第 7章 线性电路的瞬态过程
学习目标与要求：
◆ 了解电路的瞬态过程；
◆ 能熟练应用换路定律，确定电路的初始值；
◆ 掌握 RC电路和 RL电路的瞬态过程响应的求解；
◆ 熟练掌握三要素法；
◆ 了解几种典型 RC电路的应用 。
7.1 瞬态过程
案例 7.1：电动机起动，其转速由零逐渐上升，最终达到额定转速；
高速行驶汽车的刹车过程：由高速到低速或高速到停止等。它们的
状态都是由一种稳定状态转换到一种新的稳定状态，这个过程的变
化都是逐渐的、连续的，而不是突然的、间断的，并且是在一个瞬
间完成的，这一过程就叫瞬态过程。
1.瞬态过程的概念
稳定状态,就是指电路中的电压、电流已经达到某一稳定值，即电
压和电流为恒定不变的直流或者是最大值与频率固定的正弦交流。
瞬态过程,电路从一种稳定状态向另一种稳定状态的转变，这个过
程称为瞬态过程，也称为过渡过程。电路在瞬态过程中的状态称为
瞬态。
换路,通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、
电路参数的变化等），统称为换路，并认为换路是立即完成的。
第 7章 线性电路的瞬态过程
EL1
US
S
EL2 EL3
CLR
-
+
◆ 瞬态过程实验现象。图 7.1所示电路，三个并联支路分别为电阻、
电感、电容与灯泡串联,S为电源开关。
当闭合开关 S时,电阻 支路的灯泡 EL1立即发光，且亮度不再变化，说
明这一支路没有经历瞬态过程，立即进入了新的稳态； 电感 支路的
灯泡 EL2由暗渐渐变亮，最后达到稳定，说明电感支路经历了瞬态过
程； 电容 支路的灯泡 EL3由亮变暗直到熄灭,说 明电容支路也经历了
瞬态过程。当然若开关 S状态保持不变（断开或闭合）。
第 7章 线性电路的瞬态过程
EL1
US
S
EL2 EL3
CLR
-
+
瞬态过程实验现象。图 7.1所示电路，三个并联支路分别为电阻、电
感、电容与灯泡串联,S为电源开关。
当闭合开关 S时,电阻 支路的灯泡 EL1立即发光，且亮度不再变化，说
明这一支路没有经历瞬态过程，立即进入了新的稳态； 电感 支路的
灯泡 EL2由暗渐渐变亮，最后达到稳定，说明电感支路经历了瞬态过
程； 电容 支路的灯泡 EL3由亮变暗直到熄灭,说 明电容支路也经历了
瞬态过程。当然若开关 S状态保持不变（断开或闭合）。
第 7章 线性电路的瞬态过程
注意三个灯泡的状态：
2.换路定律
设定,t＝ 0为换路瞬间，而以 t=0－表示换路前的终了时间，
t=0＋表示换路后的初始瞬间。 0－和 0＋在数值上都等于 0，
但前者是指 t从负值趋进于零，后者是指 t从正值趋进于零。
（ 1）电感元件 由于它所储存的磁场能量 2
L2
1Li
在换路的瞬间保持不变，因此可得
iL(0+)=iL(0－ )
（ 2）电容元件 由于它所储存的电场能量 2
C2
1Cu
在换路的瞬间保持不变，因此可得
uC(0+)=uC(0－ )
第 7章 线性电路的瞬态过程
3.一阶电路初始值的计算
（ 1）一阶电路 只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。
（ 2）初始值 我们把 t=0+时刻电路中电压、电流的值，称为初始值。
（ 3）电路瞬态过程初始值的计算按下面步骤进行：
①根据换路前的电路求出换路前瞬间，即 t=0－ 时的电容电压
uC(0－ )和电感电流 iL(0－ )值；
②根据换路定律求出换路后瞬间，即 t=0+时的电容电压 uC(0+)
和电感电流 iL(0+)值；
③画出 t＝ 0＋ 时的等效电路，把 uC(0+)等效为电压源，把 iL(0+)
等效为电流源；
④求电路其它电压和电流在 t＝ 0＋ 时的数值。
第 7章 线性电路的瞬态过程
例 7.1 图 7.2（ a）所示的电路中，已知 R1=4Ω,R2=6Ω,US=10V,开关 S
闭合前电路已达到稳定状态，求换路后瞬间各元件上的电压和电流。
(a)原电路图 (b)t=0－ 时的等效电路 (c) t=0＋ 时的等效电路
解,(1)换路前开关 S尚未闭合,R2电阻没有接入，电路如图（ b）所示。
由换路前的电路
uC(0－ )＝ US＝ 10V
（ 2）根据换路定律
uC(0+)＝ uC(0－ )＝ 10V
（ 3）开关 S闭合后,R2电阻接入电路，画出 t＝ 0＋ 时的等效电路，如图（ c）所示。
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 4） 在图 （ c） 电路上求出各个电压电流值
A67.1)0()0()0()0(
A67.1A
6
10)0(
)0(
V10)0()0(
V0)0()0(
A0A
4
1010)0(
)0(
221C
2
R2
2
CR2
1R1
1
CS
1
??????
???
??
??
?
?
?
?
?
????
?
?
??
??
?
?
iiii
R
u
i
uu
Riu
R
uU
i
第 7章 线性电路的瞬态过程
例 7.2 图 7.3（ a）中，直流电压源的电压 Us=50V,R1=5Ω,R2=5Ω，
R3=20Ω，电路原已达到稳态，在 t=0时，断开开关 S，试求 0＋ 时的 iL、
Uc,UR, ic,UL。
解,先求 uC(0－ ),iL(0-)。因为电路由直流激励，且已达到稳态，所以电感
元件如同短路，电容元件如同开路。
图 7.3 (a)原电路图
US
R1
R2
R3
S
t =0
iL
iC
uC
uL
换路前电路的稳态
第 7章 线性电路的瞬态过程
US
R1
R2
R3
S
t =0
iL
uC
uL
t=0+的等效电路
V25V55)0()0(
A5A
55
50s
)0(
0)0(
2Lc
21
L
c
????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
Riu
RR
U
i
i
由换路定律得
第 7章 线性电路的瞬态过程
iCR
2
R3
iL(0+)
uC(0+)
uL
第 7章 线性电路的瞬态过程
7,2 RC电路的瞬态过程
案例 7.2：电容元件经常作为过电压保护元件并联在电路中，它主要
利用电容元件在换路瞬间电压不能发生跃变这一原理进行工作的，
这其实是一个电容的放电过程。
用经典法分析电路的瞬态过程，就是根据激励 (电源电压或电流 )，
通过求解电路的微分方程以得出电路的响应（电压和电流）。由
于电路的激励和响应都是时间的函数，所以这种分析也是时域分
析。
1.RC电路的零输入响应
RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，
由电容元件的初始状态 uC(0+)所产生的电路的响应，称为零输入响应。
第 7章 线性电路的瞬态过程
图 7.4是一 RC串联电路。
在换路前，开关 S是合在位置 2上的，电源对电容元件充电。
i
图 7.4 RC电路的零输入响应
Uo
R
S
uC
UR
2
1
换路前 S合在位置 2上的电路
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 1）电压、电流的变化规律
图 7.4是一 RC串联电路。
在换路前，开关 S是合在位置 2上的，电源对电容元件充电。
换路前 S合在位置 2上的电路
Uo
R
S
uC
i
UR
2
1
换路后 S合在位置 1上的电路
电容元件已储有能量，其上电压的初始值 uC(0+)=U0；
第 7章 线性电路的瞬态过程
图 7.4是一 RC串联电路。
在换路前，开关 S是合在位置 2上的，电源对电容元件充电。
换路后 S合在位置 1上的电路
Uo
R
S
uC
i
UR
2
1
在 t=0时将开关从位置 2合到位置 1，使电路脱离电源，输入信号为零。
此时，电容元件已储有能量，其上电压的初始值 uC(0+)=U0；
0)()( CR ?? tutu
)()(R tRitu ?
dt
tduCti C )()( ??
0)(])([ CC ??? tudt tduCR
0)()( CC ?? tudt tduRC
由 KVL列方程：
而
代入上式可得
电容元件经过电阻 R开始放电。
第 7章 线性电路的瞬态过程
上式是关于 uC（ t） 的一阶常系数线性齐次微分方程，由微分方程的概念，
得出该微分方程的通解为
RC
t-
C Ae)( ?tu
式中,A为积分常数，由电路的初始条件确定。
由换路定律有
0CC )0()0( Uuu ?? ??
上式中的 t＝ 0＋（ 即 0）
RC
t
RC
t
RC
eUAetu
UAAeAeu
??
?
?
??
????
?
0C
0
0
0
C
)(
)0(
则 （ t>0）
第 7章 线性电路的瞬态过程
又因为 RCteUtutu ??? 0CR )()(
所以 （ t>0）
uC(t),i(t)的变化曲线如图 7.5所示。
图 7.5 RC电路零输入响应曲线
由上面的讨论可知,RC电路的零输入响应 )(),(
C titu
都是随时间按指数规律衰减的变化曲线，其衰减速率取决于 RC的值。
t0
Uc(t)
U0
0
i(t)
U0/R
t
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 2）时间常数
线性电路确定后，电阻 R和电容 C是确定值，二者的乘积也是一个确定的
常数，用 τ 来表示，即 τ＝ RC
τ是表示时间的物理量，其量纲为时间秒（ s），故称为电路的时间常数。
当时，,
即在零输入响应中经历时间 τ后，电容电压 uC只有 0.368U0.分别计
算 t=2τ,3τ,4τ,5τ… 时的 uC值，如下表所示。
??t 01010C 368.0)( UeUeUu ??? ? －－ ???
0…0.007US0.018US0.05US0.135US0.368USUSuC（ t）
0…0.0070.0180.050.1350.368
∞…5τ4τ3τ2ττ0t
10 ?ete
?
1?
第 7章 线性电路的瞬态过程
◆ 5τ是衡量过渡过程时间的标志。
◆ 时间常数 τ仅由电路参数 R和 C决定。
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ … ∞
0.368 0.135 0.05 0.018 0.007 … 0
uC（ t） US 0.368US 0.135US 0.05US 0.018US 0.007US … 0
10 ?ete
?
1?
第 7章 线性电路的瞬态过程
2.RC电路的零状态响应
◆ 零状态响应,是指电路在零初始条件下，即电路中的储能元件 L,C未储
能，仅由外施激励产生的电路响应。
t=0时刻将开关 S闭合，电容 C充电。
RC串联电路的零状态响应实质上就是 电容 C的充电过程 。
i
图 7.7 RC电路的零状态响应
US
RS
uC
UR
t =0
图 电路的零状态响应
S接通后，由 KVL及各元件的伏安关系，得
dt
du
Ci
Riu
Uuu
C
R
SCR
?
?
??
第 7章 线性电路的瞬态过程
dt
du
Ci
Riu
Uuu
C
R
SCR
?
?
??
由上述三式得：
SC
c Uu
dt
duRC ??
方程的完全解为：
tRCAeUtu 1
SC )(
???
上式是一个以 uC为待求量的一阶常系数非齐次微分方程，其
解是由特解和通解两部分组成，即
"C'CC )( uutu ??
'Cu其中 是特解,是通解，而"Cu
SC'C )( Uuu ??? tRCAeu
1"
C
??
所以方程的完全解为
tRCAeUtu 1
SC )(
???
第 7章 线性电路的瞬态过程
tRCAeUtu 1
SC )(
???
上式中的 A是积分常数，仍由电路的初始条件确定。该 RC串联电路的初始值
0)0()0( CC ?? ?? uu
代入式（ 7.8）中
得 0)0( SC ???? AUu
所以
SUA ??
最后得出方程的完全解 )1()( 1
SC
tRCeUtu ???
RC?? )1()( 1
SC
teUtu ????为时间常数，则 (t >0)
电容电流
te
R
U
dt
duCti ?1SC)( ??? (t >0)
第 7章 线性电路的瞬态过程
uC(t)的曲线分别如下图 （ a） 所示 。
UC/V
0 t/s
US
1τ 3τ2τ 4τ 5τ
0
i/A
t/s
US/R
1τ 3τ2τ 4τ 5τ
i(t)的曲线分别如下图 （ b） 所示 。
第 7章 线性电路的瞬态过程
7.3 RL电路的瞬态过程
案例 7.3 日光灯电路－－相当于一个 RL电路。
1.RL电路的零输入响应
如图（ 7.9）所示电路，开关 S接 1
时电路已处于稳态。在 t＝ 0时将开
关 S由 1接向 2。
换路后, RL电路与电源脱离，电感
L将通过电阻 R释放磁场能并转换为
热能消耗掉。上述过程是 RL电路的
零输入响应，
iL
图 7.9 RL电路的零输入响应
Us
R
S
uL
UR
1
2
t=0
图 电路的零输入响应
第 7章 线性电路的瞬态过程
电感电压为
(t>0) t
eUdtdiLtu ?
1
S
L
L )(
????
tLRe
R
Uti ?? S
L )(
(t>0)
(t>0)
te
R
Uti ?1S
L )(
??
R
L?? 为 RL电路的时间常数
电压、电流的变化规律
0LL ??? idtdiRL
(t>0)
图 7.10 RL电路零输入响应曲线
0
iL/A
t/s
US/R
UL/V
-US
第 7章 线性电路的瞬态过程
电压
电流
2,RL电路的零状态响应
下图所示电路为 RL串联电路，开关 S断开时电路处于稳态，且 L中无储能。
在 t=0时 将 S闭合,此时 RL串联电路与外激励接通，电感 L将不断从电源
吸取电能转换为磁场能储存在线圈内部。下面分析在此过程中电压、电
流的变化规律。
iL
图 7.11 RL电路的零状态响应
Us
RS
uL
URt=0
第 7章 线性电路的瞬态过程
2,RL电路的零状态响应
电压、电流的变化规律
R
Ui
dt
di
R
L S
L
L ??? (t>0)
)1()(
1
S
L
te
R
Uti ???? (t>0)
teU
dt
diLtu ?1
S
L
L )(
??? (t>0)
下图所示电路为 RL串联电路，开关 S断开时电路处于稳态，且 L中无储能。
在 t=0时将 S闭合，此时 RL串联电路与外激励接通，电感 L将不断从电源
吸取电能转换为磁场能储存在线圈内部。下面分析在此过程中电压、电
流的变化规律。
iL
图 7.11 RL电路的零状态响应
Us
RS
uL
URt=0
第 7章 线性电路的瞬态过程
图 7.10 RL电路零状态响应曲线
0
iL/A
t/s
US/R
UL/V
US
电压、电流的变化曲线如下图所示。
第 7章 线性电路的瞬态过程
电压
电流
7,4一阶电路的三要素法
1.三要素与三要素法
? ? ?teffftf ?? ????? )()0()()(
式中,f(0+)是瞬态过程中变量的 初始值, f(∞)是变量 稳态值, τ是瞬态
过程的 时间常数 。这三个量称为三要素－－ 三要素法 。
2.三要素法解题的一般步骤：
（ 1）画出换路前（ t＝ 0－ ） 的等效电路。
求出电容电压 uC(0-)或电感电流 iL(0-)。
（ 2）画出换路瞬间（ t=0+）时的等效电路。
求出响应电流或电压的初始值 i(0+)或 u(0+)，即 f(0+)。
（ 3）画出 t=∞时的稳态等效电路。
求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i（ ∞） 或 u(∞)，即 f(∞)。
（ 4）求出电路的时间常数 τ。
（ 5）将求得的三要素，代入式（ 7.18）即可。
第 7章 线性电路的瞬态过程
7,5 RC电路的应用
1.微分电路和积分电路
在电子技术中常利用 RC电路实
现多种不同的功能,RC微分电路和
RC积分电路就是 RC电路的两个重
要应用。
（ 1）微分电路
图 7.15 RC微分电路
图（ a）为 输入电压 波形
0
t/s
us/V
Um tw
T
uC/V
0
t/s
Um
T
uO/V
0 t/s
Um
T-U
m
图（ b）为 电容充放电 波形
图（ c）为 输出电压 波形
(a)
(b)
(c)
第 7章 线性电路的瞬态过程
输出电压为
dt
duRC
dt
duRCiRu iC
0 ????
上式表明，电路的输出电压 u0近似与输入电压 ui的导数成正比，因
而称该电路为微分电路。
（ 2）积分电路
图 7.17 RC积分电路
输出电压为
? ? ???? dtuRCdtRuCi d tCu iR0 111
第 7章 线性电路的瞬态过程
图（ a）输入的周期性矩形波
图（ b）电容的充放电波形
图（ c）电阻两端的电压波形
uo/V
0
t/s
Um
T
(b) U
C1
uR/V
0 t/s
Um
T
(c)
(a)
0
t/s
us/V
Um tw
T
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 1）避雷器的作用
避雷器是与电器设备并接的一种过电压保护设备。其作用是限制电器
设备绝缘上的过电压，保护其绝缘免受损伤或击穿。
（ 2）避雷器的电路组成如图 7.19所示
（ 3）工作原理
变压器高压侧经整流硅
堆输出的电压是半波整流电压，
其正半周时，经电阻 R对电容
C充电。负半周时电容 C经 R放
电，下一个正半周时,C又通
过 R充电，使两端的电压维持
原来的数值，这样就保证避雷
器两端的电压波动很小。
第 7章 线性电路的瞬态过程
3,晶闸管的过电压保护
（ 1）晶闸管的作用
晶闸管又称可控硅，主要用于大功率的交流电能与直流电能的相互转
换和交、直流电路的开关控制与调压。
（ 2）工作原理
如图 7.20所示电路为单相桥式可
控整流电路，在晶闸管及交流电源侧，
整流输出的负载侧均并联一个 RC串
联支路。
第 7章 线性电路的瞬态过程
1.瞬态过程与换路定律
（ 1）换路
（ 2）换路定律
uC(0+)=uC(0－ )
iL(0+)=iL(0－ )
2.一阶电路的瞬态过程及其三要素法
3,RC电路的应用
（ 1）微分电路和积分电路
（ 2）避雷器的测试电路
（ 3）阻容耦合保护电路
本章小结
学习目标与要求：
◆ 了解电路的瞬态过程；
◆ 能熟练应用换路定律，确定电路的初始值；
◆ 掌握 RC电路和 RL电路的瞬态过程响应的求解；
◆ 熟练掌握三要素法；
◆ 了解几种典型 RC电路的应用 。
7.1 瞬态过程
案例 7.1：电动机起动，其转速由零逐渐上升，最终达到额定转速；
高速行驶汽车的刹车过程：由高速到低速或高速到停止等。它们的
状态都是由一种稳定状态转换到一种新的稳定状态，这个过程的变
化都是逐渐的、连续的，而不是突然的、间断的，并且是在一个瞬
间完成的，这一过程就叫瞬态过程。
1.瞬态过程的概念
稳定状态,就是指电路中的电压、电流已经达到某一稳定值，即电
压和电流为恒定不变的直流或者是最大值与频率固定的正弦交流。
瞬态过程,电路从一种稳定状态向另一种稳定状态的转变，这个过
程称为瞬态过程，也称为过渡过程。电路在瞬态过程中的状态称为
瞬态。
换路,通常把电路状态的改变（如通电、断电、短路、电信号突变、
电路参数的变化等），统称为换路，并认为换路是立即完成的。
第 7章 线性电路的瞬态过程
EL1
US
S
EL2 EL3
CLR
-
+
◆ 瞬态过程实验现象。图 7.1所示电路，三个并联支路分别为电阻、
电感、电容与灯泡串联,S为电源开关。
当闭合开关 S时,电阻 支路的灯泡 EL1立即发光，且亮度不再变化，说
明这一支路没有经历瞬态过程，立即进入了新的稳态； 电感 支路的
灯泡 EL2由暗渐渐变亮，最后达到稳定，说明电感支路经历了瞬态过
程； 电容 支路的灯泡 EL3由亮变暗直到熄灭,说 明电容支路也经历了
瞬态过程。当然若开关 S状态保持不变（断开或闭合）。
第 7章 线性电路的瞬态过程
EL1
US
S
EL2 EL3
CLR
-
+
瞬态过程实验现象。图 7.1所示电路，三个并联支路分别为电阻、电
感、电容与灯泡串联,S为电源开关。
当闭合开关 S时,电阻 支路的灯泡 EL1立即发光，且亮度不再变化，说
明这一支路没有经历瞬态过程，立即进入了新的稳态； 电感 支路的
灯泡 EL2由暗渐渐变亮，最后达到稳定，说明电感支路经历了瞬态过
程； 电容 支路的灯泡 EL3由亮变暗直到熄灭,说 明电容支路也经历了
瞬态过程。当然若开关 S状态保持不变（断开或闭合）。
第 7章 线性电路的瞬态过程
注意三个灯泡的状态：
2.换路定律
设定,t＝ 0为换路瞬间，而以 t=0－表示换路前的终了时间，
t=0＋表示换路后的初始瞬间。 0－和 0＋在数值上都等于 0，
但前者是指 t从负值趋进于零，后者是指 t从正值趋进于零。
（ 1）电感元件 由于它所储存的磁场能量 2
L2
1Li
在换路的瞬间保持不变，因此可得
iL(0+)=iL(0－ )
（ 2）电容元件 由于它所储存的电场能量 2
C2
1Cu
在换路的瞬间保持不变，因此可得
uC(0+)=uC(0－ )
第 7章 线性电路的瞬态过程
3.一阶电路初始值的计算
（ 1）一阶电路 只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。
（ 2）初始值 我们把 t=0+时刻电路中电压、电流的值，称为初始值。
（ 3）电路瞬态过程初始值的计算按下面步骤进行：
①根据换路前的电路求出换路前瞬间，即 t=0－ 时的电容电压
uC(0－ )和电感电流 iL(0－ )值；
②根据换路定律求出换路后瞬间，即 t=0+时的电容电压 uC(0+)
和电感电流 iL(0+)值；
③画出 t＝ 0＋ 时的等效电路，把 uC(0+)等效为电压源，把 iL(0+)
等效为电流源；
④求电路其它电压和电流在 t＝ 0＋ 时的数值。
第 7章 线性电路的瞬态过程
例 7.1 图 7.2（ a）所示的电路中，已知 R1=4Ω,R2=6Ω,US=10V,开关 S
闭合前电路已达到稳定状态，求换路后瞬间各元件上的电压和电流。
(a)原电路图 (b)t=0－ 时的等效电路 (c) t=0＋ 时的等效电路
解,(1)换路前开关 S尚未闭合,R2电阻没有接入，电路如图（ b）所示。
由换路前的电路
uC(0－ )＝ US＝ 10V
（ 2）根据换路定律
uC(0+)＝ uC(0－ )＝ 10V
（ 3）开关 S闭合后,R2电阻接入电路，画出 t＝ 0＋ 时的等效电路，如图（ c）所示。
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 4） 在图 （ c） 电路上求出各个电压电流值
A67.1)0()0()0()0(
A67.1A
6
10)0(
)0(
V10)0()0(
V0)0()0(
A0A
4
1010)0(
)0(
221C
2
R2
2
CR2
1R1
1
CS
1
??????
???
??
??
?
?
?
?
?
????
?
?
??
??
?
?
iiii
R
u
i
uu
Riu
R
uU
i
第 7章 线性电路的瞬态过程
例 7.2 图 7.3（ a）中，直流电压源的电压 Us=50V,R1=5Ω,R2=5Ω，
R3=20Ω，电路原已达到稳态，在 t=0时，断开开关 S，试求 0＋ 时的 iL、
Uc,UR, ic,UL。
解,先求 uC(0－ ),iL(0-)。因为电路由直流激励，且已达到稳态，所以电感
元件如同短路，电容元件如同开路。
图 7.3 (a)原电路图
US
R1
R2
R3
S
t =0
iL
iC
uC
uL
换路前电路的稳态
第 7章 线性电路的瞬态过程
US
R1
R2
R3
S
t =0
iL
uC
uL
t=0+的等效电路
V25V55)0()0(
A5A
55
50s
)0(
0)0(
2Lc
21
L
c
????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
Riu
RR
U
i
i
由换路定律得
第 7章 线性电路的瞬态过程
iCR
2
R3
iL(0+)
uC(0+)
uL
第 7章 线性电路的瞬态过程
7,2 RC电路的瞬态过程
案例 7.2：电容元件经常作为过电压保护元件并联在电路中，它主要
利用电容元件在换路瞬间电压不能发生跃变这一原理进行工作的，
这其实是一个电容的放电过程。
用经典法分析电路的瞬态过程，就是根据激励 (电源电压或电流 )，
通过求解电路的微分方程以得出电路的响应（电压和电流）。由
于电路的激励和响应都是时间的函数，所以这种分析也是时域分
析。
1.RC电路的零输入响应
RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，
由电容元件的初始状态 uC(0+)所产生的电路的响应，称为零输入响应。
第 7章 线性电路的瞬态过程
图 7.4是一 RC串联电路。
在换路前，开关 S是合在位置 2上的，电源对电容元件充电。
i
图 7.4 RC电路的零输入响应
Uo
R
S
uC
UR
2
1
换路前 S合在位置 2上的电路
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 1）电压、电流的变化规律
图 7.4是一 RC串联电路。
在换路前，开关 S是合在位置 2上的，电源对电容元件充电。
换路前 S合在位置 2上的电路
Uo
R
S
uC
i
UR
2
1
换路后 S合在位置 1上的电路
电容元件已储有能量，其上电压的初始值 uC(0+)=U0；
第 7章 线性电路的瞬态过程
图 7.4是一 RC串联电路。
在换路前，开关 S是合在位置 2上的，电源对电容元件充电。
换路后 S合在位置 1上的电路
Uo
R
S
uC
i
UR
2
1
在 t=0时将开关从位置 2合到位置 1，使电路脱离电源，输入信号为零。
此时，电容元件已储有能量，其上电压的初始值 uC(0+)=U0；
0)()( CR ?? tutu
)()(R tRitu ?
dt
tduCti C )()( ??
0)(])([ CC ??? tudt tduCR
0)()( CC ?? tudt tduRC
由 KVL列方程：
而
代入上式可得
电容元件经过电阻 R开始放电。
第 7章 线性电路的瞬态过程
上式是关于 uC（ t） 的一阶常系数线性齐次微分方程，由微分方程的概念，
得出该微分方程的通解为
RC
t-
C Ae)( ?tu
式中,A为积分常数，由电路的初始条件确定。
由换路定律有
0CC )0()0( Uuu ?? ??
上式中的 t＝ 0＋（ 即 0）
RC
t
RC
t
RC
eUAetu
UAAeAeu
??
?
?
??
????
?
0C
0
0
0
C
)(
)0(
则 （ t>0）
第 7章 线性电路的瞬态过程
又因为 RCteUtutu ??? 0CR )()(
所以 （ t>0）
uC(t),i(t)的变化曲线如图 7.5所示。
图 7.5 RC电路零输入响应曲线
由上面的讨论可知,RC电路的零输入响应 )(),(
C titu
都是随时间按指数规律衰减的变化曲线，其衰减速率取决于 RC的值。
t0
Uc(t)
U0
0
i(t)
U0/R
t
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 2）时间常数
线性电路确定后，电阻 R和电容 C是确定值，二者的乘积也是一个确定的
常数，用 τ 来表示，即 τ＝ RC
τ是表示时间的物理量，其量纲为时间秒（ s），故称为电路的时间常数。
当时，,
即在零输入响应中经历时间 τ后，电容电压 uC只有 0.368U0.分别计
算 t=2τ,3τ,4τ,5τ… 时的 uC值，如下表所示。
??t 01010C 368.0)( UeUeUu ??? ? －－ ???
0…0.007US0.018US0.05US0.135US0.368USUSuC（ t）
0…0.0070.0180.050.1350.368
∞…5τ4τ3τ2ττ0t
10 ?ete
?
1?
第 7章 线性电路的瞬态过程
◆ 5τ是衡量过渡过程时间的标志。
◆ 时间常数 τ仅由电路参数 R和 C决定。
t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ … ∞
0.368 0.135 0.05 0.018 0.007 … 0
uC（ t） US 0.368US 0.135US 0.05US 0.018US 0.007US … 0
10 ?ete
?
1?
第 7章 线性电路的瞬态过程
2.RC电路的零状态响应
◆ 零状态响应,是指电路在零初始条件下，即电路中的储能元件 L,C未储
能，仅由外施激励产生的电路响应。
t=0时刻将开关 S闭合，电容 C充电。
RC串联电路的零状态响应实质上就是 电容 C的充电过程 。
i
图 7.7 RC电路的零状态响应
US
RS
uC
UR
t =0
图 电路的零状态响应
S接通后，由 KVL及各元件的伏安关系，得
dt
du
Ci
Riu
Uuu
C
R
SCR
?
?
??
第 7章 线性电路的瞬态过程
dt
du
Ci
Riu
Uuu
C
R
SCR
?
?
??
由上述三式得：
SC
c Uu
dt
duRC ??
方程的完全解为：
tRCAeUtu 1
SC )(
???
上式是一个以 uC为待求量的一阶常系数非齐次微分方程，其
解是由特解和通解两部分组成，即
"C'CC )( uutu ??
'Cu其中 是特解,是通解，而"Cu
SC'C )( Uuu ??? tRCAeu
1"
C
??
所以方程的完全解为
tRCAeUtu 1
SC )(
???
第 7章 线性电路的瞬态过程
tRCAeUtu 1
SC )(
???
上式中的 A是积分常数，仍由电路的初始条件确定。该 RC串联电路的初始值
0)0()0( CC ?? ?? uu
代入式（ 7.8）中
得 0)0( SC ???? AUu
所以
SUA ??
最后得出方程的完全解 )1()( 1
SC
tRCeUtu ???
RC?? )1()( 1
SC
teUtu ????为时间常数，则 (t >0)
电容电流
te
R
U
dt
duCti ?1SC)( ??? (t >0)
第 7章 线性电路的瞬态过程
uC(t)的曲线分别如下图 （ a） 所示 。
UC/V
0 t/s
US
1τ 3τ2τ 4τ 5τ
0
i/A
t/s
US/R
1τ 3τ2τ 4τ 5τ
i(t)的曲线分别如下图 （ b） 所示 。
第 7章 线性电路的瞬态过程
7.3 RL电路的瞬态过程
案例 7.3 日光灯电路－－相当于一个 RL电路。
1.RL电路的零输入响应
如图（ 7.9）所示电路，开关 S接 1
时电路已处于稳态。在 t＝ 0时将开
关 S由 1接向 2。
换路后, RL电路与电源脱离，电感
L将通过电阻 R释放磁场能并转换为
热能消耗掉。上述过程是 RL电路的
零输入响应，
iL
图 7.9 RL电路的零输入响应
Us
R
S
uL
UR
1
2
t=0
图 电路的零输入响应
第 7章 线性电路的瞬态过程
电感电压为
(t>0) t
eUdtdiLtu ?
1
S
L
L )(
????
tLRe
R
Uti ?? S
L )(
(t>0)
(t>0)
te
R
Uti ?1S
L )(
??
R
L?? 为 RL电路的时间常数
电压、电流的变化规律
0LL ??? idtdiRL
(t>0)
图 7.10 RL电路零输入响应曲线
0
iL/A
t/s
US/R
UL/V
-US
第 7章 线性电路的瞬态过程
电压
电流
2,RL电路的零状态响应
下图所示电路为 RL串联电路，开关 S断开时电路处于稳态，且 L中无储能。
在 t=0时 将 S闭合,此时 RL串联电路与外激励接通，电感 L将不断从电源
吸取电能转换为磁场能储存在线圈内部。下面分析在此过程中电压、电
流的变化规律。
iL
图 7.11 RL电路的零状态响应
Us
RS
uL
URt=0
第 7章 线性电路的瞬态过程
2,RL电路的零状态响应
电压、电流的变化规律
R
Ui
dt
di
R
L S
L
L ??? (t>0)
)1()(
1
S
L
te
R
Uti ???? (t>0)
teU
dt
diLtu ?1
S
L
L )(
??? (t>0)
下图所示电路为 RL串联电路，开关 S断开时电路处于稳态，且 L中无储能。
在 t=0时将 S闭合，此时 RL串联电路与外激励接通，电感 L将不断从电源
吸取电能转换为磁场能储存在线圈内部。下面分析在此过程中电压、电
流的变化规律。
iL
图 7.11 RL电路的零状态响应
Us
RS
uL
URt=0
第 7章 线性电路的瞬态过程
图 7.10 RL电路零状态响应曲线
0
iL/A
t/s
US/R
UL/V
US
电压、电流的变化曲线如下图所示。
第 7章 线性电路的瞬态过程
电压
电流
7,4一阶电路的三要素法
1.三要素与三要素法
? ? ?teffftf ?? ????? )()0()()(
式中,f(0+)是瞬态过程中变量的 初始值, f(∞)是变量 稳态值, τ是瞬态
过程的 时间常数 。这三个量称为三要素－－ 三要素法 。
2.三要素法解题的一般步骤：
（ 1）画出换路前（ t＝ 0－ ） 的等效电路。
求出电容电压 uC(0-)或电感电流 iL(0-)。
（ 2）画出换路瞬间（ t=0+）时的等效电路。
求出响应电流或电压的初始值 i(0+)或 u(0+)，即 f(0+)。
（ 3）画出 t=∞时的稳态等效电路。
求出稳态下响应电流或电压的稳态值 i（ ∞） 或 u(∞)，即 f(∞)。
（ 4）求出电路的时间常数 τ。
（ 5）将求得的三要素，代入式（ 7.18）即可。
第 7章 线性电路的瞬态过程
7,5 RC电路的应用
1.微分电路和积分电路
在电子技术中常利用 RC电路实
现多种不同的功能,RC微分电路和
RC积分电路就是 RC电路的两个重
要应用。
（ 1）微分电路
图 7.15 RC微分电路
图（ a）为 输入电压 波形
0
t/s
us/V
Um tw
T
uC/V
0
t/s
Um
T
uO/V
0 t/s
Um
T-U
m
图（ b）为 电容充放电 波形
图（ c）为 输出电压 波形
(a)
(b)
(c)
第 7章 线性电路的瞬态过程
输出电压为
dt
duRC
dt
duRCiRu iC
0 ????
上式表明，电路的输出电压 u0近似与输入电压 ui的导数成正比，因
而称该电路为微分电路。
（ 2）积分电路
图 7.17 RC积分电路
输出电压为
? ? ???? dtuRCdtRuCi d tCu iR0 111
第 7章 线性电路的瞬态过程
图（ a）输入的周期性矩形波
图（ b）电容的充放电波形
图（ c）电阻两端的电压波形
uo/V
0
t/s
Um
T
(b) U
C1
uR/V
0 t/s
Um
T
(c)
(a)
0
t/s
us/V
Um tw
T
第 7章 线性电路的瞬态过程
（ 1）避雷器的作用
避雷器是与电器设备并接的一种过电压保护设备。其作用是限制电器
设备绝缘上的过电压，保护其绝缘免受损伤或击穿。
（ 2）避雷器的电路组成如图 7.19所示
（ 3）工作原理
变压器高压侧经整流硅
堆输出的电压是半波整流电压，
其正半周时，经电阻 R对电容
C充电。负半周时电容 C经 R放
电，下一个正半周时,C又通
过 R充电，使两端的电压维持
原来的数值，这样就保证避雷
器两端的电压波动很小。
第 7章 线性电路的瞬态过程
3,晶闸管的过电压保护
（ 1）晶闸管的作用
晶闸管又称可控硅，主要用于大功率的交流电能与直流电能的相互转
换和交、直流电路的开关控制与调压。
（ 2）工作原理
如图 7.20所示电路为单相桥式可
控整流电路，在晶闸管及交流电源侧，
整流输出的负载侧均并联一个 RC串
联支路。
第 7章 线性电路的瞬态过程
1.瞬态过程与换路定律
（ 1）换路
（ 2）换路定律
uC(0+)=uC(0－ )
iL(0+)=iL(0－ )
2.一阶电路的瞬态过程及其三要素法
3,RC电路的应用
（ 1）微分电路和积分电路
（ 2）避雷器的测试电路
（ 3）阻容耦合保护电路
本章小结
