第三章
正弦交流电路
作者,GSQ
第三章 正弦交流电路
第一节 正弦交流电的基本概念
第二节 正弦量的相量表示法
第三节 电阻元件的正弦交流电路
第四节 电感元件的正弦交流电路
第五节 电容元件的正弦交流电路
第六节 正弦稳态电路的分析
第七节 功率因数的提高
第八节 谐振电路
小结与习题
第三章 正弦交流电路
一、
概
念
1、什么是正弦交流电：
随时间按正弦函数规律周期性变化的 电压、电流和电动势
等 物理量，通称为正弦量。它们在一个周期内平均值为零。
2、为什么要使用交流电：交流电容易获得。
3、交流电的正方向：实际方向与参考方向一致时取正。
4、交、直流电路比较：
① 交、直流电的 I,U,E,P 具有相同的物理意义
② 基本定律定理一样，网络分析的方法理论一样。
③ 交流电是变的，其瞬时值符合 KCL,KVL,但
有效值不符合 。
3.1
§ 3-1 正弦交流电路的基本概念
二、正弦量描述
)s i n ( ?? ?? tIi m
角频率
初相位幅值
t?
i
三个要素可以描述一个正弦量,频率、幅值、初相位
?
mI
幅值
amplitude
angular frequency
initial phase angle
3.1
2、幅值与有效值
1、频率 f （周期 Τ、角频率 ω）
周 期 T,变化一周所需的时间，用 s ms 表示。
频 率 f,每秒重复变化的次数。单位,Hz 赫 (兹 ) f =1/ T
角频率 ω,每秒变化的角度 (弧度 ),ω=2πf =2π/ T rad/ s
幅 值 正弦量变化过程中呈现的最大值，电流 Im, 电压 Um
如果一个交流电流 i 通过一个电阻 R，在一个周期内
产生的热量为 Q,而在相同的时间里产生相同的热量
需通入直流电 为 I,则称 I 为 i 的 有效值 。
RTIR d ttiQ T 20 2 )( ?? ?
2)(
1
0
2 mT Idtti
TI ?? ?
即：
2 2
mm UUII ??
I,U 表示 有效值 Im, Um 表示 幅值
有效值
3.1
t?
初相位 是 0 时刻到波形起始点那段距离对应的角度
?? 43???? 31?
相位差 两个同频正弦量相位角之差，表示为
?
i?
u?
iu ??? ??
?? 1 8 0 ?应有
角度超前,0 ?? iu?
同相位与,0 iu??
角一个滞后则 ??,0 iu?
正交与则说,2 iu?? ??
反相与则说,iu?? ?
3、初相位 ?? 与相位差 3.1
＜ 1800
规定,|? | ?? (180° )。
特殊相位关系：
? t
u,i
u
i
O
? t
u,i
u
iO
? t
u,i
u
i
O
? = 0 同相
? =?? (?180o )
反相
? = ?/2 正交
3.1
例 3-1 VttuVttu )90314s i n(50)( )120314s i n(100)(
21 ??????,
？，谁超前？的相位差与）求 ?? 1 21 uu
）的参考方向，重复问题）若改变 1 2 2u
解,1）已知
???
??
90
120
2
1
?
?
滞后则 1 5 03 6 02 1 0
2 1 0)90(1 2 0
1
21
u???????
????????
?
??
2） ?? 90
22 ?的参考方向，则若改变 u
?????? 30 3090-120 21 uu 超前即则 ?
?? 1201?
??? 902? 1?
2?
?? 30?
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
? t?
?
1,相量图
直角坐
标系中
有一 有
向线段
相量图可以描
述一个正弦量
正弦量
表示法
瞬时值（三角函数）
波形图
相量图
相量式（复数）
直观，但不便于分析计算
便于完成正弦量的加减乘除运算
旋转起来
投影
#
3.2
Vttu
Vttu
)453 1 4s i n (50)(
)483 1 4s i n (1 0 0)(
2
1
???
???,
已知：
求：
21 uuu ??
解：
采用相量图法计算：
1U?
2U?
U?瞬时值相加很繁琐
?48
??45
?
)s i n( ?? ?? tUu m结果：
#
t?
?
u 正弦量
?
U?相量图
对应
例
jbaA ???
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
2,相量式（复数表示法）
将相量图置于复平面中
?
A?
+1
j
实
轴
虚
轴
a
向实轴
的投影
复平面
b
向虚轴
的投影相量表示为相量式A?,
?jAeA ??
??? AA?
?c o sAa ?
?sinAb ?
22 baA ??
代数形式：
指数形式：
极坐标形式
其
中
#a
ba rc tg??
运算法则：
(1)加减运算
A1
A2
Re
Im
O
加减可用图解法
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
(2) 乘除运算
21
2
1)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||e
||
||
e||
e||
||
|| 211 θθ
A
A
A
A
A
A
θA
θA
A
A θθ
θ
θ
??????? ?
除法：模相除，角相减
乘法：模相乘，角相加
则,
21 2121 ?? jj eAeAAA ??? ??
#
若 =|A1| ? 1, 若 =|A2| ? 2
2A?1A?
若 =a1+jb1,=a2+jb2
1A? 2
A?
则 ± =(a1± a2)+j(b1± b2)
2A?1A?
)(21 21 ?? ?? jeAA
2121 ?? ??? AA
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
1,相量图
正弦量
表示法
瞬时值（三角函数）
波形图
相量图
相量式（复数）
#
t?
?
u 正弦量
?
U?相量图对应
2,相量式（复数表示法）
jbaA ???
?jAeA ??
??? AA?
?c o sAa ?
?sinAb ?
22 baA ??
代数形式：
指数形式：
极坐标形式
其
中
a
ba rc tg??
)s i n (2 ?? ?? tAA?
) s i n (2)( θUUθtωUtu ????? ?
正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1.
试用相量表示 i,u,
)V6014t3 1 1, 1 s i n ( 3
A)30314s i n (4.141
o
o
??
??
u
ti
解,
V60220
A30100
o
o
???
??
?
?
U
I
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解, A)15314s i n (250
??? ti
,5 0H z A,1550 ???? fI ?已知
3.2
例 3,?2510475 ????? ??
)2 2 6.40 6 3.9()6 5 7.341.3(2510475 jj ???????? ??
569.047.12 j?? ?61.248.12 ???
解,
例 4,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 220 ?? ???? ?
解：上式 2.1 2 6j2.1 8 0 ??
?
??
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
?
????
?16.70728.62.126j2.180 ????
3 2 9.6j2 3 8.22.1 2 6j2.1 8 0 ????
?365.2255.132j5.182 ????
#
3.2
例
5．
V )603 1 4s i n (24)(
V )303 1 4s i n (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量
图在正弦稳态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
V604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.413 1 4s i n (264.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
?30
1U?
Re
Im
?9.41
?30
1U?
?60
2U?
U?
首
尾
相
接
46.32319.5 jj ????
46.619.7 j?? V 9.4164.9 o??
?60
2U?
#
3.2
?9.41
U?
§ 3-3 电阻元件的正弦交流电路
一, 伏安关系
tIti ?s i n2)( ?已知
tRIRiu R ?s i n2 ??则 U
R
uR(t)
i(t)
R
UR=RI
相量模型
R
RU
?
? I
显然有
IRU R ?? ?
1.电压与电流为同频正弦量
2.有效值与相量均有欧姆定律成立
二, 功率 uip ?
有功功率 RURIUIP /22 ???
三, 相量图
I?
RU?
同相位
#
3.3
tRItI ?? s i n2s i n2 ?? tRI ?22 s in2 tUI ?2s in2?
2
2c o s1s i n 2 tt ?? ??
)2c os1( tUI ?
§ 3-4 电感元件的正弦交流电路
一, 伏安关系
)90s i n (2 ???? tLILu dtdiL L ??
1.电压与电流为同频正弦量
2.有效值与相量均符合欧姆定律
3.感抗 XL是频率 f 的函数
4.电压超前电流 900
#
3.4
i(t)
uL(t) L
LU?
j? L
? I
相量模型
UL
Lj
I
LI
I
U L ?? ?
??
???
0
90
?
?
LIU L ??
??? 90LIU L ??
??? 0II?
则
tIti ?s i n2)( ?
设
相量欧姆定律
有效值欧姆定律
LXL ?? LjXLj ??
称为感抗 称为复感抗
二, 功率
有功功率
三, 相量图
I?
LU?
tIUttIUiup LmLLL ??? 2s i ns i n)90s i n(m ??????
3.4
瞬时功率以 2?交变，
有正有负，一周期内
刚好互相抵消。i
? tO
uL pL波形图
2?
P = 0
I?
LU?
u与 i 相位相差 900
#
tIti ?s i n2)( ? )90s i n (2 ??? tLIu L ??
无功功率 Q
LIUQ ? LI ?2?
L
U
?
2?
无功功率是指储能元件与电源间进行能量交换的那部分功率
乏 (Var)
§ 3-5 电容元件的正弦交流电路
一, 伏安关系
)90s i n (2 ???? tCUCi dtdu c ??
1.电压与电流为同频正弦量
2.有效值与相量均符合欧姆定律
3.感抗 XC是频率 f 的函数
4.电流超前电压 900
3.5
C
j
CU
U
I
U
??
1
90
0 ??
??
???
?
?
CI
U
?
1?
??? 90CUI ??
??? 0UU?
则
tUtu ?s i n2)( ?
设
相量欧姆定律
有效值欧姆定律
CXC ??
1 CC jXj ??? ? 1称为容抗
复容抗
i(t)
u(t) C
CU?
? I
相量模型
Cj ?1?
二, 功率
三, 相量图
I?
CU?
tIUttIUiup CmCCC ??? 2s i ns i n)90s i n(m ??????
3.5
瞬时功率以 2?交变，
有正有负，一周期内
刚好互相抵消。u? tO
i pc
波形图：
2?
I?
CU?
u与 i 相位相差 900
#
CIUQ ? CXI 2?
C
C
X
U 2?
无功功率是指储能元件与电源间进行能量交换的那部分功率
乏 (Var)
P = 0有功功率
无功功率 Q
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
1,RC串联电路
CXRφZ
I
U
Z j||
????? ?
?
复阻抗
|Z|
R
XC
?
阻抗三角形RXiu Ca r ct g ???? ???
22
CXRI
UZ ??? 阻抗模
阻抗角
i
u
C
R
I?
U?
Cj?1?
R RU?
CU?
CR UUU ??? ??
称为复阻抗
3.6
#
CjIRI ?1?? ??
)( 1CjRI ??? ?
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
1,RC串联电路
I?
U?
Cj?1?
R RU?
CU?
选电路的共量作为参考相量
I?
RU?
CU?
U?
然后依次画出,,
RU? CU? U?
?
3.6
相量图为一
直角三角形
这种方法可将复杂的正弦电路计算转化为平面几何的分析计算
各边长为对应
量的有效值U
RU
CU
UR = 3V
UC =4V
如,U =？
?? 22 43
5V #
电压三角形
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
1,RC串联电路
RU?
CU?
3.6
RU?
CU?
U?
?
U
RU
CU
#
I?
U?
R
Cj?1
C
)( 1CjRIU ??? ??
电阻消耗的有功功率电路总有功功率 =
电路总无功功率 = 储能元件上的无功功率
IUP R?
IUQ C?
?c o sUI?
?s inUI?
RI 2?
CXI
2?
RU?
CU?
U?
?
电路视在功率
●
●
●
RU
CU
U
?
I?
I?
P
Q
IU ? S视在功率UIS ?
w
Var
VA
功率三角形
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
2,RLC串联电路
RU?
CU?
3.6
#
I?
U?
R
L
Cj?1
C
Lj?
LU?
CjLjRZ ?? 1???
)( CL XXjR ???
电路总阻抗
)( 1CLj ?? ?
?I?
Z
U?
?RU? RI?
?CU? CjXI ??
?LU? LjXI ??
I?
RU?
CU?
LU?U
?电压三角形
RU
)( CL UU ?
U
?
是电压与电流的相位差，也是阻抗角?
R
XX CL ?? a r c t a n?
电压超前电流
电路呈感性
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
2,RLC串联电路
RU?
CU?
3.6
#
I?
U?
R
L
Cj?1
C
Lj?
LU?
)( 1CLjRZ ?? ???
I?
RU
)( CL UU ?
U
?
对于电压三角形
各边电压有效值乘以电流有效值分别变为
有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S
?
P
S Q?c osUIP ?
?s inUIQ ?
●
●
●
UIS ? 功率三角形
关于交流电路的功率 有功，无功，视在功率的关系,
有功功率, P=UIcos? 单位,W
无功功率, P=UIsin? 单位,var
视在功率, S=UI 单位,VA
22 QPS ??
?
S
P
Q ?Z
R
X ?U
UR
UX R
X
+
_
+ _
o
o
+
_U?
RU?
XU?
功率三角形 阻抗三角形 电压三角形
3,视在功率 (表观功率 ) 反映电气设备的容量。
2,无功功率 Q φUIQ s in? 表示交换功率的最大值
( V A ) UIS ?
var (乏 )
1,有功功率 P P=UIcos? (W) 表示电路真正消耗的功率
电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
当 L发出功率时, C刚好吸收功率, 则与外电路交换
功率为 pL+pC。 因此, L,C的无功具有互相补偿的作用 。
关于交流电路的功率
? t
i
O uL
uC
pL pC
例 1 L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103 ),60s i n (25 4???? ftωu ?
求 i,uR,uL,uC,
解, 其相量模型为 V
?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
,I j? LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
)1j( CLRZ ?? ??? Ω
o4.6354.33 ??
Z
UI ?? ?
??
???
4.6354.33
605 A???? 4.3149.0
RIU R ?? ? ????? 4.3149.015 V 4.3235.2
o???
V 4.8642.84.314 9.0905.56j ooo ???????? ?? ILU L ?
?? 5.56L?
?? 5.26C1?
A???? 4.3149.0
V 4.3235.2 o???
V 4.8642.8 o??
IjU cC ?? ?1?? V 4.9395.3 o???
Ati )4.3s i n (21 4 9.0 ??? ?
Vtu )4.3s i n (22 3 5.2 ??? ?
Vtu L )4.86s i n (224.8 ??? ?
Vtu C )4.93s i n (295.3 ??? ?
分电压大于总电压
U?
LU?
CU?
I?RU?
? -3.4°
相
量
图
例 2,已知 Z1=10+j6.28?,Z2=20-j31.9 ?,Z3=15+j15.7 ? 。
ZZZZ ZZZZ ????? 3
21
21
3ab
Z1Z2
Z3a
b
求 Zab。
9.312028.610
)9.3120)(28.610(
21
21
jj
jj
???
???
?? ZZ
ZZZ
o
oo
5.4045.39
61.5765.3713.3281.11
??
?????
86.289.10 j ??
Ω j
jj
o
ab
6.359.3156.1889.25
86.289.107.15153
????
??????? ZZZ
负载消耗多少有功功率由负载的阻抗角决定。
P=Scos?
cos? =1,P=S
cos? =0.7,P=0.7S
一般用户为感性负载
异步电动机、日光灯
(1) 电源的利用率降低 。 电流到了额定值, 但功率容量还有
(2) 线路压降损耗和能量损耗增大 。 I=P/(Ucos? )
§ 3-7 功率因数提高
负载
U?电源 Z
UIS ?
客观事实
功率因数低带来的问题
U?
LI?
?1
LI?
在负载两端并联电容，提高功率因数
分析, U?
I?
LI?
CI?
?1 ?2
并联电容后,原感性负载取用的电流不变,吸收的有功无功都不
变，即负载工作状态没有发生任何变化。由于并联电容的电流领
先总电流，从相量图上看,U I 的夹角减小了,从而提高了电源
端的功率因数 cos φ
解决办法
L
RC
U?
I?
LI?CI?+
_
原负载 新负载
并联电容后，原负载的任何参数都没有改变！
补偿容量的确定
U?
I?
LI?
CI?
?1 ?2
21 s i ns i n ?? III LC ??
12 co s
,co s ?? U PIU PI L ??将
)( 21 ?? tgtgUPI C ??
代入
CUI C ??而
)( 212 ??
?
tgtg
U
PC ???
补偿容
量不同 全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 —— 使功率因数又由高变低 (性质不同 )
综合考虑，提高到适当值为宜 ( 0.9 左右 )。
L
RC
U?
I?
LI?CI?+
_
补偿后电流？补偿后功率因数？
补偿容量也可以用功率三角形确定：
?1 ?2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
ω U
PC
ω CUQ
φφPQQQ
C
L
???
?
????
思考,能否用串联电容提高 cos??
单纯从提高 cos? 看是可以, 但是负载上电压改变了 。 在电
网与电网连接上有用这种方法的, 一般用户采用并联电容 。
功率因数提高后, 线路上电流减少, 就可以带更
多的负载, 充分利用设备的能力 。
再从功率这个角度来看,
并联 C后, 电源向负载输送的有功 UIL cos?1=UI
cos?2 不变, 但 是 电 源 向 负 载 输 送 的 无 功
UIsin?2<UILsin?1减少了, 减少的这部分无功就由电
容, 产生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而
功率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6(滞后 )。要
使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c o s ?? φφ 得由
例,
P=20kW
cos?1=0.6
+
_
C
U?
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
解,
o22 84.25 9.0c o s ?? φφ 得由
U?
I?
LI?
CI?
?1 ?2
F 375
)84.25tg13.53tg(
380314
1020
)tgtg(
2
3
212
??
?
?
?
?
?
?
?
??
φφ
U
P
C
§ 3-9 谐振电路
一、串联谐振 只要电路中存在 L C,而总电压与总电流又同相
位，则说该电路处于谐振状态，电路发生了谐振
I?
U?
R
L
Cj?1
C
Lj?
I?
RU?
LU?
CU?
U?
）（ CLjRZ ?? 1???
电压与电流同相位 阻抗角为 0 阻抗虚部为 0
1,相量图
2,谐振条件
CL ?? 1?
LC
f
?2
1
0 ?
3,谐振特征
为谐振频率
0f
）（ CLjRZ ?? 1???
1,Z 最小，呈纯阻性,Z = R,φ= 0
2,谐振时电流最大,I0 = U/R UR = U
3,电路仍存在感抗、容抗，称为特性阻抗 ρ
称为品质因数 Q
CL 010 ??? ?? QR
X
R
X
R
CL ????，
CL UU,
与总电压无关
LL XIU ?
§ 3-9 谐振电路
二、并联谐振 只要电路中存在 L C,而总电压与总电流又同相
位，则说该电路处于谐振状态，电路发生了谐振
1,向量图
I?
U?
R
L
Cj?1C
Lj?
RLI?
CI?
U?
RLI?
1?
CI?
I?
2?
实验时，每改变一次 C 值要记录如下数据：
UUUIII LRCRL,、、、,哪个量会随 C 值而改变？
本章小结,
1,正弦量三要素,Im,?,?
电阻 电容电感2.比较
时域 u=Ri tiLu dd? tuCi dd?
频域 (相量 ) IRU ?? ? ILU ?? ?j? UCI ?? ?j?
有效值 U=RI U=XLIX
L=?L
U= -XCI
XC= -1/(?L)
有功 P=I2R=U2/R 0 0
无功 0 Q=ILUL Q= -ICUC
能量 W=I2Rt W=Li2/2 W=Cu2/2
相位 ?U?I ?U
?U?I
?I
正弦交流电路
作者,GSQ
第三章 正弦交流电路
第一节 正弦交流电的基本概念
第二节 正弦量的相量表示法
第三节 电阻元件的正弦交流电路
第四节 电感元件的正弦交流电路
第五节 电容元件的正弦交流电路
第六节 正弦稳态电路的分析
第七节 功率因数的提高
第八节 谐振电路
小结与习题
第三章 正弦交流电路
一、
概
念
1、什么是正弦交流电：
随时间按正弦函数规律周期性变化的 电压、电流和电动势
等 物理量，通称为正弦量。它们在一个周期内平均值为零。
2、为什么要使用交流电：交流电容易获得。
3、交流电的正方向：实际方向与参考方向一致时取正。
4、交、直流电路比较：
① 交、直流电的 I,U,E,P 具有相同的物理意义
② 基本定律定理一样，网络分析的方法理论一样。
③ 交流电是变的，其瞬时值符合 KCL,KVL,但
有效值不符合 。
3.1
§ 3-1 正弦交流电路的基本概念
二、正弦量描述
)s i n ( ?? ?? tIi m
角频率
初相位幅值
t?
i
三个要素可以描述一个正弦量,频率、幅值、初相位
?
mI
幅值
amplitude
angular frequency
initial phase angle
3.1
2、幅值与有效值
1、频率 f （周期 Τ、角频率 ω）
周 期 T,变化一周所需的时间，用 s ms 表示。
频 率 f,每秒重复变化的次数。单位,Hz 赫 (兹 ) f =1/ T
角频率 ω,每秒变化的角度 (弧度 ),ω=2πf =2π/ T rad/ s
幅 值 正弦量变化过程中呈现的最大值，电流 Im, 电压 Um
如果一个交流电流 i 通过一个电阻 R，在一个周期内
产生的热量为 Q,而在相同的时间里产生相同的热量
需通入直流电 为 I,则称 I 为 i 的 有效值 。
RTIR d ttiQ T 20 2 )( ?? ?
2)(
1
0
2 mT Idtti
TI ?? ?
即：
2 2
mm UUII ??
I,U 表示 有效值 Im, Um 表示 幅值
有效值
3.1
t?
初相位 是 0 时刻到波形起始点那段距离对应的角度
?? 43???? 31?
相位差 两个同频正弦量相位角之差，表示为
?
i?
u?
iu ??? ??
?? 1 8 0 ?应有
角度超前,0 ?? iu?
同相位与,0 iu??
角一个滞后则 ??,0 iu?
正交与则说,2 iu?? ??
反相与则说,iu?? ?
3、初相位 ?? 与相位差 3.1
＜ 1800
规定,|? | ?? (180° )。
特殊相位关系：
? t
u,i
u
i
O
? t
u,i
u
iO
? t
u,i
u
i
O
? = 0 同相
? =?? (?180o )
反相
? = ?/2 正交
3.1
例 3-1 VttuVttu )90314s i n(50)( )120314s i n(100)(
21 ??????,
？，谁超前？的相位差与）求 ?? 1 21 uu
）的参考方向，重复问题）若改变 1 2 2u
解,1）已知
???
??
90
120
2
1
?
?
滞后则 1 5 03 6 02 1 0
2 1 0)90(1 2 0
1
21
u???????
????????
?
??
2） ?? 90
22 ?的参考方向，则若改变 u
?????? 30 3090-120 21 uu 超前即则 ?
?? 1201?
??? 902? 1?
2?
?? 30?
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
? t?
?
1,相量图
直角坐
标系中
有一 有
向线段
相量图可以描
述一个正弦量
正弦量
表示法
瞬时值（三角函数）
波形图
相量图
相量式（复数）
直观，但不便于分析计算
便于完成正弦量的加减乘除运算
旋转起来
投影
#
3.2
Vttu
Vttu
)453 1 4s i n (50)(
)483 1 4s i n (1 0 0)(
2
1
???
???,
已知：
求：
21 uuu ??
解：
采用相量图法计算：
1U?
2U?
U?瞬时值相加很繁琐
?48
??45
?
)s i n( ?? ?? tUu m结果：
#
t?
?
u 正弦量
?
U?相量图
对应
例
jbaA ???
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
2,相量式（复数表示法）
将相量图置于复平面中
?
A?
+1
j
实
轴
虚
轴
a
向实轴
的投影
复平面
b
向虚轴
的投影相量表示为相量式A?,
?jAeA ??
??? AA?
?c o sAa ?
?sinAb ?
22 baA ??
代数形式：
指数形式：
极坐标形式
其
中
#a
ba rc tg??
运算法则：
(1)加减运算
A1
A2
Re
Im
O
加减可用图解法
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
(2) 乘除运算
21
2
1)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||e
||
||
e||
e||
||
|| 211 θθ
A
A
A
A
A
A
θA
θA
A
A θθ
θ
θ
??????? ?
除法：模相除，角相减
乘法：模相乘，角相加
则,
21 2121 ?? jj eAeAAA ??? ??
#
若 =|A1| ? 1, 若 =|A2| ? 2
2A?1A?
若 =a1+jb1,=a2+jb2
1A? 2
A?
则 ± =(a1± a2)+j(b1± b2)
2A?1A?
)(21 21 ?? ?? jeAA
2121 ?? ??? AA
3.2 § 3-2 正弦量的相量表示法
1,相量图
正弦量
表示法
瞬时值（三角函数）
波形图
相量图
相量式（复数）
#
t?
?
u 正弦量
?
U?相量图对应
2,相量式（复数表示法）
jbaA ???
?jAeA ??
??? AA?
?c o sAa ?
?sinAb ?
22 baA ??
代数形式：
指数形式：
极坐标形式
其
中
a
ba rc tg??
)s i n (2 ?? ?? tAA?
) s i n (2)( θUUθtωUtu ????? ?
正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1.
试用相量表示 i,u,
)V6014t3 1 1, 1 s i n ( 3
A)30314s i n (4.141
o
o
??
??
u
ti
解,
V60220
A30100
o
o
???
??
?
?
U
I
例 2.
试写出电流的瞬时值表达式。
解, A)15314s i n (250
??? ti
,5 0H z A,1550 ???? fI ?已知
3.2
例 3,?2510475 ????? ??
)2 2 6.40 6 3.9()6 5 7.341.3(2510475 jj ???????? ??
569.047.12 j?? ?61.248.12 ???
解,
例 4,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 220 ?? ???? ?
解：上式 2.1 2 6j2.1 8 0 ??
?
??
04.1462.20
3.562 1 1.79.2724.19
?
????
?16.70728.62.126j2.180 ????
3 2 9.6j2 3 8.22.1 2 6j2.1 8 0 ????
?365.2255.132j5.182 ????
#
3.2
例
5．
V )603 1 4s i n (24)(
V )303 1 4s i n (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量
图在正弦稳态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
V604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.413 1 4s i n (264.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
?30
1U?
Re
Im
?9.41
?30
1U?
?60
2U?
U?
首
尾
相
接
46.32319.5 jj ????
46.619.7 j?? V 9.4164.9 o??
?60
2U?
#
3.2
?9.41
U?
§ 3-3 电阻元件的正弦交流电路
一, 伏安关系
tIti ?s i n2)( ?已知
tRIRiu R ?s i n2 ??则 U
R
uR(t)
i(t)
R
UR=RI
相量模型
R
RU
?
? I
显然有
IRU R ?? ?
1.电压与电流为同频正弦量
2.有效值与相量均有欧姆定律成立
二, 功率 uip ?
有功功率 RURIUIP /22 ???
三, 相量图
I?
RU?
同相位
#
3.3
tRItI ?? s i n2s i n2 ?? tRI ?22 s in2 tUI ?2s in2?
2
2c o s1s i n 2 tt ?? ??
)2c os1( tUI ?
§ 3-4 电感元件的正弦交流电路
一, 伏安关系
)90s i n (2 ???? tLILu dtdiL L ??
1.电压与电流为同频正弦量
2.有效值与相量均符合欧姆定律
3.感抗 XL是频率 f 的函数
4.电压超前电流 900
#
3.4
i(t)
uL(t) L
LU?
j? L
? I
相量模型
UL
Lj
I
LI
I
U L ?? ?
??
???
0
90
?
?
LIU L ??
??? 90LIU L ??
??? 0II?
则
tIti ?s i n2)( ?
设
相量欧姆定律
有效值欧姆定律
LXL ?? LjXLj ??
称为感抗 称为复感抗
二, 功率
有功功率
三, 相量图
I?
LU?
tIUttIUiup LmLLL ??? 2s i ns i n)90s i n(m ??????
3.4
瞬时功率以 2?交变，
有正有负，一周期内
刚好互相抵消。i
? tO
uL pL波形图
2?
P = 0
I?
LU?
u与 i 相位相差 900
#
tIti ?s i n2)( ? )90s i n (2 ??? tLIu L ??
无功功率 Q
LIUQ ? LI ?2?
L
U
?
2?
无功功率是指储能元件与电源间进行能量交换的那部分功率
乏 (Var)
§ 3-5 电容元件的正弦交流电路
一, 伏安关系
)90s i n (2 ???? tCUCi dtdu c ??
1.电压与电流为同频正弦量
2.有效值与相量均符合欧姆定律
3.感抗 XC是频率 f 的函数
4.电流超前电压 900
3.5
C
j
CU
U
I
U
??
1
90
0 ??
??
???
?
?
CI
U
?
1?
??? 90CUI ??
??? 0UU?
则
tUtu ?s i n2)( ?
设
相量欧姆定律
有效值欧姆定律
CXC ??
1 CC jXj ??? ? 1称为容抗
复容抗
i(t)
u(t) C
CU?
? I
相量模型
Cj ?1?
二, 功率
三, 相量图
I?
CU?
tIUttIUiup CmCCC ??? 2s i ns i n)90s i n(m ??????
3.5
瞬时功率以 2?交变，
有正有负，一周期内
刚好互相抵消。u? tO
i pc
波形图：
2?
I?
CU?
u与 i 相位相差 900
#
CIUQ ? CXI 2?
C
C
X
U 2?
无功功率是指储能元件与电源间进行能量交换的那部分功率
乏 (Var)
P = 0有功功率
无功功率 Q
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
1,RC串联电路
CXRφZ
I
U
Z j||
????? ?
?
复阻抗
|Z|
R
XC
?
阻抗三角形RXiu Ca r ct g ???? ???
22
CXRI
UZ ??? 阻抗模
阻抗角
i
u
C
R
I?
U?
Cj?1?
R RU?
CU?
CR UUU ??? ??
称为复阻抗
3.6
#
CjIRI ?1?? ??
)( 1CjRI ??? ?
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
1,RC串联电路
I?
U?
Cj?1?
R RU?
CU?
选电路的共量作为参考相量
I?
RU?
CU?
U?
然后依次画出,,
RU? CU? U?
?
3.6
相量图为一
直角三角形
这种方法可将复杂的正弦电路计算转化为平面几何的分析计算
各边长为对应
量的有效值U
RU
CU
UR = 3V
UC =4V
如,U =？
?? 22 43
5V #
电压三角形
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
1,RC串联电路
RU?
CU?
3.6
RU?
CU?
U?
?
U
RU
CU
#
I?
U?
R
Cj?1
C
)( 1CjRIU ??? ??
电阻消耗的有功功率电路总有功功率 =
电路总无功功率 = 储能元件上的无功功率
IUP R?
IUQ C?
?c o sUI?
?s inUI?
RI 2?
CXI
2?
RU?
CU?
U?
?
电路视在功率
●
●
●
RU
CU
U
?
I?
I?
P
Q
IU ? S视在功率UIS ?
w
Var
VA
功率三角形
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
2,RLC串联电路
RU?
CU?
3.6
#
I?
U?
R
L
Cj?1
C
Lj?
LU?
CjLjRZ ?? 1???
)( CL XXjR ???
电路总阻抗
)( 1CLj ?? ?
?I?
Z
U?
?RU? RI?
?CU? CjXI ??
?LU? LjXI ??
I?
RU?
CU?
LU?U
?电压三角形
RU
)( CL UU ?
U
?
是电压与电流的相位差，也是阻抗角?
R
XX CL ?? a r c t a n?
电压超前电流
电路呈感性
§ 3-6 正弦稳态电路的分析
2,RLC串联电路
RU?
CU?
3.6
#
I?
U?
R
L
Cj?1
C
Lj?
LU?
)( 1CLjRZ ?? ???
I?
RU
)( CL UU ?
U
?
对于电压三角形
各边电压有效值乘以电流有效值分别变为
有功功率 P,无功功率 Q,视在功率 S
?
P
S Q?c osUIP ?
?s inUIQ ?
●
●
●
UIS ? 功率三角形
关于交流电路的功率 有功，无功，视在功率的关系,
有功功率, P=UIcos? 单位,W
无功功率, P=UIsin? 单位,var
视在功率, S=UI 单位,VA
22 QPS ??
?
S
P
Q ?Z
R
X ?U
UR
UX R
X
+
_
+ _
o
o
+
_U?
RU?
XU?
功率三角形 阻抗三角形 电压三角形
3,视在功率 (表观功率 ) 反映电气设备的容量。
2,无功功率 Q φUIQ s in? 表示交换功率的最大值
( V A ) UIS ?
var (乏 )
1,有功功率 P P=UIcos? (W) 表示电路真正消耗的功率
电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
当 L发出功率时, C刚好吸收功率, 则与外电路交换
功率为 pL+pC。 因此, L,C的无功具有互相补偿的作用 。
关于交流电路的功率
? t
i
O uL
uC
pL pC
例 1 L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103 ),60s i n (25 4???? ftωu ?
求 i,uR,uL,uC,
解, 其相量模型为 V
?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
,I j? LR
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
)1j( CLRZ ?? ??? Ω
o4.6354.33 ??
Z
UI ?? ?
??
???
4.6354.33
605 A???? 4.3149.0
RIU R ?? ? ????? 4.3149.015 V 4.3235.2
o???
V 4.8642.84.314 9.0905.56j ooo ???????? ?? ILU L ?
?? 5.56L?
?? 5.26C1?
A???? 4.3149.0
V 4.3235.2 o???
V 4.8642.8 o??
IjU cC ?? ?1?? V 4.9395.3 o???
Ati )4.3s i n (21 4 9.0 ??? ?
Vtu )4.3s i n (22 3 5.2 ??? ?
Vtu L )4.86s i n (224.8 ??? ?
Vtu C )4.93s i n (295.3 ??? ?
分电压大于总电压
U?
LU?
CU?
I?RU?
? -3.4°
相
量
图
例 2,已知 Z1=10+j6.28?,Z2=20-j31.9 ?,Z3=15+j15.7 ? 。
ZZZZ ZZZZ ????? 3
21
21
3ab
Z1Z2
Z3a
b
求 Zab。
9.312028.610
)9.3120)(28.610(
21
21
jj
jj
???
???
?? ZZ
ZZZ
o
oo
5.4045.39
61.5765.3713.3281.11
??
?????
86.289.10 j ??
Ω j
jj
o
ab
6.359.3156.1889.25
86.289.107.15153
????
??????? ZZZ
负载消耗多少有功功率由负载的阻抗角决定。
P=Scos?
cos? =1,P=S
cos? =0.7,P=0.7S
一般用户为感性负载
异步电动机、日光灯
(1) 电源的利用率降低 。 电流到了额定值, 但功率容量还有
(2) 线路压降损耗和能量损耗增大 。 I=P/(Ucos? )
§ 3-7 功率因数提高
负载
U?电源 Z
UIS ?
客观事实
功率因数低带来的问题
U?
LI?
?1
LI?
在负载两端并联电容，提高功率因数
分析, U?
I?
LI?
CI?
?1 ?2
并联电容后,原感性负载取用的电流不变,吸收的有功无功都不
变，即负载工作状态没有发生任何变化。由于并联电容的电流领
先总电流，从相量图上看,U I 的夹角减小了,从而提高了电源
端的功率因数 cos φ
解决办法
L
RC
U?
I?
LI?CI?+
_
原负载 新负载
并联电容后，原负载的任何参数都没有改变！
补偿容量的确定
U?
I?
LI?
CI?
?1 ?2
21 s i ns i n ?? III LC ??
12 co s
,co s ?? U PIU PI L ??将
)( 21 ?? tgtgUPI C ??
代入
CUI C ??而
)( 212 ??
?
tgtg
U
PC ???
补偿容
量不同 全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 —— 使功率因数又由高变低 (性质不同 )
综合考虑，提高到适当值为宜 ( 0.9 左右 )。
L
RC
U?
I?
LI?CI?+
_
补偿后电流？补偿后功率因数？
补偿容量也可以用功率三角形确定：
?1 ?2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
ω U
PC
ω CUQ
φφPQQQ
C
L
???
?
????
思考,能否用串联电容提高 cos??
单纯从提高 cos? 看是可以, 但是负载上电压改变了 。 在电
网与电网连接上有用这种方法的, 一般用户采用并联电容 。
功率因数提高后, 线路上电流减少, 就可以带更
多的负载, 充分利用设备的能力 。
再从功率这个角度来看,
并联 C后, 电源向负载输送的有功 UIL cos?1=UI
cos?2 不变, 但 是 电 源 向 负 载 输 送 的 无 功
UIsin?2<UILsin?1减少了, 减少的这部分无功就由电
容, 产生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而
功率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cos?1=0.6(滞后 )。要
使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c o s ?? φφ 得由
例,
P=20kW
cos?1=0.6
+
_
C
U?
L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
解,
o22 84.25 9.0c o s ?? φφ 得由
U?
I?
LI?
CI?
?1 ?2
F 375
)84.25tg13.53tg(
380314
1020
)tgtg(
2
3
212
??
?
?
?
?
?
?
?
??
φφ
U
P
C
§ 3-9 谐振电路
一、串联谐振 只要电路中存在 L C,而总电压与总电流又同相
位，则说该电路处于谐振状态，电路发生了谐振
I?
U?
R
L
Cj?1
C
Lj?
I?
RU?
LU?
CU?
U?
）（ CLjRZ ?? 1???
电压与电流同相位 阻抗角为 0 阻抗虚部为 0
1,相量图
2,谐振条件
CL ?? 1?
LC
f
?2
1
0 ?
3,谐振特征
为谐振频率
0f
）（ CLjRZ ?? 1???
1,Z 最小，呈纯阻性,Z = R,φ= 0
2,谐振时电流最大,I0 = U/R UR = U
3,电路仍存在感抗、容抗，称为特性阻抗 ρ
称为品质因数 Q
CL 010 ??? ?? QR
X
R
X
R
CL ????，
CL UU,
与总电压无关
LL XIU ?
§ 3-9 谐振电路
二、并联谐振 只要电路中存在 L C,而总电压与总电流又同相
位，则说该电路处于谐振状态，电路发生了谐振
1,向量图
I?
U?
R
L
Cj?1C
Lj?
RLI?
CI?
U?
RLI?
1?
CI?
I?
2?
实验时，每改变一次 C 值要记录如下数据：
UUUIII LRCRL,、、、,哪个量会随 C 值而改变？
本章小结,
1,正弦量三要素,Im,?,?
电阻 电容电感2.比较
时域 u=Ri tiLu dd? tuCi dd?
频域 (相量 ) IRU ?? ? ILU ?? ?j? UCI ?? ?j?
有效值 U=RI U=XLIX
L=?L
U= -XCI
XC= -1/(?L)
有功 P=I2R=U2/R 0 0
无功 0 Q=ILUL Q= -ICUC
能量 W=I2Rt W=Li2/2 W=Cu2/2
相位 ?U?I ?U
?U?I
?I
