1 第六章 期权定价 期权2 教学内容 1.股价过程 2.BSM随机微分方程 3.风险中性定价 4.B-S期权定价公式 5.标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6.欧式指数期权、外汇期权和期货期权 期权3 马尔科夫过程(Markov process) 1.无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2.如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时 刻的概率分布不依赖于股价过去的路径 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的 技术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性 期权4 Wiener过程(布朗运动)nullnull定义 1.瞬时增量为 增量的均值等于0 增量的标准差等于 z t\e\D\= \D 2.在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程 t\D 期权5 Wiener过程(布朗运动)nullnull基本性质 1.Wiener过程(长时间段内)的增量 增量的均值等于0 增量的标准差等于 2.在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3.在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无 穷大 () () ( ) 1 0 N i i z T z t N T t \e \= \- \= \D \= \D \? T 期权6 广义Wiener过程 1.x是广义Wiener过程，如果 漂移速度a是常数 b是常数 2.x是广义Wiener过程 增量的均值等于 标准差为 dx adt bdz\= \+ () ()0x T x\- b T aT 2 期权7 Ito引理 1.x是Ito过程，如果 2.Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下， 因此，G也是Ito过程 2 2 2 1 2 G G G GdG a b dt bdz x t x x \? \?\? \? \? \?\= \+ \+ \+ \? \÷\? \? \? \?\è \? ( ) ( ), ,dx a x t dt b x t dz\= \+ 期权8 Ito引理nullnull应用于股票远期价格 1.标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2.运用Ito引理，得到， 0 0 rTF S e\= ( )r T tF Se \-\= ( )dF r Fdt Fdz\m \s\= \- \+ 期权9 股价过程 1.股价过程：几何布朗运动 ， ：单位时间内股票价格的期望收益率 ：股价的波动率 . 2.S为股价过程，则 dS dt dz S \m \s\= \+dS Sdt Sdz\m \s\= \+\m \s ( ),S t tS \m \s\D \D \D\: 2 2 2 2 1 2 G G G GdG S S dt Sdz S t S S\m \s \s \? \?\? \? \? \?\= \+ \+ \+ \? \÷\? \? \? \?\è \? 期权10 股价过程nullnull对数正态分布 1.股价对数过程， 2.称股价呈对数正态分布 ( )2ln 2dG d S S dt dz\m \s \s\= \- \+\@ lnG S\= ( ) ( ) )20ln ,2TS S T T\s \m \s\-\: ( )( )20ln ln ,2TS S T T \s \m \s\+ \-\: ( ) 0 TTE S S e\m\= ( ) 22 20var 1T TTS S e e\m \s\é \ù\= \-\? \? 期权11 股价过程nullnull收益率分布 1.股票收益率(长时间尺度) 2.与瞬时期望收益率的差异 3.约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时 期望收益率 0 T TS S e \h\= 0 1 ln TS T S\h\=或者， 2 , 2 T\s \s\h \m \? \?\-\? \÷ \è \?\: ( ),S t tS \m \s\D \D \D\: \m 期权12 BSM随机微分方程nullnull假设 1.股价过程为Ito过程 2.卖空无限制 3.没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4.衍生工具在到期之前不产生红利 5.不存在套利机会 6.证券可以连续交易 7.所有期限的无风险利率同为常数 3 期权13 BSM随机微分方程nullnull推导 1.f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数 2.离散形式 dS Sdt Sdz\m \s\= \+ 2 2 2 2 1 2 f f f fdf S S dt Sdz S t S S\m \s \s \? \?\? \? \? \?\= \+ \+ \+ \? \÷\? \? \? \?\è \? S S t S z\m \s\D\= \D\+ \D 2 2 2 2 1 2 f f f ff S S t S z S t S S\m \s \s \? \?\? \? \? \?\D\= \+ \+ \D\+ \D \? \÷\? \? \? \?\è \? 期权14 BSM随机微分方程nullnull推导 3.由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相 同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可 以消除掉Wiener过程。 1个单位衍生工具空头，份股票 4.把上述投资组合的价值记作 f S \? \? \P ff S S \?\P\=\- \+ \? 2 2 2 2 1 2 f f ff S S t S t S \s \? \?\? \? \?\D\P\=\-\D\+ \D\=\- \+ \D \? \÷\? \? \?\è \? 期权15 BSM随机微分方程nullnull推导 5.组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的 6.股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现 在边界条件上 欧式买权：当t=T时， 欧式卖权：当t=T时， r t\D\P\=\P\D 2 2 2 2 1 2 f f fS t r f S t t S S\s \? \?\? \? \?\? \?\- \+ \D\= \- \+ \D \? \÷ \? \÷\? \? \?\è \?\è \? 2 2 2 2 1 2 f f frS S rf t S S\s \? \? \?\+ \+ \= \? \? \? ( )maxf S X\= \- ( )maxf X S\= \- 期权16 BSM随机微分方程nullnull应用于股票远期 股票远期的价格满足BSM方程 ( )r T tf S Ke\- \-\= \- ( ) 2 2, 1, 0 r T tf f frKe t S S \- \-\? \? \?\=\- \= \= \? \? \? ( )22 2 2 1 2 r T tf f frS S rKe rS rf t S S\s \- \-\? \? \?\+ \+ \=\- \+ \= \? \? \? 期权17 BSM随机微分方程 1.BSM的任何解都是某种可以交易的衍生工具 的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会 2.如果不满足BSM方程，它是某种衍生工具的 价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会 ( ),f S t ( ),f S t 期权18 风险中性定价(risk-neutral valuation) 1.Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说 明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此， 在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别 地，可以假设投资者是风险中性的 在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无 风险利率 2.风险中性定价的一般程序 假设标的资产的期望收益率等于无风险利率 计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff) 把期望支付按无风险利率贴现 3.风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该 方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性 的投资者) 4 期权19 风险中性定价nullnull应用于股票远期 1.边界条件： 2.根据风险中性定价原则， T Tf S K\= \- ( ) ( )r T t Tf e E S K \- \-\= \-) ( ) ( ) ( )r T t r T t Te E S e K \- \- \- \-\= \-) ( ) ( ) ( )r T t r T t r T te e S e K\- \- \- \- \-\= \- ( )r T tS e K\- \-\= \- 期权20 欧式期权定价 1.期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的 前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解 决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。 在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工 作出现在1973年nullnull金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文 2.该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式nullnull Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价 在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采 用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法 3.M. Scholes主要因为这一工作与R. Merton一道荣膺 了1997年的诺贝尔经济学奖 期权21 BS期权定价公式 0 1 2( ) ( ) rTc S N d Xe N d\-\= \- 2 0 1 \-\= \- \- \-( ) ( )rTp Xe N d S N d ( )20 1 2ln S r T Xd T \s \s \? \?\+ \+\? \÷ \è \?\= ( )20 2 1 2\s \s \s \? \?\+ \-\? \÷ \è \?\= \= \-ln S r T Xd d T T ( ) ( ))r T t Tf e E S K \+\- \-\= \-) 期权22 欧式期权定价nullnull轶事 1.巧合的是，国际上第一个期权交易所nullnull芝加哥期权 交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的 正式发表（5-6月号） 2.两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝， 而且没有得到审稿意见。拒绝的理由： 金融太多，经济学太少 3.他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得 到审稿意见的情况下遭到拒绝 4.在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑打 了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5.这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先 期权23 BS期权定价公式nullnull离散红利 1.不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票 的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、 无风险利率以及标的股票的波动率 2.如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股 票期权没有分红的保护，因此不能直接利用B-S期权 定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法 是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分 配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而得 到欧式期权的价值 期权24 美式买权的执行问题nullnull股票分红 1.分红前夕： 2.相应的分红数量： 3.如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价 值为 4.如果在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的 下界告诉我们， 5.所以，如果，即 null，那么，在最后一次分红前夕执行期 权不是最优方案 6.如果，可以证明，在股价充分高的 情况下，执行期权是最优方案 1 20 nt t t T\< \< \< \< \<\L 0, 1,2iD i n\> \= \L ( )nS t X\- ( ) ( )nr T tn nC c S t D Xe\- \-\3\3 \- \- () ( ) ()nr T tn n nS t D Xe S t X\- \-\- \- \3 \- ( )( )1 nr T t nD X e \- \-\￡ \- ( )( )1 nr T t nD X e \- \-\> \- 5 期权25 美式买权的执行问题nullnull股票分红 1.一般地，如果，那么在第I次分红 前夕执行期权不是最优方案 2.总结 美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的 前夕 如果对i=1,2nulln ( )成 立，那么，提前执行不是最优方案 ( )( )11 i ir t t iD X e \+\- \-\￡ \- ( )( )11 i ir t t iD X e \+\- \-\￡ \- 1nt T\+ \@ 期权26 美式卖权的执行问题nullnull股票分红 1.美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案 2.如果对i=1,2nulln ( )成 立，那么，卖权不应该提前执行 ( )( )11 i ir t t iD X e \+\- \-\3 \- 1nt T\+ \@ 期权27 欧式股票期权nullnull连续红利 1.下述两种股票在T时刻的价格分布相同 当前股价为，支付连续红利，红利率为q 当前股价为，不支付红利 2.定价原则：在定价标的股票支付连续红利的欧式期权 时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权， 只要用替代当前股价 0S 0 qTS e\- 0 qTS e\- 期权28 欧式股票期权nullnull连续红利 1.期权下界 2.平价关系 ( )0max ,0rTc S Xe\-\3 \-( )0max ,0qT rTc S e Xe\- \-\3 \- ( )0max ,0rTp Xe S\-\3 \-( )0max ,0rT qTp Xe S e\- \-\3 \- 0 rTc Xe p S\-\+ \= \+ 0 rT qTc Xe p S e\- \-\+ \= \+ 0 0 rTS X C P S Xe\-\- \￡ \- \￡ \- 0 0 qT rTS e X C P S Xe\- \-\- \￡ \- \￡ \- 期权29 欧式股票期权nullnull连续红利 1.BSM随机微分方程 2.风险中性定价 ( ) 22 2 212f f fr q S S rft S S\s\? \? \?\+ \- \+ \=\? \? \? dS rSdt Sdz\s\= \+( )dS r q Sdt Sdz\s\= \- \+ 期权30 欧式股票期权nullnull连续红利 0 1 2 \- \-\= \-( ) ( )qT rTc S e N d Xe N d 2 0 1 \- \-\= \- \- \-( ) ( )rT qTp Xe N d S e N d ( )20 1 2ln S r q T Xd T \s \s \? \?\+ \-\+\? \÷ \è \?\= 2 1d d T\s\= \- 6 期权31 股票指数期权与外汇期权 连续红利的BS定价公式可以直接用于股票指数期权与 外汇期权的定价 期权32 期货期权 1.假设期货价格过程为 2.在连续红利的期权定价公式中，用期货价格代替股票 价格，并且用无风险利率替代红利率，就得到期货期 权的定价公式 dF Fdt Fdz\m \s\= \+ \[ \]0 1 2( ) ( )rTc e F N d XN d\-\= \- \[ \]2 0 1( ) ( )rTp e XN d F N d\-\= \- \- \- ( ) 20 1 2ln F X Td T \s \s \+\= ( ) 20 2 1 2ln F X Td d T T \s \s \s \-\= \= \-