第四章 证券的收益与风险
? 持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收
益率 。
? HPR=(投资的期末价值 —期初价值 +此期间所得到的收
入 )/期初价值
?
? 投资者期初储蓄 5000元, 期末获本息 5200元, 有
? (5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4%
? [(19× 500)-(20× 500)+(4× 500)]/(20× 500)
? =0.15=15%
一,单利与复利
二、年收益率的折算
? 不同期限的折合成年收益率, 折算的公式为
?
? 年收益率 =持有期收益率× [年 (或 365)÷持有期长度 ]
? 股票投资期限是 5年，而银行储蓄的期限是 17个月
? 股票投资的年收益率为 15%× [1/5]=3%
? 银行储蓄的年收益率为 4%× [12/17]=2.82%
三、算术平均收益率
? 算术平均收益率 R 的计算公式为
? R (R1+R2+…… +RN)/N
? 如果投资者一项投资 4年的收益率分别为 10%，
-5%,0和 23%,年算术平均收益率为
? (10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%
? 几何平均方法是计算复利的方法, 几何平均收
益率 RG 的计算公式为
?
? RG=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]1/n-1
? 如果将上例 4期收益的数字代入几何平均收益率
的公式, 得到的结果为
?
?RG=[(1+ 0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)]1/4-1
? =1.065-1=0.065=6.5%
四、几何平均收益率
? 时间权重收益率也是计算复利的一种收益率,
计算公式为
RTW=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]-1
它与几何平均收益率的计算公式相比较, 只缺少
对总收入开 1/n次方 。 因此, 也可以说, 时间
权重收益率是投资的考虑复利的总收益率 。
五、时间权重收益率
第五章 投资基金
六、名义利率与实际利率
?实际利率与名义利率的关系有下式,
? Rreal =[(1+ Rnom)/(1+h)]-1
?
Rreal为实际利率, Rnom为名义利率, h是通货
膨胀率 。 如果名义利率为 8%,通货膨胀率
为 5%,其实际利率就是
[(1+0.08)/(1+0.05)]-1=1.02857-1=0.02857=2.857%
计算实际利率的公式可以近似地写成
?Rreal≈R nom—h
七、通货膨胀效应
? 年通 买 1元物品 20年 1000元 20年 年实际
? 胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率
4% 2.19元 456.39元 7.69%
? 6% 3.21元 311.80元 5.66%
? 8% 4.66元 214.55元 3.70%
? 10% 6.73元 148.64元 1.82%
? 12% 9.65元 103.67元 0.00%
八、连续复利
?复利频率 n 复利水平 (%)
? 年 1 6.00000
? 半年 2 6.09000
? 季 4 6.13636
? 月 12 6.16778
? 周 52 6.17998
? 日 365 6.18313
九、连续复利的计算
? 连续复利的计算公式为
?
? R EFF=[1+(APR)/n] n –1
? 这里, APR为利息的年百分率, n为每年计算复利的期
数 。 当 n趋近于无穷大时, (1+APR/n)n会趋近于 e APR，
这里, e的值为 2.71828。 在上例中, e 0.06=1.0618365，
因此, 我们可以说, 利息为 6%的债券的连续复利为每
年 6.18365%。
十、净现值的计算
? 贴现值是未来收益的现值, 因此它是终值计算的逆运算 。
譬如 8年后孩子要读大学, 家长要考虑在利率为 5%的情
况下, 现在要存入银行多少钱, 8年后才会有 30000元 。
计算现值 PV的公式为
? PV=1/(1+i)n
? 这是利率为 i,持续期为 n时的 1元的现值系数,
? PV=[1/(1+0.05)8]× 30000=0.6768× 30000=20305.18
? 即家长现在需要储蓄 20305.18元, 就可以了 。
? PV=[1/(1+0.06)8]× 30000=0.6274× 30000=18822.37,
PV=[1/(1+0.04)8]× 30000=0.7307× 30000=21920.71，
利率提高或降低一个百分点, 可以节省 (20305.18-
18822.37=)1482.81元, 或者多存 (20305.18-
21920.71=)1615.53元 。
十一、年金的计算
年金的现值 普通年金每期获得 1元的现值计算公式为
PV=[1-(1+i)-n]/i
PV为普通年金的现值, i为利率, n为年金的期数 。 假定有一每
年获得 100元, 利率为 6%,可获得 10期的普通年金, 有
PV={[1-(1+006)10]/0.06}× 100=736元
永久年金 指没有到期日的年金, 永久年金的计算公式为
永久年金的现值 =C/I
C为定期支付的现金, I为以小数表示的利率 。
十二、不同资产投资收益
投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均
(长期政府 )债券 17% 4% -1% 8% 7%
商品指数 1 -6 15 -5 1.25%
钻石 (1克拉投资级 ) -4 8 79 15 24.5%
黄金 (金块 ) -8 -9 105 19 26.75%
私人住宅 4 6 6 5 5.25%
实物资产 (商业 ) 9 13 18 6 11.5%
白银 (银块 ) 3 -6 94 4 23.75%
股票 (蓝筹 ) 14 7 -3 21 9.75%
股票 (小型增长公司 )17 14 7 12 12.5%
国库券 (3个月期 ) 6 5 7 3 5.25%
年度 股票收益 国债收益 国库券收益 通胀率
26-97均值 13.0 5.6 3.8 3.2
十三、长期投资的效果
? 风险 (risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程
度越高，风险就越大。
? 形势 概率 期末总价 总收益率
? 繁荣 0.25 13000元 30%
? 正常增长 0.50 11000元 10
? 萧条 0.25 9000元 -10
?
十四、风险及测度
十五、期望收益与方差
?E( r )=∑p(s)r(s)
?E( r )=(0.25× 0.30)+(0.50× 0.10)+[0.25
× (-0.10)]=0.075+0.05-.025=0.10=10%
?σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2
?σ2=∑0.25× (30-10)2+0.50× (10-10)2+
? 0.25(-10-10)2=200 或 14.14%
十六,26-99年美国
大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率
收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22
风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54
十七、彼得堡悖论
? 数学家丹尼尔 ·贝诺里 1725-1733年在圣彼得堡做研究
时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏, 参
加者先付门票, 然后开始掷硬币, 直至第一个正面出
现时为止 。 在此之前出现的反面的次数决定参加者的
报酬, 计算报酬 R的公式为
?
? R(n)=2n
?
? 公式中的 n为参加者掷硬币出现反面的次数, 参加者可
能获得的报酬取决于他掷硬币时, 在掷出第一个正面
前可以掷出多少个反面 。 参加者可能遇到的各种情况
的概率及报酬见表 。
? 参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表
? 反面 概率 报酬 概率 × 报酬
? 0 1/2 1 1/2
? 1 1/4 2 1/2
? 2 1/8 4 1/2
? 3 1/16 8 1/2
?,,,,
? n (1/2)n+1 2n 1/2
十七、彼得堡悖论
? 如果 n为 0,他可以得到的报酬为 20=1元, 期望报酬为
1/2；如果 n为 1,他可以得到的报酬为 21=2元, 期望报
酬仍为 1/2；余此类推, 如果 n为 n,他可以得到的全部
期望报酬为
? E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+…… =∞。
? 由于门票的价格是有限的, 而期望报酬却是无穷大的,
这就成为了一个悖论 。 贝诺里运用边际效用递减的道
理解决了这个问题 。 他指出, 参加者赋予所有报酬的
每一元不同的价值, 随着报酬的增加, 每新获得的 1元
价值是递减的 。 因此, 函数 log(R)给报酬为 R元的参加
者一个主观价值, 报酬越高, 每一元的价值就越小 。
最后, 他计算出风险报酬应为 2元, 这是参加者愿付的
最高价 。
十七、彼得堡悖论
? 假定有一公平游戏, 即投资者投资 10万元, 获
利 5万元的概率为 50%,亏损 5万元的概率为
50%,因此, 这一投资的期望收益为 0。
? 当 10万增到 15万时, 利用对数效用函数, 效用
从 log(100000)=11.51增加到 log(150000)=
? 11.92,效用增加值为 0.41,期望效用增加值为
0.5× 0.41=0.21。
? 如果由 10万降到 5 万, 由于 log(100000)-
log(50000)=11.51-10.82=0.69,期望效用的减
少值为 0.5× 0.69=0.35,它大于期望效用的增
加值 。
十八、边际效用递减举例
? 这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计
算公式, 资产组合的期望收益为 E(r),其收益
方差为 ?2,其效用值为,
?
?U=E(r)-0.005A?2
?
? 其中 A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度
不同的投资者可以有不同的指数值,A值越大，
即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。
在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用
越大；收益的方差越大，效用越小。
十九、效用公式
? 持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收
益率 。
? HPR=(投资的期末价值 —期初价值 +此期间所得到的收
入 )/期初价值
?
? 投资者期初储蓄 5000元, 期末获本息 5200元, 有
? (5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4%
? [(19× 500)-(20× 500)+(4× 500)]/(20× 500)
? =0.15=15%
一,单利与复利
二、年收益率的折算
? 不同期限的折合成年收益率, 折算的公式为
?
? 年收益率 =持有期收益率× [年 (或 365)÷持有期长度 ]
? 股票投资期限是 5年，而银行储蓄的期限是 17个月
? 股票投资的年收益率为 15%× [1/5]=3%
? 银行储蓄的年收益率为 4%× [12/17]=2.82%
三、算术平均收益率
? 算术平均收益率 R 的计算公式为
? R (R1+R2+…… +RN)/N
? 如果投资者一项投资 4年的收益率分别为 10%，
-5%,0和 23%,年算术平均收益率为
? (10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%
? 几何平均方法是计算复利的方法, 几何平均收
益率 RG 的计算公式为
?
? RG=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]1/n-1
? 如果将上例 4期收益的数字代入几何平均收益率
的公式, 得到的结果为
?
?RG=[(1+ 0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)]1/4-1
? =1.065-1=0.065=6.5%
四、几何平均收益率
? 时间权重收益率也是计算复利的一种收益率,
计算公式为
RTW=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]-1
它与几何平均收益率的计算公式相比较, 只缺少
对总收入开 1/n次方 。 因此, 也可以说, 时间
权重收益率是投资的考虑复利的总收益率 。
五、时间权重收益率
第五章 投资基金
六、名义利率与实际利率
?实际利率与名义利率的关系有下式,
? Rreal =[(1+ Rnom)/(1+h)]-1
?
Rreal为实际利率, Rnom为名义利率, h是通货
膨胀率 。 如果名义利率为 8%,通货膨胀率
为 5%,其实际利率就是
[(1+0.08)/(1+0.05)]-1=1.02857-1=0.02857=2.857%
计算实际利率的公式可以近似地写成
?Rreal≈R nom—h
七、通货膨胀效应
? 年通 买 1元物品 20年 1000元 20年 年实际
? 胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率
4% 2.19元 456.39元 7.69%
? 6% 3.21元 311.80元 5.66%
? 8% 4.66元 214.55元 3.70%
? 10% 6.73元 148.64元 1.82%
? 12% 9.65元 103.67元 0.00%
八、连续复利
?复利频率 n 复利水平 (%)
? 年 1 6.00000
? 半年 2 6.09000
? 季 4 6.13636
? 月 12 6.16778
? 周 52 6.17998
? 日 365 6.18313
九、连续复利的计算
? 连续复利的计算公式为
?
? R EFF=[1+(APR)/n] n –1
? 这里, APR为利息的年百分率, n为每年计算复利的期
数 。 当 n趋近于无穷大时, (1+APR/n)n会趋近于 e APR，
这里, e的值为 2.71828。 在上例中, e 0.06=1.0618365，
因此, 我们可以说, 利息为 6%的债券的连续复利为每
年 6.18365%。
十、净现值的计算
? 贴现值是未来收益的现值, 因此它是终值计算的逆运算 。
譬如 8年后孩子要读大学, 家长要考虑在利率为 5%的情
况下, 现在要存入银行多少钱, 8年后才会有 30000元 。
计算现值 PV的公式为
? PV=1/(1+i)n
? 这是利率为 i,持续期为 n时的 1元的现值系数,
? PV=[1/(1+0.05)8]× 30000=0.6768× 30000=20305.18
? 即家长现在需要储蓄 20305.18元, 就可以了 。
? PV=[1/(1+0.06)8]× 30000=0.6274× 30000=18822.37,
PV=[1/(1+0.04)8]× 30000=0.7307× 30000=21920.71，
利率提高或降低一个百分点, 可以节省 (20305.18-
18822.37=)1482.81元, 或者多存 (20305.18-
21920.71=)1615.53元 。
十一、年金的计算
年金的现值 普通年金每期获得 1元的现值计算公式为
PV=[1-(1+i)-n]/i
PV为普通年金的现值, i为利率, n为年金的期数 。 假定有一每
年获得 100元, 利率为 6%,可获得 10期的普通年金, 有
PV={[1-(1+006)10]/0.06}× 100=736元
永久年金 指没有到期日的年金, 永久年金的计算公式为
永久年金的现值 =C/I
C为定期支付的现金, I为以小数表示的利率 。
十二、不同资产投资收益
投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均
(长期政府 )债券 17% 4% -1% 8% 7%
商品指数 1 -6 15 -5 1.25%
钻石 (1克拉投资级 ) -4 8 79 15 24.5%
黄金 (金块 ) -8 -9 105 19 26.75%
私人住宅 4 6 6 5 5.25%
实物资产 (商业 ) 9 13 18 6 11.5%
白银 (银块 ) 3 -6 94 4 23.75%
股票 (蓝筹 ) 14 7 -3 21 9.75%
股票 (小型增长公司 )17 14 7 12 12.5%
国库券 (3个月期 ) 6 5 7 3 5.25%
年度 股票收益 国债收益 国库券收益 通胀率
26-97均值 13.0 5.6 3.8 3.2
十三、长期投资的效果
? 风险 (risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程
度越高，风险就越大。
? 形势 概率 期末总价 总收益率
? 繁荣 0.25 13000元 30%
? 正常增长 0.50 11000元 10
? 萧条 0.25 9000元 -10
?
十四、风险及测度
十五、期望收益与方差
?E( r )=∑p(s)r(s)
?E( r )=(0.25× 0.30)+(0.50× 0.10)+[0.25
× (-0.10)]=0.075+0.05-.025=0.10=10%
?σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2
?σ2=∑0.25× (30-10)2+0.50× (10-10)2+
? 0.25(-10-10)2=200 或 14.14%
十六,26-99年美国
大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率
收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22
风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54
十七、彼得堡悖论
? 数学家丹尼尔 ·贝诺里 1725-1733年在圣彼得堡做研究
时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏, 参
加者先付门票, 然后开始掷硬币, 直至第一个正面出
现时为止 。 在此之前出现的反面的次数决定参加者的
报酬, 计算报酬 R的公式为
?
? R(n)=2n
?
? 公式中的 n为参加者掷硬币出现反面的次数, 参加者可
能获得的报酬取决于他掷硬币时, 在掷出第一个正面
前可以掷出多少个反面 。 参加者可能遇到的各种情况
的概率及报酬见表 。
? 参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表
? 反面 概率 报酬 概率 × 报酬
? 0 1/2 1 1/2
? 1 1/4 2 1/2
? 2 1/8 4 1/2
? 3 1/16 8 1/2
?,,,,
? n (1/2)n+1 2n 1/2
十七、彼得堡悖论
? 如果 n为 0,他可以得到的报酬为 20=1元, 期望报酬为
1/2；如果 n为 1,他可以得到的报酬为 21=2元, 期望报
酬仍为 1/2；余此类推, 如果 n为 n,他可以得到的全部
期望报酬为
? E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+…… =∞。
? 由于门票的价格是有限的, 而期望报酬却是无穷大的,
这就成为了一个悖论 。 贝诺里运用边际效用递减的道
理解决了这个问题 。 他指出, 参加者赋予所有报酬的
每一元不同的价值, 随着报酬的增加, 每新获得的 1元
价值是递减的 。 因此, 函数 log(R)给报酬为 R元的参加
者一个主观价值, 报酬越高, 每一元的价值就越小 。
最后, 他计算出风险报酬应为 2元, 这是参加者愿付的
最高价 。
十七、彼得堡悖论
? 假定有一公平游戏, 即投资者投资 10万元, 获
利 5万元的概率为 50%,亏损 5万元的概率为
50%,因此, 这一投资的期望收益为 0。
? 当 10万增到 15万时, 利用对数效用函数, 效用
从 log(100000)=11.51增加到 log(150000)=
? 11.92,效用增加值为 0.41,期望效用增加值为
0.5× 0.41=0.21。
? 如果由 10万降到 5 万, 由于 log(100000)-
log(50000)=11.51-10.82=0.69,期望效用的减
少值为 0.5× 0.69=0.35,它大于期望效用的增
加值 。
十八、边际效用递减举例
? 这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计
算公式, 资产组合的期望收益为 E(r),其收益
方差为 ?2,其效用值为,
?
?U=E(r)-0.005A?2
?
? 其中 A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度
不同的投资者可以有不同的指数值,A值越大，
即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。
在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用
越大；收益的方差越大，效用越小。
十九、效用公式
