同学们好
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量子力学用 波函数 描述微观粒子的运动状态，波函数
所遵从的方程 —— 薛定谔方程 是量子力学的基本方程。
波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设。
第十八章 波函数和薛定谔方程
第一节 波函数与算符
一、微观粒子的运动状态描述 ----波函数
波函数, 描述微观客体的运动状态，是概率波的
数学表达形式。
),,,(),( tzyxtr ?? ?? 一般表示为复指数函数形式
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例, 一维自由粒子的波函数
经典描述,沿 x 轴匀速直线运动
量子描述,确定，守恒； ??pE ?,
类比,单色平面波
??,一定 沿直线传播
自由粒子,不受任何其它势场或粒子的作用
以坐标原点为参考点,
方向传播。沿，波以速率设 xu ?? 00?
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第 4页 共 45页
)π(2c o s)(c o s 00 ??? xtΨuxtΨΨ ????
)(π2c o s0 ph xthEΨ ?? )(1c o s0 xpEt x ??? ??
)(
0 e),(
xpEti xΨtxΨ ???? ?（取实部）
推广, 三维自由粒子波函数 )(
0 e),(
rpEtiΨtrΨ ???? ????
意义,波函数 确定了微观粒子运
动的 全部 力学性质。
)(
0 e),(
rpEtiΨtrΨ ???? ????
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2,波函数的强度 —— 模的平方
*2|| ΨΨΨ ??
波函数与其共轭复数的积
例,一维自由粒子,
)(
0
)(
0
*2|),(| xptEh
ixptEi
xx eΨeΨΨΨtxΨ ?????? ???? ?
20Ψ?
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光栅衍射 电子衍射
类
比
第二节 波函数的统计解释
经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意
义对于微观客体，其状态由波函数完全确定。
问题：波函数有什么样的物理意义？
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20EI ? 2||ΨI ?
NNhI ?? ? NI ?
I大处 到达光子数多
I小处 到达光子数少
I=0 无光子到达
各光子起点、终点、路
径均不确定
用 I 对屏上光子数分布
作概率性描述
各电子起点、终点、路径
均不确定
2||Ψ用 对屏上电子数分布
作概率性描述
I大 电子到达该处概率大
I=0电子到达该处概率为零
I小 电子到达该处概率小
光栅衍射 电子衍射
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? t 时刻，出现在空间 (x,y,z)点附近单位体积内的
粒子数与总粒子数之比。
? t 时刻，粒子出现在空间 (x,y,z)点附近单位体积
内的概率。
? t 时刻，粒子在空间的概率密度分布。
VΨNN d||d 2 ???
VN
NΨΨtzyxΨ
d
d*|),,,(| 2
????
一般,t 时刻,到达空间 r (x,y,z)处附近某体积 dV内的
粒子数
2|),,,(| tzyxΨ 的物理意义,
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? 物质波的波函数不描述介质中运动状
态 (相位 )传播的过程
?,本身，而是有意义的不是 2|| ΨΨ
:|| 2? 概率密度，描述粒子在空间的统计分布
:? 概率幅
注意
?
描述同一概率波和，比值各点的相对大小
在空间的绝对大小，而是重要的不是
ΨC Ψ
ΨΨ
)(
|||| 22
遵从叠加原理Ψ
21 ??? ??
212122112212 ****|||| ??????????? ??????????
?
干涉项
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4.波函数的归一化条件和标准条件
粒子在整个空间出现的概率为 1
1
d
d
d
dd|| 2 ????? ???
N
N
N
N
V
VN
NV
VV
?
? 归一化条件
对微观客体的量子力学描述,
脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观
矛盾，将波粒二象性统一到一起。
。是单值、有限、连续的Ψ
? 标准条件
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第三节 薛定谔方程
,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数 Ψ
是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1,建立 （简单 → 复杂,特殊 → 一般）
? 一维自由粒子的振幅方程
tEitEixpixptEi exeeΨeΨtxΨ xx ???? ??????? ????? )(),(
0
)(
0 ?
式中,
xpi xex ?? ?
0)( ??
振幅函数
与驻波类比
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2*
**2
|)(|)()(
)()(|),(|
xxx
exexΨΨtxΨ
tE
i
tE
i
???
??
???
????
?
??
tEiextxΨ ?? ??? )(),( ?
要求波函数 Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数 ?(x)的模方。
? 建立关于振幅函数 ?(x)的方程 —— 振幅方程
)(d )(d 0 xpiepix x xxp
i
x
x ???
??
? ??
)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x x ??
?
??
*
xpi xex ?? ?
0)( ??
振幅函数
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非相对论考虑
自由粒子,
m
pmvEE x
x 22
1 22
k ???
mEp x 22 ?
0?U势函数
)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x x ??
?
??
* 代入
得
0)(2d )(d 22
2
?? xmEx x ?? ?
即 一维自由粒子的振幅方程
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? 一维定态薛定谔方程
)(2
2
2
2
pk
UEmp
U
m
p
EEE
x
x
??
????
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
0)()(2
d
)(d
22
2
??? xUEm
x
x ??
?
即 一维定态薛定谔方程
得
)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x x ??
?
??
* 代入
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? 三维定态薛定谔方程
0)(2 22
2
2
2
2
2
???
?
??
?
??
?
? ???? UEm
zyx ?
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
0),,()(2),,( 22 ???? zyxUEmzyx ?? ?
即 三维定态薛定谔方程
),,( zyx?? ?
振幅函数
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? 一般形式薛定谔方程
),,,( tzyx?? ?
哈密顿算符
U
m
???? 2
2
2
H? ?
t
i
?
?? ?? ?H?
本课程只要求定态问题,
一维,
三维,
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
0)(2 22 ???? ?? UEm?
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求解问题的思路,
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程
2,用分离变量法求解
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有 E取某些特定值时才有解
本征值 本征函数
4,讨论解的物理意义,
即求 |? |2,得出粒子在空间的概率分布。
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第 18页 共 45页
第四节 薛定谔方程应用举例 (一维问题 )
一、一维无限深势阱
模型的建立,微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 ?? 简化模型。
例如,金属中自由电子
简
化
受规则排列的晶格点阵作用
相互碰撞 (简化：交换动量 )
只考虑边界上突然升高的势
能墙的阻碍 —— 势阱
认为金属中自由电子不能逸出表面
—— 无限深势阱
U
o a
U
o a
? U
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1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式，代入一维定态
薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
求解问题的步骤,
U(x) = 0 (0 < x < a)
? ? ?axx ??,0
势函数
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
o a
? U 设粒子在一维无限深势阱运动
x
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得本问题中的薛定谔方程,
0 < x < a
02
d
d
22
2
?? ?? Em
x ?
0?? （粒子不能逸出势阱）
axx ??,0
? ? 02dd 22
2
???? ?? Emx ?
o a
? U
x
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第 21页 共 45页
2,求解波函数
kxBkxAx c o ss i n)( ???通解,
? ?axmEx ???? 002dd 22
2
?? ?
令
2
2 2
?
mEk ?
得
0
d
d 2
2
2
?? ?? k
x
由
积分常数
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第 22页 共 45页 xa
nAx ?? s i n)( ?,.,, )3,2,1( ?n
0)( ?a?由
得
0s in ?kaA
a
nk ?? )3,2,1( ??n
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
kxBkxAx c o ss i n)( ???通解,
00 ?）（由 ?
得 B = 0
kxAx s i n)( ??
0)()0( ?? a??
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件,
o a
? U
x
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第 23页 共 45页
Etie
a
xn
a
txΨ ???? ?s i n2),( )3,2,1( ??n
注意,解为驻波形式
于是,
a
xn
a
x ?? s in2)( ?,.,, )3,2,1( ?n
由归一化条件
1d|| 2 ??
?
??
x?
1ds ind 2
0
2* ??? ??
?
??
x
a
xnAx a ???
a
A 2?
xanAx ?? s i n)( ?,.,, )3,2,1( ?n
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第 24页 共 45页
4.讨论 解的物理意义
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
,1 即零点能最小能量 E
满足不确定关系 粒子不可能静止不动,
2
2 2
?
mEk ?
a
nk ??由
得
,.,, )3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE ??? ?? ?
式中
2
22
1 2 maE
???
12 EnE 只能取一系列分离值
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
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第 25页 共 45页
? ? 2
22
1 212 manEEE nn
???????
?
由
,.,, )3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE ??? ?? ?
022 ????? Ema ?
回到经典情况，能量连续。
???? En
???? Ea
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
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第 26页 共 45页
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典,势阱中 U = 0,粒子匀速直线运动
粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子,
振幅函数
a
xn
ax
?? s in2)( ?
波函数 Eti
e
a
xn
a
tx ?
?
? ?? s i n2),(
概率密度
a
xn
axtxΨ
?? 222 s i n2|)(||),(| ??
,.,, )3,2,1( ?n
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒
子出现的概率不相同。
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第 27页 共 45页
Etie
a
xn
atxΨ
??? ?s i n2),(
a
xn
a
xtxΨ ?? 222 s i n2|)(||),(| ??
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9 EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ?2x?
x
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第 28页 共 45页
粒子不能逸出势阱，两端为波节,0|| 2 ?Ψ
归一化条件，曲线下面积相等
阱内各位置粒子出现概率不同,2||Ψ 峰值处较大
能级越高，驻波波长越短，峰值数增多
经典相同，量子 ?2|| Ψ
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ?2x?
x
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第 29页 共 45页
练习, 粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态,
。区间发现该粒子的概率求在 4~0 a
解,
a
x
a
?? 22 s i n2|| ?
)d(s in2 2
4
0 a
x
a
xa
a
a
??
??
?
2
4
0
1008.9)
2
s in
4
12
1
(
2 ?
????
a
a
x
a
x
?
?
?
xp
a
d||
4
0
2?? ? x
a
x
a
a
ds in2 2
4
0
???
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第 30页 共 45页
解,由归一化条件
1
30
1d)(d|| 5222
0
2
0
2 ???? ?? LcxxLxcx
LL
?
得
5
30
Lc ? )(
30
5 xLxL ???
21.0
81
17
d)(
30
d|| 22
3
0
5
3
0
2 ????? ?? xxLx
L
xp
LL
?
已知,
)( xLcx ???
L,无限深势阱宽度,c 待定
求,
区间发现粒子的概率。3~0 L
练习,
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第 31页 共 45页
练习, 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ? ?
ix
Ax
?? 1?
1.将此波函数归一化；
2.求出粒子按坐标的概率分布函数；
3.在何处找到粒子的概率密度最大？
解,1,由归一化条件
1a r c t gd
1
d
1
22
2
22
???
?
?
?
?
??
?
??
?
??
? ? ?AxAxx
Ax
ix
A
得,
?
1?A ? ? ? ?ixx ?? 1
1
?
?
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第 32页 共 45页
2,概率分布函数为,
? ? ? ? ? ? ? ?2*2
1
1
x
xxxP
?
????
?
???
3,令,
? ? 0dd 2 ?xx ?
得,
0?x
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
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第 33页 共 45页
二、势垒 隧道效应
势函数,
?)( xU
0 x < 0,x > a
0U ax ??0
代入
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
得
02dd 22
2
?? ?? ?mEx ( x < 0 x > a)
)0( ax ?? 0)(2
d
d
022
2
??? ?? UEmx ?
模型,金属表面的势能墙不是
无限高，而是有限值。
O a
U0
x
U
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第 34页 共 45页
令
2
2
1
2
?
mEk ? )(2
02
2
2 UE
mk ??
?
0dd 212
2
?? ?? kx
0dd 222
2
?? ?? kx
Eti??e乘
第一项：向 x方向传播的波 [例 ]e )(
1
1 t
ExkiA
??
第二项：向 -x方向传播的波 [例 ]e )(
1
1 t
Exki
B ???
通解,
)0(ee 11 111 ??? ? xBA xikxik?
)0(ee 22 222 axBA xikxik ???? ??
)(ee 11 333 axBA xikxik ??? ??
02dd 22
2
?? ?? ?mEx
( x < 0,x > a)
)0( ax ?? 0)(2
d
d
022
2
??? ?? UEmx ?
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第 35页 共 45页
由波函数的
标准条件得
)(
d
d
)(
d
d
)()(
)0(
d
d
)0(
d
d
)0()0(
32
32
21
21
a
x
a
x
aa
xx
??
??
??
??
?
?
?
?
可解得
21
32
,
,
BB
AA
令 1
1 ?A
（以入射波强度为标准）
03 ?B由
ax ?
处无反射波,
O a
U0
x
U
通解,
)0(ee 11 111 ??? ? xBA xikxik?
)0(ee 22 222 axBA xikxik ???? ??
)(ee 11 333 axBA xikxik ??? ??
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第 36页 共 45页
O a
U0
x
入射波 +反射波
透射波
U
)0( 1 ?B
0UE ?
0UE ?
经典 量子
越过势垒，只透
射，不反射
既透射，也反射
不能越过势垒，
只反射，不透射
既透射，也反射
)0( 3 ?A
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第 37页 共 45页
隧道效应,总能量 E小于势垒高度 U0的粒子也
有可能贯穿势垒，到达另侧
贯穿系数,
?
)(22
2
01
2
3
0
||
|| EUma
x
ax eT
??
?
? ??
?
? ?
??
?
?
?
?
?
T
U
a
0
O a
U0
x
入射波 +反射波
透射波
U
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第 38页 共 45页
CSTM—— 9000型扫描隧道显微镜
扫描隧穿显微镜 (STM) (获 1986年诺贝尔物理奖 )
应用举例
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第 39页 共 45页
样品表面
探针表面
电子云重叠，由于隧
道效应逸出的电子
扫描隧道显微镜的两种工作模式,
? 恒高度模式 ? 恒电流模式
加电压形成隧穿电流 —— 对表
面间距异常敏感
通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征
sAUI ?/e ??
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第 40页 共 45页
分辨率
xy方向 0.2nm
z 方向 0.005nm 在原子尺度探测
? 具有原子级高分辨率。
? 在大气压下或真空中均能工作。
? 无损探测,可获取物质表面的三维图像。
? 可进行表面结构研究,实现表面纳米 ( ) 级加工。 m109?
STM特点,
sAUI ?/e ??
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第 41页 共 45页
1959年：费曼演讲, 在底部还有很大的空间,
从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有
用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子
甚至原子出发组装制造物品的可能性 …… 如果有一天可以按
人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？
1982年：
宾尼西、罗
雷尔等发明
扫描隧道显
微镜，为操
作原子提供
有力工具。
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第 42页 共 45页
1990年：美国国际商用机器公司（ IBM）阿尔马登
研究中心科学家把 35个氙原子移动到位，组成 IBM三
个字母，加起来不到 3nm。
1990年 7月第一届国际纳米科学技术会议在美国巴
尔的摩召开，纳米科技作为一门学科正式诞生。
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第 43页 共 45页
纳米科学技术应用实例
硅表面硅原子的排列 砷化镓表面砷原子的排列
碘原子在铂晶体上的吸附 量子围栏
分子人
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第 44页 共 45页
通过移走原子构成的图形
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第 45页 共 45页
发 展
纳米生物学、纳米材料学、纳米电子学 ……
纳米技术不但走出了科学家头脑中深邃的思维，甚
至已经逐渐进入了人们的日常生活。
2000年 10月，我国中科院组建纳米科学技术中心，
并正式实施知识创新工程“纳米科学技术”项目。
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第 2页 共 45页
量子力学用 波函数 描述微观粒子的运动状态，波函数
所遵从的方程 —— 薛定谔方程 是量子力学的基本方程。
波函数和薛定谔方程都是量子力学的基本假设。
第十八章 波函数和薛定谔方程
第一节 波函数与算符
一、微观粒子的运动状态描述 ----波函数
波函数, 描述微观客体的运动状态，是概率波的
数学表达形式。
),,,(),( tzyxtr ?? ?? 一般表示为复指数函数形式
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例, 一维自由粒子的波函数
经典描述,沿 x 轴匀速直线运动
量子描述,确定，守恒； ??pE ?,
类比,单色平面波
??,一定 沿直线传播
自由粒子,不受任何其它势场或粒子的作用
以坐标原点为参考点,
方向传播。沿，波以速率设 xu ?? 00?
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)π(2c o s)(c o s 00 ??? xtΨuxtΨΨ ????
)(π2c o s0 ph xthEΨ ?? )(1c o s0 xpEt x ??? ??
)(
0 e),(
xpEti xΨtxΨ ???? ?（取实部）
推广, 三维自由粒子波函数 )(
0 e),(
rpEtiΨtrΨ ???? ????
意义,波函数 确定了微观粒子运
动的 全部 力学性质。
)(
0 e),(
rpEtiΨtrΨ ???? ????
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2,波函数的强度 —— 模的平方
*2|| ΨΨΨ ??
波函数与其共轭复数的积
例,一维自由粒子,
)(
0
)(
0
*2|),(| xptEh
ixptEi
xx eΨeΨΨΨtxΨ ?????? ???? ?
20Ψ?
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光栅衍射 电子衍射
类
比
第二节 波函数的统计解释
经典物理中波函数具有描述空间振动状态的确切意
义对于微观客体，其状态由波函数完全确定。
问题：波函数有什么样的物理意义？
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20EI ? 2||ΨI ?
NNhI ?? ? NI ?
I大处 到达光子数多
I小处 到达光子数少
I=0 无光子到达
各光子起点、终点、路
径均不确定
用 I 对屏上光子数分布
作概率性描述
各电子起点、终点、路径
均不确定
2||Ψ用 对屏上电子数分布
作概率性描述
I大 电子到达该处概率大
I=0电子到达该处概率为零
I小 电子到达该处概率小
光栅衍射 电子衍射
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? t 时刻，出现在空间 (x,y,z)点附近单位体积内的
粒子数与总粒子数之比。
? t 时刻，粒子出现在空间 (x,y,z)点附近单位体积
内的概率。
? t 时刻，粒子在空间的概率密度分布。
VΨNN d||d 2 ???
VN
NΨΨtzyxΨ
d
d*|),,,(| 2
????
一般,t 时刻,到达空间 r (x,y,z)处附近某体积 dV内的
粒子数
2|),,,(| tzyxΨ 的物理意义,
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? 物质波的波函数不描述介质中运动状
态 (相位 )传播的过程
?,本身，而是有意义的不是 2|| ΨΨ
:|| 2? 概率密度，描述粒子在空间的统计分布
:? 概率幅
注意
?
描述同一概率波和，比值各点的相对大小
在空间的绝对大小，而是重要的不是
ΨC Ψ
ΨΨ
)(
|||| 22
遵从叠加原理Ψ
21 ??? ??
212122112212 ****|||| ??????????? ??????????
?
干涉项
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第 10页 共 45页
4.波函数的归一化条件和标准条件
粒子在整个空间出现的概率为 1
1
d
d
d
dd|| 2 ????? ???
N
N
N
N
V
VN
NV
VV
?
? 归一化条件
对微观客体的量子力学描述,
脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观
矛盾，将波粒二象性统一到一起。
。是单值、有限、连续的Ψ
? 标准条件
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第 11页 共 45页
第三节 薛定谔方程
,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数 Ψ
是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1,建立 （简单 → 复杂,特殊 → 一般）
? 一维自由粒子的振幅方程
tEitEixpixptEi exeeΨeΨtxΨ xx ???? ??????? ????? )(),(
0
)(
0 ?
式中,
xpi xex ?? ?
0)( ??
振幅函数
与驻波类比
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第 12页 共 45页
2*
**2
|)(|)()(
)()(|),(|
xxx
exexΨΨtxΨ
tE
i
tE
i
???
??
???
????
?
??
tEiextxΨ ?? ??? )(),( ?
要求波函数 Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数 ?(x)的模方。
? 建立关于振幅函数 ?(x)的方程 —— 振幅方程
)(d )(d 0 xpiepix x xxp
i
x
x ???
??
? ??
)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x x ??
?
??
*
xpi xex ?? ?
0)( ??
振幅函数
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第 13页 共 45页
非相对论考虑
自由粒子,
m
pmvEE x
x 22
1 22
k ???
mEp x 22 ?
0?U势函数
)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x x ??
?
??
* 代入
得
0)(2d )(d 22
2
?? xmEx x ?? ?
即 一维自由粒子的振幅方程
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第 14页 共 45页
? 一维定态薛定谔方程
)(2
2
2
2
pk
UEmp
U
m
p
EEE
x
x
??
????
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
0)()(2
d
)(d
22
2
??? xUEm
x
x ??
?
即 一维定态薛定谔方程
得
)(
d
)(d
2
2
2
2
xp
x
x x ??
?
??
* 代入
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第 15页 共 45页
? 三维定态薛定谔方程
0)(2 22
2
2
2
2
2
???
?
??
?
??
?
? ???? UEm
zyx ?
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
0),,()(2),,( 22 ???? zyxUEmzyx ?? ?
即 三维定态薛定谔方程
),,( zyx?? ?
振幅函数
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第 16页 共 45页
? 一般形式薛定谔方程
),,,( tzyx?? ?
哈密顿算符
U
m
???? 2
2
2
H? ?
t
i
?
?? ?? ?H?
本课程只要求定态问题,
一维,
三维,
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
0)(2 22 ???? ?? UEm?
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第 17页 共 45页
求解问题的思路,
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程
2,用分离变量法求解
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有 E取某些特定值时才有解
本征值 本征函数
4,讨论解的物理意义,
即求 |? |2,得出粒子在空间的概率分布。
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第 18页 共 45页
第四节 薛定谔方程应用举例 (一维问题 )
一、一维无限深势阱
模型的建立,微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 ?? 简化模型。
例如,金属中自由电子
简
化
受规则排列的晶格点阵作用
相互碰撞 (简化：交换动量 )
只考虑边界上突然升高的势
能墙的阻碍 —— 势阱
认为金属中自由电子不能逸出表面
—— 无限深势阱
U
o a
U
o a
? U
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第 19页 共 45页
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式，代入一维定态
薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
求解问题的步骤,
U(x) = 0 (0 < x < a)
? ? ?axx ??,0
势函数
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
o a
? U 设粒子在一维无限深势阱运动
x
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第 20页 共 45页
得本问题中的薛定谔方程,
0 < x < a
02
d
d
22
2
?? ?? Em
x ?
0?? （粒子不能逸出势阱）
axx ??,0
? ? 02dd 22
2
???? ?? Emx ?
o a
? U
x
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第 21页 共 45页
2,求解波函数
kxBkxAx c o ss i n)( ???通解,
? ?axmEx ???? 002dd 22
2
?? ?
令
2
2 2
?
mEk ?
得
0
d
d 2
2
2
?? ?? k
x
由
积分常数
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第 22页 共 45页 xa
nAx ?? s i n)( ?,.,, )3,2,1( ?n
0)( ?a?由
得
0s in ?kaA
a
nk ?? )3,2,1( ??n
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
kxBkxAx c o ss i n)( ???通解,
00 ?）（由 ?
得 B = 0
kxAx s i n)( ??
0)()0( ?? a??
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件,
o a
? U
x
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第 23页 共 45页
Etie
a
xn
a
txΨ ???? ?s i n2),( )3,2,1( ??n
注意,解为驻波形式
于是,
a
xn
a
x ?? s in2)( ?,.,, )3,2,1( ?n
由归一化条件
1d|| 2 ??
?
??
x?
1ds ind 2
0
2* ??? ??
?
??
x
a
xnAx a ???
a
A 2?
xanAx ?? s i n)( ?,.,, )3,2,1( ?n
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第 24页 共 45页
4.讨论 解的物理意义
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
,1 即零点能最小能量 E
满足不确定关系 粒子不可能静止不动,
2
2 2
?
mEk ?
a
nk ??由
得
,.,, )3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE ??? ?? ?
式中
2
22
1 2 maE
???
12 EnE 只能取一系列分离值
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
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第 25页 共 45页
? ? 2
22
1 212 manEEE nn
???????
?
由
,.,, )3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22 Enma
n
m
kE ??? ?? ?
022 ????? Ema ?
回到经典情况，能量连续。
???? En
???? Ea
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
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第 26页 共 45页
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典,势阱中 U = 0,粒子匀速直线运动
粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子,
振幅函数
a
xn
ax
?? s in2)( ?
波函数 Eti
e
a
xn
a
tx ?
?
? ?? s i n2),(
概率密度
a
xn
axtxΨ
?? 222 s i n2|)(||),(| ??
,.,, )3,2,1( ?n
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒
子出现的概率不相同。
大学物理
第 27页 共 45页
Etie
a
xn
atxΨ
??? ?s i n2),(
a
xn
a
xtxΨ ?? 222 s i n2|)(||),(| ??
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9 EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ?2x?
x
大学物理
第 28页 共 45页
粒子不能逸出势阱，两端为波节,0|| 2 ?Ψ
归一化条件，曲线下面积相等
阱内各位置粒子出现概率不同,2||Ψ 峰值处较大
能级越高，驻波波长越短，峰值数增多
经典相同，量子 ?2|| Ψ
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ?2x?
x
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第 29页 共 45页
练习, 粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态,
。区间发现该粒子的概率求在 4~0 a
解,
a
x
a
?? 22 s i n2|| ?
)d(s in2 2
4
0 a
x
a
xa
a
a
??
??
?
2
4
0
1008.9)
2
s in
4
12
1
(
2 ?
????
a
a
x
a
x
?
?
?
xp
a
d||
4
0
2?? ? x
a
x
a
a
ds in2 2
4
0
???
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第 30页 共 45页
解,由归一化条件
1
30
1d)(d|| 5222
0
2
0
2 ???? ?? LcxxLxcx
LL
?
得
5
30
Lc ? )(
30
5 xLxL ???
21.0
81
17
d)(
30
d|| 22
3
0
5
3
0
2 ????? ?? xxLx
L
xp
LL
?
已知,
)( xLcx ???
L,无限深势阱宽度,c 待定
求,
区间发现粒子的概率。3~0 L
练习,
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第 31页 共 45页
练习, 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ? ?
ix
Ax
?? 1?
1.将此波函数归一化；
2.求出粒子按坐标的概率分布函数；
3.在何处找到粒子的概率密度最大？
解,1,由归一化条件
1a r c t gd
1
d
1
22
2
22
???
?
?
?
?
??
?
??
?
??
? ? ?AxAxx
Ax
ix
A
得,
?
1?A ? ? ? ?ixx ?? 1
1
?
?
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第 32页 共 45页
2,概率分布函数为,
? ? ? ? ? ? ? ?2*2
1
1
x
xxxP
?
????
?
???
3,令,
? ? 0dd 2 ?xx ?
得,
0?x
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
大学物理
第 33页 共 45页
二、势垒 隧道效应
势函数,
?)( xU
0 x < 0,x > a
0U ax ??0
代入
0)(2dd 22
2
??? ?? UEmx ?
得
02dd 22
2
?? ?? ?mEx ( x < 0 x > a)
)0( ax ?? 0)(2
d
d
022
2
??? ?? UEmx ?
模型,金属表面的势能墙不是
无限高，而是有限值。
O a
U0
x
U
大学物理
第 34页 共 45页
令
2
2
1
2
?
mEk ? )(2
02
2
2 UE
mk ??
?
0dd 212
2
?? ?? kx
0dd 222
2
?? ?? kx
Eti??e乘
第一项：向 x方向传播的波 [例 ]e )(
1
1 t
ExkiA
??
第二项：向 -x方向传播的波 [例 ]e )(
1
1 t
Exki
B ???
通解,
)0(ee 11 111 ??? ? xBA xikxik?
)0(ee 22 222 axBA xikxik ???? ??
)(ee 11 333 axBA xikxik ??? ??
02dd 22
2
?? ?? ?mEx
( x < 0,x > a)
)0( ax ?? 0)(2
d
d
022
2
??? ?? UEmx ?
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第 35页 共 45页
由波函数的
标准条件得
)(
d
d
)(
d
d
)()(
)0(
d
d
)0(
d
d
)0()0(
32
32
21
21
a
x
a
x
aa
xx
??
??
??
??
?
?
?
?
可解得
21
32
,
,
BB
AA
令 1
1 ?A
（以入射波强度为标准）
03 ?B由
ax ?
处无反射波,
O a
U0
x
U
通解,
)0(ee 11 111 ??? ? xBA xikxik?
)0(ee 22 222 axBA xikxik ???? ??
)(ee 11 333 axBA xikxik ??? ??
大学物理
第 36页 共 45页
O a
U0
x
入射波 +反射波
透射波
U
)0( 1 ?B
0UE ?
0UE ?
经典 量子
越过势垒，只透
射，不反射
既透射，也反射
不能越过势垒，
只反射，不透射
既透射，也反射
)0( 3 ?A
大学物理
第 37页 共 45页
隧道效应,总能量 E小于势垒高度 U0的粒子也
有可能贯穿势垒，到达另侧
贯穿系数,
?
)(22
2
01
2
3
0
||
|| EUma
x
ax eT
??
?
? ??
?
? ?
??
?
?
?
?
?
T
U
a
0
O a
U0
x
入射波 +反射波
透射波
U
大学物理
第 38页 共 45页
CSTM—— 9000型扫描隧道显微镜
扫描隧穿显微镜 (STM) (获 1986年诺贝尔物理奖 )
应用举例
大学物理
第 39页 共 45页
样品表面
探针表面
电子云重叠，由于隧
道效应逸出的电子
扫描隧道显微镜的两种工作模式,
? 恒高度模式 ? 恒电流模式
加电压形成隧穿电流 —— 对表
面间距异常敏感
通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征
sAUI ?/e ??
大学物理
第 40页 共 45页
分辨率
xy方向 0.2nm
z 方向 0.005nm 在原子尺度探测
? 具有原子级高分辨率。
? 在大气压下或真空中均能工作。
? 无损探测,可获取物质表面的三维图像。
? 可进行表面结构研究,实现表面纳米 ( ) 级加工。 m109?
STM特点,
sAUI ?/e ??
大学物理
第 41页 共 45页
1959年：费曼演讲, 在底部还有很大的空间,
从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有
用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子
甚至原子出发组装制造物品的可能性 …… 如果有一天可以按
人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？
1982年：
宾尼西、罗
雷尔等发明
扫描隧道显
微镜，为操
作原子提供
有力工具。
大学物理
第 42页 共 45页
1990年：美国国际商用机器公司（ IBM）阿尔马登
研究中心科学家把 35个氙原子移动到位，组成 IBM三
个字母，加起来不到 3nm。
1990年 7月第一届国际纳米科学技术会议在美国巴
尔的摩召开，纳米科技作为一门学科正式诞生。
大学物理
第 43页 共 45页
纳米科学技术应用实例
硅表面硅原子的排列 砷化镓表面砷原子的排列
碘原子在铂晶体上的吸附 量子围栏
分子人
大学物理
第 44页 共 45页
通过移走原子构成的图形
大学物理
第 45页 共 45页
发 展
纳米生物学、纳米材料学、纳米电子学 ……
纳米技术不但走出了科学家头脑中深邃的思维，甚
至已经逐渐进入了人们的日常生活。
2000年 10月，我国中科院组建纳米科学技术中心，
并正式实施知识创新工程“纳米科学技术”项目。
