动是定轴转动时的质点相
对运动微分方程,
19
例 题 10-6.质量为 m的小环 M沿半径为 R的光滑园环运
动,园环在自身平面 (水平面 )内以匀角速度 ?绕通过 O
点的铅垂轴转动,在初瞬时,小环 M 在 MO 处 (?o = 90?)
且处于相对静止状态,求小环 M 对园环的径向压力的
最大值,
R
M
O
MO
? ?
20
R
M
O
MO
? ?
解,取小环 M为研究对象,
aen
arn
ar?
ak
aen =[2Rsin(?/2)]?2
= 2R?2sin(?/2)
2?? ?Ra rn
??? ??Ra r
??? ?Ra k 2
aM = aen + arn + ar? + ak
21
对小环 M进行受力 分 析,
FIk
FIen
N R
M
O
MO
? ? ar?
arn
mar? = FIen sin(90?-?/2)
marn = N - FIen cos(90?-?/2) - FIk
)290s i n (2s i n2 02 ?????? mRmR ??
(1)
dt
d??? ??? (2)
??? s in2mR
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d
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联 立 (1)(2)两式得, ?????? dd s i n2??
22
由 初 始 条件得,
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2
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)290c os (2s i n22 022 ?????????? mRmRNmR ??
2s i n22
222 ???????? mRmRmRN ??
(4)
t = 0时,
0,2 ????? ?
联立 (3)(4)两式得, )c o s3c o s221(2 ??????? mRN
2m a x )22(2 ??? mRN
§ 10-1 动力学的基本定律
§ 10-2 质点的运动微分方程
例题
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第十章 质点动力学的基本方程
动力学
2
§ 10-1.牛顿三定律
(1)以质点为研究对象
(2)适用于惯性系
(3)矢量性和瞬时性
10-2.质点运动微分方程
2
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3
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2
2
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2
利 用 合矢量投影定理,可以在直角坐标系,
自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程,
(1)质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
4
(2)质点运动微分方程在自然坐标系上的 投 影
b
n
F
F
v
m
F
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0
2
?
?
质点动力学的问题分为两类,一是已知运动
求力 ;二是已知力求运动,
5
例 题 10-1,曲柄连杆机构如图所示,曲柄 OA以匀角速
度转动,OA = AB = r.滑块 B的运动方程为 x = 2rcos?,
如滑块 B的质量为 m,摩擦及连杆 AB的质量不计,求当 ?
= ?t = 0 时连杆 AB所受的力,
O
A
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6
B
解,取滑块 B为研究对象,
由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平衡
力系作用,
N
mg
F
?
x = 2rcos? ? = ?t
ax = - 2r?2cos?
max = - Fcos?
F = - 2 mr?2
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例 题 10-2,水平面上放一质量为 M 的三棱柱 A 其上放
一质量为 m 的物块 B,设各接触面都是光滑的,当三
棱柱 A具有图示的加速度 ae时,讨论滑块下滑的加速度
及与斜面间的相互作用力,
A ?
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8
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ae
解, 取物块 B为研究对象,
mg
N
ar
m(ar+aecos?) = mgsin? (1)
maesin? = N-mgcos? (2)
联立 (1)(2)式解得,
ar = gsin? - aecos? N= m(gcos?+aesin?)
讨论, (1)当 ae=g tg?时 ar = 0; N= mg/cos?
(2)当 ae?g tg?时 ar ? 0.
(3)当 ae=-g ctg?时 ar = g/sin?,N=0; am = g
此时 m即将与斜面脱离而成为自由体,
9
例 题 10-3,滑轮系统如图所
示,已知 m1 = 4kg,m2 = 1kg
和 m3 = 2kg.滑轮和绳的质
量及摩擦均不计,求三个物
体的加速度,( g = 10m/s2 )
O
Cm
1
m2
m3
10
O
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1
m2
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解,建立图示坐标,
x1 + xC = c1
(x2 - xC ) + (x3 - xC ) = c2
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轮 C的加速度
ar2 = ar3 = ar = 4m/s2
(2)物体 m2和 m3相对于物
体 m1的加速度
ar2 = - 8m/s2 ar3 = 0
12
例 题 10-4,图示系统中,设 mA = mB = mC = m,
? = 30?.所有接触面间的摩擦力都不计,求物体
B相对于物体 C和物体 A相对于物体 B的加速度,
A
B C
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13
B ?
C
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解,取物体 C为研究对象,
mg
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NB sin? = maC (1)
取物体 B为研究对象,
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mg + NA - NB cos? = marB sin? (3)
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14
A
取物体 A为研究 对 象, a
C
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mg -NA= marB sin? (5)
联立 (1)---(5)式解得,
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7
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15
10-3.质点相对运动微分方程
(1)牵连运动是平动的情况
aa = ae+ ar m(ae+ ar) = F
mar = F + (-mae)
上式即动系中观察者应用的动力学方程,
令 FIe = -mae 称为牵连惯性力,
mar = F + FIe (1)
(1)式为牵连运动是平动时的质点相对运动微
分方程,
16
例 题 10-5,水平面上放一质量为 M 的三棱柱 A 其上放
一质量为 m 的物块 B,设各接触面都是光滑的,当物
块 B 在图示位置由静止滑下的过程中,求三棱柱 A的
加速度,
A ?
17
解,取三棱柱 A为研究对象,
A ?
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Mg
aA NB sin? = MaA (1)
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mg
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取物块 B为研究对象,
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(2)牵连运动是定轴 转 动 的情况
aa = ae+ ar + ak m(ae+ ar + ak) = F
mar = F + (-mae)+(-m ak )
令 FIe = -mae 称为牵连惯性力,
令 FIk = -mak 称为科氏惯性力,
mar = F + FIe + FIk (2)
(2)式为牵连运动是定轴转动时的质点相
对运动微分方程,
19
例 题 10-6.质量为 m的小环 M沿半径为 R的光滑园环运
动,园环在自身平面 (水平面 )内以匀角速度 ?绕通过 O
点的铅垂轴转动,在初瞬时,小环 M 在 MO 处 (?o = 90?)
且处于相对静止状态,求小环 M 对园环的径向压力的
最大值,
R
M
O
MO
? ?
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R
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解,取小环 M为研究对象,
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aen =[2Rsin(?/2)]?2
= 2R?2sin(?/2)
2?? ?Ra rn
??? ??Ra r
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21
对小环 M进行受力 分 析,
FIk
FIen
N R
M
O
MO
? ? ar?
arn
mar? = FIen sin(90?-?/2)
marn = N - FIen cos(90?-?/2) - FIk
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(1)
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联 立 (1)(2)两式得, ?????? dd s i n2??
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由 初 始 条件得,
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(4)
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