1 第7章 期权的希腊字母 Greeks2 教学内容 1.Delta 2.Theta 3.Gamma 4.Vega 5.Rho 6.Portfolio Insurance Greeks3 希腊字母 1.希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理 期权做市商 金融机构地期权交易员 2.期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个： 股价：Delta, Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho Greeks4 Delta 1.Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性 2.图示 S(0) S \?\P\D \?\@ Greeks5 Deltanullnull欧式股票期权 1.利用BS公式，可以推导出 2.Delta与股价的关系 1 X ( )1 1 0p N d\D\= \-\<( )1c N d\D\= S(0) Greeks6 Deltanullnull欧式股票期权 Delta与到期时间的关系 at the money in the money out of the money 2 Greeks7 Deltanullnull其它欧式期权 1.股指期权 2.外汇期权 3.期货期权 4.股票远期 ( )1qTc e N d\-\D\= ( )1 1qTp e N d\-\D\= \- ( )1fr Tc e N d\-\D\= ( )1 1fr Tp e N d\-\D\= \- ( )1rTc e N d\-\D\= ( )1 1rTp e N d\-\D\= \- ( )r T tf S Ke\- \-\= \- 1\T\D\= Greeks8 Deltanullnull线性 考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都 是同一种资产，则，组合的Delta等于每种期权的 Delta的线性和 其中，表示组合包含第I中期权的数量 1 n i i i w \= \D\= \D\? iw Greeks9 Delta对冲 1.定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保 护的头寸的Delta等于零 Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 2.动态对冲 由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量 3.例子：BSM随机微分方程的推导 1个单位衍生工具空头，份股票 BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性 头寸 f S \? \? Greeks10 Delta对冲nullnull使用期货 1.实践中，对冲工具多选用期货 期货流动性好、交易成本低 2.符号 期货到期时间： Delta对冲需要的标的资产头寸： Delta对冲需要的期货头寸： 3.期货的Delta: 期货合约的Delta v.s. 远期合约的Delta AH *T FH 0 0 rTF S e \*\= rTe \*\T\D\= Greeks11 Delta对冲nullnull使用期货 4.Delta对冲需要的期货头寸 标的资产不分红 标的资产为股票指数 标的资产为外汇 rT F AH H e \*\-\= ( )r q T F AH H e \*\-\-\= ( )fr r T F AH H e \*\-\-\= Greeks12 Thetanullnull定义 1.Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值 随时间衰减的速度 2.与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全 确定的量，无需进行对冲 t \?\P\Q \?\@ 3 Greeks13 Thetanullnull欧式股票期权 1.欧式股票期权的Theta 买权 卖权 0 1 2 ( ) ( ) 2 rT c S N d rXe N d T \s \-\￠\Q\=\- \- 0 1 2 ( ) ( ) 2 rT p S N d rXe N d T \s \-\￠\Q \=\- \+ Greeks14 Thetanullnull欧式股票期权 Theta与股价的关系X Greeks15 Thetanullnull欧式股票期权 Theta与时间的关系 in the money at the money out of the money Greeks16 Gamma 1.Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数 2.Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏 感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性 3.Gamma中性与Gamma对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于 零，因此，不能用来改变投资组合的Gamma 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 资产价格呈非线性关系的工具，例如期权 2 2S S \?\D \?\P\G \= \? \?\@ 21 2t S\D\P\=\Q\D\+ \G\D\g \g Greeks17 Gammanullnull欧式股票期权 欧式股票期权的Gamma 1 0 ( ) c p N d S T\s \￠\G\=\G\= Greeks18 Gammanullnull欧式股票期权 Gamma与股价的关系 X 4 Greeks19 Gammanullnull欧式股票期权 Gamma与到期时间的关系 in the money at the money out of the money Greeks20 Delta, Theta, Gamma的关系 1.从BSM方程容易推导出三者的关系 2.如果投资组合是Delta中性的，则 如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用 2 2 2 2 1 2rS S rt S S\s \?\P \?\P \?\P\+ \+ \=\P \? \? \? 2 21 2rS S r\s\Q\+ \D\+ \G\=\P 2 21 2 S r\s\Q\+ \G\=\P Greeks21 Vega 1.Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性 2.Vega中性与Vega对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Vega 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些Vega不等于 零的工具，例如期权 3.欧式期权的Vega Vega \s\?\P\?\@ 0 1( )c pVega Vega S T N d\￠\= \= Greeks22 Veganullnull与股价的关系 X Greeks23 Veganullnull与到期时间的关系 in the money at the money out of the money Greeks24 Rho 1.Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权 价值对利率变化的敏感性 2.标的股票不支付红利的欧式期权 买权 卖权 rho r\?\P\?\@ 2rho ( ) rT c XTe N d \-\= 2rho ( ) rT p XTe N d \-\=\- \- 5 Greeks25 Rhonullnull外汇期权 1.外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个 rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个对应 于外币利率 买权 卖权 0 1rho ( ) fr T c Te S N d \-\=\- 0 1rho ( ) fr T c Te S N d \-\= \- Greeks26 Rhonullnull欧式股票:与股价的关系 Greeks27 Rhonullnull欧式股票买权:与到期时间的关系 out of the money at the money in the money Greeks28 投资组合保险nullnull定义 1.投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险 2.股票投资组合+股票指数卖权 P/L 股价 Greeks29 投资组合保险nullnull合成期权 1.投资组合保险对期权的要求 流动性 执行价格 到期时间 2.基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险 3.期权合成技术nullnull动态复制 似曾相识nullnull在推导BSM过程中采用的Delta对冲就是 用标的股票与买权动态复制无风险资产 4.动态复制 标的资产+无风险资产 股指期货+无风险资产 Greeks30 投资组合保险nullnull标的资产+无风险资产 1.欧式股票卖权=标的资产+无风险资产 股票空头头寸，数量等于卖权的Delta 无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权 的价值 股票头寸： 无风险资产头寸： 2.在一定条件下，复制卖权的投资组合是自融资的 ( )1 1p p N dS\?\D\= \= \-\? pp S\-\D\g 6 Greeks31 投资组合保险nullnull标的资产+无风险资产 Greeks32 投资组合保险nullnull标的资产+无风险资产 1.上图有助于理解动态复制技术 曲线表示卖权与标的股票价格的关系 切线的斜率表示卖权的Delta 截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额 2.随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其 斜率与截距都将发生变化 因此，动态复制需要经常性地调整头寸 2.投资组合保险(股票+卖权)包含两个头寸 股票头寸： 无风险资产头寸: ( )1 p S\+\D pp S\-\D\g Greeks33 投资组合保险nullnull使用股指期货 1.通过利用股指期货，不用买卖股票进行再平衡 通过在投资组合基础上“覆盖”股指期货头寸提供保险 2.指数期货显著降低了交易成本 80年代末，美国股指期货的双向买、卖差价与佣金大 约为股票的1/10 (8bp : 80bp) Greeks34 投资组合保险nullnull缺陷 1.投资组合保险的机制决定了这种策略在股票市场或者 股指期货市场上必须“追涨杀跌” 2.动态复制在理论上虽然是“自融资策略”，但是，由于 存在交易成本，实际上不可能是“自融资策略”。基金 经理必须在交易成本与复制效果之间进行平衡 交易成本越高，在平衡的频率越低 3.在股市出现极端行情的时候，投资组合保险的效果将 大打折扣 股票、股指期货交易困难 组合不是Vega中性的。然而，在极端行情中，波动率 会大幅度上升，因而显著增加复制期权的成本 4.如果采用股指期货进行保险，基点差风险也不容忽视 1987/10，股指期货与S&P 500出现重大偏差 Greeks35 投资组合保险nullnull股价跳跃 31003.42 (0.16)(15.90)19.32 3.42 31251.04 (0.05)(6.28)7.32 1.04 31251.04 (0.05)(13.60)12.00 (1.60) TSpdelta 复制投资组合($) 股票空头无风险资产净投资 37510.39 (0.43)(32.49)42.88 10.39 TSpdelta 净现金流 股票头寸无风险资产净流量 37510.39 (0.43)20.57 (23.56)(2.99) Greeks36 二叉树模型 1.基于Cox and Ross (1976)提出的风险中性定价思 想，Cox, Ross & Rubinstein (1979)提出了一种 简单地定价期权的办法nullnull二叉树模型 2.二叉树模型是估计期权价值的主要数值方法之一 二叉述模型把股价的连续运动过程离散化 7 Greeks37 二叉树模型nullnull离散化 1.把期权的期限分成若干等份，每一份的长度计作 delta(t) 2.假设在每个时间段的股价变化存在两种可能性 上升到Su，概率为p 下降到Sd，概率为(1-p) 3.在风险中性世界里，股价的期望收益率为r ( )1r tSe pSu p Sd\D\= \+ \- ( )1r te pu p d\D\= \+ \-(1) Greeks38 二叉树模型nullnull离散化 4.股价做几何布朗运动，在delta(t)内的方差为 5.两个约束方程，3个未知数p, u, d 6.添加第三个方程 7.方程组(1)-(3)的解 , , ( ),S r t tS \s\D \D \D\: 2 t\s\D ( ) ( ) 22 2 21 1pu p d pu p d t\s\é \ù\+ \- \- \+ \- \= \D\? \?(2) 1ud \=(3) r te d p u d \D\- \= \-( )tu e\s\D\= ( )td e \s\- \D\=