Wu Chong-shi
a0a1a2a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 a101
a11
a12a13a14a15a16 a17 a18 a19 a20 a21
§31.1 a22 a23 a24 a25 a26
? a27a28a29
a30a31a32a33
a29
a34a35a36a37a38
a28a39a40a41
a42a43a44
a28a39a45
a46a38a47a48
a29
a49a36a50a51a35
a28a39
a47a48a44a52a53
a45
? a54a55a28a39a29
a35a56a57a58
a41
a42a43 x(a58a59a60a61a62a63a64) a44a65a66
a39a67a29
a34a68a66a38 y
a69a70a71a72a45 y a73a40
xa44a28a39a29a74a40y = f(x)a45
? a75
a60x,y
a76a77a78
a68a66a79a80a81 y(x)
a29a82a83a84
L =
integraldisplay
C
ds =
integraldisplay x1
x0
radicalBig
1 + yprime2dx.
a85a86
a29y(x)a87a88a29La89a87a88a29
a90La44
a39a67a91a92a93
a37a38
a28a39y(x)a94a95
a42
a45La96a28a39y(x)a70
a63
a44a46a97
a91a92a98a99a29a73a40a27a28a98a99a45
a100a101a102a103a104a105a106a107a108a109a110a111
a45
a103a112
a29a113a114a115a116a117a118
a102a119a120
a29
a121a119
a115a116a122a123a124a125a126a127
a118
a102a128a129a130a130a120a131a132a119a120
a29a133a133a45a134a135a136a137a124a138
a139a140a102a141a142a143a144
a45
? a75a71a93(a61a66a28a39a145a146
a64a44)a65a147a66a38
a28a39y(x)a29
a68a148a66a38
a39J[y]a69a70a71a72a29
a149
a73J[y]a40y(x)
a44
a27a28a45
a46a150a44
a28a39a145a146a29
a90
a27a28
a44a58a59a151
a29
a152a153a154a155a156a157y(x)
a158a159
a66a58a44a160a161a162a163
a29
a164a165a166a68a167a168
a44a169a170a171
a39a45
a46a172a44 y(x)
a73a40
a49a173
a28a39a45
a174a175a176a175a177a178a179a180a181a182
a45a183a184a185a186a29a187a124a188a189 xa190a29a191a188a189
a142a192
a190a193a194a183a195a196
a183a184a197a186a29a198a199a200a187
a109a201
a188a202a203a204
a102a142a192 y(x)
a29a205a206a207a208a188a189
a141a142
a190 J[y]a45
(a124a209a210a211a188a202a203a204
a102) a142a192a212
a211a29
a141a142
a190a213a214
a212
a211a45
a215
a138
a216a217a141a142
a190J[y]a193
a142a192y(x)
a194a203
a102a218a219a143a144
a29
a220a220a221a222a142a192y(x)
a223
a215a224a225a142a192
a45
a27a28
a44a226a227a49a36a35a228a97a228a172a44
a29a229
a35
a29
a60a230a231a232a233a234a235a236
a93a237a238a239
J[y] =
integraldisplay x1
x0
F(x, y, yprime)dx
a58a59a44
a27a28a29a82
a232a44 F a35a240a44a241a43a44a242a243
a28a39a29
a166a68a167a168a44a169a170a244a171
a39a45
a245a246a42a43
a28a39
a35a169a247
a28a39 u(x,y)a29
a149
a27a28a40
J[u] =
integraldisplayintegraldisplay
S
F (x, y, u, ux, uy) dxdy,
Wu Chong-shi
§31.1 a248 a249 a250 a251 a252
a102
a11
a82
a232u
x ≡ ?u/?x, uy ≡ ?u/?y a45
a71a93a253
a228a38
a41
a42a43a44a228a247
a28a39a29a89
a49a36a68a254a255a44a58a59
a45
a031.1
a1 31.1 a245a231.1
a54a3a29
a60a4a5a6
a237a7a29
a66a38a8a9a10 (x
0,y0)
a9a11
a76a77
a80a81y(x)
a12a13a14
a32
a41
a15
a7a16a17(x1,y1)a9a29
a149
a54a18
a156a44a19a63
T =
integraldisplay (x1,y1)
(x0,y0)
dsradicalbig
2g(y0 ?y) =
integraldisplay x1
x0
radicalbig
1 + yprime2radicalbig
2g(y0 ?y)dx
a34a35y(x)a44
a27a28a45
a46a150
a29
a156a157a42a43
a28a39 y(x)a66a58a152a20a21a9(x0,y0)a96 (x1,y1)a45 (a22a23a24a25a26a27
Galileo Galileia28
a109)
a1 31.2
a29
a44a30a31a32a33a34
a45a75
a60
a29a78a35a36a37a159a38a39
a44a66a40
a29a29
a149a41a40
a29
a44
a32a42= 1
2ρ?x
parenleftbigg?u
?t
parenrightbigg2
, a43
a42= 1
2T?x
parenleftbigg?u
?x
parenrightbigg2
,
a82
a232u(x,t)a35
a29
a44a30a44a45a46
a29 ρa35a29
a44a81a47
a84a29 T a35a48a5a45
a46a172
a29a29
a44 Hamiltona6
a237
a43
S =
integraldisplay t1
t0
dt
integraldisplay x1
x0
1
2
bracketleftBig
ρ
parenleftbigg?u
?t
parenrightbigg2
?T
parenleftbigg?u
?x
parenrightbigg2 bracketrightBig
dx
a89
a35a45a46u(x,t)a44
a27a28a45
L =
integraldisplay x1
x0
1
2
bracketleftBig
ρ
parenleftbigg?u
?t
parenrightbigg2
?T
parenleftbigg?u
?x
parenrightbigg2 bracketrightBig
dx
a73a40Lagrangea43(Lagrangian)a29a94a49a238a28a39
1
2
bracketleftBig
ρ
parenleftbigg?u
?t
parenrightbigg2
?T
parenleftbigg?u
?x
parenrightbigg2 bracketrightBig
a73a40Lagrangea43a47a84a45
Wu Chong-shi
a0a1a2a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 a103
a11
§31.2 a22 a23 a24 a50 a51
? a52a55a27a28a53a67a54
? a27a28
a173
a53a67
a44a55a156a162a163
a54
? a56a57a58
a66
a7
a68
a98a28a39a53a67
a44a47a48
a45
a54a55a28a39f(x)a60x0 a9a173a53a59a67a29a35a56a60 xa60x0 a9a61a82a62a63|x?x0| < εa19a29a64a68
f(x) ≥ f(x0);
a94
a245a246
a64
a68
f(x) ≤ f(x0),
a149
a73a28a39f(x)a60x0 a9a173a53a65a67a45
a28a39f(x)
a60x
0
a9a173
a53a67 (a53a59a66a53a65)
a44a55a156a162a163a35a60a41a9a44a171
a39a40 0a29
fprime(x0) = 0.
? a49a36a237a88
a172a44a67a68a58a59
a27a28
a44
a53a67a45
a69
a60a42a43
a28a39a40y(x)
a19
a29a27a28J[y]a173a53a59a67a70
a44a155a59a34a35a71
a71a93a53a67a28a39 y(x)a61a82
a69
a62a63a70
a44a42a43
a28a39y(x) + δy(x)a29a64
a68
J[y + δy] ≥ J[y].
a54a55a28a39y(x) + δy(x)a60a148a66a38a28a39 y(x)a44 a69a62a63a70a29a56a44a35a71
1. |δy(x)| < εa196
2. a68a19a72a156a157|(δy)prime(x)| < εa45
a46a150a44δy(x)
a73a40a28a39y(x)a44a73a74a45
? a49a36a75a76a28a39a53a67a55a156a162a163a44a171a37a77a68a29a171a37a27a28a173a53a67a44a55a156a162a163a45
a87a78a87a79a80a81a82
a32a83a58
a29a54a84a85
a44a42a43
a28a39a86
a152a20a87a58a44a88a38a21a9
y(x0) = a, y(x1) = b,
a90
δy(x0) = 0, δy(x1) = 0.
a84a85a27a28
a44a89
a67
J[y + δy]?J[y] =
integraldisplay x1
x0
bracketleftBig
F (x, y + δy, yprime + (δy)prime) ?F(x, y, yprime)
bracketrightBig
dx,
a60
a28a39
a44a42
a239 δy(x)a159a38a59
a19
a29
a49a36a90
a49a238a28a39
a60
a53a67a28a39a62a63
a6 Taylor
a91a92a29a93
a35
a29
a68
J[y + δy]?J[y] =
integraldisplay x1
x0
braceleftbiggbracketleftBig
δy ??y + (δy)prime ??yprime
bracketrightBig
F + 12!
bracketleftBig
δy ??y + (δy)prime ??yprime
bracketrightBig2
F +···
bracerightbigg
dx
Wu Chong-shi
§31.2 a248 a249 a250 a93 a94
a104
a11
= δJ[y] + 12!δ2J[y] +···,
a82
a232
δJ[y] ≡
integraldisplay x1
x0
bracketleftBig?F
?y δy +
?F
?yprime (δy)
prime
bracketrightBig
dx,
δ2J[y] ≡
integraldisplay x1
x0
bracketleftBig
δy ??y + (δy)prime ??yprime
bracketrightBig2
Fdx
=
integraldisplay x1
x0
bracketleftBig?2F
?y2 (δy)
2 + 2 ?2F
?y?yprime δy(δy)
prime + ?2F
?yprime2(δy)
prime2
bracketrightBig
dx
a239a95
a35
a27a28J[y]a44a66a96a42a239a96
a169a96a42
a239a45
a46a172a34a97
a17
a71a174a175J[y]
a98a99a100a101
a180a102a103a104a105a176a174a175a180a106
a107a73a74a1080
a29
δJ[y] ≡
integraldisplay x1
x0
bracketleftBig
δy ?F?y + (δy)prime ?F?yprime
bracketrightBig
dx = 0.
a90
a78
a227
a238a239
a232a44a109a169a110
a239a111a238a239a29a88
a19a112a113a160a161a162a163
a29
a34a68
δJ[y] = ?F?yprime δy
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
x1
x0
+
integraldisplay x1
x0
bracketleftBig
δy ?F?y ? δy ddx ?F?yprime
bracketrightBig
dx
=
integraldisplay x1
x0
bracketleftBig?F
?y ?
d
dx
?F
?yprime
bracketrightBig
δydx = 0.
a15
a93δy
a44a65a147
a82a29
a34a49a36a97
a17
?F
?y ?
d
dx
?F
?yprime = 0.
a46a38a67a114
a73a40Euler–Lagrangea67a114a29
a240a35
a27a28J[y]a173a53a59a67a44a55a156a162a163a44a115a239a226a227a45a66a116a33a117a29
a46a35a66a38a169a170a153a115
a239
a67a114
a45
a183a184
a141a142 J[y]
a118a119a120a190
a102a121a122
a29a136
a106a107a100a101a123a124a125
a29a126a127a136a128a207a208a211a129
a122a130a102
a199a131a132
a133
a45
a60a171
a37Euler–Lagrange
a67a114a19
a29a134a135a78a237a17a136
a42
a239
a68a44a66a38a4a156a44a137a230a138a139a71
a75φ(x)a35xa44a167a168a28a39a29η(x)a166a68a167a168a44a169a170a171a39a29a165η(x)vextendsinglevextendsinglex=x
0
= η(x)vextendsinglevextendsinglex=x
1
= 0a29
a140
a71a93
a65a147η(x)
a29 integraldisplay
x1
x0
φ(x)η(x)dx = 0
a86
a51a141
a29
a149a55a68 φ(x) ≡ 0
a45
a131.3
a75
a8a9a60a68
a43
a5a142a232a11a143a144 q = q(t) a15t
0, q(t0)
a9a145a32
a17 t1, q(t1)a9a29
a240a44Hamilton
a6
a237
a43a35
S =
integraldisplay t1
t0
L(t, q, ˙q)dt
a82
a232q
a96 ˙q a35a146a147a8a9a145a32a44a53a59a148a149a96
a53a59a32a43
a29 L = T ? V a35a32a42 T a96a43
a42 V
a70
a89
a29a73a40
Lagrangea43a45
Wu Chong-shi
a0a1a2a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 a105
a11
Hamilton a150a151a152a153
a233a234
a29a154
a106a155 (
a156a157a158a159a160a161
a180)
a162a163a164a165a166a29a167a168a156a157
a180 (
a169a170a171a158a172
a173a174a175a180)
a164a165a176a177a178a179 S a98a99a101a45
a180a181
a78a77
a44a182a183a49a243
a29
a6
a237
a43 S a173
a53a67
a44a55a156a162a163a44
a238a239
a226a227
a96
a115
a239
a226a227
a239a95
a35
δS =
integraldisplay t1
t0
bracketleftBig?L
?q δq +
?L
? ˙q δ˙q
bracketrightBig
dt = 0
a96
?L
?q ?
d
dt
?L
? ˙q = 0.
a60a57a58a44a68
a43
a5a142a232
a29
a147
a37 Lagrange
a43La44a166a184a226a227
a29
a34a185a186a187
a29
a240
a96 Newton
a5a188a44a32a5a188a67
a114a189a190a66a172
a45
a187a60a182a183
a27a28
J[y] =
integraldisplay x1
x0
F(x, y, yprime)dx
a44a88a97a153a191a44a192a193a194a226
a45
star a27a28
a232a44 F = F(x, yprime)
a87
a85a155y
a46a19a44Euler–Lagrangea67a114a34a35
d
dx
?F
?yprime = 0,
a54
a36
a29
a141a90a34a49a36a97
a17
a240a44a195a196
a238a239
?F
?yprime =
a153a43C.
star a27a28
a232a44 F = F(y, yprime)
a87
a85a155x
a197a198a199a200
a29
d
dx
bracketleftBig
yprime ?F?yprime ?F
bracketrightBig
=yprimeprime ?F?yprime + yprime ddx ?F?yprime ? ?F?y yprime ? ?F?yprime yprimeprime
=?yprime
bracketleftBig?F
?y ?
d
dx
?F
?yprime
bracketrightBig
,
a54
a36
a29
a46a19a44 Euler–Lagrangea67a114
a89
a49a36a68a195a196
a238a239
yprime ?F?yprime ?F =a153a43C.
a201a46a38a202a246
a72a237a17a203 31.3 a232a29
a245a246Lagrangea43L
a87
a85a155t
a29
a149a68
˙q?L? ˙q ? L =a153a43C,
a46a34a35
a163a179a204a205a45
a7a77a206a207
a169a247
a28a39
a44a194a226
a45a75
a68a169a247
a28a39 u(x, y), (x, y) ∈ S a29
a60a208a137a209
a78
a49a36a58a59
a27a28
J[u] =
integraldisplayintegraldisplay
S
F(x, y, u, ux, uy)dxdy.
Wu Chong-shi
§31.2 a248 a249 a250 a93 a94
a106
a11
a210a86a211a58
a29 u(x, y)a60S a44a160a161Γ a78
a44
a39a67
a57a58
a29
a90
uvextendsinglevextendsingleΓ a87a58.
a195
a56a29
a60a86a156a212a213
J[u + δu]?J[u] =
integraldisplayintegraldisplay
S
F (x, y, u + δu, (u + δu)x, (u + δu)y)dxdy
?
integraldisplayintegraldisplay
S
F(x, y, u, ux, uy)dxdy
=
integraldisplayintegraldisplay
S
bracketleftBig
δu ??u + (δu)x ??u
x
+ (δu)y ??u
y
bracketrightBig
F dxdy
+ 12!
integraldisplayintegraldisplay
S
bracketleftBig
δu ??u + (δu)x ??u
x
+ (δu)y ??u
y
bracketrightBig2
F dxdy + ···,
a93
a35
a29a27a28J[u]a173a53a67
a44a55a156a162a163a34a35
a27a28
a44a66a96a42
a239a40 0a29
δJ[u] =
integraldisplayintegraldisplay
S
bracketleftBig
δu ?F?u + (δu)x ?F?u
x
+ (δu)y ?F?u
y
bracketrightBig
dxdy
=
integraldisplayintegraldisplay
S
bracketleftBig?F
?u ?
?
?x
parenleftBig ?F
?ux
parenrightBig
? ??y
parenleftBig ?F
?uy
parenrightBigbracketrightBig
δudxdy
+
integraldisplayintegraldisplay
S
bracketleftBig ?
?x
parenleftBig ?F
?ux δu
parenrightBig
+ ??y
parenleftBig ?F
?uy δu
parenrightBigbracketrightBig
dxdy
=0.
a214
a237a215
a227
integraldisplayintegraldisplay
S
parenleftBig?Q
?x ?
?P
?y
parenrightBig
dxdy =
integraldisplay
Γ
parenleftBig
Pdx+ Qdy
parenrightBig
,
a173
Q = ?F?u
x
δu, P = ? ?F?u
y
δu,
a34a42a90
a78a77
a44a202a246a216
a40
δJ[u] =
integraldisplayintegraldisplay
S
bracketleftBig?F
?u ?
?
?x
?F
?ux ?
?
?y
?F
?uy
bracketrightBig
δudxdy +
integraldisplay
Γ
bracketleftBig
? ?F?u
x
dx + ?F?u
y
dy
bracketrightBig
δu.
a180a181a160a161a162a163
a29 uvextendsinglevextendsingleΓ a87a58a29
a49a243
δuvextendsinglevextendsingleΓ = 0,
a78
a227a217a21a109a169a110a44a81
a238a239a40 0a29a54
a36
δJ[u] =
integraldisplayintegraldisplay
S
bracketleftBig?F
?u ?
?
?x
?F
?ux ?
?
?y
?F
?uy
bracketrightBig
δudxdy = 0.
Wu Chong-shi
a0a1a2a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 a107
a11
a218a214
a237 δua44a65a147a82a29
a34a49a36a171
a37a78a77
a44
a49a238a28a39
a66a58
a40 0a29
?F
?u ?
?
?x
?F
?ux ?
?
?y
?F
?uy = 0,
a46a34a35a169a247
a28a39
a194a226
a7a29a27a28
J[u] =
integraldisplayintegraldisplay
S
F(x, y, u, ux, uy)dxdy
a173
a53a67
a44a55a156a162a163a44a115
a239
a226a227 (Euler–Lagrangea67a114)
a45
a201a46a38a202a246
a72a237a17a203 31.2 a232a29
a44a30a31a32a33a34
a78a29
a34a97
a17a219
a6
a237
a43
S =
integraldisplay t1
t0
dt
integraldisplay x1
x0
1
2
bracketleftBig
ρ
parenleftbigg?u
?t
parenrightbigg2
?T
parenleftbigg?u
?x
parenrightbigg2 bracketrightBig
dx
a173
a53a67
a44a55a156a162a163
?2u
?t2 ?
T
ρ
?2u
?x2 = 0,
a46a220a35a10913
a221
a171
a37
a44
a29
a44a30a31a32a67a114
a45
a107
a204a210a188a222
a142a192a223a111
a222
a142a192a102a141a142
a119a190a23a24a224a29a137a225a124a138
a224a225a142a192
a210a226a227
a131a228a229
a204a118
a124a190a29a230a126
a224a225a142a192a102a224a231
a210a226a227
a131a228a229
a204a188a124
a215 0
a45
a232a233a174a175
a99a101a234a235a236
a108a237a175a238a239a240a237a175a241a242a180a174a175
a99a101a234a235a45
a243a100
a23a24a210
a192a244
a204a245a25a246a247
a102
a29a214a126a248
a221
a245a249a250a204a25
a220a251a102
a45
a7a77
a36a66a247
a28a39a40a203a29a252
a202a66
a7
a42
a239
a44a253a162a30a31a145a213a68a149
a45
1. a195a56a29
a15
a93
a42
a239
a35
a71a28a39 y a254a255
a44
a29a0
a141
a93a41
a42a43 x
a29a54
a36
a29
a42
a239
a145a213
a96
a115
a239a66
a115a1a145a213
a49a2a3a196a4
a29
δdydx = d(δy)dx a90 δyprime = (δy)prime.
2. a42a239
a145a213
a89
a35a66a38a81
a82
a145a213
a29
δ(αF + βG) = αδF + β δG,
a82
a232α
a96β a35a153a39a45
3. a5a6
a212a213
a29
a34a49a36a97
a17a28a39a7a238
a44a42
a239
a68a149a71
δ(FG) = (δF)G + F (δG).
4. a42a239
a145a213
a96a238a239 (a115a239
a44a8a145a213)
a89
a49a36a2a3a196a4
a29
δintegraltextba F dx = integraltextba(δF)dx.
a46a235a156a201a9a227a88a21a44a58
a238a239
a147a51a96
a39a96
a90a49a50
a37a45
Wu Chong-shi
§31.2 a248 a249 a250 a93 a94 a108a11
5. a12a146a28a39
a44a42
a239
a145a213
a29a82
a68a149
a96
a115
a239
a145a213a189a190a13a14a15a16a17a18a19a20a21a22a23a24a25a26a27 a28d
a29a30
a31 a28δ
a29a32a33a34a35a36
a15
δF(x, y, yprime) = ?F?y δy + ?F?yprime δyprime.
a37a38a39a40a15a41a42 F
a43a44
a27a45a46a15a47a48a49 y a27
a43
a23a15a50a51
a43a52 xa47a53a43a44
a27
a34a54a55
a15a56a57a53a58a59a60
a28(?F/?x)δx
a29a61a34
a37a62a63a64a24a25a15a65a66a67a68
a33a55a69
a53a70a71a20a72a73a74a75a76a48a49a27a77a78
a34
? a79a80
a67a81a27a82a48a83a84a85a86a15a87a88a59a82a48a89a83a84a27a90a17a91a92a93
a32 Euler–Lagrangea94a95a96
a15a97a98
a17a87a99a100a27a100a101a91a92a102a103a101a22a23
a94a95
a15a104a105
a33a106
a103a107a83a84a48a49
a34
? a98a17a39a40a15Euler–Lagrangea94a95
a16a47a82a48a89a83a84a27a90a17a91a92a15a108a53a47a109a23a90a17a91a92
a34
a87a99a100
a27a100a101a91a92a102a15Euler–Lagrange
a94a95
a27a101
a33a106
a53a110a111a112a15a113a114a16a47a83a84a48a49a27a115a116a117
a34
a74a118
a119a111(
a120)a112a101a47a17a103a27a83a84a48a49a15a97a98a17a121a111a122a123a55a124a125a34
? a126
a103a48a49a83a84a27a77a78a111a127a15
a124a125
a27
a94
a24a105a128a129
a34
? a111a129a47a130a131a132a133a54
a103a107a27a101a134a135 a28a136a137
a29
a27a48a49a27a82a48a84a15a138a139a82a48a83a84a27a100a140a123
a55a141a142a34
a37a129
a94
a24a53a143a144a145a15a146a147a58a148a134a133a75a27a149a64
a34
? a150
a111a129
a94
a24a47a149a64a82a48a27a151a152
a43
a23 δ2J a15
a36a153
a57a154
a54
a103a107a27a101a15a82a48a27a151a152
a43
a23a89a155 (
a156)
a84a15a25a157a101
a32a80
a83a84a48a49a15a82a48a89a83a158 (
a159)a34
a37a129
a94
a24a65a66a132a133a18a160a15a161
a36a153
a151a152
a43
a23
a80 0a15
a25a98a17a162a163a164a165a166a152
a43
a23
a34
? a144a167a85a86a168a168a169a170a125
a18a19a171a37a172a47a87a99a100a27a173a174a91a92a102a15 Euler–Lagrange
a94a95
a16a105a111a112a101a15
a14a175a15a176a177a178a179a49a180a181a182a183a169
a106a141a142
a15a157a82a48a27a83a84a111a100a184a87a15a185a186a15a37a175a103a107a27a187a111a101a111
a100a172a47
a54
a17a103a27a83a84a48a49
a34
