第 6 章 反馈控制电路
6.2 锁相环路性能分析
6.2.1 基本环路方程
6.2.2 捕捉过程的定性讨论
6.2.3 跟踪特性
分析环路锁定的动态过程及其性能特点 。
6.2.1 基本环路方程
(a)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
一, 鉴相器
作用：比较两个输
入电压之间的相位差,
产生相应的输出电压
vd(t) 。
设 ?r 为参考角频率 。
?r — VCO 未加控制电压时的固有振荡角频率 。
(a)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
t
t
d
)(d i
ri
??? ??
t
t
d
)(d o
ro
??? ??
即
vo(t) = Vom cos[?rt + ?o(t) + ?]
一般取
2
???
(a)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
即 vo(t) = Vom sin[?rt + ?o(t)]
鉴相器输出的平均电压 vd(t) = Ad sin?e(t)
Ad — 鉴相器最大输出电压 ?e(t) = ?i(t) - ?o(t)
电路模型
(b)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
二, 压控振荡器 (VCO)
压控振荡器是振荡频率随控制电压变化的振荡器, 是
环路中固有的积分环节 。
特性曲线
(a)
图 6–2–2 VCO 的电路模型
在有限的控制电压范围
内, 用线性方程近似表示
?o - ?r ? Aovc(t)
Ao — 压控灵敏度, vc = 0
处的斜率, 单位 rad/s ? V
(a)
图 6–2–2 VCO 的电路模型
?o - ?r ? Aovc(t)
t
t
d
)(d i
ri
??? ?? 根据
t
t
d
)(d o
ro
??? ??
)(d )(d coo tvAt t ??可得
或 ttvAt t ??? ? d)()(
0 coo
?
用微分算子 p = d/dt 表示
p
tvAt )()( c
oo ??
电路模型
三, 环路低通滤波器
作用：滤除鉴相器输出电流中的无用组合分量及其干
扰分量, 以达到环路要求的性能, 并保证环路的稳定性 。
1,简单 RC 滤波器
图 6–2–3 环路低通滤波器
(a)简单 RC 滤波器
传递函数
?ssCR
sC
sV
sVsA
?
?
?
??
1
1
)/(1
)/(1
)(
)()(
d
c
F
式中, ? = RC。
2,无源比例积分滤波器
图 6–2–3 环路低通滤波器
(b)无源比例积分滤波器
传递函数
)(1
1
)/(1
)/(1)(
21
2
21
2
F ??
?
??
??
??
??
s
s
sCRR
sCRsA
式中, ?1 = R1C, ?2 = R2C 。
3,有源比例积分滤波器
图 6–2–3 环路低通滤波器
(c)无源比例积分滤波器
传递函数
集成运放满足理想化条件时
1
2
1
2
F
1)/(1)(
?
?
s
s
R
sCRsA ?-??-?
式中, ?1 = R1C, ?2 = R2C
以微分算子 p 替换 s, 得微分方程
vc(t) = AF(p)vd(t)
电路模型
四, 基本环路方程
基本回路方程
)(s i n1)()()()()( eFodioie t
p
pAAAtttt ????? -?-?
或
p?e(t) + AdAoAF(p)sin?e(t) = p?i(t)
瞬时角频差 ??e(t)
t
tt
d
)(d)( e
oie
???? ?-??
控制角频差 ??o(t)
)(s i n)(dd)( eFodoroo tpAAAtt ????? ??-??
固有角频差 ??i(t)
ri
i
i d
d)( ???? -???
tt
根据回路方程, 回路闭合后的任何时刻
??e(t) + ??o(t) = ??i(t)
若输入固有角频差 ??i(t) = ??i
环路锁定时
0d )(d)( ee ??? t tt ??
即 ?i = ?o,?e(t) 为固定值, 以 ?e? 表示, 称为稳态相
位误差 。
据回路方程有
AdAoAF(0)sin?e? = ??i
式中, AF(0) 为低通滤波器的直流增益 。
所以
0
i
e a r c s i n
?A
?? ??
?
式中, A?0 = AdAoAF(0) 为环路直流总增益 。
??i > A?0,无解, 环路失锁 。
环路能锁定的最大输入固有频差 ??I, 称为同步带以
??L 表示
??L = ? A?0
在 VCO 的最大频率控制范围内, 若增大同步带, 必
须提高直流总增益 。
6.2.2 捕捉过程的定性讨论
捕捉过程就是环路从失锁状态进入锁定状态的过程 。
无信号输入时, VCO 振荡角频率为 ?r。
加入输入信号, 固有角频差 ??i = ?i - ?r。
瞬时相差, ttt t i
0 ie
d)( ??? ???? ?
鉴相器输出电压, vd(t) = Adsin ??it
如果 ??I 很大, vd(t) 被低通滤波器衰减, 环路失锁 。
如果 ??I 很小, vd(t) 通过低通滤波器, 环路锁定 。
若 ??I 处于两者之间, 分两种情况讨论 。
1,??I 较大, 超过环路滤波器的通频带
vd(t) 虽然受到较大衰减, 但仍可以使 VCO 振荡频率
摆到 ?i, 环路很快锁定 。 称为快捕过程 。
快捕带：能够锁定的最大 |??i|, 以 ??c 表示
??c ? AdAoAF(??c)
2,??I 比第一种情况大
vd(t) 受到很大衰减, 不能使 VCO 振荡频率摆到 ?I 。
捕捉过程如下,
?o > ?r, ?i - ?o 减小, ?e(t)
随时间增长变慢 。
?o < ?r, ?i - ?o 增大, ?e(t)
随时间增长变快 。
vd(t) 变为不对称波形, 经低通
滤波器输出直流电压 VD, 使 ?o 的
平均值由 ?r 上升为 ?r(av), ?r 上
升, ?e(t) 随时间增长变的更慢,
不对称加大, VD 上升, ?o 进一步
靠近 ?r, 当 ?o 摆动到 ?I, 并符
合正确的相位关系, 环路锁定 。
?o 的平均值逐渐靠近 ?I 的过程称为频率牵引 。
Ad 和 Ao 的数值越大, 捕捉带越大, 环路滤波器通频带
越宽, 捕捉带越大 。
6.2.3 跟踪特性
环路在锁定状态下, 由于某种原因使环路偏离锁定,
通过自身调节重新维持锁定的过程称为跟踪过程 。
跟踪过程中 ?e 很小, 环路近似为线性系统 。
vd(t) ? Adsin?e(t) ? Ad?e(t)
环路基本方程
p?e(t) ? AdAoAF(p)?e(t) ? p?e(t)
或
s?e(s) ? AdAoAF(s)?e(s) ? s?i(s)
?e(s) ? ?i(s) - ?o(s)
开环传递函数 Ho(s)
)(
)()(
e
o
o s
ssH
?
??
闭环传递函数 H(s)
)(1
)(
)(
)(
)(
)()(
o
o
Fod
Fod
i
o
sH
sH
sAAAs
sAAA
s
ssH
?
?
?
??
?
?
误差传递函数 He(s)
)(1
)(
)()(
)(
)(
)()(
o
o
oe
e
i
e
e sH
sH
ss
s
s
ssH
?
?
?
??
??
?
?
?
一, 瞬态响应及稳态相位误差
根据线性系统理论
相位误差的瞬态响应,?e(t) ? L-1?e(s) ? L-1He(s)?i(s)
稳态相位误差,
)()(lim)(lim)(lim ie0e0ee sssHsst sst ???? ????? ???
例：若采用简单 RC 滤波器, 输入信号频率阶跃变化,
求其相位误差的瞬态响应和稳态相位误差 。
?
?
?
?
??
??
0 0
0
)( ii
t
t
t
?
?
2
i
ii0 ii )( 0 d)( sstttt
t ????? ???????? ?
2
nn
2
n
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ss
sssH
，
2
1
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1
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?
?
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AA
2
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AA
相位误差的瞬态响应
)()()( ie1e ssHLt ?? -?
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?
?
?
?
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---
-
-???? - ttt
2
1
2
1
2
1
n )1(c o s2)1(s i n
)1(
21e2 2
n
2
n2
2
n
i
n
i ?????
?
?
?
?
?
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稳态相位误差,
od
i
i
n
ie0e
2)()(lim
AA
sssH
s
??
?
??? ?????
??
提高环路直流总增益 AdAo 可以减小 ?e?, 但由于 ? 也
相应减小, 恢复锁定时间拉长, 且会出现振荡 。
二, 正弦稳态响应
锁相环路的正弦稳态响应是指输入相位为正弦信号时
环路的输出响应 。
输入相位,?i(t) = ?imsin(? t + ?i)
输出相位,?o(t) = ?omsin(? t + ?o)
频率特性,
)j(
)j()j(
im
om
??
??? ?H
根据频率特性可以作出环路的波特图, 求上限频率和
判断其稳定性 。
例：采用简单 RC 滤波器时
环路的闭环传递函数
2
nn
2
2
n
i
o
2)(
)()(
???
?
?
?
??
??
sss
ssH
幅频特性
2
n
22
n
2 )/2()/1(
1)(
?????
?
??
?H
幅频特性曲线
具有低通滤波
特性, 形状与 ? 的
大小有关 。
上限截止角频
率
2
1
od
nH ?
?
?
?
?
???
?
??
AA
6.2 锁相环路性能分析
6.2.1 基本环路方程
6.2.2 捕捉过程的定性讨论
6.2.3 跟踪特性
分析环路锁定的动态过程及其性能特点 。
6.2.1 基本环路方程
(a)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
一, 鉴相器
作用：比较两个输
入电压之间的相位差,
产生相应的输出电压
vd(t) 。
设 ?r 为参考角频率 。
?r — VCO 未加控制电压时的固有振荡角频率 。
(a)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
t
t
d
)(d i
ri
??? ??
t
t
d
)(d o
ro
??? ??
即
vo(t) = Vom cos[?rt + ?o(t) + ?]
一般取
2
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(a)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
即 vo(t) = Vom sin[?rt + ?o(t)]
鉴相器输出的平均电压 vd(t) = Ad sin?e(t)
Ad — 鉴相器最大输出电压 ?e(t) = ?i(t) - ?o(t)
电路模型
(b)
图 6–2–1 鉴相器的电路模型
二, 压控振荡器 (VCO)
压控振荡器是振荡频率随控制电压变化的振荡器, 是
环路中固有的积分环节 。
特性曲线
(a)
图 6–2–2 VCO 的电路模型
在有限的控制电压范围
内, 用线性方程近似表示
?o - ?r ? Aovc(t)
Ao — 压控灵敏度, vc = 0
处的斜率, 单位 rad/s ? V
(a)
图 6–2–2 VCO 的电路模型
?o - ?r ? Aovc(t)
t
t
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??? ?? 根据
t
t
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或 ttvAt t ??? ? d)()(
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用微分算子 p = d/dt 表示
p
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电路模型
三, 环路低通滤波器
作用：滤除鉴相器输出电流中的无用组合分量及其干
扰分量, 以达到环路要求的性能, 并保证环路的稳定性 。
1,简单 RC 滤波器
图 6–2–3 环路低通滤波器
(a)简单 RC 滤波器
传递函数
?ssCR
sC
sV
sVsA
?
?
?
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1
1
)/(1
)/(1
)(
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F
式中, ? = RC。
2,无源比例积分滤波器
图 6–2–3 环路低通滤波器
(b)无源比例积分滤波器
传递函数
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式中, ?1 = R1C, ?2 = R2C 。
3,有源比例积分滤波器
图 6–2–3 环路低通滤波器
(c)无源比例积分滤波器
传递函数
集成运放满足理想化条件时
1
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式中, ?1 = R1C, ?2 = R2C
以微分算子 p 替换 s, 得微分方程
vc(t) = AF(p)vd(t)
电路模型
四, 基本环路方程
基本回路方程
)(s i n1)()()()()( eFodioie t
p
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或
p?e(t) + AdAoAF(p)sin?e(t) = p?i(t)
瞬时角频差 ??e(t)
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根据回路方程, 回路闭合后的任何时刻
??e(t) + ??o(t) = ??i(t)
若输入固有角频差 ??i(t) = ??i
环路锁定时
0d )(d)( ee ??? t tt ??
即 ?i = ?o,?e(t) 为固定值, 以 ?e? 表示, 称为稳态相
位误差 。
据回路方程有
AdAoAF(0)sin?e? = ??i
式中, AF(0) 为低通滤波器的直流增益 。
所以
0
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?A
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?
式中, A?0 = AdAoAF(0) 为环路直流总增益 。
??i > A?0,无解, 环路失锁 。
环路能锁定的最大输入固有频差 ??I, 称为同步带以
??L 表示
??L = ? A?0
在 VCO 的最大频率控制范围内, 若增大同步带, 必
须提高直流总增益 。
6.2.2 捕捉过程的定性讨论
捕捉过程就是环路从失锁状态进入锁定状态的过程 。
无信号输入时, VCO 振荡角频率为 ?r。
加入输入信号, 固有角频差 ??i = ?i - ?r。
瞬时相差, ttt t i
0 ie
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鉴相器输出电压, vd(t) = Adsin ??it
如果 ??I 很大, vd(t) 被低通滤波器衰减, 环路失锁 。
如果 ??I 很小, vd(t) 通过低通滤波器, 环路锁定 。
若 ??I 处于两者之间, 分两种情况讨论 。
1,??I 较大, 超过环路滤波器的通频带
vd(t) 虽然受到较大衰减, 但仍可以使 VCO 振荡频率
摆到 ?i, 环路很快锁定 。 称为快捕过程 。
快捕带：能够锁定的最大 |??i|, 以 ??c 表示
??c ? AdAoAF(??c)
2,??I 比第一种情况大
vd(t) 受到很大衰减, 不能使 VCO 振荡频率摆到 ?I 。
捕捉过程如下,
?o > ?r, ?i - ?o 减小, ?e(t)
随时间增长变慢 。
?o < ?r, ?i - ?o 增大, ?e(t)
随时间增长变快 。
vd(t) 变为不对称波形, 经低通
滤波器输出直流电压 VD, 使 ?o 的
平均值由 ?r 上升为 ?r(av), ?r 上
升, ?e(t) 随时间增长变的更慢,
不对称加大, VD 上升, ?o 进一步
靠近 ?r, 当 ?o 摆动到 ?I, 并符
合正确的相位关系, 环路锁定 。
?o 的平均值逐渐靠近 ?I 的过程称为频率牵引 。
Ad 和 Ao 的数值越大, 捕捉带越大, 环路滤波器通频带
越宽, 捕捉带越大 。
6.2.3 跟踪特性
环路在锁定状态下, 由于某种原因使环路偏离锁定,
通过自身调节重新维持锁定的过程称为跟踪过程 。
跟踪过程中 ?e 很小, 环路近似为线性系统 。
vd(t) ? Adsin?e(t) ? Ad?e(t)
环路基本方程
p?e(t) ? AdAoAF(p)?e(t) ? p?e(t)
或
s?e(s) ? AdAoAF(s)?e(s) ? s?i(s)
?e(s) ? ?i(s) - ?o(s)
开环传递函数 Ho(s)
)(
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闭环传递函数 H(s)
)(1
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一, 瞬态响应及稳态相位误差
根据线性系统理论
相位误差的瞬态响应,?e(t) ? L-1?e(s) ? L-1He(s)?i(s)
稳态相位误差,
)()(lim)(lim)(lim ie0e0ee sssHsst sst ???? ????? ???
例：若采用简单 RC 滤波器, 输入信号频率阶跃变化,
求其相位误差的瞬态响应和稳态相位误差 。
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提高环路直流总增益 AdAo 可以减小 ?e?, 但由于 ? 也
相应减小, 恢复锁定时间拉长, 且会出现振荡 。
二, 正弦稳态响应
锁相环路的正弦稳态响应是指输入相位为正弦信号时
环路的输出响应 。
输入相位,?i(t) = ?imsin(? t + ?i)
输出相位,?o(t) = ?omsin(? t + ?o)
频率特性,
)j(
)j()j(
im
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根据频率特性可以作出环路的波特图, 求上限频率和
判断其稳定性 。
例：采用简单 RC 滤波器时
环路的闭环传递函数
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幅频特性曲线
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特性, 形状与 ? 的
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