GSQ
第五章 电路的时域分析
5.1 概述 换路定理
5.2 RC电路的时域分析
5.3 求解一阶电路的三要素法
5.4 脉冲激励下的 RC电路
C
电路处于旧稳态
S R
U+_ Cu
5.1 概述 换路定理
电路处于新稳态
R
U
+
_ Cu
稳态,给定条件下，电路中的电压、电流物理量达到稳定状态
暂态,电路参数从一个稳态转换到另一个稳态需要一个过渡时
间此段时间内电路所产生的物理过程称为 过渡过程 。过
渡过程状态又称为 暂态。
5.1.1,稳态,与, 暂态,的概
念
开关 S 闭合后的 I？
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
S
5.1.2 产生过渡过程的电路及原因
结论,电阻电路 不存在过渡过程。
从一个稳态到另一个稳态，不需要过渡时间
结论,电阻电路 不存在过渡过程。
U
S R
+
_ CuC
S 闭合后的 UC？
t
Cu
U
从一个稳态到另一个稳态，需要过渡时间
t0
经过 t0 时间后，电路达到新稳态
结论,电容电路 存在过渡过程。
结论,电容电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 cui d tuW t
C ?? ?
K R
U +_
t=0
iL
t
Li
R
U
结论,电感电路 存在过渡过程。
结论,电感电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 LidtuiW t
L ?? ?
能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电感的电路存在过渡过程
能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电容的电路存在过渡过程
电容为储能元件,它储存的能量为电场能量,大小为：
电感为储能元件,它储存的能量为磁场能量,大小为：
电容电路
电感电路
5.1.2,产生过渡过程的电路及原因
含有电容和
电感的电路
当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生
什么是换路？电路状态的改变称为换路，如：
1.电路的接通、断开 2.电源的升高或降低 3,元件参数的改变
产生过渡过程的原因？
CW
不能突变
Cu
不能突变
电容 C存储的电场能量
）（ 221 CCuWc ?
电感 L 储存的磁场能量
）（ 221 LL LiW ?
LW
不能突变
Li
不能突变
自然界物体所具有的能量不能突变，
能量的积累或 释放需要一定的时间。
换路定理, 换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
设 t=0 时换路 ?0
?0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
5.1.3,换路定律
换路定理
用换路定律可以求出 0+ 时刻的初始值，
初始值是电路时域分析的重要条件。
§ 5.1 概述
1.,稳态,与, 暂态,的概念
2,产生过渡过程的电路及原因
含有电容和
电感的电路
当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生
原因？ 能量的积累或 释放需要一定的时间
3,换路定律
换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
4,确定电路初值
C
换路前
S R
U+_ Cu
换路很久后
R
U
+
_ CuC
换路后瞬间
S R
U+_ Cu
i i i
0)0(
0)0(
?
?
?
?
u
i
0)0(
)0(
?
?
?
?
u
i RU
Uu
i
??
??
)(
0)(
求解依据, 1,换路定律
初始值, 电路中 u,i 在 t=0+ 时 的大小。
)0()0( ?? ? CC uu )0()0( ?? ? LL ii
2,根据电路的基本定律和换路后的 等效电路,确
定其它电量的初始值。
§ 5.1
等效电路中电容和电感的处理：
根据换路定律：
?0
将电容用电压源替代，电压为 )0( ?Cu
将电感用电流源替代，电流为 )0( ?Li
依此建造 等效电路
?0
求初值的步骤：
1,先求出 )0( ?Cu )0( ?Li
2,造出
?0
等效电路
3,求出各初值
例 1 K R
1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=4k?
R2=2k?
C=1?F
?? )0(cu V4
24
212
21
2 ?
???? RR
RU
V4)0()0( ?? ?? cc uu
?? )0(Ci mA2
2
4)0(
2
?????
?
R
u C
0)(
0)(
??
??
C
C
i
u
原电路已稳定,t=0
时刻发生换路。求
)0()0( ?? cc iu,
解：
1,先求出 )0( ?Cu
2,造出
?0
等效电路
3,求出各初值
例 2
02210)0( ????? ）（Lu
解,
求,
)0(
),0(
?
?
L
L
u
i
电路原已达到稳态，
设 时开关断开，0?t
1,先求出
)0( ??Li
mAi L 10)0( 220 ???
2,造出
?0
等效电路
3,求出各初值
)0()0( ?? ? LL ii mA10?
Vu L 40)0( ???
K
,L
R
iL+
-
20V
?k2
Lu
?k2
R?k2
10mA
）（ ?0Lu
?k2
C
C
C udt
duRCuRiU ????
根据电路规律列写电压、电
流的微分方程，若微分方程是一
阶的，则该电路为一阶电路
5.2 RC电路的时域分析
K R
U
+
_ C Cu
it=0
一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法, 用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法, 求 初始值
稳态值
时间常数
?
本节重点
0?? CC udtduRC
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uu C ?? )0( 0)( ??Cu
0?? CR uu
0?? CuRi
dt
duCi C?
列写回路方程：
5.2.1 一阶 RC电路的零输入响应
方程通解为：
0?? CC udtduRC
一阶常系数线性奇次微分方程
RC
t
C Aeu
??
UAeu C ??? 0)0(即,
UA?得
代入Uu
C ?? )0(
将
RC
t
C Ueu
??
RC??
称 为时间常数
?
t
C Ueu
?
? Cu
t
U
uc
变化规律：
UudtduRC CC ??
一阶常系数线性微分方程
方程的解由两部分组成：
CCC uutu "')( ??
5.2.2 一阶 RC电路的零状态响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程
特解 通解
)(?Cu取换路后的新稳态值（ 稳态分量 或 强制分量 ） 作特解
0?? CC udtduRC
通解即 的解 又称 自由分量 或 暂态分量
A为积分常数
Uutu' CC ??? )()(
特解为：
通解为：
RC
t
C Aeu
??"
又称 稳态分量 或 强制分量
RCtCCC AeUu"u'tu ?????)(求 A 代入初始条件 0)0( ??
Cu
0)0( 0 ?????? AUAeUu C得, UA ??得
UA ??
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu ?? ????
UudtduRC CC ??
5.2.2 一阶 RC电路的零输入响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu ?? ????
方程解
RC??时间常数
002.63)( ?? Uu C ?
??t当 时,
方程解可写为
Cu
t
U
?
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
0.632U
)1()( ?tC eUtu ???
t 0 ? ?2 ?3 ?4 ?5 ?6
Cu 0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
i
若 τ较小，则曲线是什么样的？
电流的曲线是什么样的？
若 τ较大，则曲线是什么样的？
τ较小 τ较大
? 越大，过渡过程曲线变化越慢，
uC达到稳态所需要的时间越长。
结论：
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C ?
?
0)0( Uu C ?
?
根据换路定理
Uu C ?? )(
叠加方法
状态为 0，即 U0=0
?t
C UeUu
???
1
输入为 0，即 U=0
?/
02
t
C eUu
??
?/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
??????
5.2.3 完全响应及其两种分解形式
时间常数
0)0( Uu C ?
?
Uu C ?? )(
?/
0 )(
t
C eUUUu
????
? ? ?/)()0()( tCCC euuu ?? ?????
初始值 稳态值稳态值
一般形式：
? ? ?/)()0()()( teffftf ?? ?????
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
?teffftf ?? ????? )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式：
三要素
)(?f
------稳态值
------初始值
)0( ?f
------时间常数?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
式中
5.3 求解一阶电路 的三要素法
电路中含有一种储能元件，其时域响应就可用一阶微分方程
来描述，这种电路称为一阶电路。
三要素法
求解过程
分别求初始值、稳态值、时间常数
将以上结果代入过渡过程通用表达式?
?
0)0()0( ?? ?? CC uu
V10)( ??? Uu C
RC??
“三要素法”例题
1 S R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
已知参数 R=2kΩ,U=10V,C=1μF,
且开关闭和前 uc(0-)=0。 开关 S在 t=0
时刻闭合，求 t >0时的 uc(t) 和 i(t)。
解,求初值
求终值
时间常数
代入公式
?teffftf ?? ????? )]()0([)()(
终值 初值 时间常数
63 101102 ????? S102 3???
)0( ?Cu)(tuC )(?Cu )(?Cu10 0 10
-500t
Vetu tc )1(10)( 500???
同理 mARUi 5/)0( ???
mAi 0)( ??
s3102 ????
mA5?
teti 5005)( ??
得：
也可以
这样算
dt
duCti c?)(
时间常数的求法？
时间常数的求法：
RC电路,时间常数为 τ=R0*C
R0为独立源失效后,从 C
两端看进去的等效电阻
R0
???? kR 5320本例中
RL电路,时间常数为 τ=L/R0
R0
s363 105101105 ?? ???????
???? 10550R
s210510/5.0 ?????
习题 5-3
?? kR 5.10
1230 101 0 0 0105.1 ?????? CR?
s6105.1 ???
?? kR 20
1230 101 0 0 0102 ?????? CR?
s6102 ???
求如下电路换路后的时间常数
求如下电路换路后的时间常数
R0=? R
0=?
5kΩ 5kΩ
630 102105 ?????? CR? s01.0?
?? 20R
0R
L??
2
1? s5.0?
习题 5-9 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(tuc
解：
630 102105 ?????? CR?
s01.0?
)(?cu
)(?cu 15? I10?
I
10515 5 ???I mA5.2?
25?
Vu c 10)( ???
V10?
)0( ?cu
换路前
)0( ??cu
)0( ?cu 15? I10? 100?
Vu c 85)0( ?? ?
V85?
Vuu cc 85)0()0( ??? ??
?teuuutu cccc ?? ????? )]()0([)()(
Ve t1 0 07510 ???
习题 5-14 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(1 ti )(2 ti )(tiL
解,Ai L 26/12)0( ???
求, 电感电压 )(tu
L
例 3 已知,K在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
解：
1,先求出
)0( ?Li
)0( ?? Li
A2321 2)0( ?????Li
Lu
t=03A
LS R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
2,造出
?0
等效电路，求出电路初值。
2A
Lu
R1
R2
R3
V4
]//)[0()0( 321
??
??? ?? RRRiu LL
3,求稳态值 )(?
Lu
t=?时等效电路
V0)( ??Lu
Lu
R1
R2
R3
Lu
t=03A
LK R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
4,求时间常数 ?
L
R2
R3R1
s)(5.021 ??? RL?
321 || RRRR ??
5,将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0( ???Lu
0)( ??Lu
s5.0??
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
?
?
??
??
????
????? ?V4 2 te ???
6,画过渡过程曲线（由初始值 ?稳态值）
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
习题 5-4 在图示电路中，，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时
间
常数。习题 5-5 求图示电路当开关 S 闭合时的时间常数。
习题 5-6 在图示电路中，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时间
常数。
习题课
第五章 线性电路的时域分析
第五章 线性电路的时域分析习题课
学习要点
1、暂态过程产生的原因及研究电路暂态过
程的意义
2、确定暂态过程初始值的换路定则
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
3、一阶电路的三要素法
? ? )e x p ()()0()()(
?
?????? ? tffftf
5、微分电路与积分电路
4、暂态方程的一般式
三
要
素
)0( ?f
)(?f
??
CR eq ?
eqR
L
练习与思考
+
-
R1
L
S
US R
2 答案,( C )
1,下图所示电路在已稳定状态下断开开关 S，则
该电路（ ）。
a) 因为有储能元件 L，要产生过渡过程；
b) 因为电路有储能元件且发生换路，要产生过渡
过程；
c) 因为换路时元件 L的电流储能不能发生变化，
不产生过渡过程。
2,下图所示电路在达到稳定状态后移动 R1上的
滑动的触点，该电路将产生过渡过程。这是
因为（ ）。
a) 电路发生换路；
b) 电路中有储能元件 C ；
c) 电路有储能元件的能量发生变化。
答案,( b )
+
-
R2
US R1 C
3、下图所示电路在达到稳定状态后减小增加 R1,
则该电路（ ）。
a) 因为发生换路，要产生过渡过程
b) 因为 C的储能值不变，不产生过渡过程
c) 因为有储能元件且发生换路，要发生过渡过程
答案,( b )
+
-
US R1 C
R2
4、下图所示电路在稳定状态下闭合开关 S，该电路
（ ）。
a) 不产生过渡过程，因为换路未引起 L的电流发生变化
b) 要发生过渡过程，因为电路发生换路
c) 要发生过渡过程，因为电路有储能元件且发生换路
答案,( a )
+
-
R1
L
S
US R
2
5,RL串联电路与电压为 8V的恒压源接通，如下
图所示。在 t=0瞬间将开关 S闭合。当电感分
别为 1H,3H,6H,4H时所收到的四根 uR(t)
曲线如下图所示。其中 1H电感所对应的 uR(t)
曲线是（ ）。
答案,( a )
+
-
R
L
S
uR(t)
t/s
uR(t)/V
0
4
8 a
b c
电路如图所示，已知
开关闭合前电路已处于稳态。求 0?t 时的
)(tuC 。
0)0( ??Cu
例 1 P,110/例 5-4
1I
12I
A2
2I
?4
1R
?4
2R
F
C
?01.0
??
Cu
S (t=0)
?? 10eqRIU
I
U
sI
100 ????
ss
CR qe
7
6
101.0
1001.010)3(
?
?
???
?????
? ?Vt
V
t
tu C
)10ex p (112
)
10
ex p (1212)()4(
7
7
???
???
?
VAAu C 122242)()2( ????????
0)0()0()1( ?? ?? CC uu
三要素法：解
即
i1
uL
us
iC
i2
0)0( ??Cu
S(t=0)
P.118/题 5-1
已知图 5-28所示电路在换路前已处于稳态 。 若,
试求换路后的瞬间各支路中的电流和各储能元件
上的电压 。 设 。
课堂练习 1
解（ 答 案 ）
Vu
Ai
Aii
i
L
C
6)0(
15.0)0(
15.0)0()0(
0)0(
22
1
?
?
??
?
?
?
??
?
0)0()0( ?? ?? CC uu
学生自行完成
P.119/题 5-7
已知图 5-34所示电路原已处于稳态，
,4 0 0,2 0 0 21 ???? RR
0,25,05.0,1.0 21 ?????? tVUFCFC
时电路换路。求换路后的
。和,)()()( 21 titutu CC
U
R1
R2
S (t=0)
例 2
)(ti
1Cu
2Cu
解
V
uu
CC
7.16
3
2
25
400200
400
25
)0()0()1(
11
???
?
??
?
??
Vu C 25)()2( 1 ??
s
CR
??
????? ?
20
101.0200)3( 6111
Ve
t
etu
t
C
4
105
1
1
3.825
)257.16(25)(
??
??
?
?????
Vu C 3.8
3
125
400200
20025)0()1(
2 ??????
Vu C 25)()2( 2 ??
s
CR
??
????? ?
20
1005.040 0)3( 6222
已知 5-35中
P.119/题 5-8
,4,5,10 2!21 ????? kRRVEVE
,100,23 FCkR ????
开关 S在位置 a时电路已处于稳态。 求开关 S由
a合同 b后的
)(tu C
和
)(0 ti
Ve
t
etu
t
C
4
105
62
7.1625
1020
)253.8(25)(
??
?
??
?
?????
例 3
1）求开关 S由 a合至 b后的 uC(t)
Vuu CC 5)0()0( ?? ??
E1 10V E2 5V
a b
S (t=0)
R1=4k R2=2k
R3=4k
C=100μ u
C(t)
i0(t)
SCR eq 4.0101 0 010)22( 63 ????????? ?
)5.2e x p ()5.25(5.2)( ttu C ?????
Vu C 5.2)( ??
解
画 t=0+ 的等效电路如下
E1 10V E2 5V
a b
R1=4k R2=2k
R3=4k
C 5V
i0(0+)
由迭加原理得
2
1
22
5
6
84
5)0(
0 ???
?
???i
mA1625851615 ?????
2）求开关 S由 a合至 b后的 i0(t)
P.120/题 5-17
mAi 8544 5)(0 ??????
mAtti )5.2e x p ()851625(85)(0 ???????
mA)5.2e x p (161585 ????
图 5-44a所示电路中，设输入信号电压波形如图 5-44b所示，
已知：
,1 00,1 pFCMR ???
试求 st 4102 ???
时使输出电压
00 ?u
的负脉冲的幅值。设
0)0( ??Cu
例 4
解
sRC 4126 101010010 ?? ??????
R
Cui uo u i/V
t/S
6.32
10
U
0 10-4 2?10-4
a) b)
图 5-44
则 st 410 ?? 时,Vu
C 32.6)( ??
由
? ? ? ? ?t e t uC) 10 0 ( 10 ) (
电路时间常数为
st 44 10210 ?? ???
时，
?
???
?? ???
teUUtu
C )32.6()(
st 41022 ?????
时，
0)32.6()2( 1 ????? ??? eUUu C
设使输出电压
00 ?u
的负脉冲的幅值为 U-，即
当
??? Uu C )(
则
当
Vee
e
U 68.310
1
32.6 11
1 ?????
?? ??
??
解得
P.119/题 5-2
在图 5-29所示电路中，已知
,60,20,16 21 ????? kRkRVU
,5.1,1,3043 mHLFCkRR ??????
且换路前电路已处于稳态。试求换路后瞬
间各支路电流和各储能元件两端的电压。
课堂练习 2
Cu L
C
Lu
U
?
?
1i
2i
3i 4i
Ci
1R
2R
3R
4R
)0( ?t
S
C
Vu C 8.4)0( ??
mAii 224.0)())0( 31 ????
mA
iii C
064.0
)0()0()0( 43
?
?????
Vu L 0)0( ??
mAi L 16.0)0(4 ??
解（ 答 案 ） 学生自行完成
P.119/题 5-4
。
S
mHLkRkR 5.2,3,2 21 ?????
在, 1”和, 2”位置 时的时间常数。已
知
求图 5-31所示电路中开关
课堂练习 3
U
?
?
1R
S (t=0)
2R
L
1
2
S61 1083.0 ????
S62 105.0 ????
(P.120/题 5-11) 图 5-38所示电路中，已知
且
0,25.0,2)0( ???? tSgVu mC
时电路换路，求
0?t 时的 )(1 ti )(tiC、
和
)(tuC 。
,1,2,1,10 21 FCRRAI s ???????
解（ 答 案 ） 学生自行完成
*课堂练习 4
Vttu C )104.2e x p ()42(4)( 6?????
Atdt tduCti CC )104.2e x p (8 33.0)()( 6????
Ati t )10ex p ()833.7(8)( 64.21 ?????
iS R1
R2
Cgmu1u1 uC
iCi1
解（ 答 案 ） 学生自行完成
S (t=0)
第五章 电路的时域分析
5.1 概述 换路定理
5.2 RC电路的时域分析
5.3 求解一阶电路的三要素法
5.4 脉冲激励下的 RC电路
C
电路处于旧稳态
S R
U+_ Cu
5.1 概述 换路定理
电路处于新稳态
R
U
+
_ Cu
稳态,给定条件下，电路中的电压、电流物理量达到稳定状态
暂态,电路参数从一个稳态转换到另一个稳态需要一个过渡时
间此段时间内电路所产生的物理过程称为 过渡过程 。过
渡过程状态又称为 暂态。
5.1.1,稳态,与, 暂态,的概
念
开关 S 闭合后的 I？
无过渡过程
I
电阻电路
t = 0
U R
+
_
I
S
5.1.2 产生过渡过程的电路及原因
结论,电阻电路 不存在过渡过程。
从一个稳态到另一个稳态，不需要过渡时间
结论,电阻电路 不存在过渡过程。
U
S R
+
_ CuC
S 闭合后的 UC？
t
Cu
U
从一个稳态到另一个稳态，需要过渡时间
t0
经过 t0 时间后，电路达到新稳态
结论,电容电路 存在过渡过程。
结论,电容电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 cui d tuW t
C ?? ?
K R
U +_
t=0
iL
t
Li
R
U
结论,电感电路 存在过渡过程。
结论,电感电路 存在过渡过程。
2
0 2
1 LidtuiW t
L ?? ?
能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电感的电路存在过渡过程
能量的存储和释放需要一个过程,所以有 电容的电路存在过渡过程
电容为储能元件,它储存的能量为电场能量,大小为：
电感为储能元件,它储存的能量为磁场能量,大小为：
电容电路
电感电路
5.1.2,产生过渡过程的电路及原因
含有电容和
电感的电路
当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生
什么是换路？电路状态的改变称为换路，如：
1.电路的接通、断开 2.电源的升高或降低 3,元件参数的改变
产生过渡过程的原因？
CW
不能突变
Cu
不能突变
电容 C存储的电场能量
）（ 221 CCuWc ?
电感 L 储存的磁场能量
）（ 221 LL LiW ?
LW
不能突变
Li
不能突变
自然界物体所具有的能量不能突变，
能量的积累或 释放需要一定的时间。
换路定理, 换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
设 t=0 时换路 ?0
?0
--- 换路前瞬间
--- 换路后瞬间
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
5.1.3,换路定律
换路定理
用换路定律可以求出 0+ 时刻的初始值，
初始值是电路时域分析的重要条件。
§ 5.1 概述
1.,稳态,与, 暂态,的概念
2,产生过渡过程的电路及原因
含有电容和
电感的电路
当发生换路时 有暂态 ( 过渡过程 ) 产生
原因？ 能量的积累或 释放需要一定的时间
3,换路定律
换路瞬间,电容上的电压、电感中的电流不能突变。
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
4,确定电路初值
C
换路前
S R
U+_ Cu
换路很久后
R
U
+
_ CuC
换路后瞬间
S R
U+_ Cu
i i i
0)0(
0)0(
?
?
?
?
u
i
0)0(
)0(
?
?
?
?
u
i RU
Uu
i
??
??
)(
0)(
求解依据, 1,换路定律
初始值, 电路中 u,i 在 t=0+ 时 的大小。
)0()0( ?? ? CC uu )0()0( ?? ? LL ii
2,根据电路的基本定律和换路后的 等效电路,确
定其它电量的初始值。
§ 5.1
等效电路中电容和电感的处理：
根据换路定律：
?0
将电容用电压源替代，电压为 )0( ?Cu
将电感用电流源替代，电流为 )0( ?Li
依此建造 等效电路
?0
求初值的步骤：
1,先求出 )0( ?Cu )0( ?Li
2,造出
?0
等效电路
3,求出各初值
例 1 K R
1
U
+
_
C
Cu
Ci
t=0
R2
U=12V
R1=4k?
R2=2k?
C=1?F
?? )0(cu V4
24
212
21
2 ?
???? RR
RU
V4)0()0( ?? ?? cc uu
?? )0(Ci mA2
2
4)0(
2
?????
?
R
u C
0)(
0)(
??
??
C
C
i
u
原电路已稳定,t=0
时刻发生换路。求
)0()0( ?? cc iu,
解：
1,先求出 )0( ?Cu
2,造出
?0
等效电路
3,求出各初值
例 2
02210)0( ????? ）（Lu
解,
求,
)0(
),0(
?
?
L
L
u
i
电路原已达到稳态，
设 时开关断开，0?t
1,先求出
)0( ??Li
mAi L 10)0( 220 ???
2,造出
?0
等效电路
3,求出各初值
)0()0( ?? ? LL ii mA10?
Vu L 40)0( ???
K
,L
R
iL+
-
20V
?k2
Lu
?k2
R?k2
10mA
）（ ?0Lu
?k2
C
C
C udt
duRCuRiU ????
根据电路规律列写电压、电
流的微分方程，若微分方程是一
阶的，则该电路为一阶电路
5.2 RC电路的时域分析
K R
U
+
_ C Cu
it=0
一阶电路过渡过程的求解方法
(一 ) 经典法, 用数学方法求解微分方程；
(二 ) 三要素法, 求 初始值
稳态值
时间常数
?
本节重点
0?? CC udtduRC
+
-
U
R
C
uR
uC
i
t=0
Uu C ?? )0( 0)( ??Cu
0?? CR uu
0?? CuRi
dt
duCi C?
列写回路方程：
5.2.1 一阶 RC电路的零输入响应
方程通解为：
0?? CC udtduRC
一阶常系数线性奇次微分方程
RC
t
C Aeu
??
UAeu C ??? 0)0(即,
UA?得
代入Uu
C ?? )0(
将
RC
t
C Ueu
??
RC??
称 为时间常数
?
t
C Ueu
?
? Cu
t
U
uc
变化规律：
UudtduRC CC ??
一阶常系数线性微分方程
方程的解由两部分组成：
CCC uutu "')( ??
5.2.2 一阶 RC电路的零状态响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程
特解 通解
)(?Cu取换路后的新稳态值（ 稳态分量 或 强制分量 ） 作特解
0?? CC udtduRC
通解即 的解 又称 自由分量 或 暂态分量
A为积分常数
Uutu' CC ??? )()(
特解为：
通解为：
RC
t
C Aeu
??"
又称 稳态分量 或 强制分量
RCtCCC AeUu"u'tu ?????)(求 A 代入初始条件 0)0( ??
Cu
0)0( 0 ?????? AUAeUu C得, UA ??得
UA ??
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu ?? ????
UudtduRC CC ??
5.2.2 一阶 RC电路的零输入响应
K R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
电压方程
)1()( / RCtRCtC eUUeUtu ?? ????
方程解
RC??时间常数
002.63)( ?? Uu C ?
??t当 时,
方程解可写为
Cu
t
U
?
当 t=5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
0.632U
)1()( ?tC eUtu ???
t 0 ? ?2 ?3 ?4 ?5 ?6
Cu 0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U
i
若 τ较小，则曲线是什么样的？
电流的曲线是什么样的？
若 τ较大，则曲线是什么样的？
τ较小 τ较大
? 越大，过渡过程曲线变化越慢，
uC达到稳态所需要的时间越长。
结论：
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
0)0( Uu C ?
?
0)0( Uu C ?
?
根据换路定理
Uu C ?? )(
叠加方法
状态为 0，即 U0=0
?t
C UeUu
???
1
输入为 0，即 U=0
?/
02
t
C eUu
??
?/
021 )(
t
CCC eUUUuuu
??????
5.2.3 完全响应及其两种分解形式
时间常数
0)0( Uu C ?
?
Uu C ?? )(
?/
0 )(
t
C eUUUu
????
? ? ?/)()0()( tCCC euuu ?? ?????
初始值 稳态值稳态值
一般形式：
? ? ?/)()0()()( teffftf ?? ?????
K R
U
+
_ C Cu
i
t=0
Ru
?teffftf ?? ????? )]()0([)()(
一阶电路微分方程解的通用表达式：
三要素
)(?f
------稳态值
------初始值
)0( ?f
------时间常数?
)(tf 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
式中
5.3 求解一阶电路 的三要素法
电路中含有一种储能元件，其时域响应就可用一阶微分方程
来描述，这种电路称为一阶电路。
三要素法
求解过程
分别求初始值、稳态值、时间常数
将以上结果代入过渡过程通用表达式?
?
0)0()0( ?? ?? CC uu
V10)( ??? Uu C
RC??
“三要素法”例题
1 S R
U
+
_ C Cu
it=0
Ru
已知参数 R=2kΩ,U=10V,C=1μF,
且开关闭和前 uc(0-)=0。 开关 S在 t=0
时刻闭合，求 t >0时的 uc(t) 和 i(t)。
解,求初值
求终值
时间常数
代入公式
?teffftf ?? ????? )]()0([)()(
终值 初值 时间常数
63 101102 ????? S102 3???
)0( ?Cu)(tuC )(?Cu )(?Cu10 0 10
-500t
Vetu tc )1(10)( 500???
同理 mARUi 5/)0( ???
mAi 0)( ??
s3102 ????
mA5?
teti 5005)( ??
得：
也可以
这样算
dt
duCti c?)(
时间常数的求法？
时间常数的求法：
RC电路,时间常数为 τ=R0*C
R0为独立源失效后,从 C
两端看进去的等效电阻
R0
???? kR 5320本例中
RL电路,时间常数为 τ=L/R0
R0
s363 105101105 ?? ???????
???? 10550R
s210510/5.0 ?????
习题 5-3
?? kR 5.10
1230 101 0 0 0105.1 ?????? CR?
s6105.1 ???
?? kR 20
1230 101 0 0 0102 ?????? CR?
s6102 ???
求如下电路换路后的时间常数
求如下电路换路后的时间常数
R0=? R
0=?
5kΩ 5kΩ
630 102105 ?????? CR? s01.0?
?? 20R
0R
L??
2
1? s5.0?
习题 5-9 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(tuc
解：
630 102105 ?????? CR?
s01.0?
)(?cu
)(?cu 15? I10?
I
10515 5 ???I mA5.2?
25?
Vu c 10)( ???
V10?
)0( ?cu
换路前
)0( ??cu
)0( ?cu 15? I10? 100?
Vu c 85)0( ?? ?
V85?
Vuu cc 85)0()0( ??? ??
?teuuutu cccc ?? ????? )]()0([)()(
Ve t1 0 07510 ???
习题 5-14 图示电路换路前已处于稳态，试求换路后的
)(1 ti )(2 ti )(tiL
解,Ai L 26/12)0( ???
求, 电感电压 )(tu
L
例 3 已知,K在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
解：
1,先求出
)0( ?Li
)0( ?? Li
A2321 2)0( ?????Li
Lu
t=03A
LS R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
2,造出
?0
等效电路，求出电路初值。
2A
Lu
R1
R2
R3
V4
]//)[0()0( 321
??
??? ?? RRRiu LL
3,求稳态值 )(?
Lu
t=?时等效电路
V0)( ??Lu
Lu
R1
R2
R3
Lu
t=03A
LK R2
R1 R3
IS 2?
2? 1?
1H
4,求时间常数 ?
L
R2
R3R1
s)(5.021 ??? RL?
321 || RRRR ??
5,将三要素代入通用表达式得过渡过程方程
V4)0( ???Lu
0)( ??Lu
s5.0??
V4
)04(0
)]()0([)()(
2
2
t
t
t
LLLL
e
e
euuutu
?
?
??
??
????
????? ?V4 2 te ???
6,画过渡过程曲线（由初始值 ?稳态值）
起始值-4V
t
Lu
稳态值
0V
习题 5-4 在图示电路中，，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时
间
常数。习题 5-5 求图示电路当开关 S 闭合时的时间常数。
习题 5-6 在图示电路中，求当开关 S 在,1”和,2”位置时的时间
常数。
习题课
第五章 线性电路的时域分析
第五章 线性电路的时域分析习题课
学习要点
1、暂态过程产生的原因及研究电路暂态过
程的意义
2、确定暂态过程初始值的换路定则
)0()0( ?? ? CC uu
)0()0( ?? ? LL ii
3、一阶电路的三要素法
? ? )e x p ()()0()()(
?
?????? ? tffftf
5、微分电路与积分电路
4、暂态方程的一般式
三
要
素
)0( ?f
)(?f
??
CR eq ?
eqR
L
练习与思考
+
-
R1
L
S
US R
2 答案,( C )
1,下图所示电路在已稳定状态下断开开关 S，则
该电路（ ）。
a) 因为有储能元件 L，要产生过渡过程；
b) 因为电路有储能元件且发生换路，要产生过渡
过程；
c) 因为换路时元件 L的电流储能不能发生变化，
不产生过渡过程。
2,下图所示电路在达到稳定状态后移动 R1上的
滑动的触点，该电路将产生过渡过程。这是
因为（ ）。
a) 电路发生换路；
b) 电路中有储能元件 C ；
c) 电路有储能元件的能量发生变化。
答案,( b )
+
-
R2
US R1 C
3、下图所示电路在达到稳定状态后减小增加 R1,
则该电路（ ）。
a) 因为发生换路，要产生过渡过程
b) 因为 C的储能值不变，不产生过渡过程
c) 因为有储能元件且发生换路，要发生过渡过程
答案,( b )
+
-
US R1 C
R2
4、下图所示电路在稳定状态下闭合开关 S，该电路
（ ）。
a) 不产生过渡过程，因为换路未引起 L的电流发生变化
b) 要发生过渡过程，因为电路发生换路
c) 要发生过渡过程，因为电路有储能元件且发生换路
答案,( a )
+
-
R1
L
S
US R
2
5,RL串联电路与电压为 8V的恒压源接通，如下
图所示。在 t=0瞬间将开关 S闭合。当电感分
别为 1H,3H,6H,4H时所收到的四根 uR(t)
曲线如下图所示。其中 1H电感所对应的 uR(t)
曲线是（ ）。
答案,( a )
+
-
R
L
S
uR(t)
t/s
uR(t)/V
0
4
8 a
b c
电路如图所示，已知
开关闭合前电路已处于稳态。求 0?t 时的
)(tuC 。
0)0( ??Cu
例 1 P,110/例 5-4
1I
12I
A2
2I
?4
1R
?4
2R
F
C
?01.0
??
Cu
S (t=0)
?? 10eqRIU
I
U
sI
100 ????
ss
CR qe
7
6
101.0
1001.010)3(
?
?
???
?????
? ?Vt
V
t
tu C
)10ex p (112
)
10
ex p (1212)()4(
7
7
???
???
?
VAAu C 122242)()2( ????????
0)0()0()1( ?? ?? CC uu
三要素法：解
即
i1
uL
us
iC
i2
0)0( ??Cu
S(t=0)
P.118/题 5-1
已知图 5-28所示电路在换路前已处于稳态 。 若,
试求换路后的瞬间各支路中的电流和各储能元件
上的电压 。 设 。
课堂练习 1
解（ 答 案 ）
Vu
Ai
Aii
i
L
C
6)0(
15.0)0(
15.0)0()0(
0)0(
22
1
?
?
??
?
?
?
??
?
0)0()0( ?? ?? CC uu
学生自行完成
P.119/题 5-7
已知图 5-34所示电路原已处于稳态，
,4 0 0,2 0 0 21 ???? RR
0,25,05.0,1.0 21 ?????? tVUFCFC
时电路换路。求换路后的
。和,)()()( 21 titutu CC
U
R1
R2
S (t=0)
例 2
)(ti
1Cu
2Cu
解
V
uu
CC
7.16
3
2
25
400200
400
25
)0()0()1(
11
???
?
??
?
??
Vu C 25)()2( 1 ??
s
CR
??
????? ?
20
101.0200)3( 6111
Ve
t
etu
t
C
4
105
1
1
3.825
)257.16(25)(
??
??
?
?????
Vu C 3.8
3
125
400200
20025)0()1(
2 ??????
Vu C 25)()2( 2 ??
s
CR
??
????? ?
20
1005.040 0)3( 6222
已知 5-35中
P.119/题 5-8
,4,5,10 2!21 ????? kRRVEVE
,100,23 FCkR ????
开关 S在位置 a时电路已处于稳态。 求开关 S由
a合同 b后的
)(tu C
和
)(0 ti
Ve
t
etu
t
C
4
105
62
7.1625
1020
)253.8(25)(
??
?
??
?
?????
例 3
1）求开关 S由 a合至 b后的 uC(t)
Vuu CC 5)0()0( ?? ??
E1 10V E2 5V
a b
S (t=0)
R1=4k R2=2k
R3=4k
C=100μ u
C(t)
i0(t)
SCR eq 4.0101 0 010)22( 63 ????????? ?
)5.2e x p ()5.25(5.2)( ttu C ?????
Vu C 5.2)( ??
解
画 t=0+ 的等效电路如下
E1 10V E2 5V
a b
R1=4k R2=2k
R3=4k
C 5V
i0(0+)
由迭加原理得
2
1
22
5
6
84
5)0(
0 ???
?
???i
mA1625851615 ?????
2）求开关 S由 a合至 b后的 i0(t)
P.120/题 5-17
mAi 8544 5)(0 ??????
mAtti )5.2e x p ()851625(85)(0 ???????
mA)5.2e x p (161585 ????
图 5-44a所示电路中，设输入信号电压波形如图 5-44b所示，
已知：
,1 00,1 pFCMR ???
试求 st 4102 ???
时使输出电压
00 ?u
的负脉冲的幅值。设
0)0( ??Cu
例 4
解
sRC 4126 101010010 ?? ??????
R
Cui uo u i/V
t/S
6.32
10
U
0 10-4 2?10-4
a) b)
图 5-44
则 st 410 ?? 时,Vu
C 32.6)( ??
由
? ? ? ? ?t e t uC) 10 0 ( 10 ) (
电路时间常数为
st 44 10210 ?? ???
时，
?
???
?? ???
teUUtu
C )32.6()(
st 41022 ?????
时，
0)32.6()2( 1 ????? ??? eUUu C
设使输出电压
00 ?u
的负脉冲的幅值为 U-，即
当
??? Uu C )(
则
当
Vee
e
U 68.310
1
32.6 11
1 ?????
?? ??
??
解得
P.119/题 5-2
在图 5-29所示电路中，已知
,60,20,16 21 ????? kRkRVU
,5.1,1,3043 mHLFCkRR ??????
且换路前电路已处于稳态。试求换路后瞬
间各支路电流和各储能元件两端的电压。
课堂练习 2
Cu L
C
Lu
U
?
?
1i
2i
3i 4i
Ci
1R
2R
3R
4R
)0( ?t
S
C
Vu C 8.4)0( ??
mAii 224.0)())0( 31 ????
mA
iii C
064.0
)0()0()0( 43
?
?????
Vu L 0)0( ??
mAi L 16.0)0(4 ??
解（ 答 案 ） 学生自行完成
P.119/题 5-4
。
S
mHLkRkR 5.2,3,2 21 ?????
在, 1”和, 2”位置 时的时间常数。已
知
求图 5-31所示电路中开关
课堂练习 3
U
?
?
1R
S (t=0)
2R
L
1
2
S61 1083.0 ????
S62 105.0 ????
(P.120/题 5-11) 图 5-38所示电路中，已知
且
0,25.0,2)0( ???? tSgVu mC
时电路换路，求
0?t 时的 )(1 ti )(tiC、
和
)(tuC 。
,1,2,1,10 21 FCRRAI s ???????
解（ 答 案 ） 学生自行完成
*课堂练习 4
Vttu C )104.2e x p ()42(4)( 6?????
Atdt tduCti CC )104.2e x p (8 33.0)()( 6????
Ati t )10ex p ()833.7(8)( 64.21 ?????
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解（ 答 案 ） 学生自行完成
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